≡× МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт 
• Дизайн интерьера
• Обо всём
• О сантехнике

Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения? Лекция: «Методы решения показательных уравнений

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Этот урок предназначен для тех, кто только начинает изучать показательные уравнения. Как всегда, начнём с определения и простейших примеров.

Если вы читаете этот урок, то я подозреваю, что вы уже имеете хотя бы минимальное представление о простейших уравнениях — линейных и квадратных: $56x-11=0$; ${{x}^{2}}+5x+4=0$; ${{x}^{2}}-12x+32=0$ и т.д. Уметь решать такие конструкции совершенно необходимо для того, чтобы не «зависнуть» в той теме, о которой сейчас пойдёт речь.

Итак, показательные уравнения. Сразу приведу парочку примеров:

\[{{2}^{x}}=4;\quad {{5}^{2x-3}}=\frac{1}{25};\quad {{9}^{x}}=-3\]

Какие-то из них могут показаться вам более сложными, какие-то — напротив, слишком простыми. Но всех их объединяет один важный признак: в их записи присутствует показательная функция $f\left(x \right)={{a}^{x}}$. Таким образом, введём определение:

Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида ${{a}^{x}}$. Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.

Ну хорошо. С определением разобрались. Теперь вопрос: как всю эту хрень решать? Ответ одновременно и прост, и сложен.

Начнём с хорошей новости: по своему опыту занятий с множеством учеников могу сказать, что большинству из них показательные уравнения даются намного легче, чем те же логарифмы и уж тем более тригонометрия.

Но есть и плохая новость: иногда составителей задач для всевозможных учебников и экзаменов посещает «вдохновение», и их воспалённый наркотиками мозг начинает выдавать такие зверские уравнения, что решить их становится проблематично не только ученикам — даже многие учителя на таких задачах залипают.

Впрочем, не будем о грустном. И вернёмся к тем трём уравнениям, которые были приведены в самом начале повествования. Попробуем решить каждое из них.

Первое уравнение: ${{2}^{x}}=4$. Ну и в какую степень надо возвести число 2, чтобы получить число 4? Наверное, во вторую? Ведь ${{2}^{2}}=2\cdot 2=4$ — и мы получили верное числовое равенство, т.е. действительно $x=2$. Что ж, спасибо, кэп, но это уравнение было настолько простым, что его решил бы даже мой кот.:)

Посмотрим на следующее уравнение:

\[{{5}^{2x-3}}=\frac{1}{25}\]

А вот тут уже чуть сложнее. Многие ученики знают, что ${{5}^{2}}=25$ — это таблица умножения. Некоторые также подозревают, что ${{5}^{-1}}=\frac{1}{5}$ — это по сути определение отрицательных степеней (по аналогии с формулой ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$).

Наконец, лишь избранные догадываются, что эти факты можно совмещать и на выходе получить следующий результат:

\[\frac{1}{25}=\frac{1}{{{5}^{2}}}={{5}^{-2}}\]

Таким образом, наше исходное уравнение перепишется следующим образом:

\[{{5}^{2x-3}}=\frac{1}{25}\Rightarrow {{5}^{2x-3}}={{5}^{-2}}\]

А вот это уже вполне решаемо! Слева в уравнении стоит показательная функция, справа в уравнении стоит показательная функция, ничего кроме них нигде больше нет. Следовательно, можно «отбросить» основания и тупо приравнять показатели:

Получили простейшее линейное уравнение, которое любой ученик решит буквально в пару строчек. Ну ладно, в четыре строчки:

\[\begin{align}& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac{1}{2} \\\end{align}\]

Если вы не поняли, что сейчас происходило в последних четырёх строчках — обязательно вернитесь в тему «линейные уравнения» и повторите её. Потому что без чёткого усвоения этой темы вам рано браться за показательные уравнения.

\[{{9}^{x}}=-3\]

Ну и как такое решать? Первая мысль: $9=3\cdot 3={{3}^{2}}$, поэтому исходное уравнение можно переписать так:

\[{{\left({{3}^{2}} \right)}^{x}}=-3\]

Затем вспоминаем, что при возведении степени в степень показатели перемножаются:

\[{{\left({{3}^{2}} \right)}^{x}}={{3}^{2x}}\Rightarrow {{3}^{2x}}=-{{3}^{1}}\]

\[\begin{align}& 2x=-1 \\& x=-\frac{1}{2} \\\end{align}\]

И вот за такое решение мы получим честно заслуженную двойку. Ибо мы с невозмутимостью покемона отправили знак «минус», стоящий перед тройкой, в степень этой самой тройки. А так делать нельзя. И вот почему. Взгляните на разные степени тройки:

\[\begin{matrix} {{3}^{1}}=3& {{3}^{-1}}=\frac{1}{3}& {{3}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{3} \\ {{3}^{2}}=9& {{3}^{-2}}=\frac{1}{9}& {{3}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt{3} \\ {{3}^{3}}=27& {{3}^{-3}}=\frac{1}{27}& {{3}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\\end{matrix}\]

Составляя эту табличку, я уж как только не извращался: и положительные степени рассмотрел, и отрицательные, и даже дробные... ну и где здесь хоть одно отрицательное число? Его нет! И не может быть, потому что показательная функция $y={{a}^{x}}$, во-первых, всегда принимает лишь положительные значения (сколько единицу не умножай или не дели на двойку — всё равно будет положительное число), а во-вторых, основание такой функции — число $a$ — по определению является положительным числом!

Ну и как тогда решать уравнение ${{9}^{x}}=-3$? А никак: корней нет. И в этом смысле показательные уравнения очень похожи на квадратные — там тоже может не быть корней. Но если в квадратных уравнениях число корней определяется дискриминантом (дискриминант положительный — 2 корня, отрицательный — нет корней), то в показательных всё зависит от того, что стоит справа от знака равенства.

Таким образом, сформулируем ключевой вывод: простейшее показательное уравнение вида ${{a}^{x}}=b$ имеет корень тогда и только тогда, когда $b>0$. Зная этот простой факт, вы без труда определите: есть у предложенного вам уравнения корни или нет. Т.е. стоит ли вообще его решать или сразу записать, что корней нет.

Это знание ещё неоднократно поможет нам, когда придётся решать более сложные задачи. А пока хватит лирики — пора изучить основной алгоритм решения показательных уравнений.

Как решать показательные уравнения

Итак, сформулируем задачу. Необходимо решить показательное уравнение:

\[{{a}^{x}}=b,\quad a,b>0\]

Согласно «наивному» алгоритму, по которому мы действовали ранее, необходимо представить число $b$ как степень числа $a$:

Кроме того, если вместо переменной $x$ будет стоять какое-либо выражение, мы получим новое уравнение, которое уже вполне можно решить. Например:

\[\begin{align}& {{2}^{x}}=8\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{3}}\Rightarrow x=3; \\& {{3}^{-x}}=81\Rightarrow {{3}^{-x}}={{3}^{4}}\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& {{5}^{2x}}=125\Rightarrow {{5}^{2x}}={{5}^{3}}\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}. \\\end{align}\]

И как ни странно, эта схема работает примерно в 90% случаев. А что тогда с остальными 10%? Остальные 10% — это немного «шизофреничные» показательные уравнения вида:

\[{{2}^{x}}=3;\quad {{5}^{x}}=15;\quad {{4}^{2x}}=11\]

Ну и в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 3? В первую? А вот и нет: ${{2}^{1}}=2$ — маловато. Во вторую? Тоже нет: ${{2}^{2}}=4$ — многовато. А в какую тогда?

Знающие ученики уже наверняка догадались: в таких случаях, когда «красиво» решить не получается, к делу подключается «тяжёлая артиллерия» — логарифмы. Напомню, что с помощью логарифмов любое положительное число можно представить как степень любого другого положительного числа (за исключением единицы):

Помните эту формулу? Когда я рассказываю своим ученикам про логарифмы, то всегда предупреждаю: эта формула (она же — основное логарифмическое тождество или, если угодно, определение логарифма) будет преследовать вас её очень долго и «всплывать» в самых неожиданных местах. Ну вот она и всплыла. Давайте посмотрим на наше уравнение и на эту формулу:

\[\begin{align}& {{2}^{x}}=3 \\& a={{b}^{{{\log }_{b}}a}} \\\end{align}\]

Если допустить, что $a=3$ — наше исходное число, стоящее справа, а $b=2$ — то самое основание показательной функции, к которому мы так хотим привести правую часть, то получим следующее:

\[\begin{align}& a={{b}^{{{\log }_{b}}a}}\Rightarrow 3={{2}^{{{\log }_{2}}3}}; \\& {{2}^{x}}=3\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{{{\log }_{2}}3}}\Rightarrow x={{\log }_{2}}3. \\\end{align}\]

Получили немного странный ответ: $x={{\log }_{2}}3$. В каком-нибудь другом задании многие при таком ответе засомневались бы и начали перепроверять своё решение: вдруг там где-то закралась ошибка? Спешу вас обрадовать: никакой ошибки здесь нет, и логарифмы в корнях показательных уравнений — вполне типичная ситуация. Так что привыкайте.:)

Теперь решим по аналогии оставшиеся два уравнения:

\[\begin{align}& {{5}^{x}}=15\Rightarrow {{5}^{x}}={{5}^{{{\log }_{5}}15}}\Rightarrow x={{\log }_{5}}15; \\& {{4}^{2x}}=11\Rightarrow {{4}^{2x}}={{4}^{{{\log }_{4}}11}}\Rightarrow 2x={{\log }_{4}}11\Rightarrow x=\frac{1}{2}{{\log }_{4}}11. \\\end{align}\]

Вот и всё! Кстати, последний ответ можно записать иначе:

Это мы внесли множитель в аргумент логарифма. Но никто не мешает нам внести этот множитель в основание:

При этом все три варианта являются правильными — это просто разные формы записи одного и того же числа. Какой из них выбрать и записать в настоящем решении — решать только вам.

Таким образом, мы научились решать любые показательные уравнения вида ${{a}^{x}}=b$, где числа $a$ и $b$ строго положительны. Однако суровая реальность нашего мира такова, что подобные простые задачи будут встречаться вам очень и очень редко. Куда чаще вам будет попадаться что-нибудь типа этого:

\[\begin{align}& {{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11; \\& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& {{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09. \\\end{align}\]

Ну и как такое решать? Это вообще можно решить? И если да, то как?

Без паники. Все эти уравнения быстро и просто сводятся к тем простым формулам, которые мы уже рассмотрели. Нужно лишь знать вспомнить парочку приёмов из курса алгебры. Ну и конечно, здесь никуда без правил работы со степенями. Обо всём этом я сейчас расскажу.:)

Преобразование показательных уравнений

Первое, что нужно запомнить: любое показательное уравнение, каким бы сложным оно ни было, так или иначе должно сводиться к простейшим уравнениям — тем самым, которые мы уже рассмотрели и которые знаем как решать. Другими словами, схема решения любого показательного уравнения выглядит следующим образом:

1. Записать исходное уравнение. Например: ${{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11$;
2. Сделать какую-то непонятную хрень. Или даже несколько хреней, которые называются «преобразовать уравнение»;
3. На выходе получить простейшие выражения вида ${{4}^{x}}=4$ или что-нибудь ещё в таком духе. Причём одно исходное уравнение может давать сразу несколько таких выражений.

С первым пунктом всё понятно — записать уравнение на листик сможет даже мой кот. С третьим пунктом тоже, вроде, более-менее ясно — мы такие уравнения уже целую пачку нарешали выше.

Но как быть со вторым пунктом? Что за преобразования? Что во что преобразовывать? И как?

Что ж, давайте разбираться. Прежде всего, отмечу следующее. Все показательные уравнения делятся на два типа:

1. Уравнение составлено из показательных функций с одним и тем же основанием. Пример: ${{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11$;
2. В формуле присутствуют показательные функции с разными основаниями. Примеры: ${{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}$ и ${{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09$.

Начнём с уравнений первого типа — они решаются проще всего. И в их решении нам поможет такой приём как выделение устойчивых выражений.

Выделение устойчивого выражения

Давайте ещё раз посмотрим на это уравнение:

\[{{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11\]

Что мы видим? Четвёрка возводится в разные степени. Но все эти степени — простые суммы переменной $x$ с другими числами. Поэтому необходимо вспомнить правила работы со степенями:

\[\begin{align}& {{a}^{x+y}}={{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}; \\& {{a}^{x-y}}={{a}^{x}}:{{a}^{y}}=\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}. \\\end{align}\]

Проще говоря, сложение показателей можно преобразовать в произведение степеней, а вычитание легко преобразуется в деление. Попробуем применить эти формулы к степеням из нашего уравнения:

\[\begin{align}& {{4}^{x-1}}=\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{1}}}={{4}^{x}}\cdot \frac{1}{4}; \\& {{4}^{x+1}}={{4}^{x}}\cdot {{4}^{1}}={{4}^{x}}\cdot 4. \\\end{align}\]

Перепишем исходное уравнение с учётом этого факта, а затем соберём все слагаемые слева:

\[\begin{align}& {{4}^{x}}+{{4}^{x}}\cdot \frac{1}{4}={{4}^{x}}\cdot 4-11; \\& {{4}^{x}}+{{4}^{x}}\cdot \frac{1}{4}-{{4}^{x}}\cdot 4+11=0. \\\end{align}\]

В первых четырёх слагаемых присутствует элемент ${{4}^{x}}$ — вынесем его за скобку:

\[\begin{align}& {{4}^{x}}\cdot \left(1+\frac{1}{4}-4 \right)+11=0; \\& {{4}^{x}}\cdot \frac{4+1-16}{4}+11=0; \\& {{4}^{x}}\cdot \left(-\frac{11}{4} \right)=-11. \\\end{align}\]

Осталось разделить обе части уравнения на дробь $-\frac{11}{4}$, т.е. по существу умножить на перевёрнутую дробь — $-\frac{4}{11}$. Получим:

\[\begin{align}& {{4}^{x}}\cdot \left(-\frac{11}{4} \right)\cdot \left(-\frac{4}{11} \right)=-11\cdot \left(-\frac{4}{11} \right); \\& {{4}^{x}}=4; \\& {{4}^{x}}={{4}^{1}}; \\& x=1. \\\end{align}\]

Вот и всё! Мы свели исходное уравнение к простейшему и получили окончательный ответ.

При этом в процессе решения мы обнаружили (и даже вынесли за скобку) общий множитель ${{4}^{x}}$ — это и есть устойчивое выражение. Его можно обозначать за новую переменную, а можно просто аккуратно выразить и получить ответ. В любом случае, ключевой принцип решения следующий:

Найти в исходном уравнении устойчивое выражение, содержащее переменную, которое легко выделяется из всех показательных функций.

Хорошая новость состоит в том, что практически каждое показательное уравнение допускает выделение такого устойчивого выражения.

Но есть и плохая новость: подобные выражения могут оказаться весьма хитрыми, и выделить их бывает довольно сложно. Поэтому разберём ещё одну задачу:

\[{{5}^{x+2}}+{{0,2}^{-x-1}}+4\cdot {{5}^{x+1}}=2\]

Возможно, у кого-то сейчас возникнет вопрос: «Паша, ты что, обкурился? Здесь же разные основания — 5 и 0,2». Но давайте попробуем преобразовать степень с основание 0,2. Например, избавимся от десятичной дроби, приведя её к обычной:

\[{{0,2}^{-x-1}}={{0,2}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left(\frac{2}{10} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left(\frac{1}{5} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}\]

Как видите, число 5 всё-таки появилось, пускай и в знаменателе. Заодно переписали показатель в виде отрицательного. А теперь вспоминаем одно из важнейших правил работы со степенями:

\[{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\Rightarrow {{\left(\frac{1}{5} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left(\frac{5}{1} \right)}^{x+1}}={{5}^{x+1}}\]

Тут я, конечно, немного слукавил. Потому что для полного понимания формулу избавления от отрицательных показателей надо было записать так:

\[{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}={{\left(\frac{1}{a} \right)}^{n}}\Rightarrow {{\left(\frac{1}{5} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left(\frac{5}{1} \right)}^{x+1}}={{5}^{x+1}}\]

С другой стороны, ничто не мешало нам работать с одной лишь дробью:

\[{{\left(\frac{1}{5} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{\left({{5}^{-1}} \right)}^{-\left(x+1 \right)}}={{5}^{\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right)}}={{5}^{x+1}}\]

Но в этом случае нужно уметь возводить степень в другую степень (напомню: при этом показатели складываются). Зато не пришлось «переворачивать» дроби — возможно, для кого-то это будет проще.:)

В любом случае, исходное показательное уравнение будет переписано в виде:

\[\begin{align}& {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}+4\cdot {{5}^{x+1}}=2; \\& {{5}^{x+2}}+5\cdot {{5}^{x+1}}=2; \\& {{5}^{x+2}}+{{5}^{1}}\cdot {{5}^{x+1}}=2; \\& {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+2}}=2; \\& 2\cdot {{5}^{x+2}}=2; \\& {{5}^{x+2}}=1. \\\end{align}\]

Вот и получается, что исходное уравнение решается даже проще, чем ранее рассмотренное: тут даже не надо выделять устойчивое выражение — всё само сократилось. Осталось лишь вспомнить, что $1={{5}^{0}}$, откуда получим:

\[\begin{align}& {{5}^{x+2}}={{5}^{0}}; \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Мы получили окончательный ответ: $x=-2$. При этом хотелось бы отметить один приём, который значительно упростил нам все выкладки:

В показательных уравнениях обязательно избавляйтесь от десятичных дробей, переводите их в обычные. Это позволит увидеть одинаковые основания степеней и значительно упростит решение.

Перейдём теперь к более сложным уравнениям, в которых присутствуют разные основания, которые вообще не сводятся друг к другу с помощью степеней.

Использование свойства степеней

Напомню, что у нас есть ещё два особо суровых уравнения:

\[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& {{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09. \\\end{align}\]

Основная сложность тут — непонятно, что и к какому основанию приводить. Где устойчивые выражения? Где одинаковые основания? Ничего этого нет.

Но попробуем пойти другим путём. Если нет готовых одинаковых оснований, их можно попробовать найти, раскладывая имеющиеся основания на множители.

Начнём с первого уравнения:

\[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow {{21}^{3x}}={{\left(7\cdot 3 \right)}^{3x}}={{7}^{3x}}\cdot {{3}^{3x}}. \\\end{align}\]

Но ведь можно поступить наоборот — составить из чисел 7 и 3 число 21. Особенно это просто сделать слева, поскольку показатели и обеих степеней одинаковые:

\[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{\left(7\cdot 3 \right)}^{x+6}}={{21}^{x+6}}; \\& {{21}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end{align}\]

Вот и всё! Вы вынесли показатель степени за пределы произведения и сразу получили красивое уравнение, которое решается в пару строчек.

Теперь разберёмся со вторым уравнением. Тут всё намного сложнее:

\[{{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09\]

\[{{100}^{x-1}}\cdot {{\left(\frac{27}{10} \right)}^{1-x}}=\frac{9}{100}\]

В данном случае дроби получились несократимыми, но если бы что-то можно было сократить — обязательно сокращайте. Зачастую при этом появятся интересные основания, с которыми уже можно работать.

У нас же, к сожалению, ничего особо не появилось. Зато мы видим, что показатели степеней, стоящий в произведении слева, противоположны:

Напомню: чтобы избавиться от знака «минус» в показателе, достаточно просто «перевернуть» дробь. Что ж, перепишем исходное уравнение:

\[\begin{align}& {{100}^{x-1}}\cdot {{\left(\frac{10}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}; \\& {{\left(100\cdot \frac{10}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}; \\& {{\left(\frac{1000}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}. \\\end{align}\]

Во второй строчке мы просто вынесли общий показатель из произведения за скобку по правилу ${{a}^{x}}\cdot {{b}^{x}}={{\left(a\cdot b \right)}^{x}}$, а в последней просто умножили число 100 на дробь.

Теперь заметим, что числа, стоящие слева (в основании) и справа, чем-то похожи. Чем? Да очевидно же: они являются степенями одного и того же числа! Имеем:

\[\begin{align}& \frac{1000}{27}=\frac{{{10}^{3}}}{{{3}^{3}}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3}}; \\& \frac{9}{100}=\frac{{{3}^{2}}}{{{10}^{3}}}={{\left(\frac{3}{10} \right)}^{2}}. \\\end{align}\]

Таким образом, наше уравнение перепишется следующим образом:

\[{{\left({{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3}} \right)}^{x-1}}={{\left(\frac{3}{10} \right)}^{2}}\]

\[{{\left({{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3}} \right)}^{x-1}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3\left(x-1 \right)}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3x-3}}\]

При этом справа тоже можно получить степень с таким же основанием, для чего достаточно просто «перевернуть» дробь:

\[{{\left(\frac{3}{10} \right)}^{2}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{-2}}\]

Окончательно наше уравнение примет вид:

\[\begin{align}& {{\left(\frac{10}{3} \right)}^{3x-3}}={{\left(\frac{10}{3} \right)}^{-2}}; \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac{1}{3}. \\\end{align}\]

Вот и всё решение. Основная его идея сводится к тому, что даже при разных основаниях мы пытаемся любыми правдами и неправдами свести эти основания к одному и тому же. В этом нам помогают элементарные преобразования уравнений и правила работы со степенями.

Но какие правила и когда использовать? Как понять, что в одном уравнении нужно делить обе стороны на что-то, а в другом — раскладывать основание показательной функции на множители?

Ответ на этот вопрос придёт с опытом. Попробуйте свои силы сначала на простых уравнениях, а затем постепенно усложняйте задачи — и очень скоро ваших навыков будет достаточно, чтобы решить любое показательное уравнение из того же ЕГЭ или любой самостоятельной/контрольной работы.

А чтобы помочь вам в этом нелёгком деле, предлагаю скачать на моём сайте комплект уравнений для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям есть ответы, поэтому вы всегда сможете себя проверить.

белгородский государственный университет

КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии

Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Дипломная работа студента физико-математического факультета

Научный руководитель:

______________________________

Рецензент: _______________________________

________________________

Белгород. 2006 г.

Введение			3
Тема I.	Анализ литературы по теме исследования.
Тема II.	Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
	I.1.	Степенная функция и ее свойства.
	I.2.	Показательная функция и ее свойства.
Тема III.	Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Тема IV.	Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Тема V.	Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
V. 1.	Обучающий материал.
V. 2.	Задачи для самостоятельного решения.
Заключение.	Выводы и предложения.
Список используемой литературы.
Приложения

Введение.

«…радость видеть и понимать…»

А.Эйнштейн.

В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию - человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.

Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со­стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой

Мне довелось решать множество методических задач. Я попы­таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше - не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ­ляются новые вопросы.

Но еще важнее самого опыта - учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?

И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи­терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда - с необходи­мостью - и учитель.

В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.

В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.

Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.

Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.

Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.

Таким образом тема , моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

Целями настоящей работы являются:

1. Проанализировать литературу по данной теме.

2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.

4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.

Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:

1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».

В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.

План дипломной работы:

Введение.

Глава I. Анализ литературы по теме исследования.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

II.2. Показательная функция и ее свойства.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.

1.Обучающий материал.

2.Задачи для самостоятельного решения.

Заключение. Выводы и предложения.

Список использованной литературы.

В I главе проанализирована литература

Так называются уравнения вида, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и

а(х) g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

а(х) = О f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

а(х) = 1 . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

а(х) = -1 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.

Пример №1.

1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3 2 > 0, то x 1 = 3 - это решение.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x 2 , x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -верно это решение x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - верно это решение x 5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример №2.

По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 0 0 это не решение.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.

Примеры:

\(4^x=32\)
\(5^{2x-1}-5^{2x-3}=4,8\)
\((\sqrt{7})^{2x+2}-50\cdot(\sqrt{7})^{x}+7=0\)

Как решать показательные уравнения

При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:

\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Например: \(2^{x+1}=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
- число в слева и справа должно быть одинаковым;
- степени слева и справа должны быть «чистыми» , то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д.

Например:

Для привидения уравнения к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) применяются и .

Пример . Решить показательное уравнение \(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)
Решение:

\(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)		Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение.
\(\sqrt{3^3}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)		По свойству корня \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((a^b)^c=a^{bc}\), получаем \({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\).
\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\)		Также мы знаем, что \(a^b·a^c=a^{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\).
\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\)		Теперь вспомним, что: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\).
\(3^{x+0,5}=(3^{-1})^{2x}\)		Применив свойство \((a^b)^c=a^{bc}\) к правой части, получим: \((3^{-1})^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\).
\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\)		И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход.
		Пример . Решить показательное уравнение \(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\) Решение: \(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\) Вновь пользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^{b+c}\) в обратном направлении. \(4^x·4^{0,5}-5·2^x+2=0\) Теперь вспоминаем, что \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^{0,5}-5·2^x+2=0\) Используя свойства степени, преобразовываем: \((2^2)^x=2^{2x}=2^{x·2}=(2^x)^2\) \((2^2)^{0,5}=2^{2·0,5}=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена \(t=2^x\). \(t_1=2\) \(t_2=\frac{1}{2}\) Однако мы нашли значения \(t\), а нам нужны \(x\). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену. \(2^x=2\) \(2^x=\frac{1}{2}\) Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^{-1}\) …и дорешиваем до ответа. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Ответ : \(-1; 1\). Остается вопрос - как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования. Показательные уравнения, не имеющие решений Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников: - положительное число в степени равно нулю, например, \(2^x=0\); - положительное число в степени равно отрицательному числу, например, \(2^x=-4\). Давайте попробуем решить перебором. Если икс - положительное число, то с ростом икса вся степень \(2^x\) будет только расти: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), проверяем: \(x=-1\); \(2^{-1}=\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2}\) \(x=-2\); \(2^{-2}=\frac{1}{2^2} =\frac{1}{4}\) \(x=-3\); \(2^{-3}=\frac{1}{2^3} =\frac{1}{8}\) Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу: Положительное число в любой степени останется положительным числом. Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений. Показательные уравнения с разными основаниями В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^{f(x)}=b^{f(x)}\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа. Например: \(7^{x}=11^{x}\) \(5^{x+2}=3^{x+2}\) \(15^{2x-1}=(\frac{1}{7})^{2x-1}\) Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^{f(x)}\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем: \(\frac{a^{f(x)}}{b^{f(x)}}\) \(=1\) Пример . Решить показательное уравнение \(5^{x+7}=3^{x+7}\) Решение: \(5^{x+7}=3^{x+7}\) Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования ). А значит мы не можем прийти к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\). При этом показатели одинаковы. Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на \(3^{x+7}\) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем). \(\frac{5^{x+7}}{3^{x+7}}\) \(=\)\(\frac{3^{x+7}}{3^{x+7}}\) Теперь вспоминаем свойство \((\frac{a}{b})^c=\frac{a^c}{b^c}\) и используем его слева в обратном направлении. Справа же просто сокращаем дробь. \((\frac{5}{3})^{x+7}\) \(=1\) Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: \(a^0=1\), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно \(1\)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева. \((\frac{5}{3})^{x+7}\) \(=\) \((\frac{5}{3})^0\) Вуаля! Избавляемся от оснований. Пишем ответ. Ответ : \(-7\). Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос. Пример . Решить показательное уравнение \(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\) Решение: \(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\) Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна \(\frac{1}{3}\)), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени двойку. \(7^{ 2(x-2)}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\) Помня свойство \((a^b)^c=a^{b·c}\) , преобразовываем слева: \(7^{2(x-2)}=7^{2·(x-2)}=(7^2)^{x-2}=49^{x-2}\). \(49^{x-2}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\) Теперь, вспоминая свойство отрицательной степени \(a^{-n}=\frac{1}{a}^n\), преобразовываем справа: \((\frac{1}{3})^{-x+2}=(3^{-1})^{-x+2}=3^{-1(-x+2)}=3^{x-2}\) \(49^{x-2}=3^{x-2}\) Аллилуйя! Показатели стали одинаковы! Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа. Ответ : \(2\).