Расстояние от точки до плоскости. Подробная теория с примерами. Калькулятор онлайн.Вычисление расстояния от точки до плоскости
Определение расстояния между: 1 - точкой и плоскостью; 2 - прямой и плоскостью; 3 - плоскостями; 4 - скрещивающимися прямыми рассматривается совместно, так как алгоритм решения для всех этих задач по существу одинаков и состоит из геометрических построений, которые нужно выполнить для определения расстояния между заданными точкой А и плоскостью α. Если и есть какое-то различие, то оно состоит лишь в том, что в случаях 2 и 3 прежде чем приступить к решению задачи, следует на прямой m (случай 2) или плоскости β (случай 3) отметить произвольную точку А. При определении расстояния между скрещивающимися прямыми предварительно заключаем их в параллельные плоскости α и β с последующим определением расстояния между этими плоскостями.
Рассмотрим каждый из отмеченных случаев решения задач.
1. Определение расстояния между точкой и плоскостью.
Расстояние от точки до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Поэтому решение этой задачи состоит из последовательного выполнения следующих графических операций:
1) из точки А опускаем перпендикуляра на плоскость α (рис. 269);
2) находим точку М пересечения этого перпендикуляра с плоскостью М = а ∩ α;
3) определяем длину отрезка .
Если плоскость α общего положения, то для того чтобы опустить на эту плоскость перпендикуляр, необходимо предварительно определить направление проекций горизонтали и фронтали этой плоскости. Нахождение точки встречи этого перпендикуляра с плоскостью также требует выполнения дополнительных геометрических построений.
Решение задачи упрощается, если плоскость α занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае и проведение проекций перпендикуляра, и нахождение точки его встречи с плоскостью осуществляется без каких-либо дополнительных вспомогательных построений.
ПРИМЕР 1. Определить расстояние от точки А до фронтально проецирующей плоскости α (рис. 270).
РЕШЕНИЕ. Через А" проводим горизонтальную проекцию перпендикуляра l" ⊥ h 0α , а через А" - его фронтальную проекцию l" ⊥ f 0α . Отмечаем точку M" = l" ∩ f 0α . Так как AM || π 2 , то [А" М"] == |АМ| = d.
Из рассмотренного примера видно, насколько просто решается задача, когда плоскость занимает проецирующее положение. Поэтому, если в исходных данных будет задана плоскость общего положения, то, прежде чем приступить к решению, следует перевести плоскость в положение, перпендикулярное к какой-либо плоскости проекции.
ПРИМЕР 2. Определить расстояние от точки К до плоскости, заданной ΔАВС (рис. 271).
1. Переводим плоскость ΔАВС в проецирующее положение *. Для этого переходим от системы xπ 2 /π 1 к x 1 π 3 /π 1: направление новой оси х 1 выбирается перпендикулярным к горизонтальной проекции горизонтали плоскости треугольника.
2. Проецируем ΔАВС на новую плоскость π 3 (плоскость ΔАВС спроецируется на π 3 , в [ С" 1 В" 1 ]).
3. Проецируем на ту же плоскость точку К (К" → К" 1).
4. Через точку К" 1 проводим (К" 1 М" 1)⊥ отрезку [С" 1 В" 1 ]. Искомое расстояние d = |K" 1 M" 1 | .
Решение задачи упрощается, если плоскость задана следами, так как отпадает необходимость в проведении проекций линий уровня.
ПРИМЕР 3. Определить расстояние от точки К до плоскости α, заданной следами (рис. 272) .
* Наиболее рациональным путем перевода плоскости треугольника в проецирующее положение является способ замены плоскостей проекций, так как в этом случае достаточно построить только одну вспомогательную проекцию.
РЕШЕНИЕ. Заменяем плоскость π 1 плоскостью π 3 , для этого проводим новую ось x 1 ⊥ f 0α . На h 0α отмечаем произвольную точку 1" и определяем ее новую горизонтальную проекцию на плоскости π 3 (1" 1). Через точки X α 1 (Х α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) и 1" 1 проводим h 0α 1 . Определяем новую горизонтальную проекцию точки К → К" 1 . Из точки К" 1 опускаем перпендикуляр на h 0α 1 и отмечаем точку его пересечения с h 0α 1 - М" 1 . Длина отрезка K" 1 M" 1 укажет искомое расстояние.
2. Определение расстояния между прямой и плоскостью.
Расстояние между прямой и плоскостью определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на плоскость (см. рис. 248).
Поэтому решение задачи по определению расстояния между прямой m и плоскостью α ничем не отличается от рассмотренных в п. 1 примеров на определение расстояния между точкой и плоскостью (см. рис. 270 ... 272). В качестве точки можно брать любую точку, принадлежащую прямой m.
3.Определение расстояния между плоскостями.
Расстояние между плоскостями определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной плоскости, на другую плоскость.
Из этого определения вытекает, что алгоритм решения задачи по нахождению расстояния между плоскостями α и β отличается от аналогичного алгоритма решения задачи по определению расстояния между прямой m и плоскостью α лишь тем, что прямая m должна принадлежать плоскости α, т. е., чтобы определить расстояние между плоскостями α и β, следует:
1) взять в плоскости α прямую m;
2) выделить на прямой m произвольную точку А;
3) из точки А опустить перпендикуляр l на плоскость β;
4) определить точку М - точку встречи перпендикуляра l с плоскостью β;
5) определить величину отрезка .
На практике целесообразно пользоваться другим алгоритмом решения, который будет отличаться от приведенного лишь тем, что, прежде чем приступить к выполнению первого пункта, следует перевести плоскости в проецирующее положение.
Включение в алгоритм этой дополнительной операции упрощает выполнение всех без исключения остальных пунктов, что, в конечном счете, приводит к более простому решению.
ПРИМЕР 1. Определить расстояние между плоскостями α и β (рис. 273).
РЕШЕНИЕ. Переходим от системы xπ 2 /π 1 к x 1 π 1 /π 3 . По отношению к новой плоскости π 3 плоскости α и β занимают проецирующее положение, поэтому расстояние между новыми фронтальными,следами f 0α 1 и f 0β 1 является искомым.
В инженерной практике часто приходится решать задачу на построение плоскости, параллельной данной и удаленной от нее на заданное расстояние. Приведенный ниже пример 2 иллюстрирует решение такой задачи.
ПРИМЕР 2. Требуется построить проекции плоскости β, параллельной данной плоскости α (m || n), если известно, что расстояние между ними равно d (рис. 274).
1. В плоскости α проводим произвольные горизонталь h (1, 3) и фронталь f (1,2).
2. Из точки 1 восставляем перпендикуляр l к плоскости α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").
3. На перпендикуляре l отмечаем произвольную точку А.
4. Определяем длину отрезка - (положение указывает на эпюре метрически неискаженное направление прямой l).
5. Откладываем на прямой (1"А 0) от точки 1" отрезок = d.
6. Отмечаем на проекциях l" и l" точки В" и В", соответствующие точке В 0 .
7. Через точку В проводим плоскость β (h 1 ∩ f 1). Чтобы β || α, необходимо coблюдать условие h 1 || h и f 1 || f.
4. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые.
Для того чтобы через скрещивающиеся прямые m и f провести взаимно параллельные плоскости α и β, достаточно через точку А (А ∈ m) провести прямую р, параллельную прямой f, а через точку В (В ∈ f) - прямую k, параллельную прямой m. Пересекающиеся прямые m и р, f и k определяют взаимно параллельные плоскости α и β (см. рис. 248, е). Расстояние между плоскостями α и β равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми m и f.
Можно предложить и другой путь для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, который состоит в том, что с помощью какого-либо способа преобразования ортогональных проекций одна из скрещивающихся прямых переводится в проецирующее положение. В этом случае одна проекция прямой вырождается в точку. Расстояние между новыми проекциями скрещивающихся прямых (точкой A" 2 и отрезком C" 2 D" 2) является искомым.
На рис. 275 приведено решение задачи на определение расстояния между скрещивающимися прямыми а и b, заданными отрезками [АВ] и [ CD]. Решение выполняют в следующей последовательности:
1. Переводят одну из скрещивающихся прямых (а) в положение, параллельное плоскости π 3 ; для этого переходят от системы плоскостей проекции xπ 2 /π 1 к новой x 1 π 1 /π 3 , ось x 1 проводят параллельно горизонтальной проекции прямой а. Определяют а" 1 [А" 1 В" 1 ] и b" 1 .
2. Путем замены плоскости π 1 плоскостью π 4 переводят прямую
а в положение а" 2 , перпендикулярное плоскости π 4 (новую ось х 2 проводят перпендикулярно а" 1).
3. Строят новую горизонтальную проекцию прямой b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].
4. Расстояние от точки А" 2 до прямой C" 2 D" 2 (отрезок (А" 2 М" 2 ] (является искомым.
Следует иметь в виду, что перевод одной из скрещивающихся прямых в проецирующее положение является ничем иным, как переводом плоскостей параллелизма, в которые можно заключить прямые а и b, также в проецирующее положение.
В самом деле, переведя прямую а в положение, перпендикулярное плоскости π 4 , мы обеспечиваем перпендикулярность любой плоскости, содержащей прямую а, плоскости π 4 , в том числе и плоскости α, определяемой прямыми а и m (а ∩ m, m || b). Если мы теперь проведем прямую n, параллельную а и пересекающую прямую b, то мы получим плоскость β, являющуюся второй плоскостью параллелизма, в которую заключены скрещивающиеся прямые а и b. Так как β || α, то и β ⊥ π 4 .
Тип задания: 14
Условие
В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 6\sqrt{3}, а высота пирамиды равна 8 . На ребрах AB , AC и AD соответственно отмечены точки M , N и K , такие, что AM=AN=\frac{3\sqrt{3}}{2} и AK=\frac{5}{2}.
а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC .
Показать решениеРешение
а) Плоскости MNK и DBC параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Докажем это. Рассмотрим прямые MN и KM плоскости MNK и прямые BC и DB плоскости DBC.
В треугольнике AOD : \angle AOD = 90^\circ и по теореме Пифагора AD=\sqrt{DO^2 +AO^2}.
Найдём AO , используя то, что \bigtriangleup ABC правильный.
AO=\frac{2}{3}AO_1, где AO_1 — высота \bigtriangleup ABC, AO_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}, где a — сторона \bigtriangleup ABC.
AO_1 = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}=9, тогда AO=6, AD=\sqrt{8^2 + 6^2}=10.
1. Так как \frac{AK}{AD}=\frac{5}{2} : 10=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{2} : 6\sqrt{3}=\frac{1}{4} и \angle DAB — общий, то \bigtriangleup AKM \sim ADB.
Из подобия следует, что \angle AKM = \angle ADB. Это соответственные углы при прямых KM и BD и секущей AD . Значит KM \parallel BD.
2. Так как \frac{AN}{AC}=\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 6 \sqrt{3}}=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4} и \angle CAB — общий, то \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.
Из подобия следует, что \angle ANM = \angle ACB. Эти углы соответственные при прямых MN и BC и секущей AC . Значит, MN \parallel BC.
Вывод: так как две пересекающиеся прямые KM и MN плоскости MNK соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BD и BC плоскости DBC , то эти плоскости параллельны — MNK \parallel DBC.
б) Найдём расстояние от точки K до плоскости BDC .
Поскольку плоскость MNK параллельна плоскости DBC , то расстояние от точки K до плоскости DBC равно расстоянию от точки O_2 до плоскости DBC и оно равно длине отрезка O_2 H. Докажем это.
BC \perp AO_1 и BC \perp DO_1 (как высоты треугольников ABC и DBC ), значит, BC перпендикулярна плоскости ADO_1, и тогда BC перпендикулярна любой прямой этой плоскости, например, O_2 H. По построению O_2H\perp DO_1, значит, O_2H перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BCD , и тогда отрезок O_2 H перпендикулярен плоскости BCD и равен расстоянию от O_2 до плоскости BCD .
В треугольнике O_2HO_1:O_2H=O_{2}O_{1}\sin\angle HO_{1}O_{2}.
O_{2}O_{1}=AO_{1}-AO_{2}.\, \frac{AO_2}{AO_1}=\frac{1}{4}, AO_{2}=\frac{AO_1}{4}=\frac{9}{4}.
O_{2}O_{1}=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}.
\sin \angle DO_{1}A= \frac{DO}{DO_{1}}= \frac{8}{\sqrt{64+3^2}}= \frac{8}{\sqrt{73}}.
O_2H=\frac{27}{4} \cdot \frac{8}{\sqrt{73}}=\frac{54}{\sqrt{73}}.
Ответ
\frac{54}{\sqrt{73}}
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 14
Тема:
Расстояние от точки до плоскости
Условие
ABCDA_1B_1C_1D_1 — правильная четырехугольная призма.
а) Докажите, что плоскость BB_1D_1 \perp AD_1C .
б) Зная AB = 5 и AA_1 = 6 найдите расстояние от точки B_1 до плоскости AD_1C .
Показать решениеРешение
а) Так как данная призма правильная, то BB_1 \perp ABCD , отсюда BB_1 \perp AC . Поскольку ABCD — квадрат, то AC \perp BD . Таким образом, AC \perp BD и AC \perp BB_1 . Так как прямые BD и BB_1 пересекаются, то, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, AC \perp BB_1D_1D . Теперь по признаку перпендикулярности плоскостей AD_1C \perp BB_1D_1 .
б) Обозначим через О точку пересечения диагоналей AC и BD квадрата ABCD . Плоскости AD_1C и BB_1D_1 пересекаются по прямой OD_1 . Пусть B_1H — перпендикуляр, проведенный в плоскости BB_1D_1 к прямой OD_1 . Тогда B_1H \perp AD_1C . Пусть E=OD_1 \cap BB_1 . Для подобных треугольников D_1B_1E и OBE (равенство соответствующих углов следует из условия BO \parallel B_1D_1 ) имеем \frac {B_1E}{BE}=\frac{B_1D_1}{BO}=\frac{2}1 .
Значит, B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Так как B_1D_1=5\sqrt{2} , то гипотенуза D_1E= \sqrt{B_1E^{2}+B_1D_1^{2}}= \sqrt{12^{2}+(5\sqrt{2})^{2}}= \sqrt{194}. Далее применяем метод площадей в треугольнике D_1B_1E для вычисления высоты B_1H , опущенной на гипотенузу D_1E :
S_{D_1B_1E}=\frac1{2}B_1E \cdot B_1D_1=\frac1{2}D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt{2}=\sqrt{194} \cdot B_1H;
B_1H=\frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{194}}=\frac{60}{\sqrt{97}}=\frac{60\sqrt{97}}{97} .
Ответ
\frac{60\sqrt{97}}{97}
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 14
Тема:
Расстояние от точки до плоскости
Условие
ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед. Ребра AB=24, BC=7, BB_{1}=4 .
а) Докажите, что расстояние от точек B и D до плоскости ACD_{1} одинаковы.
б) Найдите это расстояние.
Показать решениеРешение
а) Рассмотрим треугольную пирамиду D_1ACD .
В данной пирамиде расстояние от точки D до плоскости основания ACD_1-DH — равно высоте пирамиды, проведенной из точки D , к основанию ACD_1 .
V_{D_1ABC}=\frac1{3}S_{ACD_1} \cdot DH , из этого равенства получаем
DH=\frac{3V_{D_1ACD}}{S_{ACD_1}} .
Рассмотрим пирамиду D_1ABC . Расстояние от точки B до плоскости ACD_1 равно высоте, опущенной из вершины B к основанию ACD_1 . Обозначим это расстояние BK . Тогда V_{D_1ABC}=\frac1{3}S_{ACD_1} \cdot BK , из этого получаем BK=\frac{3V_{D_1ABC}}{S_{ACD_1}}.\: Но V_{D_1ACD} = V_{D_1ABC} , так как, если считать в пирамидах основаниямиADC и ABC , то высота D_1D общая и S_{ADC}=S_{ABC} (\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC по двум катетам). Значит, BK=DH .
б) Найдем объем пирамиды D_1ACD .
Высота D_1D=4 .
S_{ACD}=\frac1{2}AD \cdot DC=\frac1{2} \cdot24 \cdot 7=84.
V=\frac1{3}S_{ACD} \cdot D_1D=\frac1{3} \cdot84 \cdot4=112 .
Площадь грани ACD_1 равна \frac1{2}AC \cdot D_1P.
AD_1= \sqrt{AD^{2}+DD_1^{2}}= \sqrt{7^{2}+4^{2}}= \sqrt{65}, \: AC= \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}= \sqrt{24^{2}+7^{2}}= 25
Зная, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла, в треугольнике ADC имеем AD^{2}=AC \cdot AP, \: AP=\frac{AD^{2}}{AC}=\frac{7^{2}}{25}=\frac{49}{25}.
В прямоугольном треугольнике AD_1P по теореме Пифагора D_1P^{2}= AD_1^{2}-AP^{2}= 65-\left (\frac{49}{25} \right)^{2}= \frac{38\:224}{25^{2}}, D_1P=\frac{4\sqrt{2\:389}}{25}.
S_{ACD_1}=\frac1{2} \cdot25 \cdot\frac{4\sqrt{2\:389}}{25}=2\sqrt{2\:389} .
DH=\frac{3V}{S_{ACD_1}}=\frac{3 \cdot112}{2\sqrt{2\:389}}=\frac{168}{\sqrt{2\:389}} .
Инструкция
Для нахождения расстояния от точки до плоскости методами начертательной : выберите на плоскости произвольную точку; проведите через нее две прямые (лежащие в этой плоскости ); восстановите перпендикуляр к плоскости , проходящий через эту точку (постройте прямую, перпендикулярную одновременно обеим пересекающимся прямым); проведите через заданную точку прямую параллельную, построенному перпендикуляру; найдите расстояние между точкой пересечения этой прямой с плоскостью и заданной точкой.
Если положение точки задано ее трехмерными координатами, а положение плоскости – линейным уравнением, то, чтобы найти расстояние от плоскости до точки , воспользуйтесь методами аналитической геометрии: обозначьте координаты точки через x, y, z, соответственно (х – абсцисса, y – ордината, z – аппликата); обозначьте через А, В, С, D уравнения плоскости (А – параметр при абсциссе, В – при , С – при аппликате, D – свободный член); вычислите расстояние от точки до плоскости по формуле:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,где s – оасстояние между точкой и плоскостью,|| - абсолютного значения (или модуля) .
Пример.Найдите расстояние между точкой А с координатами (2, 3, -1) и плоскостью, заданной уравнением: 7х-6у-6z+20=0.Решение.Из условий следует, что:х=2,у=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20.Подставьте эти значения в вышеприведенную .Получится:s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Ответ:Расстояние от точки до плоскости равно 2 (условным единицам).
Совет 2: Как определить расстояние от точки до плоскости
Определение расстояния от точки до плоскости - одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как известно, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости . Поэтому длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости .
Вам понадобится
- уравнение плоскости
Инструкция
Пусть первая из параллельных f1 задана уравнением y=kx+b1. Переведя выражение в общий вид, у вас получится kx-y+b1=0, то есть A=k, B=-1. Нормалью к ней будет n={k, -1}.
Теперь следует произвольную абсциссу точки х1 на f1. Тогда ее ордината y1=kx1+b1.
Пусть уравнение второй из параллельных прямых f2 будет иметь вид:
у=kx+b2 (1),
где k одинаково для обеих прямых, в силу их параллельности.
Далее вам необходимо составить каноническое уравнение линии перпендикулярной как f2, так и f1, содержащей точку М (x1, y1). При этом полагают, что х0=х1, y0=y1, S={k, -1}. В результате у вас должно получится следующее равенство:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).
Решив систему уравнений, состоящую из выражений (1) и (2), вы найдете вторую точку, определяющую искомое расстояние между параллельными N(x2, y2). Само искомое расстояние будет равно d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.
Пример. Пусть уравнения заданных параллельных прямых на плоскости f1 – у=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Берем произвольную точку х1=1 на f1. Тогда y1=3. Первая точка, таким образом будет иметь координаты M (1,3). Уравнение общего перпендикуляра (3):
(х-1)/2 = -y+3 или y=-(1/2)x+5/2.
Подставив это значение y в (1), получить:
-(1/2)x+5/2=2х+5, (5/2)х=-5/2, х2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2=3.
Второе основание перпендикуляра в точке с координатами N (-1, 3). Расстояние между параллельными прямыми составит:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.
Источники:
- Развитие легкой атлетики в России
Вершина любой плоской или объемной геометрической фигуры однозначно определяется своими координатами в пространстве. Точно так же может быть однозначно определена и любая произвольная точка в той же системе координат, а это дает возможность вычислить расстояние между этой произвольной точкой и вершиной фигуры.
Вам понадобится
- - бумага;
- - ручка или карандаш;
- - калькулятор.
Инструкция
Сведите задачу к нахождению длины отрезка между двумя точками, если координаты заданной в задачи точки и вершины геометрической фигуры известны. Эту длину можно вычислить, воспользовавшись теоремой Пифагора применительно к проекциям отрезка на оси координат - она будет равна квадратному корню из суммы квадратов длин всех проекций. Например, пусть в трехмерной системе координат заданы точка A(X₁;Y₁;Z₁) и вершина C фигуры любой геометрической с координатами (X₂;Y₂;Z₂). Тогда длины проекций отрезка между ними на координатные оси можно как X₁-X₂, Y₁-Y₂ и Z₁-Z₂, а длину отрезка - как √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²). Например, если координаты точки A(5;9;1), а вершины C(7;8;10), то расстояние между ними будет равно √((5-7)²+(9-8)²+(1-10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.
Вычислите сначала координаты вершины, если в явном виде в условиях задачи они не представлены. Конкретный способ зависит от типа фигуры и известных дополнительных параметров. Например, если известны трехмерные координаты трех вершин A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) и C(X₃;Y₃;Z₃), то координаты четвертой его вершины (противоположной вершине B) будут (X₃+X₂-X₁; Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). После определения координат недостающей вершины вычисление расстояния между ней и произвольной точкой вновь сведется к определению длины отрезка между двумя этими точками в заданной системе координат - сделайте это тем же способом, который был описан в предыдущем шаге. Например, для вершины описанного в этом шаге параллелограмма и точки E с координатами (X₄;Y₄;Z₄) формулу вычисления расстояния из предыдущего шага можно так: √((X₃+X₂-X₁-X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁-Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).
Для практических расчетов можно использовать, например, встроенный в поисковую систему Google . Так, чтобы вычислить значение по формуле, полученной на предыдущем шаге, для точек с координатами A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7;9;2), введите такой поисковый запрос: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Поисковик рассчитает и отобразит результат вычислений (5,19615242).
Видео по теме
Восстановление перпендикуляра к плоскости – одна из важных задач в геометрии, она лежит в основе многих теорем и доказательств. Чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости , нужно последовательно выполнить несколько действий.
Вам понадобится
- - заданная плоскость;
- - точка, из которой требуется провести перпендикуляр;
- - циркуль;
- - линейка;
- - карандаш.
Любая плоскость в декартовой системе координат может быть задана уравнением `Ax + By + Cz + D = 0`, где хотя бы одно из чисел `А`, `В`, `С` отлично от нуля. Пусть дана точка `M (x_0;y_0;z_0)`, найдём расстояние от неё до плоскости `Ax + By + Cz + D = 0`.
Пусть прямая, проходящая через точку `M` перпендикулярно плоскости `alpha`, пересекает её в точке `K` с координатами `(x; y; z)`. Вектор `vec(MK)` перпендикулярен плоскости `alpha`, как и вектор `vecn` `(A;B;C)`, т. е. векторы `vec(MK)` и `vecn` коллинеарны, `vec(MK)= λvecn`.
Так как `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` и `vecn(A,B,C)`, то `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.
Точка `K` лежит в плоскости `alpha` (рис. 6), её координаты удовлетворяют урав-нению плоскости. Подставляем `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` в уравнение `Ax+By+Cz+D=0`, получаем
`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,
откуда `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.
Находим длину вектора `vec(MK)`, которая и равна расстоянию от точки `M(x_0;y_0;z_0)` до плоскости `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.
Итак, расстояние `h` от точки `M(x_0;y_0;z_0)` до плоскости `Ax + By + Cz + D = 0` таково
`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.
При геометрическом способе нахождения расстояния от точки `A` до плоскости `alpha` находят основание перпендикуляра `A A^"`, опущенного из точки `A` на плоскость `alpha`. Если точка `A^"` находится вне участка плоскости `alpha`, указанного в задаче, то через точку `A` проводят прямую `c`, параллельную плоскости `alpha`, и выбирают на ней более удобную точку `C`, ортогональная проекция которой `C^"` принадлежит данному участку плоскости `alpha`. Длина отрезка `C C^"` будет равна искомому расстоянию от точки `A` до плоскости `alpha` .
В правильной шестиугольной призме `A...F_1`, все рёбра которой равны `1`, найти расстояние от точки `B` до плоскости `AF F_1`.
Пусть `O` - центр нижнего основания призмы (рис. 7). Прямая `BO` параллельна прямой `AF` и, следовательно, расстояние от точки `B` до плоскости `AF F_1` равно расстоянию `OH` от точки `O` до плоскости `AF F_1`. В треугольнике `AOF` имеем `AO=OF=AF=1`. Высота `OH` этого треугольника равна `(sqrt3)/2`. Следовательно, искомое расстояние равно `(sqrt3)/2`.
Укажем ещё один способ (метод вспомогательного объёма) нахождения расстояния от точки до плоскости. Известно, что объём пирамиды `V`, площадь её основания `S` и длина высоты `h` связаны формулой `h=(3V)/S`. Но длина высоты пирамиды есть не что иное, как расстояние от её вершины до плоскости основания. Следовательно, для вычисления расстояния от точки до плоскости достаточно найти объём и площадь основания какой-нибудь пирамиды с вершиной в этой точке и с основанием, лежащим в данной плоскости.
Дана правильная призма `A...D_1`, в которой `AB=a`, `A A_1=2a`. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей основания `A_1B_1C_1D_1` до плоскости `BDC_1`.
Рассмотрим тетраэдр `O_1DBC_1` (рис. 8). Искомое расстояние `h` есть длина высоты этого тетраэдра, опущенной из точки `O_1` на плоскость грани `BDC_1` . Для её нахождения достаточно знать объём `V` тетраэдра `O_1DBC_1` и площадь треугольника `DBC_1` . Вычислим их. Заметим, что прямая `O_1C_1` перпендикулярна плоскости `O_1DB` , т. к. она перпендикулярна `BD` и `B B_1` . Значит, объём тетраэдра `O_1DBC_1` равен
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели:
- обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
- развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.
Оборудование:
- мультимедийный проектор;
- компьютер;
- листы с текстами задач
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент
II. Этап актуализации знаний (слайд 2)
Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости
III. Лекция (cлайды 3-15)
На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.
Первый метод: поэтапно-вычислительный
Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на прямой a,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на плоскости β,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α.
Решим следующие задачи:
№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.
Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.
№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .
Следующий метод: метод объемов .
Если объем пирамиды АВСМ равен V, то
расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство
объемов одной фигуры, выраженные двумя
различными способами.
Решим следующую задачу:
№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.
При решении задач координатным методом
расстояние от точки М до плоскости α можно
вычислить по формуле ρ(М; α) = 
, где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а
плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0
Решим следующую задачу:
№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .
Введем систему координат с началом в точке А,
ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z
– по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В
(0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через
точки В, D, C 1 .
Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1=
0. Следовательно, ρ = 
Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.
Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.
Решим следующую задачу:
№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.
Рассмотрим применение векторного метода.
№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .
Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.
IV. Работа в группах
Попробуйте решить задачу разными способами.
№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .
№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC
№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .
№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.
V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия
