الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى: التعريف، أمثلة على النتائج. الزاوية بين الخط والمستوى. الدليل المرئي (2019)
الزاوية بين المستويات
لنفكر في طائرتين α 1 و α 2 معطى على التوالي بواسطة المعادلتين:
تحت ركنبين طائرتين سوف نفهم واحدة منهما زوايا ثنائي السطوحالتي تشكلها هذه الطائرات. ومن الواضح أن الزاوية بين المتجهات العادية والطائرات α 1 و α 2 تساوي إحدى زوايا ثنائي السطوح المجاورة المشار إليها أو 
. لهذا 
. لأن 
و 
، الذي - التي
.
مثال.تحديد الزاوية بين الطائرات س+2ذ-3ض+4=0 و 2 س+3ذ+ض+8=0.
حالة التوازي بين طائرتين.
يكون المستويان α 1 و α 2 متوازيين إذا وفقط إذا كان متجهاهما الطبيعيين متوازيين، وبالتالي 
.
لذلك، يكون المستويان متوازيين مع بعضهما البعض إذا وفقط إذا كانت المعاملات عند الإحداثيات المقابلة متناسبة:
أو
حالة عمودي الطائرات.
من الواضح أن المستويين يكونان متعامدين إذا وفقط إذا كانت متجهاتهما العمودية متعامدة، وبالتالي، أو .
هكذا، .
أمثلة.
مباشرة في الفضاء.
معادلة المتجهات مباشرة.
المعادلات البارامترية مباشرة
يتم تحديد موضع الخط المستقيم في الفضاء بشكل كامل عن طريق تحديد أي نقطة من نقاطه الثابتة م 1 ومتجه موازي لهذا الخط.
يسمى المتجه الموازي لخط مستقيم توجيهناقل هذا الخط.
لذلك دع المستقيم ليمر عبر نقطة م 1 (س 1 , ذ 1 , ض 1) الاستلقاء على خط مستقيم موازي للمتجه .
النظر في نقطة تعسفية م (س، ص، ض)على خط مستقيم. ويمكن ملاحظة ذلك من الشكل.
المتجهات و على خط واحد، لذلك هناك مثل هذا العدد رماذا وأين المضاعف ريمكن أن تأخذ أي قيمة رقمية حسب موضع النقطة معلى خط مستقيم. عامل رتسمى المعلمة. للدلالة على ناقلات نصف القطر من النقاط م 1 و معلى التوالي، من خلال و ، نحصل على . تسمى هذه المعادلة المتجهمعادلة الخط المستقيم. ويظهر أن كل قيمة المعلمة ريتوافق مع ناقل نصف القطر لنقطة ما مملقاة على خط مستقيم.
نكتب هذه المعادلة على الصورة الإحداثية. لاحظ ذلك، وبالتالي
تسمى المعادلات الناتجة حدوديمعادلات الخط المستقيم.
عند تغيير المعلمة رتغيير الإحداثيات س, ذو ضونقطة ميتحرك في خط مستقيم.
المعادلات الكنسية مباشرة
يترك م 1 (س 1 , ذ 1 , ض 1) - نقطة تقع على خط مستقيم ل، و 
هو متجه الاتجاه. مرة أخرى، خذ نقطة عشوائية على خط مستقيم م (س، ص، ض)والنظر في ناقلات .
ومن الواضح أن المتجهات و على خط واحد، لذلك يجب أن تكون إحداثياتها متناسبة، وبالتالي
– العنوان الأساسيمعادلات الخط المستقيم.
ملاحظة 1.لاحظ أنه يمكن الحصول على المعادلات الأساسية للخط من المعادلات البارامترية عن طريق حذف المعلمة ر. في الواقع، من المعادلات البارامترية نحصل عليها 
أو .
مثال.اكتب معادلة الخط المستقيم 
بطريقة بارامترية.
دل 
، لذلك س = 2 + 3ر, ذ = –1 + 2ر, ض = 1 –ر.
ملاحظة 2.ليكن الخط عموديا على أحد محاور الإحداثيات، كالمحور مثلا ثور. ومن ثم يكون متجه الاتجاه للخط عموديًا ثور، لذلك، م=0. وبالتالي، فإن المعادلات البارامترية للخط المستقيم تأخذ الشكل
حذف المعلمة من المعادلات رنحصل على معادلات الخط المستقيم في الصورة
ومع ذلك، في هذه الحالة أيضًا، نتفق على كتابة المعادلات القانونية للخط المستقيم بشكل رسمي في الصورة 
. وبالتالي، إذا كان مقام أحد الكسور هو صفر، فهذا يعني أن الخط عمودي على محور الإحداثيات المقابل.
وبالمثل، المعادلات الكنسية 
يتوافق مع خط مستقيم عمودي على المحاور ثورو أويأو محور موازي أوز.
أمثلة.
معادلات عامة الخط المباشر كخط تقاطع مستويين
يمر عبر كل خط مستقيم في الفضاء عدد لا نهائي من المستويات. وأي اثنين منهم، متقاطعين، يحددانه في الفضاء. ومن ثم، فإن معادلات أي مستويين من هذا القبيل، عند النظر إليهما معًا، هي معادلات هذا الخط.
وبشكل عام، أي طائرتين غير متوازيتين تعطى بالمعادلات العامة
تحديد خط التقاطع بينهما. تسمى هذه المعادلات معادلات عامةمستقيم.
أمثلة.
أنشئ خطًا مستقيمًا معطى بالمعادلات 
لبناء خط، يكفي العثور على أي نقطتين من نقاطه. أسهل طريقة هي اختيار نقاط تقاطع الخط مع مستويات الإحداثيات. على سبيل المثال، نقطة التقاطع مع الطائرة xOyنحصل عليها من معادلات الخط المستقيم، على افتراض ض= 0:
حل هذا النظام، نجد هذه النقطة م 1 (1;2;0).
وبالمثل، على افتراض ذ= 0 نحصل على نقطة تقاطع الخط مع المستوى xOz:
من المعادلات العامة للخط المستقيم، يمكن الانتقال إلى معادلاته القانونية أو البارامترية. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على نقطة ما م 1 على الخط ومتجه الاتجاه للخط.
إحداثيات النقطة م 1 نحصل عليها من نظام المعادلات هذا، مع إعطاء أحد الإحداثيات قيمة عشوائية. للعثور على متجه الاتجاه، لاحظ أن هذا المتجه يجب أن يكون متعامدًا مع كلا المتجهين العاديين 
و 
. لذلك، بالنسبة لمتجه الاتجاه للخط المستقيم ليمكنك أخذ المنتج المتقاطع للمتجهات العادية:
.
مثال.يقود معادلات عامةمستقيم 
إلى الشكل الكنسي.
العثور على نقطة على خط مستقيم. للقيام بذلك، نختار بشكل عشوائي أحد الإحداثيات، على سبيل المثال، ذ= 0 وحل نظام المعادلات:
المتجهات العادية للطائرات التي تحدد الخط لها إحداثيات 
وبالتالي فإن متجه الاتجاه سيكون مستقيما
. لذلك، ل: 
.
الزاوية بين اليمين
ركنبين السطور في الفضاء سوف نسمي أي من الزوايا المجاورةيتكون من خطين مستقيمين مرسومين عبر نقطة عشوائية موازية للبيانات.
دعونا نعطي خطين مستقيمين في الفضاء:
من الواضح أن الزاوية φ بين الخطوط يمكن اعتبارها الزاوية بين متجهات الاتجاه و . منذ ذلك الحين وفقًا لصيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات التي نحصل عليها
\(\blacktriangleright\) الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين الخط وإسقاطه على هذا المستوى (أي، هذه هي الزاوية \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) للعثور على الزاوية بين الخط \(a\) والمستوى \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\) )، تحتاج إلى:
الخطوة 1: من نقطة ما \(A\in a\) ارسم عموديًا \(AO\) على المستوى \(\phi\) (\(O\) هي قاعدة العمود المتعامد)؛
الخطوة 2: \(BO\) هو إسقاط الخط المائل \(AB\) على المستوى \(\phi\) ؛
الخطوة 3: الزاوية بين الخط \(\a\) والمستوى \(\phi\) هي \(\angle ABO\) .
المهمة 1 #2850
مستوى المهمة: أصعب من الامتحان
الخط \(l\) يتقاطع مع المستوى \(\alpha\) . يتم تحديد القطعة \(AB=25\) على السطر \(l\) ومن المعلوم أن إسقاط هذه القطعة على المستوى \(\alpha\) يساوي \(24\) . أوجد جيب الزاوية المحصورة بين الخط \(l\) والمستوى \(\alpha\)
النظر في الشكل:
دع \(A_1B_1=24\) هو إسقاط \(AB\) على المستوى \(\alpha\) ، لذلك \(AA_1\perp \alpha\) ، \(BB_1\perp \alpha\) . بما أن الخطين المتعامدين على المستوى يقعان في نفس المستوى، فإن \(A_1ABB_1\) هو شبه منحرف قائم الزاوية. لنرسم \(AH\perp BB_1\) . ثم \(AH=A_1B_1=24\) . لذلك، وفقا لنظرية فيثاغورس \ لاحظ أيضا أن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين الخط ومسقطه على المستوى، وبالتالي فإن الزاوية المطلوبة هي الزاوية بين \(AB\) و \(A_1B_1\ ) . بما أن \(AH\parallel A_1B_1\) ، فإن الزاوية بين \(AB\) و \(A_1B_1\) تساوي الزاوية بين \(AB\) و \(AH\) .
ثم \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0.28.\]
الجواب: 0.28
المهمة 2 #2851
مستوى المهمة: أصعب من الامتحان
\(ABC\) هو مثلث منتظم ضلعه \(3\) و \(O\) هو نقطة تقع خارج مستوى المثلث و \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . أوجد الزاوية التي تشكلها الخطوط \(OA, OB, OC\) مع مستوى المثلث. اكتب إجابتك بالدرجات.
ارسم عموديًا \(OH\) على مستوى المثلث.
يعتبر \(\مثلث OAH، \مثلث OBH، \مثلث OCH\). وهي مستطيلة ومتساوية في الساق والوتر. ولذلك، \(AH=BH=CH\) . وبالتالي فإن \(H\) هي نقطة تقع عليها نفس المسافةمن رؤوس المثلث \(ABC\) . ولذلك فإن \(H\) هو مركز الدائرة المحيطة به. بما أن \(\triangle ABC\) صحيح، فإن \(H\) هي نقطة تقاطع المتوسطات (وهي أيضًا ارتفاعات ومنصفات).
بما أن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين الخط وإسقاطه على ذلك المستوى، و\(AH\) هي إسقاط \(AO\) على مستوى المثلث، فإن الزاوية بين \(AO\) \) ومستوى المثلث هو \( \angle OAH\) .
دع \(AA_1\) يكون الوسيط لـ \(\triangle ABC\) ، لذا \
بما أن المتوسطات مقسومة على نقطة التقاطع بنسبة \(\2:1\) ، عد من الرأس، ثم \ ثم من المستطيل \(\المثلث OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
لاحظ أن مساواة المثلثات \(OAH, OBH, OCH\) تشير إلى ذلك \(\زاوية OAH=\زاوية OBH=\زاوية OCH=60^\circ\).
الجواب: 60
المهمة 3 #2852
مستوى المهمة: أصعب من الامتحان
الخط \(l\) عمودي على المستوى \(\pi\) . الخط \(p\) لا يقع في المستوى \(\pi\) ولا يوازيه ولا يوازي الخط \(l\) . أوجد مجموع الزوايا بين الخطين \(p\) و \(l\) وبين الخط \(p\) والمستوى \(\pi\) . اكتب إجابتك بالدرجات.
ويترتب على ذلك أن الخط \(p\) يتقاطع مع المستوى \(\pi\) . دع \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
إذن \(\angle POL\) هي الزاوية بين الخطين \(p\) و \(l\) .
نظرًا لأن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين الخط وإسقاطه على هذا المستوى، \(\angle OPL\) هي الزاوية بين \(\p\) و \(\pi\) . لاحظ أن \(\triangle OPL\) مستطيل مع \(\angle L=90^\circ\) . بما أن مجموع الزوايا الحادة للمثلث القائم هو \(90^\circ\) إذن \(\زاوية POL+\زاوية OPL=90^\circ\).
تعليق.
إذا كان الخط \(p\) لا يتقاطع مع الخط \(l\) فارسم الخط \(p"\parallel p\) المتقاطع مع \(l\) ثم الزاوية المحصورة بين الخط \(p\) و \(l\ ) ستكون مساوية للزاوية بين \(p"\) و \(l\) . وبالمثل، فإن الزاوية بين \(p\) و \(\pi\) ستكون مساوية للزاوية بين \(p"\) و \(\pi\) . وبالنسبة للخط \(\pi\)، فإن الحل السابق صحيح بالفعل.
الجواب: 90
المهمة 4 #2905
مستوى المهمة: أصعب من الامتحان
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - مكعب. النقطة \(N\) هي نقطة منتصف الحافة \(BB_1\) والنقطة \(M\) هي نقطة منتصف القطعة \(BD\) . ابحث عن \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) ، حيث \(\alpha\) هي الزاوية بين السطر الذي يحتوي على \(MN\) والمستوى \((A_1B_1C_1D_1)\) . اكتب إجابتك بالدرجات.
\(NM\) هو خط المنتصف في المثلث \(DBB_1\) ، ثم \(NM \parallel B_1D\) و \(\alpha\) يساوي الزاوية بين \(B_1D\) والمستوى \(( A_1B_1C_1D_1)\) .
نظرًا لأن \(DD_1\) عمودي على المستوى \(A_1B_1C_1D_1\) ، فإن \(B_1D_1\) هو الإسقاط \(B_1D\) على المستوى \((A_1B_1C_1D_1)\) والزاوية الواقعة بين \(B_1D\) والمستوى \( (A_1B_1C_1D_1)\) هو الزاوية بين \(B_1D\) و \(B_1D_1\) .
دع حافة المكعب \(x\) ثم حسب نظرية فيثاغورس \ في المثلث \(B_1D_1D\) يكون ظل الزاوية بين \(B_1D\) و \(B_1D_1\) هو \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\)، أين \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
الجواب: 0.5
المهمة 5 #2906
مستوى المهمة: أصعب من الامتحان
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - مكعب. النقطة \(N\) هي نقطة منتصف الحافة \(BB_1\) ، والنقطة \(M\) تقسم المقطع \(BD\) بالنسبة إلى \(1:2\) ، من الرأس \(ب\) . ابحث عن \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) ، حيث \(\alpha\) هي الزاوية بين السطر الذي يحتوي على \(MN\) والمستوى \((ABC)\) . اكتب إجابتك بالدرجات.
بما أن \(NB\) جزء من \(BB_1\) و \(BB_1\perp (ABC)\) ، كذلك \(NB\perp (ABC)\) . لذلك، \(BM\) هو إسقاط \(NM\) على المستوى \((ABC)\) . وبالتالي فإن الزاوية \(\alpha\) تساوي \(\angle NMB\) .
دع حافة المكعب تكون \(x\) . ثم \(NB=0.5x\) . بواسطة نظرية فيثاغورس \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . نظرًا للشرط \(BM:MD=1:2\) ، ثم \(BM=\frac13BD\) ، \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
ثم من المستطيل \(\triangle NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]
الجواب: 8
المهمة 6 #2907
مستوى المهمة: أصعب من الامتحان
ما قيمة \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) إذا كانت \(\alpha\) هي زاوية المكعب القطرية على أحد وجوهه؟
الزاوية المطلوبة سوف تتزامن مع الزاوية بين قطري المكعب وقطر أي من وجوهه، لأن الخامس هذه القضيةسيكون قطري المكعب مائلاً، وسيكون قطري الوجه هو إسقاط هذا الوجه المائل على المستوى. وبالتالي فإن الزاوية المطلوبة ستكون مساوية مثلاً للزاوية \(C_1AC\) . إذا أشرنا إلى حافة المكعب بـ \(x\) ، إذن \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\)، ثم مربع ظل التمام للزاوية المطلوبة: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
الجواب: 2
المهمة 7 #2849
مستوى المهمة: أصعب من الامتحان
\(\زاوية BAH=\زاوية CAH=30^\circ\) .
وفقا لنظرية فيثاغورس \
لذلك، \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]بما أن \(OH\perp (ABC)\) ، فإن \(OH\) عمودي على أي خط من هذا المستوى، لذا فإن \(\triangle OAH\) قائم الزاوية. ثم \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]
الجواب: 0.4
سيكون من المفيد لطلاب المدارس الثانوية في مرحلة التحضير لامتحان الرياضيات أن يتعلموا كيفية التعامل مع المهام من قسم "الهندسة في الفضاء"، حيث تحتاج إلى إيجاد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى. تظهر تجربة السنوات الماضية أن مثل هذه المهام تسبب صعوبات معينة للخريجين. في الوقت نفسه، يجب على طلاب المدارس الثانوية الذين لديهم أي مستوى من التدريب معرفة النظرية الأساسية وفهم كيفية العثور على الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى. فقط في هذه الحالة سيكونون قادرين على الاعتماد على الحصول على نقاط جديرة بالاهتمام.
الفروق الدقيقة الرئيسية
مثل مشاكل القياس المجسم الأخرى، يمكن حل المهام التي تحتاج فيها إلى إيجاد الزوايا والمسافات بين الخطوط والمستويات بطريقتين: هندسية وجبرية. يمكن للطلاب اختيار الخيار الأكثر ملاءمة لأنفسهم. وفقا للطريقة الهندسية، من الضروري العثور على نقطة مناسبة على خط مستقيم، وخفض العمودي منه إلى الطائرة وبناء الإسقاط. بعد ذلك، سيتعين على الخريج تطبيق المعرفة النظرية الأساسية وحل مشكلة قياس الزوايا لحساب الزاوية. تتضمن الطريقة الجبرية إدخال نظام إحداثيات للعثور على القيمة المطلوبة. من الضروري تحديد إحداثيات نقطتين على خط مستقيم، وتكوين معادلة المستوى بشكل صحيح وحلها.
التحضير الفعال مع شكولكوفو
لجعل الفصول الدراسية سهلة وحتى المهام المعقدة لا تسبب صعوبات، اختر موقعنا البوابة التعليمية. هنا يتم تقديم كامل المواد الضروريةلاجتياز اختبار الشهادة بنجاح. ستجد المعلومات الأساسية اللازمة في قسم "المرجع النظري". ومن أجل التدرب على إكمال المهام، ما عليك سوى الانتقال إلى "الكتالوج" الموجود على بوابتنا الرياضية. يحتوي هذا القسم اختيار كبيرتمارين درجات متفاوتهالصعوبات. تظهر المهام الجديدة بانتظام في "الكتالوج".
تنفيذ المهام على إيجاد الزاوية بين الخط والمستوى أو على، تلاميذ المدارس الروسيةيمكن عبر الإنترنت، ويجري في موسكو أو مدينة أخرى. بناء على طلب الطالب، يمكن حفظ أي تمرين في "المفضلة". سيسمح ذلك، إذا لزم الأمر، بالعثور عليه بسرعة ومناقشة مسار حله مع المعلم.
يمكن تقديم مفهوم الزاوية بين الخط والمستوى لأي ترتيب متبادل للخط والمستوى.
إذا كان الخط l عموديًا على المستوى، فإن الزاوية بين l و تعتبر تساوي 90 .
إذا كان الخط l موازيًا للمستوى أو يقع في هذا المستوى، فإن الزاوية بين l و تعتبر مساوية للصفر.
إذا كان الخط l مائلاً إلى المستوى، فإن الزاوية بين l وهذه هي الزاوية "بين الخط l وإسقاطه p على المستوى ( شكل 39).
أرز. 39. الزاوية بين الخط والمستوى
لذا، دعونا نتذكر تعريف هذه الحالة غير التافهة: إذا كان الخط مائلًا، فإن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية المحصورة بين هذا الخط
و إسقاطه على مستوى معين.
7.1 أمثلة على حل المشكلات
دعونا نحلل ثلاث مهام، مرتبة حسب التعقيد المتزايد. المهمة الثالثة هي المستوى C2 في امتحان الرياضيات.
المشكلة 1. في الشكل الرباعي المنتظم، أوجد الزاوية بين الحافة الجانبية ومستوى القاعدة.
حل. دع ABCD يكون رباعيًا منتظمًا مع الأطفال | ||||||||||
الروم أ (الشكل 40). أوجد الزاوية بين AD والمستوى | ||||||||||
دعونا نرسم الارتفاع DH. إسقاط الخط AD على | ||||||||||
الطائرة ABC بمثابة الخط AH. ولذلك المطلوب | ||||||||||
الزاوية "هي الزاوية بين الخطين AD و AH. | ||||||||||
القطعة AH هي نصف قطر الدائرة المحددة | ||||||||||
حول المثلث ABC: | ||||||||||
آه = ص | ||||||||||
الآن من المثلث الأيمن ADH: | ||||||||||
أرز. 40. للمشكلة 1 |
||||||||||
كوس "=AD=p | ||||||||||
الجواب: أركوس ص | ||||||||||
المهمة 2. في الصحيح منشور ثلاثي ABCA1 B1 C1 الحافة الجانبية تساوي جانب القاعدة. أوجد الزاوية بين الخط AA1 والمستوى ABC1.
حل. لن تتغير الزاوية بين الخط والمستوى مع إزاحة الخط الموازية. وبما أن CC1 موازي لـ AA1، فإن الزاوية المطلوبة "هي الزاوية بين الخط CC1 والمستوى ABC1 (الشكل 41).
ب 1"
أرز. 41. للمشكلة 2
دع M تكون نقطة منتصف AB. ارسم الارتفاع CH في المثلث CC1 M. لنوضح أن CH عمودي على المستوى ABC1 . للقيام بذلك، تحتاج إلى تقديم خطين متقاطعين من هذا المستوى، عمودي على CH.
من الواضح أن الخط المستقيم الأول هو C1 M. في الواقع، CH ؟ C1M بالبناء.
السطر الثاني هو AB. في الواقع، إسقاط CH المائل على المستوى ABC هو الخط المستقيم CM؛ بينما أب ؟ سم. ويترتب على ذلك من نظرية المتعامدين الثلاثة أن AB ؟ الفصل.
إذن CH؟ ABC1. وبالتالي فإن الزاوية بين CC1 و ABC1 هي "= \CC1 H. ونجد قيمة CH من العلاقة
C1 M CH = CC1 سم
(كلا الجزأين من هذه النسبة يساوي ضعف مساحة المثلث CC1 M). لدينا:
سم = أ 2 3 ;
يبقى العثور على الزاوية ":
الجواب: أركسين 3 7 .
C1 م = ف CC1 2 + CM2 = ص | أ2+4 | |||||||||||||||||
CH = أ | ||||||||||||||||||
CH=ar | ||||||||||||||||||
الخطيئة "=CH=3: CC1 7
المشكلة 3. يتم أخذ النقطة K على الحافة A1 B1 من المكعب ABCDA1 B1 C1 D1 بحيث A1 K: KB1 = 3: 1. أوجد الزاوية بين الخط AK والمستوى BC1 D1 .
حل. بعد أن رسمنا (الشكل 42، على اليسار)، نفهم أن هناك حاجة إلى إنشاءات إضافية.
ك ب 1 | |||||||||||
أرز. 42. للمشكلة 3 | |||||||||||
أولا، لاحظ أن الخط AB يقع في المستوى BC1 D1 (لأن AB k C1 D1 ). ثانياً، لنرسم B1M موازياً لـ AK (شكل 42، على اليمين). ارسم أيضًا B1 C، واجعل N نقطة التقاطع بين B1 C و BC1.
دعونا نبين أن الخط B1 C عمودي على المستوى BC1 D1 . بالفعل:
1) ب 1 ج ؟ BC1 (كأقطار مربع)؛
2) ب1ج؟ AB بنظرية المتعامدين الثلاثة (بعد كل شيء، AB متعامد مع الخط المستقيم BC لإسقاط الخط المائل B1 C على المستوى ABC).
وبالتالي، B1 C عمودي على خطين متقاطعين من المستوى BC1 D1 ; لذلك، B1 ج؟ بى سى 1 د 1 . ولذلك، فإن إسقاط الخط المستقيم MB
الخطيئة "= ب 1 ن = 2 2: ب 1 م 5
تتضمن دورة الفيديو "احصل على A" جميع المواضيع اللازمة لاجتياز امتحان الرياضيات بنجاح بمقدار 60-65 نقطة. أكمل جميع المهام من 1 إلى 13 من الملف الشخصي للاستخدام في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!
دورة تحضيرية للامتحان للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، وبدونها لا يستطيع طالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.
كل النظرية اللازمة. طرق سريعةحلول وأفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء الأول من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة بشكل كامل مع متطلبات USE-2018.
تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة، مدة كل منها 2.5 ساعة. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.
مئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. نظرية، المواد المرجعيةوتحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة للحل، أوراق غش مفيدة، تنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر - إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي مفاهيم معقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. قاعدة لحل المسائل المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.
