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फ़ंक्शन परिभाषा का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान छोटा है। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

एक फ़ंक्शन के रूप में गणितीय विश्लेषण की ऐसी वस्तु का अध्ययन बहुत महत्वपूर्ण है। अर्थऔर विज्ञान के अन्य क्षेत्रों में। उदाहरण के लिए, में आर्थिक विश्लेषणव्यवहार का लगातार मूल्यांकन करने की आवश्यकता है कार्यलाभ, अर्थात् इसकी अधिकतम सीमा निर्धारित करने के लिए अर्थऔर इसे प्राप्त करने के लिए एक रणनीति विकसित करें।

अनुदेश

किसी भी व्यवहार का अध्ययन हमेशा परिभाषा के क्षेत्र की खोज से शुरू होना चाहिए। आमतौर पर किसी विशेष समस्या की स्थिति के अनुसार सबसे बड़ी समस्या का निर्धारण करना आवश्यक होता है अर्थ कार्यया तो इस पूरे क्षेत्र पर, या खुली या बंद सीमाओं के साथ इसके विशिष्ट अंतराल पर।

के आधार पर सबसे बड़ा है अर्थ कार्य y(x0) जिसके लिए असमानता y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) परिभाषा के क्षेत्र के किसी भी बिंदु के लिए रखती है। ग्राफ़िक रूप से, यह बिंदु उच्चतम होगा यदि आप तर्क के मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ व्यवस्थित करते हैं, और फ़ंक्शन स्वयं कोर्डिनेट अक्ष के साथ व्यवस्थित करते हैं।

सबसे बड़ा निर्धारित करने के लिए अर्थ कार्य, तीन-चरणीय एल्गोरिदम का पालन करें। ध्यान दें कि आपको एकतरफ़ा और के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही व्युत्पन्न की गणना भी करनी चाहिए। तो, मान लीजिए कि कोई फ़ंक्शन y(x) दिया गया है और इसका सबसे बड़ा फ़ंक्शन ढूंढना आवश्यक है अर्थसीमा मान ए और बी के साथ कुछ अंतराल पर।

पता लगाएँ कि क्या यह अंतराल दायरे में है कार्य. ऐसा करने के लिए, आपको सभी संभावित प्रतिबंधों पर विचार करते हुए इसे ढूंढना होगा: अभिव्यक्ति में एक अंश की उपस्थिति, वर्गमूलवगैरह। परिभाषा का क्षेत्र तर्क मानों का समूह है जिसके लिए फ़ंक्शन समझ में आता है। निर्धारित करें कि क्या दिया गया अंतराल इसका एक उपसमुच्चय है। यदि हाँ, तो अगले चरण पर आगे बढ़ें।

व्युत्पन्न खोजें कार्यऔर व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके परिणामी समीकरण को हल करें। इस प्रकार, आपको तथाकथित स्थिर बिंदुओं का मान प्राप्त होगा। मूल्यांकन करें कि क्या उनमें से कम से कम एक अंतराल ए, बी से संबंधित है।

तीसरे चरण में इन बिंदुओं पर विचार करें, उनके मानों को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें। अंतराल प्रकार के आधार पर निम्नलिखित अतिरिक्त चरण निष्पादित करें। यदि प्रपत्र [ए, बी] का एक खंड है, तो सीमा बिंदु अंतराल में शामिल हैं, यह कोष्ठक द्वारा दर्शाया गया है। मानों की गणना करें कार्य x = A और x = B के लिए। यदि खुला अंतराल (A, B) है, तो सीमा मान छिद्रित हो जाते हैं, अर्थात। इसमें शामिल नहीं हैं. x→A और x→B के लिए एकतरफ़ा सीमाएँ हल करें। [ए, बी) या (ए, बी) के रूप का एक संयुक्त अंतराल, जिसकी एक सीमा उसकी है, दूसरी नहीं। एक तरफा सीमा ज्ञात करें क्योंकि x छिद्रित मान की ओर जाता है, और दूसरे को इसमें प्रतिस्थापित करें फ़ंक्शन। अनंत दो-तरफा अंतराल (-∞, +∞) या फॉर्म के एक तरफा अनंत अंतराल: , (-∞, बी) वास्तविक सीमा ए और बी के लिए, पहले से वर्णित सिद्धांतों के अनुसार आगे बढ़ें, और अनंत के लिए , क्रमशः x→-∞ और x→+∞ के लिए सीमाएं देखें।

इस स्तर पर कार्य

एक फ़ंक्शन दिया गया है जो कुछ अंतराल पर परिभाषित और निरंतर है। इस अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान ज्ञात करना आवश्यक है।

सैद्धांतिक आधार।
प्रमेय (दूसरा वीयरस्ट्रैस प्रमेय):

यदि किसी फ़ंक्शन को एक बंद अंतराल में परिभाषित और निरंतर किया जाता है, तो यह इस अंतराल में अपने अधिकतम और न्यूनतम मान तक पहुंच जाता है।

फ़ंक्शन अपने अधिकतम और न्यूनतम मानों तक या तो अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर या उसकी सीमाओं पर पहुंच सकता है। आइए सभी संभावित विकल्पों का वर्णन करें।

स्पष्टीकरण:
1) फ़ंक्शन बिंदु पर अंतराल की बाईं सीमा पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचता है, और बिंदु पर अंतराल की दाईं सीमा पर इसका न्यूनतम मूल्य होता है।
2) फ़ंक्शन बिंदु पर अपने अधिकतम मान तक पहुंचता है (यह अधिकतम बिंदु है), और बिंदु पर अंतराल की सही सीमा पर इसका न्यूनतम मान होता है।
3) फ़ंक्शन बिंदु पर अंतराल की बाईं सीमा पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचता है, और बिंदु पर इसका न्यूनतम मूल्य (यह न्यूनतम बिंदु है)।
4) फलन अंतराल पर स्थिर है, अर्थात। यह अंतराल के किसी भी बिंदु पर अपने न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों तक पहुंचता है, और न्यूनतम और अधिकतम मूल्य एक दूसरे के बराबर होते हैं।
5) फ़ंक्शन बिंदु पर अपने अधिकतम मान और बिंदु पर अपने न्यूनतम मान तक पहुंचता है (इस तथ्य के बावजूद कि फ़ंक्शन के इस अंतराल पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों हैं)।
6) फ़ंक्शन एक बिंदु पर अपने अधिकतम मूल्य (यह अधिकतम बिंदु है) तक पहुंचता है, और एक बिंदु पर इसका न्यूनतम मूल्य (यह न्यूनतम बिंदु है) तक पहुंचता है।
टिप्पणी:

"अधिकतम" और "अधिकतम मूल्य" अलग-अलग चीजें हैं। यह अधिकतम की परिभाषा और "अधिकतम मूल्य" वाक्यांश की सहज समझ से अनुसरण करता है।

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम 2.



4) प्राप्त मानों में से सबसे बड़ा (सबसे छोटा) चुनें और उत्तर लिखें।

उदाहरण 4:

सबसे बड़ा और निर्धारित करें सबसे छोटा मूल्यकार्य खंड पर.
समाधान:
1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

2) समीकरण को हल करके स्थिर बिंदु (और ऐसे बिंदु जो चरम सीमा के संदिग्ध हैं) खोजें। उन बिंदुओं पर ध्यान दें जहां कोई दो-तरफा परिमित व्युत्पन्न नहीं है।

3) स्थिर बिंदुओं और अंतराल की सीमाओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें।

4) प्राप्त मानों में से सबसे बड़ा (सबसे छोटा) चुनें और उत्तर लिखें।

इस खंड पर फ़ंक्शन निर्देशांक वाले बिंदु पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचता है।

इस खंड पर फ़ंक्शन निर्देशांक वाले बिंदु पर अपने न्यूनतम मान तक पहुंचता है।

आप अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखकर गणना की शुद्धता को सत्यापित कर सकते हैं।


टिप्पणी:फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु पर अपने अधिकतम मान और खंड की सीमा पर न्यूनतम मान तक पहुंचता है।

विशेष मामला।

मान लीजिए आप किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करना चाहते हैं। एल्गोरिथम के पहले पैराग्राफ के निष्पादन के बाद, अर्थात व्युत्पन्न की गणना से यह स्पष्ट हो जाता है कि, उदाहरण के लिए, यह विचाराधीन संपूर्ण खंड पर केवल नकारात्मक मान लेता है। याद रखें कि यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है। हमने पाया कि पूरे अंतराल पर फलन घट रहा है। यह स्थिति लेख की शुरुआत में चार्ट नंबर 1 में दिखाई गई है।

फ़ंक्शन अंतराल पर घटता है, अर्थात। इसका कोई चरम बिंदु नहीं है. चित्र से देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन खंड की दाईं सीमा पर सबसे छोटा मान और बाईं ओर सबसे बड़ा मान लेगा। यदि अंतराल पर व्युत्पन्न हर जगह सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है। सबसे छोटा मान खंड की बाईं सीमा पर है, सबसे बड़ा दाईं ओर है।

और इसे हल करने के लिए आपको विषय का न्यूनतम ज्ञान होना आवश्यक है। अगला शैक्षणिक वर्ष समाप्त हो रहा है, हर कोई छुट्टियों पर जाना चाहता है, और इस क्षण को करीब लाने के लिए, मैं तुरंत काम पर लग जाता हूं:

चलिए क्षेत्र से शुरू करते हैं। शर्त में उल्लिखित क्षेत्र है सीमित बंद किया हुआ समतल में बिंदुओं का समुच्चय. उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज से घिरे बिंदुओं का एक समूह, जिसमें संपूर्ण त्रिभुज भी शामिल है (यदि से सीमाओंकम से कम एक बिंदु को "पोक आउट" करें, फिर क्षेत्र अब बंद नहीं होगा). व्यवहार में, आयताकार, गोल और थोड़े अधिक जटिल आकार के क्षेत्र भी होते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में सख्त परिभाषाएँ दी गई हैं सीमाएँ, अलगाव, सीमाएँ, आदि।, लेकिन मुझे लगता है कि हर कोई सहज स्तर पर इन अवधारणाओं से अवगत है, और अब इसकी अधिक आवश्यकता नहीं है।

समतल क्षेत्र को मानक रूप से अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, और, एक नियम के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है - कई समीकरणों द्वारा (जरूरी नहीं कि रैखिक); कम अक्सर असमानताएँ। एक विशिष्ट मौखिक टर्नओवर: "बंद क्षेत्रलाइनों द्वारा सीमित"।

विचाराधीन कार्य का एक अभिन्न अंग ड्राइंग पर क्षेत्र का निर्माण है। इसे कैसे करना है? सूचीबद्ध सभी रेखाओं को (में) खींचना आवश्यक है इस मामले में 3 सीधा) और विश्लेषण करें कि क्या हुआ। वांछित क्षेत्र आमतौर पर हल्के ढंग से रचा जाता है, और इसकी सीमा को एक बोल्ड लाइन के साथ हाइलाइट किया जाता है:


वही क्षेत्र निर्धारित किया जा सकता है रैखिक असमानताएँ: , जो किसी कारण से अक्सर गणना सूची के रूप में लिखे जाते हैं, और नहीं प्रणाली.
चूँकि सीमा क्षेत्र की है, तो सभी असमानताएँ, निश्चित रूप से, गैर सख्त.

और अब मामले की जड़. कल्पना कीजिए कि अक्ष निर्देशांक के मूल से सीधे आप तक जाता है। उस फ़ंक्शन पर विचार करें निरंतर प्रत्येक मेंक्षेत्र बिंदु. इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ है सतह, और छोटी सी खुशी यह है कि आज की समस्या को हल करने के लिए हमें यह जानने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है कि यह सतह कैसी दिखती है। यह ऊपर, नीचे स्थित हो सकता है, विमान को पार कर सकता है - यह सब महत्वपूर्ण नहीं है। और निम्नलिखित महत्वपूर्ण है: के अनुसार वीयरस्ट्रैस प्रमेय, निरंतरवी सीमित बंदक्षेत्र, कार्य अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है ("उच्चतम" का)और कम से कम ("निम्नतम" में से)मूल्यों को पाया जाना है। ये मूल्य प्राप्त होते हैं यावी स्थिर बिंदु, क्षेत्र से संबंधितडी , याउन बिंदुओं पर जो इस क्षेत्र की सीमा पर स्थित हैं। जिसमें से एक सरल और पारदर्शी समाधान एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

उदाहरण 1

सीमित बंद क्षेत्र

समाधान: सबसे पहले, आपको ड्राइंग पर क्षेत्र को चित्रित करने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से, मेरे लिए समस्या का एक इंटरैक्टिव मॉडल बनाना तकनीकी रूप से कठिन है, और इसलिए मैं तुरंत अंतिम चित्रण दूंगा, जो अध्ययन के दौरान पाए गए सभी "संदिग्ध" बिंदुओं को दर्शाता है। आमतौर पर जैसे ही वे पाए जाते हैं उन्हें एक के बाद एक नीचे रख दिया जाता है:

प्रस्तावना के आधार पर निर्णय को सुविधापूर्वक दो बिंदुओं में विभाजित किया जा सकता है:

I) आइए स्थिर बिंदु खोजें। यह एक मानक क्रिया है जिसे हमने पाठ में बार-बार किया है। कई चरों की चरम सीमा के बारे में:

स्थिर बिंदु मिला अंतर्गत आता हैक्षेत्र: (इसे चित्र पर अंकित करें), जिसका अर्थ है कि हमें किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करनी चाहिए:

- जैसा कि लेख में है किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, मैं महत्वपूर्ण परिणामों को बोल्ड अक्षरों में उजागर करूंगा। एक नोटबुक में, उन्हें पेंसिल से घेरना सुविधाजनक होता है।

हमारी दूसरी ख़ुशी पर ध्यान दें - जाँचने का कोई मतलब नहीं है चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति. क्यों? भले ही फ़ंक्शन उस बिंदु पर पहुंच जाए, उदाहरण के लिए, स्थानीय न्यूनतम, तो इसका मतलब यह नहीं है कि परिणामी मूल्य होगा कम से कमपूरे क्षेत्र में (पाठ की शुरुआत देखें बिना शर्त चरम सीमाओं के बारे में) .

क्या होगा यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है? लगभग कुछ भी नहीं है! यह ध्यान दिया जाना चाहिए और अगले पैराग्राफ पर जाना चाहिए।

II) हम क्षेत्र की सीमा की जांच करते हैं।

चूँकि सीमा में एक त्रिभुज की भुजाएँ होती हैं, इसलिए अध्ययन को 3 उप-अनुच्छेदों में विभाजित करना सुविधाजनक है। लेकिन इसे किसी भी तरह न करना ही बेहतर है। मेरे दृष्टिकोण से, सबसे पहले, समन्वय अक्षों के समानांतर खंडों पर विचार करना अधिक फायदेमंद है, और सबसे पहले, जो स्वयं अक्षों पर स्थित हैं। क्रियाओं के पूरे क्रम और तर्क को समझने के लिए, "एक सांस में" अंत का अध्ययन करने का प्रयास करें:

1) आइए त्रिभुज की निचली भुजा से निपटें। ऐसा करने के लिए, हम सीधे फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं:

वैकल्पिक रूप से, आप इसे इस तरह कर सकते हैं:

ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि निर्देशांक तल (जो समीकरण द्वारा भी दिया गया है)से "कट आउट"। सतह"स्थानिक" परवलय, जिसका शीर्ष तुरंत संदेह के घेरे में आ जाता है। चलो पता करते हैं वह कहाँ है:

- परिणामी मूल्य क्षेत्र में "हिट", और यह बिंदु पर भी हो सकता है (चित्र पर निशान लगाएं)फ़ंक्शन पूरे क्षेत्र में सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक पहुंचता है। वैसे भी, आइए गणना करें:

अन्य "उम्मीदवार" निस्संदेह खंड के अंत हैं। बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें (चित्र पर निशान लगाएं):

यहां, वैसे, आप "स्ट्रिप्ड डाउन" संस्करण पर मौखिक मिनी-चेक कर सकते हैं:

2) शोध के लिए दाहिनी ओरहम फ़ंक्शन में त्रिभुज को प्रतिस्थापित करते हैं और "चीजों को वहां क्रम में रखते हैं":

यहां हम तुरंत खंड के पहले से ही संसाधित अंत को "रिंगिंग" करते हुए एक मोटा जांच करते हैं:
, महान।

ज्यामितीय स्थिति पिछले बिंदु से संबंधित है:

- परिणामी मूल्य भी "हमारे हितों के दायरे में प्रवेश करता है", जिसका अर्थ है कि हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि दिखाई देने वाले बिंदु पर फ़ंक्शन किसके बराबर है:

आइए खंड के दूसरे छोर की जाँच करें:

फ़ंक्शन का उपयोग करना , की जाँच करें:

3) शायद हर कोई जानता है कि शेष भाग का पता कैसे लगाया जाए। हम फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

पंक्ति समाप्त पहले ही जांच की जा चुकी है, लेकिन ड्राफ्ट पर हम अभी भी जांच करते हैं कि क्या हमें फ़ंक्शन सही ढंग से मिला है :
- पहले उप-पैराग्राफ के परिणाम के साथ मेल खाता है;
- दूसरे उप-पैराग्राफ के परिणाम से मेल खाता है।

यह पता लगाना बाकी है कि क्या सेगमेंट के अंदर कुछ दिलचस्प है:

- वहाँ है! समीकरण में एक सीधी रेखा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें इस "रोचकता" का कोटि प्राप्त होता है:

हम ड्राइंग पर एक बिंदु चिह्नित करते हैं और फ़ंक्शन का संबंधित मान पाते हैं:

आइए "बजट" संस्करण के अनुसार गणनाओं को नियंत्रित करें :
, आदेश देना।

और अंतिम चरण: सभी "मोटे" नंबरों को ध्यान से देखें, मैं शुरुआती लोगों को भी एक सूची बनाने की सलाह देता हूं:

जिसमें से हम सबसे बड़े और सबसे छोटे मान चुनते हैं। उत्तरखोजने की समस्या की शैली में लिखें खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:

बस किसी मामले में, मैं एक बार फिर परिणाम के ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करूंगा:
- यहाँ क्षेत्र में सतह का उच्चतम बिंदु है;
- यहां क्षेत्र में सतह का सबसे निचला बिंदु है।

विश्लेषण की गई समस्या में, हमें 7 "संदिग्ध" बिंदु मिले, लेकिन उनकी संख्या कार्य-दर-कार्य भिन्न होती है। एक त्रिकोणीय क्षेत्र के लिए, न्यूनतम "अन्वेषण सेट" में शामिल हैं तीन अंक. ऐसा तब होता है जब फ़ंक्शन, उदाहरण के लिए, सेट हो जाता है विमान- यह बिल्कुल स्पष्ट है कि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, और फ़ंक्शन केवल त्रिभुज के शीर्ष पर अधिकतम/न्यूनतम मान तक पहुंच सकता है। लेकिन ऐसे उदाहरण एक या दो बार नहीं हैं - आमतौर पर आपको किसी न किसी तरह से निपटना पड़ता है दूसरे क्रम की सतह.

यदि आप ऐसे कार्यों को थोड़ा हल करते हैं, तो त्रिकोण आपका सिर घुमा सकते हैं, और इसलिए मैंने आपके लिए तैयारी की है असामान्य उदाहरणइसे चौकोर बनाने के लिए :)

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें लाइनों से घिरे एक बंद क्षेत्र में

उदाहरण 3

किसी परिबद्ध बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

विशेष ध्यानक्षेत्र की सीमा का अध्ययन करने के तर्कसंगत क्रम और तकनीक के साथ-साथ मध्यवर्ती जांच की श्रृंखला पर ध्यान दें, जो कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से लगभग पूरी तरह बच जाएगा। आम तौर पर कहें तो, आप इसे अपनी इच्छानुसार हल कर सकते हैं, लेकिन कुछ समस्याओं में, उदाहरण के लिए, उसी उदाहरण 2 में, आपके जीवन को काफी जटिल बनाने की पूरी संभावना होती है। पाठ के अंत में कार्य समाप्त करने का एक अनुमानित उदाहरण।

हम समाधान एल्गोरिथ्म को व्यवस्थित करते हैं, अन्यथा, एक मकड़ी के मेरे परिश्रम से, यह किसी तरह पहले उदाहरण की टिप्पणियों के एक लंबे धागे में खो गया:

- पहले चरण में, हम एक क्षेत्र बनाते हैं, इसे छायांकित करना और एक मोटी रेखा के साथ सीमा को उजागर करना वांछनीय है। समाधान के दौरान, ऐसे बिंदु दिखाई देंगे जिन्हें ड्राइंग पर डालने की आवश्यकता है।

- स्थिर बिंदु खोजें और फ़ंक्शन के मानों की गणना करें केवल उन्हीं में, जो क्षेत्र के हैं। प्राप्त मानों को पाठ में हाइलाइट किया गया है (उदाहरण के लिए, एक पेंसिल से घेरा गया है)। यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है, तो हम इस तथ्य को एक चिह्न या मौखिक रूप से चिह्नित करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, तो हम लिखित निष्कर्ष निकालते हैं कि वे अनुपस्थित हैं। किसी भी स्थिति में, इस आइटम को छोड़ा नहीं जा सकता!

- सीमा क्षेत्र का अन्वेषण। सबसे पहले, उन सीधी रेखाओं से निपटना फायदेमंद है जो निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं (अगर वहां कोई है). "संदिग्ध" बिंदुओं पर गणना किए गए फ़ंक्शन मानों को भी हाइलाइट किया गया है। ऊपर समाधान तकनीक के बारे में बहुत कुछ कहा गया है और नीचे कुछ और कहा जाएगा - पढ़ें, दोबारा पढ़ें, गहराई से पढ़ें!

- चयनित संख्याओं में से सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का चयन करें और उत्तर दें। कभी-कभी ऐसा होता है कि फ़ंक्शन एक साथ कई बिंदुओं पर ऐसे मानों तक पहुंच जाता है - इस मामले में, इन सभी बिंदुओं को उत्तर में प्रतिबिंबित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, चलो और यह पता चला कि यह सबसे छोटा मान है। फिर हम उसे लिखते हैं

अंतिम उदाहरण दूसरों को समर्पित हैं उपयोगी विचारव्यवहार में उपयोगी:

उदाहरण 4

किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें .

मैंने लेखक का सूत्रीकरण रखा है, जिसमें क्षेत्रफल दोहरी असमानता के रूप में दिया गया है। इस समस्या के लिए इस स्थिति को समकक्ष प्रणाली में या अधिक पारंपरिक रूप में लिखा जा सकता है:

मैं तुम्हें इसके साथ याद दिलाता हूँ गैर रेखीयहमें असमानताओं का सामना करना पड़ा, और यदि आप प्रविष्टि के ज्यामितीय अर्थ को नहीं समझते हैं, तो कृपया देरी न करें और अभी स्थिति स्पष्ट करें ;-)

समाधान, हमेशा की तरह, क्षेत्र के निर्माण से शुरू होता है, जो एक प्रकार का "एकमात्र" है:

हम्म, कभी-कभी आपको न केवल विज्ञान के ग्रेनाइट को कुतरना पड़ता है...

I) स्थिर बिंदु खोजें:

बेवकूफ़ का स्वप्न तंत्र :)

स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित है, अर्थात् इसकी सीमा पर स्थित है।

और इसलिए, यह कुछ भी नहीं है ... मजेदार सबक चला गया - यही सही चाय पीने का मतलब है =)

II) हम क्षेत्र की सीमा की जांच करते हैं। बिना किसी देरी के, आइए x-अक्ष से शुरू करें:

1) यदि , तो

खोजें कि परवलय का शीर्ष कहाँ है:
- ऐसे क्षणों की सराहना करें - सीधे बिंदु पर "हिट" करें, जहां से सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। लेकिन जाँचना न भूलें:

आइए खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

2) हम "एक बैठक में" "एकमात्र" के निचले हिस्से से निपटेंगे - बिना किसी कॉम्प्लेक्स के हम इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं, इसके अलावा, हम केवल खंड में रुचि लेंगे:

नियंत्रण:

अब यह पहले से ही टेढ़े-मेढ़े ट्रैक पर नीरस सवारी में कुछ पुनरुद्धार ला रहा है। आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

हमने निर्णय किया द्विघात समीकरणक्या तुम्हें यह याद है? ... हालाँकि, निश्चित रूप से याद रखें, अन्यथा आप इन पंक्तियों को नहीं पढ़ेंगे =) यदि पिछले दो उदाहरणों में गणनाएँ सुविधाजनक थीं दशमलव भाग(जो, वैसे, दुर्लभ है), तो यहां हम सामान्य की प्रतीक्षा कर रहे हैं सामान्य भिन्न. हम "x" मूल पाते हैं और, समीकरण का उपयोग करते हुए, "उम्मीदवार" बिंदुओं के संबंधित "गेम" निर्देशांक निर्धारित करते हैं:


आइए पाए गए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

फ़ंक्शन को स्वयं जांचें.

अब हम जीती हुई ट्रॉफियों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं और लिखते हैं उत्तर:

यहाँ "उम्मीदवार" हैं, तो "उम्मीदवार"!

के लिए स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें एक बंद क्षेत्र में

घुंघराले ब्रेसिज़ के साथ एक प्रविष्टि इस प्रकार है: "ऐसे बिंदुओं का एक सेट"।

कभी-कभी ऐसे उदाहरणों में वे प्रयोग करते हैं लैग्रेंज गुणक विधि, लेकिन इसका उपयोग करने की वास्तविक आवश्यकता उत्पन्न होने की संभावना नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि समान क्षेत्र "डी" वाला एक फ़ंक्शन दिया गया है, तो इसमें प्रतिस्थापन के बाद - बिना किसी कठिनाई के व्युत्पन्न के साथ; इसके अलावा, ऊपरी और निचले अर्धवृत्तों पर अलग से विचार करने की आवश्यकता के बिना सब कुछ एक "एक पंक्ति" (संकेतों के साथ) में तैयार किया गया है। लेकिन, निश्चित रूप से, अधिक जटिल मामले हैं, जहां लैग्रेंज फ़ंक्शन के बिना (उदाहरण के लिए, वही वृत्त समीकरण है)इससे गुजारा करना कठिन है - अच्छे आराम के बिना गुजारा करना कितना कठिन है!

सत्र पास करने और अगले सीज़न में जल्द ही आपसे मिलने के लिए शुभकामनाएँ!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान: ड्राइंग पर क्षेत्र बनाएं:

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर पर किसी वस्तु (फ़ंक्शन का एक ग्राफ़) के चारों ओर एक आकर्षक उड़ान की याद दिलाती है जिसमें कुछ बिंदुओं पर लंबी दूरी की तोप से फायरिंग की जाती है और इनमें से चयन किया जाता है। ये नियंत्रण शॉट्स के लिए बहुत खास बिंदु हैं। अंकों का चयन एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार किया जाता है। किस नियम से? इस बारे में हम आगे बात करेंगे.

यदि फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर [ ए, बी] , तो यह इस सेगमेंट पर पहुंचता है कम से कम और उच्चतम मूल्य . ऐसा या तो हो सकता है चरम बिंदुया खंड के अंत में. इसलिए, खोजने के लिए कम से कम और फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान , खंड पर निरंतर [ ए, बी], आपको इसके सभी मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के अंत में, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का अधिकतम मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ ए, बी] . ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें [ ए, बी] .

महत्वपूर्ण बिन्दू वह बिंदु कहलाता है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित, और वह यौगिकया तो शून्य है या अस्तित्व में नहीं है. फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं और खंड के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(ए) और एफ(बी) ). इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [ए, बी] .

खोजने की समस्या फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान .

हम एक साथ फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों की तलाश कर रहे हैं

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 2] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं। व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए, खंड के अंत और बिंदु पर इसके मानों की गणना करना पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2] . ये फ़ंक्शन मान निम्नलिखित हैं: , , . यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे ग्राफ़ पर लाल रंग में चिह्नित), -7 के बराबर, खंड के दाहिने छोर पर - बिंदु पर पहुंच गया है, और महानतम(ग्राफ़ पर भी लाल), 9 के बराबर है, - क्रांतिक बिंदु पर।

यदि फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (बल्कि, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, लेकिन खंड के सीमा बिंदु खंड में शामिल हैं), तो फ़ंक्शन के मानों में सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया फ़ंक्शन ]-∞, +∞[ पर निरंतर है और इसका सबसे बड़ा मान नहीं है।

हालाँकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुले या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति होती है।

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह अंतराल [-1,3] से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए, हम खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर इसके मान पाते हैं:

आइए इन मूल्यों की तुलना करें। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर.

हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल उदाहरण नहीं देते हैं, यानी, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या अंश, अंश है और जिसके हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों के बीच छात्रों को पूर्ण रूप से सोचने के लिए प्रेरित करने के प्रेमी हैं (व्युत्पन्न तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस प्रकार पाते हैं उत्पाद का व्युत्पन्न :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है. किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए, हम खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर इसके मान पाते हैं:

सभी कार्यों का परिणाम: फ़ंक्शन अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, 0 के बराबर, एक बिंदु पर और एक बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ² , बिंदु पर .

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु खंड से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को खोजने के लिए, हम खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर इसके मान पाते हैं:

निष्कर्ष: फ़ंक्शन अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, के बराबर , बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्य, के बराबर , बिंदु पर .

लागू चरम समस्याओं में, किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे (सबसे बड़े) मान को ढूंढना, एक नियम के रूप में, न्यूनतम (अधिकतम) को खोजने के लिए नीचे आता है। लेकिन यह स्वयं मिनिमा या मैक्सिमा नहीं है जो अधिक व्यावहारिक रुचि का है, बल्कि तर्क के मूल्य हैं जिन पर उन्हें हासिल किया जाता है। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - उन कार्यों का संकलन जो विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

उदाहरण 8 4 लोगों की क्षमता वाला एक टैंक, जिसका आधार वर्गाकार है और शीर्ष पर खुला है, उसका आकार समान्तर चतुर्भुज जैसा है, उसे टिन किया जाना चाहिए। टैंक को कम से कम मात्रा में सामग्री से ढकने के लिए उसका आयाम क्या होना चाहिए?

समाधान। होने देना एक्स- आधार पक्ष एच- टैंक की ऊंचाई, एस- इसका सतह क्षेत्र बिना आवरण के, वी- इसकी मात्रा. टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है, अर्थात। दो चरों का एक फलन है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक फलन के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि , कहाँ से । मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए एक चरम सीमा के लिए इस फ़ंक्शन की जांच करें। यह ]0, +∞[, और में हर जगह परिभाषित और भिन्न है

.

हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। इसके अलावा, व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है और इसलिए चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, - एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु. आइए दूसरे पर्याप्त संकेत का उपयोग करके एक चरम की उपस्थिति के लिए इसकी जाँच करें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसका मतलब यह है कि जब फ़ंक्शन न्यूनतम पर पहुंच जाता है . क्योंकि यह न्यूनतम - इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम, यह इसका सबसे छोटा मान है. तो, टैंक के आधार की भुजा और उसकी ऊंचाई 2 मीटर के बराबर होनी चाहिए।

उदाहरण 9पैराग्राफ से ए, रेलवे लाइन पर स्थित, बिंदु तक साथ, उससे कुछ दूरी पर एल, माल का परिवहन किया जाना चाहिए। रेल द्वारा प्रति इकाई दूरी तक एक वजन इकाई परिवहन की लागत के बराबर है, और राजमार्ग द्वारा यह के बराबर है। किस हद तक एमपंक्तियां रेलवेएक राजमार्ग बनाया जाना चाहिए ताकि माल का परिवहन हो सके एवी साथसबसे किफायती था अबरेलमार्ग को सीधा माना जाता है)?

खूबसूरत और सुंदर सरल कार्यउन लोगों की श्रेणी से जो एक तैरते हुए छात्र के लिए जीवन रेखा के रूप में काम करते हैं। प्रकृति में, जुलाई के मध्य में नींद का साम्राज्य होता है, इसलिए समुद्र तट पर लैपटॉप के साथ आराम करने का समय आ गया है। सुबह-सुबह, सिद्धांत की एक धूप की किरण जल्द ही अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करने के लिए खेली गई, जिसमें घोषित हल्केपन के बावजूद, रेत में कांच के टुकड़े शामिल थे। इस संबंध में, मैं इस पृष्ठ के कुछ उदाहरणों पर ईमानदारी से विचार करने की सलाह देता हूं। व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए आपको सक्षम होने की आवश्यकता है डेरिवेटिव खोजेंऔर लेख की सामग्री को समझें किसी कार्य की एकरसता और चरम सीमा का अंतराल.

सबसे पहले, संक्षेप में मुख्य बात के बारे में। के बारे में एक पाठ में कार्य निरंतरतामैंने एक बिंदु पर सातत्य और एक अंतराल पर सातत्य की परिभाषा दी। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का अनुकरणीय व्यवहार इसी तरह तैयार किया जाता है। एक फ़ंक्शन किसी खंड पर निरंतर होता है यदि:

1) यह अंतराल पर निरंतर है;
2) एक बिंदु पर निरंतर दायी ओरऔर बिंदु पर बाएं.

दूसरा पैराग्राफ तथाकथित से संबंधित है एकतरफ़ा निरंतरताएक बिंदु पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा के लिए कई दृष्टिकोण हैं, लेकिन मैं पहले शुरू की गई पंक्ति पर कायम रहूंगा:

फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर है दायी ओर, यदि इसे किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी दाहिनी ओर की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है: . यह बिंदु पर निरंतर है बाएं, यदि किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी बाईं ओर की सीमा उस बिंदु पर मान के बराबर है:

कल्पना करें कि हरे बिंदु वे कीलें हैं जिन पर जादुई रबर बैंड जुड़ा हुआ है:

मानसिक रूप से लाल रेखा को अपने हाथों में लें। जाहिर है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम ग्राफ़ को कितनी दूर तक ऊपर और नीचे (अक्ष के साथ) खींचते हैं, फ़ंक्शन अभी भी बना रहेगा सीमित- ऊपर एक बाड़ा, नीचे एक बाड़ा, और हमारा उत्पाद एक बाड़े में चरता है। इस प्रकार, एक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन उस पर घिरा हुआ है. गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह प्रतीत होता है कि सरल तथ्य बताया गया है और कठोरता से सिद्ध किया गया है वीयरस्ट्रैस का पहला प्रमेय।... बहुत से लोग इस बात से नाराज़ हैं कि गणित में प्रारंभिक कथनों को कठिनता से प्रमाणित किया जाता है, लेकिन इसका एक महत्वपूर्ण अर्थ है। मान लीजिए कि टेरी मध्य युग के एक निश्चित निवासी ने ग्राफ़ को दृश्यता की सीमा से परे आकाश में खींच लिया, तो इसे डाला गया। दूरबीन के आविष्कार से पहले, अंतरिक्ष में सीमित कार्य बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं था! दरअसल, आप कैसे जानते हैं कि क्षितिज के पार क्या हमारा इंतजार कर रहा है? आख़िरकार, एक समय पृथ्वी को चपटी माना जाता था, इसलिए आज साधारण टेलीपोर्टेशन के लिए भी प्रमाण की आवश्यकता होती है =)

के अनुसार दूसरा वीयरस्ट्रैस प्रमेय, खंड पर निरंतरफ़ंक्शन अपने तक पहुंचता है सटीक शीर्ष किनाराऔर उसका सटीक निचला किनारा .

नंबर भी कहा जाता है खंड पर फ़ंक्शन का अधिकतम मानऔर द्वारा निरूपित, और संख्या - खंड पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मानचिह्नित ।

हमारे मामले में:

टिप्पणी : सिद्धांत रूप में, रिकॉर्ड आम हैं .

मोटे तौर पर कहें तो, सबसे बड़ा मान वहां स्थित होता है जहां ग्राफ़ का उच्चतम बिंदु होता है, और सबसे छोटा - जहां सबसे निचला बिंदु होता है।

महत्वपूर्ण!जैसा कि पहले ही लेख में बताया जा चुका है समारोह की चरम सीमा, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मानऔर सबसे छोटा फ़ंक्शन मान – एक ही नहीं, क्या अधिकतम कार्य करेंऔर कार्य न्यूनतम. तो, इस उदाहरण में, संख्या फ़ंक्शन का न्यूनतम है, लेकिन न्यूनतम मान नहीं है।

वैसे, सेगमेंट के बाहर क्या होता है? हाँ, यहाँ तक कि बाढ़ भी, विचाराधीन समस्या के सन्दर्भ में, इसमें हमारी कोई दिलचस्पी नहीं है। कार्य में केवल दो संख्याएँ ढूँढना शामिल है और बस!

इसके अलावा, समाधान पूरी तरह से विश्लेषणात्मक है, इसलिए, चित्र बनाने की कोई आवश्यकता नहीं!

एल्गोरिथ्म सतह पर है और उपरोक्त चित्र से स्वयं सुझाता है:

1) इसमें फ़ंक्शन मान खोजें महत्वपूर्ण बिंदु, जो इस सेगमेंट से संबंधित हैं.

एक और अच्छाई पकड़ें: एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, जैसा कि अभी दिखाया गया है, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति अभी तक गारंटी नहीं हैन्यूनतम या अधिकतम मूल्य क्या है. प्रदर्शन फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुंचता है और, भाग्य की इच्छा से, वही संख्या अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है। लेकिन, ज़ाहिर है, ऐसा संयोग हमेशा नहीं होता है।

इसलिए, पहले चरण में, खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना तेज़ और आसान है, बिना इस बात की परवाह किए कि उनमें एक्स्ट्रेमा है या नहीं।

2) हम खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।

3) पहले और दूसरे पैराग्राफ में पाए गए फ़ंक्शन के मानों में से, हम सबसे छोटे और सबसे अधिक का चयन करते हैं बड़ी संख्या, उत्तर लिखो।

हम नीले समुद्र के किनारे बैठते हैं और उथले पानी में एड़ियाँ मारते हैं:

उदाहरण 1

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

समाधान:
1) इस खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:

आइए दूसरे महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

2) खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

3) "बोल्ड" परिणाम घातांक और लघुगणक के साथ प्राप्त किए गए, जो उनकी तुलना को काफी जटिल बनाता है। इस कारण से, हम अपने आप को एक कैलकुलेटर या एक्सेल से लैस करेंगे और अनुमानित मूल्यों की गणना करेंगे, यह न भूलें:

अब सब कुछ स्पष्ट हो गया है.

उत्तर:

स्वतंत्र समाधान के लिए भिन्नात्मक-तर्कसंगत उदाहरण:

उदाहरण 6

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें

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अंतर्राष्ट्रीय संधियों और मानव स्वास्थ्य में वनस्पतियों और जीवों का संरक्षण पर्यावरणीय समस्याओं का समाधान, और परिणामस्वरूप, सभ्यता के सतत विकास की संभावनाएं काफी हद तक नवीकरणीय संसाधनों के सक्षम उपयोग और पारिस्थितिक तंत्र के विभिन्न कार्यों और उनके प्रबंधन से जुड़ी हैं। यह दिशा पाने का सबसे महत्वपूर्ण रास्ता है	न्यूनतम वेतन (न्यूनतम वेतन) न्यूनतम वेतन न्यूनतम वेतन (एसएमआईसी) है, जिसे संघीय कानून "न्यूनतम वेतन पर" के आधार पर रूसी संघ की सरकार द्वारा सालाना मंजूरी दी जाती है। न्यूनतम वेतन की गणना पूर्णतः पूर्ण मासिक कार्य दर के लिए की जाती है।