Kā atrast skaitļa mazāko daudzkārtni. Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM)
Skaitļa daudzkārtnis ir skaitlis, kas dalās ar noteiktu skaitli bez atlikuma. Skaitļu grupas mazākais kopīgais daudzkārtnis (LCM) ir mazākais skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar katru skaitli grupā. Lai atrastu mazāko kopējo reizinātāju, jāatrod doto skaitļu pirmfaktori. Arī LCM var aprēķināt, izmantojot vairākas citas metodes, kas ir piemērojamas divu vai vairāku skaitļu grupām.
Soļi
Daudzkārtņu sērija
- Piemēram, atrodiet skaitļu 5 un 8 mazāko kopējo daudzkārtni. Tie ir mazi skaitļi, tāpēc var izmantot šo metodi.
-
Skaitļa daudzkārtnis ir skaitlis, kas dalās ar noteiktu skaitli bez atlikuma. Reizināšanas tabulā var atrast vairākus skaitļus.
- Piemēram, skaitļi, kas reizināti ar 5, ir: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Pierakstiet skaitļu sēriju, kas ir pirmā skaitļa reizinājums. Dariet to zem pirmā skaitļa reizinātājiem, lai salīdzinātu divas skaitļu rindas.
- Piemēram, skaitļi, kas reizinās ar 8, ir: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 un 64.
-
Atrodiet mazāko skaitli, kas parādās abās reizinātāju sērijās. Lai atrastu kopējo summu, iespējams, būs jāraksta garas reizinātāju sērijas. Mazākais skaitlis, kas parādās abās reizinātāju sērijās, ir mazākais kopīgais daudzkārtnis.
- Piemēram, mazākais skaitlis, kas parādās 5 un 8 reizinātāju virknē, ir 40. Tāpēc 40 ir 5 un 8 mazākais kopīgais daudzkārtnis.
Galvenā faktorizācija
-
Apskatiet šos skaitļus.Šeit aprakstīto metodi vislabāk izmantot, ja tiek doti divi skaitļi, kas abi ir lielāki par 10. Ja norādīti mazāki skaitļi, izmantojiet citu metodi.
- Piemēram, atrodiet skaitļu 20 un 84 mazāko kopējo daudzkārtni. Katrs no skaitļiem ir lielāks par 10, tāpēc var izmantot šo metodi.
-
Faktorizēt pirmo skaitli. Tas ir, jums ir jāatrod tādi pirmskaitļi, kurus reizinot, jūs iegūstat noteiktu skaitli. Pēc pirmfaktoru atrašanas pierakstiet tos kā vienādību.
- Piemēram, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Un 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) ) = 10). Tādējādi skaitļa 20 pirmfaktori ir skaitļi 2, 2 un 5. Pierakstiet tos kā izteiksmi: .
-
Otro skaitli veidojiet primārajos faktoros. Dariet to tādā pašā veidā, kā aprēķina pirmo skaitli, tas ir, atrodiet tādus pirmskaitļus, kurus reizinot, tiks iegūts šis skaitlis.
- Piemēram, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Un 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) = 6). Tādējādi skaitļa 84 pirmfaktori ir skaitļi 2, 7, 3 un 2. Pierakstiet tos kā izteiksmi: .
-
Pierakstiet abus skaitļus kopīgos faktorus. Uzrakstiet tādus faktorus kā reizināšanas darbību. Pierakstot katru faktoru, izsvītrojiet to abās izteiksmēs (izteiksmēs, kas apraksta skaitļu sadalīšanos pirmfaktoros).
- Piemēram, abu skaitļu kopējais koeficients ir 2, tāpēc rakstiet 2 × (\displaystyle 2\times ) un izsvītrojiet 2 abos izteicienos.
- Kopējais faktors abiem skaitļiem ir vēl viens koeficients 2, tāpēc rakstiet 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) un izsvītrojiet otros 2 abos izteicienos.
-
Pievienojiet atlikušos faktorus reizināšanas darbībai. Tie ir faktori, kas nav izsvītroti abās izteiksmēs, tas ir, faktori, kas nav kopīgi abiem skaitļiem.
- Piemēram, izteiksmē 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\reizes 2\reizes 5) abi divi (2) ir izsvītroti, jo tie ir kopīgi faktori. Reizinātājs 5 nav izsvītrots, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 2 × 5 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5)
- Izteicienā 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\reizes 7\reizes 3\reizes 2) abi divnieki (2) arī ir izsvītroti. Koeficienti 7 un 3 nav izsvītroti, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5\reizes 7\reizes 3).
-
Aprēķiniet mazāko kopējo reizni. Lai to izdarītu, rakstiskajā reizināšanas darbībā reiziniet skaitļus.
- Piemēram, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5\reizes 7\reizes 3 = 420). Tātad 20 un 84 mazākais kopīgais reizinājums ir 420.
Kopīgo dalītāju atrašana
-
Uzzīmējiet režģi, tāpat kā to darītu tic-tac-toe spēlē.Šāds režģis sastāv no divām paralēlām līnijām, kas krustojas (taisnā leņķī) ar divām citām paralēlām līnijām. Tā rezultātā tiks izveidotas trīs rindas un trīs kolonnas (režģis ļoti līdzinās zīmei #). Ierakstiet pirmo numuru pirmajā rindā un otrajā kolonnā. Pirmajā rindā un trešajā kolonnā ierakstiet otro numuru.
- Piemēram, atrodiet 18 un 30 mazāko kopējo daudzkārtni. Pirmajā rindā un otrajā kolonnā ierakstiet 18, bet pirmajā rindā un trešajā kolonnā ierakstiet 30.
-
Atrodiet abiem skaitļiem kopīgo dalītāju. Pierakstiet to pirmajā rindā un pirmajā kolonnā. Labāk ir meklēt primāros dalītājus, bet tas nav priekšnoteikums.
- Piemēram, 18 un 30 ir pāra skaitļi, tāpēc to kopējais dalītājs ir 2. Tātad pirmajā rindā un pirmajā kolonnā ierakstiet 2.
-
Sadaliet katru skaitli ar pirmo dalītāju. Ierakstiet katru koeficientu zem atbilstošā skaitļa. Koeficients ir divu skaitļu dalīšanas rezultāts.
- Piemēram, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tāpēc rakstiet 9 līdz 18.
- 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tāpēc rakstiet 15 zem 30.
-
Atrodiet dalītāju, kas kopīgs abiem koeficientiem. Ja šāda dalītāja nav, izlaidiet nākamās divas darbības. Pretējā gadījumā pierakstiet dalītāju otrajā rindā un pirmajā kolonnā.
- Piemēram, 9 un 15 dalās ar 3, tāpēc otrajā rindā un pirmajā kolonnā ierakstiet 3.
-
Sadaliet katru koeficientu ar otro dalītāju. Katra dalījuma rezultātu ierakstiet zem atbilstošā koeficienta.
- Piemēram, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tāpēc zem 9 rakstiet 3.
- 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tāpēc rakstiet 5 līdz 15.
-
Ja nepieciešams, papildiniet režģi ar papildu šūnām. Atkārtojiet iepriekš minētās darbības, līdz koeficientiem ir kopīgs dalītājs.
-
Apvelciet skaitļus režģa pirmajā kolonnā un pēdējā rindā. Pēc tam ierakstiet iezīmētos skaitļus kā reizināšanas darbību.
- Piemēram, skaitļi 2 un 3 atrodas pirmajā kolonnā, bet skaitļi 3 un 5 atrodas pēdējā rindā, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 3 × 3 × 5 (\displeja stils 2\reizes 3\reizes 3\reizes 5).
-
Atrodiet skaitļu reizināšanas rezultātu. Tādējādi tiks aprēķināts divu norādīto skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
- Piemēram, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displeja stils 2\reizes 3\reizes 3\reizes 5 = 90). Tātad skaitļu 18 un 30 mazākais kopīgais reizinājums ir 90.
Eiklida algoritms
-
Atcerieties terminoloģiju, kas saistīta ar sadalīšanas darbību. Dividende ir skaitlis, kas tiek dalīts. Dalītājs ir skaitlis, ar kuru jādala. Koeficients ir divu skaitļu dalīšanas rezultāts. Atlikušais ir skaitlis, kas paliek, sadalot divus skaitļus.
- Piemēram, izteiksmē 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) atpūta. 3:
15 ir dalāms
6 ir dalītājs
2 ir privāts
3 ir atlikums.
- Piemēram, izteiksmē 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) atpūta. 3:
Apskatiet šos skaitļus.Šeit aprakstīto metodi vislabāk izmantot, ja tiek doti divi skaitļi, kas abi ir mazāki par 10. Ja norādīti lieli skaitļi, izmantojiet citu metodi.
Tiek izsaukts lielākais naturālais skaitlis, ar kuru skaitļi a un b dalās bez atlikuma lielākais kopīgais dalītājsšie skaitļi. Apzīmē GCD(a, b).
Apsveriet iespēju atrast GCD, izmantojot divu naturālu skaitļu 18 un 60 piemēru:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 Un 432
Sadalīsim skaitļus galvenajos faktoros:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Izdzēšot no pirmā skaitļa, kura faktori nav otrajā un trešajā ciparā, iegūstam:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
GCD( 324 , 111 , 432 )=3
GCD atrašana ar Eiklida algoritmu
Otrs veids, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju, izmantojot Eiklida algoritms. Visvairāk ir Eiklida algoritms efektīvs veids atrašana GCD, izmantojot to, jums pastāvīgi jāatrod skaitļu sadalījuma atlikums un jāpiemēro atkārtota formula.
Atkārtota formula GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kur a mod b ir atlikums, dalot a ar b.
Eiklida algoritms
Piemērs Atrodiet lielāko kopējo skaitļu dalītāju 7920 Un 594
Atradīsim GCD( 7920 , 594 ) izmantojot Eiklida algoritmu, mēs aprēķināsim atlikušo dalījuma daļu, izmantojot kalkulatoru.
- 7920 mod. 594 = 7920 — 13 × 594 = 198
- 594 mod. 198 = 594 — 3 × 198 = 0
Rezultātā mēs iegūstam GCD( 7920 , 594 ) = 198
Vismazāk sastopamais daudzkārtnis
Lai atrastu kopsaucējs saskaitot un atņemot daļskaitļus ar dažādi saucēji jāzina un jāprot aprēķināt mazākais kopīgs daudzkārtnis(NOC).
Skaitļa "a" daudzkārtnis ir skaitlis, kas pats dalās ar skaitli "a" bez atlikuma.
Skaitļi, kas reizinās ar 8 (tas ir, šie skaitļi tiks dalīti ar 8 bez atlikuma): tie ir skaitļi 16, 24, 32 ...
Vairāki no 9: 18, 27, 36, 45…
Atšķirībā no viena un tā paša skaitļa dalītājiem ir bezgalīgi daudz skaitļa a daudzkārtņu. Dalītāji – galīgs skaitlis.
Divu naturālu skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar abiem šiem skaitļiem..
Vismazāk sastopamais daudzkārtnis Divu vai vairāku naturālu skaitļu skaitlis (LCM) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem.
Kā atrast NOC
LCM var atrast un rakstīt divos veidos.
Pirmais veids, kā atrast LCM
Šo metodi parasti izmanto maziem skaitļiem.
- Mēs ierakstām reizinājumus katram skaitļam rindā, līdz tiek iegūts reizinājums, kas abiem skaitļiem ir vienāds.
- Skaitļa "a" daudzkārtnis tiek apzīmēts ar lielo burtu "K".
Piemērs. Atrodiet LCM 6 un 8.
Otrs veids, kā atrast LCM
Šo metodi ir ērti izmantot, lai atrastu LCM trim vai vairākiem numuriem.
Identisku faktoru skaits skaitļu izvērsumos var būt atšķirīgs.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Atbilde: LCM (24, 60) = 120
Varat arī formalizēt vismazākā kopskaita (LCM) atrašanu šādi. Atradīsim LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Kā redzam no skaitļu izvērsuma, visi 12 faktori ir iekļauti 24 (lielākais no skaitļiem) izvērsumā, tāpēc no skaitļa 16 izvērsuma LCM pievienojam tikai vienu 2.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Atbilde: LCM (12, 16, 24) = 48
Īpaši NOC atrašanas gadījumi
Piemēram, LCM(60, 15) = 60
Tā kā kopskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu dalītāju, to mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu.
Mūsu vietnē varat arī izmantot īpašu kalkulatoru, lai tiešsaistē atrastu visretāk sastopamo reizinājumu un pārbaudītu savus aprēķinus.
Ja naturāls skaitlis dalās tikai ar 1 un pats sevi, tad to sauc par pirmskaitli.
Jebkurš naturāls skaitlis vienmēr dalās ar 1 un pats sevi.
Skaitlis 2 ir mazākais pirmskaitlis. Šis ir vienīgais pāra pirmskaitlis, pārējie pirmskaitļi ir nepāra.
Ir daudz pirmskaitļu, un pirmais no tiem ir skaitlis 2. Tomēr pēdējā pirmskaitļa nav. Sadaļā "Mācībām" var lejupielādēt tabulu pirmskaitļi līdz 997.
Bet daudzi veseli skaitļi ir vienmērīgi dalās ar citiem naturāliem skaitļiem.
- skaitlis 12 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12;
- 36 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12, ar 18, ar 36.
- sadalīt skaitļu dalītājus pirmfaktoros;
Skaitļus, ar kuriem skaitlis dalās vienmērīgi (12 tie ir 1, 2, 3, 4, 6 un 12), sauc par skaitļa dalītājiem.
Naturāla skaitļa a dalītājs ir tāds naturāls skaitlis, kas dala doto skaitli "a" bez atlikuma.
Dabisku skaitli, kuram ir vairāk nekā divi faktori, sauc par saliktu skaitli.
Ņemiet vērā, ka skaitļiem 12 un 36 ir kopīgi dalītāji. Tie ir skaitļi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Lielākais šo skaitļu dalītājs ir 12.
Divu doto skaitļu "a" un "b" kopējais dalītājs ir skaitlis, ar kuru abi dotie skaitļi "a" un "b" tiek dalīti bez atlikuma.
Lielākais kopīgais dalītājs(GCD) no diviem dotajiem skaitļiem "a" un "b" ir lielākais skaitlis, ar kuru abi skaitļi "a" un "b" dalās bez atlikuma.
Īsumā lielākais skaitļu "a" un "b" kopējais dalītājs ir uzrakstīts šādi:
Piemērs: gcd (12; 36) = 12 .
Atrisinājuma ierakstā skaitļu dalītājus apzīmē ar lielo burtu "D".
Cipariem 7 un 9 ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Tādus numurus sauc pirmskaitļi.
Kopirma skaitļi ir naturāli skaitļi, kuriem ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Viņu GCD ir 1.
Kā atrast lielāko kopīgo dalītāju
Lai atrastu divu vai vairāku naturālu skaitļu gcd, jums ir nepieciešams:
Aprēķini ir ērti rakstīti, izmantojot vertikālu joslu. Pa kreisi no rindas vispirms pierakstiet dividendi, pa labi - dalītāju. Tālāk kreisajā kolonnā pierakstām privātās vērtības.
Tūlīt paskaidrosim ar piemēru. Faktorizēsim skaitļus 28 un 64 primārajos faktoros.
- Pasvītrojiet tos pašus galvenos faktorus abos skaitļos.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Atrodam identisku pirmfaktoru reizinājumu un pierakstām atbildi;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Atbilde: GCD (28; 64) = 4
GCD atrašanās vietu var sakārtot divos veidos: kolonnā (kā tas tika darīts iepriekš) vai "rindā".
Pirmais veids, kā rakstīt GCD
Atrodiet GCD 48 un 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Otrs veids, kā rakstīt GCD
Tagad ierakstīsim GCD meklēšanas risinājumu rindā. Atrodiet GCD 10 un 15.
Mūsu informācijas vietnē jūs varat arī atrast lielāko kopīgo dalītāju tiešsaistē, izmantojot palīgprogrammu, lai pārbaudītu aprēķinus.
Visretāk sastopamā daudzkārtņa atrašana, metodes, piemēri LCM atrašanai.
Tālāk sniegtais materiāls ir loģisks turpinājums teorijai no raksta virsraksta LCM — vismazāk izplatītais, definīcija, piemēri, attiecības starp LCM un GCD. Šeit mēs runāsim par vismazāk kopīgā daudzkārtņa atrašana (LCM), Un Īpaša uzmanība Apskatīsim piemērus. Vispirms parādīsim, kā divu skaitļu LCM tiek aprēķināts šo skaitļu GCD izteiksmē. Pēc tam apsveriet iespēju atrast vismazāko kopējo reizinātāju, skaitot skaitļus primārajos faktoros. Pc tam koncentrsimies uz trs un LCM atraanu vairāk skaitļus, kā arī pievērsiet uzmanību negatīvo skaitļu LCM aprēķinam.
Lapas navigācija.
Vismazākā daudzkāršā (LCM) aprēķins, izmantojot gcd
Viens no veidiem, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz LCM un GCD saistību. Esošās attiecības starp LCM un GCD ļauj aprēķināt divu pozitīvu veselu skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu, izmantojot zināmo lielāko kopīgo dalītāju. Atbilstošajai formulai ir forma LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Apsveriet piemērus LCM atrašanai saskaņā ar iepriekš minēto formulu.
Atrodiet divu skaitļu 126 un 70 mazāko kopīgo daudzkārtni.
Šajā piemērā a=126 , b=70 . Izmantosim LCM saiti ar GCD, ko izsaka ar formulu LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Tas ir, vispirms ir jāatrod lielākais skaitļu 70 un 126 kopējais dalītājs, pēc kura mēs varam aprēķināt šo skaitļu LCM pēc rakstītās formulas.
Atrodiet gcd(126, 70), izmantojot Eiklida algoritmu: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , tātad gcd(126, 70)=14 .
Tagad mēs atrodam nepieciešamo mazāko kopējo daudzkārtni: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Kas ir LCM(68, 34)?
Tā kā 68 vienmērīgi dalās ar 34 , tad gcd(68, 34)=34 . Tagad mēs aprēķinām mazāko kopējo daudzkārtni: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Ņemiet vērā, ka iepriekšējais piemērs atbilst šādam noteikumam LCM atrašanai pozitīviem veseliem skaitļiem a un b: ja skaitlis a dalās ar b , tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir a .
LCM atrašana, iedalot skaitļus galvenajos faktoros
Vēl viens veids, kā atrast vismazāko reizinātāju, ir skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Ja veidojam visu šo skaitļu pirmkoeficientu reizinājumu, pēc kura izslēdzam no šī reizinājuma visus kopīgos pirmkoeficientus, kas ir šo skaitļu izvērsumos, tad iegūtais reizinājums būs vienāds ar šo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.
Paziņotais noteikums LCM atrašanai izriet no vienādības LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Patiešām, skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu to faktoru reizinājumu, kas ir iesaistīti skaitļu a un b paplašināšanā. Savukārt gcd(a, b) ir vienāds ar produktu visi pirmfaktori, kas vienlaikus atrodas skaitļu a un b izvērsumos (kas ir aprakstīti sadaļā par GCD atrašanu, izmantojot skaitļu sadalīšanu pirmfaktoros).
Ņemsim piemēru. Ļaujiet mums zināt, ka 75 = 3 5 5 un 210 = 2 3 5 7 . Sastādiet visu šo paplašinājumu faktoru reizinājumu: 2 3 3 5 5 5 7 . Tagad mēs no šī produkta izslēdzam visus faktorus, kas ir gan skaitļa 75, gan skaitļa 210 paplašināšanā (šādi faktori ir 3 un 5), tad produkts iegūs formu 2 3 5 5 7 . Šī reizinājuma vērtība ir vienāda ar 75 un 210 mazāko kopējo daudzkārtni, tas ir, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Pēc skaitļu 441 un 700 ieskaitīšanas primārajos faktoros atrodiet šo skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.
Sadalīsim skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros: 
Mēs iegūstam 441 = 3 3 7 7 un 700 = 2 2 5 5 7 .
Tagad izveidosim visu faktoru reizinājumu, kas saistīti ar šo skaitļu izvēršanu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Izslēgsim no šī produkta visus faktorus, kas vienlaikus ir abos paplašinājumos (tāds faktors ir tikai viens - tas ir skaitlis 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tātad LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100 .
LCM(441, 700) = 44 100.
Noteikumu LCM atrašanai, izmantojot skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros, var formulēt nedaudz savādāk. Ja pieskaitām trūkstošos faktorus no skaitļa b dekompozīcijas faktoriem no skaitļa a izvērsuma, tad iegūtā reizinājuma vērtība būs vienāda ar skaitļu a un b mazāko kopīgo daudzkārtni.
Piemēram, ņemsim visus tos pašus skaitļus 75 un 210, to izvērsumi primārajos koeficientos ir šādi: 75=3 5 5 un 210=2 3 5 7 . Pie faktoriem 3, 5 un 5 no skaitļa 75 dekompozīcijas pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 7 no skaitļa 210 dekompozīcijas, iegūstam reizinājumu 2 3 5 5 7 , kura vērtība ir LCM(75 , 210) .
Atrodiet skaitļu 84 un 648 mazāko kopīgo daudzkārtni.
Vispirms iegūstam skaitļu 84 un 648 sadalīšanos pirmfaktoros. Tie izskatās šādi: 84=2 2 3 7 un 648=2 2 2 3 3 3 3. Pie faktoriem 2 , 2 , 3 un 7 no skaitļa 84 dekompozīcijas pievienojam trūkstošos faktorus 2 , 3 , 3 un 3 no skaitļa 648 dekompozīcijas , iegūstam reizinājumu 2 2 2 3 3 3 3 7 , kas ir vienāds ar 4 536 . Tādējādi vēlamais skaitļu 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums ir 4536.
Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana
Trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu var atrast, secīgi atrodot divu skaitļu LCM. Atgādiniet atbilstošo teorēmu, kas dod iespēju atrast trīs vai vairāku skaitļu LCM.
Ja ir doti pozitīvi veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, a k, šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis m k tiek atrasts secīgajā aprēķinā m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k-1 , a k) .
Apsveriet šīs teorēmas piemērošanu četru skaitļu mazākā kopīgā daudzkāršā atrašanas piemērā.
Atrodiet četru skaitļu 140, 9, 54 un 250 LCM.
Vispirms atrodam m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Lai to izdarītu, izmantojot Eiklida algoritmu, mēs nosakām gcd(140, 9) , mums ir 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , tāpēc gcd( 140, 9) = 1 , no kurienes LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tas ir, m 2 = 1 260 .
Tagad mēs atrodam m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Aprēķināsim to caur gcd(1 260, 54) , ko arī nosaka Eiklida algoritms: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tad gcd(1 260, 54) = 18 , no kurienes LCM(1 260, 54) = 1 260 54: gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tas ir, m 3 \u003d 3 780.
Atliek atrast m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Lai to izdarītu, mēs atrodam GCD(3 780, 250), izmantojot Eiklida algoritmu: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Tāpēc gcd(3780,250)=10, tātad LCM(3780,250)=3780250:gcd(3780,250)=3780 250:10=94500. Tas ir, m 4 \u003d 94 500.
Tātad sākotnējo četru skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
Daudzos gadījumos trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju var ērti atrast, izmantojot doto skaitļu primārās faktorizācijas. Šajā gadījumā ir jāievēro šāds noteikums. Vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar reizinājumu, ko veido šādi: trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas pieskaita visiem faktoriem no pirmā skaitļa paplašināšanas, trūkstošos faktorus no skaitļa paplašināšanas. iegūtajiem faktoriem tiek pievienots trešais skaitlis utt.
Apsveriet piemēru, kā atrast vismazāko kopējo reizinātāju, izmantojot skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros.
Atrodiet piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 mazāko kopīgo reizinātāju.
Pirmkārt, mēs iegūstam šo skaitļu sadalīšanos pirmfaktoros: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ir pirmskaitlis, tas sakrīt ar tā sadalīšanos pirmfaktoros) un 143=11 13 .
Lai atrastu šo skaitļu LCM, pirmā skaitļa 84 faktoriem (tie ir 2 , 2 , 3 un 7) jāpievieno trūkstošie faktori no otrā skaitļa 6 izvērsuma. Skaitļa 6 paplašinājums nesatur trūkstošos faktorus, jo gan 2, gan 3 jau ir klāt pirmā skaitļa 84 izvērsumā. Tālāk pie faktoriem 2 , 2 , 3 un 7 pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 2 no trešā skaitļa 48 dekompozīcijas , iegūstam faktoru kopu 2 , 2 , 2 , 2 , 3 un 7 . Nākamajā darbībā šai kopai nav jāpievieno faktori, jo tajā jau ir ietverti 7. Visbeidzot, faktoriem 2 , 2 , 2 , 2 , 3 un 7 mēs pievienojam trūkstošos faktorus 11 un 13 no skaitļa 143 izvērsuma. Mēs iegūstam reizinājumu 2 2 2 2 3 7 11 13 , kas ir vienāds ar 48 048 .
Tāpēc LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
Visretāk sastopamā negatīvo skaitļu daudzuma atrašana
Dažkārt ir uzdevumi, kuros jāatrod mazākais kopējais skaitļu daudzkārtnis, starp kuriem viens, vairāki vai visi skaitļi ir negatīvi. Šādos gadījumos visi negatīvie skaitļi jāaizstāj ar pretējiem skaitļiem, pēc tam jāatrod pozitīvo skaitļu LCM. Tas ir veids, kā atrast negatīvo skaitļu LCM. Piemēram, LCM(54, –34)=LCM(54, 34) un LCM(–622, –46, –54, –888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Mēs to varam izdarīt, jo a daudzkārtņu kopa ir tāda pati kā −a daudzkārtņu kopa (a un −a ir pretēji skaitļi). Patiešām, pieņemsim, ka b ir kāds a daudzkārtnis, tad b dalās ar a , un dalāmības jēdziens apliecina tāda vesela skaitļa q esamību, ka b=a q . Taču būs patiesa arī vienādība b=(−a)·(−q), kas, pamatojoties uz to pašu dalāmības jēdzienu, nozīmē, ka b dalās ar −a , tas ir, b ir −a daudzkārtnis. Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums: ja b ir kāds −a daudzkārtnis, tad b ir arī a daudzkārtnis.
Atrodiet negatīvo skaitļu −145 un −45 mazāko kopīgo daudzkārtni.
Aizstāsim negatīvos skaitļus -145 un -45 ar tiem pretējiem skaitļiem 145 un 45 . Mums ir LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nosakot gcd(145, 45)=5 (piemēram, izmantojot Eiklida algoritmu), mēs aprēķinām LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305. Tādējādi negatīvo veselo skaitļu –145 un –45 mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 1,305 .
www.cleverstudents.ru
Mēs turpinām mācīties nodaļu. Šajā nodarbībā mēs aplūkosim tādus jēdzienus kā GCD Un NOC.
GCD ir lielākais kopīgais dalītājs.
NOC ir mazākais kopīgais daudzkārtnis.
Tēma ir diezgan garlaicīga, bet tas ir jāsaprot. Neizprotot šo tēmu, jūs nevarēsit efektīvi strādāt ar daļskaitļiem, kas matemātikā ir reāls šķērslis.
Lielākais kopīgais dalītājs
Definīcija. Lielākais kopējais skaitļu dalītājs a Un b a Un b sadalīts bez atlikuma.
Lai labi izprastu šo definīciju, mainīgo vietā mēs aizvietojam a Un b piemēram, jebkuri divi skaitļi mainīgā vietā a aizstājiet skaitli 12 un mainīgā vietā b numurs 9. Tagad mēģināsim izlasīt šo definīciju:
Lielākais kopējais skaitļu dalītājs 12 Un 9 ir lielākais skaitlis, pēc kura 12 Un 9 sadalīts bez atlikuma.
No definīcijas ir skaidrs, ka mēs runājam par kopīgu skaitļu 12 un 9 dalītāju, un šis dalītājs ir lielākais no visiem esošajiem dalītājiem. Šis lielākais kopējais dalītājs (gcd) ir jāatrod.
Lai atrastu divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, tiek izmantotas trīs metodes. Pirmā metode ir diezgan laikietilpīga, taču tā ļauj labi izprast tēmas būtību un sajust visu tās nozīmi.
Otrā un trešā metode ir diezgan vienkārša un ļauj ātri atrast GCD. Mēs apsvērsim visas trīs metodes. Un ko piemērot praksē - jūs izvēlaties.
Pirmais veids ir atrast visus iespējamos divu skaitļu dalītājus un izvēlēties lielāko no tiem. Apsveriet šo metodi nākamais piemērs: atrodiet skaitļu 12 un 9 lielāko kopīgo dalītāju.
Pirmkārt, mēs atrodam visus iespējamos skaitļa 12 dalītājus. Lai to izdarītu, mēs sadalām 12 visos dalītājos diapazonā no 1 līdz 12. Ja dalītājs ļauj dalīt 12 bez atlikuma, mēs to iezīmēsim zilā krāsā un izveidosim atbilstošs skaidrojums iekavās.
12: 1 = 12
(12 dalīts ar 1 bez atlikuma, tāpēc 1 ir 12 dalītājs)
12: 2 = 6
(12 dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc 2 ir 12 dalītājs)
12: 3 = 4
(12 dalīts ar 3 bez atlikuma, tāpēc 3 ir 12 dalītājs)
12: 4 = 3
(12 dalīts ar 4 bez atlikuma, tāpēc 4 ir 12 dalītājs)
12:5 = 2 (atlicis 2)
(12 nav dalīts ar 5 bez atlikuma, tāpēc 5 nav 12 dalītājs)
12: 6 = 2
(12 dalīts ar 6 bez atlikuma, tāpēc 6 ir 12 dalītājs)
12: 7 = 1 (atlicis 5)
(12 nav dalīts ar 7 bez atlikuma, tāpēc 7 nav 12 dalītājs)
12: 8 = 1 (palikuši 4)
(12 nav dalīts ar 8 bez atlikuma, tāpēc 8 nav 12 dalītājs)
12:9 = 1 (palikuši 3)
(12 nav dalīts ar 9 bez atlikuma, tāpēc 9 nav 12 dalītājs)
12: 10 = 1 (atlicis 2)
(12 nav dalīts ar 10 bez atlikuma, tāpēc 10 nav 12 dalītājs)
12:11 = 1 (atlicis 1)
(12 nav dalīts ar 11 bez atlikuma, tāpēc 11 nav 12 dalītājs)
12: 12 = 1
(12 dalīts ar 12 bez atlikuma, tāpēc 12 ir 12 dalītājs)
Tagad atradīsim skaitļa 9 dalītājus. Lai to izdarītu, pārbaudiet visus dalītājus no 1 līdz 9
9: 1 = 9
(9 dalīts ar 1 bez atlikuma, tāpēc 1 ir 9 dalītājs)
9: 2 = 4 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc 2 nav 9 dalītājs)
9: 3 = 3
(9 dalīts ar 3 bez atlikuma, tāpēc 3 ir 9 dalītājs)
9: 4 = 2 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 4 bez atlikuma, tāpēc 4 nav 9 dalītājs)
9:5 = 1 (palikuši 4)
(9 nav dalīts ar 5 bez atlikuma, tāpēc 5 nav 9 dalītājs)
9: 6 = 1 (atlicis 3)
(9 nedalīja ar 6 bez atlikuma, tāpēc 6 nav 9 dalītājs)
9:7 = 1 (atlicis 2)
(9 nav dalīts ar 7 bez atlikuma, tāpēc 7 nav 9 dalītājs)
9:8 = 1 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 8 bez atlikuma, tāpēc 8 nav 9 dalītājs)
9: 9 = 1
(9 dalīts ar 9 bez atlikuma, tāpēc 9 ir 9 dalītājs)
Tagad pierakstiet abu skaitļu dalītājus. Zilā krāsā iezīmētie skaitļi ir dalītāji. Izrakstīsim tos:
Pēc dalītāju izrakstīšanas jūs varat uzreiz noteikt, kurš no tiem ir lielākais un visizplatītākais.
Pēc definīcijas lielākais 12 un 9 kopīgais dalītājs ir skaitlis, ar kuru 12 un 9 dalās vienmērīgi. Lielākais un kopīgais skaitļu 12 un 9 dalītājs ir skaitlis 3
Gan skaitlis 12, gan skaitlis 9 dalās ar 3 bez atlikuma:
Tātad gcd (12 un 9) = 3
Otrs veids, kā atrast GCD
Tagad apsveriet otro veidu, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju. Šīs metodes būtība ir sadalīt abus skaitļus primārajos faktoros un reizināt kopējos.
1. piemērs. Atrodiet skaitļu 24 un 18 GCD
Pirmkārt, iekļausim abus skaitļus galvenajos faktoros:
Tagad mēs reizinām to kopīgos faktorus. Lai neapjuktu, var pasvītrot kopīgos faktorus.
Mēs skatāmies uz skaitļa 24 sadalīšanos. Tā pirmais faktors ir 2. Mēs meklējam to pašu koeficientu skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka tas ir arī tur. Mēs pasvītrojam abus divus:
Atkal mēs skatāmies uz skaitļa 24 sadalīšanos. Tā otrais faktors arī ir 2. Mēs meklējam to pašu koeficientu skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka otrreiz tā nav. Tad mēs neko neizceļam.
Nākamo divu skaitļa 24 paplašinājumā trūkst arī skaitļa 18 paplašinājumā.
Pārejam pie pēdējā faktora skaitļa 24 sadalīšanā. Tas ir faktors 3. Mēs meklējam to pašu faktoru skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka tas arī ir. Mēs uzsveram abus trīs:
Tātad, skaitļu 24 un 18 kopējie faktori ir faktori 2 un 3. Lai iegūtu GCD, šie faktori ir jāreizina:
Tātad gcd (24 un 18) = 6
Trešais veids, kā atrast GCD
Tagad apsveriet trešo veidu, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju. Šīs metodes būtība slēpjas faktā, ka skaitļi, kas jāmeklē, lai atrastu lielāko kopīgo dalītāju, tiek sadalīti pirmfaktoros. Pēc tam no pirmā skaitļa dekompozīcijas tiek dzēsti faktori, kas nav iekļauti otrā skaitļa dekompozīcijā. Atlikušie skaitļi pirmajā paplašinājumā tiek reizināti un iegūst GCD.
Piemēram, šādā veidā atradīsim GCD skaitļiem 28 un 16. Pirmkārt, mēs sadalām šos skaitļus galvenajos faktoros:
Mēs saņēmām divus paplašinājumus: un
Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs izdzēšam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā numura paplašināšana neietver septiņus. Mēs to izdzēsīsim no pirmā paplašinājuma:
Tagad mēs reizinām atlikušos faktorus un iegūstam GCD:
Skaitlis 4 ir lielākais skaitļu 28 un 16 kopīgais dalītājs. Abi šie skaitļi dalās ar 4 bez atlikuma:
2. piemērs Atrodiet skaitļu 100 un 40 GCD
Izrēķinot skaitli 100
Izrēķinot skaitli 40
Mēs saņēmām divus paplašinājumus:
Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs izdzēšam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā skaitļa paplašināšana neietver vienu piecinieku (ir tikai viens piecinieks). Mēs to izdzēšam no pirmās sadalīšanas
Reiziniet atlikušos skaitļus:
Mēs saņēmām atbildi 20. Tātad skaitlis 20 ir lielākais skaitļu 100 un 40 kopējais dalītājs. Šie divi skaitļi dalās ar 20 bez atlikuma:
GCD (100 un 40) = 20.
3. piemērs Atrodiet skaitļu 72 un 128 gcd
Izrēķinot skaitli 72
Izrēķinot skaitli 128
2×2×2×2×2×2×2
Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs izdzēšam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā skaitļa izvērsumā nav iekļauti divi tripleti (tādu vispār nav). Mēs tos izdzēšam no pirmā paplašinājuma:
Mēs saņēmām atbildi 8. Tātad skaitlis 8 ir lielākais skaitļu 72 un 128 kopējais dalītājs. Šie divi skaitļi dalās ar 8 bez atlikuma:
GCD (72 un 128) = 8
GCD atrašana vairākiem numuriem
Lielāko kopējo dalītāju var atrast vairākiem skaitļiem, nevis tikai diviem. Šim nolūkam skaitļus, kas jāatrod lielākajam kopējam dalītājam, sadala pirmfaktoros, pēc tam atrod šo skaitļu kopējo pirmfaktoru reizinājumu.
Piemēram, atradīsim GCD skaitļiem 18, 24 un 36
Faktorēšanas skaitlis 18
Faktorēšanas skaitlis 24
Faktorēšanas skaitlis 36
Mēs saņēmām trīs paplašinājumus:
Tagad mēs atlasām un pasvītrojam kopējos faktorus šajos skaitļos. Kopējie faktori ir jāiekļauj visos trīs skaitļos:
Mēs redzam, ka kopējie faktori skaitļiem 18, 24 un 36 ir faktori 2 un 3. Sareizinot šos faktorus, mēs iegūstam meklēto GCD:
Mēs saņēmām atbildi 6. Tātad skaitlis 6 ir lielākais skaitļu 18, 24 un 36 kopējais dalītājs. Šie trīs skaitļi dalās ar 6 bez atlikuma:
GCD (18, 24 un 36) = 6
2. piemērs Atrodiet gcd skaitļiem 12, 24, 36 un 42
Faktorizēsim katru skaitli. Tad mēs atrodam šo skaitļu kopējo faktoru reizinājumu.
Faktorēšanas skaitlis 12
Faktorēšanas skaitlis 42
Mēs saņēmām četrus paplašinājumus:
Tagad mēs atlasām un pasvītrojam kopējos faktorus šajos skaitļos. Kopējie faktori ir jāiekļauj visos četros skaitļos:
Mēs redzam, ka kopējie faktori skaitļiem 12, 24, 36 un 42 ir faktori 2 un 3. Reizinot šos faktorus, mēs iegūstam meklēto GCD:
Mēs saņēmām atbildi 6. Tātad skaitlis 6 ir lielākais skaitļu 12, 24, 36 un 42 kopējais dalītājs. Šie skaitļi dalās ar 6 bez atlikuma:
gcd(12, 24, 36 un 42) = 6
No iepriekšējās nodarbības mēs zinām, ka, ja kādu skaitli dala ar citu bez atlikuma, to sauc par šī skaitļa daudzkārtni.
Izrādās, ka daudzkārtējs var būt kopīgs vairākiem skaitļiem. Un tagad mūs interesēs divu skaitļu reizinājums, kamēr tam jābūt pēc iespējas mazākam.
Definīcija. Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM). a Un b- a Un b a un numurs b.
Definīcija satur divus mainīgos a Un b. Aizstāsim šos mainīgos ar jebkuriem diviem skaitļiem. Piemēram, mainīgā vietā a aizstājiet skaitli 9 un mainīgā vietā b aizstāsim skaitli 12. Tagad mēģināsim izlasīt definīciju:
Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM). 9 Un 12 - ir mazākais skaitlis, kas ir daudzkārtnis 9 Un 12 . Citiem vārdiem sakot, tas ir tik mazs skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar skaitli 9 un uz numuru 12 .
No definīcijas ir skaidrs, ka LCM ir mazākais skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar 9 un 12. Šis LCM ir jāatrod.
Ir divi veidi, kā atrast vismazāko kopskaitu (LCM). Pirmais veids ir tas, ka varat pierakstīt pirmos divu skaitļu reizinātājus un pēc tam no šiem skaitļiem izvēlēties tādu skaitļu, kas būs kopīgs gan skaitļiem, gan maziem. Pielietosim šo metodi.
Pirmkārt, mēs atradīsim skaitļa 9 pirmos reizinātājus. Lai atrastu skaitļa 9 reizinātājus, jums šie deviņi pēc kārtas jāreizina ar skaitļiem no 1 līdz 9. Iegūtās atbildes būs skaitļa 9 reizinātāji. Tātad, sāksim. Vairāki tiks iezīmēti sarkanā krāsā:
Tagad mēs atrodam skaitļa 12 reizinājumus. Lai to izdarītu, mēs reizinām 12 ar visiem skaitļiem no 1 līdz 12 pēc kārtas.
Lai saprastu, kā aprēķināt LCM, vispirms ir jānosaka termina "vairāki" nozīme.
A daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma. Tādējādi 15, 20, 25 un tā tālāk var uzskatīt par 5 reizinātājiem.
Konkrēta skaitļa dalītāju skaits var būt ierobežots, taču ir bezgalīgs daudzkārtņu skaits.
Dabisku skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir skaitlis, kas dalās ar tiem bez atlikuma.
Kā atrast skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni
Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM) (divi, trīs vai vairāk) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar visiem šiem skaitļiem.
Lai atrastu NOC, varat izmantot vairākas metodes.
Maziem skaitļiem ir ērti izrakstīt rindā visus šo skaitļu reizinājumus, līdz starp tiem tiek atrasts kopīgs. Ierakstā apzīmē reizinātājus lielais burts UZ.
Piemēram, skaitļa 4 reizinājumus var uzrakstīt šādi:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Tātad, jūs varat redzēt, ka skaitļu 4 un 6 mazākais kopīgais reizinājums ir skaitlis 24. Šo ierakstu veic šādi:
LCM(4, 6) = 24
Ja skaitļi ir lieli, atrodiet trīs vai vairāku skaitļu kopējo daudzkārtni, tad LCM aprēķināšanai labāk izmantot citu veidu.
Lai izpildītu uzdevumu, piedāvātie skaitļi ir jāsadala pirmfaktoros.
Vispirms rindā jāizraksta lielākā skaitļa paplašinājums, bet zem tā - pārējie.
Katra skaitļa paplašināšanā var būt atšķirīgs faktoru skaits.
Piemēram, iedalīsim skaitļus 50 un 20 primārajos faktoros.
Paplašinot mazāko skaitu, jāuzsver faktori, kuru nav pirmā paplašināšanā. liels skaits un pēc tam pievienojiet tos tai. Parādītajā piemērā trūkst divnieka.
Tagad mēs varam aprēķināt 20 un 50 mazāko kopējo daudzkārtni.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Tātad primāro faktoru reizinājums vairāk un otrā skaitļa faktori, kas nav iekļauti lielākā izvērsumā, būs mazākais kopskaitlis.
Lai atrastu trīs vai vairāku skaitļu LCM, tie visi ir jāsadala primārajos faktoros, tāpat kā iepriekšējā gadījumā.
Piemēram, jūs varat atrast skaitļu 16, 24, 36 mazāko kopējo daudzkārtni.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Tādējādi tikai divi divi no sešpadsmit dekompozīcijas netika iekļauti lielāka skaitļa faktorizācijā (viens ir divdesmit četru dekompozīcija).
Tādējādi tie ir jāpievieno lielāka skaitļa sadalīšanai.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Ir īpaši gadījumi, kā noteikt mazāko kopējo daudzkārtni. Tātad, ja vienu no skaitļiem bez atlikuma var dalīt ar citu, tad lielākais no šiem skaitļiem būs mazākais kopskaitlis.
Piemēram, NOC no divpadsmit un divdesmit četriem būtu divdesmit četri.
Ja nepieciešams atrast vismazāko kopskaitli, kam nav vienādi dalītāji, tad to LCM būs vienāds ar to reizinājumu.
Piemēram, LCM(10, 11) = 110.
Kā atrast LCM (vismazāk izplatītais daudzkārtnis)
Divu veselu skaitļu kopīgais daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar abiem dotajiem skaitļiem bez atlikuma.Divu veselu skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir mazākais no visiem veselajiem skaitļiem, kas dalās vienmērīgi un bez atlikuma ar abiem dotajiem skaitļiem.
1. metode. Savukārt LCM var atrast katram no dotajiem skaitļiem, augošā secībā izrakstot visus skaitļus, kas iegūti, tos reizinot ar 1, 2, 3, 4 utt.
Piemērs skaitļiem 6 un 9.
Mēs reizinām skaitli 6 secīgi ar 1, 2, 3, 4, 5.
Mēs iegūstam: 6, 12, 18
, 24, 30
Mēs reizinām skaitli 9 secīgi ar 1, 2, 3, 4, 5.
Mēs iegūstam: 9, 18
, 27, 36, 45
Kā redzat, LCM skaitļiem 6 un 9 būs 18.
Šī metode ir ērta, ja abi skaitļi ir mazi un tos ir viegli reizināt ar veselu skaitļu secību. Tomēr ir gadījumi, kad ir jāatrod LCM divciparu vai trīsciparu skaitļi, kā arī tad, ja ir trīs vai pat vairāk sākuma skaitļi.
2. metode. LCM var atrast, sadalot sākotnējos skaitļus primārajos faktoros.
Pēc sadalīšanas ir jāizsvītro tie paši skaitļi no iegūtās primāro faktoru sērijas. Atlikušie pirmā skaitļa skaitļi būs otrā skaitļa faktors, bet pārējie otrā skaitļa skaitļi būs pirmā skaitļa faktors.
Piemērs par numuru 75 un 60.
Skaitļu 75 un 60 mazāko kopīgo reizinājumu var atrast, neizrakstot šo skaitļu reizinātājus pēc kārtas. Lai to izdarītu, mēs sadalām 75 un 60 galvenajos faktoros:
75 = 3
* 5
* 5 un
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
Kā redzat, faktors 3 un 5 ir sastopami abās rindās. Garīgi mēs tos "izsvītrojam".
Pierakstīsim atlikušos faktorus, kas iekļauti katra šī skaitļa izvēršanā. Sadalot skaitli 75, mēs atstājām skaitli 5, un, sadalot skaitli 60, atstājām 2 * 2
Tātad, lai noteiktu LCM skaitļiem 75 un 60, atlikušie skaitļi no 75 izvērsuma (tas ir 5) jāreizina ar 60 un skaitļi, kas paliek no skaitļa 60 izvēršanas (tas ir 2 * 2 ) reiziniet ar 75. Tas ir, lai būtu vieglāk saprast, mēs sakām, ka mēs reizinām "šķērsām".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Šādi mēs atradām LCM skaitļiem 60 un 75. Šis ir skaitlis 300.
Piemērs. Nosakiet LCM skaitļiem 12, 16, 24
IN Šis gadījums, mūsu darbības būs nedaudz sarežģītākas. Bet vispirms, kā vienmēr, mēs sadalām visus skaitļus primārajos faktoros
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Lai pareizi noteiktu LCM, mēs izvēlamies mazāko no visiem skaitļiem (tas ir skaitlis 12) un secīgi izejam cauri tā faktoriem, tos izsvītrojot, ja vismaz vienā no pārējām skaitļu rindām ir tāds pats koeficients, kas vēl nav pārsvītrots. ārā.
1. darbība. Mēs redzam, ka 2 * 2 notiek visās skaitļu sērijās. Mēs tos izsvītrojam.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
2. solis. Skaitļa 12 pirmfaktoros paliek tikai skaitlis 3. Bet tas ir skaitļa 24 pirmfaktoros. Skaitli 3 izsvītrojam no abām rindām, savukārt ar skaitli 16 darbība nav gaidāma .
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Kā redzat, sadalot skaitli 12, mēs "izsvītrojām" visus skaitļus. Tātad NOC atrašana ir pabeigta. Atliek tikai aprēķināt tā vērtību.
Skaitlim 12 mēs ņemam atlikušos faktorus no skaitļa 16 (tuvākais augošā secībā)
12 * 2 * 2 = 48
Šis ir NOC
Kā redzat, šajā gadījumā LCM atrašana bija nedaudz grūtāka, taču, ja jums tas jāatrod trīs vai vairāk cipariem, šī metode ļauj to izdarīt ātrāk. Tomēr abi LCM atrašanas veidi ir pareizi.
Tēma "Vairāki skaitļi" tiek apgūta 5. klasē vidusskola. Tās mērķis ir pilnveidot matemātisko aprēķinu rakstveida un mutvārdu prasmes. Šajā nodarbībā tiek ieviesti jauni jēdzieni - “vairāki skaitļi” un “dalītāji”, tiek izstrādāta naturāla skaitļa dalītāju un reizinātāju atrašanas tehnika, spēja dažādos veidos atrast LCM.
Šī tēma ir ļoti svarīga. Zināšanas par to var pielietot, risinot piemērus ar daļskaitļiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kopsaucējs, aprēķinot mazāko kopējo daudzkārtni (LCM).
A daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma.
Katram naturālajam skaitlim ir bezgalīgs skaits tā daudzkārtņu. Tas tiek uzskatīts par vismazāko. Daudzkārtējs nevar būt mazāks par pašu skaitli.
Ir jāpierāda, ka skaitlis 125 ir skaitļa 5 reizinājums. Lai to izdarītu, pirmais skaitlis ir jāsadala ar otro. Ja 125 dalās ar 5 bez atlikuma, tad atbilde ir jā.
Šī metode ir piemērota maziem skaitļiem.
Aprēķinot LCM, ir īpaši gadījumi.
1. Ja jāatrod kopīgs reizinātājs 2 skaitļiem (piemēram, 80 un 20), kur viens no tiem (80) bez atlikuma dalās ar otru (20), tad šis skaitlis (80) ir mazākais šo divu skaitļu reizinājums.
LCM (80, 20) = 80.
2. Ja diviem nav kopīga dalītāja, tad varam teikt, ka to LCM ir šo divu skaitļu reizinājums.
LCM (6, 7) = 42.
Apsveriet pēdējo piemēru. 6 un 7 attiecībā pret 42 ir dalītāji. Viņi dala daudzkārtni bez atlikuma.
Šajā piemērā 6 un 7 ir pāru dalītāji. Viņu reizinājums ir vienāds ar lielāko skaitli (42).
Skaitli sauc par pirmskaitli, ja tas dalās tikai ar sevi vai ar 1 (3:1=3; 3:3=1). Pārējos sauc par saliktiem.
Citā piemērā jums ir jānosaka, vai 9 ir dalītājs attiecībā pret 42.
42:9=4 (atlikušais 6)
Atbilde: 9 nav 42 dalītājs, jo atbildē ir atlikums.
Dalītājs atšķiras no daudzskaitļa ar to, ka dalītājs ir skaitlis, ar kuru tiek dalīti naturālie skaitļi, un reizinātājs pats dalās ar šo skaitli.
Lielākais kopējais skaitļu dalītājs a Un b, reizināts ar to mazāko daudzkārtni, iegūs pašu skaitļu reizinājumu a Un b.
Proti: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.
Kopējie reizinātāji, lai iegūtu vairāk kompleksie skaitļi atrasts šādā veidā.
Piemēram, atrodiet LCM 168, 180, 3024.
Mēs sadalām šos skaitļus primārajos faktoros, ierakstām tos kā pakāpju reizinājumu:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM (168, 180, 3024) = 15120.
