أوجد حدود نقطة انعطاف الدالة. فترات التحدب والتقعر في الرسم البياني للدالة
عندما نرسم دالة ، من المهم تحديد الفترات المحدبة ونقاط الانعطاف. نحتاجها ، جنبًا إلى جنب مع فترات التناقص والزيادة ، للحصول على تمثيل واضح للدالة في شكل رسومي.
يتطلب فهم هذا الموضوع معرفة مشتق الوظيفة وكيفية حسابها بترتيب ما ، بالإضافة إلى القدرة على حلها أنواع مختلفةعدم المساواة.
في بداية المقال ، يتم تحديد المفاهيم الرئيسية. ثم سنبين العلاقة الموجودة بين اتجاه التحدب وقيمة المشتق الثاني خلال فترة زمنية معينة. بعد ذلك ، سنشير إلى الظروف التي يمكن بموجبها تحديد نقاط انعطاف الرسم البياني. سيتم توضيح جميع الاستدلالات بأمثلة على حلول المشكلات.
Yandex.RTB R-A-339285-1 التعريف 1
في اتجاه هبوطي على فترة زمنية معينة في حالة عدم وجود الرسم البياني الخاص بها أقل من المماس لها في أي نقطة من هذه الفترة.
التعريف 2
دالة قابلة للتفاضل محدبةلأعلى في فترة زمنية معينة إذا كان الرسم البياني لهذه الوظيفة لا يقع أعلى من المماس لها في أي نقطة من هذه الفترة.
يمكن أيضًا تسمية دالة محدبة لأسفل مقعرة. يظهر كلا التعريفين بوضوح في الرسم البياني أدناه:
التعريف 3
نقطة انعطاف الوظيفةهي النقطة M (x 0 ؛ f (x 0)) التي يوجد عندها مماس للرسم البياني للدالة ، بشرط أن يكون المشتق موجودًا بالقرب من النقطة x 0 ، حيث من اليسار و الجانب الأيمنيقبل الرسم البياني وظيفة اتجاهات مختلفةانتفاخات.
ببساطة ، نقطة الانعطاف هي مكان على الرسم البياني حيث يوجد ظل ، واتجاه تحدب الرسم البياني عند المرور عبر هذا المكان سيغير اتجاه التحدب. إذا كنت لا تتذكر في ظل أي ظروف يكون وجود المماس الرأسي وغير الرأسي ممكنًا ، فننصحك بتكرار القسم الموجود في ظل الرسم البياني للدالة عند نقطة ما.
يوجد أدناه رسم بياني لوظيفة بها نقاط انعطاف متعددة مظللة باللون الأحمر. دعونا نوضح أن وجود نقاط انعطاف ليس إلزاميًا. على التمثيل البياني لدالة واحدة ، يمكن أن يكون هناك واحد أو اثنان أو عدة أو عدد غير محدود أو لا شيء.
في هذا القسم ، سنتحدث عن نظرية يمكنك من خلالها تحديد فترات التحدب على الرسم البياني لوظيفة معينة.
التعريف 4
سيكون للرسم البياني للدالة تحدب في الاتجاه لأسفل أو لأعلى إذا كانت الوظيفة المقابلة y = f (x) لها مشتق محدود ثانٍ في الفترة المحددة x ، بشرط أن المتباينة f "" (x) ≥ 0 x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 x ∈ X) ستكون صحيحة.
باستخدام هذه النظرية ، يمكنك إيجاد فترات التقعر والتحدب في أي رسم بياني للدالة. للقيام بذلك ، تحتاج فقط إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 في مجال الوظيفة المقابلة.
دعونا نوضح أن تلك النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الثاني ، ولكن الوظيفة y = f (x) محددة ، سيتم تضمينها في فترات التحدب والتقعر.
دعونا نلقي نظرة على مثال لمشكلة معينة ، وكيفية تطبيق هذه النظرية بشكل صحيح.
مثال 1
حالة:إذا كانت الدالة y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1. حدد الفواصل الزمنية التي يكون فيها الرسم البياني للتحدب والتقعر.
حل
مجال هذه الوظيفة هو المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية. لنبدأ بحساب المشتق الثاني.
y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "= x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
نرى أن مجال المشتق الثاني يتزامن مع مجال الوظيفة نفسها. لذلك ، لتحديد فترات التحدب ، نحتاج إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 .
y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
لقد حصلنا على هذا الجدول الزمني وظيفة معينةسيكون لها تقعر في الجزء [2 ؛ + ∞) والتحدب على القطعة (- ∞ ؛ 2].
من أجل الوضوح ، سنرسم رسمًا بيانيًا للوظيفة ونضع علامة على الجزء المحدب باللون الأزرق ، والجزء المقعر باللون الأحمر.
إجابة:الرسم البياني للدالة المعينة سيكون له تقعر في المقطع [2 ؛ + ∞) والتحدب على القطعة (- ∞ ؛ 2].
ولكن ماذا تفعل إذا كان مجال المشتق الثاني لا يتطابق مع مجال الوظيفة؟ هنا ، الملاحظة المذكورة أعلاه مفيدة لنا: تلك النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الثاني الأخير ، سنقوم أيضًا بتضمين مقاطع التقعر والتحدب.
مثال 2
حالة:إذا كانت الدالة y = 8 x x - 1. حدد الفترات الزمنية التي سيكون فيها الرسم البياني مقعرًا ، وفي أي فترات سيكون محدبًا.
حل
أولًا ، دعنا نكتشف نطاق الدالة.
x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [0 ؛ 1) ∪ (1 ؛ +)
الآن نحسب المشتق الثاني:
y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "= - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3
مجال المشتق الثاني هو المجموعة x ∈ (0 ؛ 1) ∪ (1 ؛ + ∞). نرى أن x يساوي صفرًا سيكون في مجال الدالة الأصلية ، لكن ليس في مجال المشتقة الثانية. يجب تضمين هذه النقطة في جزء التقعر أو التحدب.
بعد ذلك ، نحتاج إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 في مجال الدالة المعينة. نستخدم طريقة الفاصل الزمني لهذا: عند x \ u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2، 1547 أو x \ u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0، 1547 البسط 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 يصبح 0 والمقام هو 0 عند x ، صفرأو وحدة.
دعنا نضع النقاط الناتجة على الرسم البياني ونحدد علامة التعبير على جميع الفواصل الزمنية التي سيتم تضمينها في مجال الوظيفة الأصلية. على الرسم البياني ، يشار إلى هذه المنطقة من خلال الفقس. إذا كانت القيمة موجبة ، ضع علامة زائد ، إذا كانت سالبة ، ثم بعلامة ناقص.
لذلك،
f "(x) ≥ 0 x ∈ [0 ؛ 1) ∪ (1 ؛ +) ⇔ × ∈ 0 ؛ - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ؛ + ∞) و f "(x) ≤ 0 x ∈ [0 ؛ 1) ∪ (1 ؛ +) ⇔ x ∈ [- 1 + 2 3 3 ؛ 1)
نقوم بتشغيل النقطة المحددة مسبقًا x = 0 ونحصل على الإجابة المطلوبة. الرسم البياني للوظيفة الأصلية سيكون له انتفاخ هبوطي عند 0 ؛ - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ؛ + ∞) ، وما فوق - لـ x ∈ [- 1 + 2 3 3 ؛ 1).
لنرسم رسمًا بيانيًا ، ونضع علامة على الجزء المحدب باللون الأزرق والمقعّر باللون الأحمر. يتم تمييز الخط المقارب العمودي بخط أسود منقط.
إجابة:الرسم البياني للوظيفة الأصلية سيكون له انتفاخ هبوطي عند 0 ؛ - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ؛ + ∞) ، وما فوق - لـ x ∈ [- 1 + 2 3 3 ؛ 1).
شروط الانعطاف للرسم البياني للوظيفة
لنبدأ بصياغة الشرط الضروري لانقلاب الرسم البياني لبعض الوظائف.
التعريف 5
لنفترض أن لدينا دالة y = f (x) التي يحتوي رسمها البياني على نقطة انعطاف. بالنسبة إلى x = x 0 ، يكون لها مشتق ثانٍ مستمر ، وبالتالي فإن المساواة f "" (x 0) = 0 ستثبت.
بالنظر إلى هذا الشرط ، يجب أن نبحث عن نقاط الانقلاب بين تلك التي سيتحول عندها المشتق الثاني إلى 0. لن يكون هذا الشرط كافياً: لن تناسبنا كل هذه النقاط.
لاحظ أيضًا أنه وفقًا لـ تعريف مشترك، سنحتاج إلى خط مماس ، عمودي أو غير عمودي. في الممارسة العملية ، هذا يعني أنه من أجل إيجاد نقاط الانعطاف ، يجب على المرء أن يأخذ تلك التي يصبح فيها المشتق الثاني لهذه الوظيفة 0. لذلك ، لإيجاد حدود نقاط الانعطاف ، نحتاج إلى أخذ كل x 0 من مجال الوظيفة ، حيث lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 f" (س) = ∞. في أغلب الأحيان ، هذه هي النقاط التي يتحول عندها مقام المشتق الأول إلى 0.
الشرط الأول الكافي لوجود نقطة انعطاف للرسم البياني للوظيفة
لقد وجدنا جميع قيم x 0 التي يمكن اعتبارها حدود نقاط الانقلاب. بعد ذلك ، نحتاج إلى تطبيق أول شرط انعطاف كافٍ.
التعريف 6
لنفترض أن لدينا دالة y = f (x) متصلة عند النقطة M (x 0 ؛ f (x 0)). علاوة على ذلك ، لها ظل عند هذه النقطة ، والدالة نفسها لها مشتق ثان بالقرب من هذه النقطة x 0. في هذه الحالة ، إذا اكتسب المشتق الثاني إشارات معاكسة على الجانبين الأيمن والأيسر ، فيمكن اعتبار هذه النقطة نقطة انعطاف.
نرى أن هذا الشرط لا يتطلب أن يكون المشتق الثاني موجودًا بالضرورة في هذه المرحلة ، فوجوده في جوار النقطة x 0 كافٍ.
يمكن تقديم كل ما سبق بشكل ملائم كسلسلة من الإجراءات.
- تحتاج أولاً إلى العثور على جميع الخطوط العريضة x 0 لنقاط الانعطاف المحتملة ، حيث f "" (x 0) = 0 ، lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ، lim x → x 0 + 0 f" (س) = ∞.
- اكتشف النقاط التي سيتغير فيها المشتق. هذه القيم هي حدود نقاط الانعطاف ، والنقاط M (x 0 ؛ f (x 0)) المقابلة لها هي نقاط الانقلاب نفسها.
من أجل الوضوح ، دعونا ننظر في مشكلتين.
مثال 3
حالة:إذا كانت الدالة y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. حدد مكان وجود نقاط انعطاف وانتفاخ في الرسم البياني لهذه الوظيفة.
حل
يتم تحديد هذه الوظيفة على مجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية. نحن نعتبر المشتق الأول:
ص "= 1 10 × 4 12 - × 3 6 - 3 × 2 + 2 ×" = 1 10 4 × 3 12 - 3 × 2 6-6 × + 2 = = 1 10 × 3 3 - × 2 2-6 x + 2
لنجد الآن مجال المشتقة الأولى. إنها أيضًا مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. ومن ثم ، لا يمكن تحقيق المساواة lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ لأي قيم لـ x 0.
نحسب المشتق الثاني:
y "" = 1 10 x 3 3 - x 2 2-6 x + 2 "= 1 10 3 x 2 3-2 x 2-6 = 1 10 x 2 - x - 6
ص "= 0 ⇔ 1 10 (س 2 - س - 6) = 0 × 2 - س - 6 = 0 د = (- 1) 2-4 1 (- 6) = 25 × 1 = 1-25 2 \ u003d - 2 ، × 2 \ u003d 1 + 25 2 \ u003d 3
وجدنا الخطوط العريضة لنقطتي انعطاف محتملتين - 2 و 3. كل ما يتبقى لنا هو التحقق من النقطة التي يغير فيها المشتق علامته. دعنا نرسم محورًا عدديًا ونرسم هذه النقاط عليه ، وبعد ذلك سنضع علامات المشتق الثاني على الفترات الناتجة.
توضح الأقواس اتجاه تحدب الرسم البياني في كل فترة زمنية.
ينعكس المشتق الثاني الإشارة (من موجب إلى سالب) عند النقطة مع السالب 3 ، ويمر عبرها من اليسار إلى اليمين ، ويفعل الشيء نفسه (من سالب إلى موجب) عند النقطة التي تحتوي على الإحداثيات 3. لذلك ، يمكننا أن نستنتج أن x = - 2 و x = 3 هما حدود نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة. سوف تتوافق مع نقاط الرسم البياني - 2 ؛ - 4 3 و 3 ؛ - 15 8.
لننظر مرة أخرى إلى صورة المحور العددي والعلامات الناتجة على فترات زمنية لاستخلاص استنتاجات حول أماكن التقعر والتحدب. اتضح أن الانتفاخ سيكون موجودًا في الجزء - 2 ؛ 3 ، والتقعر على الأجزاء (- ؛ - 2] و [3 ؛ +).
يظهر حل المشكلة بوضوح في الرسم البياني: لون ازرق- التحدب ، الأحمر - التقعر ، الأسود يعني نقاط الانعطاف.
إجابة:سيتم وضع الانتفاخ في الجزء - 2 ؛ 3 ، والتقعر على الأجزاء (- ؛ - 2] و [3 ؛ +).
مثال 4
حالة:احسب الخطوط العريضة لكل نقاط الانعطاف في الرسم البياني للدالة y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5.
حل
مجال الوظيفة المعطاة هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية. نحسب المشتق:
y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = 1 8 x 2 + 3 x + 2 "(x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 "= = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3-2 5 = 13 x 2-6 x - 39 40 (x - 3) 2 5
بخلاف الدالة ، لن يتم تحديد مشتقها الأول بقيمة x تساوي 3 ، ولكن:
ليم س → 3 - 0 ص "(س) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ ليم س → 3 + 0 ص" (س) = 13 (3 + 0) 2-6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = +
هذا يعني أن المماس الرأسي للرسم البياني سيمر عبر هذه النقطة. لذلك ، يمكن أن تكون 3 هي حدود نقطة الانعطاف.
نحسب المشتق الثاني. نجد أيضًا مساحة تعريفه والنقاط التي يتحول عندها إلى 0:
y "= 13 x 2-6 x - 39 40 x - 3 2 5" = 1 40 13 x 2-6 x - 39 "(x - 3) 2 5-13 x 2-6 x - 39 x - 3 2 5 "(x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2-51 x + 21 (x - 3) 7 5، x ∈ (- ∞؛ 3) ∪ (3؛ + ∞) y" ( س) = 0 13 × 2-51 × + 21 = 0 د = (- 51) 2-4 13 21 = 1509 × 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 ، 4556 ، × 2 = 51 - 1509 26 0.4675
لدينا نقطتا انعطاف محتملتان إضافيتان. نضعهم جميعًا على خط الأعداد ونضع علامات على الفواصل الزمنية الناتجة:
سيحدث تغيير العلامة عند المرور عبر كل نقطة محددة ، مما يعني أنها جميعًا نقاط انعطاف.
إجابة:دعنا نرسم رسمًا بيانيًا للدالة ، ونضع علامات على التقعرات باللون الأحمر ، والتحدبات باللون الأزرق ، ونقاط الانعطاف باللون الأسود:
بمعرفة أول حالة انعطاف كافية ، يمكننا تحديد النقاط الضرورية حيث لا يكون وجود المشتق الثاني ضروريًا. بناءً على ذلك ، يمكن اعتبار الشرط الأول هو الأكثر عالمية ومناسبًا للحل أنواع مختلفةمهام.
لاحظ أن هناك شرطين إضافيين للانعطاف ، لكن لا يمكن تطبيقهما إلا عندما يكون هناك مشتق محدود عند النقطة المحددة.
إذا كان لدينا f "" (x 0) = 0 و f "" (x 0) ≠ 0 ، فإن x 0 ستكون حد نقطة انعطاف الرسم البياني y = f (x).
مثال 5
حالة:الدالة y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 معطاة. حدد ما إذا كان الرسم البياني للوظيفة سيكون له انعطاف عند النقطة 3 ؛ 4 5.
حل
أول شيء يجب فعله هو التأكد من أن النقطة المعينة ستنتمي على الإطلاق إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة.
ص (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
يتم تحديد الوظيفة المحددة لجميع الوسائط التي تمثل أرقامًا حقيقية. نحسب المشتقين الأول والثاني:
ص "= 1 60 × 3 - 3 20 × 2 + 7 10 × - 2 5" = 1 20 × 2 - 3 10 × + 7 10 ص "= 1 20 × 2 - 3 10 × + 7 10" = 1 10 × - 3 10 = 1 10 (× - 3)
لقد توصلنا إلى أن المشتق الثاني سيذهب إلى 0 إذا كان x يساوي 0. وسائل، شرط ضروريسيتم تنفيذ انعطاف لتلك النقطة. نستخدم الآن الشرط الثاني: نجد المشتق الثالث ونكتشف ما إذا كان سيتحول إلى 0 عند 3:
ص "" = 1 10 (س - 3) "= 1 10
لن يختفي المشتق الثالث لأي قيمة لـ x. لذلك ، يمكننا أن نستنتج أن هذه النقطة ستكون نقطة انعطاف للرسم البياني للدالة.
إجابة:لنعرض الحل في الرسم التوضيحي:
لنفترض أن f "(x 0) = 0 ، f" "(x 0) = 0 ،.. ، f (n) (x 0) = 0 و f (n + 1) (x 0) ≠ 0. في هذه الحالة ، بالنسبة إلى n ، نحصل على أن x 0 هي حد نقطة انعطاف الرسم البياني y \ u003d f (x).
مثال 6
حالة:بالنظر إلى الدالة y = (x - 3) 5 + 1. احسب نقاط انعطاف رسمها البياني.
حل
يتم تحديد هذه الوظيفة على مجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية. احسب المشتق: y "= ((x - 3) 5 + 1)" = 5 x - 3 4. نظرًا لأنه سيتم تعريفه أيضًا لجميع القيم الحقيقية للوسيطة ، فسيكون هناك ظل غير عمودي في أي نقطة في الرسم البياني الخاص به.
الآن دعنا نحسب القيم التي سيتحول المشتق الثاني إلى 0:
y "" = 5 (x - 3) 4 "= 20 x - 3 3 y" "= 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
لقد وجدنا أنه بالنسبة إلى x = 3 ، قد يحتوي الرسم البياني للدالة على نقطة انعطاف. نستخدم الشرط الثالث لتأكيد هذا:
ص "" = 20 (س - 3) 3 "= 60 × - 3 2 ، ص" "(3) = 60 3 - 3 2 = 0 ص (4) = 60 (س - 3) 2" = 120 (س - 3) ، ص (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 ص (5) = 120 (س - 3) "= 120 ، ص (5) (3) = 120 0
لدينا n = 4 بالشرط الكافي الثالث. هذا رقم زوجي ، لذا فإن x \ u003d 3 ستكون حدود نقطة الانعطاف وتتوافق معها نقطة الرسم البياني للوظيفة (3 ؛ 1).
إجابة:فيما يلي رسم بياني لهذه الوظيفة مع تحديد نقطة التحدب والتقعر والانعطاف:
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
رسم بياني وظيفي ذ=و (خ)مُسَمًّى محدبفي الفترة (أ ؛ ب)، إذا كانت تقع أسفل أي من ظلها في هذه الفترة.
رسم بياني وظيفي ذ=و (خ)مُسَمًّى مقعرفي الفترة (أ ؛ ب)، إذا كانت موجودة فوق أي من ظلها في هذه الفترة.
يوضح الشكل منحنى محدب على (أ ؛ ب)ومقعرة ل (قبل الميلاد).
أمثلة.
ضع في اعتبارك علامة كافية تسمح لك بتحديد ما إذا كان الرسم البياني لوظيفة ما في فترة زمنية معينة سيكون محدبًا أم مقعرًا.
نظرية. يترك ذ=و (خ)تفاضل من قبل (أ ؛ ب). إذا كان في جميع نقاط الفاصل الزمني (أ ؛ ب)المشتق الثاني للدالة ذ = و (خ)سلبي ، أي F ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(x)> 0 مقعر.
دليل. لنفترض ذلك من أجل التحديد F""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
خذ الرسم البياني للوظيفة ص = و (س)نقطة تعسفية م 0مع الإحداثي السيني × 0 Î ( أ; ب) وارسم من خلال النقطة م 0ظل. معادلتها. يجب أن نظهر أن التمثيل البياني للدالة على (أ ؛ ب)يقع تحت هذا الظل ، أي بنفس القيمة xمنحنى تنسيق ص = و (س)سيكون أقل من إحداثيات الظل.
إذن معادلة المنحنى ص = و (س). دعونا نشير إلى إحداثيات الظل المقابلة لـ الإحداثي السيني x. ثم . لذلك ، فإن الفرق بين إحداثيات المنحنى والظل عند نفس القيمة xسوف .
اختلاف f (x) - f (x0)تحويل وفقًا لنظرية لاجرانج ، حيث جبين xو × 0.
هكذا،
نطبق مرة أخرى نظرية لاجرانج على التعبير الموجود بين قوسين مربعين: ، أين ج 1بين ج 0و × 0. حسب النظرية F ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
وبالتالي ، فإن أي نقطة في المنحنى تقع أسفل مماس المنحنى لجميع القيم xو × 0 Î ( أ; ب) ، مما يعني أن المنحنى محدب. تم إثبات الجزء الثاني من النظرية بالمثل.
أمثلة.
تسمى النقطة الموجودة على الرسم البياني للدالة المستمرة التي تفصل الجزء المحدب من الجزء المقعر نقطة الأنحراف.
من الواضح ، عند نقطة الانعطاف ، أن المماس ، إن وجد ، يتقاطع مع المنحنى ، لأن على جانب واحد من هذه النقطة ، يقع المنحنى أسفل الظل وعلى الجانب الآخر فوقه.
دعونا نحدد الشروط الكافية لنقطة معينة من المنحنى لتكون نقطة انعطاف.
نظرية. دع المنحنى يحدد بالمعادلة ص = و (س). لو F ""(x 0) = 0 أو F ""(x 0) غير موجود وعند المرور بالقيمة x = × 0المشتق F ""(x) علامة التغييرات ، ثم نقطة الرسم البياني للدالة مع الإحداثيات x = × 0هناك نقطة انعطاف.
دليل. يترك F ""(x) < 0 при x < × 0و F ""(x)> 0 في x > × 0. ثم في x < × 0المنحنى محدب و x > × 0- مقعر. ومن هنا كانت النقطة أ، ملقاة على المنحنى ، مع السداسية × 0هناك نقطة انعطاف. وبالمثل ، يمكننا النظر في الحالة الثانية ، متى F ""(x)> 0 في x < × 0و F ""(x) < 0 при x > × 0.
وبالتالي ، يجب البحث عن نقاط الانعطاف فقط بين تلك النقاط التي يختفي فيها المشتق الثاني أو لا يوجد.
أمثلة.أوجد نقاط الانعطاف وحدد فترات التحدب والتقعر للمنحنيات.
نماذج من الرسم البياني لوظيفة
عند البحث عن دالة ، من المهم تحديد شكل الرسم البياني الخاص بها مع إزالة غير محدودة لنقطة الرسم البياني من الأصل.
من الأمور ذات الأهمية الخاصة الحالة عندما يقترب الرسم البياني للدالة ، عندما تتم إزالة نقطتها المتغيرة إلى ما لا نهاية ، إلى أجل غير مسمى من خط مستقيم معين.
دعا المباشر خط مقاربالرسم البياني للوظيفة ذ = و (خ)إذا كانت المسافة من النقطة المتغيرة مرسم بياني لهذا الخط عند إزالة النقطة مإلى اللانهاية يميل إلى الصفر ، أي يجب أن تقترب نقطة الرسم البياني للدالة ، لأنها تميل إلى اللانهاية ، من الخط المقارب إلى أجل غير مسمى.
يمكن للمنحنى أن يقترب من خطه المقارب ، ويبقى على جانب واحد منه أو معه جوانب مختلفة، عبور الخط المقارب عددًا لا نهائيًا من المرات والانتقال من جانب إلى آخر.
إذا أشرنا إلى d المسافة من النقطة ممنحنى إلى الخط المقارب ، فمن الواضح أن d تميل إلى الصفر عند إزالة النقطة مإلى ما لا نهاية.
سوف نميز كذلك بين الخطوط المقاربة العمودية والمائلة.
الزوايا العمودية
دعونا في x→ × 0على جانبي الوظيفة ذ = و (خ)يزيد إلى أجل غير مسمى في القيمة المطلقة ، أي او او 
. ثم يتبع من تعريف الخط المقارب أن الخط x = × 0هو خط مقارب. العكس واضح أيضا إذا كان الخط x = × 0هو خط مقارب ، لذا .
وهكذا ، الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة ص = و (س)يسمى خط إذا و (خ)→ ∞ تحت شرط واحد على الأقل x→ × 0- 0 أو x → × 0 + 0, x = × 0
لذلك ، للعثور على الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للدالة ذ = و (خ)بحاجة للعثور على تلك القيم x = × 0، حيث تذهب الوظيفة إلى ما لا نهاية (يعاني من انقطاع لانهائي). ثم الخط المقارب العمودي لديه المعادلة x = × 0.
أمثلة.
طواحين مائلة
بما أن الخط المقارب هو خط مستقيم ، إذا كان المنحنى ذ = و (خ)خط مقارب مائل ، فإن معادلته ستكون ذ = ككس + ب. مهمتنا هي إيجاد المعاملات كو ب.
نظرية. مستقيم ذ = ككس + ببمثابة خط مقارب مائل في x→ + ∞ للرسم البياني للوظيفة ذ
= و (خ)إذا وفقط إذا 
. بيان مماثل صحيح ل x → –∞.
دليل. يترك النائب- طول المقطع يساوي المسافة من النقطة مإلى الخط المقارب. حسب الشرط. قم بالإشارة بواسطة φ زاوية ميل الخط المقارب إلى المحور ثور. ثم من ΔMNPيتبع ذلك. بما أن φ زاوية ثابتة (φ ≠ π / 2) ، إذن ، لكن
مع آلة حاسبة على الإنترنت ، يمكنك أن تجد نقاط الانعطاف وفترات التحدب للرسم البياني للوظيفةمع تصميم الحل في Word. يتم تحديد ما إذا كانت دالة لمتغيرين f (x1 ، x2) محدبة باستخدام مصفوفة Hessian.
قواعد إدخال الوظيفة:
اتجاه تحدب الرسم البياني للوظيفة. نقاط الانقلاب
التعريف: المنحنى y = f (x) يسمى محدب هبوطي في الفترة (أ ؛ ب) إذا كان يقع فوق الظل في أي نقطة من هذه الفترة.التعريف: المنحنى y = f (x) يسمى محدب تصاعدي في الفترة (أ ؛ ب) إذا كان يقع تحت الظل في أي نقطة من هذه الفترة. 
التعريف: الفترات التي يكون فيها الرسم البياني للوظيفة محدبًا لأعلى أو لأسفل تسمى فترات تحدب الرسم البياني للوظيفة.
التحدب لأسفل أو لأعلى من المنحنى ، وهو الرسم البياني للدالة y = f (x) ، يتميز بعلامة مشتقه الثاني: إذا كان المنحنى محدبًا في بعض الفترات f '' (x)> 0 ، إلى أسفل في هذا الفاصل الزمني ؛ إذا f '(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
التعريف: نقطة الرسم البياني للدالة y = f (x) ، التي تفصل بين فترات التحدب للاتجاهات المعاكسة لهذا الرسم البياني ، تسمى نقطة الانعطاف. 
فقط النقاط الحرجة من النوع الثاني يمكن أن تكون بمثابة نقاط انعطاف ؛ النقاط التي تنتمي إلى مجال الوظيفة y = f (x) ، حيث يختفي المشتق الثاني f '' (x) أو ينكسر.
قاعدة إيجاد نقاط الانعطاف في الرسم البياني للوظيفة y = f (x)
- أوجد المشتق الثاني f '' (x).
- أوجد النقاط الحرجة من النوع الثاني للدالة y = f (x) ، أي النقطة التي تختفي عندها f '' (x) أو تنكسر.
- تحقق من علامة المشتق الثاني f '' (x) في الفترات التي تقسم فيها النقاط الحرجة التي تم العثور عليها مجال الوظيفة f (x). في هذه الحالة ، إذا كانت النقطة الحرجة x 0 تفصل بين فترات التحدب لاتجاهات متعاكسة ، فإن x 0 هي حدود نقطة انعطاف الرسم البياني للوظيفة.
- حساب قيم الدالة عند نقاط الانعطاف.
مثال 1 . أوجد فجوات التحدب ونقاط الانعطاف للمنحنى التالي: f (x) = 6x 2 –x 3.
الحل: أوجد f '(x) = 12x - 3x 2، f' (x) = 12-6x.
لنجد النقاط الحرجة بالمشتق الثاني عن طريق حل المعادلة 12-6x = 0. س = 2. 
و (2) = 6 * 2 2-2 3 = 16
الإجابة: الوظيفة محدبة لأعلى لـ x∈ (2 ؛ +) ؛ الوظيفة محدبة لأسفل لـ x∈ (-؛ 2) ؛ نقطة انعطاف (2 ؛ 16).
مثال 2. هل تحتوي الدالة على نقاط انعطاف: f (x) = x 3 -6x 2 + 2x-1
مثال 3. أوجد الفترات التي يكون فيها الرسم البياني للوظيفة محدبًا ومحدبًا: f (x) = x 3 -6x 2 + 12x + 4
تعليمات
نقاط انثناء المهاميجب أن ينتمي إلى نطاق تعريفه ، والذي يجب العثور عليه أولاً. جدول المهام- هذا الخط يمكن أن يكون مستمراً أو به فواصل ، أو ينقص أو يزيد بشكل رتيب ، وله حد أدنى أو أقصى نقاط(الخطوط المقاربة) ، تكون محدبة أو مقعرة. التغيير الحاد في الحالتين الأخيرين يسمى انعطاف.
شرط ضروري للوجود انثناء المهاميتكون في المساواة من الثانية إلى الصفر. وهكذا ، بعد التفريق بين الوظيفة مرتين ومعادلة التعبير الناتج بالصفر ، يمكننا إيجاد الأحرف الغالبة للنقاط المحتملة انثناء.
ينبع هذا الشرط من تعريف خصائص التحدب والتقعر في الرسم البياني المهام، أي. القيم السالبة والموجبة للمشتق الثاني. في هذه النقطة انثناءتغير حاد في هذه الخصائص ، مما يعني أن المشتق يتجاوز علامة الصفر. ومع ذلك ، لا تزال المساواة مع الصفر غير كافية للإشارة إلى نقطة انعطاف.
هناك شرطان كافيان أن الإحداثي الموجود في المرحلة السابقة ينتمي إلى النقطة انثناء: من خلال هذه النقطة يمكنك رسم ظل ل المهام. المشتق الثاني له إشارات مختلفة يمين ويسار المتوقع نقاط انثناء. وبالتالي ، فإن وجودها عند النقطة نفسها ليس ضروريًا ، يكفي تحديد أنها تغير الإشارة عندها. المشتق الثاني المهامهو صفر ، والثالث ليس كذلك.
الحل: بحث. في هذه القضيةلا توجد قيود ، لذلك فهي المساحة الكاملة للأرقام الحقيقية. احسب المشتق الأول: y '= 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5) ².
انتبه على . ويترتب على ذلك أن مجال تعريف المشتق محدود. يتم ثقب النقطة x = 5 ، مما يعني أن الظل يمكن أن يمر عبره ، وهو ما يتوافق جزئيًا مع أول علامة على الاكتفاء انثناء.
حدد التعبير الناتج عند x → 5 - 0 و x → 5 + 0. إنها تساوي -∞ و + ∞. لقد أثبتت أن المماس الرأسي يمر بالنقطة x = 5. قد تكون هذه النقطة نقطة انثناء، لكن احسب أولاً المشتق الثاني: (2 x - 22) / ∛ (x - 5) ^ 5.
احذف المقام ، لأنك أخذت في الحسبان النقطة س = 5. حل المعادلة 2 x - 22 \ u003d 0. لها جذر واحد x \ u003d 11. الخطوة الأخيرة هي تأكيد ذلك نقاط x = 5 و x = 11 نقطتان انثناء. تحليل سلوك المشتق الثاني في محيطهم. من الواضح ، عند النقطة x = 5 ، أنها تغير العلامة من "+" إلى "-" ، وعند النقطة x = 11 ، العكس. الخلاصة: كلاهما نقاطهي نقاط انثناء. تم استيفاء الشرط الكافي الأول.
عند فحص دالة وإنشاء رسم بياني لها ، نحدد في إحدى المراحل نقاط الانعطاف وفترات التحدب. تتيح لنا هذه البيانات ، جنبًا إلى جنب مع فترات الزيادة والنقصان ، تقديم الرسم البياني للوظيفة قيد الدراسة بشكل تخطيطي.
ما يلي يفترض أنك تعرف ما يصل إلى ترتيب معين وأنواع مختلفة.
لنبدأ دراسة المادة بالتعاريف والمفاهيم اللازمة. بعد ذلك ، نعبّر عن العلاقة بين قيمة المشتق الثاني لوظيفة ما في فترة زمنية معينة واتجاه حدّها. بعد ذلك ، دعنا ننتقل إلى الشروط التي تسمح لنا بتحديد نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة. في النص ، سنقدم أمثلة نموذجية مع حلول مفصلة.
التنقل في الصفحة.
التحدب ، تقعر الوظيفة ، نقطة الانعطاف.
تعريف.
محدب لأسفلعلى الفاصل الزمني X ، إذا كان الرسم البياني الخاص به لا يقل عن المماس له في أي نقطة من الفترة X.
تعريف.
تسمى الوظيفة القابلة للتفاضل محدبعلى الفاصل الزمني X ، إذا كان الرسم البياني الخاص به ليس أعلى من المماس له في أي نقطة من الفترة X.
غالبًا ما يتم استدعاء دالة محدبة صاعدة محدب، ومحدب لأسفل - مقعر.
انظر إلى الرسم الذي يوضح هذه التعريفات.
تعريف.
النقطة تسمى نقطة انعطاف الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) إذا كان هناك ظل عند نقطة معينة للرسم البياني للوظيفة (يمكن أن يكون موازيًا لمحور Oy) وهناك حي للنقطة ، يكون ضمنه الرسم البياني للوظيفة له اتجاهات مختلفة من التحدب إلى يسار ويمين النقطة M.
بمعنى آخر ، تسمى النقطة M بنقطة انعطاف الرسم البياني للوظيفة ، إذا كان هناك ظل عند هذه النقطة ويغير الرسم البياني للوظيفة اتجاه التحدب ، ويمر من خلاله.
إذا لزم الأمر ، ارجع إلى القسم لاستدعاء شروط وجود ظل غير عمودي وعمودي.
يوضح الشكل أدناه عدة أمثلة لنقاط انعطاف (مميزة بنقاط حمراء). لاحظ أن بعض الوظائف قد لا تحتوي على نقاط انعطاف ، في حين أن البعض الآخر قد يحتوي على نقطة انعطاف واحدة أو عدة وظائف أو عدد لا نهائي من نقاط الانقلاب.
إيجاد فترات التحدب للدالة.
نصوغ نظرية تسمح لنا بتحديد فترات التحدب لوظيفة ما.
نظرية.
إذا كانت الدالة y = f (x) لها مشتق ثانٍ محدد في الفترة X وإذا كانت المتباينة 
() ، فإن الرسم البياني للوظيفة به تحدب موجه لأسفل (لأعلى) على X.
تسمح لك هذه النظرية بإيجاد فترات تقعر وتحدب للدالة ، ما عليك سوى حل المتباينات ، وعلى التوالي ، في مجال تعريف الوظيفة الأصلية.
وتجدر الإشارة إلى أن النقاط التي يتم عندها تعريف الدالة y = f (x) وعدم وجود المشتق الثاني سيتم تضمينها في فترات التقعر والتحدب.
دعونا نتعامل مع هذا بمثال.
مثال.
أوجد الفترات التي عندها رسم بياني للدالة 
له تحدب موجه لأعلى وتحدب موجه لأسفل.
حل.
مجال الوظيفة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها.
لنجد المشتق الثاني. 
يتطابق مجال تعريف المشتق الثاني مع مجال تعريف الوظيفة الأصلية ، لذلك ، من أجل معرفة فترات التقعر والتحدب ، يكفي حلها وعلى التوالي. 
لذلك ، تكون الوظيفة محدبة لأسفل في الفترة ومحدبة لأعلى في الفترة.
الرسم التوضيحي.
يظهر جزء من الرسم البياني للوظيفة في الفترة المحدبة باللون الأزرق ، في فترة التقعر - باللون الأحمر.
فكر الآن في مثال حيث لا يتطابق مجال المشتق الثاني مع مجال الوظيفة. في هذه الحالة ، كما أشرنا بالفعل ، يجب تضمين نقاط المجال التي لا يوجد فيها مشتق ثانٍ محدد في فترات التحدب و (أو) التقعر.
مثال.
أوجد فترات التحدب والتقعر في الرسم البياني للوظيفة.
حل.
لنبدأ بنطاق الوظيفة:
لنجد المشتق الثاني: 
مجال المشتق الثاني هو المجموعة 
. كما ترى ، x = 0 يقع في مجال الوظيفة الأصلية ، لكن ليس في مجال المشتق الثاني. لا تنسى هذه النقطة ، يجب تضمينها في فترة التحدب و (أو) التقعر.
نحل الآن المتباينات ومجال الدالة الأصلية. ملائم . بسط التعبير 
يذهب إلى الصفر في 
أو 
، المقام - عند x = 0 أو x = 1. نرسم هذه النقاط بشكل تخطيطي على خط الأعداد ونكتشف علامة التعبير على كل من الفواصل الزمنية المضمنة في مجال تعريف الوظيفة الأصلية (تظهر المنطقة المظللة في خط الرقم السفلي). في قيمة موجبةضع علامة الجمع ، إذا كانت سالبة - علامة الطرح. 
هكذا،
و 
لذلك ، بتضمين النقطة x = 0 ، نحصل على الإجابة.
في 
الرسم البياني للوظيفة لديه تحدب موجه لأسفل ، مع 
- انتفاخ موجه لأعلى.
الرسم التوضيحي.
يظهر جزء من الرسم البياني للوظيفة في الفترة المحدبة باللون الأزرق ، على فترات التقعر - باللون الأحمر ، الخط الأسود المنقط هو الخط المقارب العمودي.
الشروط الضرورية والكافية للانعطاف.
شرط ضروري لانقلاب.
دعونا نصيغ شرط ضروري للانعطافالرسم البياني للوظيفة.
دع الرسم البياني للوظيفة y = f (x) له انعطاف عند نقطة وله مشتق ثانٍ مستمر لـ ، إذن المساواة صحيحة.
ويترتب على هذا الشرط أنه يجب البحث عن حدود نقاط الانعطاف بين تلك التي يختفي فيها المشتق الثاني للوظيفة. لكن ، هذا الشرط ليس كافيًا ، أي ليست كل القيم التي يكون فيها المشتق الثاني مساويًا للصفر هي أبراج نقاط الانعطاف.
وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه من خلال تعريف نقطة الانعطاف ، يلزم وجود خط مماس ، ويمكن أيضًا أن يكون رأسيًا. ماذا يعني هذا؟ وهذا يعني ما يلي: يمكن أن تكون حدود نقاط الانعطاف كل شيء من مجال الوظيفة ، والتي من أجلها 
و 
. عادةً ما تكون هذه هي النقاط التي يتلاشى عندها مقام المشتق الأول.
الشرط الأول الكافي للانحراف.
بعد أن تم العثور على كل شيء يمكن أن يكون عبارات من نقاط الانعطاف ، يجب عليك استخدامها الشرط الأول الكافي للانقلابالرسم البياني للوظيفة.
دع الدالة y = f (x) متصلة عند النقطة ، ويكون لها ظل عندها (ربما تكون رأسية) وهذه الوظيفة لها مشتق ثانٍ في بعض المناطق المجاورة للنقطة. بعد ذلك ، إذا كان للمشتق الثاني إشارات مختلفة داخل هذا الحي إلى اليسار وإلى اليمين ، فإن هذا هو نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة.
كما ترى ، لا يتطلب الشرط الكافي الأول وجود المشتق الثاني عند النقطة نفسها ، ولكنه يتطلب وجودها بالقرب من النقطة.
الآن نلخص جميع المعلومات في شكل خوارزمية.
خوارزمية لإيجاد نقاط انعطاف دالة.
نجد كل الخطوط العريضة لنقاط الانعطاف المحتملة للرسم البياني للدالة (أو و ) واكتشف ، مروراً بعلامة تغير المشتق الثاني. ستكون هذه القيم هي حدود نقاط الانعطاف ، وستكون النقاط المقابلة لها هي نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة.
ضع في اعتبارك مثالين لإيجاد نقاط انعطاف للتوضيح.
مثال.
ابحث عن نقاط الانعطاف وفترات التحدب والتقعر في الرسم البياني للوظيفة 
.
حل.
مجال الوظيفة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها.
لنجد المشتق الأول: 
مجال المشتق الأول هو أيضًا مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها ، وبالتالي فإن المساواة و لم يتم تنفيذه لأي.
لنجد المشتق الثاني:
دعونا نكتشف ما هي قيم الوسيطة x يتلاشى المشتق الثاني: 
لذا فإن الخطوط العريضة لنقاط الانعطاف المحتملة هي x = -2 و x = 3.
الآن يبقى التحقق ، بمعيار انعطاف كافٍ ، عند أي من هذه النقاط يوقع مشتق التغييرات الثانية. للقيام بذلك ، ضع النقطتين x = -2 و x = 3 على المحور الحقيقي وكما في طريقة الفاصل المعمم، نضع إشارات المشتق الثاني على كل فترة. تحت كل فترة زمنية ، يتم عرض اتجاه تحدب الرسم البياني للوظيفة بشكل تخطيطي بواسطة الأقواس. 
المشتق الثاني يغير إشارة من موجب إلى سالب يمر بالنقطة x = -2 من اليسار إلى اليمين ، ويغير إشارة من سالب إلى زائد يمر عبر x = 3. لذلك ، فإن كلا من x = -2 و x = 3 هما حدود نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة. تتوافق مع نقاط الرسم البياني و.
بالنظر مرة أخرى إلى المحور الحقيقي وعلامات المشتق الثاني على فتراته ، يمكننا أن نستنتج فترات التحدب والتقعر. الرسم البياني للدالة محدب على الفاصل ومقعّر على الفواصل الزمنية و.
الرسم التوضيحي.
يظهر جزء من الرسم البياني للوظيفة في الفترة المحدبة باللون الأزرق ، على فترات التقعر - باللون الأحمر ، تظهر نقاط الانعطاف كنقاط سوداء.
مثال.
أوجد الخطوط العريضة لجميع نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة 
.
حل.
مجال هذه الوظيفة هو المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية.
لنجد المشتق. 
المشتق الأول ، على عكس الوظيفة الأصلية ، غير محدد عند x = 3. لكن 
و 
. لذلك ، عند النقطة التي يكون فيها المحور س = 3 ، يوجد مماس رأسي لمنحنى الدالة الأصلية. إذن ، يمكن أن تكون x = 3 هي حدود نقطة انعطاف الرسم البياني للوظيفة.
نجد المشتق الثاني ومجال تعريفه والنقاط التي يتلاشى عندها: 
لقد حصلنا على اثنين من الخطوط العريضة المحتملة لنقاط الانعطاف. نحدد جميع النقاط الثلاث على خط الأعداد ونحدد علامة المشتق الثاني في كل فترة من الفترات التي تم الحصول عليها. 
علامة التغييرات المشتقة الثانية ، التي تمر عبر كل نقطة ، لذلك ، فهي كلها عبارة عن أجزاء من نقاط الانعطاف.
