गुणनखंडन नियम. बड़ी संख्याओं का गुणनखंडन
बहुत बार, किसी भिन्न के अंश और हर बीजगणितीय अभिव्यक्ति होते हैं जिन्हें पहले कारकों में विघटित किया जाना चाहिए, और फिर, उनके बीच समान पाते हुए, अंश और हर दोनों को उनमें विभाजित करें, यानी अंश को कम करें। 7वीं कक्षा में बीजगणित पर एक पाठ्यपुस्तक का एक पूरा अध्याय एक बहुपद का गुणनखंड करने के कार्यों के लिए समर्पित है। फैक्टरिंग की जा सकती है 3 तरीके, साथ ही इन विधियों का एक संयोजन।
1. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग
जैसा कि ज्ञात है एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करना, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा। बहुपदों के गुणन के कम से कम 7 (सात) सामान्य मामले हैं जो अवधारणा में शामिल हैं। उदाहरण के लिए,
तालिका 1. पहली तरह से गुणनखंडन
2. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना
यह विधि गुणन के वितरण नियम के अनुप्रयोग पर आधारित है। उदाहरण के लिए,
हम मूल अभिव्यक्ति के प्रत्येक पद को उस कारक से विभाजित करते हैं जिसे हम निकालते हैं, और साथ ही हमें कोष्ठक में अभिव्यक्ति मिलती है (अर्थात्, जो था उसे जो हम निकालते हैं उससे विभाजित करने का परिणाम कोष्ठक में रहता है)। सबसे पहले, आपको चाहिए गुणक का सही निर्धारण करें, जिसे कोष्ठक में रखा जाना चाहिए।
कोष्ठक में बहुपद भी एक सामान्य कारक हो सकता है:
"कारकीकरण" कार्य करते समय, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालते समय संकेतों के प्रति विशेष रूप से सावधान रहना चाहिए। कोष्ठक में प्रत्येक पद का चिह्न बदलना (बी ० ए), हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं -1 , जबकि कोष्ठक में प्रत्येक पद -1 से विभाजित है: (बी - ए) = - (ए - बी) .
इस घटना में कि कोष्ठक में व्यंजक वर्ग (या किसी सम घात तक) है, तब कोष्ठक के अंदर संख्याओं की अदला-बदली की जा सकती है पूरी तरह से मुफ़्त, क्योंकि कोष्ठक से निकाले गए ऋण गुणा करने पर भी धन में बदल जाएंगे: (बी - ए) 2 = (ए - बी) 2, (बी - ए) 4 = (ए - बी) 4 और इसी तरह…
3. समूहन विधि
कभी-कभी अभिव्यक्ति के सभी शब्दों में एक समान कारक नहीं होता है, लेकिन केवल कुछ में ही एक सामान्य कारक होता है। तो फिर आप कोशिश कर सकते हैं समूह शर्तें कोष्ठक में ताकि प्रत्येक से कुछ कारक निकाला जा सके। समूहीकरण विधिसामान्य कारकों का दोहरा कोष्ठक है।
4. एक साथ कई विधियों का उपयोग करना
कभी-कभी आपको एक बहुपद को एक साथ गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए एक नहीं, बल्कि कई तरीकों को लागू करने की आवश्यकता होती है।
यह विषय पर एक सारांश है. "कारकीकरण". अगले चरण चुनें:
- अगले सार पर जाएँ:
किसी उत्पाद को प्राप्त करने के लिए बहुपदों का विस्तार करना कभी-कभी भ्रमित करने वाला लगता है। लेकिन अगर आप चरण दर चरण प्रक्रिया को समझें तो यह इतना मुश्किल भी नहीं है। लेख में विवरण दिया गया है कि गुणनखंडन कैसे किया जाए वर्ग त्रिपद.
बहुत से लोग यह नहीं समझते हैं कि वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन कैसे किया जाए और ऐसा क्यों किया जाता है। प्रथम दृष्टया ऐसा लग सकता है कि यह एक बेकार अभ्यास है। लेकिन गणित में कोई भी काम ऐसे ही नहीं होता. अभिव्यक्ति को सरल बनाने और गणना की सुविधा के लिए परिवर्तन आवश्यक है।
एक बहुपद जिसका रूप है - ax² + bx + c, वर्ग त्रिपद कहलाता है।शब्द "ए" नकारात्मक या सकारात्मक होना चाहिए। व्यवहार में, इस अभिव्यक्ति को द्विघात समीकरण कहा जाता है। इसलिए, कभी-कभी वे अलग-अलग तरीके से कहते हैं: द्विघात समीकरण का विस्तार कैसे करें।
दिलचस्प!एक वर्ग बहुपद को उसकी सबसे बड़ी घात के कारण - एक वर्ग कहा जाता है। और एक त्रिपद - 3 घटक पदों के कारण।
कुछ अन्य प्रकार के बहुपद:
- रैखिक द्विपद (6x+8);
- घन चतुर्भुज (x³+4x²-2x+9).
एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन
सबसे पहले, व्यंजक शून्य के बराबर है, फिर आपको मूल x1 और x2 के मान ज्ञात करने होंगे। जड़ें न भी हों, एक या दो जड़ें हो सकती हैं। जड़ों की उपस्थिति विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है। इसका सूत्र अवश्य याद होना चाहिए: D=b²-4ac.
यदि D का परिणाम नकारात्मक है, तो कोई जड़ें नहीं हैं। यदि सकारात्मक है, तो दो जड़ें हैं। यदि परिणाम शून्य है, तो मूल एक है। जड़ों की गणना भी सूत्र द्वारा की जाती है।
यदि विवेचक की गणना का परिणाम शून्य है, तो आप कोई भी सूत्र लागू कर सकते हैं। व्यवहार में, सूत्र को केवल संक्षिप्त किया गया है: -बी / 2ए।
के लिए सूत्र विभिन्न मूल्यविभेदक भिन्न हैं.
यदि D सकारात्मक है:
यदि D शून्य है:
ऑनलाइन कैलकुलेटर
इंटरनेट है ऑनलाइन कैलकुलेटर. इसका उपयोग गुणनखंडन के लिए किया जा सकता है। कुछ संसाधन चरण दर चरण समाधान देखने का अवसर प्रदान करते हैं। ऐसी सेवाएँ विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती हैं, लेकिन आपको अच्छी तरह से समझने का प्रयास करने की आवश्यकता है।
उपयोगी वीडियो: एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन
उदाहरण
हम आपको देखने के लिए आमंत्रित करते हैं सरल उदाहरणद्विघात समीकरण का गुणनखंडन कैसे करें.
उदाहरण 1
यहां यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि परिणाम दो x होगा, क्योंकि D सकारात्मक है। उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। यदि जड़ें ऋणात्मक हैं, तो सूत्र में चिह्न उलट दिया जाता है।
हम एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करने का सूत्र जानते हैं: a(x-x1)(x-x2)। हम मानों को कोष्ठक में रखते हैं: (x+3)(x+2/3)। घातांक में पद से पहले कोई संख्या नहीं है। इसका मतलब है कि एक इकाई है, इसे कम कर दिया गया है।
उदाहरण 2
यह उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाता है कि एक मूल वाले समीकरण को कैसे हल किया जाए।
परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें:
उदाहरण 3
दिया गया: 5x²+3x+7
सबसे पहले, हम पिछले मामलों की तरह, विवेचक की गणना करते हैं।
डी=9-4*5*7=9-140= -131.
विवेचक नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि कोई जड़ें नहीं हैं।
परिणाम प्राप्त करने के बाद, कोष्ठक खोलना और परिणाम की जांच करना उचित है। मूल त्रिपद प्रकट होना चाहिए.
दूसरा तरीका
कुछ लोग कभी भी भेदभाव करने वाले व्यक्ति से दोस्ती नहीं कर पाते हैं। वर्ग त्रिपद को गुणनखंडित करने का एक और तरीका है। सुविधा के लिए विधि को एक उदाहरण में दिखाया गया है।
दिया गया: x²+3x-10
हम जानते हैं कि हमें 2 कोष्ठकों के साथ समाप्त होना चाहिए: (_)(_)। जब अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है: x² + bx + c, तो हम प्रत्येक कोष्ठक की शुरुआत में x डालते हैं: (x_) (x_)। शेष दो संख्याएँ वह गुणनफल हैं जो "c" देता है, अर्थात इस मामले में -10। यह पता लगाने के लिए कि ये संख्याएँ क्या हैं, आप केवल चयन विधि का उपयोग कर सकते हैं। प्रतिस्थापित संख्याओं को शेष पद से मेल खाना चाहिए।
उदाहरण के लिए, निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर -10 प्राप्त होता है:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. नहीं।
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. नहीं।
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. नहीं।
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. फिट बैठता है.
तो, अभिव्यक्ति x2+3x-10 का परिवर्तन इस तरह दिखता है: (x-2)(x+5)।
महत्वपूर्ण!आपको सावधान रहना चाहिए कि संकेतों को भ्रमित न करें।
एक जटिल त्रिपद का अपघटन
यदि "ए" एक से बड़ा है, तो कठिनाइयाँ शुरू हो जाती हैं। लेकिन सब कुछ उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है।
गुणनखंडन करने के लिए, किसी को पहले यह देखना होगा कि क्या किसी बात का गुणनखंडन करना संभव है।
उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई: 3x²+9x-30. यहां संख्या 3 को कोष्ठक से हटा दिया गया है:
3(x²+3x-10). परिणाम पहले से ही ज्ञात त्रिपद है। उत्तर इस तरह दिखता है: 3(x-2)(x+5)
यदि वर्गित पद ऋणात्मक है तो कैसे विघटित करें? में इस मामले मेंसंख्या -1 को कोष्ठक से हटा दिया गया है। उदाहरण के लिए: -x²-10x-8. तब अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखाई देगी:
यह योजना पिछली योजना से थोड़ी भिन्न है। बस कुछ ही नई चीजें हैं. मान लीजिए कि अभिव्यक्ति दी गई है: 2x²+7x+3. उत्तर भी 2 कोष्ठक में लिखा गया है, जिसे (_)(_) में भरना होगा। दूसरे ब्रैकेट में X लिखा है और पहले में क्या बचा है. यह इस तरह दिखता है: (2x_)(x_). अन्यथा, पिछली योजना दोहराई जाती है।
संख्या 3 संख्याएँ देती है:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
हम दी गई संख्याओं को प्रतिस्थापित करके समीकरणों को हल करते हैं। अंतिम विकल्प उपयुक्त है. तो अभिव्यक्ति 2x²+7x+3 का परिवर्तन इस तरह दिखता है: (2x+1)(x+3)।
अन्य मामले
किसी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करना सदैव संभव नहीं होता। दूसरी विधि में समीकरण के हल की आवश्यकता नहीं होती है। लेकिन शब्दों को उत्पाद में बदलने की संभावना की जाँच विवेचक के माध्यम से ही की जाती है।
निर्णय लेने का अभ्यास सार्थक है द्विघातीय समीकरणताकि सूत्रों का उपयोग करते समय कोई कठिनाई न हो।
उपयोगी वीडियो: त्रिपद का गुणनखंडन
निष्कर्ष
आप इसे किसी भी तरह से इस्तेमाल कर सकते हैं. लेकिन स्वचालितता के साथ काम करना बेहतर है। साथ ही, जो लोग अपने जीवन को गणित से जोड़ने जा रहे हैं, उन्हें द्विघात समीकरणों को अच्छी तरह से हल करना और बहुपदों को गुणनखंडों में विघटित करना सीखना होगा। निम्नलिखित सभी गणितीय विषय इसी पर आधारित हैं।
क्या हुआ है गुणनखंडन?यह एक अजीब और जटिल उदाहरण को सरल और सुंदर उदाहरण में बदलने का एक तरीका है।) बहुत शक्तिशाली चाल! यह प्रारंभिक गणित और उच्च गणित दोनों में हर कदम पर होता है।
गणितीय भाषा में ऐसे परिवर्तनों को भावों का समरूप रूपान्तरण कहा जाता है। विषय में कौन नहीं है - लिंक पर चलें। बहुत कम, सरल और उपयोगी है।) किसी भी समान परिवर्तन का अर्थ अभिव्यक्ति लिखना है एक अलग रूप मेंइसके सार को संरक्षित करते हुए.
अर्थ गुणनखंडीकरणअत्यंत सरल एवं समझने योग्य. शीर्षक से ही. आप भूल सकते हैं (या नहीं जानते) कि गुणक क्या है, लेकिन क्या आप यह पता लगा सकते हैं कि यह शब्द "गुणा" शब्द से आया है?) फैक्टरिंग का अर्थ है: किसी चीज़ को किसी चीज़ से गुणा करने के रूप में एक अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करना। मुझे गणित और रूसी भाषा माफ कर दो...) और बस इतना ही।
उदाहरण के लिए, आपको संख्या 12 को विघटित करने की आवश्यकता है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:
इसलिए हमने संख्या 12 को 3 बटा 4 के गुणन के रूप में प्रस्तुत किया। कृपया ध्यान दें कि दाईं ओर की संख्याएं (3 और 4) बाईं ओर की संख्या (1 और 2) से पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन हम अच्छी तरह से जानते हैं कि 12 और 3 4 वही।परिवर्तन से संख्या 12 का सार नहीं बदला है.
क्या 12 को दूसरे तरीके से विघटित करना संभव है? आसानी से!
12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........
विघटन के विकल्प अनंत हैं।
संख्याओं को गुणनखंडों में विघटित करना एक उपयोगी चीज़ है। उदाहरण के लिए, जड़ों से निपटते समय यह बहुत मदद करता है। लेकिन बीजीय व्यंजकों का गुणनखंडन कुछ उपयोगी नहीं है, यह है - ज़रूरी!उदाहरण के लिए:
सरल बनाएं:
जो लोग अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना नहीं जानते, वे किनारे पर आराम करते हैं। कौन जानता है कैसे - सरल बनाता है और प्राप्त करता है:
प्रभाव अद्भुत है, है ना?) वैसे, समाधान काफी सरल है। आप नीचे खुद ही देख लेंगे. या, उदाहरण के लिए, ऐसा कार्य:
प्रश्न हल करें:
एक्स 5 - एक्स 4 = 0
वैसे मन में निर्णय कर लिया। गुणनखंडन की सहायता से। नीचे हम इस उदाहरण को हल करेंगे. उत्तर: एक्स 1 = 0; x2 = 1.
या, वही बात, लेकिन पुराने लोगों के लिए):
प्रश्न हल करें:
इन उदाहरणों में, मैंने दिखाया है मुख्य उद्देश्यगुणनखंडन: भिन्नात्मक व्यंजकों का सरलीकरण और कुछ प्रकार के समीकरणों का समाधान। मैं याद रखने की सलाह देता हूं अंगूठे का नियम:
अगर हमारे पास कोई भयानक है भिन्नात्मक अभिव्यक्ति, आप अंश और हर को गुणनखंडित करने का प्रयास कर सकते हैं। बहुत बार, भिन्न को कम और सरल बना दिया जाता है।
यदि हमारे सामने कोई समीकरण है, जहां दाईं ओर शून्य है, और बाईं ओर - समझ में नहीं आ रहा है, तो आप बाईं ओर गुणनखंड करने का प्रयास कर सकते हैं। कभी-कभी यह मदद करता है।)
गुणनखंडन की मूल विधियाँ।
यहां सबसे लोकप्रिय तरीके हैं:
4. एक वर्ग त्रिपद का अपघटन।
इन तरीकों को जरूर याद रखना चाहिए. यह उसी क्रम में है. जटिल उदाहरणों की जाँच की जाती है सभी के लिए संभावित तरीकेविघटन.और क्रम में जांच करना बेहतर है, ताकि भ्रमित न हों...आइए क्रम से शुरू करें।)
1. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।
सरल और विश्वसनीय तरीका. उससे बुरा नहीं होता! ऐसा या तो ठीक से होता है या बिल्कुल नहीं होता।) इसलिए, वह प्रथम है। हम समझते है।
हर कोई जानता है (मुझे विश्वास है!) नियम:
ए(बी+सी) = एबी+एसी
या, और अधिक में सामान्य रूप से देखें:
a(b+c+d+...) = ab+ac+ad+....
सभी समानताएँ बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत, दाएँ से बाएँ दोनों तरह से काम करती हैं। आप लिख सकते हो:
एबी+एसी = ए(बी+सी)
एबी+एसी+विज्ञापन+.... = ए(बी+सी+डी+...)
सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने का पूरा उद्देश्य यही है।
बायीं तरफ पर ए - सामान्य अवयवसभी शर्तों के लिए. हर चीज़ से गुणा।) अधिकार सबसे अधिक है एपहले से कोष्ठक के बाहर.
प्रायोगिक उपयोगआइए उदाहरणों पर एक नज़र डालें। सबसे पहले, संस्करण सरल है, यहाँ तक कि आदिम भी।) लेकिन इस संस्करण पर मैं निशान लगाऊंगा ( हरे में) बहुत महत्वपूर्ण बिंदुकिसी भी गुणनखंडन के लिए.
गुणा करें:
आह+9x
कौन सामान्यदोनों पदों में गुणक है? एक्स, बिल्कुल! हम इसे कोष्ठक से बाहर निकाल देंगे. हम ऐसा करते हैं. हम तुरंत कोष्ठक के बाहर x लिखते हैं:
कुल्हाड़ी+9x=x(
और कोष्ठक में हम विभाजन का परिणाम लिखते हैं प्रत्येक शब्दइसी एक्स पर. क्रम में:
बस इतना ही। बेशक, इतने विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, यह मन में किया जाता है। लेकिन यह समझने के लिए कि क्या है, यह वांछनीय है)। हम स्मृति में ठीक करते हैं:
हम सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक के बाहर लिखते हैं। कोष्ठक में, हम सभी पदों को इस सामान्य गुणनखंड से विभाजित करने के परिणाम लिखते हैं। क्रम में।
यहां हमने अभिव्यक्ति का विस्तार किया है आह+9xगुणक के लिए. इसे x से गुणा करने में बदल दिया (ए+9).मैं ध्यान देता हूं कि मूल अभिव्यक्ति में गुणा भी था, यहां तक कि दो भी: एक एक्स और 9 एक्स.लेकिन यह कारक नहीं बनाया गया है!क्योंकि इस अभिव्यक्ति में गुणन के अलावा जोड़, "+" चिन्ह भी शामिल था! और अभिव्यक्ति में एक्स(ए+9) गुणा के अलावा कुछ नहीं!
ऐसा कैसे!? - मुझे लोगों की क्रोध भरी आवाज़ सुनाई देती है - और कोष्ठक में!?)
हाँ, कोष्ठक के अंदर जोड़ है। लेकिन चाल यह है कि जब तक कोष्ठक खुले नहीं हैं, हम उन पर विचार करते हैं एक अक्षर की तरह.और हम सभी क्रियाएं कोष्ठक के साथ उनकी संपूर्णता में करते हैं, एक अक्षर की तरह.इस अर्थ में, अभिव्यक्ति में एक्स(ए+9)गुणा के अलावा कुछ नहीं. यह गुणनखंडन का संपूर्ण बिंदु है।
वैसे, क्या यह जांचने का कोई तरीका है कि हमने सब कुछ ठीक किया है या नहीं? आसान! यह कोष्ठक द्वारा निकाले गए (x) को गुणा करने और यह देखने के लिए पर्याप्त है कि क्या यह काम करता है प्रारंभिकअभिव्यक्ति? अगर यह काम कर गया, तो सब कुछ टिप-टॉप है!)
x(a+9)=ax+9x
घटित।)
इस आदिम उदाहरण में कोई समस्या नहीं है. लेकिन अगर कई शब्द हैं, और यहां तक कि विभिन्न संकेतों के साथ भी ... संक्षेप में, हर तीसरा छात्र गड़बड़ करता है)। इसलिए:
यदि आवश्यक हो, व्युत्क्रम गुणन द्वारा गुणनखंडन की जाँच करें।
गुणा करें:
3ax+9x
हम एक सामान्य कारक की तलाश कर रहे हैं। खैर, एक्स के साथ सब कुछ स्पष्ट है, इसे सहन किया जा सकता है। क्या कोई और भी है सामान्यकारक? हाँ! यह एक तिकड़ी है. आप अभिव्यक्ति को इस प्रकार भी लिख सकते हैं:
3x+3 3x
यहां यह तुरंत स्पष्ट है कि सामान्य कारक क्या होगा 3x. यहां हम इसे निकालते हैं:
3ax+3 3x=3x(a+3)
छितराया हुआ।
और लेने से क्या होगा केवल एक्स?कुछ भी खास नहीं:
3ax+9x=x(3a+9)
यह भी एक गुणनखंड होगा. लेकिन इसमें रोमांचक प्रक्रियाजब तक मौका मिले, सब कुछ तब तक टालने की प्रथा है जब तक कि वह रुक न जाए। यहां कोष्ठक में त्रिक निकालने का अवसर है। पाना:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
वही बात, केवल एक अतिरिक्त कार्रवाई के साथ।) याद रखें:
सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते समय, हम निकालने का प्रयास करते हैं अधिकतमसामान्य गुणक.
चलो मज़ा जारी रखें?
अभिव्यक्ति का गुणनखंडन:
3ax+9x-8a-24
हम क्या निकालेंगे? तीन, एक्स? नहीं-ई... आप नहीं कर सकते। मैं आपको याद दिलाता हूं कि आप केवल ले सकते हैं सामान्यगुणक अर्थात सभी मेंअभिव्यक्ति की शर्तें. इसीलिए वह सामान्य।यहाँ ऐसा कोई गुणक नहीं है... क्या, आप नहीं बता सकते!? खैर, हाँ, हम खुश थे, कैसे... मिलें:
2. समूहीकरण।
दरअसल, समूह का नाम बताना कठिन है स्वतंत्र तरीके सेगुणनखंडीकरण। यह बाहर निकलने का एक तरीका है जटिल उदाहरण.) शर्तों को समूहीकृत करना आवश्यक है ताकि सब कुछ काम कर सके। इसे केवल एक उदाहरण से ही दर्शाया जा सकता है। तो हमारे पास एक अभिव्यक्ति है:
3ax+9x-8a-24
यह देखा जा सकता है कि कुछ सामान्य अक्षर और संख्याएँ हैं। लेकिन... सामान्यसभी शर्तों में कोई गुणक नहीं है। हिम्मत मत हारो और हम अभिव्यक्ति को टुकड़ों में तोड़ देते हैं।हम समूह बनाते हैं। ताकि प्रत्येक टुकड़े में एक सामान्य कारक हो, बाहर निकालने के लिए कुछ न कुछ हो। हम कैसे टूटेंगे? हाँ, केवल कोष्ठक।
मैं आपको याद दिला दूं कि ब्रैकेट कहीं भी और किसी भी तरह से लगाए जा सकते हैं। यदि केवल उदाहरण का सार नहीं बदला.उदाहरण के लिए, आप यह कर सकते हैं:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)
कृपया दूसरे कोष्ठक पर ध्यान दें! उनके पहले एक ऋण चिह्न होता है, और 8एऔर 24 सकारात्मक बनें! यदि, सत्यापन के लिए, हम कोष्ठक को वापस खोलते हैं, तो संकेत बदल जाएंगे, और हमें मिल जाएगा प्रारंभिकअभिव्यक्ति। वे। कोष्ठक से अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है.
लेकिन यदि आप चिह्न परिवर्तन को ध्यान में न रखते हुए केवल कोष्ठक लगाते हैं, उदाहरण के लिए, इस तरह:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) -(8ए-24 )
यह एक गलती होगी. ठीक है - पहले से ही अन्यअभिव्यक्ति। कोष्ठक का विस्तार करें और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। आप आगे कोई निर्णय नहीं ले सकते, हाँ...)
लेकिन वापस गुणनखंडन पर। पहले कोष्ठक को देखें (3ax + 9x)और सोचो, क्या कुछ सहना संभव है? खैर, हमने ऊपर इस उदाहरण को हल कर लिया है, हम इसे निकाल सकते हैं 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
हम दूसरे कोष्ठक का अध्ययन करते हैं, वहां आप आठ को हटा सकते हैं:
(8ए+24)=8(ए+3)
हमारी संपूर्ण अभिव्यक्ति होगी:
(3ax + 9x) - (8a + 24) = 3x (a + 3) -8 (a + 3)
गुणा किया हुआ? नहीं। विघटन का परिणाम होना चाहिए केवल गुणा,और हमारे पास एक ऋण चिन्ह है जो सब कुछ खराब कर देता है। लेकिन... दोनों शब्दों में एक सामान्य कारक है! यह (ए+3). यह व्यर्थ नहीं था कि मैंने कहा कि संपूर्ण कोष्ठक मानो एक ही अक्षर हैं। अत: इन कोष्ठकों को कोष्ठकों से बाहर निकाला जा सकता है। हाँ, बिल्कुल ऐसा ही लगता है।)
जैसा ऊपर बताया गया है हम वैसा ही करते हैं। उभयनिष्ठ कारक लिखिए (ए+3), दूसरे कोष्ठक में हम पदों को विभाजित करने के परिणाम लिखते हैं (ए+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
सभी! दाईं ओर, गुणा के अलावा कुछ नहीं है! तो गुणनखंडन सफलतापूर्वक पूरा हो गया है!) यहाँ यह है:
3ax + 9x-8a-24 = (a + 3) (3x-8)
आइए समूह के सार को दोबारा समझें।
यदि अभिव्यक्ति नहीं होती सामान्यके लिए गुणक सभीपदों, हम व्यंजक को कोष्ठक से विभाजित करते हैं ताकि कोष्ठक के अंदर उभयनिष्ठ गुणनखंड हो था।आइए इसे बाहर निकालें और देखें कि क्या होता है। यदि हम भाग्यशाली हैं, और कोष्ठक में बिल्कुल वही भाव रहते हैं, तो हम इन कोष्ठकों को कोष्ठक से बाहर निकाल देते हैं।
मैं यह भी जोड़ूंगा कि समूहीकरण एक रचनात्मक प्रक्रिया है)। यह हमेशा पहली बार काम नहीं करता. कोई बात नहीं। कभी-कभी शर्तों का आदान-प्रदान करना, विचार करना आवश्यक होता है विभिन्न प्रकारजब तक कोई अच्छा न मिल जाए तब तक समूह बनाना। यहां मुख्य बात हिम्मत हारना नहीं है!)
उदाहरण।
अब, ज्ञान से समृद्ध होकर, आप पेचीदा उदाहरणों को भी हल कर सकते हैं।) पाठ की शुरुआत में, इनमें से तीन थे...
सरल बनाएं:
वास्तव में, हम इस उदाहरण को पहले ही हल कर चुके हैं। अपने आप से अदृश्य रूप से।) मैं आपको याद दिलाता हूं: यदि हमें एक भयानक भिन्न दिया जाता है, तो हम अंश और हर को गुणनखंडों में विघटित करने का प्रयास करते हैं। अन्य सरलीकरण विकल्प बस नहीं.
खैर, यहां हर को विघटित नहीं किया गया है, बल्कि अंश को... हमने पाठ के दौरान अंश को पहले ही विघटित कर दिया है! इस कदर:
3ax + 9x-8a-24 = (a + 3) (3x-8)
हम भिन्न के अंश में विस्तार का परिणाम लिखते हैं:
भिन्नों को घटाने के नियम (अंश का मुख्य गुण) के अनुसार, हम अंश और हर को एक ही संख्या या अभिव्यक्ति से (एक साथ!) विभाजित कर सकते हैं। इससे अंश बदलना मत।इसलिए हम अंश और हर को व्यंजक से विभाजित करते हैं (3x-8). और यहां-वहां हमें इकाइयां मिलती हैं। अंतिम सरलीकरण परिणाम:
मैं विशेष रूप से जोर देता हूं: किसी भिन्न की कमी तभी संभव है जब अंश और हर में भावों को गुणा करने के अलावा, वहां कुछ भी नहीं है।इसीलिए योग (अंतर) का परिवर्तन गुणासरलीकरण करना बहुत महत्वपूर्ण है। बेशक, अगर अभिव्यक्तियाँ अलग,फिर कुछ भी कम नहीं होगा. बायवेट. लेकिन गुणनखंडन मौका देता है.विघटन के बिना यह संभावना - अस्तित्व में ही नहीं है।
समीकरण उदाहरण:
प्रश्न हल करें:
एक्स 5 - एक्स 4 = 0
सामान्य कारक को बाहर निकालना एक्स 4कोष्ठक के लिए. हम पाते हैं:
x 4 (x-1)=0
हम मानते हैं कि कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर है तब और केवल तभीजब उनमें से कोई भी शून्य के बराबर हो। यदि संदेह है, तो मुझे कुछ गैर-शून्य संख्याएँ खोजें, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा।) तो हम लिखते हैं, पहले पहला गुणनखंड:
इस समानता के साथ, दूसरा कारक हमें परेशान नहीं करता है। कोई भी हो सकता है, वैसे भी, अंत में शून्य ही निकलेगा। शून्य की चौथी घात की संख्या क्या है? केवल शून्य! और कुछ नहीं... इसलिए:
हमने पहले कारक का पता लगाया, हमें एक जड़ मिली। आइए दूसरे कारक से निपटें। अब हमें पहले गुणक की परवाह नहीं है।):
यहां हमें एक समाधान मिला: एक्स 1 = 0; x2 = 1. इनमें से कोई भी मूल हमारे समीकरण में फिट बैठता है।
बहुत महत्वपूर्ण लेख. ध्यान दें कि हमने समीकरण हल कर लिया है टिल तिल!प्रत्येक कारक को शून्य पर सेट किया गया था। अन्य कारकों की परवाह किए बिना.वैसे, यदि ऐसे समीकरण में दो कारक नहीं हैं, जैसा कि हमारे पास है, लेकिन तीन, पांच, जितने आप चाहें, हम तय करेंगे समान।एक एक। उदाहरण के लिए:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
जो कोष्ठक खोलता है, सब कुछ गुणा करता है, वह हमेशा के लिए इस समीकरण पर लटका रहेगा।) सही छात्र तुरंत देखेगा कि बाईं ओर गुणन के अलावा कुछ भी नहीं है, दाईं ओर - शून्य। और वह (अपने दिमाग में!) सभी कोष्ठकों को क्रम से शून्य के बराबर करना शुरू कर देगा। और उसे (10 सेकंड में!) सही समाधान मिल जाएगा: एक्स 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x4 = -2.
यह बहुत बढ़िया है, है ना?) सुंदर समाधानयदि संभव हो बाईं तरफसमीकरण एकाधिक में विभाजित.क्या संकेत स्पष्ट है?)
खैर, आखिरी उदाहरण, पुराने लोगों के लिए):
प्रश्न हल करें:
यह कुछ हद तक पिछले वाले के समान है, क्या आपको नहीं लगता?) बिल्कुल। यह याद रखने का समय है कि सातवीं कक्षा में बीजगणित, साइन, लघुगणक और कुछ भी अक्षरों के नीचे छिपाया जा सकता है! फैक्टरिंग सभी गणित में काम करती है।
सामान्य कारक को बाहर निकालना एलजी4एक्सकोष्ठक के लिए. हम पाते हैं:
एलजी 4x=0
यह एक जड़ है. आइए दूसरे कारक से निपटें।
यहाँ अंतिम उत्तर है: एक्स 1 = 1; x2 = 10.
मुझे आशा है कि आपको भिन्नों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने में गुणनखंडन की शक्ति का एहसास हो गया होगा।)
इस पाठ में हम सामान्य कारक को हटाने और समूहन से परिचित हुए। यह संक्षिप्त गुणन और वर्ग त्रिपद के सूत्रों से निपटना बाकी है।
यदि आपको यह साइट पसंद है...
वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)
आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)
आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।
समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय, अक्सर ऐसे बहुपद का गुणनखंड करना आवश्यक हो जाता है जिसकी घात तीन या अधिक हो। इस लेख में हम ऐसा करने का सबसे आसान तरीका देखेंगे।
हमेशा की तरह, आइए मदद के लिए सिद्धांत की ओर रुख करें।
बेज़ाउट का प्रमेयबताता है कि एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने पर शेषफल होता है।
लेकिन यह प्रमेय ही नहीं है जो हमारे लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि इसका परिणाम:
यदि संख्या किसी बहुपद का मूल है, तो बहुपद द्विपद से बिना शेषफल के विभाज्य होता है।
हमारे सामने यह कार्य है कि हम किसी तरह बहुपद का कम से कम एक मूल खोजें, फिर बहुपद को इससे विभाजित करें कि बहुपद का मूल कहां है। परिणामस्वरूप, हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जिसकी घात मूल घात से एक कम है। और फिर, यदि आवश्यक हो, तो आप प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं।
यह कार्य दो भागों में विभाजित है: बहुपद का मूल कैसे ज्ञात करें, और बहुपद को द्विपद में कैसे विभाजित करें.
आइए इन बिंदुओं पर बारीकी से नजर डालें।
1. बहुपद का मूल कैसे ज्ञात करें।
सबसे पहले, हम जाँचते हैं कि क्या संख्याएँ 1 और -1 बहुपद के मूल हैं।
निम्नलिखित तथ्य यहां हमारी सहायता करेंगे:
यदि किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग शून्य हो, तो वह संख्या बहुपद का मूल होती है।
उदाहरण के लिए, एक बहुपद में गुणांकों का योग शून्य के बराबर होता है:। यह जांचना आसान है कि बहुपद का मूल क्या है।
यदि किसी बहुपद के सम अंशों पर गुणांकों का योग विषम अंशों पर गुणांकों के योग के बराबर है, तो वह संख्या बहुपद का मूल है।मुक्त पद को सम डिग्री पर गुणांक माना जाता है, क्योंकि a एक सम संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक बहुपद में सम डिग्री पर गुणांकों का योग : होता है, और विषम डिग्री पर गुणांक का योग : होता है। यह जांचना आसान है कि बहुपद का मूल क्या है।
यदि न तो 1 और न ही -1 बहुपद की जड़ें हैं, तो हम आगे बढ़ते हैं।
कम डिग्री वाले बहुपद के लिए (अर्थात, एक बहुपद जिसमें अग्रणी गुणांक गुणांक है - एक के बराबर) विएटा फॉर्मूला मान्य है:
बहुपद की जड़ें कहाँ हैं.
बहुपद के शेष गुणांकों से संबंधित विएटा सूत्र भी हैं, लेकिन यह वह है जो हमें रूचि देता है।
विएटा के इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है यदि बहुपद की जड़ें पूर्णांक हैं, तो वे इसके मुक्त पद के विभाजक हैं, जो एक पूर्णांक भी है।
इस पर आधारित, हमें बहुपद के मुक्त पद को गुणनखंडों में विघटित करना होगा, और क्रमिक रूप से, छोटे से बड़े तक, यह जांचना होगा कि कौन सा गुणनखंड बहुपद का मूल है।
उदाहरण के लिए, बहुपद पर विचार करें
मुफ़्त सदस्य विभाजक: ; ; ;
बहुपद के सभी गुणांकों का योग बराबर होता है, इसलिए संख्या 1 बहुपद का मूल नहीं है।
सम घातों पर गुणांकों का योग:
विषम घातों पर गुणांकों का योग:
इसलिए, संख्या -1 भी बहुपद का मूल नहीं है।
आइए जाँच करें कि क्या संख्या 2 बहुपद का मूल है: इसलिए, संख्या 2 बहुपद का मूल है। इसलिए, बेज़ौट के प्रमेय के अनुसार, बहुपद द्विपद द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य है।
2. एक बहुपद को द्विपद में कैसे विभाजित करें।
एक बहुपद को एक स्तम्भ द्वारा द्विपद में विभाजित किया जा सकता है।
हम बहुपद को द्विपद स्तंभ में विभाजित करते हैं:
एक बहुपद को द्विपद में विभाजित करने का एक और तरीका है - हॉर्नर की योजना।
समझने के लिए ये वीडियो देखें एक बहुपद को एक स्तंभ द्वारा द्विपद से कैसे विभाजित करें, और हॉर्नर की योजना का उपयोग करें।
मैं ध्यान देता हूं कि यदि, किसी कॉलम से विभाजित करते समय, मूल बहुपद में अज्ञात की कुछ डिग्री अनुपस्थित होती है, तो हम उसके स्थान पर 0 लिखते हैं - जैसे कि हॉर्नर योजना के लिए एक तालिका संकलित करते समय।
इसलिए, यदि हमें एक बहुपद को द्विपद में विभाजित करने की आवश्यकता है और विभाजन के परिणामस्वरूप हमें एक बहुपद मिलता है, तो हम हॉर्नर योजना का उपयोग करके बहुपद के गुणांक पा सकते हैं:
हम भी उपयोग कर सकते हैं हॉर्नर की योजनायह जांचने के लिए कि दी गई संख्या बहुपद का मूल है या नहीं: यदि संख्या बहुपद का मूल है, तो बहुपद को विभाजित करने पर शेषफल शून्य होता है, अर्थात हॉर्नर की दूसरी पंक्ति के अंतिम कॉलम में योजना, हमें 0 मिलता है।
हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, हम "एक पत्थर से दो पक्षियों को मारते हैं": साथ ही हम जांचते हैं कि क्या संख्या एक बहुपद का मूल है और इस बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करते हैं।
उदाहरण।प्रश्न हल करें:
1. हम मुक्त पद के विभाजकों को लिखते हैं, और हम मुक्त पद के विभाजकों के बीच बहुपद के मूलों की तलाश करेंगे।
24 के विभाजक:
2. जांचें कि क्या संख्या 1 बहुपद का मूल है।
बहुपद के गुणांकों का योग, इसलिए, संख्या 1 बहुपद का मूल है।
3. हॉर्नर योजना का उपयोग करके मूल बहुपद को द्विपद में विभाजित करें।
ए) तालिका की पहली पंक्ति में मूल बहुपद के गुणांक लिखें।
चूँकि युक्त सदस्य गायब है, तालिका के उस कॉलम में जिसमें at का गुणांक लिखा जाना चाहिए, हम 0 लिखते हैं। बाईं ओर, हम पाया गया मूल लिखते हैं: संख्या 1।
बी) तालिका की पहली पंक्ति भरें।
अंतिम कॉलम में, जैसा कि अपेक्षित था, हमें शून्य मिला, हमने मूल बहुपद को बिना किसी शेषफल के द्विपद में विभाजित किया। विभाजन से उत्पन्न बहुपद के गुणांक तालिका की दूसरी पंक्ति में नीले रंग में दिखाए गए हैं:
यह जाँचना आसान है कि संख्याएँ 1 और -1 बहुपद के मूल नहीं हैं
सी)आइए तालिका जारी रखें। आइए जाँचें कि क्या संख्या 2 बहुपद का मूल है:
अतः बहुपद की घात, जो एक से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, मूल बहुपद की घात से कम होती है, इसलिए गुणांकों की संख्या और स्तंभों की संख्या एक से कम होती है।
अंतिम कॉलम में, हमें -40 - एक संख्या मिली, नहीं शून्य, इसलिए, बहुपद एक शेषफल वाले द्विपद से विभाज्य है, और संख्या 2 बहुपद का मूल नहीं है।
सी) आइए जाँच करें कि क्या संख्या -2 बहुपद का मूल है। चूँकि पिछला प्रयास असफल रहा था, ताकि गुणांकों को लेकर कोई भ्रम न हो, मैं इस प्रयास से संबंधित पंक्ति को मिटा दूँगा:
महान! शेषफल में हमें शून्य प्राप्त हुआ, अत: बहुपद को बिना शेषफल वाले द्विपद में विभाजित किया गया, अत: संख्या -2 बहुपद का मूल है। बहुपद के गुणांक, जो बहुपद को द्विपद से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं, तालिका में हरे रंग में दिखाए गए हैं।
विभाजन के परिणामस्वरूप, हमें एक वर्ग त्रिपद प्राप्त हुआ 
, जिनकी जड़ें विएटा के प्रमेय द्वारा आसानी से पाई जाती हैं:
तो, मूल समीकरण की जड़ें:
{
}
उत्तर: ( 
}
इस लेख में आपको प्रश्न का उत्तर देने वाली सभी आवश्यक जानकारी मिलेगी, किसी संख्या का गुणनखंड कैसे करें. सबसे पहले, किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने का एक सामान्य विचार दिया गया है, विस्तार के उदाहरण दिए गए हैं। किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने का विहित रूप आगे दिखाया गया है। उसके बाद, मनमानी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म दिया गया है, और इस एल्गोरिथ्म का उपयोग करके संख्याओं को विघटित करने के उदाहरण दिए गए हैं। भी विचार किया गया वैकल्पिक तरीके, आपको विभाज्यता चिह्नों और गुणन तालिका का उपयोग करके छोटे पूर्णांकों को शीघ्रता से अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने की अनुमति देता है।
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किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड करने का क्या मतलब है?
सबसे पहले, आइए देखें कि अभाज्य कारक क्या हैं।
यह स्पष्ट है कि चूँकि इस वाक्यांश में "कारक" शब्द मौजूद है, तो कुछ संख्याओं का गुणनफल होता है, और स्पष्ट करने वाले शब्द "अभाज्य" का अर्थ है कि प्रत्येक कारक एक अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए, फॉर्म 2 7 7 23 के उत्पाद में चार अभाज्य गुणनखंड हैं: 2, 7, 7 और 23।
किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड करने का क्या मतलब है?
इसका मतलब यह है कि दी गई संख्या को अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, और इस उत्पाद का मूल्य मूल संख्या के बराबर होना चाहिए। उदाहरण के तौर पर, तीन अभाज्य संख्याओं 2, 3 और 5 के गुणनफल पर विचार करें, यह 30 के बराबर है, इसलिए संख्या 30 का अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन 2 3 5 है। आमतौर पर, किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होना एक समानता के रूप में लिखा जाता है, हमारे उदाहरण में यह इस प्रकार होगा: 30=2 3 5। अलग से, हम इस बात पर जोर देते हैं कि विस्तार में प्रमुख कारकों को दोहराया जा सकता है। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है अगला उदाहरण: 144=2 2 2 2 3 3। लेकिन 45=3 15 के रूप का निरूपण अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन नहीं है, क्योंकि संख्या 15 समग्र है।
निम्नलिखित प्रश्न उठता है: "और किन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है"?
इसके उत्तर की तलाश में हम निम्नलिखित तर्क प्रस्तुत करते हैं। परिभाषा के अनुसार, अभाज्य संख्याएँ एक से बड़ी संख्याओं में से हैं। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि कई अभाज्य कारकों का गुणनफल एक से बड़ा एक सकारात्मक पूर्णांक है। इसलिए, गुणनखंडन केवल उन धनात्मक पूर्णांकों के लिए होता है जो 1 से बड़े होते हैं।
लेकिन क्या एक से अधिक पूर्णांकों को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है?
यह स्पष्ट है कि सरल पूर्णांकों को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने का कोई तरीका नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अभाज्य संख्याओं में केवल दो सकारात्मक भाजक होते हैं, एक और स्वयं, इसलिए उन्हें दो या दो के उत्पाद के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है अधिकप्रमुख संख्या। यदि एक पूर्णांक z को अभाज्य संख्याओं a और b के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो विभाज्यता की अवधारणा हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देगी कि z, a और b दोनों से विभाज्य है, जो संख्या z की सरलता के कारण असंभव है। हालाँकि, यह माना जाता है कि कोई भी अभाज्य संख्या स्वयं उसका अपघटन है।
भाज्य संख्याओं के बारे में क्या? क्या भाज्य संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होती हैं, और क्या सभी भाज्य संख्याएँ इस तरह के अपघटन के अधीन हैं? इनमें से कई प्रश्नों का सकारात्मक उत्तर अंकगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा दिया गया है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी पूर्णांक a जो 1 से बड़ा है, उसे अभाज्य गुणनखंडों p 1 , p 2 , ..., p n के गुणनफल में विघटित किया जा सकता है, जबकि विस्तार का रूप a=p 1 p 2 .. है। . पी एन, और यह अपघटन अद्वितीय है, यदि हम कारकों के क्रम को ध्यान में नहीं रखते हैं
किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन
किसी संख्या के विस्तार में अभाज्य गुणनखंडों की पुनरावृत्ति हो सकती है। दोहराए जाने वाले अभाज्य कारकों को अधिक संक्षिप्त रूप से उपयोग करके लिखा जा सकता है। मान लीजिए कि संख्या a के अपघटन में अभाज्य गुणनखंड p 1 s 1 बार आता है, अभाज्य गुणनखंड p 2 - s 2 बार आता है, और इसी प्रकार, p n - s n बार आता है। तब संख्या a का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार लिखा जा सकता है ए=पी 1 एस 1 पी 2 एस 2 पी एन एस एन. लेखन का यह रूप तथाकथित है किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन.
आइए हम किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन का एक उदाहरण दें। आइये जानते हैं विघटन 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, इसका विहित रूप है 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन आपको संख्या के सभी भाजक और संख्या के भाजक की संख्या ज्ञात करने की अनुमति देता है।
किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिदम
किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के कार्य को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लेख में दी गई सरल और मिश्रित संख्याओं की जानकारी बहुत अच्छी होनी चाहिए।
एक धनात्मक पूर्णांक तथा एक से अधिक संख्या a के विस्तार की प्रक्रिया का सार अंकगणित के मुख्य प्रमेय के प्रमाण से स्पष्ट होता है। इसका अर्थ क्रमिक रूप से सबसे छोटे अभाज्य विभाजक p 1 , p 2 , …,p n संख्याओं a, a 1 , a 2 , …, a n-1 को ढूंढना है, जो आपको समानताओं की एक श्रृंखला प्राप्त करने की अनुमति देता है a=p 1 a 1 , जहां ए 1 = ए:पी 1 , ए=पी 1 ए 1 =पी 1 पी 2 ए 2 , जहां ए 2 =ए 1:पी 2 , ..., ए=पी 1 पी 2 …पी एन ए एन , जहां ए एन =ए एन -1:पी एन . जब a n =1 प्राप्त होता है, तो समानता a=p 1 ·p 2 ·…·p n हमें संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन प्रदान करेगी। यहां यह भी ध्यान रखना होगा कि पी 1 ≤पी 2 ≤पी 3 ≤…≤पी एन.
यह प्रत्येक चरण में सबसे छोटे अभाज्य भाजक को खोजने से निपटना बाकी है, और हमारे पास किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एक एल्गोरिदम होगा। अभाज्य संख्या तालिका हमें अभाज्य भाजक खोजने में मदद करेगी। आइए दिखाएँ कि संख्या z का सबसे छोटा अभाज्य भाजक प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग कैसे करें।
हम क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं (2 , 3 , 5 , 7 , 11 इत्यादि) की तालिका से अभाज्य संख्याएँ लेते हैं और दी गई संख्या z को उनसे विभाजित करते हैं। पहली अभाज्य संख्या जिससे z समान रूप से विभाज्य है, उसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक है। यदि संख्या z अभाज्य है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य विभाजक संख्या z ही होगी। यहाँ यह भी स्मरण रखना चाहिए कि यदि z नहीं है प्रधान संख्या, तो इसका न्यूनतम अभाज्य भाजक संख्या से अधिक नहीं है , जहां - z से . इस प्रकार, यदि अभाज्य संख्याओं में, जो z से अधिक नहीं है, संख्या z का एक भी विभाजक नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि z एक अभाज्य संख्या है (इसके बारे में सिद्धांत अनुभाग में शीर्षक के तहत अधिक लिखा गया है कि यह संख्या अभाज्य या मिश्रित है) ).
उदाहरण के लिए, आइए दिखाते हैं कि संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक कैसे खोजा जाए। हम नंबर 2 लेते हैं. 87 को 2 से विभाजित करने पर हमें 87:2=43 (शेष 1) प्राप्त होता है (यदि आवश्यक हो तो लेख देखें)। अर्थात्, 87 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल 1 होता है, इसलिए 2 संख्या 87 का भाजक नहीं है। हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अगली अभाज्य संख्या लेते हैं, यह संख्या 3 है। हम 87 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 87:3=29 मिलता है। अतः 87, 3 से समान रूप से विभाज्य है, इसलिए 3, 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है।
ध्यान दें कि सामान्य स्थिति में, संख्या a का गुणनखंड करने के लिए, हमें कम से कम संख्या तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होती है। हमें हर कदम पर इस तालिका का संदर्भ लेना होगा, इसलिए हमें इसे हाथ में रखना होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 95 का गुणनखंड करने के लिए, हमें 10 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होगी (क्योंकि 10 से बड़ा है)। और संख्या 846 653 को विघटित करने के लिए, आपको पहले से ही 1,000 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होगी (क्योंकि 1,000 इससे बड़ा है)।
अब हमारे पास लिखने के लिए पर्याप्त जानकारी है किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म. संख्या a का विस्तार करने के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है:
- अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करते हुए, हम संख्या a का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 1 पाते हैं, जिसके बाद हम a 1 =a:p 1 की गणना करते हैं। यदि a 1 =1 है, तो संख्या a अभाज्य है, और यह स्वयं अभाज्य गुणनखंडों में इसका अपघटन है। यदि a 1, 1 के बराबर है, तो हमारे पास a=p 1 ·a 1 है और हम अगले चरण पर जाते हैं।
- हम संख्या a 1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 2 पाते हैं, इसके लिए हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करते हैं, p 1 से शुरू करते हैं, जिसके बाद हम a 2 =a 1:p 2 की गणना करते हैं। यदि a 2 =1, तो संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन a=p 1 ·p 2 के रूप में होता है। यदि a 2, 1 के बराबर है, तो हमारे पास a=p 1 ·p 2 ·a 2 है और हम अगले चरण पर जाते हैं।
- अभाज्य तालिका से संख्याओं को देखते हुए, p 2 से शुरू करके, हम संख्या a 2 का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक p 3 पाते हैं, जिसके बाद हम a 3 =a 2:p 3 की गणना करते हैं। यदि a 3 =1, तो संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन a=p 1 ·p 2 ·p 3 के रूप में होता है। यदि a 3, 1 के बराबर है, तो हमारे पास a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 है और हम अगले चरण पर जाते हैं।
- संख्या a n-1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p n खोजें, अभाज्य संख्याओं को क्रमबद्ध करके, p n-1 से प्रारंभ करके, साथ ही a n =a n-1:p n से, और a n 1 के बराबर है। यह चरण एल्गोरिथम का अंतिम चरण है, यहां हम संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन प्राप्त करते हैं: a=p 1 ·p 2 ·…·p n।
किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म के प्रत्येक चरण में प्राप्त सभी परिणाम स्पष्टता के लिए निम्नलिखित तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, जिसमें संख्याएँ a, a 1, a 2, ..., a n क्रमिक रूप से लिखी जाती हैं ऊर्ध्वाधर पट्टी के बाईं ओर, और पट्टी के दाईं ओर - संबंधित सबसे छोटे अभाज्य विभाजक पी 1 , पी 2 , …, पी एन .
संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए प्राप्त एल्गोरिदम को लागू करने के कुछ उदाहरणों पर विचार करना ही शेष है।
अभाज्य गुणनखंडन उदाहरण
अब हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे अभाज्य गुणनखंडन उदाहरण. विघटित करते समय, हम पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिदम लागू करेंगे। आइए सरल मामलों से शुरू करें, और धीरे-धीरे हम सभी का सामना करने के लिए उन्हें जटिल बना देंगे संभावित बारीकियाँसंख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने से उत्पन्न होना।
उदाहरण।
संख्या 78 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।
समाधान।
हम संख्या a=78 के पहले सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 1 की खोज शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अभाज्य संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करना शुरू करते हैं। हम संख्या 2 लेते हैं और इसे 78 से विभाजित करते हैं, हमें 78:2=39 मिलता है। संख्या 78 को बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित किया गया था, इसलिए पी 1 = 2 संख्या 78 का पहला पाया गया अभाज्य भाजक है। इस मामले में a 1 =a:p 1 =78:2=39 . तो हम समानता a=p 1 ·a 1 पर आते हैं जिसका रूप 78=2·39 है। जाहिर है, 1 =39 1 से भिन्न है, इसलिए हम एल्गोरिथम के दूसरे चरण पर जाते हैं।
अब हम संख्या a 1 =39 के सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 2 की तलाश कर रहे हैं। हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं की गणना शुरू करते हैं, जो p 1 =2 से शुरू होती है। 39 को 2 से विभाजित करने पर हमें 39:2=19 (शेष 1) प्राप्त होता है। चूँकि 39, 2 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, 2 इसका भाजक नहीं है। फिर हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अगली संख्या (संख्या 3) लेते हैं और इसे 39 से विभाजित करते हैं, हमें 39:3=13 मिलता है। इसलिए, p 2 = 3 संख्या 39 का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक है, जबकि a 2 = a 1: p 2 = 39: 3=13। हमारे पास 78=2 3 13 के रूप में समानता a=p 1 p 2 a 2 है। चूँकि 2 =13 1 से भिन्न है, हम एल्गोरिथम के अगले चरण पर जाते हैं।
यहां हमें संख्या a 2 =13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात करना होगा। संख्या 13 के सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 3 की खोज में, हम p 2 = 3 से शुरू करके, अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करेंगे। संख्या 13, 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13:3=4 (बाकी 1), 13:5=2 (बाकी 3), 13:7=1 के बाद से 13, 5, 7 और 11 से भी विभाज्य नहीं है। (रेस. 6) और 13:11=1 (रेस. 2) . अगली अभाज्य संख्या 13 है, और 13 बिना किसी शेषफल के इससे विभाज्य है, इसलिए, संख्या 13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 3 ही संख्या 13 है, और a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . चूँकि a 3 =1 , तो एल्गोरिथ्म का यह चरण अंतिम है, और संख्या 78 के अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन का रूप 78=2·3·13 है (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .
उत्तर:
78=2 3 13 .
उदाहरण।
संख्या 83,006 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।
समाधान।
किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के पहले चरण में, हम p 1 =2 और a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 पाते हैं, जहां से 83 006=2 41 503 आता है।
दूसरे चरण में, हमें पता चलता है कि 2, 3 और 5 संख्या a 1 =41 503 के अभाज्य विभाजक नहीं हैं, और संख्या 7 है, चूँकि 41 503: 7=5 929 है। हमारे पास p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 है। इस प्रकार, 83 006=2 7 5 929।
2 =5 929 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 7 है, क्योंकि 5 929:7=847 है। इस प्रकार, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , जहाँ से 83 006=2 7 7 847 .
आगे हम पाते हैं कि संख्या a 3 =847 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 4, 7 के बराबर है। फिर a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, इसलिए 83 006=2 7 7 7 121।
अब हम संख्या a 4 =121 का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक पाते हैं, यह संख्या p 5 =11 है (चूंकि 121 11 से विभाज्य है और 7 से विभाज्य नहीं है)। फिर a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, और 83 006=2 7 7 7 11 11।
अंततः, 5 =11 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 6 =11 है। फिर a 6 =a 5:p 6 =11:11=1। चूंकि 6 =1 है, तो किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म का यह चरण अंतिम है, और वांछित अपघटन का रूप 83 006=2·7·7·7·11·11 है।
प्राप्त परिणाम को संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन के रूप में लिखा जा सकता है 83 006=2·7 3 ·11 2।
उत्तर:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 एक अभाज्य संख्या है. वास्तव में, इसका कोई अभाज्य भाजक नहीं है जो (से अधिक न हो, मोटे तौर पर इसका अनुमान लगाया जा सकता है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
उत्तर:
897 924 289=937 967 991।
अभाज्य गुणनखंडन के लिए विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करना
साधारण मामलों में, आप इस आलेख के पहले पैराग्राफ से अपघटन एल्गोरिथ्म का उपयोग किए बिना किसी संख्या को अभाज्य कारकों में विघटित कर सकते हैं। यदि संख्याएँ बड़ी नहीं हैं, तो उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए, विभाज्यता के संकेतों को जानना अक्सर पर्याप्त होता है। हम स्पष्टीकरण के लिए उदाहरण देते हैं।
उदाहरण के लिए, हमें संख्या 10 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने की आवश्यकता है। गुणन तालिका से हम जानते हैं कि 2 5=10, और संख्याएँ 2 और 5 स्पष्ट रूप से अभाज्य हैं, इसलिए 10 का अभाज्य गुणनखंडन 10=2 5 है।
एक और उदाहरण। गुणन तालिका का उपयोग करके, हम संख्या 48 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं। हम जानते हैं कि छह आठ अड़तालीस है, यानी 48=6 8. हालाँकि, न तो 6 और न ही 8 अभाज्य संख्याएँ हैं। लेकिन हम जानते हैं कि दो बार तीन छह है, और दो बार चार आठ है, यानी 6=2 3 और 8=2 4। फिर 48=6 8=2 3 2 4। यह याद रखना बाकी है कि दो का दोगुना चार है, तो हमें अभाज्य गुणनखंडों 48=2 3 2 2 2 में वांछित अपघटन मिलता है। आइए इस अपघटन को विहित रूप में लिखें: 48=2 4 ·3 .
लेकिन संख्या 3400 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, आप विभाज्यता के संकेतों का उपयोग कर सकते हैं। 10, 100 से विभाज्यता के संकेत हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि 3400, 100 से विभाज्य है, जबकि 3400=34 100, और 100 10 से विभाज्य है, जबकि 100=10 10, इसलिए, 3400=34 10 10। और 2 से विभाज्यता के चिह्न के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि गुणनखंड 34, 10 और 10 में से प्रत्येक गुणनखंड 2 से विभाज्य है, हमें प्राप्त होता है 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. परिणामी विस्तार के सभी कारक सरल हैं, इसलिए यह विस्तार आवश्यक है। यह केवल कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए ही रहता है ताकि वे आरोही क्रम में जाएं: 3 400=2 2 2 5 5 17। हम इस संख्या के विहित अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में भी लिखते हैं: 3 400=2 3 5 2 17।
किसी दी गई संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, आप विभाज्यता के चिह्नों और गुणन तालिका दोनों का उपयोग कर सकते हैं। आइए संख्या 75 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें। 5 से विभाज्यता का चिह्न हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि 75, 5 से विभाज्य है, जबकि हमें यह मिलता है कि 75=5 15. और गुणन तालिका से हम जानते हैं कि 15=3 5, इसलिए, 75=5 3 5। यह संख्या 75 का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन है।
ग्रंथ सूची.
- विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि गणित. ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
- विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल सिद्धांत.
- मिखेलोविच श.ख. संख्या सिद्धांत।
- कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: फ़िज़-मैट के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशिष्टताएँ।
