بيت > تصميم داخلي > كيف تجد أصغر مضاعف لرقم. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

كيف تجد أصغر مضاعف لرقم. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

مضاعف الرقم هو رقم يقبل القسمة على رقم معين بدون باقي. المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأرقام هو أصغر عدد، والتي تقبل القسمة على كل رقم في المجموعة. لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، عليك إيجاد العوامل الأولية للأرقام المحددة. أيضًا ، يمكن حساب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام عدد من الطرق الأخرى التي تنطبق على مجموعات مكونة من رقمين أو أكثر.

خطوات

سلسلة من المضاعفات

    انظر إلى هذه الأرقام.الطريقة الموصوفة هنا هي أفضل استخدام عند إعطاء رقمين كلاهما أقل من 10. إذا تم تقديم أعداد كبيرة ، فاستخدم طريقة مختلفة.

    • على سبيل المثال ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و 8. فهذه أرقام صغيرة ، لذا يمكن استخدام هذه الطريقة.

  1. مضاعف الرقم هو رقم يقبل القسمة على رقم معين بدون باقي. يمكن العثور على أرقام متعددة في جدول الضرب.

    • على سبيل المثال ، الأرقام التي تكون من مضاعفات العدد 5 هي: 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40.

  2. اكتب سلسلة من الأعداد على شكل مضاعفات العدد الأول.افعل ذلك ضمن مضاعفات الرقم الأول لمقارنة صفين من الأرقام.

    • على سبيل المثال ، الأرقام التي تكون مضاعفات 8 هي: 8 و 16 و 24 و 32 و 40 و 48 و 56 و 64.

  3. أوجد أصغر عدد يظهر في سلسلتي المضاعفات.قد تضطر إلى كتابة سلسلة طويلة من المضاعفات لإيجاد المجموع. أصغر رقم يظهر في سلسلتي المضاعفات هو المضاعف المشترك الأصغر.

    • على سبيل المثال ، أصغر رقم يظهر في سلسلة مضاعفات 5 و 8 هو 40. لذلك ، 40 هو المضاعف المشترك الأصغر لـ 5 و 8.

    عامل رئيسي

    1. انظر إلى هذه الأرقام.يتم استخدام الطريقة الموصوفة هنا بشكل أفضل عند إعطاء رقمين أكبر من 10. إذا تم تقديم أرقام أصغر ، فاستخدم طريقة مختلفة.

      • على سبيل المثال ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و 84. كل رقم أكبر من 10 ، لذلك يمكن استخدام هذه الطريقة.

    2. حلل الرقم الأول إلى عوامل.أي أنك تحتاج إلى إيجاد مثل هذه الأعداد الأولية ، عند ضربها ، تحصل على رقم معين. بعد أن وجدت العوامل الأولية ، اكتبها كمساواة.

      • على سبيل المثال، 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 10 = 20)و 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times (\ mathbf (5)) = 10). إذن ، العوامل الأولية للعدد 20 هي الأعداد 2 و 2 و 5. اكتبهم على هيئة تعبير:.

    3. حلل الرقم الثاني إلى عوامل أولية.افعل ذلك بالطريقة نفسها التي حللت بها الرقم الأول إلى عوامل ، أي ابحث عن الأعداد الأولية التي عند ضربها ستحصل على هذا العدد.

      • على سبيل المثال، 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ times 6 = 42)و 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ times (\ mathbf (2)) = 6). إذن ، العوامل الأولية للعدد 84 هي الأعداد 2 و 7 و 3 و 2. اكتبهم على شكل تعبير:.

    4. اكتب العوامل المشتركة لكلا العددين.اكتب هذه العوامل مثل عملية الضرب. أثناء كتابة كل عامل ، اشطبه في كلا التعبيرين (التعبيرات التي تصف تحلل الأعداد إلى عوامل أولية).

      • على سبيل المثال ، العامل المشترك لكلا العددين هو 2 ، لذا اكتب 2 × (displaystyle 2 times)واشطب الرقم 2 في كلا التعبيرين.
      • العامل المشترك لكلا العددين هو عامل آخر للعدد 2 ، لذا اكتب 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2)واشطب 2 في كلا التعبيرين.

    5. أضف العوامل المتبقية لعملية الضرب.هذه عوامل لم يتم شطبها في كلا التعبيرين ، أي عوامل غير مشتركة لكلا الرقمين.

      • على سبيل المثال ، في التعبير 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ times 2 \ times 5)تم شطب كلا الاثنين (2) لأنهما عاملين مشتركين. لم يتم شطب العامل 5 ، لذا اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5)
      • في التعبير 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ times 7 \ times 3 \ times 2)تم شطب كلا التعادلين (2). لم يتم شطب العاملين 7 و 3 ، لذا اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3).

    6. احسب المضاعف المشترك الأصغر.للقيام بذلك ، اضرب الأرقام في عملية الضرب المكتوبة.

      • على سبيل المثال، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3 = 420). إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و 84 هو 420.

      إيجاد القواسم المشتركة

      1. ارسم شبكة كما تفعل في لعبة تيك تاك تو.تتكون هذه الشبكة من خطين متوازيين يتقاطعان (بزوايا قائمة) مع خطين متوازيين آخرين. سينتج عن ذلك ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة (تشبه الشبكة كثيرًا علامة #). اكتب الرقم الأول في الصف الأول والعمود الثاني. اكتب الرقم الثاني في الصف الأول والعمود الثالث.

        • على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر بين 18 و 30. اكتب 18 في الصف الأول والعمود الثاني ، واكتب 30 في الصف الأول والعمود الثالث.

      2. أوجد القاسم المشترك لكلا العددين.اكتبها في الصف الأول والعمود الأول. من الأفضل البحث عن قواسم أولية ، لكن هذا ليس شرطًا أساسيًا.

        • على سبيل المثال ، 18 و 30 أعداد زوجية ، لذا فإن القاسم المشترك بينهما هو 2. لذا اكتب 2 في الصف الأول والعمود الأول.

      3. قسّم كل رقم على القاسم الأول.اكتب كل حاصل تحت الرقم المقابل. حاصل القسمة هو نتيجة قسمة رقمين.

        • على سبيل المثال، 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9)، لذلك اكتب 9 تحت سن 18.
        • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15)، لذلك اكتب 15 تحت 30.

      4. أوجد القاسم المشترك لكلا حاصل القسمة.إذا لم يكن هناك قاسم من هذا القبيل ، فتخط الخطوتين التاليتين. وإلا فاكتب المقسوم عليه في الصف الثاني والعمود الأول.

        • على سبيل المثال ، 9 و 15 يقبلان القسمة على 3 ، لذا اكتب 3 في الصف الثاني والعمود الأول.

      5. اقسم كل حاصل على القاسم الثاني.اكتب كل نتيجة قسمة تحت حاصل القسمة المقابل.

        • على سبيل المثال، 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3)، لذا اكتب 3 تحت 9.
        • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5)، لذا اكتب 5 تحت 15.

      6. إذا لزم الأمر ، استكمل الشبكة بخلايا إضافية.كرر الخطوات السابقة حتى تحصل على قسمة مشتركة.

      7. ضع دائرة حول الأرقام الموجودة في العمود الأول والصف الأخير من الشبكة.ثم اكتب الأرقام المميزة كعملية ضرب.

        • على سبيل المثال ، الرقمان 2 و 3 موجودان في العمود الأول ، والأرقام 3 و 5 في الصف الأخير ، لذلك اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5).

      8. أوجد نتيجة ضرب الأعداد.سيحسب هذا المضاعف المشترك الأصغر للرقمين المحددين.

        • على سبيل المثال، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 = 90). إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 18 و 30 هو 90.

      خوارزمية إقليدس

      1. تذكر المصطلحات المرتبطة بعملية التقسيم.المقسوم هو الرقم الذي يتم تقسيمه. القاسم هو الرقم المطلوب القسمة عليه. حاصل القسمة هو نتيجة قسمة رقمين. الباقي هو الرقم المتبقي عند قسمة رقمين.

        • على سبيل المثال ، في التعبير 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2)استراحة. 3:
          15 هو قابل للقسمة
          6 هو القاسم
          2 خاص
          3 هو الباقي.

أكبر عدد طبيعي يمكن به القسمة على الرقمين a و b بدون الباقي القاسم المشترك الأكبرهذه الارقام. دلالة GCD (أ ، ب).

ضع في اعتبارك العثور على GCD باستخدام مثال رقمين طبيعيين 18 و 60:

  • 1 دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية:
    18 = 2 × 3 × 3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
  • 2 احذف من توسيع الرقم الأول جميع العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني ، نحصل عليه 2 × 3 × 3 .
  • 3 نضرب العوامل الأولية المتبقية بعد الشطب ونحصل على القاسم المشترك الأكبر للأرقام: gcd ( 18 , 60 )=2 × 3= 6 .
  • 4 لاحظ أنه لا يهم من الرقم الأول أو الثاني الذي نقوم بشطب العوامل ، ستكون النتيجة هي نفسها:
    18 = 2 × 3 × 3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    • 324 , 111 و 432

    دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية:

    324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

    111 = 3 × 37

    432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

    حذف من الرقم الأول ، عوامله ليست في الرقمين الثاني والثالث ، نحصل على:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

    نتيجة GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

    إيجاد GCD باستخدام خوارزمية إقليدس

    الطريقة الثانية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر باستخدام خوارزمية إقليدس. خوارزمية إقليدس هي الأكثر على نحو فعالالعثور على GCD، باستخدامه تحتاج إلى العثور باستمرار على باقي قسمة الأرقام والتطبيق الصيغة المتكررة.

    الصيغة المتكررةلـ GCD ، gcd (a، b) = gcd (b، a mod b)، حيث a mod b هو باقي قسمة a على b.

    خوارزمية إقليدس
    مثال أوجد القاسم المشترك الأكبر للأعداد 7920 و 594

    دعنا نجد GCD ( 7920 , 594 ) باستخدام خوارزمية إقليدس ، سنحسب باقي القسمة باستخدام الآلة الحاسبة.

  • GCD ( 7920 , 594 )
  • GCD ( 594 , 7920 عصري 594 ) = gcd ( 594 , 198 )
  • GCD ( 198 , 594 عصري 198 ) = gcd ( 198 , 0 )
  • GCD ( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 متوسط ​​594 = 7920-13 × 594 = 198
    • 594 نموذجًا 198 = 594-3 × 198 = 0

      • نتيجة لذلك ، نحصل على GCD ( 7920 , 594 ) = 198

      أقل مضاعف مشترك

      من أجل العثور على القاسم المشتركعند جمع وطرح الكسور مع قواسم مختلفةبحاجة إلى معرفة والقدرة على الحساب أقل مضاعف مشترك(شهادة عدم الممانعة).

      مضاعف الرقم "أ" هو رقم قابل للقسمة بحد ذاته على الرقم "أ" بدون باقي.

      الأعداد التي هي من مضاعفات 8 (أي أن هذه الأعداد ستقسم على 8 بدون باقي): هذه هي الأرقام 16 ، 24 ، 32 ...

      مضاعفات 9:18 ، 27 ، 36 ، 45 ...

      هناك عدد لا نهائي من مضاعفات رقم معين أ ، على عكس القواسم من نفس الرقم. القواسم - عدد محدود.

      المضاعف المشترك لرقمين طبيعيين هو رقم يقبل القسمة على كلا الرقمين بالتساوي..

      أقل مضاعف مشترك(المضاعف المشترك الأصغر) لرقمين طبيعيين أو أكثر هو أصغر رقم طبيعي يقبل القسمة على كل من هذه الأرقام.

      كيف تجد شهادة عدم الممانعة

      يمكن إيجاد LCM وكتابته بطريقتين.

      الطريقة الأولى لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

      عادة ما تستخدم هذه الطريقة للأعداد الصغيرة.

    1. نكتب المضاعفات لكل رقم في السطر حتى يكون هناك مضاعف متماثل لكلا العددين.
    2. يُشار إلى مضاعف الرقم "أ" بحرف كبير "ك".

    مثال. أوجد LCM 6 و 8.

    الطريقة الثانية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

    هذه الطريقة ملائمة للاستخدام لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

    يمكن أن يكون عدد العوامل المتطابقة في توسعات الأرقام مختلفًا.

  • في توسيع العدد الأصغر (الأرقام الأصغر) ، ضع خطًا تحت العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع العدد الأكبر (في مثالنا ، هو 2) وأضف هذه العوامل إلى زيادة العدد الأكبر.
    المضاعف المشترك الأصغر (24 ، 60) = 2 2 3 5 2
  • سجل العمل الناتج استجابة.
    الجواب: المضاعف المشترك الأصغر (24 ، 60) = 120

    • يمكنك أيضًا إضفاء الطابع الرسمي على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) على النحو التالي. لنجد المضاعف المشترك الأصغر (12، 16، 24).

    24 = 2 2 2 3

    كما نرى من توسيع الأعداد ، تم تضمين جميع عوامل العدد 12 في توسيع 24 (أكبر الأرقام) ، لذلك نضيف 2 واحدًا فقط من توسيع الرقم 16 إلى المضاعف المشترك الأصغر.

    المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 16 ، 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    الجواب: المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 16 ، 24) = 48

    حالات خاصة لإيجاد شهادات عدم ممانعة

  • إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة بالتساوي على الأرقام الأخرى ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي هذا الرقم.

    • على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (60 ، 15) = 60
    نظرًا لعدم احتواء أرقام الجريمة على قواسم أولية مشتركة ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

    على موقعنا ، يمكنك أيضًا استخدام آلة حاسبة خاصة للعثور على المضاعف الأقل شيوعًا عبر الإنترنت للتحقق من حساباتك.

    إذا كان الرقم الطبيعي لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه ، فإنه يسمى أولي.

    أي رقم طبيعي يقبل القسمة دائمًا على 1 وعلى نفسه.

    الرقم 2 هو أصغر عدد أولي. هذا هو العدد الأولي الزوجي الوحيد ، أما باقي الأعداد الأولية فهي فردية.

    يوجد العديد من الأعداد الأولية ، وأولها هو الرقم 2. ومع ذلك ، لا يوجد عدد أولي أخير. في قسم "للدراسة" يمكنك تنزيل الجدول الأعداد الأوليةحتى 997.

    لكن كثيرا أعداد صحيحةقابلة للقسمة بالتساوي على الأعداد الطبيعية الأخرى.

    • الرقم 12 قابل للقسمة على 1 ، على 2 ، على 3 ، على 4 ، على 6 ، على 12 ؛
    • 36 قابلة للقسمة على 1 ، على 2 ، على 3 ، على 4 ، على 6 ، على 12 ، على 18 ، على 36.

      • الأرقام التي يقبل بها الرقم القسمة بالتساوي (بالنسبة لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) تسمى قواسم الرقم.

      المقسوم على الرقم الطبيعي a هو رقم طبيعي يقسم الرقم المعطى "a" بدون باقي.

      يسمى الرقم الطبيعي الذي يحتوي على أكثر من عاملين بالرقم المركب.

      لاحظ أن العددين 12 و 36 لهما قواسم مشتركة. هذه هي الأرقام: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12. أكبر قاسم على هذه الأعداد هو 12.

      القاسم المشترك لرقمين محددين "أ" و "ب" هو الرقم الذي يتم من خلاله قسمة الرقمين "أ" و "ب" بدون باقي.

      القاسم المشترك الأكبر(GCD) لرقمين محددين "أ" و "ب" هو أكبر رقم يمكن من خلاله القسمة على كلا الرقمين "أ" و "ب" بدون باقي.

      باختصار ، يتم كتابة القاسم المشترك الأكبر للأرقام "أ" و "ب" على النحو التالي:

      مثال: gcd (12 ؛ 36) = 12.

      تتم الإشارة إلى مقسومات الأرقام في سجل الحل بحرف كبير "D".

      الرقمان 7 و 9 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام أرقام حقوق الملكية.

      أرقام Coprimeهي أعداد طبيعية لها قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. GCD الخاص بهم هو 1.

      كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر

      للبحث عن رقمين طبيعيين أو أكثر تحتاج إلى:

    • يحلل قواسم الأعداد إلى عوامل أولية ؛

      • تتم كتابة الحسابات بشكل ملائم باستخدام شريط عمودي. على يسار السطر ، اكتب أولاً المقسوم ، على اليمين - المقسوم عليه. علاوة على ذلك ، في العمود الأيسر نكتب قيم الخاص.

      دعنا نشرح على الفور بمثال. لنحلل العددين 28 و 64 في العوامل الأولية.

      ضع خطًا تحت نفس العوامل الأولية في كلا العددين.
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    نجد حاصل ضرب العوامل الأولية المتطابقة ونكتب الإجابة ؛
    GCD (28 ؛ 64) = 2 2 = 4

    الجواب: GCD (28 ؛ 64) = 4

    يمكنك ترتيب موقع GCD بطريقتين: في عمود (كما تم القيام به أعلاه) أو "في سطر".

    الطريقة الأولى لكتابة GCD

    ابحث عن GCD 48 و 36.

    GCD (48 ؛ 36) = 2 2 3 = 12

    الطريقة الثانية لكتابة GCD

    لنكتب الآن حل بحث GCD في سطر. ابحث عن GCD 10 و 15.

    على موقع المعلومات الخاص بنا ، يمكنك أيضًا العثور على القاسم المشترك الأكبر عبر الإنترنت باستخدام برنامج المساعد للتحقق من حساباتك.

    إيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، والطرق ، والأمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

    المواد المعروضة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة تحت العنوان LCM - المضاعف المشترك الأصغر ، التعريف ، الأمثلة ، العلاقة بين LCM و GCD. هنا سنتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، و انتباه خاصدعنا نلقي نظرة على الأمثلة. دعنا نوضح أولاً كيف يتم حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين من حيث GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية. بعد ذلك ، سنركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة و أكثرالأرقام ، وانتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة.

    التنقل في الصفحة.

    حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) من خلال gcd

    تعتمد إحدى طرق العثور على المضاعف المشترك الأصغر على العلاقة بين LCM و GCD. تسمح لك العلاقة الحالية بين LCM و GCD بحساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة لها الشكل المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب). ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر وفقًا للصيغة أعلاه.

    أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 126 و 70.

    في هذا المثال أ = 126 ، ب = 70. دعنا نستخدم ارتباط LCM مع GCD ، والذي يتم التعبير عنه بواسطة الصيغة LCM (أ ، ب) = أ ب: GCM (أ ، ب). أي ، علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 70 و 126 ، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذين العددين وفقًا للصيغة المكتوبة.

    أوجد gcd (126، 70) باستخدام خوارزمية إقليدس: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4 ، وبالتالي gcd (126، 70) = 14.

    نجد الآن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 126 70: GCD (126 ، 70) = 126 70: 14 = 630.

    ما هو LCM (68 ، 34)؟

    بما أن 68 قابلة للقسمة بالتساوي على 34 ، فإن gcd (68 ، 34) = 34. نحسب الآن المضاعف المشترك الأصغر: المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68 34: GCD (68 ، 34) = 68 34: 34 = 68.

    لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة أ وب: إذا كان الرقم أ قابل للقسمة على ب ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو أ.

    إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى العوامل الأولية

    طريقة أخرى لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا صنعنا منتجًا لجميع العوامل الأولية لهذه الأرقام ، وبعد ذلك نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الأولية الشائعة الموجودة في توسعات هذه الأرقام ، فسيكون الناتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.

    القاعدة المعلنة لإيجاد LCM تتبع من LCM للمساواة (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب). في الواقع ، حاصل ضرب العددين a و b يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المتضمنة في تمددات العددين a و b. بدوره ، gcd (أ ، ب) يساوي المنتججميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في توسعات الأرقام أ و ب (الموصوفة في القسم الخاص بإيجاد GCD باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية).

    لنأخذ مثالا. لنعلم أن 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. يؤلف حاصل ضرب كل عوامل هذه التوسعات: 2 3 3 5 5 5 7. نستبعد الآن من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في توسيع الرقم 75 وفي توسيع الرقم 210 (هذه العوامل هي 3 و 5) ، ثم يأخذ المنتج الشكل 2 3 5 5 7. قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر لـ 75 و 210 ، أي المضاعف المشترك الأصغر (75 ، 210) = 2 3 5 5 7 = 1050.

    بعد تحليل العددين 441 و 700 إلى عوامل أولية ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

    لنحلل العددين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

    نحصل على 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.

    لنصنع الآن حاصل ضرب جميع العوامل التي تدخل في مد هذه الأعداد: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعنا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في وقت واحد في كلا التوسيعين (يوجد عامل واحد فقط - هذا هو الرقم 7): 2 2 3 3 5 5 7 7. إذن المضاعف المشترك الأصغر (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44100.

    المضاعف المشترك الأصغر (441 ، 700) = 44100.

    يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا أضفنا العوامل المفقودة من توسيع الرقم b إلى العوامل من توسيع الرقم a ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام a و b.

    على سبيل المثال ، لنأخذ جميع الأعداد نفسها 75 و 210 ، فوسعاتهم إلى عوامل أولية هي كما يلي: 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من تحلل الرقم 75 ، نضيف العوامل الناقصة 2 و 7 من تحلل الرقم 210 ، نحصل على الناتج 2 3 5 5 7 ، الذي قيمته هو المضاعف المشترك الأصغر (75) ، 210).

    أوجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 84 و 648.

    نحصل أولاً على تحليل العددين 84 و 648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84 = 2 2 3 7 و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من تحلل الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من تحلل الرقم 648 ، نحصل على الناتج 2 2 2 3 3 3 3 7 ، وهو ما يساوي 4536. وبالتالي ، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للرقمين 84 و 648 هو 4،536.

    إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

    يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين على التوالي. تذكر النظرية المقابلة ، والتي تعطي طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

    لنفترض أن الأعداد الصحيحة الموجبة أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك تُعطى ، المضاعف المشترك الأصغر م ك لهذه الأرقام موجود في الحساب المتسلسل م 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) ، م 3 = المضاعف المشترك الأصغر (م 2 ، أ 3) ، ... ، م ك = المضاعف المشترك الأصغر (م ك − 1 ، أ ك).

    ضع في اعتبارك تطبيق هذه النظرية على مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

    أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة 140 و 9 و 54 و 250.

    أولًا نجد m 2 = LCM (a 1، a 2) = LCM (140، 9). للقيام بذلك ، باستخدام الخوارزمية الإقليدية ، نحدد gcd (140 ، 9) ، لدينا 140 = 9 15 + 5 ، 9 = 5 1 + 4 ، 5 = 4 1 + 1 ، 4 = 1 4 ، لذلك ، gcd ( 140 ، 9) = 1 ، حيث المضاعف المشترك الأصغر (140 ، 9) = 140 9: GCD (140 ، 9) = 140 9: 1 = 1260. أي م 2 = 1260.

    نوجد الآن م 3 = المضاعف المشترك الأصغر (م 2، أ 3) = المضاعف المشترك الأصغر (1 260، 54). دعونا نحسبها من خلال gcd (1260 ، 54) ، والتي تحددها أيضًا خوارزمية إقليدس: 1260 = 54 23 + 18 ، 54 = 18 3. ثم gcd (1260 ، 54) = 18 ، من أين LCM (1260 ، 54) = 1260 54: gcd (1260 ، 54) = 1260 54: 18 = 3780. أي م 3 = 3780.

    يبقى إيجاد m 4 = المضاعف المشترك الأصغر (m 3، a 4) = المضاعف المشترك الأصغر (3780، 250). للقيام بذلك ، نجد GCD (3780 ، 250) باستخدام خوارزمية إقليدس: 3780 = 250 15 + 30 ، 250 = 30 8 + 10 ، 30 = 10 3. لذلك ، gcd (3780 ، 250) = 10 ، ومن ثم LCM (3780 ، 250) = 3780250: gcd (3780 ، 250) = 3780250: 10 = 94500. أي م 4 = 94500.

    إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

    المضاعف المشترك الأصغر (140، 9، 54، 250) = 94500.

    في كثير من الحالات ، يمكن العثور بسهولة على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليل الأولي لأرقام معينة. في هذه الحالة ، يجب اتباع القاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي المنتج ، والذي يتكون على النحو التالي: تضاف العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني إلى جميع العوامل من توسيع الرقم الأول ، والعوامل المفقودة من توسيع الرقم الأول يضاف الرقم الثالث إلى العوامل التي تم الحصول عليها ، وهكذا.

    ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

    أوجد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أعداد 84 ، 6 ، 48 ، 7 ، 143.

    أولاً ، نحصل على تحلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7 ، 6 = 2 3 ، 48 = 2 2 2 2 3 ، 7 (7 عدد أولي ، يتزامن مع تحللها إلى عوامل أولية) و 143 = 11 13.

    لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام ، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من تحلل الرقم الثاني 6 إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و 2 و 3 و 7). لا يحتوي توسيع الرقم 6 على عوامل مفقودة ، حيث إن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في توسيع الرقم الأول 84. بالإضافة إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من توسيع الرقم الثالث 48 ، نحصل على مجموعة من العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. ليست هناك حاجة لإضافة عوامل إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية ، حيث تم تضمين 7 بالفعل فيها. أخيرًا ، إلى العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 11 و 13 من توسيع العدد 143. نحصل على حاصل الضرب 2 2 2 2 3 7 11 13 ، وهو ما يساوي 48 048.

    إذن ، المضاعف المشترك الأصغر (84، 6، 48، 7، 143) = 48048.

    المضاعف المشترك الأصغر (84، 6، 48، 7، 143) = 48048.

    إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة

    في بعض الأحيان ، توجد مهام تحتاج فيها إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ، من بينها رقم واحد أو عدة أرقام أو كلها سالبة. في هذه الحالات ، يجب استبدال جميع الأرقام السالبة بأرقامها المعاكسة ، وبعد ذلك يجب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الموجبة. هذه هي طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة. على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (54، −34) = المضاعف المشترك الأصغر (54، 34) والمضاعف المشترك الأصغر (−622، −46، −54، −888) = المضاعف المشترك الأصغر (622، 46، 54، 888).

    يمكننا القيام بذلك لأن مجموعة مضاعفات a هي نفس مجموعة مضاعفات a (a و a عددان متقابلان). في الواقع ، لنفترض أن b بعضًا من مضاعفات a ، فإن b قابلة للقسمة على a ، ويؤكد مفهوم القابلية للقسمة على وجود مثل هذا العدد الصحيح q الذي هو b = a q. لكن المساواة b = (- a) · (q) ستكون أيضًا صحيحة ، والتي ، بحكم نفس مفهوم القسمة ، تعني أن b قابلة للقسمة على −a ، أي أن b مضاعف −a. العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كان b بعضًا من مضاعفات −a ، فإن b أيضًا من مضاعفات a.

    أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة −145 و 45.

    دعونا نستبدل الأعداد السالبة −145 و 45 بالعددين المقابلين 145 و 45. لدينا المضاعف المشترك الأصغر (−145 ، −45) = المضاعف المشترك الأصغر (145 ، 45). بعد تحديد gcd (145، 45) = 5 (على سبيل المثال ، باستخدام خوارزمية إقليدس) ، نحسب المضاعف المشترك الأصغر (145، 45) = 145 45: gcd (145، 45) = 145 45: 5 = 1305. وبالتالي ، فإن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة السالبة 145 و 45 هو 1،305.

    www.cleverstudents.ru

    نواصل دراسة الانقسام. في هذا الدرس ، سوف ننظر في مفاهيم مثل GCDو شهادة عدم ممانعة.

    GCDهو القاسم المشترك الأكبر.

    شهادة عدم ممانعةهو المضاعف المشترك الأصغر.

    الموضوع ممل إلى حد ما ، لكن من الضروري فهمه. بدون فهم هذا الموضوع ، لن تكون قادرًا على العمل بفعالية مع الكسور ، والتي تمثل عقبة حقيقية في الرياضيات.

    القاسم المشترك الأكبر

    تعريف. أكبر قاسم مشترك للأرقام أو ب أو بيقسم بدون باقي.

    لفهم هذا التعريف جيدًا ، نستبدل المتغيرات بدلاً من المتغيرات أو بأي رقمين ، على سبيل المثال ، بدلاً من المتغير أاستبدل الرقم 12 وبدلاً من المتغير برقم 9. الآن دعونا نحاول قراءة هذا التعريف:

    أكبر قاسم مشترك للأرقام 12 و 9 هو أكبر عدد بواسطته 12 و 9 يقسم بدون باقي.

    يتضح من التعريف أننا نتحدث عن قاسم مشترك للرقمين 12 و 9 ، وهذا القاسم هو الأكبر بين جميع القواسم الموجودة. يجب إيجاد هذا القاسم المشترك الأكبر (gcd).

    لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين ، يتم استخدام ثلاث طرق. الطريقة الأولى تستغرق وقتًا طويلاً ، ولكنها تسمح لك بفهم جوهر الموضوع جيدًا والشعور بمعناه بالكامل.

    الطريقتان الثانية والثالثة بسيطة للغاية وتجعلان من الممكن العثور بسرعة على GCD. سننظر في جميع الطرق الثلاثة. وماذا تطبق في الممارسة - اخترت.

    الطريقة الأولى هي إيجاد جميع القواسم الممكنة لرقمين واختيار أكبرهما. النظر في هذه الطريقة ل المثال التالي: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 9.

    أولاً ، نجد جميع القواسم الممكنة للرقم 12. للقيام بذلك ، نقسم 12 على جميع القواسم في النطاق من 1 إلى 12. إذا سمح المقسوم عليه بقسمة 12 بدون باقي ، فسنبرزها باللون الأزرق ونصنع شرح مناسب بين قوسين.

    12: 1 = 12
    (12 على 1 بدون الباقي ، إذن 1 هو قاسم 12)

    12: 2 = 6
    (12 مقسومًا على 2 بدون باقي ، إذن 2 مقسوم على 12)

    12: 3 = 4
    (12 مقسومًا على 3 بدون باقي ، إذن 3 هو قسمة 12)

    12: 4 = 3
    (12 مقسومًا على 4 بدون الباقي ، لذا فإن 4 مقسومًا على 12)

    12: 5 = 2 (2 يسار)
    (12 ليس مقسومًا على 5 بدون الباقي ، لذا فإن الرقم 5 ليس مقسومًا على 12)

    12: 6 = 2
    (12 مقسومًا على 6 بدون الباقي ، إذن 6 هو مقسوم على 12)

    12: 7 = 1 (5 يسار)
    (12 ليس مقسومًا على 7 بدون الباقي ، لذا فإن 7 ليس مقسومًا على 12)

    12: 8 = 1 (4 يسار)
    (12 ليس مقسومًا على 8 بدون الباقي ، لذا فإن 8 ليس مقسومًا على 12)

    12: 9 = 1 (3 يسار)
    (12 ليس مقسومًا على 9 بدون الباقي ، لذا فإن 9 ليس مقسومًا على 12)

    12: 10 = 1 (2 يسار)
    (12 ليس مقسومًا على 10 بدون الباقي ، لذا فإن 10 ليس قاسماً على 12)

    12:11 = 1 (بقي 1)
    (12 ليس مقسومًا على 11 بدون الباقي ، لذا فإن 11 ليس مقسومًا على 12)

    12: 12 = 1
    (12 مقسومًا على 12 بدون باقي ، إذن 12 مقسومًا على 12)

    لنجد الآن قواسم الرقم 9. للقيام بذلك ، تحقق من جميع القواسم من 1 إلى 9

    9: 1 = 9
    (9 مقسومًا على 1 بدون الباقي ، إذن 1 مقسوم على 9)

    9: 2 = 4 (1 يسار)
    (9 غير مقسوم على 2 بدون الباقي ، إذن 2 ليس قاسماً على 9)

    9: 3 = 3
    (9 مقسومًا على 3 بدون الباقي ، إذن 3 هو قاسم العدد 9)

    9: 4 = 2 (1 يسار)
    (9 غير مقسوم على 4 بدون الباقي ، لذا فإن الرقم 4 ليس مقسومًا على 9)

    9: 5 = 1 (4 يسار)
    (9 غير مقسوم على 5 بدون باقي ، لذا فإن الرقم 5 ليس مقسومًا على 9)

    9: 6 = 1 (3 يسار)
    (9 لم تقسم على 6 بدون الباقي ، لذا فإن 6 ليست مقسومًا على 9)

    9: 7 = 1 (2 يسار)
    (9 ليس مقسومًا على 7 بدون الباقي ، لذا فإن 7 ليس مقسومًا على 9)

    9: 8 = 1 (1 يسار)
    (9 غير مقسوم على 8 بدون الباقي ، لذا فإن 8 ليس مقسومًا على 9)

    9: 9 = 1
    (9 مقسومًا على 9 بدون الباقي ، إذن 9 هو قسمة 9 على 9)

    اكتب الآن قواسم كلا العددين. الأرقام المميزة باللون الأزرق هي القواسم. دعنا نكتبها:

    بعد كتابة القواسم ، يمكنك تحديد المقسوم على الفور أيهما هو الأكبر والأكثر شيوعًا.

    بحكم التعريف ، فإن القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 9 هو الرقم الذي يمكن القسمة على 12 و 9 بالتساوي. القاسم المشترك الأكبر والأكبر للعددين 12 و 9 هو الرقم 3

    كلا الرقمين 12 و 9 يقبلان القسمة على 3 بدون باقي:

    إذن gcd (12 و 9) = 3

    الطريقة الثانية للعثور على GCD

    فكر الآن في الطريقة الثانية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. جوهر هذه الطريقة هو تحليل كلا العددين إلى عوامل أولية وضرب الأرقام المشتركة.

    مثال 1. أوجد GCD للأرقام 24 و 18

    أولاً ، دعنا نحلل كلا العددين في العوامل الأولية:

    الآن نضرب عواملهم المشتركة. من أجل عدم الخلط ، يمكن تسطير العوامل المشتركة.

    ننظر إلى تحلل الرقم 24. العامل الأول هو 2. نحن نبحث عن نفس العامل في تحلل الرقم 18 ونرى أنه موجود أيضًا. نؤكد على كلا الثنائي:

    مرة أخرى ننظر إلى تحلل الرقم 24. العامل الثاني هو أيضًا 2. نحن نبحث عن نفس العامل في تحلل الرقم 18 ونرى أنه غير موجود للمرة الثانية. ثم لا نسلط الضوء على أي شيء.

    الاثنان التاليان في توسيع العدد 24 مفقود أيضًا في توسيع الرقم 18.

    ننتقل إلى العامل الأخير في تحلل الرقم 24. هذا هو العامل 3. ​​نحن نبحث عن نفس العامل في تحلل الرقم 18 ونرى أنه موجود أيضًا. نؤكد على كلا الثلاثة:

    لذلك ، فإن العوامل المشتركة للرقمين 24 و 18 هما العاملان 2 و 3. للحصول على GCD ، يجب مضاعفة هذه العوامل:

    إذن gcd (24 و 18) = 6

    الطريقة الثالثة للعثور على GCD

    فكر الآن في الطريقة الثالثة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. يكمن جوهر هذه الطريقة في حقيقة أن الأرقام المراد البحث عنها لأكبر قاسم مشترك تتحلل إلى عوامل أولية. بعد ذلك ، من تحلل الرقم الأول ، يتم حذف العوامل التي لم يتم تضمينها في تحلل الرقم الثاني. يتم ضرب الأرقام المتبقية في التوسيع الأول والحصول على GCD.

    على سبيل المثال ، لنجد GCD للأرقام 28 و 16 بهذه الطريقة. بادئ ذي بدء ، نحلل هذه الأرقام إلى عوامل أولية:

    حصلنا على توسعتين: و

    الآن ، من توسيع الرقم الأول ، نحذف العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني. توسيع الرقم الثاني لا يشمل سبعة. سنحذفه من التوسيع الأول:

    الآن نضرب العوامل المتبقية ونحصل على GCD:

    الرقم 4 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 28 و 16. كلا العددين قابلين للقسمة على 4 بدون باقي:

    مثال 2أوجد GCD للأرقام 100 و 40

    تحليل العدد 100 إلى عوامل

    تحليل العدد 40 إلى عوامل

    حصلنا على توسعتين:

    الآن ، من توسيع الرقم الأول ، نحذف العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني. لا يشمل توسيع الرقم الثاني واحدًا على خمسة (هناك خمسة واحد فقط). نحذفه من التحلل الأول

    اضرب الأرقام المتبقية:

    حصلنا على الإجابة 20. إذن ، العدد 20 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 100 و 40. هذان الرقمان يقبلان القسمة على 20 بدون باقي:

    GCD (100 و 40) = 20.

    مثال 3أوجد gcd للرقمين 72 و 128

    تحليل العدد 72 إلى عوامل

    تحليل العدد 128 إلى عوامل

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    الآن ، من توسيع الرقم الأول ، نحذف العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني. لا يشمل توسيع الرقم الثاني اثنين من ثلاثة توائم (لا يوجد أي منها على الإطلاق). نحذفها من التوسيع الأول:

    حصلنا على الإجابة 8. لذا فإن الرقم 8 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 72 و 128. هذان الرقمان يقبلان القسمة على 8 دون الباقي:

    GCD (72 و 128) = 8

    البحث عن GCD لأرقام متعددة

    يمكن إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعديد من الأرقام وليس الرقمين فقط. لهذا ، فإن الأرقام التي يمكن إيجادها للمقسوم المشترك الأكبر تتحلل إلى عوامل أولية ، ثم يتم إيجاد حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة لهذه الأعداد.

    على سبيل المثال ، لنجد GCD للأعداد 18 و 24 و 36

    تحليل الرقم 18

    تحليل العدد 24 إلى عوامل

    تحليل العدد 36 إلى عوامل

    حصلنا على ثلاث توسعات:

    الآن نختار ونؤكد على العوامل المشتركة في هذه الأرقام. يجب تضمين العوامل المشتركة في جميع الأرقام الثلاثة:

    نرى أن العوامل المشتركة للأرقام 18 و 24 و 36 هي العوامل 2 و 3. بضرب هذه العوامل ، نحصل على GCD الذي نبحث عنه:

    حصلنا على الإجابة 6. لذا فإن الرقم 6 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد 18 و 24 و 36. هذه الأعداد الثلاثة قابلة للقسمة على 6 بدون باقي:

    GCD (18 و 24 و 36) = 6

    مثال 2أوجد gcd للأرقام 12 و 24 و 36 و 42

    دعونا نحلل كل رقم. ثم نوجد حاصل ضرب العوامل المشتركة لهذه الأعداد.

    تحليل الرقم 12

    تحليل العدد 42 إلى عوامل

    حصلنا على أربع توسعات:

    الآن نختار ونؤكد على العوامل المشتركة في هذه الأرقام. يجب تضمين العوامل المشتركة في جميع الأرقام الأربعة:

    نرى أن العوامل المشتركة للأرقام 12 و 24 و 36 و 42 هي العوامل 2 و 3. بضرب هذه العوامل ، نحصل على GCD الذي نبحث عنه:

    حصلنا على الإجابة 6. لذا فإن الرقم 6 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد 12 و 24 و 36 و 42. هذه الأعداد قابلة للقسمة على 6 بدون باقي:

    gcd (12 و 24 و 36 و 42) = 6

    من الدرس السابق ، نعلم أنه إذا تمت قسمة رقم على آخر بدون باقي ، فإنه يسمى مضاعف هذا الرقم.

    اتضح أن المضاعف يمكن أن يكون مشتركًا في عدة أرقام. والآن سنهتم بمضاعفة عددين ، بينما يجب أن تكون صغيرة قدر الإمكان.

    تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام أو ب- أو ب أورقم ب.

    يحتوي التعريف على متغيرين أو ب. لنعوض بأي رقمين عن هذه المتغيرات. على سبيل المثال ، بدلاً من المتغير أاستبدل الرقم 9 وبدلاً من المتغير بدعنا نستبدل الرقم 12. الآن دعونا نحاول قراءة التعريف:

    المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام 9 و 12 - هو أصغر رقم يكون من مضاعفات 9 و 12 . بمعنى آخر ، إنه رقم صغير قابل للقسمة دون الباقي على الرقم 9 وعلى الرقم 12 .

    يتضح من التعريف أن المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر رقم يقبل القسمة على 9 و 12. هذا المضاعف المشترك الأصغر مطلوب العثور عليه.

    توجد طريقتان للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM). الطريقة الأولى هي أنه يمكنك كتابة المضاعفات الأولى لعددين ، ثم الاختيار من بين هذه المضاعفات مثل هذا الرقم الذي سيكون مشتركًا لكل من الأرقام والصغيرة. دعونا نطبق هذه الطريقة.

    أولاً ، لنجد المضاعفات الأولى للعدد 9. لإيجاد مضاعفات الرقم 9 ، عليك أن تضرب هذه التسعة في الأعداد من 1 إلى 9 بالتناوب. وستكون الإجابات التي تحصل عليها هي مضاعفات الرقم 9. ، لنبدأ. سيتم تمييز المضاعفات باللون الأحمر:

    الآن نجد مضاعفات العدد 12. للقيام بذلك ، نضرب 12 في جميع الأعداد من 1 إلى 12 على التوالي.

    لفهم كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر ، يجب أولاً تحديد معنى المصطلح "مضاعف".


    مضاعف A هو عدد طبيعي يقبل القسمة على A بدون باقي ، وبالتالي يمكن اعتبار 15 و 20 و 25 وما إلى ذلك من مضاعفات الرقم 5.


    يمكن أن يكون هناك عدد محدود من القواسم على رقم معين ، ولكن هناك عدد لا حصر له من المضاعفات.


    المضاعف المشترك للأعداد الطبيعية هو الرقم الذي يقبل القسمة عليه بدون باقي.

    كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام

    المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام (اثنان أو ثلاثة أو أكثر) هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل هذه الأرقام بالتساوي.


    للعثور على شهادة عدم الممانعة ، يمكنك استخدام عدة طرق.


    بالنسبة للأعداد الصغيرة ، من الملائم كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام في سطر حتى يتم العثور على رقم مشترك بينها. تشير المضاعفات في السجل الحرف الكبيرل.


    على سبيل المثال ، يمكن كتابة مضاعفات العدد 4 على النحو التالي:


    ك (4) = (8،12 ، 16 ، 20 ، 24 ، ...)


    ك (6) = (12 ، 18 ، 24 ، ...)


    لذلك ، يمكنك أن ترى أن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 4 و 6 هو الرقم 24. ويتم تنفيذ هذا الإدخال على النحو التالي:


    المضاعف المشترك الأصغر (4 ، 6) = 24


    إذا كانت الأرقام كبيرة ، فابحث عن المضاعف المشترك لثلاثة أرقام أو أكثر ، فمن الأفضل استخدام طريقة أخرى لحساب المضاعف المشترك الأصغر.


    لإكمال المهمة ، من الضروري تحليل الأرقام المقترحة إلى عوامل أولية.


    تحتاج أولاً إلى كتابة توسيع أكبر الأرقام في الخط ، وتحته - الباقي.


    في توسيع كل رقم ، قد يكون هناك عدد مختلف من العوامل.


    على سبيل المثال ، دعنا نحلل العددين 50 و 20 في العوامل الأولية.




    عند توسيع العدد الأصغر ، يجب التأكيد على العوامل الغائبة في توسيع الرقم الأول. عدد كبيرثم قم بإضافتها إليه. في المثال المعروض ، شيطان مفقود.


    يمكننا الآن حساب المضاعف المشترك الأصغر بين 20 و 50.


    المضاعف المشترك الأصغر (20 ، 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


    إذن ، حاصل ضرب العوامل الأولية أكثروعوامل الرقم الثاني ، التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الأكبر ، ستكون المضاعف المشترك الأصغر.


    لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر ، يجب تحليلها جميعًا إلى عوامل أولية ، كما في الحالة السابقة.


    كمثال ، يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 16 ، 24 ، 36.


    36 = 2 * 2 * 3 * 3


    24 = 2 * 2 * 2 * 3


    16 = 2 * 2 * 2 * 2


    وهكذا ، لم يتم تضمين اثنين فقط من التعادل من تحلل ستة عشر في تحليل عدد أكبر (واحد في تحلل أربعة وعشرين).


    وبالتالي ، يجب إضافتهم إلى تحلل عدد أكبر.


    المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 16 ، 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


    هناك حالات خاصة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر. لذلك ، إذا كان من الممكن قسمة أحد الأرقام دون الباقي على آخر ، فسيكون أكبر عدد من هذه الأرقام هو المضاعف المشترك الأصغر.


    على سبيل المثال ، شهادة عدم الممانعة من اثني عشر وأربعة وعشرين ستكون أربعة وعشرين.


    إذا كان من الضروري إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأرقام حقوق النشر التي لا تحتوي على نفس القواسم ، فسيكون المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهم مساويًا لمنتجهم.


    على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (10 ، 11) = 110.

    كيفية العثور على LCM (المضاعف المشترك الأصغر)

    المضاعف المشترك لعددين صحيحين هو العدد الصحيح الذي يقبل القسمة على كلا الرقمين المعطيين بدون باقي.

    المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو الأصغر بين جميع الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة بالتساوي وبدون باقي الرقمين المعينين.

    طريقة 1. يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، بدوره ، لكل من الأرقام المعطاة ، تكتب بترتيب تصاعدي جميع الأرقام التي تم الحصول عليها بضربها في 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، وهكذا.

    مثالللأرقام 6 و 9.
    نضرب الرقم 6 بالتسلسل في 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.
    نحصل على: 6 ، 12 ، 18 , 24, 30
    نضرب الرقم 9 بالتسلسل في 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.
    نحصل على: 9 ، 18 , 27, 36, 45
    كما ترى ، المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 6 و 9 سيكون 18.

    هذه الطريقة مناسبة عندما يكون كلا الرقمين صغيرين ومن السهل ضربهما في سلسلة من الأعداد الصحيحة. ومع ذلك ، هناك أوقات تحتاج فيها إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين أو ثلاثة أرقام، وكذلك عندما يكون هناك ثلاثة أرقام أولية أو أكثر.

    الطريقة الثانية. يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بتحليل الأعداد الأصلية إلى عوامل أولية.
    بعد التحلل ، من الضروري شطب نفس الأرقام من سلسلة العوامل الأولية الناتجة. ستكون الأرقام المتبقية من الرقم الأول عاملاً للثاني ، والأرقام المتبقية من الرقم الثاني ستكون عاملاً للأول.

    مثالللرقم 75 و 60.
    يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60 بدون كتابة مضاعفات هذه الأرقام في صف واحد. للقيام بذلك ، نحلل 75 و 60 إلى عوامل أولية:
    75 = 3 * 5 * 5 و
    60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
    كما ترى ، فإن العوامل 3 و 5 تحدث في كلا الصفين. عقليا نحن "شطب" لهم.
    دعنا نكتب العوامل المتبقية التي تم تضمينها في فك كل من هذه الأرقام. عند تحليل الرقم 75 ، تركنا الرقم 5 ، وعند تحليل الرقم 60 ، تركنا 2 * 2
    لذلك ، لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60 ، نحتاج إلى ضرب الأرقام المتبقية من التوسع 75 (هذا هو 5) في 60 ، والأرقام المتبقية من توسيع الرقم 60 (هذا هو 2 * 2 ) اضرب في 75. أي لسهولة الفهم ، نقول إننا نضرب "بالعرض".
    75 * 2 * 2 = 300
    60 * 5 = 300
    هذه هي الطريقة التي وجدنا بها المضاعف المشترك الأصغر للعددين 60 و 75. هذا هو الرقم 300.

    مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد ١٢ ، ١٦ ، ٢٤
    في هذه القضية، ستكون أفعالنا أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لكن ، أولاً ، كما هو الحال دائمًا ، نحلل كل الأعداد إلى عوامل أولية
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3
    لتحديد المضاعف المشترك الأصغر بشكل صحيح ، نختار الأصغر من بين جميع الأرقام (هذا هو الرقم 12) ونتابع عوامله على التوالي ، ونشطبها إذا كان أحد صفوف الأرقام الأخرى على الأقل له نفس العامل الذي لم يتم تجاوزه بعد خارج.

    الخطوة 1 . نرى أن 2 * 2 تحدث في جميع سلاسل الأرقام. نقوم بشطبها.
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3

    الخطوة 2. في العوامل الأولية للرقم 12 ، يبقى الرقم 3. فقط. ولكنه موجود في العوامل الأولية للرقم 24. نقوم بشطب الرقم 3 من كلا الصفين ، بينما لا يُتوقع اتخاذ أي إجراء للرقم 16 .
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3

    كما ترى ، عند تحليل الرقم 12 ، "شطبنا" جميع الأرقام. لذلك تم الانتهاء من العثور على شهادة عدم الممانعة. يبقى فقط لحساب قيمته.
    بالنسبة للرقم 12 ، نأخذ العوامل المتبقية من الرقم 16 (الأقرب بترتيب تصاعدي)
    12 * 2 * 2 = 48
    هذه هي شهادة عدم الممانعة

    كما ترى ، في هذه الحالة ، كان العثور على LCM أكثر صعوبة إلى حد ما ، ولكن عندما تحتاج إلى العثور عليه لثلاثة أرقام أو أكثر ، تتيح لك هذه الطريقة القيام بذلك بشكل أسرع. ومع ذلك ، فإن كلا الطريقتين لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر صحيحان.

    موضوع "الأعداد المتعددة" تمت دراسته في الصف الخامس .مدرسة ثانوية. هدفها هو تحسين المهارات الكتابية والشفوية للحسابات الرياضية. في هذا الدرس ، تم تقديم مفاهيم جديدة - "الأعداد المتعددة" و "القواسم" ، تقنية إيجاد القواسم ومضاعفات العدد الطبيعي ، القدرة على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطرق مختلفة.

    هذا الموضوع مهم جدا. يمكن تطبيق المعرفة عليه عند حل الأمثلة مع الكسور. للقيام بذلك ، عليك إيجاد المقام المشترك بحساب المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر).

    مضاعف A هو عدد صحيح يقبل القسمة على A بدون باقي.

    كل رقم طبيعي له عدد لا حصر له من مضاعفاته. يعتبر الأقل. لا يمكن أن يكون المضاعف أقل من الرقم نفسه.

    من الضروري إثبات أن الرقم 125 هو أحد مضاعفات الرقم 5. للقيام بذلك ، تحتاج إلى قسمة الرقم الأول على الثاني. إذا كان 125 يقبل القسمة على 5 بدون باقي ، فالجواب هو نعم.

    هذه الطريقة قابلة للتطبيق للأعداد الصغيرة.

    عند حساب المضاعف المشترك الأصغر ، توجد حالات خاصة.

    1. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعف مشترك لرقمين (على سبيل المثال ، 80 و 20) ، حيث يكون أحدهما (80) قابلاً للقسمة دون الباقي على الآخر (20) ، فإن هذا الرقم (80) هو الأصغر مضاعفات هذين الرقمين.

    المضاعف المشترك الأصغر (80، 20) = 80.

    2. إذا لم يكن للاثنين قاسم مشترك ، فيمكننا القول إن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما هو حاصل ضرب هذين العددين.

    المضاعف المشترك الأصغر (6 ، 7) = 42.

    تأمل المثال الأخير. 6 و 7 بالنسبة إلى 42 قواسم. يقسمون مضاعفات دون الباقي.

    في هذا المثال ، 6 و 7 عبارة عن قواسم زوجية. حاصل ضربهم يساوي أكثر عدد مضاعف (42).

    يسمى الرقم أوليًا إذا كان قابلاً للقسمة على نفسه فقط أو على 1 (3: 1 = 3 ؛ 3: 3 = 1). ويطلق على الباقي مركب.

    في مثال آخر ، تحتاج إلى تحديد ما إذا كان الرقم 9 مقسومًا على 42.

    42: 9 = 4 (الباقي 6)

    الجواب: 9 ليس قاسماً على 42 لأن الإجابة بها باقٍ.

    يختلف القاسم عن المضاعف في أن القاسم هو الرقم الذي تقسم به الأعداد الطبيعية ، والمضاعف نفسه قابل للقسمة على هذا الرقم.

    أكبر قاسم مشترك للأرقام أو بمضروبة في أصغر مضاعف لها ، ستعطي حاصل ضرب الأرقام نفسها أو ب.

    وهي: GCD (أ ، ب) × المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ × ب.

    المضاعفات المشتركة للمزيد ارقام مركبةوجدت بالطريقة التالية.

    على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ 168، 180، 3024.

    نحلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية ، ونكتبها على أنها نتاج قوى:

    168 = 2³x3¹x7¹

    2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

    المضاعف المشترك الأصغر (168 ، 180 ، 3024) = 15120.

     
    مقالات بواسطةعنوان:
    مكرونة بالتونة بصلصة كريمة باستا مع تونة طازجة بصلصة كريمة
    مكرونة بالتونة بصلصة كريمة باستا مع تونة طازجة بصلصة كريمة
    المعكرونة مع التونة في الصلصة الكريمية هي طبق يبتلع منه أي شخص لسانه ، بالطبع ، ليس فقط من أجل المتعة ، ولكن لأنه لذيذ للغاية. التونة والمعكرونة في وئام تام مع بعضهما البعض. بالطبع ، ربما لن يحب شخص ما هذا الطبق.
    لفائف الربيع مع الخضار لفائف الخضار في المنزل
    لفائف الربيع مع الخضار لفائف الخضار في المنزل
    وبالتالي ، إذا كنت تكافح مع السؤال "ما هو الفرق بين السوشي واللفائف؟" ، فإننا نجيب - لا شيء. بضع كلمات حول ما هي القوائم. الرولات ليست بالضرورة مطبخًا يابانيًا. وصفة اللفائف بشكل أو بآخر موجودة في العديد من المأكولات الآسيوية.
    حماية النباتات والحيوانات في المعاهدات الدولية وصحة الإنسان
    حماية النباتات والحيوانات في المعاهدات الدولية وصحة الإنسان
    يرتبط حل المشكلات البيئية ، وبالتالي ، آفاق التنمية المستدامة للحضارة إلى حد كبير بالاستخدام الكفء للموارد المتجددة والوظائف المختلفة للنظم البيئية ، وإدارتها. هذا الاتجاه هو أهم طريقة للوصول
    الحد الأدنى للأجور (الحد الأدنى للأجور)
    الحد الأدنى للأجور (الحد الأدنى للأجور)
    الحد الأدنى للأجور هو الحد الأدنى للأجور (SMIC) ، الذي توافق عليه حكومة الاتحاد الروسي سنويًا على أساس القانون الاتحادي "بشأن الحد الأدنى للأجور". يتم احتساب الحد الأدنى للأجور لمعدل العمل الشهري المكتمل بالكامل.