Как да намерим домейна на функция. Диапазонът на приемливите стойности е ODZ. (2019)
Когато решаваме различни задачи, много често се налага да извършваме идентични трансформации на изрази. Но се случва някаква трансформация да е приемлива в някои случаи, но не и в други. Съществено съдействие по отношение на контрола за допустимост на извършени преобразувания оказва ОДЗ. Нека разгледаме това по-подробно.
Същността на подхода е следната: ODZ на променливите за оригиналния израз се сравнява с ODZ на променливите за израза, получен в резултат на идентични трансформации, и въз основа на резултатите от сравнението се правят подходящи заключения.
Като цяло трансформациите на идентичността могат
- не влияят на DL;
- водят до разширяване на ОДЗ;
- водят до стесняване на ОДЗ.
Нека илюстрираме всеки случай с пример.
Да разгледаме израза x 2 +x+3·x, ODZ на променливата x за този израз е множеството R. Сега нека направим следното идентично преобразуване с този израз - представяме подобни членове, като резултат той ще приеме формата x 2 +4·x. Очевидно променливата x на този израз също е набор R. Така извършеното преобразуване не променя ДЗ.
Да продължим. Нека вземем израза x+3/x−3/x. В този случай ODZ се определя от условието x≠0, което съответства на множеството (−∞, 0)∪(0, +∞) . Този израз също съдържа подобни членове, след редуциране на които стигаме до израза x, за който ODZ е R. Какво виждаме: в резултат на трансформацията ODZ беше разширен (числото нула беше добавено към ODZ на променливата x за оригиналния израз).
Остава да разгледаме пример за стесняване на района приемливи стойностислед извършване на трансформациите. Да вземем израза 
. ODZ на променливата x се определя от неравенството (x−1)·(x−3)≥0, за неговото решение е подходящо, например, като резултат имаме (−∞, 1]∪∪; редактиран от Теляковски С. А. - 17- издание - М.: Образование, 2008. - 240 с.: ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Функцията е модел. Нека дефинираме X като набор от стойности на независима променлива // независим означава всяко.
Функцията е правило, с помощта на което за всяка стойност на независима променлива от множеството X може да се намери уникална стойност на зависимата променлива. // т.е. за всяко x има едно y.
От дефиницията следва, че има две понятия - независима променлива (която означаваме с x и може да приема произволна стойност) и зависима променлива (която означаваме с y или f (x) и се изчислява от функцията, когато заместваме x).
НАПРИМЕР y=5+x
1. Независимо е x, което означава, че приемаме произволна стойност, нека x=3
2. Сега нека изчислим y, което означава y=5+x=5+3=8. (y зависи от x, защото каквото и x да заместим, получаваме същото y)
Казва се, че променливата y функционално зависи от променливата x и се означава по следния начин: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.y=1/x. (наречена хипербола)
2. y=x^2. (наречена парабола)
3.y=3x+7. (наречена права линия)
4. y= √ x. (наречен клон на парабола)
Независимата променлива (която означаваме с x) се нарича аргумент на функцията.
Функционален домейн
Наборът от всички стойности, които приема аргумент на функция, се нарича домейн на функцията и се обозначава с D(f) или D(y).
Разгледайте D(y) за 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) и (0;+∞) //целият набор от реални числа с изключение на нула.
2. D (y)= (∞; +∞)//всеки брой реални числа
3. D (y)= (∞; +∞)//всеки брой реални числа
4. D (y)= - ∞; + ∞[ .
Пример 1. Намерете домейна на функция г = 2 .
Решение. Областта на дефиниране на функцията не е посочена, което означава, че по силата на горната дефиниция се има предвид естествената област на дефиниция. Изразяване f(х) = 2, дефинирани за всякакви реални стойности х, следователно тази функция е дефинирана върху цялото множество Р реални числа.
Следователно на горния чертеж числовата линия е защрихована по целия път от минус безкрайност до плюс безкрайност.
Зона за определяне на корена нта степен
В случая, когато функцията е дадена с формулата и н- естествено число:
Пример 2. Намерете домейна на функция .
Решение. Както следва от дефиницията, корен от четна степен има смисъл, ако радикалният израз е неотрицателен, т.е. ако - 1 ≤ х≤ 1. Следователно областта на дефиниране на тази функция е [- 1; 1] .
Защрихованата област на числовата линия на чертежа по-горе е областта на дефиниране на тази функция.
Област на степенна функция
Област на степенна функция с цяло число
Ако а- положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството от всички реални числа, т.е. ]- ∞; + ∞[ ;
Ако а- отрицателни, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тоест цялата числова линия с изключение на нулата.
В съответния чертеж по-горе цялата числова линия е защрихована и точката, съответстваща на нулата, е изчертана (не е включена в областта на дефиниране на функцията).
Пример 3. Намерете домейна на функция .
Решение. Първият член е цяла степен на x, равна на 3, а степента на x във втория член може да бъде представена като единица - също цяло число. Следователно областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос, т.е. ]- ∞; + ∞[ .
Област на степенна функция с дробен показател
В случай, че функцията е дадена по формулата:
ако е положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството 0; + ∞[ .
Пример 4. Намерете домейна на функция .
Решение. И двата члена в израза на функцията са степенни функции с положителни дробни показатели. Следователно областта на дефиниране на тази функция е множеството - ∞; + ∞[ .
Област на експоненциални и логаритмични функции
Област на експоненциалната функция
В случай, че функцията е дадена с формула, областта на дефиниране на функцията е цялата числова ос, т.е. ] - ∞; + ∞[ .
Област на логаритмичната функция
Логаритмичната функция е дефинирана при условие, че нейният аргумент е положителен, т.е. нейната област на дефиниране е множеството ]0; + ∞[ .
Намерете сами домейна на функцията и след това вижте решението
Област на тригонометрични функции
Функционален домейн г= cos( х) - също много Р реални числа.
Функционален домейн г= tg( х) - няколко Р
реални числа, различни от числа 
.
Функционален домейн г= ctg( х) - няколко Р реални числа, с изключение на числата.
Пример 8. Намерете домейна на функция .
Решение. Външна функция- десетичен логаритъм и областта на неговата дефиниция се подчиняват на условията на областта на дефиниция на логаритмичната функция като цяло. Тоест нейният аргумент трябва да е положителен. Аргументът тук е синус от "х". Завъртайки въображаем компас около кръг, виждаме, че условието sin х> 0 е нарушено с "x" равно на нула, "пи", две, умножено по "пи" и изобщо равно на произведението pi и всяко четно или нечетно цяло число.
По този начин областта на дефиниране на тази функция е дадена от израза
,
Където к- цяло число.
Област на дефиниране на обратни тригонометрични функции
Функционален домейн г= arcsin( х) - набор [-1; 1] .
Функционален домейн г= arccos( х) - също множеството [-1; 1] .
Функционален домейн г= арктан( х) - няколко Р реални числа.
Функционален домейн г= arcctg( х) - също много Р реални числа.
Пример 9. Намерете домейна на функция .
Решение. Да решим неравенството:
Така получаваме областта на дефиниция на тази функция - отсечката [- 4; 4] .
Пример 10. Намерете домейна на функция
.
Решение. Нека да решим две неравенства:
Решение на първото неравенство:
Решение на второто неравенство:
Така получаваме областта на дефиниране на тази функция - сегмента.
Обхват на фракцията
Ако функцията е дадена чрез дробен израз, в който променливата е в знаменателя на дробта, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството Р реални числа, с изключение на тези х, при което знаменателят на дробта става нула.
Пример 11. Намерете домейна на функция .
Решение. Решавайки равенството на знаменателя на дробта на нула, намираме областта на дефиниране на тази функция - множеството ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .
Дробни уравнения. ОДЗ.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Продължаваме да овладяваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Последният оставен изглед - дробни уравнения . Или те също се наричат много по-уважително - дробен рационални уравнения . Същото е.
Дробни уравнения.
Както подсказва името, тези уравнения непременно съдържат дроби. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменател. Поне в едно. Например:
Нека ви напомня, че ако знаменателите са само числа, това са линейни уравнения.
Как да решим дробни уравнения? Първо, отървете се от дробите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5=5 или неправилен израз, като 7=2. Но това рядко се случва. Ще спомена това по-долу.
Но как да се отървем от дробите!? Много просто. Прилагане на същите идентични трансформации.
Трябва да умножим цялото уравнение по същия израз. Така че всички знаменатели са намалени! Всичко веднага ще стане по-лесно. Нека обясня с пример. Нека трябва да решим уравнението:
Как ви учеха в началното училище? Преместваме всичко на една страна, привеждаме го към общ знаменател и т.н. Забравете как ужасен сън! Това е, което трябва да направите, когато добавяте или изваждате. дробни изрази. Или работите с неравенства. И в уравненията ние незабавно умножаваме двете страни по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?
От лявата страна намаляването на знаменателя изисква умножение по х+2. А отдясно се изисква умножение по 2. Това означава, че уравнението трябва да се умножи по 2(x+2). Умножете:
Това е обичайно умножение на дроби, но ще го опиша подробно:
Моля, обърнете внимание, че все още не отварям скобата (x + 2)! И така, изцяло го пиша:
От лявата страна се свива изцяло (x+2), а вдясно 2. Което се изискваше! След намаляване получаваме линеенуравнението:
И всеки може да реши това уравнение! х = 2.
Нека решим друг пример, малко по-сложен:
Ако си спомним, че 3 = 3/1 и 2x = 2x/ 1, можем да напишем:
И отново се отърваваме от това, което наистина не харесваме - дроби.
Виждаме, че за да намалим знаменателя с X, трябва да умножим дробта по (x – 2). И малко не са пречка за нас. Е, нека да умножим. всичко лява странаИ всичкоправилната страна:
Отново скоби (x – 2)Не разкривам. Работя със скобата като цяло като един номер! Това трябва да се прави винаги, в противен случай нищо няма да се намали.
С чувство на дълбоко удовлетворение намаляваме (x – 2)и получаваме уравнение без никакви дроби, с линийка!
Сега нека отворим скобите:
Носим подобни, преместваме всичко от лявата страна и получаваме:
Но преди това ще се научим да решаваме други проблеми. На интерес. Това е рейк, между другото!
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
