एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी. उदाहरण सहित विस्तृत सिद्धांत. ऑनलाइन कैलकुलेटर एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी की गणना
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लक्ष्य:
- छात्रों के ज्ञान और कौशल का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण;
- विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने के कौशल का विकास।
उपकरण:
- मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर;
- कंप्यूटर;
- समस्याग्रस्त पाठों वाली शीटें
कक्षा की प्रगति
I. संगठनात्मक क्षण
द्वितीय. ज्ञान अद्यतन करने का चरण(स्लाइड 2)
हम दोहराते हैं कि एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी कैसे निर्धारित की जाती है
तृतीय. भाषण(स्लाइड्स 3-15)
कक्षा में हम देखेंगे विभिन्न तरीकेएक बिंदु से एक समतल तक की दूरी ज्ञात करना।
पहली विधि: चरण-दर-चरण कम्प्यूटेशनल
बिंदु M से समतल α तक की दूरी:
- सीधी रेखा a पर स्थित एक मनमाना बिंदु P से समतल α की दूरी के बराबर, जो बिंदु M से होकर गुजरती है और समतल α के समानांतर है;
- समतल β पर स्थित एक मनमाना बिंदु P से समतल α की दूरी के बराबर है, जो बिंदु M से होकर गुजरता है और समतल α के समानांतर है।
हम निम्नलिखित समस्याओं का समाधान करेंगे:
№1. घन A...D 1 में, बिंदु C 1 से समतल AB 1 C तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
यह खंड O 1 N की लंबाई के मान की गणना करना बाकी है।
№2. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म A...F 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु A से समतल DEA 1 तक की दूरी ज्ञात करें।
अगली विधि: वॉल्यूम विधि.
यदि पिरामिड ABCM का आयतन V के बराबर है, तो बिंदु M से ∆ABC वाले समतल α तक की दूरी सूत्र ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = द्वारा गणना की जाती है।
समस्याओं को हल करते समय, हम एक आकृति के आयतन की समानता का उपयोग करते हैं, जिसे दो अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जाता है।
आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:
№3. पिरामिड DABC का किनारा AD आधार तल ABC पर लंबवत है। यदि, किनारों AB, AC और AD के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरने वाले समतल की A से दूरी ज्ञात कीजिए।
समस्याओं का समाधान करते समय समन्वय विधिबिंदु M से समतल α तक की दूरी की गणना सूत्र ρ(M; α) = का उपयोग करके की जा सकती है 
, जहाँ M(x 0; y 0; z 0), और समतल समीकरण ax + by + cz + d = 0 द्वारा दिया गया है
आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:
№4. एक इकाई घन A...D 1 में, बिंदु A 1 से समतल BDC 1 तक की दूरी ज्ञात करें।
आइए बिंदु A पर मूल बिंदु के साथ एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें, y-अक्ष किनारे AB के साथ, x-अक्ष किनारे AD के साथ, और z-अक्ष किनारे AA 1 के साथ चलेगा। फिर बिंदुओं के निर्देशांक B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
आइए बिंदु बी, डी, सी 1 से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण बनाएं।
तब – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. इसलिए, ρ = 
समस्याओं को हल करने के लिए निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है इस प्रकार का – समर्थन समस्याओं की विधि.
इस पद्धति के अनुप्रयोग में ज्ञात संदर्भ समस्याओं का उपयोग शामिल है, जिन्हें प्रमेय के रूप में तैयार किया जाता है।
आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:
№5. एक इकाई घन A...D 1 में, बिंदु D 1 से समतल AB 1 C तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
आइए आवेदन पर विचार करें वेक्टर विधि.
№6. एक इकाई घन A...D 1 में, बिंदु A 1 से समतल BDC 1 तक की दूरी ज्ञात करें।
इसलिए, हमने विभिन्न तरीकों पर गौर किया जिनका उपयोग इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है। एक या दूसरे तरीके का चुनाव विशिष्ट कार्य और आपकी प्राथमिकताओं पर निर्भर करता है।
चतुर्थ. सामूहिक कार्य
समस्या को विभिन्न तरीकों से हल करने का प्रयास करें।
№1. घन का किनारा A...D 1 के बराबर है। शीर्ष C से समतल BDC 1 तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
№2. एक किनारे वाले नियमित चतुष्फलक ABCD में, बिंदु A से समतल BDC तक की दूरी ज्ञात कीजिए
№3. एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, A से समतल BCA 1 की दूरी ज्ञात कीजिए।
№4. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, A से समतल SCD तक की दूरी ज्ञात करें।
वी. पाठ सारांश, गृहकार्य, प्रतिबिंब
कार्य का प्रकार: 14
स्थिति
आधार ABC वाले एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड DABC में, आधार की भुजा है 6\sqrt(3),और पिरामिड की ऊंचाई 8 है. किनारों AB, AC और AD पर क्रमशः बिंदु M, N और K इस प्रकार अंकित हैं AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)और एके=\frac(5)(2).
ए)साबित करें कि विमान एमएनके और डीबीसी समानांतर हैं।
बी)बिंदु K से DBC तल तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
समाधान दिखाओसमाधान
ए)विमान एमएनके और डीबीसी समानांतर हैं यदि एक विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाएं क्रमशः दूसरे विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हैं। आइए इसे साबित करें. एमएनके तल की रेखाओं एमएन और केएम तथा डीबीसी तल की रेखाओं बीसी और डीबी पर विचार करें।
त्रिभुज AOD में: \कोण AOD = 90^\circ और पाइथागोरस प्रमेय द्वारा AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).
आइए इस तथ्य का उपयोग करके AO ज्ञात करें कि \bigtriangup ABC सही है।
AO=\frac(2)(3)AO_1,जहां AO_1 \bigtriangup ABC की ऊंचाई है, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2),जहाँ a \bigtriangup ABC की भुजा है।
AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9,फिर AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.
1. चूँकि \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4)और \कोण DAB सामान्य है, तो \bigtriangup AKM \sim ADB।
समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि \कोण AKM = \कोण ADB. ये सीधी रेखाओं KM और BD और छेदक AD के संगत कोण हैं। तो KM \समानांतर BD.
2. चूँकि \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4)और \कोण CAB उभयनिष्ठ है \बिगट्राएंगलअप एएनएम \सिम \बिगट्राएंगलअप एसीबी।
समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि \कोण ANM = \कोण ACB। ये कोण रेखाओं MN और BC और छेदक AC के संगत हैं। इसका अर्थ है MN \समानांतर BC.
निष्कर्ष: चूंकि विमान एमएनके की दो प्रतिच्छेदी रेखाएं केएम और एमएन क्रमशः विमान डीबीसी की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं बीडी और बीसी के समानांतर हैं, तो ये विमान समानांतर हैं - एमएनके \समानांतर डीबीसी।
बी)आइए बिंदु K से समतल BDC तक की दूरी ज्ञात करें।
चूँकि विमान MNK, विमान DBC के समानांतर है, बिंदु K से विमान DBC की दूरी बिंदु O_2 से विमान DBC की दूरी के बराबर है और यह खंड O_2 H की लंबाई के बराबर है। आइए इसे साबित करें।
BC \perp AO_1 और BC \perp DO_1 (त्रिभुज ABC और DBC की ऊंचाई के रूप में), जिसका अर्थ है कि BC विमान ADO_1 के लंबवत है, और फिर BC इस विमान की किसी भी रेखा के लंबवत है, उदाहरण के लिए, O_2 H. निर्माण द्वारा , O_2H\perp DO_1, जिसका अर्थ है कि O_2H, BCD तल की दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएं हैं, और फिर खंड O_2 H, BCD तल के लंबवत है और O_2 से BCD तल की दूरी के बराबर है।
एक त्रिकोण में O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\कोण HO_(1)O_(2).
O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).
O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).
\sin \कोण DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).
O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).
उत्तर
\frac(54)(\sqrt(73))
स्रोत: “गणित। एकीकृत राज्य परीक्षा 2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर।" ईडी। एफ. एफ. लिसेंको, एस. यू.
कार्य का प्रकार: 14
विषय: एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी
स्थिति
ABCDA_1B_1C_1D_1 एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म है।
a) सिद्ध करें कि समतल BB_1D_1 \perp AD_1C है।
बी) एबी = 5 और एए_1 = 6 को जानते हुए, बिंदु बी_1 से विमान एडी_1सी तक की दूरी ज्ञात करें।
समाधान दिखाओसमाधान
a) चूँकि यह प्रिज्म नियमित है, तो BB_1 \perp ABCD, इसलिए BB_1 \perp AC। चूँकि ABCD एक वर्ग है, तो AC \perp BD। इस प्रकार AC \perp BD और AC \perp BB_1। चूँकि रेखाएँ BD और BB_1 प्रतिच्छेद करती हैं, तो, एक रेखा और एक तल के लंबवतता के चिह्न के अनुसार, AC \perp BB_1D_1D. अब समतल AD_1C \perp BB_1D_1 की लंबवतता के आधार पर।
ख) आइए हम वर्ग ABCD के विकर्ण AC और BD के प्रतिच्छेदन बिंदु को O से निरूपित करें। समतल AD_1C और BB_1D_1 सीधी रेखा OD_1 पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए B_1H समतल BB_1D_1 में सीधी रेखा OD_1 पर खींचा गया एक लंब है। फिर B_1H \perp AD_1C . मान लीजिए E=OD_1 \cap BB_1 . समरूप त्रिभुजों D_1B_1E और OBE के लिए (संबंधित कोणों की समानता स्थिति BO \समानांतर B_1D_1 से होती है) हमारे पास है \frac (B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.
इसका मतलब है B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. चूँकि B_1D_1=5\sqrt(2) है, तो कर्ण D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194).इसके बाद, हम कर्ण D_1E पर खींची गई ऊंचाई B_1H की गणना करने के लिए त्रिभुज D_1B_1E में क्षेत्रफल विधि का उपयोग करते हैं:
S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;
B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).
उत्तर
\frac(60\sqrt(97))(97)
स्रोत: “गणित. एकीकृत राज्य परीक्षा 2016 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर।" ईडी। एफ. एफ. लिसेंको, एस. यू.
कार्य का प्रकार: 14
विषय: एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी
स्थिति
ABCDA_1B_1C_1D_1 — घनाभ. किनारे AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .
ए) साबित करें कि बिंदु बी और डी से विमान एसीडी_(1) की दूरी समान है।
बी) यह दूरी ज्ञात करें।
समाधान दिखाओसमाधान
ए)त्रिकोणीय पिरामिड D_1ACD पर विचार करें।
इस पिरामिड में, बिंदु D से आधार तल ACD_1-DH तक की दूरी बिंदु D से आधार ACD_1 तक खींचे गए पिरामिड की ऊंचाई के बराबर है।
V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, इस समानता से हम प्राप्त करते हैं
DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).
पिरामिड D_1ABC पर विचार करें। बिंदु B से समतल ACD_1 तक की दूरी, B के शीर्ष से ACD_1 के आधार तक कम की गई ऊँचाई के बराबर है। आइए इस दूरी को BK से निरूपित करें। तब V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, इससे हमें प्राप्त होता है BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\:लेकिन V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , क्योंकि यदि हम ADC और ABC को पिरामिडों में आधार मानते हैं, तो ऊंचाई D_1D कुल है और S_(ADC)=S_(ABC) ( \बिगट्राएंगलअप एडीसी=\बिगट्राएंगलअप एबीसीदो पैरों पर)। तो बीके=डीएच.
बी) पिरामिड D_1ACD का आयतन ज्ञात करें।
ऊंचाई D_1D=4 .
S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.
V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.
चेहरे का क्षेत्रफल ACD_1 है \frac1(2)AC \cdot D_1P.
AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25
यह जानते हुए कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर के बीच घिरे कर्ण के खंड और शीर्ष से खींची गई ऊंचाई का माध्य आनुपातिक है समकोण, त्रिभुज ADC में हमारे पास है AD^(2)=AC\cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).
में सही त्रिकोणपाइथागोरस प्रमेय द्वारा AD_1P D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\left (\frac(49)(25) \right)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).
S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).
DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).
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के बीच की दूरी का निर्धारण: 1 - बिंदु और तल; 2 - सीधा और सपाट; 3 - विमान; 4 - सीधी रेखाओं को पार करने पर एक साथ विचार किया जाता है, क्योंकि इन सभी समस्याओं के लिए समाधान एल्गोरिदम अनिवार्य रूप से समान है और इसमें ज्यामितीय निर्माण शामिल हैं जिन्हें किसी दिए गए बिंदु ए और विमान α के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए निष्पादित करने की आवश्यकता होती है। यदि कोई अंतर है, तो यह केवल इस तथ्य में निहित है कि मामले 2 और 3 में, समस्या को हल करने से पहले, आपको सीधी रेखा एम (केस 2) या विमान β (केस 3) पर एक मनमाना बिंदु ए को चिह्नित करना चाहिए। प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच की दूरी, हम पहले उन्हें समानांतर विमानों α और β में घेरते हैं और फिर इन विमानों के बीच की दूरी निर्धारित करते हैं।
आइए हम समस्या समाधान के प्रत्येक विख्यात मामले पर विचार करें।
1. एक बिंदु और एक समतल के बीच की दूरी निर्धारित करना।
एक बिंदु से एक विमान की दूरी एक बिंदु से विमान पर खींचे गए लंबवत खंड की लंबाई से निर्धारित होती है।
इसलिए, इस समस्या के समाधान में निम्नलिखित ग्राफिकल ऑपरेशनों को क्रमिक रूप से निष्पादित करना शामिल है:
1) बिंदु A से हम समतल α पर लंब को नीचे करते हैं (चित्र 269);
2) समतल M = a ∩ α के साथ इस लम्ब का प्रतिच्छेदन बिंदु M ज्ञात कीजिए;
3) खंड की लंबाई निर्धारित करें.
यदि विमान α सामान्य स्थिति, तो इस विमान पर एक लंबवत को कम करने के लिए, पहले इस विमान के क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण की दिशा निर्धारित करना आवश्यक है। समतल के साथ इस लंबवत के मिलन बिंदु को खोजने के लिए अतिरिक्त ज्यामितीय निर्माण की भी आवश्यकता होती है।
यदि विमान α प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष एक विशेष स्थान रखता है तो समस्या का समाधान सरल हो जाता है। इस मामले में, लंबवत का प्रक्षेपण और विमान के साथ इसके मिलन बिंदु का पता लगाना दोनों ही बिना किसी अतिरिक्त सहायक निर्माण के किए जाते हैं।
उदाहरण 1. बिंदु A से सामने प्रक्षेपित समतल α तक की दूरी निर्धारित करें (चित्र 270)।
समाधान। A" के माध्यम से हम लंबवत l" ⊥ h 0α का क्षैतिज प्रक्षेपण खींचते हैं, और A" के माध्यम से - इसका ललाट प्रक्षेपण l" ⊥ f 0α। हम बिंदु M" = l" ∩ f 0α को चिह्नित करते हैं। AM के बाद से || π 2, फिर [ए" एम"] == |एएम| =डी.
विचार किए गए उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि जब विमान प्रक्षेपण स्थिति में होता है तो समस्या कितनी आसानी से हल हो जाती है। इसलिए, यदि स्रोत डेटा में एक सामान्य स्थिति वाला विमान निर्दिष्ट किया गया है, तो समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, विमान को किसी भी प्रक्षेपण विमान के लंबवत स्थिति में ले जाया जाना चाहिए।
उदाहरण 2. बिंदु K से ΔАВС द्वारा निर्दिष्ट विमान तक की दूरी निर्धारित करें (चित्र 271)।
1. हम विमान ΔАВС को प्रक्षेपण स्थिति * में स्थानांतरित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम xπ 2 /π 1 से x 1 π 3 /π 1 की ओर बढ़ते हैं: नए x 1 अक्ष की दिशा त्रिभुज के क्षैतिज तल के क्षैतिज प्रक्षेपण के लंबवत चुनी जाती है।
2. ΔABC को एक नए विमान π 3 पर प्रक्षेपित करें (ΔABC विमान को π 3 पर प्रक्षेपित किया गया है, [ C " 1 B " 1 ] में)।
3. बिंदु K को उसी तल पर प्रोजेक्ट करें (K" → K" 1)।
4. बिंदु K" 1 से होकर हम (K" 1 M" 1)⊥ खंड [C" 1 B" 1] खींचते हैं। आवश्यक दूरी d = |K" 1 M" 1 |
यदि विमान को निशानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो समस्या का समाधान सरल हो जाता है, क्योंकि स्तर रेखाओं के अनुमानों को खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है।
उदाहरण 3. बिंदु K से समतल α तक की दूरी निर्धारित करें, जो पटरियों द्वारा निर्दिष्ट है (चित्र 272)।
* अधिकांश तर्कसंगत तरीके सेत्रिभुज तल को प्रक्षेपण स्थिति में स्थानांतरित करना प्रक्षेपण तलों को बदलने का एक तरीका है, क्योंकि इस मामले में यह केवल एक सहायक प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है।
समाधान। हम समतल π 1 को समतल π 3 से प्रतिस्थापित करते हैं, इसके लिए हम एक नया अक्ष x 1 ⊥ f 0α बनाते हैं। h 0α पर हम एक मनमाना बिंदु 1" चिह्नित करते हैं और समतल π 3 (1" 1) पर इसका नया क्षैतिज प्रक्षेपण निर्धारित करते हैं। बिंदु X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) और 1" 1 के माध्यम से हम h 0α 1 खींचते हैं। हम बिंदु K → K" 1 का नया क्षैतिज प्रक्षेपण निर्धारित करते हैं। बिंदु K" 1 से हम लंबवत को h 0α 1 से नीचे करते हैं और इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को h 0α 1 - M" 1 से चिह्नित करते हैं। खंड K" 1 M" 1 की लंबाई आवश्यक दूरी को इंगित करेगी।
2. एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच की दूरी निर्धारित करना।
एक रेखा और एक समतल के बीच की दूरी रेखा के एक मनमाने बिंदु से समतल पर गिराए गए लंबवत खंड की लंबाई से निर्धारित होती है (चित्र 248 देखें)।
इसलिए, सीधी रेखा m और समतल α के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या का समाधान एक बिंदु और समतल के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए पैराग्राफ 1 में चर्चा किए गए उदाहरणों से अलग नहीं है (चित्र 270 ... 272 देखें)। एक बिंदु के रूप में, आप रेखा m से संबंधित कोई भी बिंदु ले सकते हैं।
3. विमानों के बीच की दूरी का निर्धारण.
समतलों के बीच की दूरी एक तल से दूसरे तल पर लिए गए बिंदु से गिराए गए लंबवत खंड के आकार से निर्धारित होती है।
इस परिभाषा से यह पता चलता है कि समतल α और β के बीच की दूरी ज्ञात करने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म, रेखा m और समतल α के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या को हल करने के लिए एक समान एल्गोरिथ्म से भिन्न है, केवल उस रेखा m को समतल α से संबंधित होना चाहिए , यानी, विमानों α और β के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए निम्नानुसार है:
1) α तल में एक सीधी रेखा m लें;
2) रेखा m पर एक मनमाना बिंदु A चुनें;
3) बिंदु A से, समतल β पर लंबवत l को नीचे करें;
4) बिंदु एम निर्धारित करें - समतल β के साथ लंबवत एल का मिलन बिंदु;
5) खंड का आकार निर्धारित करें.
व्यवहार में, एक अलग समाधान एल्गोरिदम का उपयोग करने की सलाह दी जाती है, जो केवल दिए गए एल्गोरिदम से भिन्न होगा, पहले चरण के साथ आगे बढ़ने से पहले, विमानों को प्रक्षेपण स्थिति में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
एल्गोरिदम में इस अतिरिक्त ऑपरेशन को शामिल करने से बिना किसी अपवाद के अन्य सभी बिंदुओं का निष्पादन सरल हो जाता है, जो अंततः एक सरल समाधान की ओर ले जाता है।
उदाहरण 1. समतल α और β के बीच की दूरी निर्धारित करें (चित्र 273)।
समाधान। हम सिस्टम xπ 2 /π 1 से x 1 π 1 /π 3 की ओर बढ़ते हैं। नए विमान π 3 के संबंध में, विमान α और β एक प्रक्षेपित स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं, इसलिए नए ललाट निशान f 0α 1 और f 0β 1 के बीच की दूरी वांछित है।
इंजीनियरिंग अभ्यास में, किसी दिए गए विमान के समानांतर एक विमान बनाने और उससे एक निश्चित दूरी पर हटाने की समस्या को हल करना अक्सर आवश्यक होता है। नीचे उदाहरण 2 ऐसी समस्या का समाधान दर्शाता है।
उदाहरण 2. किसी दिए गए समतल α (m || n) के समानांतर एक समतल β के प्रक्षेपण का निर्माण करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि उनके बीच की दूरी d है (चित्र 274)।
1. α तल में हम मनमानी क्षैतिज रेखाएँ h (1, 3) और अग्र रेखाएँ f (1,2) खींचते हैं।
2. बिंदु 1 से हम समतल α(l" ⊥ h", l" ⊥ f") पर लंबवत l को पुनर्स्थापित करते हैं।
3. लंब l पर हम एक मनमाना बिंदु A अंकित करते हैं।
4. खंड की लंबाई निर्धारित करें - (स्थिति आरेख पर सीधी रेखा एल की मीट्रिक रूप से अविभाजित दिशा को इंगित करती है)।
5. खंड = d को बिंदु 1 से सीधी रेखा (1"A 0) पर बिछाएं।
6. बिंदु बी 0 के अनुरूप प्रक्षेपण एल" और एल" बिंदु बी" और बी" पर निशान लगाएं।
7. बिंदु B से होकर हम समतल β (h 1 ∩ f 1) खींचते हैं। को β || α, शर्त h 1 || का अनुपालन करना आवश्यक है एच और एफ 1 || एफ।
4. प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी निर्धारित करना।
प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी उन समानांतर तलों के बीच स्थित लंब की लंबाई से निर्धारित होती है जिनसे प्रतिच्छेदी रेखाएं संबंधित होती हैं।
प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं m और f के माध्यम से परस्पर समानांतर समतल α और β खींचने के लिए, बिंदु A (A ∈ m) से होकर सीधी रेखा f के समानांतर और बिंदु B (B ∈ f) से होकर एक सीधी रेखा p खींचना पर्याप्त है। एक सीधी रेखा k, सीधी m के समानांतर। प्रतिच्छेदी रेखाएँ m और p, f और k परस्पर समानांतर समतल α और β को परिभाषित करती हैं (चित्र 248, e देखें)। समतल α और β के बीच की दूरी क्रॉसिंग लाइनों m और f के बीच आवश्यक दूरी के बराबर है।
प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए एक और तरीका प्रस्तावित किया जा सकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि, ऑर्थोगोनल अनुमानों को बदलने की कुछ विधि का उपयोग करके, प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक को प्रक्षेपण स्थिति में स्थानांतरित किया जाता है। इस स्थिति में, रेखा का एक प्रक्षेपण एक बिंदु में बदल जाता है। क्रॉसिंग लाइनों (बिंदु ए" 2 और खंड सी" 2 डी" 2) के नए प्रक्षेपणों के बीच की दूरी आवश्यक है।
चित्र में. 275 दिए गए खंडों [एबी] और [सीडी] के बीच क्रॉसिंग लाइनों ए और बी के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या का समाधान दिखाता है। समाधान निम्नलिखित क्रम में किया जाता है:
1. क्रॉसिंग लाइनों में से एक (ए) को विमान π 3 के समानांतर स्थिति में स्थानांतरित करें; ऐसा करने के लिए, प्रक्षेपण विमानों xπ 2 /π 1 की प्रणाली से नए x 1 π 1 /π 3 की ओर बढ़ें, x 1 अक्ष सीधी रेखा a के क्षैतिज प्रक्षेपण के समानांतर है। ए" 1 [ए" 1 बी" 1 ] और बी" 1 निर्धारित करें।
2. समतल π 1 को समतल π 4 से प्रतिस्थापित करके, हम सीधी रेखा का अनुवाद करते हैं
और a" 2 को समतल π 4 के लंबवत स्थित करने के लिए (नया x 2 अक्ष a" 1 के लंबवत खींचा गया है)।
3. सीधी रेखा b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] का एक नया क्षैतिज प्रक्षेपण बनाएं।
4. बिंदु A" 2 से सीधी रेखा C" 2 D" 2 (खंड (A" 2 M" 2 ]) की दूरी आवश्यक है।
यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि क्रॉसिंग लाइनों में से एक को प्रोजेक्टिंग स्थिति में स्थानांतरित करना समांतरता के विमानों के स्थानांतरण से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसमें लाइनें ए और बी को प्रोजेक्टिंग स्थिति में भी संलग्न किया जा सकता है।
वास्तव में, रेखा a को समतल π 4 के लंबवत स्थिति में ले जाकर, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि रेखा a वाला कोई भी समतल समतल π 4 पर लंबवत है, जिसमें रेखाओं a और m (a ∩ m, m |) द्वारा परिभाषित समतल α भी शामिल है। |. बी). यदि अब हम a के समानांतर एक रेखा n खींचते हैं और रेखा b को प्रतिच्छेद करती है, तो हमें समतल β प्राप्त होता है, जो समांतरता का दूसरा तल है, जिसमें प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b शामिल हैं। चूंकि β || α, फिर β ⊥ π 4।
निर्देश
से दूरी ज्ञात करना अंकपहले विमानवर्णनात्मक विधियों का उपयोग करना: चयन करें विमानमनमाना बिंदु; इसमें (इसमें लेटकर) दो सीधी रेखाएँ खींचें विमान); को लंबवत पुनर्स्थापित करें विमानइस बिंदु से गुजरते हुए (एक ही समय में दोनों प्रतिच्छेदी रेखाओं पर लंबवत एक रेखा बनाएं); किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से निर्मित लंबवत के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें; समतल और के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी ज्ञात करें दिया गया बिंदु.
यदि पद अंकइसके त्रि-आयामी निर्देशांक और स्थिति द्वारा दिया गया है विमान – रेखीय समीकरण, फिर से दूरी ज्ञात करने के लिए विमानपहले अंक, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करें: निर्देशांक इंगित करें अंकक्रमशः x, y, z के माध्यम से (x - भुज, y - कोटि, z - अनुप्रयुक्त); समीकरणों को A, B, C, D से निरूपित करें विमान(ए - एब्सिस्सा पर पैरामीटर, बी - एट , सी - एप्लिकेट पर, डी - फ्री टर्म); से दूरी की गणना करें अंकपहले विमानसूत्र के अनुसार: s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,जहां s बिंदु और समतल के बीच की दूरी है,|| - निरपेक्ष मूल्य (या मॉड्यूल)।
उदाहरण: निर्देशांक (2, 3, -1) वाले बिंदु A और समतल के बीच की दूरी ज्ञात करें, समीकरण द्वारा दिया गया: 7x-6y-6z+20=0. शर्तों से यह निष्कर्ष निकलता है कि: x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20 .इन मानों को उपरोक्त में रखें: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.उत्तर: दूरीसे अंकपहले विमान 2 (मनमाना इकाइयाँ) के बराबर है।
टिप 2: एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी कैसे निर्धारित करें
से दूरी का निर्धारण अंकपहले विमान- स्कूल प्लानिमेट्री के सामान्य कार्यों में से एक। जैसा कि ज्ञात है, सबसे छोटा दूरीसे अंकपहले विमानइससे एक लंब रेखा खींची जाएगी अंकइसके लिये विमान. इसलिए, इस लम्ब की लंबाई को दूरी के रूप में लिया जाता है अंकपहले विमान.
आपको चाहिये होगा
- समतल समीकरण
निर्देश
मान लीजिए कि समानांतर f1 का पहला भाग समीकरण y=kx+b1 द्वारा दिया गया है। अभिव्यक्ति का अनुवाद करना सामान्य फ़ॉर्म, आपको kx-y+b1=0 मिलता है, यानी A=k, B=-1। इसका अभिलंब n=(k, -1) होगा।
अब f1 पर बिंदु x1 के एक मनमाने भुज का अनुसरण करता है। तब इसकी कोटि y1=kx1+b1 है।
मान लीजिए कि समांतर रेखाओं f2 में से दूसरी रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
y=kx+b2 (1),
जहाँ k दोनों रेखाओं के लिए समान है, उनकी समानता के कारण।
इसके बाद, आपको बिंदु M (x1, y1) युक्त f2 और f1 दोनों के लंबवत रेखा का विहित समीकरण बनाना होगा। इस मामले में, यह माना जाता है कि x0=x1, y0=y1, S=(k, -1)। परिणामस्वरूप, आपको निम्नलिखित समानता मिलनी चाहिए:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).
अभिव्यक्ति (1) और (2) से युक्त समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, आपको दूसरा बिंदु मिलेगा जो समानांतर N(x2, y2) के बीच आवश्यक दूरी निर्धारित करता है। आवश्यक दूरी स्वयं d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2 के बराबर होगी।
उदाहरण। मान लीजिए समतल पर दी गई समानांतर रेखाओं के समीकरण f1 – y=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). f1 पर एक मनमाना बिंदु x1=1 लें। फिर y1=3. इस प्रकार पहले बिंदु में निर्देशांक M (1,3) होंगे। सामान्य लंबवत समीकरण (3):
(x-1)/2 = -y+3 या y=-(1/2)x+5/2.
इस y मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, आपको यह मिलता है:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
लम्ब का दूसरा आधार निर्देशांक N (-1, 3) वाले बिंदु पर है। समांतर रेखाओं के बीच की दूरी होगी:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4.47.
स्रोत:
- विकास व्यायामरूस में
किसी भी फ्लैट या वॉल्यूमेट्रिक का शीर्ष ज्यामितीय आकृतिअंतरिक्ष में इसके निर्देशांक द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। उसी तरह, समान समन्वय प्रणाली में किसी भी मनमाने बिंदु को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है, और इससे इस मनमाने बिंदु और आकृति के शीर्ष के बीच की दूरी की गणना करना संभव हो जाता है।
आपको चाहिये होगा
- - कागज़;
- - कलम या पेंसिल;
- - कैलकुलेटर।
निर्देश
यदि समस्या में निर्दिष्ट बिंदु के निर्देशांक और ज्यामितीय आकृति के शीर्ष ज्ञात हैं, तो समस्या को दो बिंदुओं के बीच एक खंड की लंबाई खोजने तक कम करें। समन्वय अक्ष पर एक खंड के प्रक्षेपण के संबंध में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इस लंबाई की गणना की जा सकती है - यह बराबर होगी वर्गमूलसभी प्रक्षेपणों की लंबाई के वर्गों के योग से। उदाहरण के लिए, मान लें कि निर्देशांक (X₂;Y₂;Z₂) वाली किसी भी ज्यामितीय आकृति का बिंदु A(X₁;Y₁;Z₁) और शीर्ष C एक त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में दिया गया है। फिर समन्वय अक्षों पर उनके बीच खंड के प्रक्षेपण की लंबाई X₁-X₂, Y₁-Y₂ और Z₁-Z₂ के रूप में हो सकती है, और खंड की लंबाई √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂) के रूप में हो सकती है )²+(Z₁-Z₂)² ). उदाहरण के लिए, यदि बिंदु के निर्देशांक A(5;9;1) हैं, और शीर्ष C(7;8;10) हैं, तो उनके बीच की दूरी √((5-7)²+ के बराबर होगी (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9.274.
पहले शीर्ष के निर्देशांक की गणना करें यदि वे समस्या स्थितियों में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत नहीं किए गए हैं। विशिष्ट विधि आकृति के प्रकार और ज्ञात अतिरिक्त मापदंडों पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, यदि तीन शीर्षों A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) और C(X₃;Y₃;Z₃) के त्रि-आयामी निर्देशांक ज्ञात हैं, तो इसके चौथे शीर्ष (विपरीत) के निर्देशांक ज्ञात हैं शीर्ष B तक) (X₃+X₂ -X₁;Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁) होगा। लुप्त शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करने के बाद, इसके और एक मनमाना बिंदु के बीच की दूरी की गणना फिर से किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में इन दो बिंदुओं के बीच खंड की लंबाई निर्धारित करने के लिए कम हो जाएगी - इसे उसी तरह से करें जैसा कि वर्णित किया गया था पिछला कदम। उदाहरण के लिए, इस चरण में वर्णित समांतर चतुर्भुज के शीर्ष और निर्देशांक (X₄;Y₄;Z₄) के साथ बिंदु E के लिए, पिछले चरण से दूरी की गणना करने का सूत्र इस प्रकार हो सकता है: √((X₃+X₂-X₁- X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁- Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).
व्यावहारिक गणना के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, अंतर्निर्मित खोज इंजनगूगल। तो, पिछले चरण में प्राप्त सूत्र का उपयोग करके मूल्य की गणना करने के लिए, निर्देशांक A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7;) वाले बिंदुओं के लिए; 9; 2), निम्नलिखित खोज क्वेरी दर्ज करें: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2)। खोज इंजन गणना करेगा और गणना का परिणाम प्रदर्शित करेगा (5.19615242)।
विषय पर वीडियो
वसूली सीधाको विमानयह ज्यामिति की महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक है; यह कई प्रमेयों और प्रमाणों को रेखांकित करती है। एक लम्बवत रेखा का निर्माण करना विमान, आपको क्रमिक रूप से कई चरण निष्पादित करने होंगे।
आपको चाहिये होगा
- - दिया गया विमान;
- - वह बिंदु जहां से आप लंब खींचना चाहते हैं;
- - दिशा सूचक यंत्र;
- - शासक;
- - पेंसिल।
