स्पर्शरेखा समीकरण ज्ञात कीजिए। ऑनलाइन कैलकुलेटर। किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा का समीकरण
फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण
पी. रोमानोव, टी. रोमानोवा,
मैग्नीटोगोर्स्क,
चेल्याबिंस्क क्षेत्र
फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण
लेख ITAKA+ Hotel Complex के सहयोग से प्रकाशित हुआ था। शिपबिल्डर्स सेवेरोडविंस्क के शहर में रहकर, आपको अस्थायी आवास खोजने की समस्या का सामना नहीं करना पड़ेगा। , ऑनलाइन होटल परिसर"ITAKA +" http://itakaplus.ru, आप दैनिक भुगतान के साथ किसी भी अवधि के लिए आसानी से और जल्दी से शहर में एक अपार्टमेंट किराए पर ले सकते हैं।
पर वर्तमान चरणशिक्षा का विकास इसके मुख्य कार्यों में से एक रचनात्मक सोच वाले व्यक्तित्व का निर्माण है। छात्रों में रचनात्मकता की क्षमता तभी विकसित की जा सकती है जब वे शोध गतिविधियों की मूल बातों में व्यवस्थित रूप से शामिल हों। छात्रों के लिए अपनी रचनात्मक शक्तियों, क्षमताओं और प्रतिभाओं का उपयोग करने की नींव पूर्ण ज्ञान और कौशल है। इस संबंध में, स्कूली गणित पाठ्यक्रम के प्रत्येक विषय के लिए बुनियादी ज्ञान और कौशल की एक प्रणाली बनाने की समस्या का कोई छोटा महत्व नहीं है। इसी समय, पूर्ण कौशल व्यक्तिगत कार्यों का नहीं, बल्कि उनकी सावधानीपूर्वक सोची-समझी प्रणाली का उपदेशात्मक लक्ष्य होना चाहिए। व्यापक अर्थ में, एक प्रणाली को अंतःसंबंधित अंतःक्रियात्मक तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जिसमें अखंडता और एक स्थिर संरचना होती है।
फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के समीकरण को बनाने के तरीके के बारे में छात्रों को पढ़ाने के लिए एक पद्धति पर विचार करें। संक्षेप में, स्पर्शरेखा समीकरण खोजने के लिए सभी कार्यों को उन पंक्तियों के सेट (शीफ, परिवार) से चुनने की आवश्यकता के लिए कम किया जाता है जो उनमें से एक निश्चित आवश्यकता को पूरा करते हैं - वे एक निश्चित फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, जिस लाइन से चयन किया जाता है उसका सेट दो तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:
ए) एक्सओवाई विमान (लाइनों के केंद्रीय पेंसिल) पर स्थित एक बिंदु;
बी) कोणीय गुणांक (रेखाओं के समानांतर बंडल)।
इस संबंध में, सिस्टम के तत्वों को अलग करने के लिए "एक फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा" विषय का अध्ययन करते समय, हमने दो प्रकार के कार्यों की पहचान की:
1) एक बिंदु द्वारा दिए गए स्पर्शरेखा पर कार्य जिसके माध्यम से यह गुजरता है;
2) इसके ढलान द्वारा दी गई स्पर्शरेखा पर कार्य।
एजी द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पर्शरेखा पर समस्याओं को हल करना सीखना। मोर्डकोविच। पहले से ज्ञात लोगों से इसका मूलभूत अंतर यह है कि स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a (x0 के बजाय) से दर्शाया जाता है, जिसके संबंध में स्पर्शरेखा समीकरण रूप लेता है
वाई \u003d एफ (ए) + एफ "(ए) (एक्स - ए)
(Y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0) के साथ तुलना करें)। यह पद्धतिगत तकनीक, हमारी राय में, छात्रों को जल्दी और आसानी से यह महसूस करने की अनुमति देती है कि वर्तमान बिंदु के निर्देशांक कहाँ लिखे गए हैं सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण में, और संपर्क के बिंदु कहाँ हैं।
फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए एल्गोरिथम
1. संपर्क बिंदु के भुज को अक्षर a से नामित करें।
2. f(a) ज्ञात कीजिए।
3. f "(x) और f" (a) खोजें।
4. स्पर्शरेखा y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) के सामान्य समीकरण में पाए गए नंबर a, f (a), f "(a) को प्रतिस्थापित करें।
इस एल्गोरिथ्म को छात्रों के संचालन के स्वतंत्र चयन और उनके निष्पादन के अनुक्रम के आधार पर संकलित किया जा सकता है।
अभ्यास से पता चला है कि एल्गोरिथ्म का उपयोग करके प्रत्येक प्रमुख कार्यों का सुसंगत समाधान आपको चरणों में फ़ंक्शन के ग्राफ पर स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखने की क्षमता बनाने की अनुमति देता है, और एल्गोरिथ्म के चरण कार्यों के लिए मजबूत बिंदुओं के रूप में काम करते हैं। . यह दृष्टिकोण P.Ya द्वारा विकसित मानसिक क्रियाओं के क्रमिक गठन के सिद्धांत से मेल खाता है। गैल्परिन और एन.एफ. तालिज़िना।
पहले प्रकार के कार्यों में, दो प्रमुख कार्यों की पहचान की गई:
- स्पर्शरेखा वक्र पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरती है (समस्या 1);
- स्पर्शरेखा उस बिंदु से होकर गुजरती है जो वक्र पर नहीं है (समस्या 2)।
कार्य 1। स्पर्शरेखा को फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बराबर करें 
बिंदु M(3; - 2) पर।
समाधान। बिंदु M(3; - 2) संपर्क बिंदु है, क्योंकि
1. ए = 3 - स्पर्श बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = - 2।
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f" (3) \u003d 5।
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 स्पर्शरेखा समीकरण है।
कार्य 2। फ़ंक्शन y = - x 2 - 4x + 2 के ग्राफ पर सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें, जो बिंदु M (- 3; 6) से होकर गुजरता है।
समाधान। बिंदु M(- 3; 6) एक स्पर्शरेखा बिंदु नहीं है, क्योंकि f(- 3) 6 (चित्र 2)।
2. एफ (ए) = - ए 2 - 4ए + 2।
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4।
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - स्पर्शरेखा समीकरण।
स्पर्शरेखा बिंदु M(-3; 6) से गुजरती है, इसलिए, इसके निर्देशांक स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
6 = - a 2 - 4a + 2 - 2(a + 2)(- 3 - a),
ए 2 + 6ए + 8 = 0^ ए 1 = - 4, ए 2 = - 2।
यदि a = - 4, तो स्पर्श रेखा समीकरण y = 4x + 18 है।
यदि a \u003d - 2 है, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप y \u003d 6 है।
दूसरे प्रकार में, प्रमुख कार्य निम्नलिखित होंगे:
- स्पर्शरेखा किसी सीधी रेखा के समानांतर है (समस्या 3);
- स्पर्शरेखा किसी कोण पर दी गई रेखा से गुजरती है (समस्या 4)।
कार्य 3। फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 के ग्राफ पर सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें, लाइन y \u003d 9x + 1 के समानांतर।
समाधान।
1. ए - स्पर्श बिंदु का भुज।
2. एफ (ए) = ए 3 - 3 ए 2 + 3।
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a।
लेकिन, दूसरी ओर, f "(a) \u003d 9 (समानांतर स्थिति)। इसलिए, हमें समीकरण 3a 2 - 6a \u003d 9 को हल करने की आवश्यकता है। इसकी जड़ें a \u003d - 1, a \u003d 3 (चित्र) 3).
4. 1) ए = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) च "(-1) = 9;
4) वाई = - 1 + 9 (एक्स + 1);
y = 9x + 8 स्पर्शरेखा समीकरण है;
1) ए = 3;
2) एफ (3) = 3;
3) च "(3) = 9;
4) वाई = 3 + 9 (एक्स - 3);
y = 9x – 24 स्पर्शरेखा समीकरण है।
टास्क 4। फंक्शन y = 0.5x 2 - 3x + 1 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें, जो कि सीधी रेखा y = 0 (चित्र 4) के लिए 45 ° के कोण पर गुजर रहा है।
समाधान। शर्त से f "(ए) \u003d टीजी 45 ° हम पाते हैं a: a - 3 \u003d 1^ए=4।
1. ए = 4 - स्पर्श बिंदु का भुज।
2. एफ (4) = 8 - 12 + 1 = - 3।
3. च "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1।
4. वाई \u003d - 3 + 1 (एक्स - 4)।
y \u003d x - 7 - स्पर्शरेखा का समीकरण।
यह दिखाना आसान है कि किसी भी अन्य समस्या का समाधान एक या कई प्रमुख समस्याओं के समाधान के लिए कम हो जाता है। उदाहरण के तौर पर निम्नलिखित दो समस्याओं पर विचार करें।
1. परवलय y = 2x 2 - 5x - 2 की स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखिए, यदि स्पर्श रेखाएँ एक समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और उनमें से एक परवलय को भुज 3 (चित्र 5) वाले बिंदु पर स्पर्श करती है।
समाधान। चूंकि संपर्क बिंदु का भुज दिया गया है, समाधान का पहला भाग मुख्य समस्या 1 तक कम हो गया है।
1. ए \u003d 3 - समकोण के किसी एक पक्ष के संपर्क बिंदु का भुज।
2. एफ (3) = 1।
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f" (3) \u003d 7।
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - पहली स्पर्शरेखा का समीकरण।
चलो ए पहली स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण है। चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं, तो दूसरी स्पर्शरेखा का झुकाव कोण है। पहली स्पर्शरेखा के समीकरण y = 7x - 20 से हमारे पास tg हैए = 7. खोजें
इसका मतलब है कि दूसरी स्पर्शरेखा की ढलान है।
आगे का समाधान मुख्य कार्य 3 तक कम हो गया है।
चलो B(c; f(c)) फिर दूसरी पंक्ति का स्पर्शरेखा बिंदु बनें
1. - संपर्क के दूसरे बिंदु का भुज।
2.
3.
4.दूसरी स्पर्शरेखा का समीकरण है।
टिप्पणी। स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक आसान पाया जा सकता है यदि छात्र लंब रेखाओं के गुणांकों के अनुपात को जानते हैं k 1 k 2 = - 1।
2. फलन ग्राफों की सभी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए
समाधान। सामान्य स्पर्शरेखाओं के संपर्क बिंदुओं के भुज को खोजने के लिए कार्य को कम किया जाता है, अर्थात, मुख्य समस्या 1 को सामान्य रूप में हल करना, समीकरणों की एक प्रणाली को संकलित करना और फिर इसे हल करना (चित्र 6)।
1. मान लीजिए कि फलन y = x 2 + x + 1 के ग्राफ पर स्थित स्पर्श बिंदु का भुज a है।
2. एफ (ए) = ए 2 + ए + 1।
3. च "(ए) = 2ए + 1।
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2।
1. मान लीजिए c फलन के ग्राफ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है
2.
3. च "(सी) = सी।
4.
चूँकि स्पर्श रेखाएँ उभयनिष्ठ हैं, तब
अतः y = x + 1 और y = - 3x - 3 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
विचार किए गए कार्यों का मुख्य लक्ष्य छात्रों को अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय महत्वपूर्ण कार्य के प्रकार की आत्म-मान्यता के लिए तैयार करना है जिसमें कुछ शोध कौशल (विश्लेषण करने, तुलना करने, सामान्यीकरण करने, एक परिकल्पना को आगे बढ़ाने आदि की क्षमता) की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में कोई भी कार्य शामिल होता है जिसमें मुख्य कार्य एक घटक के रूप में शामिल होता है। आइए एक उदाहरण के रूप में इसकी स्पर्शरेखाओं के परिवार से एक फ़ंक्शन खोजने की समस्या (समस्या 1 के व्युत्क्रम) पर विचार करें।
3. किस b और c के लिए y \u003d x और y \u003d - 2x स्पर्शरेखा फ़ंक्शन y \u003d x 2 + bx + c हैं?
समाधान।
मान लीजिए t परवलय y = x 2 + bx + c के साथ रेखा y = x के संपर्क बिंदु का भुज है; p परवलय y = x 2 + bx + c के साथ रेखा y = - 2x के संपर्क बिंदु का भुज है। फिर स्पर्शरेखा समीकरण y = x का रूप y = (2t + b)x + c - t 2 होगा, और स्पर्शरेखा समीकरण y = - 2x का रूप y = (2p + b)x + c - p 2 होगा .
समीकरणों की एक प्रणाली लिखें और हल करें
उत्तर: 
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य
1. फलन y = 2x 2 - 4x + 3 के ग्राफ पर रेखा y = x + 3 के प्रतिच्छेद बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए।
उत्तर: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5।
2. ए के किन मूल्यों के लिए फ़ंक्शन y \u003d x 2 - ax के ग्राफ पर खींची गई स्पर्शरेखा, एब्सिसा x 0 \u003d 1 के साथ ग्राफ के बिंदु पर बिंदु M (2; 3) से गुजरती है ?
उत्तर: ए = 0.5।
3. p के किन मानों के लिए रेखा y = px - 5 वक्र y = 3x 2 - 4x - 2 को स्पर्श करती है?
उत्तर: पी 1 \u003d - 10, पी 2 \u003d 2।
4. फलन y = 3x - x 3 के ग्राफ के सभी उभयनिष्ठ बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु P(0; 16) से होकर इस ग्राफ पर खींची गई स्पर्श रेखा।
उत्तर: ए (2; - 2), बी (- 4; 52)।
5. परवलय y = x 2 + 6x + 10 और रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
6. वक्र y \u003d x 2 - x + 1 पर, उस बिंदु को खोजें, जिस पर ग्राफ की स्पर्श रेखा y - 3x + 1 \u003d 0 के समानांतर है।
उत्तर: एम (2; 3)।
7. फलन y = x 2 + 2x - | 4x | जो इसे दो बिंदुओं पर स्पर्श करता है। रेखाचित्र बनाओ।
उत्तर: वाई = 2x - 4।
8. सिद्ध कीजिए कि रेखा y = 2x – 1 वक्र y = x 4 + 3x 2 + 2x को प्रतिच्छेद नहीं करती है। उनके निकटतम बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
9. परबोला y \u003d x 2 पर, एब्सिस x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3 के साथ दो बिंदु लिए जाते हैं। इन बिंदुओं के माध्यम से एक छेदक खींचा जाता है। परवलय के किस बिंदु पर इसकी स्पर्श रेखा खींची गई छेदक रेखा के समांतर होगी? छेदक और स्पर्शरेखा के लिए समीकरण लिखिए।
उत्तर: y \u003d 4x - 3 - छेदक समीकरण; y = 4x - 4 स्पर्शरेखा समीकरण है।
10. कोण q ज्ञात कीजिए फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1 के ग्राफ के स्पर्शरेखाओं के बीच, 0 और 1 के साथ बिंदुओं पर खींचा गया।
उत्तर: क्यू = 45 डिग्री।
11. फलन ग्राफ की स्पर्श रेखा किस बिंदु पर ऑक्स अक्ष के साथ 135° का कोण बनाती है?
उत्तर: ए (0; - 1), बी (4; 3)।
12. वक्र के बिंदु A(1; 8) पर 
एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। निर्देशांक अक्षों के बीच परिबद्ध स्पर्श रेखा खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
13. फ़ंक्शंस y \u003d x 2 - x + 1 और y \u003d 2x 2 - x + 0.5 के ग्राफ़ के लिए सभी सामान्य स्पर्शरेखाओं का समीकरण लिखें।
उत्तर: y = - 3x और y = x।
14. फलन ग्राफ की स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए 
एक्स-अक्ष के समानांतर।
उत्तर:
15. यह निर्धारित करें कि परबोला y \u003d x 2 + 2x - 8 किस कोण पर x- अक्ष को काटता है।
उत्तर: क्यू 1 \u003d आर्कटन 6, क्यू 2 \u003d आर्कटन (- 6)।
16. समारोह के ग्राफ पर 
सभी बिंदुओं को खोजें, जिनमें से प्रत्येक पर स्पर्शरेखा निर्देशांक के सकारात्मक अर्ध-अक्षों को काटती है, उनसे समान खंडों को काटती है।
उत्तर: ए (-3; 11)।
17. रेखा y = 2x + 7 और परवलय y = x 2 - 1 बिंदु M और N पर प्रतिच्छेद करती है। बिंदुओं M और N पर परवलय की स्पर्श रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु K ज्ञात कीजिए।
उत्तर: के (1; - 9)।
18. b के किन मानों के लिए रेखा y \u003d 9x + b स्पर्शरेखा है जो फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 3x + 15 के ग्राफ पर है?
उत्तर 1; 31.
19. k के किन मानों के लिए रेखा y = kx – 10 में केवल एक है आम बातफंक्शन y = 2x 2 + 3x - 2 के ग्राफ के साथ? K के पाए गए मानों के लिए, बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें।
उत्तर: के 1 = - 5, ए (- 2; 0); के 2 = 11, बी (2; 12)।
20. बी के किन मूल्यों के लिए फ़ंक्शन y = bx 3 - 2x 2 - 4 के भुज x 0 = 2 के साथ बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा बिंदु M (1; 8) से होकर गुजरती है?
उत्तर: बी = - 3।
21. x-अक्ष पर शीर्ष के साथ एक परवलय बिंदु A(1; 2) और B(2; 4) से होकर जाने वाली रेखा पर बिंदु B पर स्पर्शरेखा है। परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 
22. गुणांक k के किस मान पर परवलय y \u003d x 2 + kx + 1 ऑक्स अक्ष को स्पर्श करता है?
उत्तर: के = क्यू 2।
23. रेखा y = x + 2 और वक्र y = 2x 2 + 4x - 3 के बीच के कोण ज्ञात कीजिए।
29. 45° के कोण पर ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ फलन जनित्रों के ग्राफ की स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
30. y = x 2 + ax + b के रूप में सभी परवलयों के शीर्षों का स्थान ज्ञात कीजिए जो रेखा y = 4x - 1 को स्पर्श करते हैं।
उत्तर: सरल रेखा y = 4x + 3.
साहित्य
1. ज़वाविच एल.आई., श्लायापोचनिक एल.वाईए, चिंकिना एम.वी. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: स्कूली बच्चों और विश्वविद्यालय के आवेदकों के लिए 3600 समस्याएं। - एम।, बस्टर्ड, 1999।
2. मोर्डकोविच ए। युवा शिक्षकों के लिए चौथा सेमिनार। विषय "व्युत्पन्न अनुप्रयोग" है। - एम।, "गणित", संख्या 21/94।
3. मानसिक क्रियाओं के क्रमिक आत्मसात के सिद्धांत के आधार पर ज्ञान और कौशल का निर्माण। / ईडी। पी. हां। गैल्परिन, एन.एफ. तालिज़िना। - एम।, मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1968।
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:
यह कुछ फलन y = f(x) दर्शाता है जो बिंदु a पर अवकलनीय है। निर्देशांक के साथ चिह्नित बिंदु एम (ए; एफ (ए))। ग्राफ के एक मनमाना बिंदु P(a + ∆x; f(a + ∆x)) से एक छेदक MP खींचा जाता है।
यदि अब बिंदु P को ग्राफ के साथ बिंदु M पर स्थानांतरित किया जाता है, तो सीधी रेखा MP बिंदु M के चारों ओर घूमेगी। इस स्थिति में, ∆x शून्य की ओर प्रवृत्त होगा। यहाँ से हम किसी फलन के ग्राफ की स्पर्शरेखा की परिभाषा तैयार कर सकते हैं।
कार्य ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा छेदक की सीमित स्थिति है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है। यह समझा जाना चाहिए कि बिंदु x0 पर फलन f के व्युत्पन्न के अस्तित्व का अर्थ है कि ग्राफ के इस बिंदु पर स्पर्शरेखाउसे।
इस मामले में, स्पर्शरेखा की ढलान इस बिंदु f'(x0) पर इस समारोह के व्युत्पन्न के बराबर होगी। यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है। बिंदु x0 पर अलग-अलग फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा बिंदु (x0;f(x0)) से गुजरने वाली कुछ सीधी रेखा है और ढलान f'(x0) है।
स्पर्शरेखा समीकरण
आइए बिंदु A(x0; f(x0)) पर किसी फलन f के ग्राफ की स्पर्श रेखा का समीकरण प्राप्त करने का प्रयास करें। ढलान k के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण का निम्न रूप है:
चूंकि हमारा ढलान व्युत्पन्न के बराबर है च '(x0), तब समीकरण निम्न रूप लेगा: y = च '(x0)* एक्स + बी।
अब हम b का मान निकालते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु A से होकर गुजरता है।
f(x0) = f'(x0)*x0 + b, यहाँ से हम b व्यक्त करते हैं और b = f(x0) - f'(x0)*x0 प्राप्त करते हैं।
हम परिणामी मान को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0)।
y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
विचार करना अगला उदाहरण: फ़ंक्शन f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 के बिंदु x \u003d 2 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात करें।
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1।
3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x।
4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4।
5. प्राप्त मूल्यों को स्पर्शरेखा सूत्र में प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है: y = 1 + 4*(x - 2)। कोष्ठक खोलकर और समान पद लाने पर, हमें मिलता है: y = 4*x - 7।
उत्तर: वाई = 4*x - 7।
स्पर्शरेखा समीकरण को संकलित करने की सामान्य योजनाफ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ के लिए:
1. x0 निर्धारित करें।
2. f(x0) की गणना करें।
3. f'(x) की गणना करें
मान लीजिए कि एक फलन f दिया गया है, जिसका किसी बिंदु पर x 0 का परिमित अवकलज f (x 0) है। फिर बिंदु (x 0; f (x 0)) से गुजरने वाली रेखा, जिसका ढलान f '(x 0) है, स्पर्शरेखा कहलाती है।
लेकिन क्या होता है अगर बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है? दो विकल्प हैं:
- ग्राफ की स्पर्शरेखा भी मौजूद नहीं है। क्लासिक उदाहरण- फलन y = |x | बिंदु पर (0; 0)।
- स्पर्शरेखा खड़ी हो जाती है। यह सत्य है, उदाहरण के लिए, बिंदु (1; π /2) पर फलन y = आर्क्सिन x के लिए।
स्पर्शरेखा समीकरण
कोई भी गैर-ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा y = kx + b के समीकरण द्वारा दी जाती है, जहाँ k ढलान है। स्पर्शरेखा कोई अपवाद नहीं है, और किसी बिंदु x 0 पर इसके समीकरण को बनाने के लिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन और व्युत्पन्न के मूल्य को जानना पर्याप्त है।
तो, एक फ़ंक्शन दिया जाए y \u003d f (x), जिसका खंड पर एक व्युत्पन्न y \u003d f '(x) है। फिर किसी भी बिंदु x 0 ∈ (a; b) पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है, जो समीकरण द्वारा दी गई है:
वाई \u003d एफ '(एक्स 0) (एक्स - एक्स 0) + एफ (एक्स 0)
यहाँ f '(x 0) बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न का मान है, और f (x 0) फ़ंक्शन का मान है।
काम। एक फलन y = x 3 दिया है। बिंदु x 0 = 2 पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
स्पर्शरेखा समीकरण: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)। बिंदु x 0 = 2 हमें दिया गया है, लेकिन मान f (x 0) और f '(x 0) की गणना करनी होगी।
पहले, आइए फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें। यहाँ सब कुछ आसान है: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
अब व्युत्पन्न खोजें: f '(x) \u003d (x 3)' \u003d 3x 2;
व्युत्पन्न x 0 = 2 में स्थानापन्न: f '(x 0) = f' (2) = 3 2 2 = 12;
तो हमें मिलता है: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16।
यह स्पर्शरेखा समीकरण है।
काम। फ़ंक्शन f (x) \u003d 2sin x + 5 के बिंदु x 0 \u003d π / 2 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें।
इस बार हम प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे - हम केवल मुख्य चरणों का संकेत देंगे। अपने पास:
f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5)' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;
स्पर्शरेखा समीकरण:
वाई = 0 (एक्स - π /2) + 7 ⇒ वाई = 7
में आखिरी मामलासीधी रेखा क्षैतिज निकली, क्योंकि इसकी ढलान k = 0. इसमें कुछ भी गलत नहीं है - हम बस एक चरम बिंदु पर ठोकर खा गए।
उदाहरण 1एक समारोह दिया एफ(एक्स) = 3एक्स 2 + 4एक्स– 5. फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखते हैं एफ(एक्स) भुज के साथ ग्राफ के बिंदु पर एक्स 0 = 1.
समाधान।समारोह व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x के लिए मौजूद है आर . आइए इसे खोजें:
= (3एक्स 2 + 4एक्स- 5)' = 6 एक्स + 4.
तब एफ(एक्स 0) = एफ(1) = 2; (एक्स 0) = = 10. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:
वाई = (एक्स 0) (एक्स – एक्स 0) + एफ(एक्स 0),
वाई = 10(एक्स – 1) + 2,
वाई = 10एक्स – 8.
उत्तर। वाई = 10एक्स – 8.
उदाहरण 2एक समारोह दिया एफ(एक्स) = एक्स 3 – 3एक्स 2 + 2एक्स+ 5. फलन के ग्राफ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखते हैं एफ(एक्स), रेखा के समानांतर वाई = 2एक्स – 11.
समाधान।समारोह व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x के लिए मौजूद है आर . आइए इसे खोजें:
= (एक्स 3 – 3एक्स 2 + 2एक्स+ 5)' = 3 एक्स 2 – 6एक्स + 2.
चूँकि फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा एफ(एक्स) भुज के साथ बिंदु पर एक्स 0 रेखा के समानांतर है वाई = 2एक्स– 11, तो इसका ढाल 2 है, अर्थात् ( एक्स 0) = 2. इस भुज को इस स्थिति से ज्ञात कीजिए कि 3 एक्स– 6एक्स 0 + 2 = 2। यह समानता केवल के लिए मान्य है एक्स 0 = 0 और एक्स 0 = 2. चूंकि दोनों मामलों में एफ(एक्स 0) = 5, फिर सीधी रेखा वाई = 2एक्स + बीफ़ंक्शन के ग्राफ़ को बिंदु (0; 5) या बिंदु (2; 5) पर स्पर्श करता है।
पहले मामले में, संख्यात्मक समानता सत्य 5 = 2×0 + है बी, कहाँ बी= 5, और दूसरे मामले में, संख्यात्मक समानता सत्य 5 = 2 × 2 + है बी, कहाँ बी = 1.
अतः दो स्पर्श रेखाएँ हैं वाई = 2एक्स+ 5 और वाई = 2एक्स+ 1 समारोह के ग्राफ के लिए एफ(एक्स) रेखा के समानांतर वाई = 2एक्स – 11.
उत्तर। वाई = 2एक्स + 5, वाई = 2एक्स + 1.
उदाहरण 3एक समारोह दिया एफ(एक्स) = एक्स 2 – 6एक्स+ 7. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें एफ(एक्स) बिंदु से गुजर रहा है ए (2; –5).
समाधान।क्योंकि एफ(2) -5, फिर बिंदु एफ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित नहीं है एफ(एक्स). होने देना एक्स 0 - स्पर्श बिंदु का भुज।
समारोह व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x के लिए मौजूद है आर . आइए इसे खोजें:
= (एक्स 2 – 6एक्स+ 1)' = 2 एक्स – 6.
तब एफ(एक्स 0) = एक्स– 6एक्स 0 + 7; (एक्स 0) = 2एक्स 0 - 6। स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:
वाई = (2एक्स 0 – 6)(एक्स – एक्स 0) + एक्स– 6एक्स+ 7,
वाई = (2एक्स 0 – 6)एक्स– एक्स+ 7.
बिंदु के बाद से एस्पर्शरेखा से संबंधित है, तो संख्यात्मक समानता सत्य है
–5 = (2एक्स 0 – 6)×2– एक्स+ 7,
कहाँ एक्स 0 = 0 या एक्स 0 = 4. इसका मतलब है कि बिंदु के माध्यम से एफलन के आलेख पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं एफ(एक्स).
अगर एक्स 0 = 0, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है वाई = –6एक्स+ 7. यदि एक्स 0 = 4, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है वाई = 2एक्स – 9.
उत्तर। वाई = –6एक्स + 7, वाई = 2एक्स – 9.
उदाहरण 4दिए गए कार्य एफ(एक्स) = एक्स 2 – 2एक्स+ 2 और जी(एक्स) = –एक्स 2 - 3। आइए इन कार्यों के ग्राफ़ के लिए सामान्य स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।
समाधान।होने देना एक्स 1 - फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ वांछित रेखा के संपर्क के बिंदु का भुज एफ(एक्स), ए एक्स 2 - फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ एक ही रेखा के संपर्क के बिंदु का भुज जी(एक्स).
समारोह व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x के लिए मौजूद है आर . आइए इसे खोजें:
= (एक्स 2 – 2एक्स+ 2)' = 2 एक्स – 2.
तब एफ(एक्स 1) = एक्स– 2एक्स 1 + 2; (एक्स 1) = 2एक्स 1 - 2। स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:
वाई = (2एक्स 1 – 2)(एक्स – एक्स 1) + एक्स– 2एक्स 1 + 2,
वाई = (2एक्स 1 – 2)एक्स – एक्स+ 2. (1)
आइए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं जी(एक्स):
= (–एक्स 2 - 3)' = -2 एक्स.
अनुदेश
हम बिंदु M पर वक्र की स्पर्शरेखा का ढलान निर्धारित करते हैं।
फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करने वाला वक्र बिंदु M (स्वयं बिंदु M सहित) के कुछ पड़ोस में निरंतर है।
यदि मूल्य f'(x0) मौजूद नहीं है, तो या तो कोई स्पर्शरेखा नहीं है, या यह लंबवत रूप से गुजरती है। इसे ध्यान में रखते हुए, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की उपस्थिति एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व के कारण है जो बिंदु (x0, f(x0)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संपर्क में है। इस मामले में, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x0) के बराबर होगा। इस प्रकार, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट हो जाता है - गणना ढलानस्पर्शरेखा।
संपर्क बिंदु के भुज का मान ज्ञात कीजिए, जिसे "a" अक्षर से निरूपित किया जाता है। यदि यह दिए गए स्पर्शरेखा बिंदु के साथ मेल खाता है, तो "ए" इसका एक्स-निर्देशांक होगा। मान ज्ञात कीजिए कार्यएफ (ए), समीकरण में प्रतिस्थापन कार्यभुज का आकार।
समीकरण का पहला व्युत्पन्न निर्धारित करें कार्य f'(x) और इसमें बिंदु "a" का मान रखें।
सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण लें, जिसे y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a) के रूप में परिभाषित किया गया है, और a, f (a), f "( a) इसमें। नतीजतन, ग्राफ का समाधान मिलेगा और स्पर्शरेखा।
यदि दिया गया स्पर्शरेखा बिंदु स्पर्शरेखा बिंदु से मेल नहीं खाता है तो समस्या को अलग तरीके से हल करें। इस मामले में, स्पर्शरेखा समीकरण में संख्याओं के बजाय "ए" को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। उसके बाद, "x" और "y" अक्षरों के बजाय, दिए गए बिंदु के निर्देशांक के मान को प्रतिस्थापित करें। परिणामी समीकरण को हल करें जिसमें "ए" अज्ञात है। परिणामी मान को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें।
यदि समस्या की स्थिति में समीकरण दिया गया है, तो अक्षर "ए" के साथ स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें कार्यऔर वांछित स्पर्शरेखा के संबंध में समानांतर रेखा का समीकरण। उसके बाद, आपको व्युत्पन्न की आवश्यकता है कार्यबिंदु "ए" पर समन्वय करने के लिए। स्पर्शरेखा समीकरण में उपयुक्त मान डालें और फलन को हल करें।
