Наибольшее и наименьшее значение функции алгоритм решения. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Наибольшее и наименьшее значения функции
понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Н. и н. з. ф., заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у
= x
, заданная на отрезке , достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x
= 1 и x
= 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x 0
всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x 0
, и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x 0
. Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных. См. также Экстремум .
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Наибольшее и наименьшее значения функции" в других словарях:
Большой Энциклопедический словарь
Понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего)… … Энциклопедический словарь
Понятия матем. анализа. Значение, принимаемое функцией в пек рой точке множества, па к ром эта функция задана, наз. наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения … Естествознание. Энциклопедический словарь
МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума … Большая политехническая энциклопедия
Наибольшее и соответственно наименьшее значения функции, принимающей действительные значения. Точку области определения рассматриваемой функции, в к рой она принимает максимум или минимум, наз. соответственно точкой максимума или точкой минимума… … Математическая энциклопедия
Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа, где троичное множество, а неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы множества цифровые… … Википедия
Представление булевых функций нормальными формами (см. Булевых функций нормальные формы). простейшими относительно нек рой меры сложности. Обычно под сложностью нормальной формы понимается число букв в ней. В этом случае простейшая форма наз.… … Математическая энциклопедия
Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x) называется непрерывной при значении аргумента x0, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x0 … Большая советская энциклопедия
- (лат. maximum и minimum, буквально наибольшее и наименьшее) (матем.), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями в достаточно близких точках. На рисунке функция у = f(х) имеет в точках x1 и х3 максимум, а в точке х2 … … Энциклопедический словарь
- (от латинского maximum и minimum наибольшее и наименьшее) (математическое), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума … Современная энциклопедия
Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?
Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.
Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.
Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.
Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?
Первое условие:
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.
Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:
Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.
Что такое критическая точка функции и как её найти?
Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.
Для примера найдём экстремум параболы .
Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Производная функции: y?(x) = 6x + 2
Решаем уравнение: y?(x) = 0
6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3
В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?
Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.
Для рассмотренного примера:
Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1
При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).
Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1
При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).
Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.
Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.
Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции
y(x) = 3sin(x) — 0,5х
на интервалах:
Итак, производная функции —
y?(x) = 3cos(x) — 0,5
Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
х = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Находим критические точки на интервале [-9; 9]:
х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)
х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687
х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88
х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)
Находим значения функции при критических значениях аргумента:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885
Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:
x = -4,88, у = 5,398,
а наименьшее - при х = 4,88:
x = 4,88, у = -5,398.
На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.
Находим значение функции на концах интервала:
y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077
На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции
у = 5,398 при x = -4,88
наименьшее значение —
у = 1,077 при x = -3
Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?
Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.
Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.
Как найти экстремумы функции двух переменных?
Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:
1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности
для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.
Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.
Какие безалкогольные газированные напитки чистят поверхности
Существует мнение, что безалкогольный газированный напиток «Кока-кола» способен растворять мясо. Но, к сожалению, прямые доказательства этому отсутствуют. Наоборот, существуют утвердительные факты, подтверждающие, что мясо, оставленное в напитке «Кока-кола» на двое суток, меняется в потребительских свойствах и никуда не исчезает.
Планировки типовых квартир, описания и фотографии домов можно посмотреть на сайтах: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art
Как лечить невроз
Невроз (новолат. neurosis, происходит от др.-греч. νε?ρον — нерв; синонимы — психоневроз, невротическое расстройство) — в клинике: собирательное название для группы функциональных психогенных обратимых расстройств, имеющих тенденцию к затя
Что такое афелий
Апоцентр — точка орбиты, в которой тело, обращающееся по эллиптической орбите вокруг другого тела достигает максимального удаления от последнего. В этой же точке, согласно второму закону Кеплера скорость орбитального движения становится минимальной. Апоцентр расположен в точке диаметрально противоположной перицентру. В частных случаях принято использовать специальные термины:
Что такое мамон
Мамон (м. р.), мамона (ж. р.) — слово, образованное от греч. mammonas и означающее богатство, земные сокровища, блага. У некоторых древних языческих народов являлся богом богатства и наживы. Упоминается в Священном писании у евангелистов Матфея и Луки: «Никто не может служить двум господам: ибо или одного будет ненавидеть, а друго
Когда будет православная Пасха в 2049 году
В 2015 году православная Пасха будет 12 апреля, а католическая Пасха — 5 апреля. В церковных календарях приводятся даты православной Пасхи по юлианскому календарю (старый стиль), в то время как католическая Пасха считается по современному григорианскому календарю (новый стиль), поэтому сопоставление дат требует определенных умственных усилий
Что такое рубль
Рубль — название современных валют России, Белоруссии (Белорусский рубль), Приднестровья (Приднестровский рубль). Российский рубль также имеет хождение в Южной Осетии и Абхазии. В прошлом — денежная единица русских республик и княжеств, Великого княжества Московского, Русского царства, Великого княжества Литовского, Российской империи и различн
Как долго Ариэль Шарон находился в коме
Ариэль Арик Шарон (Шейнерман) — израильский военный, политический и государственный деятель, премьер-министр Израиля в 2001 — 2006 гг. Дата рождения: 26 февраля 1928 г. Место рождения: поселение Кфар-Малал близ Кфар-Савы, Израиль Дата смерти: 11 января 2014 г. Место смерти: Рамат-Ган, Гуш-Дан, Из
Кем были неандертальцы
Неандерталец, человек неандертальский (лат. Homo neanderthalensis или Homo sapiens neanderthalensis) — ископаемый вид людей, обитавших 300-24 тысяч лет назад. Происхождение названия Считатется, что череп неандертальца был впервые найден в 1856
Сколько лет Джеффри Рашу
Джеффри Раш — австралийский кино- и театральный актёр. Лауреат премий «Оскар» (1997), BAFTA (1996, 1999), «Золотой глобус» (1997, 2005). Наиболее известные фильмы с его участием — «Блеск»
Как определить промежутки выпуклости и вогнутости графика функции
Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума? Экстремумом функции называется максимум и минимум функции. Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в т
Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.
В этом случае работают другие приемы, один из которых - монотонность .
Функция f (x ) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ).
Функция f (x ) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) > f (x 2 ).
Другими словами, для возрастающей функции чем больше x , тем больше f (x ). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x , тем меньше f (x ).
Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x ) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:
Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x ) = a x (a > 0)
Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.
Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит - сейчас разберем.
Координаты вершины параболы
Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax 2 + bx + c . Его график - стандартная парабола, в которой нас интересуют:
- Ветви параболы - могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Вершина параболы - точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение.
Наибольший интерес представляет именно вершина параболы , абсцисса которой рассчитывается по формуле:
Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x 0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:
Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x 0 для квадратного трехчлена, а на функцию - забить.
Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:
- Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a ) и f (b ) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
- Но таких точек всего одна - это вершина параболы x 0 , координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.
Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:
- Выписать уравнение параболы y = ax 2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x 0 = −b /2a ;
- Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.
На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.
Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике - именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.
Под корнем стоит квадратичная функция y = x 2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.
Вершина параболы:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3
Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x 0 = −3 функция y = x 2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.
Корень монотонно возрастает, значит x 0 - точка минимума всей функции. Имеем:
Задача. Найдите наименьшее значение функции:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x 2 + 2x + 9. График - парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.
Вершина параболы:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1
Итак, в точке x 0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x - монотонная, поэтому:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x 2 . Перепишем ее в нормальном виде: y = −x 2 − 4x + 1.
Очевидно, что график этой функции - парабола, ветви вниз (a = −1 < 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Исходная функция - показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x 0 = −2:
Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.
Следствия из области определения функции
Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка , а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:
Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби - никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:
Задача. Найдите наибольшее значение функции:
Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x 2 . Ее график - парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Теперь найдем вершину параболы:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Точка x 0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ - и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0 , а также на концах ОДЗ:
y (−3) = y (1) = 0
Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее - это число 2.
Задача. Найдите наименьшее значение функции:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x 2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.
Ищем вершину параболы:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
В этой статье я расскажу о том, как применять умение находить к исследованию функции: к нахождению ее наибольшего или наименьшего значения. А затем мы решим несколько задач из Задания В15 из Открытого банка заданий для .
Как обычно, сначала вспомним теорию.
В начале любого исследования функции находим ее
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции , нужно исследовать, на каких промежутках функция возрастает, и на каких убывает.
Для этого надо найти производную функции и исследовать ее промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная сохраняет знак.
Промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции.
Промежутки, на которых производная функции отрицательна, являются промежутками убывания функции.
1 . Решим задание В15 (№ 245184)
Для его решения будем следовать такому алгоритму:
а) Найдем область определения функции
б) Найдем производную функции .
в) Приравняем ее к нулю.
г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.
д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.
е) Найдем значение функции в этой точке.
Подробное решение этого задания я рассказываю в ВИДЕОУРОКЕ:
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox
2 . Решим задание В15 (№282862)
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке
Очевидно, что наибольшее значение на отрезке функция принимает в точке максимума, при х=2. Найдем значение функции в этой точке:
Ответ: 5
3 . Решим задание В15 (№245180):
Найдите наибольшее значение функции 
1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.
2. Т.к по область определения исходной функции title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.
3. Числитель равен нулю при . Проверим, принадлежит ли ОДЗ функции. Для этого проверим, выполняется ли условие title="4-2x-x^2>0"> при .
Title="4-2(-1)-{(-1)}^2>0">,
значит, точка принадлежит ОДЗ функции
Исследуем знак производной справа и слева от точки :
Мы видим, что наибольшее значение функция принимает в точке . Теперь найдем значение функции при :
Замечание 1. Заметим, что в этой задаче мы не находили область определения функции: мы только зафиксировали ограничения и проверили, принадлежит ли точка, в которой производная равна нулю области определения функции. В данной задаче этого оказалось достаточно. Однако, так бывает не всегда. Это зависит от задачи.
Замечание 2. При исследовании поведения сложной функции можно пользоваться таким правилом:
- если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение. Это следует из определения возрастающей функции: функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
- если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение. Это следует из определения убывающей функции: функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции
В нашем примере внешняя функция - возрастает на всей области определения. Под знаком логарифма стоит выражение - квадратный трехчлен, который при отрицательном старшем коэффициенте принимает наибольшее значение в точке 
. Далее подставляем это значение х в уравнение функции и находим ее наибольшее значение.
В этой статье я расскажу про алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции, точек минимума и максимума.
Из теории нам точно пригодится таблица производных и правила дифференцирования . Все это есть в этой табличке:
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения.
Мне удобнее объяснять на конкретном примере. Рассмотрим:
Пример: Найдите наибольшее значение функции y=x^5+20x^3–65x на отрезке [–4;0].
Шаг 1. Берем производную.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Шаг 2. Находим точки экстремума.
Точкой экстремума мы называем такие точки, в которых функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения.
Чтобы найти точки экстремума, надо приравнять производную функции к нулю (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Теперь решаем это биквадратное уравнение и найденные корни есть наши точки экстремума.
Я решаю такие уравнения заменой t = x^2, тогда 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Сократим уравнение на 5, получим: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Делаем обратную замену x^2 = t:
X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (исключаем, под корнем не может быть отрицательных чисел, если конечно речь не идет о комплексных числах)
Итого: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - это и есть наши точки экстремума.
Шаг 3. Определяем наибольшее и наименьшее значение.
Метод подстановки.
В условии нам был дан отрезок [b][–4;0]. Точка x=1 в этот отрезок не входит. Значит ее мы не рассматриваем. Но помимо точки x=-1 нам также надо рассмотреть левую и правую границу нашего отрезка, то есть точки -4 и 0. Для этого подставляем все эти три точки в исходную функцию. Заметьте исходную - это ту, которая дана в условии (y=x^5+20x^3–65x), некоторые начинают подставлять в производную...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Значит наибольшее значение функции это [b]44 и достигается оно в точки [b]-1, которая называется точкой максимума функции на отрезке [-4; 0].
Мы решили и получили ответ, мы молодцы, можно расслабиться. Но стоп! Вам не кажется, что считать y(-4) как-то слишком сложно? В условиях ограниченного времени лучше воспользоваться другим способом, я называю его так:
Через промежутки знакопостоянства.
Находятся эти промежутки для производной функции, то есть для нашего биквадратного уравнения.
Я делаю это следующим образом. Рисую направленный отрезок. Расставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не смотря на то, что 1 не входит в заданный отрезок, ее все равно следует отметить для того, чтобы корректно определить промежутки знакопостоянства. Возьмем какое-нибудь число во много раз больше 1, допустим 100, мысленно подставим его в наше биквадратное уравнение 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через -1 функция опять сменит знак на плюс.
Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус (точка -1 в нашем случае) функция достигает своего локального максимума (y(-1)=44, как была посчитано ранее) на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).
Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс , достигается локальный минимум функции . Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) - это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞. Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.
На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории. Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот .
Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно - обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!
