Paralelogram patrulater, atunci laturile opuse sunt egale. Paralelogramul și proprietățile sale. Aria unui paralelogram. Bisectoare ale unui paralelogram
Este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi.
Proprietatea 1 . Orice diagonală a unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale.
Dovada . Conform semnului II (colțuri încrucișate și o latură comună).
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 2 . Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale, iar unghiurile opuse sunt egale.
Dovada .
De asemenea,
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 3. Într-un paralelogram diagonal, punctul de intersecție este împărțit la jumătate.
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 4 . Bisectoarea unghiului unui paralelogram care intersectează latura opusă îl împarte în triunghi isoscelși un trapez. (Ch. cuvânt - sus - doi isoscele? -ka).
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 5 . Într-un paralelogram, un segment cu capete pe laturi opuse, care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor, este tăiat în două de acest punct.
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 6 . Unghiul dintre înălțimile căzute de la vârful unghiului obtuz al paralelogramului este egal cu unghiul ascuțit al paralelogramului.
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 7 . Suma unghiurilor unui paralelogram adiacent unei laturi este de 180°.
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Construcția bisectoarei unui unghi. Proprietățile bisectoarei unui triunghi.
1) Construiți o rază arbitrară DE.
2) Pe o rază dată, construiți un cerc arbitrar cu un centru la vârf și același
centrat la începutul razei construite.
3) F și G - punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului dat, H - punctul de intersecție al cercului cu raza construită
Construiți un cerc cu centrul în punctul H și raza egală cu FG.
5) I - punctul de intersecție al cercurilor grinzii construite.
6) Desenați o linie prin vârf și I.
IDH - unghi necesar.
)
Proprietatea 1 . Bisectoarea unghiului unui triunghi împarte latura opusă proporțional cu laturile adiacente.
Dovada . Fie x, y segmente ale laturii c. Continuăm raza BC. Pe raza BC amânăm din C un segment CK egal cu AC.
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi. Următoarea figură prezintă paralelogramul ABCD. Are latura AB paralelă cu latura CD și latura BC paralelă cu latura AD.
După cum probabil ați ghicit, un paralelogram este un patrulater convex. Luați în considerare proprietățile de bază ale unui paralelogram.
Proprietățile paralelogramului
1. Într-un paralelogram, unghiurile opuse și laturile opuse sunt egale. Să demonstrăm această proprietate - luați în considerare paralelogramul prezentat în figura următoare.
Diagonala BD îl împarte în două triunghiuri egale: ABD și CBD. Ele sunt egale în latura BD și două unghiuri adiacente acesteia, deoarece unghiurile situate la secanta lui BD sunt drepte paralele BC și AD și, respectiv, AB și CD. Prin urmare, AB = CD și
BC=AD. Și din egalitatea unghiurilor 1, 2, 3 și 4 rezultă că unghiul A = unghiul 1 + unghiul 3 = unghiul 2 + unghiul 4 = unghiul C.
2. Diagonalele paralelogramului sunt tăiate în două de punctul de intersecție. Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale paralelogramului ABCD.
Atunci triunghiul AOB și triunghiul COD sunt egali unul cu celălalt, de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente acesteia. (AB=CD, deoarece sunt laturi opuse ale paralelogramului. Și unghiul1 = unghiul2 și unghiul3 = unghiul4 ca unghiuri încrucișate la intersecția dreptelor AB și CD cu secantele AC și respectiv BD.) Rezultă că AO = OC și OB = OD, care și trebuia dovedit.
Toate proprietățile principale sunt ilustrate în următoarele trei figuri.
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi. Această definiție este deja suficientă, deoarece proprietățile rămase ale unui paralelogram decurg din ea și sunt dovedite sub formă de teoreme.
Principalele proprietăți ale paralelogramului sunt:
- un paralelogram este un patrulater convex;
- un paralelogram are laturile opuse egale în perechi;
- un paralelogram are unghiuri opuse care sunt egale în perechi;
- diagonalele unui paralelogram sunt bisectate de punctul de intersecție.
Paralelogram - un patrulater convex
Să demonstrăm mai întâi teorema că un paralelogram este un patrulater convex. Un poligon este convex atunci când orice parte a lui este extinsă la o linie dreaptă, toate celelalte laturi ale poligonului vor fi de aceeași parte a acestei linii drepte.
Să fie dat un paralelogram ABCD, în care AB este latura opusă pentru CD și BC este latura opusă pentru AD. Apoi, din definiția unui paralelogram rezultă că AB || CD, BC || ANUNȚ.
Fără linii paralele puncte comune, nu se intersectează. Aceasta înseamnă că CD se află pe o parte a lui AB. Deoarece segmentul BC conectează punctul B al segmentului AB cu punctul C al segmentului CD, iar segmentul AD conectează alte puncte AB și CD, segmentele BC și AD se află, de asemenea, pe aceeași parte a dreptei AB, unde se află CD. Astfel, toate cele trei laturi - CD, BC, AD - se află pe aceeași parte a lui AB.
În mod similar, se demonstrează că în raport cu celelalte laturi ale paralelogramului, celelalte trei laturi se află pe aceeași parte.
Laturile și unghiurile opuse sunt egale
Una dintre proprietățile unui paralelogram este aceea că într-un paralelogram laturile opuse și unghiurile opuse sunt egale. De exemplu, dacă este dat un paralelogram ABCD, atunci acesta are AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Această teoremă se demonstrează după cum urmează.
Un paralelogram este un patrulater. Deci are două diagonale. Deoarece un paralelogram este un patrulater convex, oricare dintre ele îl împarte în două triunghiuri. Se consideră triunghiurile ABC și ADC din paralelogramul ABCD obținut prin trasarea diagonalei AC.
Aceste triunghiuri au o latură în comun - AC. Unghiul BCA este egal cu unghiul CAD, la fel ca și verticalele când BC și AD sunt paralele. Unghiurile BAC și ACD sunt de asemenea egale, la fel ca și unghiurile verticale când AB și CD sunt paralele. Prin urmare, ∆ABC = ∆ADC peste două unghiuri și latura dintre ele.
În aceste triunghiuri, latura AB corespunde laturii CD, iar latura BC corespunde AD. Prin urmare, AB = CD și BC = AD.
Unghiul B corespunde unghiului D, adică ∠B = ∠D. Unghiul A al unui paralelogram este suma a două unghiuri - ∠BAC și ∠CAD. Unghiul C egal este format din ∠BCA și ∠ACD. Deoarece perechile de unghiuri sunt egale între ele, atunci ∠A = ∠C.
Astfel, se demonstrează că într-un paralelogram laturile și unghiurile opuse sunt egale.
Diagonalele tăiate în jumătate
Deoarece un paralelogram este un patrulater convex, are două două diagonale și se intersectează. Să fie dat un paralelogram ABCD, diagonalele sale AC și BD se intersectează într-un punct E. Să considerăm triunghiurile ABE și CDE formate de ele.
Aceste triunghiuri au laturile AB și CD egale cu laturile opuse ale unui paralelogram. Unghiul ABE este egal cu unghiul CDE, deoarece acestea se află pe liniile paralele AB și CD. Din același motiv, ∠BAE = ∠DCE. Prin urmare, ∆ABE = ∆CDE peste două unghiuri și latura dintre ele.
De asemenea, puteți observa că unghiurile AEB și CED sunt verticale și, prin urmare, egale între ele.
Deoarece triunghiurile ABE și CDE sunt egale între ele, la fel și toate elementele corespunzătoare. Latura AE a primului triunghi corespunde laturii CE a celui de-al doilea, deci AE = CE. În mod similar, BE = DE. Fiecare pereche de segmente egale formează diagonala paralelogramului. Astfel, se dovedește că diagonalele unui paralelogram sunt bisectate de punctul de intersecție.
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi (Fig. 233).
Un paralelogram arbitrar are următoarele proprietăți:
1. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
Dovada. Desenați o diagonală AC în paralelogram ABCD. Triunghiurile ACD și AC B sunt egale ca având o latură comună AC și două perechi de unghiuri egale adiacente acesteia:
(ca unghiuri încrucișate cu drepte paralele AD și BC). Prin urmare, și ca laturi ale triunghiurilor egale situate opuse unghiurilor egale, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
2. Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt:
3. Unghiurile învecinate ale unui paralelogram, adică unghiurile adiacente unei laturi, se adună etc.
Dovada proprietăților 2 și 3 urmează imediat din proprietățile unghiurilor la drepte paralele.
4. Diagonalele unui paralelogram se bisectează în punctul de intersecție. Cu alte cuvinte,
Dovada. Triunghiurile AOD și BOC sunt egale, deoarece laturile lor AD și BC sunt egale (proprietatea 1) și unghiurile adiacente lor (ca unghiuri încrucișate cu linii paralele). Aceasta implică egalitatea laturilor corespunzătoare acestor triunghiuri: AO care trebuia să fie demonstrată.
Fiecare dintre aceste patru proprietăți caracterizează un paralelogram sau, după cum se spune, este proprietatea lui caracteristică, adică orice patrulater care are cel puțin una dintre aceste proprietăți este un paralelogram (și, prin urmare, are toate celelalte trei proprietăți).
Efectuăm dovada pentru fiecare proprietate separat.
1". Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale pe perechi, atunci acesta este un paralelogram.
Dovada. Fie patrulaterul ABCD să aibă laturile AD și BC, AB și, respectiv, CD, egale (Fig. 233). Să desenăm diagonala AC. Triunghiurile ABC și CDA vor fi congruente ca având trei perechi de laturi egale.
Dar atunci unghiurile BAC și DCA sunt egale și . Paralelismul laturilor BC și AD rezultă din egalitatea unghiurilor CAD și DIA.
2. Dacă un patrulater are două perechi colțuri opuse sunt egale, atunci este un paralelogram.
Dovada. Lăsa . Deoarece ambele laturi AD și BC sunt paralele (pe baza dreptelor paralele).
3. Lăsăm cititorului formularea și dovada.
4. Dacă diagonalele unui patrulater sunt împărțite reciproc în punctul de intersecție în jumătate, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada. Dacă AO \u003d OS, BO \u003d OD (Fig. 233), atunci triunghiurile AOD și BOC sunt egale, ca având unghiuri egale (vertical!) La vârful O, închis între perechi de laturi egale AO și CO, BO și DO. Din egalitatea triunghiurilor concluzionăm că laturile AD și BC sunt egale. Laturile AB și CD sunt de asemenea egale, iar patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform proprietății caracteristice Г.
Astfel, pentru a demonstra că un patrulater dat este un paralelogram, este suficient să verificăm validitatea oricăreia dintre cele patru proprietăți. Cititorul este invitat să demonstreze în mod independent încă o proprietate caracteristică a unui paralelogram.
5. Dacă un patrulater are o pereche de laturi egale, paralele, atunci este un paralelogram.
Uneori, orice pereche de laturi paralele ale unui paralelogram se numește bazele sale, în timp ce celelalte două sunt numite laturi laterale. Segmentul unei drepte perpendicular pe două laturi ale unui paralelogram, închis între ele, se numește înălțimea paralelogramului. Paralelogramul din fig. 234 are o înălțime h trasă pe laturile AD și BC, a doua înălțime a sa este reprezentată de un segment .
În lecția de astăzi, vom repeta principalele proprietăți ale unui paralelogram, apoi vom acorda atenție luării în considerare a primelor două caracteristici ale unui paralelogram și le vom demonstra. În cursul demonstrației, să ne amintim de aplicarea semnelor de egalitate a triunghiurilor, pe care am studiat-o anul trecut și am repetat-o în prima lecție. La final se va da un exemplu de aplicare a caracteristicilor studiate ale unui paralelogram.
Tema: patrulatere
Lecția: Semne ale unui paralelogram
Să începem prin a aminti definiția paralelogramului.
Definiție. Paralelogram- un patrulater în care fiecare două laturi opuse sunt paralele (vezi Fig. 1).
Orez. 1. Paralelogram
Să ne amintim proprietățile de bază ale paralelogramului:
Pentru a putea folosi toate aceste proprietăți, trebuie să fii sigur că figura, despre care în cauză, este un paralelogram. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți fapte precum semnele unui paralelogram. Le vom lua în considerare astăzi pe primele două dintre ele.
Teorema. Prima caracteristică a unui paralelogram. Dacă într-un patrulater două laturi opuse sunt egale și paralele, atunci acest patrulater este paralelogram. 
.
Orez. 2. Primul semn al unui paralelogram
Dovada. Să desenăm o diagonală în patrulater (vezi Fig. 2), ea a împărțit-o în două triunghiuri. Să scriem ce știm despre aceste triunghiuri:
conform primului semn de egalitate a triunghiurilor.
Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că, pe baza paralelismului dreptelor la intersecția secantei lor. Avem asta:
Dovedit.
Teorema. Al doilea semn al unui paralelogram. Dacă într-un patrulater fiecare două laturi opuse sunt egale, atunci acest patrulater este paralelogram. 
.
Orez. 3. Al doilea semn al unui paralelogram
Dovada. Să desenăm o diagonală în patrulater (vezi Fig. 3), o împarte în două triunghiuri. Să scriem ce știm despre aceste triunghiuri, pe baza formulării teoremei:
conform celui de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor.
Din egalitatea triunghiurilor rezultă că pe baza paralelismului dreptelor la intersecția secantei lor. Primim:
paralelogram prin definiție. Q.E.D.
Dovedit.
Să luăm în considerare un exemplu de aplicare a caracteristicilor unui paralelogram.
Exemplul 1. Într-un patrulater convex Aflați: a) colțurile patrulaterului; b) lateral.
Soluţie. Să reprezentăm Fig. 4.
Orez. 4
paralelogram conform primului atribut al unui paralelogram.
