Bisectoarea împarte partea opusă. Bisectoarea unghiului. Lecții complete - Hypermarket de cunoștințe
Geometria este una dintre cele mai complexe și mai complicate științe. În ea, ceea ce pare evident la prima vedere, foarte rar se dovedește a fi corect. Bisectoare, înălțimi, mediane, proiecții, tangente - un număr mare de termeni cu adevărat dificili, care sunt foarte ușor de confundat.
De fapt, cu dorința cuvenită, puteți înțelege teoria oricărei complexități. Când vine vorba de bisectoare, mediană și înălțime, trebuie să înțelegeți că acestea nu sunt unice pentru triunghiuri. La prima vedere asta linii simple, dar fiecare dintre ele are propriile proprietăți și funcții, a căror cunoaștere simplifică foarte mult rezolvarea problemelor geometrice. Deci, care este bisectoarea unui triunghi?
Definiție
Termenul „bisectoare” în sine provine dintr-o combinație a cuvintelor latine „două” și „tăiat”, „tăiat”, care indică deja indirect proprietățile sale. De obicei, atunci când copiilor li se prezintă această rază, li se oferă o frază scurtă pentru memorare: „Bisectorul este un șobolan care aleargă după colțuri și împarte colțul în jumătate”. Desigur, o astfel de explicație nu este potrivită pentru elevii mai mari, în plus, de obicei, aceștia sunt întrebați nu despre unghi, ci despre figura geometrică. Deci bisectoarea unui triunghi este o rază care leagă vârful triunghiului de latura opusă, în timp ce împarte unghiul în două părți egale. Punctul laturii opuse, la care vine bisectoarea, pentru un triunghi arbitrar este ales aleatoriu.
Funcții și proprietăți de bază
Această rază are puține proprietăți de bază. În primul rând, deoarece bisectoarea unui triunghi bisectează unghiul, orice punct situat pe acesta va fi la o distanță egală de laturile care formează vârful. În al doilea rând, în fiecare triunghi se pot trasa trei bisectoare, în funcție de numărul de unghiuri disponibile (deci, în același patrulater vor fi deja patru dintre ele și așa mai departe). Punctul în care se intersectează toate cele trei raze este centrul cercului înscris în triunghi.
Proprietățile devin mai complexe
Să complicăm puțin teoria. O altă proprietate interesantă: bisectoarea unui triunghi împarte latura opusă în segmente al căror raport este egal cu raportul laturilor care formează vârful. La prima vedere, acest lucru este dificil, dar de fapt totul este simplu: în figura propusă, RL:LQ = PR:PK. Apropo, această proprietate se numește „teorema bisectoarei” și a apărut pentru prima dată în lucrări matematician grec antic Euclid. L-au amintit într-unul din manualele rusești abia în primul sfert al secolului al XVII-lea.
Puțin mai dificil. Într-un patrulater, bisectoarea taie un triunghi isoscel. În această figură, sunt etichetate toate unghiurile egale pentru AF median.
Și, de asemenea, în patrulatere și trapeze, bisectoarele unghiurilor unilaterale sunt perpendiculare între ele. În desen, unghiul APB este de 90 de grade.
Într-un triunghi isoscel
Bisectoare triunghi isoscel- mult mai mult fascicul util. În același timp, nu este doar un divizor al unghiului în jumătate, ci și o mediană și o înălțime.
Mediana este un segment care iese dintr-un anumit unghi și cade la mijlocul părții opuse, împărțindu-l astfel în părți egale. Înălțimea este o perpendiculară coborâtă de la vârf spre partea opusă, cu ajutorul ei orice problemă poate fi redusă la o teoremă simplă și primitivă a lui Pitagora. În această situație, bisectoarea triunghiului este egală cu rădăcina diferenței dintre pătratul ipotenuzei și celălalt catete. Apropo, această proprietate apare cel mai adesea în problemele geometrice.
Pentru a remedia: în acest triunghi, bisectoarea FB este mediana (AB=BC) și înălțimea (unghiurile FBC și FBA sunt de 90 de grade).
În contur
Deci, ce trebuie să-ți amintești? Bisectoarea unui triunghi este o rază care își divide vârful. La intersecția a trei raze se află centrul cercului înscris în acest triunghi (singurul dezavantaj al acestei proprietăți este că nu are valoare practică și servește doar pentru execuția competentă a desenului). De asemenea, împarte partea opusă în segmente, al căror raport este egal cu raportul laturilor între care a trecut această rază. Într-un patrulater, proprietățile sunt puțin mai complicate, dar, să fiu sincer, practic nu apar în sarcinile la nivel de școală, așa că de obicei nu sunt afectate în program.
Bisectoarea unui triunghi isoscel este visul suprem al oricărui student. Este atât mediana (adică împarte latura opusă în jumătate) cât și înălțimea (perpendiculară pe această latură). Rezolvarea problemelor cu o astfel de bisectoare se reduce la teorema lui Pitagora.
Cunoașterea funcțiilor de bază ale bisectoarei, precum și a proprietăților sale principale, este necesară pentru rezolvarea problemelor geometrice atât de medie cât și nivel inalt dificultăți. De fapt, această rază se găsește doar în planimetrie, așa că nu se poate spune că memorarea informațiilor despre ea vă va permite să faceți față tuturor tipurilor de sarcini.
Sorokina Vika
Sunt date dovezi ale proprietăților bisectoarei unui triunghi și se ia în considerare aplicarea teoriei la rezolvarea problemelor.
Descarca:
Previzualizare:
Comitetul de educație al administrației din Saratov, districtul Oktyabrsky municipal autonom instituție educațională Liceul №3 im. A. S. Pușkin.
Municipal Științific și Practic
conferinţă
"Primii pasi"
Subiect: Bisectoare și proprietățile sale.
Lucrarea a fost finalizată de: un elev de clasa a VIII-a
Sorokina VictoriaConducător: profesor de matematică de cea mai înaltă categoriePopova Nina Fiodorovna
Saratov 2011
- Pagina de titlu……………………………………………………………...1
- Cuprins ………………………………………………………………… 2
- Introducere și obiective………………………………………………………………… ..3
- Luarea în considerare a proprietăților bisectoarei
- Al treilea loc al punctelor………………………………………….3
- Teorema 1………………………………………………………………………………..4
- Teorema 2…………………………………………………………………4
- Proprietatea principală a bisectoarei unui triunghi:
- Teorema 3…………………………………………………………………….4
- Sarcina 1………………………………………………………………… ….7
- Sarcina 2……………………………………………………………………….8
- Sarcina 3………………………………………………………………………….9
- Sarcina 4………………………………………………………………….9-10
- Teorema 4…………………………………………………………………10-11
- Formule pentru găsirea bisectoarei:
- Teorema 5………………………………………………………………….11
- Teorema 6…………………………………………………………………….11
- Teorema 7…………………………………………………………………….12
- Sarcina 5…………………………………………………………...12-13
- Teorema 8…………………………………………………………………….13
- Sarcina 6……………………………………………………………….14
- Sarcina 7……………………………………………………………………14-15
- Determinarea folosind bisectoarea punctelor cardinale…………………15
- Concluzie și concluzie……………………………………………………..15
- Lista literaturii utilizate ………………………………………………..16
Bisectoare
Într-o lecție de geometrie, studiind subiectul triunghiurilor similare, m-am întâlnit cu o problemă privind teorema raportului dintre bisectoare și laturile opuse. S-ar părea că ar putea fi ceva interesant în tema bisectoarei, dar acest subiect m-a interesat și am vrut să-l studiez mai profund. La urma urmei, bisectoarea este foarte bogată în ea proprietăți uimitoare pentru a ajuta la rezolvarea diferitelor probleme.
Când te gândești la acest subiect, poți observa că manualele de geometrie spun foarte puține despre proprietățile bisectoarei, iar la examene, cunoscându-le, poți rezolva probleme mult mai ușor și mai rapid. În plus, pentru a promova GIA și examenul de stat unificat, studenții moderni trebuie să studieze Materiale suplimentare la programa școlară. De aceea am decis să studiez mai detaliat subiectul bisectoarei.
Bisectoare (din latină bi- „dublu” și sectio „tăierea”) a unui unghi - o rază cu începutul la vârful unghiului, împărțind unghiul în două părți egale. Bisectoarea unui unghi (împreună cu extensia sa) este locul punctelor echidistante de laturile unghiului (sau prelungirile acestora)
Al treilea loc de puncte
Figura F este locul punctelor (mulțimea de puncte) care au o anumită proprietate A, daca sunt indeplinite doua conditii:
- din faptul că punctul aparține figurii F, rezultă că are proprietatea A;
- din faptul că punctul satisface proprietatea A, rezultă că aparţine figurii F.
Primul loc al punctelor luate în considerare în geometrie este un cerc, adică. locusul punctelor echidistant de un punct fix. A doua este bisectoarea perpendiculară a segmentului, adică. locusul punctelor echidistante de la capătul unui segment. Și în cele din urmă, a treia - bisectoarea - locul punctelor echidistante de laturile unghiului
Teorema 1:
Punctele bisectoarei sunt la fel de îndepărtate de laturi el este un colt.
Dovada:
Fie P - punct bisectoare A. Aruncă din punctR perpendiculare RV și PC pe colț lateral. Atunci VAR = SAR ipotenuza si unghiul ascutit. Prin urmare, RV = PC
Teorema 2:
Dacă punctul P este echidistant de laturile unghiului A, atunci se află pe bisectoare.
Dovada: РВ = PC => ВАР = СAP => BAP= CAP => АР este o bisectoare.
Printre faptele geometrice de bază ar trebui atribuită teorema că bisectoarea împarte latura opusă în raport cu laturile opuse. Acest fapt a rămas mult timp în umbră, dar peste tot există probleme care sunt mult mai ușor de rezolvat dacă cunoașteți acest lucru și alte fapte despre bisectoare. Am devenit interesat și am decis să explorez mai profund această proprietate a bisectoarei.
Proprietatea de bază a bisectoarei unui triunghi
Teorema 3. Bisectoarea împarte latura opusă a triunghiului în raport cu laturile adiacente.
Dovada 1:
dat: AL- bisectoarea triunghiului ABC
Dovedi:
Dovada: Fie F - punctul de intersecție al unei drepte AL și o dreaptă care trece printr-un punctÎN paralel cu latura AC.
Atunci BFA = FAC = BAF. Prin urmare BAF isoscel și AB = BF. Din asemănarea triunghiurilor ALC și FLB avem
raport
Unde
Dovada 2
Fie F punctul intersectat de dreapta AL și dreapta care trece prin punctul C paralel cu baza AB. Apoi puteți repeta raționamentul.
Dovada 3
Fie K și M bazele perpendicularelor căzute pe linie AL din punctele B și C respectiv. Triunghiurile ABL și ACL sunt similare în două unghiuri. De aceea
. Și din similitudinea dintre BKL și CML avem
De aici
Dovada 4
Să folosim metoda zonei. Calculați ariile triunghiurilor ABL și ACL doua feluri.
De aici.
Dovada 5
Fie α= BAC,φ= BLA. Prin teorema sinusului din triunghiul ABL
Și în triunghi ACL.
Deoarece ,
Apoi, împărțind ambele părți ale egalității la părțile corespunzătoare ale celeilalte, obținem.
Sarcina 1
Dat: În triunghiul ABC, VC este bisectoarea, BC=2, KS=1,
Soluţie:
Sarcina 2
Dat:
Aflați bisectoarele unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic cu catetele 24 și 18
Soluţie:
Fie piciorul AC = 18, piciorul BC = 24,
A.M este bisectoarea triunghiului.
Prin teorema lui Pitagora, găsim
că AB = 30.
De atunci
În mod similar, găsim a doua bisectoare.
Răspuns:
Sarcina 3
Într-un triunghi dreptunghic ABC cu unghi drept B bisectoare a unghiului A traversează lateralî.Hr
La punctul D. Se știe că BD = 4, DC = 6.
Găsiți aria unui triunghi ADC
Soluţie:
După proprietatea bisectoarei unui triunghi
Se notează AB = 2 x , AC = 3 x . Prin teoremă
Pitagora BC 2 + AB 2 = AC 2, sau 100 + 4 x 2 = 9 x 2
De aici aflăm că x = Atunci AB = , S ABC=
Prin urmare,
Sarcina 4
Dat:
Într-un triunghi isoscel ABC latură AB este egal cu 10, baza AC este 12.
Bisectoare unghiulare A și C se intersectează într-un punct D. Găsiți BD.
Soluţie:
Deoarece bisectoarele unui triunghi se intersectează la
Un punct, atunci BD este bisectoarea lui B. Să continuăm BD pana la intersectia cu AC în punctul M . Atunci M este punctul de mijloc al lui AC, BM AC. De aceea
Pentru că CD - bisectoarea triunghiului BMC atunci
Prin urmare,.
Răspuns:
Teorema 4. Cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.
Într-adevăr, luați în considerare mai întâi punctul Р al intersecției a două bisectoare, de exemplu, AK 1 și VC 2 . Acest punct este la fel de îndepărtat de laturile AB și AC, deoarece se află pe bisectoareA, și în mod egal îndepărtat de pe laturile AB și BC, ca aparținând bisectoareiB. Prin urmare, este în mod egal îndepărtat de laturile AC și BC și aparține astfel celei de-a treia bisectoare a SC 3 , adică în punctul P, toate cele trei bisectoare se intersectează.
Formule pentru găsirea bisectoarei
Teorema 5: (prima formulă pentru bisectoare): Dacă în triunghi ABC segmentul AL este bisectoare A, apoi AL² = AB AC - LB LC.
Dovada: Fie M punctul de intersecție al dreptei AL cu cercul circumscris triunghiului ABC (Fig. 41). Unghiul BAM este egal cu unghiul MAC prin convenție. Unghiurile BMA și BCA sunt egale ca unghiuri înscrise pe baza aceleiași coarde. Prin urmare, triunghiurile BAM și LAC sunt similare în două unghiuri. Prin urmare, AL: AC = AB: AM. Deci AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Q.E.D.
Teorema 6: . (a doua formulă pentru bisectoare): În triunghiul ABC cu laturile AB=a, AC=b șiA, egal cu 2α și bisectoarea lui l, are loc egalitatea:
l = (2ab / (a+b)) cosα.
Dovada : Fie ABC un triunghi dat, AL bisectoarea ei, a=AB, b=AC, l=AL. Apoi S ABC = S ALB + S ALC . Prin urmare, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorema a fost demonstrată.
Teorema 7: Dacă a, b sunt laturile triunghiului, Y este unghiul dintre ele,este bisectoarea acestui unghi. Apoi.
Nivel mediu
Bisectoarea unui triunghi. Teorie detaliată cu exemple (2019)
Bisectoarea unui triunghi și proprietățile sale
Știți care este punctul de mijloc al unei linii? Bineînțeles că faci. Și centrul cercului? La fel. Care este mijlocul unui unghi? Puteți spune că acest lucru nu se întâmplă. Dar de ce, segmentul poate fi împărțit în jumătate, dar unghiul nu? Este foarte posibil - doar nu un punct, dar .... linia.
Amintiți-vă de glumă: bisectoarea este un șobolan care aleargă pe la colțuri și împarte colțul în jumătate. Deci, definiția reală a bisectoarei este foarte asemănătoare cu această glumă:
Bisectoarea unui triunghi este un segment al bisectoarei unghiului unui triunghi, care leagă vârful acestui unghi cu un punct de pe latura opusă.
Cândva, astronomii și matematicienii antici au descoperit o mulțime de proprietăți interesante ale bisectoarei. Aceste cunoștințe au simplificat foarte mult viața oamenilor. A devenit mai ușor să construiți, să calculați distanțe, chiar să corectați tragerea de tunuri... Dar cunoașterea acestor proprietăți ne va ajuta să rezolvăm unele sarcini ale GIA și ale examenului unificat de stat!
Primele cunoștințe care vor ajuta în acest sens - bisectoarea unui triunghi isoscel.
Apropo, vă amintiți toți acești termeni? Îți amintești cum diferă unul de celălalt? Nu? Nu înfricoșător. Acum hai să ne dăm seama.
Asa de, baza unui triunghi isoscel- aceasta este partea care nu este egală cu oricare alta. Uită-te la poză, de ce parte crezi că este? Așa este - este o latură.
Mediana este linia trasă de la vârful triunghiului și de împărțire partea opusă(din nou) în jumătate.
Observați că nu spunem „mediana unui triunghi isoscel”. Stii de ce? Deoarece mediana trasată de la vârful unui triunghi bisectează latura opusă în ORICE triunghi.
Ei bine, înălțimea este o linie trasată de sus și perpendiculară pe bază. Ai observat? Vorbim din nou despre orice triunghi, nu doar unul isoscel. Înălțimea în ORICE triunghi este întotdeauna perpendiculară pe bază.
Deci, ți-ai dat seama? Aproape. Pentru a înțelege mai bine și a reține pentru totdeauna ce sunt bisectoarea, mediana și înălțimea, trebuie să fie comparate între ele și să înțeleagă cum sunt similare și cum diferă unele de altele. În același timp, pentru a ne aminti mai bine, este mai bine să descrii totul " limbajul uman". Apoi vei opera cu ușurință cu limbajul matematicii, dar la început nu înțelegi acest limbaj și trebuie să înțelegi totul în limba ta.
Deci, cum se aseamănă? Bisectoarea, mediana și înălțimea - toate „ieșesc” de la vârful triunghiului și se sprijină în direcția opusă și „fac ceva” fie cu unghiul din care ies, fie cu latura opusă. Cred că e simplu, nu?
Și cum diferă ele?
- Bisectoarea traversează unghiul din care iese.
- Mediana traversează partea opusă.
- Înălțimea este întotdeauna perpendiculară pe partea opusă.
Asta este. A înțelege este ușor. Odată ce înțelegi, poți să-ți amintești.
Acum următoarea întrebare. De ce, atunci, în cazul unui triunghi isoscel, bisectoarea se dovedește a fi atât mediana, cât și înălțimea în același timp?
Puteți doar să vă uitați la figură și să vă asigurați că mediana se împarte în două triunghiuri absolut egale. Asta e tot! Dar matematicienilor nu le place să-și creadă ochilor. Ei trebuie să demonstreze totul. Cuvânt înfricoșător? Nimic asemănător - totul este simplu! Uite: și au laturi egale și, au o latură comună și. (- bisectoare!) Și așa, sa dovedit că două triunghiuri au două laturi egale și un unghi între ele. Amintim primul semn al egalității triunghiurilor (nu vă amintiți, uitați-vă la subiect) și concluzionam că, ceea ce înseamnă = și.
Acest lucru este deja bun - înseamnă că s-a dovedit a fi mediana.
Dar ce este?
Să ne uităm la imagine -. Și am prins asta. Asa si! În sfârșit, ura! Și.
Ți s-a părut dificilă această dovadă? Privește imaginea - două triunghiuri identice vorbesc de la sine.
În orice caz, vă rugăm să rețineți:
Acum e mai greu: vom număra unghi între bisectoare în orice triunghi! Nu vă fie teamă, nu este chiar atât de complicat. Uitate la imagine:
Să-l numărăm. Îți aduci aminte de asta suma unghiurilor unui triunghi este?
Să aplicăm acest fapt uimitor.
Pe de o parte, de la:
Acesta este.
Acum să ne uităm la:
Dar bisectoare, bisectoare!
Să ne amintim despre:
Acum prin scrisori
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
Nu este surprinzător? S-a dovedit ca unghiul dintre bisectoarele a două unghiuri depinde doar de al treilea unghi!
Ei bine, ne-am uitat la două bisectoare. Daca sunt trei??!! Se vor intersecta toate în același punct?
Sau va fi?
Cum crezi? Aici matematicienii au gândit, au gândit și au demonstrat:
Într-adevăr mare?
Vrei să știi de ce se întâmplă asta?
Deci... doi triunghi dreptunghic: Și. Ei au:
- ipotenuză comună.
- (pentru că - bisectoarea!)
Deci - după unghi și ipotenuză. Prin urmare, catetele corespunzătoare acestor triunghiuri sunt egale! Acesta este.
Am demonstrat că punctul este îndepărtat în mod egal (sau egal) de laturile unghiului. Punctul 1 a fost tratat. Acum să trecem la punctul 2.
De ce 2 este corect?
Și conectează punctele.
Deci, adică se află pe bisectoare!
Asta e tot!
Cum pot fi aplicate toate acestea la rezolvarea problemelor? De exemplu, în sarcini există adesea o astfel de expresie: „Cercul atinge laturile unghiului ...”. Ei bine, trebuie să găsești ceva.
Iti dai seama repede de asta
Și poți folosi egalitatea.
3. Trei bisectoare dintr-un triunghi se intersectează într-un punct
Din proprietatea bisectoarei de a fi locul punctelor echidistante de laturile unghiului, urmează următoarea afirmație:
Cum curge mai exact? Dar uite: două bisectoare se vor intersecta cu siguranță, nu?
Și a treia bisectoare ar putea merge așa:
Dar, de fapt, totul este mult mai bine!
Să luăm în considerare punctul de intersecție a două bisectoare. Să o sunăm.
Ce am folosit aici de ambele ori? da paragraful 1, desigur! Dacă un punct se află pe bisectoare, atunci este la fel de îndepărtat de laturile unghiului.
Și așa s-a întâmplat.
Dar priviți cu atenție aceste două egalități! La urma urmei, din ele rezultă că și, prin urmare, .
Și acum va funcționa punctul 2: dacă distanțele față de laturile unghiului sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoarea ... a ce unghi? Privește din nou imaginea:
și sunt distanțele față de laturile unghiului și sunt egale, ceea ce înseamnă că punctul se află pe bisectoarea unghiului. A treia bisectoare a trecut prin același punct! Toate cele trei bisectoare se intersectează la un moment dat! Și, ca un cadou suplimentar -
Razele înscrisă cercuri.
(Pentru fidelitate, uita-te la un alt subiect).
Ei bine, acum nu vei uita niciodată:
Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris în el.
Să trecem la următoarea proprietate... Wow, și o bisectoare are o mulțime de proprietăți, nu? Și asta e grozav, pentru că mai multe proprietăți, cu atât mai multe instrumente pentru rezolvarea problemelor legate de bisectoare.
4. Bisectoare și paralelism, bisectoare ale unghiurilor adiacente
Faptul că bisectoarea traversează unghiul în unele cazuri duce la rezultate complet neașteptate. De exemplu,
Cazul 1
E grozav, nu? Să înțelegem de ce.
Pe de o parte, desenăm o bisectoare!
Dar, pe de altă parte, - ca niște colțuri întinse transversal (amintiți-vă subiectul).
Și acum se dovedește că; arunca pe mijloc: ! - isoscel!
Cazul 2
Imaginați-vă un triunghi (sau uitați-vă la o imagine)
Să continuăm cot la punct. Acum sunt două colțuri:
- - colțul interior
- - colțul exterior - este afară, nu?
Deci, și acum cineva a vrut să deseneze nu una, ci două bisectoare deodată: și pentru și pentru. Ce se va intampla?
Și se va dovedi dreptunghiular!
În mod surprinzător, exact asta este.
Noi înțelegem.
Care crezi că este suma?
Desigur, pentru că toate împreună fac un astfel de unghi încât se dovedește a fi o linie dreaptă.
Și acum ne amintim că și sunt bisectoare și vom vedea că în interiorul unghiului este exact jumătate din suma tuturor celor patru unghiuri: și - - adică exact. Se poate scrie și sub formă de ecuație:
Deci, incredibil, dar adevărat:
Unghiul dintre bisectoarele interiorului și colțul exterior triunghiul este egal.
Cazul 3
Vedeți că totul este la fel aici ca și pentru colțurile interioare și exterioare?
Sau ne gândim din nou de ce este așa?
Din nou, cât pentru colțurile adiacente,
(așa cum corespunde cu bazele paralele).
Și din nou, machiază exact jumatate din suma
Concluzie: Dacă există bisectoare în problemă legate de unghiuri sau bisectoare respectiv unghiurile unui paralelogram sau trapez, atunci în această problemă cu siguranță este implicat un triunghi dreptunghic și poate chiar un dreptunghi întreg.
5. Bisectoare și latura opusă
Se pare că bisectoarea unghiului unui triunghi împarte latura opusă nu cumva, ci într-un mod special și foarte interesant:
Acesta este:
Fapt uimitor, nu-i așa?
Acum vom demonstra acest fapt, dar pregătiți-vă: va fi puțin mai dificil decât înainte.
Din nou - o ieșire în „spațiu” - o clădire suplimentară!
Să mergem drept.
Pentru ce? Acum vom vedea.
Continuăm bisectoarea până la intersecția cu linia.
O poză cunoscută? Da, da, da, exact la fel ca în paragraful 4, cazul 1 - se dovedește că (- bisectoare)
Ca minciuna în cruce
Deci, și asta este.
Acum să ne uităm la triunghiuri și.
Ce se poate spune despre ei?
Sunt asemătători. Ei bine, da, unghiurile lor sunt egale cu verticale. Deci două colțuri.
Acum avem dreptul să scriem relațiile părților corespunzătoare.
Și acum pe scurt:
Oh! Îmi amintește de ceva, nu? Nu asta am vrut să demonstrăm? Da, da, asta e!
Vedeți cât de grozav s-a dovedit „mersul spațial” – construcția unei linii drepte suplimentare – nimic nu s-ar fi întâmplat fără ea! Și așa am dovedit asta
Acum îl poți folosi în siguranță! Să analizăm încă o proprietate a bisectoarelor unghiurilor unui triunghi - nu vă speriați, acum cel mai dificil lucru s-a terminat - va fi mai ușor.
Înțelegem asta
Teorema 1:
Teorema 2:
Teorema 3:
Teorema 4:
Teorema 5:
Teorema 6:
Teorema. Bisectoare colțul interior triunghiul împarte latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente.
Dovada. Se consideră triunghiul ABC (Fig. 259) și bisectoarea unghiului său B. Să tragem o dreaptă CM prin vârful C, paralelă cu bisectoarea VC, până când se intersectează în punctul M cu continuarea laturii AB. Deoarece VC este bisectoarea unghiului ABC, atunci . Mai mult, ca unghiuri corespunzătoare la linii paralele și ca unghiuri transversale la liniile paralele. De aici și deci - isoscel, de unde. Conform teoremei pe drepte paralele care intersectează laturile unghiului, avem și având în vedere acest lucru obținem, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
Bisectoarea unghiului exterior B al triunghiului ABC (Fig. 260) are o proprietate similară: segmentele AL și CL de la vârfurile A și C până la punctul L de intersecție a bisectoarei cu continuarea laturii AC sunt proporțional cu laturile triunghiului:
Această proprietate este demonstrată în același mod ca și precedenta: în Fig. 260 se trasează o dreaptă auxiliară SM, paralelă cu bisectoarea BL. Cititorul însuși se va convinge de egalitatea unghiurilor BMC și BCM, și de aici a laturilor BM și BC ale triunghiului BMC, după care se va obține imediat proporția necesară.
Putem spune că bisectoarea unghiului exterior împarte și latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente; este necesar doar să fie de acord pentru a permite „diviziunea externă” a segmentului.
Punctul L, care se află în afara segmentului AC (în continuarea acestuia), îl împarte exterior în raport cu, dacă da, bisectoarele unghiului triunghiului (intern și extern) împart latura opusă (internă și externă) în părți proporționale. spre laturile adiacente.
Problema 1. Laturile trapezului sunt 12 și 15, bazele sunt 24 și 16. Aflați laturile triunghiului format din baza mare a trapezului și laturile lui extinse.
Soluţie. În notația din Fig. 261 avem pentru segmentul care serveşte ca o continuare a laturii laterale proporţia din care găsim cu uşurinţă În mod similar determinăm a doua latură a triunghiului A treia latură coincide cu baza mare: .
Problema 2. Bazele trapezului sunt 6 și 15. Care este lungimea segmentului paralel cu bazele și împărțind laturile în raport de 1:2, numărând de la vârfurile bazei mici?
Soluţie. Să ne întoarcem la Fig. 262 înfățișând un trapez. Prin vârful C al bazei mici trasăm o linie paralelă cu latura laterală AB, tăind un paralelogram din trapez. De când , atunci de aici găsim . Prin urmare, întregul segment necunoscut KL este egal cu Rețineți că pentru a rezolva această problemă, nu trebuie să cunoaștem laturile trapezului.
Problema 3. Bisectoarea unghiului intern B al triunghiului ABC taie latura AC în segmente la ce distanță de la vârfurile A și C va intersecta bisectoarea unghiului extern B prelungirea AC?
Soluţie. Fiecare dintre bisectoarele unghiului B împarte AC în același raport, dar una intern și cealaltă extern. Notăm cu L punctul de intersecție al continuării lui AC și bisectoarea unghiului exterior B. Deoarece AK Notăm distanța necunoscută AL până atunci și vom avea proporția A cărei soluție ne dă distanța necesară
Faceți singur desenul.
Exerciții
1. Un trapez cu bazele 8 și 18 este împărțit prin linii drepte, paralele cu bazele, în șase benzi de lățime egală. Aflați lungimile segmentelor de dreaptă care împart trapezul în benzi.
2. Perimetrul triunghiului este 32. Bisectoarea unghiului A împarte latura BC în părți egale cu 5 și 3. Aflați lungimile laturilor triunghiului.
3. Baza unui triunghi isoscel este a, latura este b. Aflați lungimea segmentului care leagă punctele de intersecție ale bisectoarelor colțurilor bazei cu laturile.
Astăzi va fi o lecție foarte ușoară. Vom lua în considerare un singur obiect - bisectoarea unghiului - și vom demonstra cea mai importantă proprietate a acestuia, care ne va fi foarte utilă în viitor.
Nu vă relaxați: uneori, studenții care doresc să obțină un scor mare la același OGE sau USE, în prima lecție, nu pot formula nici măcar definiția exactă a bisectoarei.
Și în loc să facem sarcini cu adevărat interesante, petrecem timp pe lucruri atât de simple. Deci citește, urmărește și adoptă. :)
Pentru început, o întrebare puțin ciudată: ce este un unghi? Așa este: un unghi sunt doar două raze care ies din același punct. De exemplu:
Exemple de unghiuri: acute, obtuz și drept După cum puteți vedea din imagine, colțurile pot fi ascuțite, obtuze, drepte - nu contează acum. Adesea, pentru comoditate, pe fiecare rază este marcat un punct suplimentar și se spune, spun ei, că avem un unghi $AOB$ (scris ca $\angle AOB$).
Căpitanul pare să sugereze că, pe lângă razele $OA$ și $OB$, se pot trage oricând o grămadă de raze din punctul $O$. Dar printre ei va fi unul special - se numește bisectoare.
Definiție. Bisectoarea unui unghi este o rază care iese din vârful acelui unghi și bisectează unghiul.
Pentru unghiurile de mai sus, bisectoarele vor arăta astfel:
Exemple de bisectoare pentru unghiuri acute, obtuze și drepte
Deoarece în desenele reale este departe de a fi întotdeauna evident că o anumită rază (în cazul nostru, aceasta este raza $OM$) împarte unghiul inițial în două egale, se obișnuiește în geometrie să marcheze unghiuri egale cu același număr de arce (în desenul nostru acesta este 1 arc pentru un unghi ascuțit, doi pentru contondent, trei pentru drept).
Bine, ne-am dat seama de definiție. Acum trebuie să înțelegeți ce proprietăți are bisectoarea.
Proprietatea de bază a bisectoarei unghiului
De fapt, bisectoarea are o mulțime de proprietăți. Și cu siguranță le vom lua în considerare în următoarea lecție. Dar există un truc pe care trebuie să-l înțelegi chiar acum:
Teorema. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unghiului dat.
Tradus din matematică în rusă, aceasta înseamnă două fapte simultan:
- Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este activat aceeasi distanta din laturile acestui colt.
- Și invers: dacă un punct se află la aceeași distanță de laturile unui unghi dat, atunci este garantat să se afle pe bisectoarea acestui unghi.
Înainte de a demonstra aceste afirmații, să clarificăm un punct: cum se numește, de fapt, distanța de la un punct la o latură a unghiului? Vechea definiție bună a distanței de la un punct la o linie ne va ajuta aici:
Definiție. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la acel punct la acea dreaptă.
De exemplu, luați în considerare o linie $l$ și un punct $A$ care nu se află pe această linie. Desenați o perpendiculară $AH$, unde $H\în l$. Atunci lungimea acestei perpendiculare va fi distanța de la punctul $A$ la dreapta $l$.
Reprezentarea grafică a distanței de la un punct la o dreaptă Deoarece un unghi este doar două raze și fiecare rază este o bucată de linie, este ușor să determinați distanța de la un punct la laturile unghiului. Sunt doar două perpendiculare:
Determinați distanța de la un punct la laturile unui unghi Asta e tot! Acum știm ce este distanța și ce este o bisectoare. Prin urmare, putem demonstra proprietatea principală.
După cum am promis, împărțim dovada în două părți:
1. Distanțele de la un punct de pe bisectoare până la laturile unghiului sunt aceleași
Luați în considerare un unghi arbitrar cu vârf $O$ și bisectoare $OM$:
Să demonstrăm că același punct $M$ se află la aceeași distanță de laturile unghiului.
Dovada. Să desenăm perpendiculare din punctul $M$ la laturile unghiului. Să le numim $M((H)_(1))$ și $M((H)_(2))$:
Desenați perpendiculare pe părțile laterale ale colțului
Avem două triunghiuri dreptunghiulare: $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$. Au o ipotenuză comună $OM$ și unghiuri egale:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ prin presupunere (deoarece $OM$ este bisectoare);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ prin construcție;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ deoarece suma unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt întotdeauna egale cu 90 de grade.
Prin urmare, triunghiurile sunt egale în latură și două unghiuri adiacente (vezi semnele de egalitate a triunghiurilor). Prin urmare, în special, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, adică. distantele de la punctul $O$ la laturile unghiului sunt intr-adevar egale. Q.E.D.:)
2. Dacă distanțele sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoare
Acum situația este inversată. Să fie dat un unghi $O$ și un punct $M$ echidistant de laturile acestui unghi:
Să demonstrăm că raza $OM$ este o bisectoare, i.e. $\unghi MO((H)_(1))=\unghi MO((H)_(2))$.
Dovada. Pentru început, să desenăm chiar această rază $OM$, altfel nu va fi nimic de demonstrat:
A cheltuit fasciculul $OM$ în interiorul colțului
Obținem din nou două triunghiuri dreptunghiulare: $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$. Evident, sunt egali pentru că:
- Ipotenuza $OM$ este comună;
- Picioarele $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ prin condiție (deoarece punctul $M$ este echidistant de laturile colțului);
- Picioarele rămase sunt și ele egale, deoarece prin teorema lui Pitagora $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Prin urmare, triunghiurile $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$ pe trei laturi. În special, unghiurile lor sunt egale: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Și asta înseamnă doar că $OM$ este o bisectoare.
În încheierea demonstrației, notăm unghiurile egale formate cu arce roșii:
Bisectoarea împarte unghiul $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ în două egale
După cum puteți vedea, nimic complicat. Am demonstrat că bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile acestui unghi. :)
Acum că ne-am hotărât mai mult sau mai puțin asupra terminologiei, este timpul să trecem la nou nivel. În următoarea lecție, vom trece peste mai multe proprietăți complexe bisectoare și învață cum să le aplici pentru a rezolva probleme reale.
