Ecuația lui Einstein pentru efectul fotoelectric extern. Cum să înțelegeți cea mai faimoasă formulă a formulei ecuațiilor lui Einstein Einstein
În prima postare din LiveJournal, am promis că voi posta tot felul de prostii și alte prostii cu formule. La capitolul prostii, consider că planul este 100% complet, dar acum încep (am început deja pe tema detectoarelor de unde gravitaționale) la a doua parte a planului - voi posta o prostie cu formule astfel încât gospodinele și chiar scuipat JETF.
Îmi amintesc că mi s-a cerut să explic ceva despre ecuațiile lui Einstein. În special, ce și unde. Ca parte a comentariilor, desigur, am explicat la minimum, dar este puțin probabil ca acest lucru să aducă o claritate reală. Prin urmare, am decis să scriu un mesaj mai detaliat pe acest subiect. Voi scrie puțin despre tensori pentru a fi clar despre ce voi vorbi în continuare.
Dar mai întâi, niște acorduri. În postarea mea, se folosește regula de însumare a lui Einstein (aceasta este însumarea peste indici repeți) - o voi explica acum și apoi este implicită de la sine.
Deci, să avem o înregistrare
Conform regulii lui Einstein, dacă dimensiunea spațiului este cunoscută (sau dacă dimensiunea spațiului este necunoscută, este necesar să se indice în mod explicit la ce element are loc însumarea), semnul sumei este omis, iar însumarea este implicită peste indici repeți (indicele " i"y A iar la b. Și este scris așa
Prin urmare, oriunde vor fi întâlniți indici repetați de acum înainte, însumarea este implicită (și nu numai simplă, ci poate fi dublă).
Să presupunem că avem două sisteme de coordonate
Tensor contravariant de rangul 2
acestea. coordonatele vechi se diferenţiază de cele noi. Aici este implicită sumarea peste indici repeți.
Tensor covariant de rangul 2 este valoarea care se transformă la transformarea coordonatelor conform regulilor
Tipuri particulare de tensori sunt vectorii bine-cunoscuți (tensorul de rangul 1) și scalarii (tensorul de rangul 0).
Într-un cadru de referință inerțialîn sistemul de coordonate carteziene, după cum este cunoscut, intervalul ds definit ca
În CO non-inerțial interval pătrat - o formă pătratică a formei
aici din nou însumarea peste indici repeți.
(Acest lucru poate fi verificat pe exemple particulare - încercați să convertiți ISO în rotație, de exemplu).
Evident, Ce
a) după dimensiune, rezultă că valoarea din fața produsului diferențelor de coordonate este scalară.
b) diferenţialele coordonatelor pot fi rearanjate, ceea ce înseamnă că valoarea lui g nu depinde de ordinea indicilor.
Prin urmare gik este un 4-tensor simetric. Se numește tensor metric.
Se numește setul de valori principale (1, -1, -1, -1). semnătură matrici (uneori se scriu simplu (+, -, -, -)). Determinantul în acest caz este negativ. Acest lucru este din nou evident.
Tot ceea ce s-a spus despre FR-urile non-inerțiale este complet transferat 100% la un sistem de coordonate curbiliniu arbitrar, izolat de fizica în general.
Din păcate, nu pot scrie prea multe despre tensor de curbură
Riklm pentru că pentru aceasta trebuie să scrieți un tratat întreg - cum este derivat, de unde vine și așa mai departe. Va trebui să scriu despre simbolurile Christoffel, este foarte mult timp. Poate data viitoare daca este cineva interesat.tensorul Ricci obţinut prin convoluţia tensorului de curbură
este simetric.
Cred că toată lumea cunoaște principiul lui Hamilton al acțiunii minime. În acest caz, este scris ca
aici lambda poate fi considerată „densitatea” funcției Lagrange. Apoi se obține din el tensorul energie-impuls
Aici - tensor energie-impuls.
Ecuațiile lui Einstein derivat din principiul acțiunii minime. Deducerea lor nu este atât de dificilă dacă știi bine tot ce am spus mai sus. Dar, desigur, în acest caz, nu o voi scrie. Ecuațiile lui Einstein au forma
Aceste ecuații sunt neliniare și, ca urmare, principiul suprapunerii nu este valabil pentru soluțiile lor.
Derivarea legii lui Newton din ecuațiile lui Einstein. Trecând la cazul non-relativist, trebuie să ceri ca toate vitezele să fie mici și, în consecință, ca câmpul gravitațional să fie mic. Atunci doar zero componente vor rămâne din toți tensorii
În acest caz, ecuațiile Einstein dau
(aici m este masa unei unități de volum, adică densitatea, spre deosebire de prezentarea ulterioară)
Aceasta este binecunoscuta ecuație Poisson pentru potențialul gravitațional de la care pentru potențialul de câmp al unei particule mși, în consecință, forțele care acționează în acest câmp asupra unei alte particule M se pot obţine expresii
Aceasta este celebra lege a gravitației a lui Newton.
Valuri gravitationale. Va fi vorba de slab unde gravitaționale, care pot fi detectate doar cu ajutorul interferometrelor. Cred că toată lumea știe că, pentru a căuta perturbații slabe, este necesar să se reprezinte funcția dorită sub forma unei părți staționare și a unei perturbații. În acest caz, tensorul de curbură poate fi reprezentat ca tensorul neperturbat al metricii galileene și tensorul h descriind o perturbare slabă a metricii
În anumite condiții suplimentare, tensorul Ricci ia forma
(pentru orice eventualitate, am explicat ce este operatorul D „Alembert, deși cred că acest lucru este bine cunoscut de toată lumea).
După ce ai mutat puțin toate acestea, poți obține
Ecuația de undă obișnuită. Aceasta înseamnă că undele gravitaționale se propagă cu viteza luminii.
Iată sfârșitul poveștii. Cred că acesta este un răspuns mai detaliat pe care l-am dat atunci în comentarii, dar nu sunt sigur că a devenit mult mai clar. Dar aș vrea să sper. Până ne revedem, domnilor!
Spațiu - timp pentru data locației energiei de stres în spațiu - timp. Relația dintre tensorul metric și tensorul Einstein permite ca EPE să fie scris ca un set de ecuații diferențiale parțiale neliniare atunci când este utilizat în acest mod. Soluțiile EFE sunt componente ale tensorului metric. Traiectoriile particulelor inerțiale și radiația (geodezice) din geometria rezultată sunt apoi calculate folosind ecuația geodezică.
Pe lângă respectarea conservării energiei-impuls local, EFE-urile sunt reduse la legea gravitațională a lui Newton, unde câmpul gravitațional este slab și viteza este mult mai mică decât viteza luminii.
Soluțiile exacte pentru EFE pot fi găsite numai în baza unor ipoteze simplificatoare, cum ar fi simetria. Clasele speciale de soluții exacte sunt cel mai adesea studiate, deoarece modelează multe fenomene gravitaționale, cum ar fi găurile negre rotative și expansiunea universului. O simplificare suplimentară este realizată prin aproximarea spațiu-timpului real ca un spațiu-timp plat cu o mică abatere, rezultând un EPE liniarizat. Aceste ecuații sunt folosite pentru a studia fenomene precum undele gravitaționale.
formă matematică
Ecuațiile câmpului Einstein (FSE) pot fi scrise astfel:
|
R μ ν - 1 2 R G μ ν + Λ G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν (\displaystyle R_(\mu \nu)-(\tfrac (1)(2)) R\, G_(\ mu\nu)+\lambda G_(\mu\nu)=(\frac(8\p G)(c^(4)))_(t\mu\nu)) |
unde R μν este tensorul curburii Ricci, R este curbura scalară, r μν este tensorul metric, Λ este constanta cosmologică, G este constanta gravitației lui Newton, c este viteza luminii în vid și T μν este tensor de stres energetic.
EFE este o ecuație tensorială care raportează un set de tensori simetrici 4×4. Fiecare tensor are 10 componente independente. Cele patru identități Bianchi reduc numărul de ecuații independente de la 10 la 6, rezultând un exponent cu patru grade de libertate de fixare care corespund libertății de a alege sistemul de coordonate.
Deși ecuațiile de câmp ale lui Einstein au fost formulate inițial în contextul unei teorii cu patru dimensiuni, unii teoreticieni au explorat implicațiile lor în n dimensiuni. Ecuațiile din contexte în afara relativității generale sunt încă numite ecuații de câmp ale lui Einstein. Ecuațiile câmpului de vid (obținute când T este identic zero) definesc varietățile Einstein.
În ciuda aspectului simplu al ecuațiilor, ele sunt de fapt destul de complexe. Luând în considerare distribuția indicată a materiei și energiei sub forma unui tensor de energie, EPE înțelege ecuațiile pentru tensorul metric g μν, deoarece atât tensorul Ricci, cât și curbura scalară depind de metrică într-o manieră complexă neliniară. Într-adevăr, atunci când este scris complet, EFE este un sistem de zece ecuații diferențiale hiperbolice-eliptice, neliniare, conectate.
Se poate scrie EFE într-o formă mai compactă prin definirea tensorului Einstein
G μ ν = R μ ν - 1 2 R G μ ν , (\displaystyle G_(\mu\nu)=R_(\mu\nu)-(\tfrac(1)(2))_(Rg \mu\nu) ))care este un tensor simetric de rangul doi, care este o funcție a metricii. EFE, atunci se poate scrie sub formă
G μ ν + Λ G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , (\ Displaystyle G _(\mu \nu)+\Lambda G_(\mu \nu)=(\frac (8\r G) ( c^(4))) T_(\mu\nu).)În unitățile standard, fiecare termen din stânga are unități 1 / lungime 2 . Cu o astfel de alegere a constantei lui Einstein ca 8πG/s 4 , atunci tensorul energie-impuls din partea dreaptă a ecuației trebuie scris cu fiecare componentă în unități de densitate de energie (adică energie pe unitate de volum = presiune).
Intrarea la convenție
Forma de mai sus a EFE este standardul stabilit de Misner, Thorne și Wheeler. Autorii au analizat toate convențiile care există și au clasificat după următoarele trei semne (S1, S2, S3):
g μ ν = [ S 1 ] × diag (- 1 , + 1 , + 1 , + 1) R μ α β γ = [ S 2 ] × (Γ α γ , β μ − Γ α β , γ μ + Γ σ β μ Γ γ α σ − Γ σ γ μ Γ β α σ) g μ ν = [ S 3 ] × 8 π g s 4 T μ ν (\displaystyle (\(begin aligned)_(g \mu\nu) )&=\times\operatorname(diag)(-1,+1,+1,+1)\\(R^(\mu))_(\alpha\beta\gamma)&=\times \left(\ gamma _(\alpha\gamma,\beta)^(\mu)-\gamma _(\alpha\beta,\gamma)^(\mu)+\gamma _(\sigma\beta)^(\mu)\ gamma_(\gamma\alpha)^(\sigma)-\gamma_(\sigma\gamma)^(\mu)\gamma_(\beta\alpha)^(\sigma)\right)\\g_(\mu\nu )&=\times(\frac(8\pi g)(c^(4))) t_(\mu\nu)\(end aligned)))Al treilea semn de mai sus se referă la alegerea convenției pentru tensorul Ricci:
R μ ν = [ S 2 ] × [ S 3 ] × R α μ α ν (\displaystyle R_(\mu \nu)=\[ori S3]\(ori R^(\alpha))_(\ mu\ alfa\nu)) R μ ν - 1 2 R G μ ν + Λ G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , (\displaystyle R_(\mu \nu)-(\tfrac (1)(2)) R\ , G _ (\ mu \ nu) + \ Lambda G _ (\ mu \ nu) = (\frac (8 \ p G ) (c ^ (4))) T _ (\ mu \ nu) \ ,.)Deoarece Λ este constant, legea conservării energiei nu se modifică.
Termenul cosmologic a fost inventat inițial de Einstein pentru a însemna că universul nu se extinde sau se contractă. Aceste eforturi au avut succes deoarece:
- Universul descris de această teorie era instabil și
- Observațiile lui Edwin Hubble au confirmat că universul nostru se extinde.
Astfel, Einstein l-a abandonat pe L, numindu-l „cea mai mare greșeală [pe] a făcut-o vreodată”.
În ciuda motivației lui Einstein pentru introducerea constantei cosmologice, nu există nimic în contradicție cu prezența unui astfel de termen în ecuații. Timp de mulți ani, constanta cosmologică a fost aproape universal presupusă a fi 0. Cu toate acestea, tehnicile astronomice îmbunătățite recente au descoperit că o valoare pozitivă a lui A este necesară pentru a explica universul care se accelerează. Cu toate acestea, cosmologicul este neglijabil la scara unei galaxii sau mai puțin.
Einstein a considerat constanta cosmologică ca un parametru independent, dar termenul său din ecuația de câmp poate fi mutat și algebric pe cealaltă parte, scris ca parte a tensorului de energie:
T μ ν (v a c) = − Λ c 4 8 π g g μ ν , (\displaystyle T_(\mu \nu)^(\mathrm ((vc)))=-(\frac (\lambda c ^(4) ) (8\pi G)) G_(\mu\nu)\, .) p α β [ γ δ ; ε ] = 0 (\displaystyle R_(\alpha \beta [\gamma \delta;\varepsilon]) = 0)cu g αβ dă, folosind faptul că tensorul metric este constant covariant, i.e. gap; γ = 0 ,
p γ β γ δ ; ε + p γ β ε γ ; δ + p γ β δ ε ; γ = 0 (\displaystyle (R^(\gamma)) _(\beta \gamma \delta;\varepsilon) + (R^(\gamma))_(\beta \varepsilon \gamma;\delta) + (R ^(\gamma))_(\beta\delta\varepsilon;\gamma)=\,0)Antisimetria tensorului Riemann permite rescrierea celui de-al doilea termen din expresia de mai sus:
p γ β γ δ ; ε - p γ β γ ε ; δ + p γ β δ ε ; γ = 0 (\displaystyle (R^(\gamma)) _(\beta \gamma \delta;\varepsilon) - (R^(\gamma))_(\beta \gamma \varepsilon;\delta) + (R ^(\gamma))_(\beta\delta\varepsilon;\gamma)=0)care este echivalent cu
pp 5; ε - p β ε ; δ + p γ β δ ε ; γ = 0 (\displaystyle R_(\beta \delta;\varepsilon) _(-R\beta \varepsilon;\delta) + (R^(\gamma))_(\beta \delta \varepsilon;\gamma) = 0)Apoi contractați din nou cu metrica
R β δ (R β δ ; ε - R β ε ; δ + R γ β δ ε ; γ) = 0 (\displaystyle r^(\beta \delta)\left(R_(\beta \delta;\varepsilon) -R_(\beta\varepsilon;\delta) + (R^(\gamma))_(\beta\delta\varepsilon;\gamma)\right) = 0)obține
p 5 5; ε - p δ ε ; δ + p γ δ δ ε ; γ = 0 (\displaystyle (R^(\delta)) _(\Delta;\varepsilon)-(R^(\delta))_(\varepsilon;\delta)+(R^(\gamma \delta) ) _(\delta\varepsilon;\gamma) = 0)Definițiile tensorului de curbură Ricci și ale curburii scalare arată apoi că
R; ε - 2 p γ ε ; γ = 0 (\displaystyle R_(;\varepsilon)-2(R^(\gamma))_(\varepsilon;\gamma)=0)care poate fi rescris ca
(p y e - 1 2 g y e p) ; γ = 0 (\displaystyle \left((R^(\gamma))_(\varepsilon)-(\tfrac(1)(2))(r^(\gamma))_(\varepsilon)R\right) _(;\gamma)=0)Compresia finală cu g eDom dă
(py5-12gy5p); γ = 0 (\displaystyle \left(R^(\gamma \delta)-(\tfrac(1)(2))g^(\gamma \delta)R\right)_(;\gamma)=0)care, în virtutea simetriei termenului între paranteze și a definiției tensorului Einstein, dă după reetichetarea indicilor,
gαβ; β = 0 (\displaystyle (G^(\alpha \beta)) _(;\beta)=0)Folosind EFE, acest lucru dă imediat,
∇ β T α β = T α β ; β = 0 (\displaystyle \nabla _(\beta) T^(\alpha \beta)=(T^(\alpha \beta))_(;\beta)=0)care exprimă conservarea locală a energiei de stres. Această lege de conservare este o cerință fizică. Din ecuațiile sale de câmp, Einstein s-a asigurat că relativitatea generală este în concordanță cu această condiție de conservare.
neliniaritate
Neliniaritatea EFE distinge relativitatea generală de multe alte teorii fizice fundamentale. De exemplu, ecuația lui Maxwell a electromagnetismului este liniară în câmpurile electrice și magnetice, iar în sarcină și distribuția curentului (adică suma celor două soluții este de asemenea o soluție); Un alt exemplu este ecuația Schrödinger a mecanicii cuantice, care este liniară în funcția de undă.
Principiul conformității
d 2 x α d τ 2 = − Γ β γ α d x β d τ d x γ d τ , (\displaystyle (\frac (d^(2)x^(\alpha)) (d\tau ^( 2)) ) = -\gamma_(\beta\gamma)^(\alpha)(\frac(dx^(\beta))(d\tau))(\frac(dx^(\gamma))(d \tau)) \ ,.)Pentru a vedea cum acesta din urmă se reduce la primul, presupunem că viteza testerului particulei este aproape de zero.
d x β d τ ≈ (d T d τ , 0 , 0 , 0) (\displaystyle (\frac (dx^(\beta)) (d\tau))\ok \left((\frac (dt)( d \ tau)) 0,0,0 \ dreapta))prin urmare
d d T (d T d τ) ≈ 0 (\displaystyle (\frac (d) (dt)) \ stânga ((\ frac (dt) (d \ tau)) \ dreapta) \ aproximativ 0)și că metrica și derivatele sale sunt aproximativ statice și că abaterile pătrate de la metrica Minkowski sunt neglijabile. Aplicând aceste ipoteze simplificatoare ale componentelor spațiale, ecuația geodezică rezultă
d 2 x i d t 2 ≈ - Γ 00 i (\displaystyle (\frac (d^(2)x^(i))) (dt^(2)))\oc -\gamma _(00)^(i ))unde doi factori DT/ diferential dr au fost despărțiți de. Acest lucru va reduce omologul său newtonian, cu condiția
Φ , i ≈ Γ 00 i = 1 2 g i α (g α 0 , 0 + g 0 α , 0 - g 00 , α) , (\displaystyle \Phi _(,i)\approx \gamma _(00)^ (i)=(\tfrac(1)(2))g^(i\alpha)\left(G_(\alpha-0,0)+g_(0\alpha-,0)-g_(00 \alpha) \ dreapta) \ ,.)Presupunerile noastre fac alfa = eu iar derivate de timp (0) egale cu zero. Astfel, este mai ușor pentru
2 Φ , i ≈ g i j (- g 00 , j) ≈ - g 00 , i (\displaystyle 2\phi _(,i)\ok g^(ij)\left(-g_(00,j)\dreapta) \ ok -g_ (00, i) \)care se face prin permiterea
g 00 ≈ - c 2 - 2 Φ , (\displaystyle g_(00)\oc -c^(2)-2\Phi \,.)Referindu-ne la ecuațiile lui Einstein, avem nevoie doar de componenta timp a timpului
R 00 = K (T 00 - 1 2 T g 00) (\displaystyle R_(00)=K\left(T_(00)-(\tfrac(1)(2))Tg_(00)\right))în asumarea vitezei și a câmpului static scăzut înseamnă că
T μ ν ≈ d i a g (T 00 , 0 , 0 , 0) ≈ d i a g (ρ c 4 , 0 , 0 , 0) , (\displaystyle T_(\mu\nu)\ok\mathrm (diag)\left(t_ (00),0,0,0\right)\ok\mathrm(diag)\left(\rho c^(4) 0,0,0\right)\,.) T = g α β T α β ≈ g 00 T 00 ≈ − 1 c 2 ρ c 4 = − ρ c 2(\displaystyle T=g^(\alpha \beta)T_(\alpha \beta)\ about r^ (00)t_(00)\ok -(\frac(1)(c^(2)))\rho c^(4)=-\rho c^(2)\,)prin urmare
K (T 00 - 1 2 T g 00) ≈ K (ρ c 4 - 1 2 (- ρ c 2) (- c 2)) = 1 2 K ρ c 4 , (\displaystyle K \left(T_( 00) )-(\tfrac(1)(2))Tg_(00)\right)\ok K\left(\ro c^(4)-(\tfrac(1)(2))\left(-\rho c ^(2)\dreapta)\stanga(-c^(2)\dreapta)\dreapta)=(\tfrac(1)(2))K\Rho c^(4)\,.)Din definiția tensorului Ricci
R 00 = Γ 00 , ρ ρ − Γ ρ 0 , 0 ρ + Γ ρ λ ρ Γ 00 λ - Γ 0 λ ρ Γ ρ 0 λ , (\displaystyle R_(00)=\Gamma _(00,\Rho) ^(\)-ro\Gamma _(\Rho 0,0)^(\Rho)+\Gamma _(\Rho\Lambda)^(\Rho)\Gamma _(00)^(\Lambda)-\ Gamma_ (0\Lambda)^(\Rho)\Gamma_(\Rho 0)^(\Lambda)).Ipotezele noastre simplificatoare fac să dispară pătratele Γ împreună cu derivatele de timp
R 00 ≈ Γ 00 , i i, (\displaystyle R_(00)\oc\gamma _(00,i)^(i)\,.)Combinând ecuațiile de mai sus împreună
Φ , i i ≈ Γ 00 , i i ≈ r 00 = K (T 00 - 1 2 T g 00) ≈ 1 2 K ρ s 4 (\displaystyle \Phi _(,II)\aprox \Gamma _(00, i) ^(i)\aproximativ R_(00)=K\left(T_(00)-(\tfrac(1)(2)) Tg_(00)\right)\about(\tfrac(1)(2)) K \Rho c^(4))care se reduce la ecuaţia câmpului newtonian cu condiţia
1 2 k ρ c 4 = 4 π g ρ (\displaystyle (\tfrac (1)(2)) k\rho c^(4)=4\r c\rho \,)care va avea loc dacă
K = 8 π g c 4 , (\displaystyle k=(\frac (8\r g)(c^(4)))\,.)Ecuații câmpului de vid
Monedă elvețiană din 1979, care arată ecuațiile câmpului de vid cu constantă cosmologică zero (sus).
Dacă tensorul energie-impuls T μν este zero în regiunea luată în considerare, atunci ecuațiile de câmp se mai numesc și ecuații de câmp de vid. Prin setare T= 0 în , ecuațiile de vid pot fi scrise ca
R μ ν = 0 , (\displaystyle R_(\mu \nu)=0\,.)În cazul unei constante cosmologice nenule, ecuațiile cu dispariție
este folosit, atunci se numesc ecuațiile de câmp ale lui Einstein Ecuații Einstein-Maxwell(cu constanta cosmologică L luată egală cu zero în teoria relativității obișnuite):
R α β − 1 2 R G α β + Λ G α β = 8 π G c 4 μ 0 (F α ψ F ψ β + 1 4 G α β F ψ τ F ψ τ) , (\displaystyle R^ (\ alfa \beta) - (\tfrac (1) (2)) rg^(\alpha \beta) + \lambda g^(\alpha \beta) = (\frac (8\p g ) (c^( 4)\ mu_(0)))\left((F^(\alpha))^(\Psi)(F_(\Psi))^(\beta)+(\tfrac(1)(4)) g^(\alpha \beta)F_(\Psi\tau)F^(\Psi\tau)\dreapta).)Studiul soluțiilor exacte ale ecuațiilor lui Einstein este una dintre activitățile cosmologiei. Acest lucru duce la predicția găurilor negre și a diferitelor modele pentru evoluția universului.
De asemenea, se pot descoperi noi soluții la ecuațiile de câmp ale lui Einstein folosind metoda cadrului ortonormal, așa cum a fost lansată de Ellis și MacCallum. Cu această abordare, ecuațiile câmpului Einstein sunt reduse la un set de ecuații diferențiale obișnuite, neliniare, cuplate. După cum au discutat de Hsu și Wainwright, soluțiile auto-similare cu ecuațiile de câmp ale lui Einstein sunt puncte fixe în sistemul dinamic rezultat. Noi soluții au fost descoperite folosind aceste metode de către Leblanc și Coley și Haslam. .
formă polinomială
S-ar putea crede că EFE nu este un polinom, deoarece conțin inversul tensorului metric. Cu toate acestea, ecuațiile pot fi aranjate în așa fel încât să conțină doar tensorul metric și nu inversul acestuia. În primul rând, determinantul metricii în 4 dimensiuni poate fi scris:
det(g) = 1 24 ε α β γ δ ε κ λ μ ν g α κ g β λ g γ μ g δ ν (\displaystyle \det(g)=(\tfrac(1)(24))\ varepsilon ^(\alpha\beta\gamma\delta)\varepsilon^(\kappa\lambda\mu\nu)g_(\alpha\kappa)_(g\beta\lambda)_(g\gamma\mu) _(r \delta\nu)\,)folosind simbolul Levi-Civita; iar valorile inverse în 4 dimensiuni pot fi scrise ca:
g α κ = 1 6 ε α β γ δ ε κ λ μ ν g β λ g γ μ g δ ν ye (g) , (\displaystyle g^(\alpha \kappa)=(\frac ((\tfrac ( 1) (6)) \varepsilon^(\alpha\beta\gamma\delta)\varepsilon^(\kappa\lambda\mu\nu)_(r\beta\lambda)_(r\gamma\mu) _( r\delta\nu)) (\det(r)))\,.)Înlocuind această definiție a metricii inverse în ecuație, apoi înmulțind ambele părți ale lui ( G) până când numitorul din ecuațiile polinomiale ale tensorului metric și derivatele sale prima și a doua rămân în rezultate. Acțiunea din care sunt derivate ecuațiile poate fi scrisă și ca polinom folosind o redefinire adecvată a câmpului.
referință externă
| Wikibooks are cărți |
Putem trece acum la derivarea ecuațiilor câmpului gravitațional. Aceste ecuații sunt obținute din principiul celei mai mici acțiuni, unde sunt acțiunile pentru câmpul gravitațional și respectiv materie 2). Câmpul gravitațional este acum supus variației, adică cantitățile
Să calculăm variația. Avem:
Înlocuind aici, conform (86.4),
Pentru a calcula, observăm că, deși mărimile nu constituie un tensor, variațiile lor formează un tensor. Într-adevăr, există o schimbare a vectorului în timpul translației paralele (vezi (85.5)) de la un punct P la infinit aproape de acesta P. Prin urmare, există o diferență de doi vectori obținuți, respectiv, cu două translații paralele (cu nevariate și variat Tu) de la punctul P la același punct P. Diferența a doi vectori în același punct este un vector și, prin urmare, este un tensor.
Să folosim un sistem de coordonate geodezic local. Apoi, în acest moment, toate. Folosind expresia (92.7) pentru că avem (reținând că primele derivate ale lui sunt acum egale cu zero):
Deoarece există un vector, putem scrie relația rezultată într-un sistem de coordonate arbitrar sub forma
(înlocuind cu și folosind (86.9)). În consecință, a doua integrală din dreapta în (95.1) este egală cu
iar prin teorema Gauss poate fi transformată într-o integrală de peste o suprafață care acoperă întregul -volum.
Deoarece variația câmpului este zero pe limitele de integrare, acest termen dispare. Deci variația este
Rețineți că dacă am plecat de la expresie
pentru acțiunea câmpului, atunci am obține, după cum este ușor de văzut,
Comparând aceasta cu (95.2), găsim următoarea relație:
Pentru a varia acțiunea materiei, se poate scrie conform (94.5)
unde este tensorul energie-impuls al materiei (inclusiv câmpul electromagnetic). Interacțiunea gravitațională joacă un rol numai pentru corpurile cu o masă suficient de mare (datorită micii constantei gravitaționale). Prin urmare, în studiul câmpului gravitațional, de obicei avem de-a face cu corpuri macroscopice. Prin urmare, expresia (94.9) trebuie de obicei scrisă pentru.
Astfel, din principiul celei mai mici acțiuni găsim:
de unde din cauza arbitrarului
sau în componente mixte
Acestea sunt ecuațiile dorite ale câmpului gravitațional - ecuațiile de bază ale teoriei generale a relativității. Ele se numesc ecuațiile lui Einstein.
Simplificand (95.6) prin indicii i si k, gasim:
Prin urmare, ecuațiile câmpului pot fi scrise și sub formă
Ecuațiile lui Einstein sunt neliniare. Prin urmare, principiul suprapunerii nu este valabil pentru câmpurile gravitaționale. Acest principiu este valabil doar aproximativ pentru câmpurile slabe care permit liniarizarea ecuațiilor Einstein (acestea includ, în special, câmpurile gravitaționale în limita newtoniană clasică, vezi § 99).
În spațiul gol și ecuațiile câmpului gravitațional sunt reduse la ecuații
Amintiți-vă că acest lucru nu înseamnă deloc că spațiul-timp gol este plat - acest lucru ar necesita îndeplinirea unor condiții mai puternice
Tensorul energie-impuls al câmpului electromagnetic are proprietatea că (vezi (33.2)). Având în vedere (95.7) rezultă că în prezența unui singur câmp electromagnetic fără mase, curbura scalară a spațiului-timp este egală cu zero.
După cum știm, divergența tensorului energie-impuls este zero:
Prin urmare, divergența părții stângi a ecuației (95.6) trebuie să fie, de asemenea, egală cu zero. Acest lucru este într-adevăr așa în virtutea identității (92.10).
Astfel, ecuațiile (95.10) sunt conținute în mod esențial în ecuațiile de câmp (95.6). Pe de altă parte, ecuațiile (95.10), care exprimă legile de conservare a energiei și a impulsului, conțin ecuațiile de mișcare ale sistemului fizic căruia îi aparține tensorul energie-impuls considerat (adică, ecuațiile de mișcare ale particulelor materiale sau ale a doua pereche de ecuații lui Maxwell).
Astfel, ecuațiile câmpului gravitațional conțin și ecuații pentru materia însăși, care creează acest câmp. Prin urmare, distribuția și mișcarea materiei care creează câmpul gravitațional nu pot fi în niciun caz date în mod arbitrar. Dimpotrivă, ele trebuie determinate (prin rezolvarea ecuațiilor câmpului în condiții inițiale date) simultan cu câmpul însuși creat de această materie.
Să fim atenți la diferența fundamentală dintre această situație și ceea ce am avut în cazul unui câmp electromagnetic. Ecuațiile acestui câmp (ecuațiile lui Maxwell) conțin doar ecuația de conservare a sarcinii totale (ecuația de continuitate), dar nu și ecuațiile de mișcare ale sarcinilor în sine. Prin urmare, distribuția și mișcarea sarcinilor pot fi stabilite în mod arbitrar, atâta timp cât sarcina totală este constantă. Specificând această distribuție a sarcinilor, atunci câmpul electromagnetic creat de acestea este determinat prin intermediul ecuațiilor lui Maxwell.
Cu toate acestea, trebuie clarificat faptul că pentru a determina pe deplin distribuția și mișcarea materiei în cazul unui câmp gravitațional, este necesar să se adauge la ecuațiile Einstein (neconținute, desigur, în ele) ecuația de stare a materie, adică o ecuație care relaționează presiunea și densitatea una cu cealaltă. Această ecuație trebuie specificată împreună cu ecuațiile de câmp.
Patru coordonate pot fi supuse unei transformări arbitrare. Prin această transformare, patru din cele zece componente ale tensorului pot fi alese în mod arbitrar. Prin urmare, doar șase dintre mărimi sunt funcții independente necunoscute.În plus, cele patru componente ale tensorului energie-impuls materie cu 4 viteze sunt legate între ele prin relația , astfel încât doar trei dintre ele sunt independente. Astfel, avem, așa cum ar trebui, zece ecuații de câmp (95.5) pentru zece mărimi necunoscute: șase din componente, trei din componente și densitatea materiei (sau presiunea acesteia). Pentru un câmp gravitațional în vid, rămân doar șase mărimi (componente) necunoscute și, în consecință, numărul ecuațiilor de câmp independente scade: zece ecuații sunt conectate prin patru identități (92.10).
Remarcăm câteva caracteristici ale structurii ecuațiilor lui Einstein. Ele reprezintă un sistem de ecuații diferențiale în derivate parțiale de ordinul doi. Cu toate acestea, ecuațiile nu includ derivatele a doua timp ale tuturor celor 10 componente. Într-adevăr, din (92.1) reiese clar că derivatele a doua de timp sunt cuprinse numai în componentele tensorului de curbură, unde intră ca termen (punctul denotă diferențierea față de ); derivatele secunde ale componentelor tensorului metric lipsesc cu totul. Prin urmare, este clar că tensorul , obținut prin simplificare din tensorul de curbură, și odată cu el ecuațiile (95.5) conțin și derivate a doua de timp a doar șase componente spațiale
De asemenea, este ușor de observat că aceste derivate intră numai în ecuațiile -(95.6), adică în ecuații
(95,11)
Ecuațiile și , adică ecuațiile
conțin numai derivate de ordinul întâi în raport cu timpul. Acest lucru poate fi verificat prin verificarea faptului că, atunci când sunt formate prin valori de pliere, componentele vizualizării scad. Este chiar mai ușor să vezi acest lucru din identitate (92.10) scriind-o în formă
Cele mai mari derivate temporale incluse în partea dreaptă a acestei egalități sunt derivatele secunde (care apar în cantitățile în sine). Deoarece (95.13) este o identitate, atunci partea stângă a acesteia trebuie, prin urmare, să conțină derivate în raport cu timpul nu mai mari decât ordinul doi. Dar o singură diferențiere. în timp apare deja în ea explicit; prin urmare, expresiile în sine pot conține derivate în raport cu timpul nu mai mari decât primul ordin.
Mai mult, părțile din stânga ecuațiilor (95.12) nu conțin nici primele derivate (ci numai derivate). Într-adevăr, dintre toate aceste derivate conțin numai , iar aceste cantități, la rândul lor, intră numai în componentele tensorului de curbură de forma , care, după cum știm deja, renunță la formarea părților stângi ale ecuațiilor (95.12).
Dacă cineva este interesat să rezolve ecuațiile Einstein în condiții inițiale date (în timp), atunci se pune întrebarea câte cantități pot fi date în mod arbitrar distribuții spațiale inițiale.
Condițiile inițiale pentru ecuațiile de ordinul doi trebuie să includă distribuțiile inițiale atât ale mărimilor diferențiabile în sine, cât și ale derivatelor lor primare. Cu toate acestea, deoarece în acest caz ecuațiile conțin derivate secundare de numai șase, atunci în condițiile inițiale nu pot fi specificate toate în mod arbitrar. Deci, este posibil să se stabilească (împreună cu viteza și densitatea materiei) valorile inițiale ale funcțiilor și , după care valorile inițiale admisibile ale ; în ecuațiile (95.11) valorile inițiale vor rămâne în continuare arbitrare
I-au trebuit zece ani lui Einstein să generalizeze teoria relativității speciale (1905) la teoria relativității generale (1916). a făcut posibil să realizăm că gravitația este oarecum legată de curbura . Ecuațiile lui Einstein culminează cu formularea cantitativă exactă a acestui fapt:
\(\displaystyle R_(\mu \nu)-\frac(1)(2)Rg_(\mu \nu)=\frac(8\pi G)(c^(4))T_(\mu \nu) \)
Ele sunt scrise folosind o matematică nemaivăzută până acum în ecuațiile fizicii – geometria riemanniană. Literele indexate nu sunt altceva decât tensori: \(\displaystyle R_(\mu \nu)\) este tensorul Ricci, \(\displaystyle g_(\mu \nu)\) este tensorul metric, \(\displaystyle T_( \ mu \nu)\) este tensorul energie-impuls. Calculul tensorului în sine a apărut cu doar câțiva ani mai devreme decât teoria relativității.
Indicii \(\displaystyle\mu \) și \(\displaystyle \nu\) în ecuațiile lui Einstein pot lua valori de la unu până la patru, respectiv, tensorii pot fi reprezentați prin matrice 4x4. Deoarece sunt simetrice pe diagonală, doar zece componente sunt independente una de cealaltă. Astfel, în formă extinsă, avem un sistem de zece ecuații diferențiale neliniare - ecuațiile lui Einstein.
Sarcina rezolvării ecuațiilor Einstein este de a găsi o formă explicită \(\displaystyle g_(\mu \nu)\) care să caracterizeze complet geometria spațiu-timp. Datele inițiale sunt tensorul energie-impuls \(\displaystyle T_(\mu \nu)\) și condițiile inițiale/la limită. Tensorul Ricci \(\displaystyle R_(\mu \nu)\) și curbura gaussiană scalară \(\displaystyle R\) sunt funcții ale tensorului metric și ale derivatelor sale și caracterizează curbura spațiu-timp. Conceptual, ecuațiile lui Einstein pot fi reprezentate astfel:
geometrie (partea stângă) = energie (partea dreaptă)
Partea dreaptă a ecuațiilor lui Einstein sunt condițiile inițiale sub forma unei distribuții de masă (rețineți, \(\displaystyle E=mc^(2)\)), iar partea stângă este mărimi pur geometrice. Adică, ecuațiile spun că masa (energia) afectează geometria spațiului-timp.
Geometria curbă, la rândul ei, determină traiectoriile de mișcare ale corpurilor materiale. Adică, conform lui Einstein, gravitația este spațiu-timp. Doar că, spre deosebire de teoria lui Newton, nu este un obiect static, neschimbat, ci poate fi deformat, îndoit.
Tensorul metric - soluția ecuațiilor lui Einstein - este în general diferit în diferite puncte din spațiu, adică este o funcție de coordonate. De fapt, spațiul-timp însuși devine un obiect (câmp) dinamic, similar cu alte mărimi fizice, cum ar fi câmpul electromagnetic.
În exterior, ecuațiile lui Einstein nu sunt deloc asemănătoare cu legea gravitației universale a lui Newton:
\(\displaystyle F=G\frac(mM)(r^2)\)
Dar în aproximarea maselor și vitezelor mici, ei repetă rezultatele teoriei newtoniene. Datorită numeroaselor componente tensoare, calculele analitice sunt extrem de complicate, deoarece acum toată modelarea se poate face pe calculator.
În cadrul relativității generale, există efecte care sunt absente în gravitația newtoniană, de exemplu, forța cadrelor de referință în apropierea corpurilor masive în rotație sau undele gravitaționale recent descoperite experimental.
Gravitația rămâne singurul domeniu pentru care nu a fost încă construită o teorie cuantică adecvată. Chiar și pentru quarci (constituenți ai neutronilor și protonilor), prezisă teoretic abia în anii 1960, teoria cuantică a câmpului a fost construită de mult.
Acest lucru se datorează faptului că toate mărimile fizice sunt de obicei exprimate ca funcții de coordonate spațiale și timp \(\displaystyle x=f(t)\). Ce să faci când spațiul \(\displaystyle x\) și timpul \(\displaystyle t\) își pierd sensul clasic? În esență, sarcina este de a construi o teorie cuantică a spațiului-timp în sine. Abordările naive care introduc o lungime minimă și un interval de timp minim sunt insuportabile din cauza
Toate încercările de a explica fenomenul efectului fotoelectric pe baza teoriei ondulatorii luminii s-au dovedit a fi inutile. Explicația efectului fotoelectric a fost dată de A. Einstein în 1905. Einstein a considerat legile experimentale ale efectului fotoelectric din punctul de vedere al teoriei cuantice a luminii. După cum știți, pentru a scoate un electron dintr-un metal, este necesar să cheltuiți ceva energie. Energia necesară pentru a ejecta un electron dintr-un metal se numește funcție de lucru. Energia cuantumului incident este cheltuită pe funcția de lucru și pe energia cinetică a electronului ejectat:
Unde hv este energia cuantumului incident, A- funcția de lucru, - energia cinetică a unui electron scoasă de pe suprafața metalului.
Formula (4) se numește ecuația Einstein pentru efectul fotoelectric. Această ecuație explică legile experimentale de bază și forma caracteristicii curent-tensiune a fotocelulei (Fig. 19 și 20).
Intensitatea luminii, conform teoriei cuantice, este proporțională cu numărul de cuante de energie ale luminii incidente. Prin urmare, numărul de electroni ejectați crește odată cu creșterea fluxului luminos și, în consecință, crește curentul de saturație (Fig. 19).
Energia cinetică maximă a electronilor ejectați și, prin urmare, potențialul de întârziere U h, se determină conform formulei (3) numai de frecvența luminii și de funcția de lucru. Funcția de lucru A determinat de tipul de metal. Prin urmare, odată cu creșterea frecvenței luminii incidente, crește energia cinetică a electronilor ejectați și potențialul de întârziere. U h (Fig. 20). Energia cinetică nu depinde de mărimea fluxului luminos (vezi formularul. 3).
Pentru fiecare substanță, efectul fotoelectric se observă numai dacă frecvența v lumina este mai mare decât valoarea minimă v 0 . Din ecuația lui Einstein rezultă că, pentru a scoate electroni dintr-un metal, este necesar să se consume funcția de lucru - A. Prin urmare, pentru a ejecta un electron, energia cuantică trebuie să fie mai mare decât această funcție de lucru. hv>A. Frecvența limită v 0 (marginea roșie a efectului fotoelectric) se exprimă prin: v 0 =A/h. Pentru că funcția de muncă A determinat de tipul de substanță, frecvența limită v 0 (chenar roșu) este diferit pentru diferite substanțe. Pentru zinc, marginea roșie corespunde lungimii de undă λ=3,7·10 -7 m (regiune ultravioletă). Reamintim că lungimea de undă a luminii este legată de frecvență prin următoarea relație λ 0 = c/v 0 .
Întrebări
1. Desenați dependența energiei cinetice a fotoelectronilor ejectați de mărimea fluxului de lumină incidentă pentru frecvențe v 1 și v 2, și v 1 > v 2 .
2. Se aplică un potențial de întârziere între catod și anod, astfel încât fotoelectronii ejectați zboară doar jumătate din distanța dintre anod și catod. Vor putea ajunge la anod dacă distanța dintre catod și anod este înjumătățită?
