≡×قائمة طعام

• بصلح
• بصلح
• تصميم داخلي
• حول كل شيء
• حول السباكة

كيف تجد التقدم الحسابي. التقدم الحسابي - التسلسل الرقمي

شخص ما يتعامل مع كلمة "التقدم" بحذر ، كمصطلح معقد للغاية من الأقسام رياضيات أعلى. وفي الوقت نفسه ، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزالون). ولفهم جوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "فهم الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب ، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل رقمي رياضي

من المعتاد استدعاء التسلسل العددي لسلسلة من الأرقام ، لكل منها رقمه الخاص.

و 1 هو العضو الأول في التسلسل ؛

و 2 هو العضو الثاني في التسلسل ؛

و 7 هو العضو السابع في التسلسل.

و n هو العضو التاسع في التسلسل ؛

ومع ذلك ، لا تهمنا أي مجموعة من الأرقام والأرقام التعسفية. سنركز اهتمامنا على التسلسل العددي الذي ترتبط فيه قيمة العضو رقم n برقمه الترتيبي من خلال تبعية يمكن صياغتها بشكل واضح رياضيًا. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي بعض وظائف n.

أ - قيمة عضو في التسلسل العددي ؛

n هو رقمه التسلسلي ؛

f (n) هي دالة حيث يكون الترتيب الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادة ما يسمى التقدم الحسابي بالتسلسل العددي الذي يكون فيه كل مصطلح لاحق أكبر (أقل) من السابق بنفس الرقم. صيغة العضو التاسع في المتوالية الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي المتوالية العددية;

أ ن + 1 - صيغة الرقم التالي ؛

د - فرق (رقم معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d> 0) ، فسيكون كل عضو لاحق في السلسلة قيد الدراسة أكبر من السابق ، وسيزداد هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه ، من السهل معرفة سبب تسمية التسلسل الرقمي بـ "زيادة".

في الحالات التي يكون فيها الاختلاف سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحدد

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة بعض المصطلحات التعسفية أ ن للتقدم الحسابي. يمكنك القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء التقدم الحسابي على التوالي ، من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك ، فهذه الطريقة ليست مقبولة دائمًا إذا كان من الضروري ، على سبيل المثال ، إيجاد قيمة المصطلح خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سيستغرق الحساب التقليدي وقتًا طويلاً. ومع ذلك ، يمكن التحقيق في تقدم حسابي معين باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للمصطلح التاسع: يمكن تحديد قيمة أي عضو في التقدم الحسابي كمجموع للعضو الأول في التقدم مع اختلاف التقدم ، مضروبًا في عدد العضو المطلوب ، ناقص واحد .

الصيغة عالمية لزيادة وتناقص التقدم.

مثال لحساب قيمة عضو معين

لنحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة العضو رقم n للتقدم الحسابي.

الشرط: هناك تقدم حسابي مع المعلمات:

أول عضو في التسلسل هو 3 ؛

الفرق في سلسلة الأعداد هو 1.2.

المهمة: من الضروري إيجاد قيمة 214 حدًا

الحل: لتحديد قيمة عضو معين ، نستخدم الصيغة:

أ (ن) = أ 1 + د (ن -1)

استبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير ، لدينا:

أ (214) = أ 1 + د (ن -1)

أ (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الجواب: العضو 214 في التسلسل يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - لا يستغرق الحل بأكمله أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من الأعضاء

في كثير من الأحيان ، في سلسلة حسابية معينة ، يلزم تحديد مجموع قيم بعض مقاطعها. كما أنه لا يحتاج إلى حساب قيم كل مصطلح ثم تلخيصها. هذه الطريقة قابلة للتطبيق إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. في حالات أخرى ، يكون استخدام الصيغة التالية أكثر ملاءمة.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي من 1 إلى n يساوي مجموع العضوين الأول والثاني ، مضروبًا في رقم العضو n ومقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة العضو رقم n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة ، نحصل على:

مثال على الحساب

على سبيل المثال ، لنحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من التسلسل هو صفر ؛

الفرق هو 0.5.

في المشكلة ، يلزم تحديد مجموع شروط السلسلة من 56 إلى 101.

حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مجموع التقدم:

ق (ن) = (2 ∙ a1 + د ∙ (ن -1)) ∙ ن / 2

أولاً ، نحدد مجموع قيم 101 عضو في التقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2 0 + 0.5 (101-1)) 101/2 = 2525

من الواضح ، من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101 ، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2 0 + 0.5 (55-1)) 55/2 = 742.5

إذن ، مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 \ u003d 2525 - 742.5 \ u003d 1،782.5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال ، دعنا نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - مقياس التاكسي (عداد سيارة الأجرة). لنفكر في مثل هذا المثال.

ركوب سيارة أجرة (التي تشمل 3 كم) يكلف 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعنا نتجاهل أول 3 كيلومترات ، سعرها مشمول في تكلفة الهبوط.

30-3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو هو عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منه الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هي المجموع.

سيساوي المصطلح الأول في هذه المشكلة 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

العدد الذي يهمنا - قيمة العضو (27 + 1) من التقدم الحسابي - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر 27 - 27.999 ... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28-1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل تعسفي على الصيغ التي تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك ، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك ، يتم استخدام السلاسل العددية المختلفة بنجاح في الإحصاء وفروع الرياضيات التطبيقية الأخرى.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدل تغير كبير مقارنة بالمعدل الحسابي. ليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب ، في كثير من الأحيان ، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة ، على سبيل المثال ، مرض أثناء الوباء ، يقولون إن العملية تتطور بشكل كبير.

يختلف العضو N من سلسلة الأرقام الهندسية عن العنصر السابق في أنه مضروب في عدد ثابت - المقام ، على سبيل المثال ، العضو الأول هو 1 ، والمقام هو 2 ، على التوالي ، ثم:

ن = 1: 1 ∙ 2 = 2

ن = 2: 2 2 = 4

ن = 3: 4 ∙ 2 = 8

ن = 4: 8 ∙ 2 = 16

ن = 5:16 ∙ 2 = 32 ،

ب ن - قيمة العضو الحالي للتقدم الهندسي ؛

ب ن + 1 - صيغة العضو التالي في التقدم الهندسي ؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم ، فإن الشكل الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما في حالة الحساب ، فإن للتقدم الهندسي صيغة لقيمة العضو التعسفي. أي حد من رقم n للتقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب المصطلح الأول ومقام التقدم إلى قوة n مخفضًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي مع الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. أوجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 \ u003d ب 1 ∙ س (5-1) \ u003d 3 ∙ 1.5 4 \ u003d 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من الأعضاء باستخدام صيغة خاصة. يساوي مجموع أول n من أعضاء التقدم الهندسي الفرق بين ناتج العضو التاسع في التقدم ومقامه والعضو الأول في التقدم ، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه ، فستأخذ قيمة مجموع n أول أعضاء من سلسلة الأرقام المدروسة الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالمصطلح الأول الذي يساوي 1. والمقام يساوي 3. لنجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

ق 8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3280

قبل أن نبدأ في اتخاذ القرار مشاكل التقدم الحسابي، ضع في اعتبارك ماهية التسلسل الرقمي ، لأن التقدم الحسابي هو حالة خاصة من التسلسل الرقمي.

التسلسل الرقمي هو مجموعة عددية ، لكل عنصر رقم تسلسلي خاص به. تسمى عناصر هذه المجموعة أعضاء التسلسل. يُشار إلى الرقم الترتيبي لعنصر التسلسل بواسطة فهرس:

العنصر الأول في التسلسل ؛

العنصر الخامس في التسلسل.

- العنصر "nth" في التسلسل ، أي العنصر "يقف في قائمة الانتظار" في الرقم ن.

هناك تبعية بين قيمة عنصر التسلسل ورقمه الترتيبي. لذلك ، يمكننا اعتبار التسلسل كدالة تكون وسيطتها هي الرقم الترتيبي لعنصر من عناصر التسلسل. بعبارة أخرى ، يمكن للمرء أن يقول ذلك التسلسل هو دالة للحجة الطبيعية:

يمكن تحديد التسلسل بثلاث طرق:

1 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام جدول.في هذه الحالة ، نقوم ببساطة بتعيين قيمة كل عضو في التسلسل.

على سبيل المثال ، قرر شخص ما القيام بإدارة الوقت الشخصية ، والبدء بحساب مقدار الوقت الذي يقضيه في فكونتاكتي خلال الأسبوع. من خلال كتابة الوقت في جدول ، سيحصل على تسلسل يتكون من سبعة عناصر:

يحتوي السطر الأول من الجدول على رقم يوم الأسبوع ، والثاني - الوقت بالدقائق. نرى أنه ، يوم الاثنين ، قضى شخص ما 125 دقيقة في فكونتاكتي ، أي يوم الخميس - 248 دقيقة ، أي يوم الجمعة ، 15 دقيقة فقط.

2 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة العضو رقم n.

في هذه الحالة ، يتم التعبير عن اعتماد قيمة عنصر التسلسل على رقمه مباشرة كصيغة.

على سبيل المثال ، إذا ، إذن

لإيجاد قيمة عنصر تسلسل برقم معين ، نستبدل رقم العنصر في صيغة العضو رقم n.

نفعل الشيء نفسه إذا احتجنا إلى إيجاد قيمة دالة إذا كانت قيمة الوسيطة معروفة. نستبدل قيمة الوسيطة بدلاً من ذلك في معادلة الوظيفة:

إذا ، على سبيل المثال ، ، الذي - التي

مرة أخرى ، ألاحظ أنه في تسلسل ، على عكس دالة رقمية عشوائية ، يمكن أن يكون الرقم الطبيعي فقط حجة.

3 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة تعبر عن اعتماد قيمة عضو التسلسل بالرقم n على قيمة الأعضاء السابقين. في هذه الحالة ، لا يكفي أن نعرف فقط رقم عضو التسلسل لإيجاد قيمته. نحتاج إلى تحديد العضو الأول أو أول عدد قليل من الأعضاء في التسلسل.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التسلسل ,

يمكننا إيجاد قيم أعضاء المتسلسلة في تسلسلابتداء من الثالث:

أي أنه في كل مرة للعثور على قيمة العنصر التاسع في المتسلسلة ، نعود إلى العنصرين السابقين. تسمى طريقة التسلسل هذه متكرر، من الكلمة اللاتينية متكرر- عد.

الآن يمكننا تحديد التقدم الحسابي. التقدم الحسابي هو حالة خاصة بسيطة من التسلسل العددي.

المتوالية العددية يسمى تسلسل عددي ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، مضافًا بنفس الرقم.

الرقم يسمى الفرق في التقدم الحسابي. يمكن أن يكون الاختلاف في التقدم الحسابي موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.

إذا كان العنوان = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} في ازدياد.

على سبيل المثال ، 2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ أحد عشر؛...

إذا ، فإن كل مصطلح من التقدم الحسابي أقل من السابق ، والتقدم هو يتضاءل.

على سبيل المثال ، 2 ؛ -1 ؛ -4 ؛ -7 ؛ ...

إذا ، فإن جميع أعضاء التقدم متساوون مع نفس الرقم ، والتقدم هو ثابت.

على سبيل المثال ، 2 ؛ 2 ؛ 2 ؛ 2 ؛ ...

الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي:

دعونا نلقي نظرة على الصورة.

نحن نرى ذلك

، وفي نفس الوقت

بإضافة هاتين المتعادلتين ، نحصل على:

.

قسّم طرفي المعادلة على 2:

إذن ، كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي لاثنين من المتجاورين:

علاوة على ذلك ، منذ ذلك الحين

، وفي نفس الوقت

، الذي - التي

، وبالتالي

يبدأ كل عضو في التقدم الحسابي بالعنوان = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

صيغة العضو ال.

نرى أنه بالنسبة لأعضاء التقدم الحسابي ، فإن العلاقات التالية تصمد:

وأخيرا

حصلنا صيغة المصطلح n.

مهم!يمكن التعبير عن أي عضو في التقدم الحسابي من حيث و. بمعرفة المصطلح الأول وفرق التقدم الحسابي ، يمكنك العثور على أي من أعضائه.

مجموع n من الأعضاء للتقدم الحسابي.

في التقدم الحسابي التعسفي ، تكون مجموع المصطلحات المتباعدة بشكل متساوٍ عن المتطرفين متساوية مع بعضها البعض:

ضع في اعتبارك التقدم الحسابي مع n من الأعضاء. دع مجموع n من أعضاء هذا التقدم يكون مساويًا لـ.

رتب شروط التقدم أولاً بترتيب تصاعدي للأرقام ، ثم بترتيب تنازلي:

دعنا نجمعها:

المجموع في كل قوس هو ، عدد الأزواج ن.

نحن نحصل:

لذا، يمكن إيجاد مجموع n من الأعضاء للتقدم الحسابي باستخدام الصيغ:

يعتبر حل مشاكل التقدم الحسابي.

1 . يتم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة العضو التاسع: . إثبات أن هذا التسلسل هو تطور حسابي.

دعنا نثبت أن الفرق بين عضوين متجاورين في المتسلسلة يساوي نفس العدد.

لقد توصلنا إلى أن الفرق بين عضوين متجاورين في المتسلسلة لا يعتمد على عددهما وهو ثابت. لذلك ، بحكم التعريف ، هذا التسلسل هو تقدم حسابي.

2 . بالنظر إلى التقدم الحسابي -31 ؛ -27 ؛ ...

أ) ابحث عن 31 مصطلحًا للتقدم.

ب) تحديد ما إذا كان الرقم 41 مدرجًا في هذا التقدم.

أ)نحن نرى ذلك ؛

دعنا نكتب صيغة الحد التاسع لتقدمنا.

على العموم

في حالتنا هذه ، لهذا

آلة حاسبة على الانترنت.
حل التقدم الحسابي.
معطى: أ ن ، د ، ن
البحث: أ 1

يعثر برنامج الرياضيات هذا على \ (a_1 \) من التقدم الحسابي بناءً على الأرقام المحددة من قبل المستخدم \ (a_n ، d \) و \ (n \).
يمكن تحديد الأرقام \ (a_n \) و \ (d \) ليس فقط كأعداد صحيحة ، ولكن أيضًا ككسور. علاوة على ذلك ، يمكن إدخال رقم كسري في شكل كسر عشري (\ (2.5 \)) وفي النموذج جزء مشترك(\ (- 5 \ فارك (2) (7) \)).

لا يعطي البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية إيجاد حل.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية مدارس التعليم العاماستعدادا ل مراقبة العملوالامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل الامتحان ، يتحكم الآباء في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد إنجازه في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلالرياضيات أم الجبر؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام ، نوصيك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال الأرقام

يمكن تحديد الأرقام \ (a_n \) و \ (d \) ليس فقط كأعداد صحيحة ، ولكن أيضًا ككسور.
يمكن أن يكون الرقم \ (n \) عددًا صحيحًا موجبًا فقط.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
يمكن فصل الأجزاء الصحيحة والكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك الدخول الكسور العشرية 2.5 أو 2.5

قواعد إدخال الكسور العادية.
فقط عدد صحيح يمكن أن يعمل كبسط ومقام وجزء صحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر عددي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
مدخل:
النتيجة: \ (- \ frac (2) (3) \)

يتم فصل الجزء الصحيح عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
مدخل:
النتيجة: \ (- 1 \ frac (2) (3) \)

أدخل الأرقام أ ن ، د ، ن

ابحث عن 1

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل JavaScript في المستعرض الخاص بك.
يجب تمكين JavaScript حتى يظهر الحل.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، يتم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

تسلسل رقمي

غالبًا ما يستخدم الترقيم في الممارسة اليومية. مختلف البنودللإشارة إلى ترتيبهم. على سبيل المثال ، المنازل في كل شارع مرقمة. في المكتبة ، يتم ترقيم اشتراكات القارئ ثم ترتيبها بترتيب الأرقام المخصصة في خزائن الملفات الخاصة.

في بنك الادخارمن خلال رقم الحساب الشخصي للمودع ، يمكنك بسهولة العثور على هذا الحساب ومعرفة مساهمته. يجب أن يكون هناك وديعة بقيمة 1 روبل في الحساب رقم 1 ، وديعة 2 روبل في الحساب رقم 2 ، إلخ. اتضح التسلسل العددي
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن
حيث N هو عدد جميع الحسابات. هنا ، يتم تعيين رقم n لكل رقم طبيعي n من 1 إلى N.

الرياضيات أيضا تدرس التسلسلات العددية اللانهائية:
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن ، ....
الرقم 1 يسمى أول عضو في التسلسل، رقم أ 2 - العضو الثاني في التسلسل، رقم أ 3 - العضو الثالث في التسلسلإلخ.
الرقم n يسمى nth (nth) عضو في التسلسل، والعدد الطبيعي n هو رقم.

على سبيل المثال ، في سلسلة من المربعات الأعداد الطبيعية 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، ... ، ن 2 ، (ن + 1) 2 ، ... و 1 = 1 هو العضو الأول في التسلسل ؛ و n = n 2 هي العضو التاسعتسلسل. a n + 1 = (n + 1) 2 هو العضو (n + 1) th (en بالإضافة إلى الأول) في التسلسل. في كثير من الأحيان يمكن تحديد تسلسل بصيغة حده التاسع. على سبيل المثال ، تعطي الصيغة \ (a_n = \ frac (1) (n)، \؛ n \ in \ mathbb (N) \) التسلسل \ (1، \؛ \ frac (1) (2)، \؛ \ frac (1) (3) ، \ ؛ \ frac (1) (4) ، \ النقاط ، \ frac (1) (n) ، \ النقاط \)

المتوالية العددية

يبلغ طول العام 365 يومًا تقريبًا. أكثر القيمة الدقيقةيساوي \ (365 \ frac (1) (4) \) يومًا ، لذلك كل أربع سنوات يتراكم خطأ ليوم واحد.

لحساب هذا الخطأ ، تتم إضافة يوم إلى كل عام رابع ، وتسمى السنة الممدودة بالسنة الكبيسة.

على سبيل المثال ، في الألفية الثالثة سنوات كبيسةالسنوات هي 2004 ، 2008 ، 2012 ، 2016 ، ....

في هذا التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العضو السابق ، مضافًا بنفس الرقم 4. تسمى هذه التسلسلات التعاقب الحسابي.

تعريف.
التسلسل العددي a 1 ، a 2 ، a 3 ، ... ، a n ، ... يسمى المتوالية العددية، إذا كان لكل شيء طبيعي n المساواة
\ (أ_ (ن + 1) = أ_n + د ، \)
حيث d هو رقم ما.

يتبع من هذه الصيغة أن أ ن + 1 - أ ن = د. الرقم د يسمى الفرق المتوالية العددية.

من خلال تعريف التقدم الحسابي ، لدينا:
\ (أ_ (n + 1) = أ_n + د ، \ رباعي أ_ (ن -1) = أ_n-د ، \)
أين
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \) ، حيث \ (n> 1 \)

وبالتالي ، فإن كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للعضوين المجاورين له. هذا ما يفسر اسم التقدم "الحسابي".

لاحظ أنه إذا تم إعطاء 1 و d ، فيمكن حساب المصطلحات المتبقية للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة العودية a n + 1 = a n + d. بهذه الطريقة ، ليس من الصعب حساب المصطلحات القليلة الأولى للتقدم ، ومع ذلك ، على سبيل المثال ، بالنسبة لـ 100 ، ستكون هناك حاجة إلى الكثير من العمليات الحسابية بالفعل. عادة ، يتم استخدام صيغة المصطلح n لهذا الغرض. حسب تعريف التقدم الحسابي
\ (أ_2 = أ_1 + د ، \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d، \)
\ (a_4 = a_3 + د = a_1 + 3d \)
إلخ.
على الاطلاق،
\ (a_n = a_1 + (n-1) د ، \)
لأن المصطلح التاسعيتم الحصول على التقدم الحسابي من المصطلح الأول بإضافة (n-1) مضروبًا في الرقم d.
هذه الصيغة تسمى صيغة العضو التاسع في التقدم الحسابي.

مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي

لنجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100.
نكتب هذا المجموع بطريقتين:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100 ،
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
نضيف هذه المساواة مصطلحًا بمصطلح:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
هناك 100 حد في هذا المجموع.
لذلك ، 2S = 101 * 100 ، حيث S = 101 * 50 = 5050.

فكر الآن في تقدم حسابي تعسفي
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن ، ...
لنفترض أن S n هي مجموع أول n من هذا التقدم:
S n \ u003d a 1، a 2، a 3، ...، a n
ثم مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي هو
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)

نظرًا لأن \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) ، ثم استبدال n في هذه الصيغة ، نحصل على صيغة أخرى للبحث مجاميع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) د) (2) \)

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحد واختبارات OGE ألعاب على الإنترنت ، ألغاز بناء رسوم بيانية للوظائف قاموس إملائي لقاموس اللغة الروسية للغة العامية للشباب دليل المدارس الروسية كتالوج المدارس الثانوية في روسيا فهرس الجامعات الروسية قائمة المهام

مستوى اول

المتوالية العددية. نظرية مفصلةمع أمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل العددي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في وقت مبكر من القرن السادس وتم فهمه بمعنى أوسع على أنه تسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي انخرط فيها الإغريق القدماء.

هذا تسلسل رقمي ، كل عضو فيه يساوي التسلسل السابق ، مضافًا بنفس الرقم. يسمى هذا الرقم باختلاف التقدم الحسابي ويشار إليه.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتها؟ قارن إجاباتنا:
يكونالتقدم الحسابي - ب ، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة العضو العاشر. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لرقم التقدم حتى نصل إلى الحد العاشر من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

إذن ، العضو -th في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو احتجنا لإيجاد قيمة الحد ال عشر للتقدم؟ كان الجمع سيستغرق منا أكثر من ساعة ، وليس حقيقة أننا لم نكن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع ، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. انظر عن كثب إلى الصورة المرسومة ... بالتأكيد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا ، وهو:

على سبيل المثال ، دعنا نرى ما الذي يُكوِّن قيمة العضو رقم -th في هذا التقدم الحسابي:


بعبارة أخرى:

حاول أن تجد بهذه الطريقة بشكل مستقل قيمة عضو في هذا التقدم الحسابي.

محسوب؟ قارن إدخالاتك بالإجابة:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما أضفنا على التوالي أعضاء التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فلنضعها في الاعتبار الشكل العامواحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التدرجات الحسابية تتزايد أو تتناقص.

في ازدياد- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تنازلي- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب المصطلحات في كل من المصطلحات المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعنا نتحقق من ذلك في الممارسة.
يتم منحنا تقدمًا حسابيًا يتكون من الأرقام التالية:

منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، كنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل في تقليل التقدم الحسابي وزيادة حجمه.
حاول أن تجد العضوين -th و -th في هذا التقدم الحسابي بنفسك.

لنقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - نشتق خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أننا حصلنا على الشرط التالي:
- التقدم الحسابي ، أوجد القيمة.
إنه سهل ، كما تقول ، وابدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا إذن:

صح تماما. اتضح أننا وجدنا أولًا ، ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة ، فلا يوجد شيء معقد بشأنه ، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الحالة؟ موافق ، هناك احتمال لارتكاب أخطاء في الحسابات.
فكر الآن ، هل من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع ، نعم ، وسنحاول إخراجها الآن.

دعنا نشير إلى المصطلح المطلوب للتقدم الحسابي حيث أننا نعرف صيغة إيجاده - هذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ثم:

• العضو السابق في التقدم هو:
• الفصل التالي من التقدم هو:

دعنا نلخص الأعضاء السابقين والتاليين في التقدم:

اتضح أن مجموع الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم هو ضعف قيمة عضو التقدم الموجود بينهما. بمعنى آخر ، من أجل العثور على قيمة عضو التقدم مع القيم المعروفة السابقة والمتتالية ، من الضروري إضافتهم والقسمة على.

هذا صحيح ، لدينا نفس الرقم. دعونا نصلح المادة. احسب قيمة التقدم بنفسك ، لأنها ليست صعبة على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط ، والتي ، وفقًا للأسطورة ، واحدة من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس ، استنتجها لنفسه بسهولة ...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات ، كان المعلم مشغولًا بفحص عمل الطلاب من الفصول الأخرى ، وسأل المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من أعلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى). " ما كانت مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان كارل جاوس) بعد دقيقة الإجابة الصحيحة على المهمة ، بينما تلقى معظم زملائه في الصف المتهور بعد حسابات طويلة النتيجة الخاطئة ...

لاحظ Young Carl Gauss نمطًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من -ti أعضاء: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين للتقدم الحسابي. بالطبع ، يمكننا جمع كل القيم يدويًا ، ولكن ماذا لو احتجنا إلى إيجاد مجموع شروطها في المهمة ، كما كان يبحث عنها غاوس؟

دعونا نصور التقدم المعطى لنا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم.


حاول؟ ماذا لاحظت؟ يمين! مبالغهم متساوية

أجب الآن ، كم عدد هذه الأزواج في التقدم المعطى لنا؟ بالطبع ، بالضبط نصف كل الأرقام ، هذا هو.
بناءً على حقيقة أن مجموع عضوين من التقدم الحسابي متساوٍ ، وأزواج متساوية متشابهة ، نحصل على ذلك المبلغ الإجماليمساوي ل:
.
وبالتالي ، فإن صيغة مجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المشاكل ، لا نعرف المصطلح ال ، لكننا نعرف فرق التقدم. حاول الاستعاضة في صيغة الجمع ، صيغة العضو ال.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المسألة التي أعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك مجموع الأرقام التي تبدأ من -th ، ومجموع الأرقام التي تبدأ من -th.

كم لم تحصل عليه؟
اتضح جاوس أن مجموع المصطلحات متساوٍ ومجموع المصطلحات. هل هذه هي الطريقة التي قررت بها؟

في الواقع ، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث ، وطوال هذا الوقت ، استخدم الأشخاص البارعون خصائص التقدم الحسابي مع القوة والرئيسية.
على سبيل المثال ، تخيل مصر القديمةوأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء هرم .. الشكل يظهر جانب واحد منه.

أين التقدم هنا تقول؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا لا تقدم حسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع قوالب الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تحسب من خلال تحريك إصبعك على الشاشة ، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه القضيةيبدو التقدم كما يلي:
فرق التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (نحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة الثانية.

والآن يمكنك أيضًا إجراء الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها بعدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل وافقت؟ أحسنت صنعًا ، لقد أتقنت مجموع شروط التقدم الحسابي.
طبعا لايمكنك بناء هرم من الكتل في القاعدة لكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي المطلوب لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الجواب الصحيح هو الكتل:

تمرين

مهام:

1. ماشا تتأقلم مع الصيف. كل يوم تزيد من عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا القرفصاء في أسابيع إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
2. ما هو مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في.
3. عند تخزين السجلات ، يقوم الحطّاب بتكديسها بطريقة تجعل كل منها الطبقة العليايحتوي على سجل واحد أقل من السابق. كم عدد السجلات الموجودة في البناء الواحد ، إذا كانت قاعدة البناء عبارة عن سجلات.

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (أسابيع = أيام).

   إجابة:في غضون أسبوعين ، يجب أن تجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي وآخر رقم.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية في - النصف ، ومع ذلك ، تحقق من هذه الحقيقة باستخدام الصيغة لإيجاد العنصر -th في التقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابة:مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في يساوي.

3. أذكر مشكلة الأهرامات. بالنسبة لحالتنا ، أ ، نظرًا لأنه يتم تقليل كل طبقة عليا بواسطة سجل واحد ، فلا يوجد سوى مجموعة من الطبقات ، أي.
   استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

   إجابة:هناك سجلات في البناء.

تلخيص لما سبق

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا. إنه يتزايد ويتناقص.
2. إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو العاشر في التقدم الحسابي بواسطة الصيغة - ، حيث يوجد عدد الأرقام في التقدم.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين - عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكنك دائمًا معرفة أيهما هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا ، أي يمكننا ترقيمهما. هذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر ، يمكن ربط كل رقم برقم طبيعي معين ، واحد فقط. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

إنه مناسب جدًا إذا كان من الممكن إعطاء العضو -th في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة (المصطلح الأول هنا متساوٍ والفرق). أو (فرق).

صيغة مصطلح nth

نسمي المتكرر صيغة تحتاج فيها إلى معرفة المصطلح السابق أو السابق:

لإيجاد ، على سبيل المثال ، المصطلح العاشر للتقدم باستخدام مثل هذه الصيغة ، علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال ، دعونا. ثم:

حسنًا ، من الواضح الآن ما هي الصيغة؟

في كل سطر ، نضيف إلى ، مضروبًا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر راحة الآن ، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في التقدم الحسابي ، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

حل:

المصطلح الأول متساوي. وما الفرق؟ وإليك ما يلي:

(بعد كل شيء ، يطلق عليه الفرق لأنه يساوي اختلاف الأعضاء المتعاقبين في التقدم).

إذن الصيغة هي:

ثم المصطلح المائة هو:

ما هو مجموع كل الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة ، قام عالم الرياضيات العظيم كارل جاوس ، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات ، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. لقد لاحظ أن مجموع العددين الأول والأخير متساويان ، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه ، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه ، وهكذا. كم عدد هذه الأزواج الموجودة؟ هذا صحيح ، بالضبط نصف عدد كل الأرقام ، أي. لذا،

ستكون الصيغة العامة لمجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي:

مثال:
أوجد مجموع الكل أرقام من رقمين، مضاعفات.

حل:

الرقم الأول من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل تالية عن طريق إضافة رقم إلى الرقم السابق. وهكذا ، فإن الأرقام التي تهمنا تشكل تقدمًا حسابيًا مع المصطلح الأول والفرق.

صيغة المصطلح العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد المصطلحات في التقدم إذا كان يجب أن تكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون المصطلح الأخير من التقدم متساويًا. ثم المجموع:

إجابة: .

قرر الآن بنفسك:

1. في كل يوم ، يركض الرياضي 1 متر أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيجري في أسابيع إذا ركض كيلومترًا في اليوم الأول؟
2. يركب راكب الدراجة أميالًا كل يوم أكثر من سابقه. في اليوم الأول سافر كيلومترًا. كم يوما يجب عليه القيادة لقطع كيلومتر واحد؟ كم كيلومترًا سيقطعه في اليوم الأخير من الرحلة؟
3. يتم تخفيض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المبلغ كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم بيعها مقابل روبل بعد ست سنوات ، معروضة للبيع مقابل روبل.

الإجابات:

1. أهم شيء هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معاملاته. في هذه الحالة (أسابيع = أيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابة:
2. هنا يعطى: ، من الضروري أن تجد.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة الجمع كما في المسألة السابقة:
   .
   استبدل القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب ، لذا فإن الإجابة.
   لنحسب المسافة المقطوعة خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة العضو -th:
   (كم).
   إجابة:

3. منح: . يجد: .
   لا يصبح الأمر أسهل:
   (فرك).
   إجابة:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسي

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يتزايد التقدم الحسابي () ويتناقص ().

على سبيل المثال:

صيغة إيجاد العضو رقم n للتقدم الحسابي

مكتوب كصيغة ، حيث عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يسهل العثور على عضو في التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون معروفين - أين عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان لإيجاد المجموع:

أين عدد القيم.

أين عدد القيم.

المتوالية العدديةاسم سلسلة من الأرقام (أعضاء التقدم)

حيث يختلف كل مصطلح لاحق عن المصطلح السابق بمصطلح فولاذي ، والذي يسمى أيضًا خطوة أو تقدم الاختلاف.

وهكذا ، من خلال تحديد خطوة التقدم ومصطلحها الأول ، يمكنك العثور على أي من عناصرها باستخدام الصيغة

خصائص التقدم الحسابي

1) كل عضو من أعضاء التقدم الحسابي ، بدءًا من الرقم الثاني ، هو المتوسط ​​الحسابي للعضو السابق والتالي في التقدم

والعكس صحيح أيضا. إذا كان المتوسط ​​الحسابي للأعضاء الفرديين (الزوجيين) المجاورين للتقدم يساوي العضو الذي يقف بينهم ، فإن تسلسل الأرقام هذا هو تقدم حسابي. من خلال هذا التأكيد ، من السهل جدًا التحقق من أي تسلسل.

أيضًا من خلال خاصية التقدم الحسابي ، يمكن تعميم الصيغة أعلاه على ما يلي

من السهل التحقق من ذلك إذا كتبنا الشروط على يمين علامة التساوي

غالبًا ما يتم استخدامه عمليًا لتبسيط العمليات الحسابية في المشكلات.

2) يتم حساب مجموع أول n من الأعضاء للتقدم الحسابي بواسطة الصيغة

تذكر جيدًا صيغة مجموع التقدم الحسابي ، فهي لا غنى عنها في الحسابات وهي شائعة جدًا في مواقف الحياة البسيطة.

3) إذا كنت بحاجة إلى العثور ليس المجموع بالكامل ، ولكن جزء من التسلسل يبدأ من العضو k -th ، فستكون صيغة المجموع التالية في متناول يديك

4) من المفيد عمليًا إيجاد مجموع n من الأعضاء للتقدم الحسابي بدءًا من الرقم k. للقيام بذلك ، استخدم الصيغة

على هذا مادة نظريةينتهي وننتقل إلى حل المشاكل العملية المشتركة.

مثال 1. أوجد الحد الأربعين للتقدم الحسابي 4 ؛ 7 ؛ ...

حل:

حسب الحالة لدينا

حدد خطوة التقدم

وفقًا للصيغة المعروفة ، نجد المصطلح الأربعين للتقدم

مثال 2. يتم إعطاء التقدم الحسابي من قبل أعضائها الثالث والسابع. أوجد الحد الأول من التقدم ومجموع عشرة.

حل:

نكتب العناصر المعطاة للتقدم وفقًا للصيغ

نطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، ونتيجة لذلك نجد خطوة التقدم

يتم استبدال القيمة التي تم العثور عليها في أي من المعادلات لإيجاد الحد الأول من التقدم الحسابي

احسب مجموع أول عشرة فصول من التقدم

بدون تطبيق الحسابات المعقدة ، وجدنا جميع القيم المطلوبة.

مثال 3. يتم إعطاء التقدم الحسابي بواسطة المقام وأحد أعضائه. أوجد الحد الأول من التقدم ، ومجموع حدوده الخمسين التي تبدأ من 50 ، ومجموع أول 100.

حل:

لنكتب صيغة العنصر المائة في التقدم

والعثور على الأول

بناءً على الأول ، نجد الحد الخمسين للتقدم

إيجاد مجموع جزء التقدم

ومجموع أول 100

مجموع التقدم هو 250.

مثال 4

أوجد عدد أعضاء التقدم الحسابي إذا:

a3-a1 = 8 ، a2 + a4 = 14 ، سن = 111.

حل:

نكتب المعادلات من حيث المصطلح الأول وخطوة التقدم وتحديدها

نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغة الجمع لتحديد عدد الأعضاء في المجموع

التبسيط

وحل المعادلة التربيعية

من بين القيمتين اللتين تم العثور عليهما ، يكون الرقم 8 فقط مناسبًا لظروف المشكلة. وبالتالي ، فإن مجموع المصطلحات الثمانية الأولى من التقدم هو 111.

مثال 5

حل المعادلة

1 + 3 + 5 + ... + س = 307.

الحل: هذه المعادلة هي مجموع التقدم الحسابي. نكتب حده الأول ونوجد فرق التقدم