≡×قائمة طعام

• بصلح
• بصلح
• تصميم داخلي
• حول كل شيء
• حول السباكة

كيف يتم تحديد الزاوية بين خطين؟ الزاوية بين الخطوط في الفراغ

دع الخطوط تعطى في الفضاء لو م. من خلال نقطة ما من الفضاء ، نرسم خطوطًا مستقيمة ل 1 || لو م 1 || م(الشكل 138).

لاحظ أنه يمكن اختيار النقطة A بشكل تعسفي ، على وجه الخصوص ، يمكن أن تقع على أحد الخطوط المعينة. إذا كان مستقيما لو متتقاطع ، ثم يمكن اعتبار A كنقطة تقاطع هذه الخطوط ( ل 1 = لو م 1 = م).

الزاوية بين الخطوط غير المتوازية لو مهي قيمة أصغر من الزوايا المجاورةتتكون من خطوط متقاطعة ل 1 و م 1 (ل 1 || ل, م 1 || م). يُفترض أن تكون الزاوية بين الخطوط المتوازية صفرًا.

الزاوية بين السطور لو ميُرمز إليه بـ \ (\ widehat ((ل ؛ م)) \). من التعريف ، يترتب على ذلك أنه إذا تم قياسه بالدرجات ، فعندئذٍ 0 درجة < \ (\ واسعة النطاق ((ل ؛ م)) \) < 90 درجة ، وإذا كانت بالراديان ، فسيكون 0 < \ (\ واسعة النطاق ((ل ؛ م)) \) < π / 2 .

مهمة.المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 معطى (الشكل 139).

أوجد الزاوية بين الخطين المستقيمين AB و DC 1.

تقاطع مستقيم AB و DC 1. نظرًا لأن الخط DC موازٍ للخط AB ، فإن الزاوية بين الخطين AB و DC 1 ، وفقًا للتعريف ، تساوي \ (\ Widehat (C_ (1) DC) \).

ومن ثم \ (\ واسعة النطاق ((AB ؛ DC_1)) \) = 45 درجة.

مباشر لو ممُسَمًّى عمودي، إذا \ (\ عريضة ((ل ؛ م)) \) = π / 2. على سبيل المثال ، في مكعب

حساب الزاوية بين السطور.

يتم حل مشكلة حساب الزاوية بين خطين مستقيمين في الفضاء بنفس الطريقة كما في المستوى. قم بالإشارة ب φ الزاوية بين السطور ل 1 و ل 2 ، ومن خلال ψ - الزاوية بين متجهات الاتجاه أ و ب هذه الخطوط المستقيمة.

ثم إذا

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 درجة (الشكل 206.6) ، ثم φ = 180 درجة - ψ. من الواضح أنه في كلتا الحالتين ، تكون المساواة cos φ = | cos ψ | صحيحة. وفقًا للصيغة (جيب تمام الزاوية بين المتجهين غير الصفريين a و b يساوي الناتج القياسي لهذين المتجهين مقسومًا على حاصل ضرب أطوالهما) لدينا

$$ cos \ psi = cos \ widehat ((a ؛ b)) = \ frac (a \ cdot b) (| a | \ cdot | b |) $$

لذلك،

$$ cos \ phi = \ frac (| a \ cdot b |) (| a | \ cdot | b |) $$

دع الخطوط تعطى من خلال معادلاتها الأساسية

$$ \ frac (x-x_1) (a_1) = \ frac (y-y_1) (a_2) = \ frac (z-z_1) (a_3) \ ؛ \ ؛ و \؛\؛ \ frac (x-x_2) (b_1) = \ frac (y-y_2) (b_2) = \ frac (z-z_2) (b_3) $$

ثم يتم تحديد الزاوية φ بين السطور باستخدام الصيغة

$$ cos \ phi = \ frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + a_ (3) b_3 |) (\ sqrt ((a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 ) \ sqrt ((b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2)) (1) $$

إذا تم إعطاء أحد الخطين (أو كليهما) بواسطة معادلات غير متعارف عليها ، فعند حساب الزاوية ، تحتاج إلى إيجاد إحداثيات متجهات الاتجاه لهذه الخطوط ، ثم استخدام الصيغة (1).

مهمة 1.احسب الزاوية بين السطور

$$ \ frac (x + 3) (- \ sqrt2) = \ frac (y) (\ sqrt2) = \ frac (z-7) (- 2) \ ؛ \ ؛ و \ ؛ \ ؛ \ frac (x) (\ sqrt3) = \ frac (y + 1) (\ sqrt3) = \ frac (z-1) (\ sqrt6) $$

متجهات اتجاه الخطوط المستقيمة لها إحداثيات:

أ \ u003d (-2 ؛ √2 ؛ -2) ، ب = (√3 ; √3 ; √6 ).

بالصيغة (1) نجد

$$ cos \ phi = \ frac (| - \ sqrt6 + \ sqrt6-2 \ sqrt6 |) (\ sqrt (2 + 2 + 4) \ sqrt (3 + 3 + 6)) = \ frac (2 \ sqrt6) ( 2 \ sqrt2 \ cdot 2 \ sqrt3) = \ frac (1) (2) $$

إذن ، الزاوية بين هذين الخطين هي 60 درجة.

المهمة 2.احسب الزاوية بين السطور

$$ \ تبدأ (الحالات) 3x-12z + 7 = 0 \\ x + y-3z-1 = 0 \ end (الحالات) و \ start (الحالات) 4x-y + z = 0 \\ y + z + 1 = 0 \ نهاية (الحالات) $$

خلف ناقل الدليل أ أول خط مستقيم نأخذ حاصل الضرب المتجه للمتجهات العادية ن 1 = (3 ؛ 0 ؛ -12) و ن 2 = (1 ؛ 1 ؛ -3) طائرات تحدد هذا الخط. بالصيغة \ (= \ start (vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \ end (vmatrix) \) نحصل عليها

$$ a == \ start (vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \ end (vmatrix) = 12i-3i + 3k $$

وبالمثل ، نجد متجه الاتجاه للخط المستقيم الثاني:

$$ b = \ start (vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \ end (vmatrix) = - 2i-4i + 4k $$

لكن الصيغة (1) تحسب جيب التمام للزاوية المطلوبة:

$$ cos \ phi = \ frac (| 12 \ cdot (-2) -3 (-4) +3 \ cdot 4 |) (\ sqrt (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) \ sqrt (2) ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) = 0 $$

إذن ، الزاوية بين هذين الخطين هي 90 درجة.

المهمة 3.في الهرم الثلاثي MAVS ، تكون الحواف MA و MB و MC متعامدة بشكل متبادل (الشكل 207) ؛

أطوالهم تساوي على التوالي 4 ، 3 ، 6. النقطة D هي الوسط [MA]. أوجد الزاوية φ بين الخطين CA و DB.

دع SA و DB هما متجهات الاتجاه للخطين SA و DB.

لنأخذ النقطة M كأصل الإحداثيات. حسب حالة المهمة ، لدينا A (4 ؛ 0 ؛ 0) ، ب (0 ؛ 0 ؛ 3) ، ج (0 ؛ 6 ؛ 0) ، د (2 ؛ 0 ؛ 0). لذلك \ (\ overrightarrow (CA) \) = (4؛ - 6؛ 0)، \ (\ overrightarrow (DB) \) = (-2؛ 0؛ 3). نستخدم الصيغة (1):

$$ cos \ phi = \ frac (| 4 \ cdot (-2) + (- 6) \ cdot 0 + 0 \ cdot 3 |) (\ sqrt (16 + 36 + 0) \ sqrt (4 + 0 + 9) )) $$

وفقًا لجدول جيب التمام ، نجد أن الزاوية بين الخطين المستقيمين CA و DB تساوي تقريبًا 72 درجة.

هذه المادة مكرسة لمفهوم مثل الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين. في الفقرة الأولى ، سنشرح ماهيتها ونعرضها في الرسوم التوضيحية. ثم سنحلل كيف يمكنك العثور على الجيب وجيب التمام لهذه الزاوية والزاوية نفسها (سننظر بشكل منفصل في الحالات التي تحتوي على مساحة مستوية وثلاثية الأبعاد) ، وسنقدم الصيغ اللازمة ونعرض بأمثلة كيفية تطبيقها بالضبط في التمرين.

Yandex.RTB R-A-339285-1

لفهم ماهية الزاوية المتكونة عند تقاطع خطين ، علينا أن نتذكر تعريف الزاوية والعمود ونقطة التقاطع.

التعريف 1

نسمي خطين متقاطعين إذا كان بينهما نقطة مشتركة واحدة. هذه النقطة تسمى نقطة تقاطع الخطين.

كل خط مقسم بنقطة التقاطع إلى أشعة. في هذه الحالة ، يشكل كلا الخطين 4 زوايا ، اثنان منها رأسيتان واثنتان متجاورتان. إذا عرفنا قياس أحدهما ، فيمكننا تحديد المتبقيين الآخرين.

لنفترض أننا نعلم أن إحدى الزوايا تساوي α. في مثل هذه الحالة ، فإن الزاوية الرأسية لها ستكون أيضًا مساوية لـ α. لإيجاد الزوايا المتبقية ، علينا حساب الفرق 180 درجة - α. إذا كانت α تساوي 90 درجة ، فإن كل الزوايا ستكون صحيحة. تسمى الخطوط المتقاطعة بزوايا قائمة عموديًا (مقال منفصل مخصص لمفهوم العمودي).

نلقي نظرة على الصورة:

دعونا ننتقل إلى صياغة التعريف الرئيسي.

التعريف 2

الزاوية المكونة من خطين متقاطعين هي قياس الزوايا الأصغر من بين الزوايا الأربع التي تشكل هذين الخطين.

يجب استخلاص نتيجة مهمة من التعريف: سيتم التعبير عن حجم الزاوية في هذه الحالة بأي رقم حقيقي في الفترة (0 ، 90]. إذا كانت الخطوط متعامدة ، فستكون الزاوية بينهما على أي حال يساوي 90 درجة.

القدرة على إيجاد قياس الزاوية بين خطين متقاطعين مفيدة لحل العديد من المشاكل العملية. يمكن تحديد طريقة الحل من عدة خيارات.

بالنسبة للمبتدئين ، يمكننا أن نأخذ الأساليب الهندسية. إذا علمنا شيئًا عن الزوايا الإضافية ، فيمكننا ربطها بالزاوية التي نحتاجها باستخدام خصائص الأشكال المتساوية أو المتشابهة. على سبيل المثال ، إذا عرفنا جوانب المثلث واحتجنا إلى حساب الزاوية بين الخطوط التي تقع عليها هذه الأضلاع ، فإن نظرية جيب التمام مناسبة للحل. إذا كان لدينا في الشرط مثلث قائم، ثم بالنسبة للحسابات ، سنحتاج أيضًا إلى معرفة الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.

طريقة الإحداثيات مناسبة جدًا أيضًا لحل المشكلات من هذا النوع. دعونا نشرح كيفية استخدامه بشكل صحيح.

لدينا نظام إحداثيات مستطيل (ديكارت) O x y مع خطين مستقيمين. دعنا نشير إليهم بالحرفين أ وب. في هذه الحالة ، يمكن وصف الخطوط المستقيمة باستخدام أي معادلات. الخطوط الأصلية لها نقطة تقاطع م. كيف نحدد الزاوية المرغوبة (دعنا نشير إليها α) بين هذه الخطوط؟

لنبدأ بصياغة المبدأ الأساسي لإيجاد زاوية في ظل ظروف معينة.

نحن نعلم أن مفاهيم مثل التوجيه والمتجه العادي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الخط المستقيم. إذا كانت لدينا معادلة بعض الخطوط المستقيمة ، فيمكننا أخذ إحداثيات هذه المتجهات منها. يمكننا فعل ذلك لخطين متقاطعين في وقت واحد.

يمكن إيجاد الزاوية المكونة من خطين متقاطعين باستخدام:

• الزاوية بين نواقل الاتجاه ؛
• الزاوية بين النواقل العادية ؛
• الزاوية بين المتجه الطبيعي لخط واحد ومتجه الاتجاه للآخر.

الآن دعونا نلقي نظرة على كل طريقة على حدة.

1. افترض أن لدينا خطًا مع متجه الاتجاه a → = (أ س ، أ ص) وخط ب متجه الاتجاه ب → (ب س ، ب ص). الآن دعنا نضع جانبين متجهين a → و b → من نقطة التقاطع. بعد ذلك ، سنرى أنه سيتم تحديد موقع كل منهما على خطها الخاص. ثم لدينا أربعة خيارات لوضعهم النسبي. انظر الرسم التوضيحي:

إذا لم تكن الزاوية بين متجهين منفرجة ، فستكون الزاوية التي نحتاجها بين الخطين المتقاطعين أ وب. إذا كان منفرجًا ، فستكون الزاوية المرغوبة مساوية للزاوية المجاورة للزاوية a → ، b → ^. وهكذا ، α = a → ، b → ^ if a → ، b → ^ ≤ 90 ° ، و α = 180 ° - a → ، b → ^ if a → ، b → ^> 90 °.

بناءً على حقيقة أن جيب التمام للزوايا متساوية ، يمكننا إعادة كتابة المعادلات الناتجة على النحو التالي: cos α = cos a →، b → ^ if a →، b → ^ ≤ 90 °؛ cos α = cos 180 ° - a → ، b → ^ = - cos a → ، b → ^ إذا كانت a → ، b → ^> 90 °.

في الحالة الثانية ، تم استخدام صيغ التخفيض. هكذا،

cos α cos a → ، b → ^ ، cos a → ، b → ^ ≥ 0 - cos a → ، b → ^ ، cos a → ، b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

لنكتب الصيغة الأخيرة بالكلمات:

التعريف 3

سيكون جيب التمام للزاوية المكونة من خطين متقاطعين مساويًا لمعامل جيب التمام للزاوية بين متجهات الاتجاه.

الشكل العام لصيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين a → = (a x، a y) و b → = (b x، b y) يبدو كما يلي:

cos a →، b → ^ = a →، b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

منه يمكننا اشتقاق صيغة جيب التمام للزاوية الواقعة بين خطين:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ثم يمكن إيجاد الزاوية نفسها باستخدام الصيغة التالية:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

هنا a → = (a x، a y) and b → = (b x، b y) هي متجهات الاتجاه للخطوط المحددة.

دعونا نعطي مثالا على حل المشكلة.

مثال 1

في نظام الإحداثيات المستطيل ، يتم إعطاء خطين متقاطعين أ وب على المستوى. يمكن وصفها بالمعادلات البارامترية x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R و x 5 = y - 6 - 3. احسب الزاوية بين هذين الخطين.

حل

لدينا معادلة بارامترية في الحالة ، مما يعني أنه بالنسبة لهذا الخط المستقيم ، يمكننا كتابة إحداثيات متجه اتجاهه على الفور. للقيام بذلك ، نحتاج إلى أخذ قيم المعاملات في المعلمة ، أي الخط x = 1 + 4 λ y = 2 + λ ∈ R سيكون له اتجاه اتجاه a → = (4، 1).

يتم وصف الخط المستقيم الثاني باستخدام المعادلة الأساسية x 5 = y - 6 - 3. هنا يمكننا أخذ الإحداثيات من المقامات. وبالتالي ، يحتوي هذا الخط على متجه اتجاه ب → = (5 ، - 3).

بعد ذلك ، ننتقل مباشرة لإيجاد الزاوية. للقيام بذلك ، استبدل بالإحداثيات المتاحة للمتجهين في الصيغة أعلاه α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2. نحصل على ما يلي:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

إجابة: هذه الخطوط تشكل زاوية 45 درجة.

يمكننا حل مشكلة مماثلة بإيجاد الزاوية بين المتجهات العادية. إذا كان لدينا خط مع متجه عادي n a → = (n a x، n a y) وخط b متجه عادي n b → = (n b x، n b y) ، فإن الزاوية بينهما ستكون مساوية للزاوية بين n a → و n b → أو الزاوية التي ستكون مجاورة لـ n a → ، n b → ^. هذه الطريقة موضحة في الصورة:

تبدو الصيغ الخاصة بحساب جيب تمام الزاوية بين الخطوط المتقاطعة وهذه الزاوية نفسها باستخدام إحداثيات المتجهات العادية كما يلي:

cos α = cos n a →، n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 n b y 2

هنا n a → و n b → تشير إلى المتجهات العادية لخطين معينين.

مثال 2

يوجد خطان مستقيمان في نظام إحداثيات مستطيل باستخدام المعادلتين 3 س + 5 ص - 30 = 0 و س + 4 ص - 17 = 0. أوجد جيب الزاوية وجيب الزاوية بينهما ومقدار تلك الزاوية نفسها.

حل

يتم إعطاء الخطوط المستقيمة الأصلية باستخدام معادلات الخط المستقيم العادية بالصيغة A x + B y + C = 0. دلالة على المتجه الطبيعي n → = (A ، B). لنجد إحداثيات المتجه العادي الأول لخط مستقيم واحد ونكتبها: n a → = (3، 5). بالنسبة للخط الثاني x + 4 y - 17 = 0 ، سيكون للمتجه العادي إحداثيات n b → = (1، 4). أضف الآن القيم التي تم الحصول عليها إلى الصيغة واحسب الإجمالي:

cos α = cos n a →، n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

إذا عرفنا جيب التمام لزاوية ، فيمكننا حساب جيبها باستخدام الأساسي الهوية المثلثية. نظرًا لأن الزاوية α المكونة من خطوط مستقيمة ليست منفرجة ، إذن الخطيئة α \ u003d 1 - cos 2 α \ u003d 1 - 23 2 34 2 \ u003d 7 2 34.

في هذه الحالة، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

الجواب: cos α = 23 2 34، sin α = 7 2 34، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

دعنا نحلل الحالة الأخيرة- إيجاد الزاوية بين الخطين ، إذا عرفنا إحداثيات متجه الاتجاه لخط واحد والمتجه الطبيعي للخط الآخر.

افترض أن الخط a له متجه اتجاه a → = (a x ، a y) ، وأن الخط b له متجه عادي n b → = (n b x، n b y). نحن بحاجة إلى تأجيل هذه المتجهات من نقطة التقاطع والنظر في جميع الخيارات الخاصة بموضعها النسبي. انظر الصورة:

إذا كانت الزاوية بين المتجهات المعطاة لا تزيد عن 90 درجة ، فقد اتضح أنها ستكمل الزاوية بين أ و ب للزاوية القائمة.

a → ، n b → ^ = 90 ° - α إذا كانت a → ، n b → ^ ≤ 90 °.

إذا كانت أقل من 90 درجة ، نحصل على ما يلي:

a → ، n b → ^> 90 ° ، ثم a → ، n b → ^ = 90 ° + α

باستخدام قاعدة المساواة في جيب التمام للزوايا المتساوية ، نكتب:

cos a → ، n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α لـ a → ، n b → ^ ≤ 90 °.

cos a → ، n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α في a → ، n b → ^> 90 °.

هكذا،

sin α = cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ ≤ 90 ° - cos a →، n b → ^، a →، n b → ^> 90 ° ⇔ sin α = cos a →، n b → ^، a → ، n b → ^> 0 - cos a → ، n b → ^ ، a → ، n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

دعونا نصوغ نتيجة.

التعريف 4

لإيجاد جيب الزاوية بين خطين متقاطعين في مستوى ما ، تحتاج إلى حساب مقياس جيب تمام الزاوية بين متجه الاتجاه للخط الأول والمتجه الطبيعي للخط الثاني.

دعنا نكتب الصيغ اللازمة. إيجاد جيب الزاوية:

sin α = cos a →، n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

العثور على الزاوية نفسها:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

هنا a → هو متجه الاتجاه للخط الأول ، و n b → هو المتجه الطبيعي للخط الثاني.

مثال 3

يتم الحصول على خطين متقاطعين بواسطة المعادلتين x - 5 = y - 6 3 و x + 4 y - 17 = 0. أوجد زاوية التقاطع.

حل

نأخذ إحداثيات الاتجاه والمتجه العادي من المعادلات المعطاة. اتضح أن a → = (- 5 ، 3) و n → b = (1 ، 4). نأخذ الصيغة α \ u003d a r c sin \ u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 وننظر في:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

لاحظ أننا أخذنا المعادلات من المسألة السابقة وحصلنا على نفس النتيجة تمامًا ، ولكن بطريقة مختلفة.

إجابة:α = a r c sin 7 2 34

إليك طريقة أخرى لإيجاد الزاوية المرغوبة باستخدام معاملات الميل لخطوط معينة.

لدينا خط أ ، محدد في نظام إحداثيات مستطيل باستخدام المعادلة y = k 1 · x + b 1 ، والخط b المعرف على أنه y = k 2 · x + b 2. هذه معادلات خطوط بميل. لإيجاد زاوية التقاطع ، استخدم الصيغة:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ، حيث k 1 و k 2 هما عوامل الانحدارسطور معينة. للحصول على هذا السجل ، تم استخدام صيغ لتحديد الزاوية من خلال إحداثيات المتجهات العادية.

مثال 4

يوجد خطان مستقيمان يتقاطعان في مستوى ، من المعادلاتص = - ٣ ٥ س + ٦ و ص = - ٤ ١ س + ١٧ ٤. احسب زاوية التقاطع.

حل

ميل المستقيمين يساوي k 1 = - 3 5 و k 2 = - 1 4. دعونا نضيفهم إلى الصيغة α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ونحسب:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

إجابة:α = a r c cos 23 2 34

في استنتاجات هذه الفقرة ، تجدر الإشارة إلى أن الصيغ الخاصة بإيجاد الزاوية المعطاة هنا لا يجب أن تُحفظ عن ظهر قلب. للقيام بذلك ، يكفي معرفة إحداثيات الأدلة و / أو المتجهات العادية للخطوط المعينة وتكون قادرًا على تحديدها من أنواع مختلفةالمعادلات. لكن من الأفضل تذكر الصيغ الخاصة بحساب جيب التمام لزاوية أو تدوينها.

كيفية حساب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة في الفضاء

يمكن تقليل حساب هذه الزاوية إلى حساب إحداثيات متجهات الاتجاه وتحديد حجم الزاوية التي تشكلها هذه المتجهات. لمثل هذه الأمثلة ، نستخدم نفس المنطق الذي قدمناه من قبل.

لنفترض أن لدينا نظام إحداثيات مستطيل يقع في مساحة ثلاثية الأبعاد. يحتوي على سطرين أ و ب مع نقطة التقاطع م. لحساب إحداثيات متجهات الاتجاه ، نحتاج إلى معرفة معادلات هذه الخطوط. دلالة على متجهات الاتجاه a → = (a x، a y، a z) and b → = (b x، b y، b z). لحساب جيب تمام الزاوية بينهما ، نستخدم الصيغة:

cos α = cos a →، b → ^ = a →، b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

لإيجاد الزاوية نفسها ، نحتاج إلى هذه الصيغة:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 5

لدينا خط مستقيم محدد في مساحة ثلاثية الأبعاد باستخدام المعادلة x 1 = y - 3 = z + 3-2. من المعروف أنه يتقاطع مع محور O z. احسب زاوية التقاطع وجيب تمام الزاوية.

حل

دعنا نشير إلى الزاوية التي يجب حسابها بالحرف α. دعنا نكتب إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول - أ → = (1 ، - 3 ، - 2). بالنسبة للمحور المطبق ، يمكننا أن نأخذ متجه الإحداثيات k → = (0 ، 0 ، 1) كدليل. لقد تلقينا البيانات اللازمة ويمكننا إضافتها إلى الصيغة المطلوبة:

cos α = cos a →، k → ^ = a →، k → a → k → = 1 0-3 0-2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 8 2 = 1 2

نتيجة لذلك ، حصلنا على الزاوية التي نحتاجها تساوي a r c cos 1 2 = 45 °.

إجابة:كوس α = 1 2 ، α = 45 درجة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

أ. لنترك سطرين ، هذه الخطوط ، كما هو موضح في الفصل 1 ، تشكل زوايا موجبة وسالبة مختلفة ، والتي يمكن أن تكون حادة أو منفرجة. بمعرفة إحدى هذه الزوايا ، يمكننا بسهولة العثور على أي زوايا أخرى.

بالمناسبة ، بالنسبة لجميع هذه الزوايا ، فإن القيمة العددية للماس هي نفسها ، ويمكن أن يكون الاختلاف فقط في العلامة

معادلات الخطوط. الأرقام هي إسقاطات متجهات التوجيه للخطين الأول والثاني ، والزاوية بين هذين المتجهين تساوي إحدى الزوايا المكونة من خطوط مستقيمة. لذلك ، يتم تقليل المشكلة إلى تحديد الزاوية بين المتجهات ، نحصل عليها

للتبسيط ، يمكننا الاتفاق على زاوية بين خطين مستقيمين لفهم زاوية موجبة حادة (كما في الشكل 53 على سبيل المثال).

عندئذٍ يكون ظل هذه الزاوية موجبًا دائمًا. وبالتالي ، إذا تم الحصول على علامة الطرح على الجانب الأيمن من الصيغة (1) ، فيجب علينا تجاهلها ، أي الاحتفاظ بالقيمة المطلقة فقط.

مثال. حدد الزاوية بين السطور

بالصيغة (1) لدينا

مع. إذا تمت الإشارة إلى أي جانب من جوانب الزاوية هو بدايتها ونهايتها ، فعند حساب اتجاه الزاوية دائمًا عكس اتجاه عقارب الساعة ، يمكننا استخراج شيء أكثر من الصيغ (1). كما يسهل رؤيته من الشكل. 53 تشير العلامة التي تم الحصول عليها على الجانب الأيمن من الصيغة (1) إلى أي واحدة - حادة أو منفرجة - تشكل الزاوية السطر الثاني مع الأول.

(في الواقع ، من الشكل 53 نرى أن الزاوية بين متجهي الاتجاه الأول والثاني إما مساوية للزاوية المرغوبة بين الخطين ، أو تختلف عنها بمقدار ± 180 درجة.)

د. إذا كانت الخطوط متوازية ، فإن متجهات اتجاهها تكون أيضًا متوازية ، وبتطبيق شرط التوازي بين متجهين ، نحصل على!

هذا شرط ضروري وكافٍ ليكون الخطان متوازيين.

مثال. مباشر

موازية لأن

ه. إذا كانت الخطوط متعامدة ، فإن متجهات اتجاهها تكون أيضًا متعامدة. بتطبيق شرط العمودية لمتجهين ، نحصل على حالة عمودية سطرين ، وهما

مثال. مباشر

عمودي لأن

فيما يتعلق بشرط التوازي والعمودي ، سنحل المشكلتين التاليتين.

F. ارسم خطًا موازيًا لخط معين يمر بنقطة

يتم اتخاذ القرار على هذا النحو. نظرًا لأن الخط المطلوب موازٍ للخط المعطى ، فبالنسبة إلى متجه التوجيه الخاص به ، يمكننا أن نأخذ نفس الخط الموجود في السطر المحدد ، أي متجه مع الإسقاطين A و B. وبعد ذلك سيتم كتابة معادلة الخط المطلوب في النموذج (§ 1)

مثال. معادلة خط مستقيم يمر بنقطة (1 ؛ 3) موازية لخط مستقيم

سيكون التالي!

ز. ارسم خطًا عبر نقطة متعامدة على الخط المعطى

هنا ، لم يعد من المناسب أخذ متجه مع الإسقاطات A وكمتجه موجه ، ولكن من الضروري الفوز بمتجه عمودي عليه. لذلك يجب اختيار إسقاطات هذا المتجه وفقًا لشرط أن كلا المتجهين متعامدين ، أي وفقًا للحالة

يمكن تحقيق هذا الشرط بعدد لا حصر له من الطرق ، حيث توجد هنا معادلة واحدة ذات مجهولين. ولكن أسهل طريقة هي أخذها. ثم ستتم كتابة معادلة السطر المطلوب بالصيغة

مثال. معادلة خط يمر بنقطة (-7 ؛ 2) في خط عمودي

سيكون كالآتي (حسب الصيغة الثانية)!

ح. في حالة إعطاء الخطوط بواسطة معادلات النموذج

Oh-oh-oh-oh-oh ... حسنًا ، إنها صغيرة ، كما لو كنت تقرأ الجملة لنفسك =) ومع ذلك ، فإن الاسترخاء سيساعدك ، خاصةً منذ أن اشتريت الملحقات المناسبة اليوم. لذلك ، دعنا ننتقل إلى القسم الأول ، كما آمل ، في نهاية المقال ، سأحافظ على مزاج مبهج.

الترتيب المتبادل لخطين مستقيمين

الحالة عندما تغني القاعة في الجوقة. يمكن لخطين:

1) المباراة ؛

2) كن متوازيًا: ؛

3) أو تتقاطع عند نقطة واحدة:.

مساعدة للدمى : يرجى تذكر العلامة الرياضية للتقاطع ، وسوف تحدث في كثير من الأحيان. الإدخال يعني أن الخط يتقاطع مع الخط عند النقطة.

كيف تحدد الموضع النسبي لخطين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق خطان إذا وفقط إذا كانت معاملات كل منهما متناسبة، وهذا هو ، هناك مثل هذا العدد من "لامدا" أن المساواة

لنفكر في الخطوط المستقيمة ونؤلف ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة:. من كل معادلة ، يترتب على ذلك ، أن هذه الخطوط تتطابق.

في الواقع ، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب ب -1 (علامات التغيير) ، وجميع معاملات المعادلة تقليل بمقدار 2 ، تحصل على نفس المعادلة:.

الحالة الثانية عندما تكون الخطوط متوازية:

خطان متوازيان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما في المتغيرات متناسبة: ، لكن.

كمثال ، ضع في اعتبارك خطين مستقيمين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك ، فمن الواضح أن.

والحالة الثالثة عندما يتقاطع الخطان:

يتقاطع خطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما للمتغيرات غير متناسبةأي أنه لا توجد قيمة "لامدا" بحيث تتحقق المساواة

لذلك ، بالنسبة للخطوط المستقيمة ، سنقوم بتكوين نظام:

ويترتب على المعادلة الأولى أنه ومن المعادلة الثانية: النظام غير متسق(لا توجد حلول). وبالتالي ، فإن المعاملات في المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: تتقاطع الخطوط

في المشاكل العملية ، يمكن استخدام مخطط الحل الذي تم النظر فيه للتو. بالمناسبة ، إنها تشبه إلى حد بعيد خوارزمية فحص المتجهات للعلاقة الخطية المتداخلة ، والتي أخذناها في الاعتبار في الدرس. مفهوم الاعتماد الخطي (غير) للناقلات. أساس المتجه. لكن هناك حزمة أكثر تحضرًا:

مثال 1

اكتشف الموضع النسبي للخطوط:

حلبناءً على دراسة توجيه نواقل الخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط: .

، لذلك لا تكون المتجهات على خط واحد وتتقاطع الخطوط.

فقط في حالة حدوث ذلك ، سأضع حجرًا بمؤشرات عند مفترق الطرق:

يقفز الباقون فوق الحجر ويتابعون ، مباشرة إلى Kashchei the Deathless =)

ب) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه ، مما يعني أنها إما متوازية أو متشابهة. هنا المحدد ليس ضروريا.

من الواضح أن معاملات المجهول متناسبة ، بينما.

دعنا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

هكذا،

ج) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
لذلك ، فإن نواقل الاتجاه متداخلة. الخطوط إما موازية أو متزامنة.

من السهل رؤية عامل التناسب "لامدا" مباشرة من نسبة متجهات الاتجاه الخطي. ومع ذلك ، يمكن أيضًا العثور عليها من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعنا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا المصطلحين المجانيين صفرا ، لذلك:

القيمة الناتجة تحقق هذه المعادلة (أي رقم يرضيها بشكل عام).

وهكذا تتطابق الخطوط.

إجابة:

قريبا جدا سوف تتعلم (أو حتى تعلمت بالفعل) حل المشكلة المدروسة لفظيا حرفيا في غضون ثوان. في هذا الصدد ، لا أرى أي سبب لتقديم أي شيء من أجله قرار مستقل، من الأفضل وضع لبنة مهمة أخرى في الأساس الهندسي:

كيفية رسم خط مواز لخط معين؟

لجهل هذا أبسط مهمةيعاقب العندليب السارق بشدة.

مثال 2

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. اكتب معادلة لخط متوازي يمر بالنقطة.

حل: دلالة على الخط المجهول بالحرف. ماذا تقول الشرط عنها؟ الخط يمر بالنقطة. وإذا كانت الخطوط متوازية ، فمن الواضح أن متجه التوجيه للخط "ce" مناسب أيضًا لإنشاء الخط "de".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

إجابة:

تبدو هندسة المثال بسيطة:

يتكون التحقق التحليلي من الخطوات التالية:

1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح ، فستكون المتجهات على خط واحد).

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

من السهل إجراء التحقق التحليلي لفظيًا في معظم الحالات. انظر إلى المعادلتين وسيكتشف الكثير منكم بسرعة كيف أن الخطوط متوازية دون أي رسم.

ستكون أمثلة الحل الذاتي اليوم إبداعية. لأنه لا يزال يتعين عليك التنافس مع بابا ياجا ، وهي ، كما تعلم ، من محبي جميع أنواع الألغاز.

مثال 3

اكتب معادلة لخط يمر بنقطة موازية للخط إذا

هناك طريقة عقلانية وليست عقلانية للحل. أقصر طريق في نهاية الدرس.

قمنا ببعض العمل مع الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقًا. إن حالة الخطوط المتزامنة ليست ذات أهمية كبيرة ، لذلك دعونا نفكر في مشكلة معروفة لك جيدًا من المناهج الدراسية:

كيف تجد نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند النقطة ، فتكون إحداثياتها هي الحل أنظمة المعادلات الخطية

كيف تجد نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

تستخدم لتمني الصحة أو النجاح لشخص قبل الشرب المعنى الهندسي لنظام اثنين المعادلات الخطيةمع اثنين من المجهولعبارة عن خطين متقاطعين (غالبًا) على مستوى مستو.

مثال 4

أوجد نقطة تقاطع الخطوط

حل: هناك طريقتان لحل - رسومية وتحليلية.

الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم الخطوط المعينة ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

ها هي وجهة نظرنا:. للتحقق ، يجب أن تستبدل إحداثياته ​​في كل معادلة للخط المستقيم ، يجب أن تناسب كلاهما هناك وهناك. بمعنى آخر ، إحداثيات نقطة هي حل النظام. في الواقع ، اعتبرنا طريقة رسومية لحلها أنظمة المعادلات الخطيةمع معادلتين ، مجهولين.

الطريقة الرسومية ، بالطبع ، ليست سيئة ، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا ، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع يقررون بهذه الطريقة ، فالنقطة هي أن الأمر سيستغرق وقتًا لعمل رسم صحيح ودقيق. بالإضافة إلى ذلك ، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط ، ويمكن أن تكون نقطة التقاطع نفسها في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

لذلك ، من الأفضل البحث عن نقطة التقاطع المنهج التحليلي. لنحل النظام:

لحل النظام ، تم استخدام طريقة جمع المعادلات النهائية. لتنمية المهارات ذات الصلة ، قم بزيارة الدرس كيف تحل نظام المعادلات؟

إجابة:

التحقق بسيط - يجب أن تفي إحداثيات نقطة التقاطع بكل معادلة في النظام.

مثال 5

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا تقاطعا.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". يمكن تقسيم المهمة بسهولة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى أنه من الضروري:
1) اكتب معادلة الخط المستقيم.
2) اكتب معادلة الخط المستقيم.
3) اكتشف الموضع النسبي للخطوط.
4) إذا تقاطع الخطان ، فابحث عن نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراء نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية ، وسأركز بشكل متكرر على هذا.

الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي:

زوج من الأحذية لم يتم تهالكه بعد ، حيث وصلنا إلى القسم الثاني من الدرس:

خطوط متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين السطور

لنبدأ بمهمة نموذجية وهامة للغاية. في الجزء الأول ، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ للخط المعطى ، والآن سيتحول الكوخ على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:

كيفية رسم خط عمودي على خط معين؟

مثال 6

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. اكتب معادلة لخط عمودي يمر بنقطة.

حل: ومن المعروف عن طريق الافتراض أن. سيكون من الجيد إيجاد متجه الاتجاه للخط المستقيم. نظرًا لأن الخطوط عمودية ، فإن الحيلة بسيطة:

من المعادلة "نزيل" المتجه العادي: والذي سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم.

نؤلف معادلة الخط المستقيم بنقطة وناقل التوجيه:

إجابة:

دعونا نكشف عن الرسم الهندسي:

هممم ... سماء برتقالية ، بحر برتقالي ، جمل برتقالي.

التحقق التحليلي من الحل:

1) استخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وبمساعدة حاصل الضرب النقطي للناقلاتنستنتج أن الخطوط عمودية بالفعل:.

بالمناسبة ، يمكنك استخدام المتجهات العادية ، الأمر أسهل.

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة .

التحقق ، مرة أخرى ، من السهل القيام به لفظيًا.

مثال 7

أوجد نقطة تقاطع المستقيمات المتعامدة ، إذا كانت المعادلة معروفة ونقطة.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هناك العديد من الإجراءات في المهمة ، لذا فمن الملائم ترتيب الحل نقطة تلو الأخرى.

تستمر رحلتنا المثيرة:

المسافة من نقطة إلى خط

أمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه في أقصر الطرق. لا توجد عوائق ، وسيكون الطريق الأمثل هو الحركة على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط هي طول المقطع العمودي.

يشار إلى المسافة في الهندسة تقليديا رسالة يونانية"ro" ، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".

المسافة من نقطة إلى خط يتم التعبير عنها بالصيغة

المثال 8

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

حل: كل ​​ما تحتاجه هو استبدال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء العمليات الحسابية:

إجابة:

لننفذ الرسم:

المسافة التي تم العثور عليها من النقطة إلى الخط هي بالضبط طول الجزء الأحمر. إذا قمت بعمل رسم على ورق متقلب على مقياس من وحدة واحدة. = 1 سم (خليتان) ، ثم يمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

ضع في اعتبارك مهمة أخرى وفقًا لنفس الرسم:

المهمة هي إيجاد إحداثيات النقطة ، والتي تكون متناظرة مع النقطة بالنسبة للخط . أقترح تنفيذ الإجراءات بمفردك ، ومع ذلك ، سأحدد خوارزمية الحل بنتائج وسيطة:

1) ابحث عن خط عمودي على خط مستقيم.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطوط: .

تمت مناقشة كلا الإجراءين بالتفصيل في هذا الدرس.

3) النقطة هي منتصف المقطع. نعرف إحداثيات الوسط وأحد النهايات. بواسطة الصيغ لإحداثيات منتصف المقطعيجد .

لن يكون من غير الضروري التحقق من أن المسافة تساوي أيضًا 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات هنا في العمليات الحسابية ، ولكن في البرج تساعد الآلة الحاسبة الدقيقة كثيرًا ، مما يتيح لك العد الكسور المشتركة. لقد نصحت عدة مرات وسوف أوصي مرة أخرى.

كيف تجد المسافة بين خطين متوازيين؟

المثال 9

أوجد المسافة بين خطين متوازيين

هذا مثال آخر على حل مستقل. القليل من التلميح: هناك طرق عديدة لا حصر لها لحلها. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس ، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك ، أعتقد أنك تمكنت من تشتيت براعتك جيدًا.

الزاوية بين خطين

مهما كانت الزاوية ، ثم الدعامة:


في الهندسة ، تُؤخذ الزاوية بين خطين مستقيمين كزاوية أصغر ، والتي تتبع منها تلقائيًا أنه لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل ، الزاوية التي يشير إليها القوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. وجارتها "الخضراء" أو موجهة بشكل معاكسركن قرمزي.

إذا كانت الخطوط متعامدة ، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع كزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ توجيه. أولاً ، اتجاه "التمرير" في الزاوية مهم بشكل أساسي. ثانيًا ، يتم كتابة الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة ناقص ، على سبيل المثال ، إذا.

لماذا قلت هذا؟ يبدو أنه يمكنك تجاوز المفهوم المعتاد للزاوية. الحقيقة هي أنه في الصيغ التي سنجد بها الزوايا ، يمكن بسهولة الحصول على نتيجة سلبية ، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية بعلامة ناقص ليست أسوأ ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم لزاوية سالبة ، من الضروري الإشارة إلى اتجاهها (في اتجاه عقارب الساعة) بسهم.

كيف تجد الزاوية بين خطين؟توجد صيغتان للعمل:

المثال 10

أوجد الزاوية بين السطور

حلو الطريقة الأولى

ضع في اعتبارك خطين مستقيمين من المعادلات في نظرة عامة:

إذا كان مستقيما غير عمودي، الذي - التي الموجهةيمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعنا ننتبه جيدًا إلى المقام - هذا هو بالضبط منتج عدديناقلات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

إذا اختفى مقام الصيغة ، وستكون المتجهات متعامدة وستكون الخطوط متعامدة. هذا هو السبب في إبداء تحفظ بشأن عدم تعامد الخطوط في الصياغة.

بناءً على ما سبق ، يتم إضفاء الطابع الرسمي على الحل بشكل ملائم في خطوتين:

1) احسب منتج عدديناقلات الاتجاه للخطوط المستقيمة:
لذلك فإن الخطوط ليست عمودية.

2) نجد الزاوية بين السطور بالصيغة:

باستخدام وظيفة عكسيةمن السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة ، نستخدم غرابة قوس المماس (انظر الشكل. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية):

إجابة:

في الجواب أشر القيمة الدقيقة، بالإضافة إلى قيمة تقريبية (يفضل أن تكون بالدرجات والراديان) محسوبة باستخدام آلة حاسبة.

حسنًا ، ناقص ، ناقص ، لا بأس. هنا توضيح هندسي:

ليس من المستغرب أن تكون الزاوية سالبة الاتجاه ، لأنه في حالة المشكلة ، يكون الرقم الأول عبارة عن خط مستقيم ويبدأ "التواء" الزاوية منه بالضبط.

إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة ، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط المستقيمة ، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية ، وخذ المعاملات من المعادلة الأولى. باختصار ، عليك أن تبدأ مباشرة .

سيكون من المفيد لكل طالب يستعد لامتحان الرياضيات تكرار موضوع "إيجاد الزاوية بين السطور". كما تظهر الإحصائيات ، عند اجتياز اختبار التصديق ، فإن المهام في هذا القسم من القياس الفراغي تسبب صعوبات لعدد كبير من الطلاب. في الوقت نفسه ، توجد المهام التي تتطلب إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة في الاستخدام على كل من المستويين الأساسي والملف الشخصي. هذا يعني أن كل شخص يجب أن يكون قادرًا على حلها.

لحظات أساسية

هناك 4 أنواع من الترتيب المتبادل للخطوط في الفضاء. يمكن أن تتطابق أو تتقاطع أو تكون متوازية أو متقاطعة. يمكن أن تكون الزاوية بينهما حادة أو مستقيمة.

للعثور على الزاوية بين السطور في اختبار الدولة الموحد أو ، على سبيل المثال ، في الحل ، يمكن لأطفال المدارس في موسكو والمدن الأخرى استخدام عدة طرق لحل المشكلات في هذا القسم من القياس الفراغي. يمكنك إكمال المهمة من خلال الإنشاءات الكلاسيكية. للقيام بذلك ، يجدر تعلم البديهيات والنظريات الأساسية للقياس الفراغي. يحتاج الطالب إلى أن يكون قادرًا على بناء التفكير المنطقي وإنشاء الرسومات من أجل إحضار المهمة إلى مشكلة قياس المخطط.

يمكنك أيضًا استخدام طريقة تنسيق المتجه ، باستخدام صيغ وقواعد وخوارزميات بسيطة. الشيء الرئيسي في هذه الحالة هو إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح. سيساعدك مشروع Shkolkovo التعليمي على صقل مهاراتك في حل المشكلات في القياس الفراغي والأقسام الأخرى من الدورة المدرسية.