≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Корен квадратен от 10 е. Корен от n-та степен: определения, обозначение, примери

Време е за разглобяване методи за извличане на корени. Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е вярно за всяко неотрицателно число b.

По-долу ще разгледаме на свой ред основните методи за извличане на корени.

Нека започнем с най-простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица на квадратите, таблица на кубовете и т.н.

Ако таблиците от квадрати, кубчета и др. не е под ръка, логично е да се използва методът за извличане на корена, който включва разлагане на коренното число на прости фактори.

Отделно, струва си да се спрем на това, което е възможно за корени с нечетни експоненти.

И накрая, помислете за метод, който ви позволява да намерите последователно цифрите на стойността на корена.

Да започваме.

Използване на таблица с квадрати, таблица с кубове и др.

В най-простите случаи таблиците с квадрати, кубове и т.н. позволяват извличане на корени. Какви са тези таблици?

Таблицата с квадрати на цели числа от 0 до 99 включително (показана по-долу) се състои от две зони. Първата зона на масата е разположена на сив фон, ви позволява да направите число от 0 до 99, като изберете определен ред и конкретна колона. Например, нека изберем ред от 8 десетици и колона от 3 единици, с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от масата. Всяка негова клетка се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрат на съответното число от 0 до 99 . В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетици и колона 3 от единица има клетка с числото 6889, което е квадрат на числото 83.

Таблици с кубчета, таблици с четвърти степени на числа от 0 до 99 и т.н. са подобни на таблицата с квадрати, само че съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. във втората зона. съответните числа.

Таблици на квадрати, кубове, четвърти степени и др. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубични корени, четвърти корени и т.н. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното приложение при извличане на корени.

Да кажем, че трябва да извлечем корена на n-та степен от числото a, докато числото a се съдържа в таблицата на n-та степен. Според тази таблица намираме числото b такова, че a=b n . Тогава , следователно числото b ще бъде желаният корен от n-та степен.

Като пример, нека покажем как се извлича кубичният корен от 19683 с помощта на кубичната таблица. Намираме числото 19 683 в таблицата на кубовете, от което намираме, че това число е куб на числото 27, следователно, .

Ясно е, че таблиците от n-та степен са много удобни при извличане на корени. Те обаче често не са под ръка, а съставянето им изисква известно време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи трябва да се прибегне до други методи за извличане на корените.

Разлагане на корена на прости множители

Достатъчно удобен начин, което позволява извличане на корена от естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разлагането на коренното число на прости множители. Неговата същността е следната: след като е доста лесно да го представите като степен с желания индикатор, което ви позволява да получите стойността на корена. Нека обясним тази точка.

Нека коренът на n-та степен е извлечен от естествено число a и неговата стойност е равна на b. В този случай е вярно равенството a=b n. Число b като всеки друг естествено числоможе да бъде представено като произведение на всички негови прости множители p 1 , p 2 , ..., p m във формата p 1 p 2 ... p m , а коренът a в този случай е представен като (p 1 p 2 ... p m) n. Тъй като разлагането на числото на прости множители е уникално, разлагането на коренното число a на прости множители ще изглежда като (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , което прави възможно изчисляването на стойността на корена като .

Обърнете внимание, че ако факторизацията на коренното число a не може да бъде представена във формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , тогава коренът на n-та степен от такова число a не се извлича напълно.

Нека се справим с това, когато решаваме примери.

Пример.

Извадете корен квадратен от 144.

Решение.

Ако се обърнем към таблицата с квадрати, дадена в предишния параграф, ясно се вижда, че 144=12 2 , от което става ясно, че квадратният корен от 144 е 12 .

Но в светлината на тази точка, ние се интересуваме как се извлича коренът чрез разлагане на корена номер 144 на прости множители. Нека да разгледаме това решение.

Да се ​​разложим 144 на прости множители:

Тоест 144=2 2 2 2 3 3 . Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. следователно .

Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да се формулира малко по-различно: .

Отговор:

За да консолидирате материала, разгледайте решенията на още два примера.

Пример.

Изчислете коренната стойност.

Решение.

Разлагането на прости множители на корена от числото 243 е 243=3 5 . По този начин, .

Отговор:

Пример.

Стойността на корена цяло число ли е?

Решение.

За да отговорим на този въпрос, нека разложим коренното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.

Имаме 285 768=2 3 3 6 7 2 . Полученото разлагане не е представено като куб на цяло число, тъй като степента на простия множител 7 не е кратна на три. Следователно кубичният корен от 285 768 не се взема напълно.

Отговор:

Не.

Извличане на корени от дробни числа

Време е да разберем как се извлича коренът от дробно число. Нека дробният корен се запише като p/q. Според свойството на корена на частното е вярно следното равенство. От това равенство следва правило за дробен корен: Коренът на дроб е равен на частното от деленето на корена на числителя на корена на знаменателя.

Нека да разгледаме пример за извличане на корен от дроб.

Пример.

Какво е корен квадратен от обикновена дроб 25/169 .

Решение.

Според таблицата на квадратите откриваме, че квадратният корен от числителя на оригиналната дроб е 5, а квадратният корен от знаменателя е 13. Тогава . Това завършва извличането на корена от обикновената фракция 25/169.

Отговор:

Коренът на десетична дроб или смесено число се извлича след замяна на коренните числа с обикновени дроби.

Пример.

Вземете кубичния корен от десетичната запетая 474,552.

Решение.

Представете си оригинала десетичен знакпод формата на обикновена дроб: 474,552=474552/1000. Тогава . Остава да извлечем кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената фракция. защото 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , тогава И . Остава само да завършим изчисленията .

Отговор:

.

Извличане на корен от отрицателно число

Отделно, струва си да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. Когато изучавахме корени, казахме, че когато показателят на корена е нечетно число, тогава под знака на корена може да стои отрицателно число. Дадохме на тези обозначения следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корена 2 n−1, имаме . Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да извлечете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.

Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Намерете коренната стойност.

Решение.

Нека трансформираме оригиналния израз, така че под знака за корен да се появи положително число: . Сега заместваме смесеното число с обикновена дроб: . Прилагаме правилото за извличане на корен от обикновена дроб: . Остава да се изчислят корените в числителя и знаменателя на получената дроб: .

Ето обобщение на решението: .

Отговор:

.

Побитово намиране на коренната стойност

В общия случай под корена има число, което, използвайки техниките, разгледани по-горе, не може да бъде представено като n-та степен на което и да е число. Но в същото време е необходимо да се знае стойността на даден корен, поне до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява последователно да получавате достатъчен брой стойности на цифрите на желаното число.

Първата стъпка на този алгоритъм е да откриете кой е най-значимият бит от стойността на корена. За целта числата 0, 10, 100, ... се повдигат последователно на степен n, докато се получи число, надвишаващо числото на корена. Тогава числото, което повдигнахме на степен n в предишната стъпка, ще посочи съответния висок ред.

Например, помислете за тази стъпка от алгоритъма при извличане корен квадратенот пет. Взимаме числата 0, 10, 100, ... и ги повдигаме на квадрат, докато получим число, по-голямо от 5 . Имаме 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , което означава, че най-значимата цифра ще бъде цифрата на единиците. Стойността на този бит, както и на по-ниските, ще бъдат намерени в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.

Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно прецизиране на стойността на корена поради факта, че се намират стойностите на следващите цифри на желаната стойност на корена, започвайки от най-високата и преминавайки към най-ниската . Например стойността на корена в първата стъпка е 2, във втората - 2,2, в третата - 2,23 и така нататък 2,236067977 ... . Нека опишем как се намират стойностите на битовете.

Намирането на битове се извършва чрез изброяване на техните възможни стойности 0, 1, 2, ..., 9 . В този случай n-тите степени на съответните числа се изчисляват паралелно и се сравняват с коренното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се извършва преход към следващата стъпка на алгоритъма за извличане на корен, ако това не се случи, тогава стойността на тази цифра е 9 .

Нека обясним всички тези точки, използвайки същия пример за извличане на корен квадратен от пет.

Първо намерете стойността на цифрата на единиците. Ще повторим стойностите 0, 1, 2, …, 9, изчислявайки съответно 0 2 , 1 2 , …, 9 2, докато получим стойност, по-голяма от радикалното число 5 . Всички тези изчисления са удобно представени под формата на таблица:

Така че стойността на цифрата на единиците е 2 (защото 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Нека да преминем към намиране на стойността на десетото място. В този случай ще повдигнем на квадрат числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с корена номер 5:

От 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, тогава стойността на десетото място е 2. Можете да продължите към намиране на стойността на стотното място:

Така намерено следваща стойносткорен от пет, то е равно на 2,23. И така можете да продължите да намирате стойности по-нататък: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност до стотни, използвайки разглеждания алгоритъм.

Първо, дефинираме старшата цифра. За целта събираме на куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато получим число, по-голямо от 2151.186. Имаме 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, така че най-значимата цифра е цифрата на десетиците.

Нека да определим неговата стойност.

От 103<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, тогава стойността на десетицата е 1. Да преминем към единици.

Така стойността на мястото на единиците е 2 . Да преминем към десет.

Тъй като дори 12,9 3 е по-малко от радикалното число 2 151,186, стойността на десетото място е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, тя ще ни даде стойността на корена с необходимата точност.

На този етап стойността на корена се намира до стотни: .

В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които проучихме по-горе, са достатъчни.

Библиография.

• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

Преди появата на калкулаторите учениците и учителите изчисляваха квадратни корени на ръка. Има няколко начина за ръчно изчисляване на корен квадратен от число. Някои от тях предлагат само приблизително решение, други дават точен отговор.

стъпки

Разлагане на прости множители

Разложете коренното число на множители, които са квадратни числа.В зависимост от номера на корена ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да бъде извлечен целият квадратен корен. Факторите са числа, които, когато се умножат, дават оригиналното число. Например множителите на числото 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, числата 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратни множители са фактори, които са квадратни числа. Първо, опитайте се да разложите коренното число на квадратни множители.

• Например, изчислете корен квадратен от 400 (ръчно). Първо опитайте да разложите 400 на квадратни множители. 400 е кратно на 100, т.е. дели се на 25 - това е квадратно число. Разделянето на 400 на 25 ви дава 16. Числото 16 също е квадратно число. По този начин 400 може да се разложи на квадратни множители от 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.
• Това може да се запише по следния начин: √400 = √(25 x 16).

1. Коренът квадратен от произведението на някои членове е равен на произведението от корените квадратни на всеки член, тоест √(a x b) = √a x √b. Използвайте това правило и вземете квадратен корен от всеки квадратен фактор и умножете резултатите, за да намерите отговора.

   • В нашия пример вземете корен квадратен от 25 и 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 х 4 = 20

2. Ако радикалното число не се разделя на два квадратни фактора (а в повечето случаи е така), няма да можете да намерите точния отговор като цяло число. Но можете да опростите проблема, като разложите коренното число на квадратен множител и обикновен множител (число, от което не може да бъде взет целият квадратен корен). След това ще вземете корен квадратен от квадратния множител и ще вземете корен от обикновения множител.

   • Например, изчислете корен квадратен от числото 147. Числото 147 не може да се разложи на два квадратни множителя, но може да се разложи на следните множители: 49 и 3. Решете задачата, както следва:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ако е необходимо, оценете стойността на корена.Сега можете да оцените стойността на корена (намерете приблизителна стойност), като го сравните със стойностите на корените на квадратни числа, които са най-близо (от двете страни на числовата линия) до коренното число. Ще получите стойността на корена като десетична дроб, която трябва да бъде умножена по числото зад знака за корен.

   • Да се ​​върнем към нашия пример. Коренът е 3. Най-близките квадратни числа до него са числата 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). По този начин стойността на √3 е между 1 и 2. Тъй като стойността на √3 вероятно е по-близо до 2, отколкото до 1, нашата оценка е: √3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в знака на корена: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ако направите изчисленията на калкулатор, ще получите 12,13, което е доста близо до нашия отговор.
     • Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за √35. Коренът е 35. Най-близките квадратни числа до него са числата 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). По този начин стойността на √35 е между 5 и 6. Тъй като стойността на √35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (защото 35 е само с 1 по-малко от 36), можем да заявим, че √35 е малко по-малко от 6. Проверката с калкулатор ни дава отговор 5,92 – бяхме прави.

4. Друг начин е коренното число да се разложи на прости множители.Простите множители са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Напишете простите множители подред и намерете двойки еднакви множители. Такива фактори могат да бъдат извадени от знака на корена.

   • Например, изчислете квадратния корен от 45. Ние разлагаме корена на прости множители: 45 \u003d 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 може да бъде извадено от знака за корен: √45 = 3√5. Сега можем да оценим √5.
   • Помислете за друг пример: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Имате три множителя 2; вземете няколко от тях и ги извадете от знака на корена.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можем да оценим √2 и √11 и да намерим приблизителен отговор.

   Ръчно изчисляване на корен квадратен

   Използване на разделяне на колони

   1. Този метод включва процес, подобен на дългото деление и дава точен отговор.Първо начертайте вертикална линия, разделяща листа на две половини, и след това нарисувайте хоризонтална линия вдясно и малко под горния ръб на листа до вертикалната линия. Сега разделете коренното число на двойки числа, като започнете с дробната част след десетичната запетая. И така, числото 79520789182.47897 е написано като "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Например, нека изчислим корен квадратен от числото 780,14. Начертайте две линии (както е показано на снимката) и напишете числото в горния ляв ъгъл като "7 80, 14". Нормално е първата цифра отляво да е несдвоена цифра. Отговорът (коренът на даденото число) ще бъде изписан горе вдясно.

   2. Дадена е първата двойка числа (или едно число) отляво, намерете най-голямото цяло число n, чийто квадрат е по-малък или равен на въпросната двойка числа (или едно число). С други думи, намерете квадратното число, което е най-близо до, но по-малко от първата двойка числа (или едно число) отляво, и извадете квадратния корен от това квадратно число; ще получите числото n. Запишете намереното n горе вдясно и квадратчето n долу вдясно.

      • В нашия случай първото число отляво ще бъде числото 7. След това 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Извадете квадрата на числото n, което току-що намерихте, от първата двойка числа (или едно число) отляво.Запишете резултата от изчислението под субтрахенда (квадрата на числото n).

      • В нашия пример извадете 4 от 7, за да получите 3.

   4. Запишете втората двойка числа и я запишете до стойността, получена в предишната стъпка.След това удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавено „_×_=".

      • В нашия пример втората двойка числа е "80". Напишете "80" след 3. След това удвояването на числото от горния десен ъгъл дава 4. Напишете "4_×_=" от долния десен ъгъл.

   5. Попълнете празните полета вдясно.

      • В нашия случай, ако поставим числото 8 вместо тирета, тогава 48 x 8 \u003d 384, което е повече от 380. Следователно 8 е твърде голямо число, но 7 е добре. Напишете 7 вместо тирета и получете: 47 x 7 \u003d 329. Напишете 7 от горния десен ъгъл - това е втората цифра в желания корен квадратен от числото 780,14.

   6. Извадете полученото число от текущото число вляво.Запишете резултата от предишната стъпка под текущото число вляво, намерете разликата и я запишете под изваденото.

      • В нашия пример извадете 329 от 380, което е равно на 51.

   7. Повторете стъпка 4.Ако разрушената двойка числа е дробната част на оригиналното число, тогава поставете разделителя (запетая) на целите и дробните части в желания квадратен корен от горния десен ъгъл. Отляво пренесете надолу следващата двойка числа. Удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавено „_×_=".

      • В нашия пример следващата двойка числа, която ще бъде разрушена, ще бъде дробната част на числото 780.14, така че поставете разделителя на целите и дробните части в необходимия квадратен корен от горния десен ъгъл. Разрушете 14 и запишете долу вляво. Удвоете горния десен ъгъл (27) е 54, така че напишете "54_×_=" долу вдясно.

   8. Повторете стъпки 5 и 6.Намерете най-голямото число на мястото на тирета отдясно (вместо тирета трябва да замените същото число), така че резултатът от умножението да е по-малък или равен на текущото число отляво.

      • В нашия пример 549 x 9 = 4941, което е по-малко от текущото число вляво (5114). Напишете 9 горе вдясно и извадете резултата от умножението от текущото число вляво: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако трябва да намерите повече десетични знаци за квадратния корен, напишете двойка нули до текущото число отляво и повторете стъпки 4, 5 и 6. Повторете стъпките, докато получите точността на отговора, от който се нуждаете (брой десетични знаци).

      Разбиране на процеса

      1. За да овладеете този метод, представете си числото, чийто корен квадратен трябва да намерите, като лицето на квадрата S. В този случай ще търсите дължината на страната L на такъв квадрат. Изчислете стойността на L, за която L² = S.

         Въведете буква за всяка цифра в отговора си.Означете с A първата цифра в стойността на L (желания квадратен корен). B ще бъде втората цифра, C третата и така нататък.

         Посочете буква за всяка двойка водещи цифри.Означаваме с S a първата двойка цифри в стойността S, с S b втората двойка цифри и т.н.

         Обяснете връзката на този метод с дългото деление.Както при операцията за деление, където всеки път се интересуваме само от една следваща цифра от делимото число, когато изчисляваме квадратния корен, ние работим с двойка цифри в последователност (за да получим следващата една цифра в стойността на квадратния корен) .

      2. Помислете за първата двойка цифри Sa на числото S (Sa = 7 в нашия пример) и намерете неговия корен квадратен.В този случай първата цифра A от търсената стойност на квадратния корен ще бъде такава цифра, чийто квадрат е по-малък или равен на S a (т.е. търсим такова A, което удовлетворява неравенството A² ≤ съб< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Да кажем, че трябва да разделим 88962 на 7; тук първата стъпка ще бъде подобна: разглеждаме първата цифра на делимото число 88962 (8) и избираме най-голямото число, което, умножено по 7, дава стойност, по-малка или равна на 8. Тоест, търсим число d, за което е вярно неравенството: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Мислено си представете квадрата, чиято площ трябва да изчислите.Търсите L, тоест дължината на страната на квадрат, чиято площ е S. A, B, C са числа в числото L. Можете да го напишете по различен начин: 10A + B \u003d L (за две -цифрено число) или 100A + 10B + C \u003d L (за трицифрено число) и т.н.

         • Позволявам (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Не забравяйте, че 10A+B е число, чието B означава единици, а A означава десетици. Например, ако A=1 и B=2, тогава 10A+B е равно на числото 12. (10A+B)²е площта на целия квадрат, 100A²е площта на големия вътрешен квадрат, B²е площта на малкия вътрешен квадрат, 10A×Bе площта на всеки от двата правоъгълника. Добавяйки площите на описаните фигури, ще намерите площта на оригиналния квадрат.

Математиката се ражда, когато човек осъзнава себе си и започва да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля, е това, което е в основата на една от фундаменталните науки на нашето време. Първоначално това бяха части от елементарната математика, които позволяваха да се свържат числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както каза един учен, " математиката достигна тавана на сложността, когато всички числа." Концепцията за "квадратен корен" се появява във време, когато може лесно да бъде подкрепена от емпирични данни, излизащи отвъд равнината на изчисленията.

Как започна всичко

Първото споменаване на корена, който в момента се обозначава като √, е записано в писанията на вавилонските математици, които полагат основите на съвременната аритметика. Разбира се, те изглеждаха малко като сегашната форма - учените от онези години за първи път използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. те излязоха с приблизителна формула за изчисление, която показа как да се извади корен квадратен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонски учени са издълбали изходния процес √2 и той се оказва толкова правилен, че несъответствието в отговора се открива само в десетия знак след десетичната запетая.

Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие че другите две са известни. Е, когато се решават квадратни уравнения, няма измъкване от извличането на корена.

Наред с вавилонските трудове обектът на статията е изследван в китайския труд "Математика в девет книги", а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не е извлечен без остатък, дава ирационален резултат.

Произходът на този термин се свързва с арабското представяне на числото: древните учени вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, като растение. На латински тази дума звучи като radix (може да се проследи модел - всичко, което има "коренно" семантично натоварване, е съгласно, било то репичка или ишиас).

Учените от следващите поколения подхванаха тази идея, обозначавайки я като Rx. Например, през 15-ти век, за да се покаже, че квадратният корен е взет от произволно число a, те са написали R 2 a. „Кърлежът“ √, познат на съвременния облик, се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически квадратният корен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 =y е еквивалентно на √y=z. Това определение обаче е приложимо само за аритметичния корен, тъй като предполага неотрицателна стойност на израза. С други думи, √y=z, където z е по-голямо или равно на 0.

Като цяло, което е валидно за определяне на алгебричен корен, стойността на израз може да бъде положителна или отрицателна. Така, поради факта, че z 2 =y и (-z) 2 =y, имаме: √y=±z или √y=|z|.

Поради факта, че любовта към математиката се е увеличила само с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, които не се изразяват в сухи изчисления. Например, наред с такива интересни събития като деня на Пи, се празнуват и празниците на квадратния корен. Празнуват се девет пъти на сто години и се определят на следния принцип: числата, които означават деня и месеца по ред, трябва да бъдат корен квадратен от годината. Така че следващият път този празник ще бъде отбелязан на 4 април 2016 г.

Свойства на квадратния корен върху полето R

Почти всички математически изрази имат геометрична основа, тази съдба не подмина и √y, което се определя като страна на квадрат с площ y.

Как да намерим корена на число?

Има няколко алгоритъма за изчисление. Най-простият, но в същото време доста тромав, е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) от числото, чийто корен ни трябва, се изваждат последователно нечетни числа - докато остатъкът от изхода стане по-малък от извадения или дори равен на нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане желаното число. Например, изчисляване на корен квадратен от 25:

Следващото нечетно число е 11, остатъкът е: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение на серия Тейлър:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, където n приема стойности от 0 до

+∞ и |y|≤1.

Графично представяне на функцията z=√y

Да разгледаме елементарна функция z=√y върху полето от реални числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Диаграмата й изглежда така:

Кривата расте от началото и задължително пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z=√y върху полето от реални числа R

1. Областта на дефиниране на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата е включена).

2. Диапазонът от стойности на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (отново е включена нула).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z=√y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z=√y не е периодична.

6. Има само една пресечна точка на графиката на функцията z=√y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z=√y е и нулата на тази функция.

8. Функцията z=√y непрекъснато нараства.

9. Функцията z=√y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Опции за показване на функцията z=√y

В математиката, за да се улесни изчисляването на сложни изрази, понякога се използва степенната форма на записване на корен квадратен: √y=y 1/2. Тази опция е удобна, например, при повдигане на функция на степен: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Този метод също е добро представяне за диференциране с интегриране, тъй като благодарение на него квадратният корен се представя от обикновена степенна функция.

А в програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Струва си да се отбележи, че в тази област квадратният корен е много търсен, тъй като е част от повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се самоизвиква).

Квадратният корен в комплексното поле C

Като цяло темата на тази статия стимулира откриването на полето на комплексните числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на корен от четна степен от отрицателно число. Така се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: нейният квадрат е -1. Благодарение на това квадратни уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C, за квадратния корен, същите свойства са приложими като в R, единственото нещо е, че ограниченията върху коренния израз са премахнати.

В тази статия ще ви представим понятието корен на число. Ще действаме последователно: ще започнем с квадратния корен, от него ще преминем към описанието на кубичния корен, след което ще обобщим концепцията за корена, като дефинираме корена на n-та степен. В същото време ще въведем определения, нотация, ще дадем примери за корени и ще дадем необходимите обяснения и коментари.

Корен квадратен, корен квадратен аритметичен

За да разберем дефиницията на корена на числото и в частност квадратния корен, човек трябва да има . В този момент често ще срещаме втората степен на числото - квадрата на числото.

Да започнем с дефиниции на корен квадратен.

Определение

Корен квадратен от aе числото, чийто квадрат е a .

За да донесе примери за квадратни корени, вземем няколко числа, например 5 , −0.3 , 0.3 , 0 и ги повдигнем на квадрат, получаваме съответно числата 25 , 0.09 , 0.09 и 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 и 0 2 =0 0=0 ). Тогава според дефиницията по-горе 5 е корен квадратен от 25, −0,3 и 0,3 са корен квадратен от 0,09, а 0 е корен квадратен от нула.

Трябва да се отбележи, че не за всяко число a съществува, чийто квадрат е равен на a. А именно, за всяко отрицателно число a няма реално число b, чийто квадрат да е равен на a. Наистина, равенството a=b 2 е невъзможно за всяко отрицателно a , тъй като b 2 е неотрицателно число за всяко b . По този начин, в множеството от реални числа няма корен квадратен от отрицателно число. С други думи, в множеството от реални числа квадратният корен от отрицателно число не е дефиниран и няма значение.

Това води до логичен въпрос: „Има ли квадратен корен от a за всяко неотрицателно a“? Отговорът е да. Обосновката на този факт може да се счита за конструктивен метод, използван за намиране на стойността на квадратния корен.

Тогава възниква следният логичен въпрос: „Какъв е броят на всички квадратни корени от дадено неотрицателно число а – едно, две, три или дори повече“? Ето отговора на него: ако a е нула, тогава единственият квадратен корен от нула е нула; ако a е някакво положително число, тогава броят на квадратните корени от числото a е равен на две, а корените са . Нека обосновем това.

Нека започнем със случая a=0. Нека първо покажем, че нулата наистина е корен квадратен от нула. Това следва от очевидното равенство 0 2 =0·0=0 и дефиницията на квадратния корен.

Сега нека докажем, че 0 е единственият квадратен корен от нула. Нека използваме обратния метод. Да приемем, че има някакво ненулево число b, което е корен квадратен от нула. Тогава условието b 2 =0 трябва да бъде изпълнено, което е невъзможно, тъй като за всяко ненулево b стойността на израза b 2 е положителна. Стигнахме до противоречие. Това доказва, че 0 е единственият квадратен корен от нула.

Нека да преминем към случаите, когато а е положително число. По-горе казахме, че винаги има корен квадратен от всяко неотрицателно число, нека b е корен квадратен от a. Да кажем, че има число c , което също е квадратен корен от a . Тогава по дефиницията на квадратния корен са валидни равенствата b 2 =a и c 2 =a, от които следва, че b 2 −c 2 =a−a=0, но тъй като b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , тогава (b−c) (b+c)=0 . Полученото равенство в сила свойства на действия с реални числавъзможно само когато b−c=0 или b+c=0. Така числата b и c са равни или противоположни.

Ако приемем, че има число d, което е друг корен квадратен от числото a, тогава чрез разсъждения, подобни на вече дадените, се доказва, че d е равно на числото b или числото c. И така, броят на квадратните корени от положително число е две, а квадратните корени са противоположни числа.

За удобство при работа с квадратни корени, отрицателният корен е "отделен" от положителния. За целта въвежда дефиниция на аритметичен квадратен корен.

Определение

Аритметичен корен квадратен от неотрицателно число ае неотрицателно число, чийто квадрат е a .

За аритметичния корен квадратен от числото a се приема записът. Знакът се нарича знак за аритметичен квадратен корен. Нарича се още знакът на радикала. Следователно можете отчасти да чуете и "корен", и "радикал", което означава един и същ обект.

Извиква се числото под знака за аритметичен квадратен корен корен номер, а изразът под знака за корен - радикален израз, докато терминът "радикално число" често се заменя с "радикален израз". Например в записа числото 151 е радикално число, а в записа изразът a е радикален израз.

При четене думата "аритметика" често се пропуска, например записът се чете като "корен квадратен от седем точка двадесет и девет стотни." Думата "аритметика" се произнася само когато искат да подчертаят, че говорим за положителен корен квадратен от число.

В светлината на въведената нотация от дефиницията на аритметичния квадратен корен следва, че за всяко неотрицателно число a .

Квадратните корени на положително число a се записват с помощта на аритметичния знак за квадратен корен като и . Например квадратният корен от 13 е и . Аритметичният корен квадратен от нула е нула, т.е. За отрицателни числа a няма да придаваме значение на записите, докато не изучим комплексни числа. Например изразите и са безсмислени.

Въз основа на определението за квадратен корен се доказват свойства на квадратния корен, които често се използват в практиката.

За да завършим този подраздел, отбелязваме, че квадратните корени на число са решения на формата x 2 =a по отношение на променливата x.

кубичен корен от

Дефиниция на кубичния коренна числото a се дава по начин, подобен на дефиницията на корен квадратен. Само че се основава на концепцията за куб от число, а не за квадрат.

Определение

Кубичният корен от aсе нарича число, чийто куб е равен на a.

Да донесем примери за кубични корени. За да направите това, вземете няколко числа, например 7 , 0 , −2/3 , и ги подредете на куб: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Тогава, въз основа на дефиницията на кубичния корен, можем да кажем, че числото 7 е кубичен корен от 343, 0 е кубичен корен от нула и −2/3 е кубичен корен от −8/27.

Може да се покаже, че кубичният корен на числото a, за разлика от квадратния корен, винаги съществува и не само за неотрицателно a, но и за всяко реално число a. За да направите това, можете да използвате същия метод, който споменахме, когато изучавахме квадратния корен.

Освен това има само един кубичен корен от дадено число a. Нека докажем последното твърдение. За да направите това, разгледайте три случая поотделно: a е положително число, a=0 и a е отрицателно число.

Лесно е да се покаже, че за положително a кубичният корен от a не може да бъде нито отрицателен, нито нула. Наистина, нека b е кубичен корен от a , тогава по дефиниция можем да запишем равенството b 3 =a . Ясно е, че това равенство не може да бъде вярно за отрицателно b и за b=0, тъй като в тези случаи b 3 =b·b·b ще бъде съответно отрицателно число или нула. Така че кубичният корен на положително число a е положително число.

Да предположим сега, че освен числото b има още един кубичен корен от числото a, нека го обозначим с. Тогава c 3 =a. Следователно, b 3 −c 3 =a−a=0 , но b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(това е формулата за съкратено умножение разлика от кубчета), откъдето (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Полученото равенство е възможно само когато b−c=0 или b 2 +b c+c 2 =0 . От първото равенство имаме b=c, а второто равенство няма решения, тъй като лявата му част е положително число за всякакви положителни числа b и c като сбор от три положителни члена b 2 , b c и c 2 . Това доказва уникалността на кубичния корен на положително число a.

За a=0, единственият кубичен корен от a е нула. Наистина, ако приемем, че има число b , което е различен от нула кубичен корен от нула, тогава равенството b 3 =0 трябва да е в сила, което е възможно само когато b=0 .

За отрицателно a може да се спори подобно на случая за положително a. Първо, показваме, че кубичният корен на отрицателно число не може да бъде равен нито на положително число, нито на нула. Второ, приемаме, че има втори кубичен корен от отрицателно число и показваме, че той задължително ще съвпадне с първия.

Така че винаги има кубичен корен от дадено реално число а и само един.

Да дадем дефиниция на аритметичен кубичен корен.

Определение

Аритметичен кубичен корен от неотрицателно число aсе нарича неотрицателно число, чийто куб е равен на a.

Аритметичният кубичен корен на неотрицателно число a се означава като , знакът се нарича знак на аритметичния кубичен корен, числото 3 в тази нотация се нарича индикатор за корен. Числото под знака на корена е корен номер, изразът под знака за корен е радикален израз.

Въпреки че аритметичният кубичен корен е дефиниран само за неотрицателни числа a, също така е удобно да се използват записи, в които отрицателните числа са под знака за аритметичен кубичен корен. Ще ги разбираме по следния начин: , където a е положително число. Например, .

Ще говорим за свойствата на кубичните корени в общата статия свойства на корените.

Изчисляването на стойността на кубичен корен се нарича извличане на кубичен корен, това действие се обсъжда в статията извличане на корени: методи, примери, решения.

За да завършим този подраздел, казваме, че кубичният корен на a е решение от вида x 3 =a.

N-ти корен, аритметичен корен от n

Обобщаваме понятието корен от число – въвеждаме определяне на корен n-таза n.

Определение

n-ти корен от aе число, чиято n-та степен е равна на a.

От тази дефиниция става ясно, че коренът на първата степен от числото a е самото число a, тъй като при изучаване на степента с естествен показател взехме a 1 = a.

По-горе разгледахме частни случаи на корен от n-та степен за n=2 и n=3 - корен квадратен и корен кубичен. Тоест квадратният корен е корен от втора степен, а кубичният корен е корен от трета степен. За да изследваме корените на n-та степен за n=4, 5, 6, ..., е удобно да ги разделим на две групи: първата група - корените на четни степени (т.е. за n=4, 6 , 8, ...), втората група - корените на нечетни степени (т.е. за n=5, 7, 9, ... ). Това се дължи на факта, че корените от четни степени са подобни на корен квадратен, а корените от нечетни степени са подобни на корен кубичен. Нека се справим с тях на свой ред.

Да започнем с корените, чиито степени са четните числа 4, 6, 8, ... Както вече казахме, те са подобни на корен квадратен от числото a. Тоест коренът на всяка четна степен от числото a съществува само за неотрицателно a. Освен това, ако a=0, тогава коренът на a е единствен и равен на нула, а ако a>0, тогава има два корена с четна степен от числото a и те са противоположни числа.

Нека обосновем последното твърдение. Нека b е корен от четна степен (означаваме го като 2·m, където m е някакво естествено число) от a. Да предположим, че има число c - друг корен от степен 2 m от числото a. Тогава b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Но ние знаем за формата b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), тогава (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. От това равенство следва, че b−c=0 , или b+c=0 , или b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Първите две равенства означават, че числата b и c са равни или b и c са противоположни. И последното равенство е валидно само за b=c=0, тъй като лявата му страна съдържа израз, който е неотрицателен за всякакви b и c като сбор от неотрицателни числа.

Що се отнася до корените от n-та степен за нечетно n, те са подобни на кубичния корен. Тоест коренът на всяка нечетна степен от числото a съществува за всяко реално число a и за дадено число a той е уникален.

Уникалността на корена от нечетна степен 2·m+1 от числото a се доказва по аналогия с доказателството за уникалността на кубичния корен от a . Само че тук вместо равенство a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)равенство от вида b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Изразът в последната скоба може да бъде пренаписан като b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Например, за m=2 имаме b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Когато и a и b са положителни или и двете отрицателни, техният продукт е положително число, тогава изразът b 2 +c 2 +b·c , който е в скобите на най-високата степен на вложеност, е положителен като сбор от положителни числа. Сега, преминавайки последователно към изразите в скоби на предишните степени на вложеност, се уверяваме, че те също са положителни като суми на положителни числа. В резултат на това получаваме, че равенството b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0възможно само когато b−c=0, тоест когато числото b е равно на числото c.

Време е да се занимаем с нотацията на корените на n-та степен. За това се дава определяне на аритметичния корен на n-та степен.

Определение

Аритметичният корен от n-та степен на неотрицателно число aсе нарича неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на а.

Учениците винаги питат: „Защо не мога да използвам калкулатор на изпит по математика? Как да извадя корен квадратен от число без калкулатор? Нека се опитаме да отговорим на този въпрос.

Как да извадя корен квадратен от число без помощта на калкулатор?

Действие извличане на корен квадратенобратното на квадратурата.

√81= 9 9 2 =81

Ако вземем квадратен корен от положително число и повдигнем на квадрат резултата, получаваме същото число.

От малки числа, които са точни квадрати на естествени числа, например 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, квадратни корени могат да бъдат извлечени устно. Обикновено в училище учат таблица с квадрати на естествени числа до двадесет. Познавайки тази таблица, е лесно да извлечете квадратните корени от числата 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. От числа, по-големи от 400, можете да извлечете чрез метода за избор, като използвате някои съвети. Нека опитаме пример, за да разгледаме този метод.

Пример: Извадете корена на числото 676.

Забелязваме, че 20 2 \u003d 400 и 30 2 \u003d 900, което означава 20< √676 < 900.

Точните квадрати на естествените числа завършват на 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Числото 6 е дадено от 4 2 и 6 2 .
Така че, ако коренът е взет от 676, тогава той е или 24, или 26.

Остава да проверим: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Отговор: √676 = 26 .

| Повече ▼ пример: √6889 .

Тъй като 80 2 \u003d 6400 и 90 2 \u003d 8100, тогава 80< √6889 < 90.
Числото 9 е дадено от 3 2 и 7 2, тогава √6889 е или 83, или 87.

Проверка: 83 2 = 6889.

Отговор: √6889 = 83 .

Ако ви е трудно да решите чрез метода за избор, тогава можете да факторизирате коренния израз.

Например, намерете √893025.

Нека разложим на множители числото 893025, не забравяйте, че го направихте в шести клас.

Получаваме: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

| Повече ▼ пример: √20736. Нека разложим на множители числото 20736:

Получаваме √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Разбира се, факторизирането изисква познаване на критериите за делимост и умения за факторизиране.

И накрая, има правило за квадратен корен. Нека разгледаме това правило с пример.

Изчислете √279841.

За да извлечем корена на многоцифрено цяло число, ние го разделяме отдясно наляво на лица, съдържащи по 2 цифри (може да има една цифра в крайната лява страна). Напишете така 27'98'41

За да получим първата цифра от корена (5), извличаме квадратния корен от най-големия точен квадрат, който се съдържа в първото ляво лице (27).
Тогава квадратът на първата цифра на корена (25) се изважда от първото лице и следващото лице (98) се приписва (разрушава) на разликата.
Вляво от полученото число 298 те записват двойната цифра на корена (10), разделят на него броя на всички десетки от предварително полученото число (29/2 ≈ 2), изпитват частното (102 ∙ 2 = 204 не трябва да е повече от 298) и напишете (2) след първата цифра на корена.
След това полученото частно 204 се изважда от 298 и следващият аспект (41) се приписва (разрушава) на разликата (94).
Отляво на полученото число 9441 записват двойното произведение на цифрите на корена (52 ∙ 2 = 104), разделете на този продукт броя на всички десетки на числото 9441 (944/104 ≈ 9), опит частното (1049 ∙ 9 = 9441) трябва да бъде 9441 и го запишете (9) след втората цифра на корена.

Получихме отговора √279841 = 529.

По същия начин екстракт корени от десетични дроби. Само коренното число трябва да бъде разделено на лица, така че запетаята да е между лицата.

Пример. Намерете стойността √0,00956484.

Само не забравяйте, че ако десетичната дроб има нечетен брой десетични знаци, точният квадратен корен не се извлича от нея.

И така, сега видяхте три начина за извличане на корена. Изберете този, който ви подхожда най-добре и практикувайте. За да научите как да решавате проблеми, трябва да ги разрешите. И ако имате въпроси, запишете се за моите уроци.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.