द्विभाजक विपरीत दिशा को विभाजित करता है। कोण द्विभाजक। संपूर्ण पाठ - ज्ञान हाइपरमार्केट
ज्यामिति सबसे जटिल और जटिल विज्ञानों में से एक है। इसमें, जो पहली नज़र में स्पष्ट लगता है, बहुत कम ही सही निकलता है। द्विभाजक, ऊँचाई, माध्यिकाएँ, अनुमान, स्पर्शरेखाएँ - वास्तव में कठिन शब्दों की एक बड़ी संख्या, जिन्हें भ्रमित करना बहुत आसान है।
वास्तव में, उचित इच्छा से आप किसी भी जटिलता के सिद्धांत को समझ सकते हैं। जब द्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई की बात आती है, तो आपको यह समझने की आवश्यकता है कि वे त्रिभुजों के लिए अद्वितीय नहीं हैं। पहली नजर में यह सरल रेखाएँ, लेकिन उनमें से प्रत्येक के अपने गुण और कार्य हैं, जिसका ज्ञान ज्यामितीय समस्याओं के समाधान को बहुत सरल करता है। तो, त्रिभुज का समद्विभाजक क्या है?
परिभाषा
"द्विभाजक" शब्द लैटिन शब्द "दो" और "कट", "कट" के संयोजन से आता है, जो पहले से ही अप्रत्यक्ष रूप से इसके गुणों को इंगित करता है। आमतौर पर, जब बच्चों को इस किरण से परिचित कराया जाता है, तो उन्हें याद रखने के लिए एक छोटा वाक्यांश पेश किया जाता है: "द्विभाजक एक चूहा है जो कोनों के चारों ओर चलता है और कोने को आधे हिस्से में विभाजित करता है।" स्वाभाविक रूप से, इस तरह की व्याख्या पुराने छात्रों के लिए उपयुक्त नहीं है, इसके अलावा, वे आमतौर पर कोण के बारे में नहीं, बल्कि ज्यामितीय आकृति के बारे में पूछते हैं। अतः त्रिभुज का समद्विभाजक एक किरण है जो कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करते हुए त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ता है। एक मनमाना त्रिकोण के विपरीत पक्ष का बिंदु, जिस पर द्विभाजक आता है, यादृच्छिक रूप से चुना जाता है।
बुनियादी कार्य और गुण
इस किरण के कुछ बुनियादी गुण हैं। सबसे पहले, क्योंकि एक त्रिभुज का समद्विभाजक कोण को द्विभाजित करता है, उस पर स्थित कोई भी बिंदु शीर्ष बनाने वाली भुजाओं से समान दूरी पर होगा। दूसरे, उपलब्ध कोणों की संख्या के अनुसार प्रत्येक त्रिभुज में तीन समद्विभाजक खींचे जा सकते हैं (इसलिए, एक ही चतुर्भुज में उनमें से पहले से ही चार होंगे, और इसी तरह)। जिस बिंदु पर तीनों किरणें प्रतिच्छेद करती हैं वह त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र है।
गुण अधिक जटिल हो जाते हैं
आइए सिद्धांत को थोड़ा जटिल करें। एक और दिलचस्प गुण: त्रिभुज का कोण द्विभाजक विपरीत भुजा को खंडों में विभाजित करता है जिसका अनुपात शीर्ष बनाने वाली भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। पहली नज़र में, यह मुश्किल है, लेकिन वास्तव में सब कुछ सरल है: प्रस्तावित चित्र में, RL:LQ = PR:PK। वैसे, इस संपत्ति को "द्विभाजक प्रमेय" कहा जाता है और यह पहली बार कार्यों में दिखाई दिया प्राचीन यूनानी गणितज्ञयूक्लिड। उन्होंने उसे केवल सत्रहवीं शताब्दी की पहली तिमाही में रूसी पाठ्यपुस्तकों में से एक में याद किया।
थोड़ा और कठिन। एक चतुर्भुज में, द्विभाजक एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है। इस चित्र में, माध्यिका AF के सभी समान कोणों को अंकित किया गया है।
और चतुष्कोणों और ट्रेपेज़ोइड्स में भी, एक तरफा कोणों के द्विभाजक एक दूसरे के लंबवत होते हैं। आरेखण में, कोण APB 90 डिग्री है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में
द्विभाजक समद्विबाहु त्रिकोण- बहुत अधिक उपयोगी बीम. यह न केवल आधे में कोण का विभाजक है, बल्कि एक माध्यिका और ऊंचाई भी है।
माध्यिका एक खंड है जो किसी कोण से निकलता है और विपरीत दिशा के मध्य में गिरता है, जिससे इसे समान भागों में विभाजित किया जाता है। ऊँचाई शीर्ष से विपरीत दिशा में गिरा हुआ एक लंब है, यह इसकी सहायता से है कि किसी भी समस्या को एक सरल और आदिम पाइथागोरस प्रमेय में कम किया जा सकता है। इस स्थिति में, त्रिभुज का समद्विभाजक कर्ण और दूसरे पाद के वर्ग के अंतर के मूल के बराबर होता है। वैसे, यह वह संपत्ति है जो अक्सर ज्यामितीय समस्याओं में होती है।
ठीक करने के लिए: इस त्रिभुज में, समद्विभाजक FB माध्यिका (AB=BC) और ऊँचाई (कोण FBC और FBA 90 डिग्री हैं) है।
मोटे तौर पर
तो आपको क्या याद रखने की ज़रूरत है? त्रिभुज का समद्विभाजक एक किरण है जो इसके शीर्ष को समद्विभाजित करती है। तीन किरणों के चौराहे पर इस त्रिभुज में खुदा हुआ चक्र का केंद्र है (इस संपत्ति का एकमात्र नुकसान यह है कि इसका कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है और केवल ड्राइंग के सक्षम निष्पादन के लिए कार्य करता है)। यह विपरीत पक्ष को खंडों में भी विभाजित करता है, जिसका अनुपात उन पक्षों के अनुपात के बराबर होता है जिनके बीच यह किरण गुजरती है। एक चतुर्भुज में गुण थोड़े अधिक जटिल होते हैं, लेकिन, ईमानदार होने के लिए, वे व्यावहारिक रूप से विद्यालय स्तर के कार्यों में नहीं होते हैं, इसलिए वे आमतौर पर कार्यक्रम में प्रभावित नहीं होते हैं।
एक समद्विबाहु त्रिभुज का समद्विभाजक किसी भी छात्र का अंतिम सपना होता है। यह माध्यिका (अर्थात, यह विपरीत भुजा को आधे में विभाजित करती है) और ऊँचाई (इस भुजा के लंबवत) दोनों है। ऐसे समद्विभाजक के साथ समस्याओं को हल करना पायथागॉरियन प्रमेय में कम हो जाता है।
माध्य और दोनों की ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए द्विभाजक के मूल कार्यों के साथ-साथ इसके मुख्य गुणों का ज्ञान आवश्यक है उच्च स्तरकठिनाइयों। वास्तव में, यह किरण केवल समतलमिति में पाई जाती है, इसलिए यह नहीं कहा जा सकता है कि इसके बारे में जानकारी याद रखने से आप सभी प्रकार के कार्यों का सामना कर सकेंगे।
सोरोकिना वीका
एक त्रिभुज के समद्विभाजक के गुणों के प्रमाण दिए गए हैं और समस्याओं को हल करने के लिए सिद्धांत के अनुप्रयोग पर विचार किया गया है।
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पूर्व दर्शन:
सेराटोव, ओक्त्रैबर्स्की जिला नगरपालिका स्वायत्त प्रशासन की शिक्षा समिति शैक्षिक संस्थालिसेयुम №3 आईएम। ए एस पुष्किन।
नगर वैज्ञानिक और व्यावहारिक
सम्मेलन
"पहले कदम"
विषय: द्विभाजक और उसके गुण।
काम पूरा किया गया: 8 वीं कक्षा का एक छात्र
सोरोकिना विक्टोरियापर्यवेक्षक: उच्चतम श्रेणी का गणित शिक्षकपोपोवा नीना फेडोरोवना
सेराटोव 2011
- शीर्षक पृष्ठ …………………………………………………… 1
- सामग्री …………………………………………………… 2
- परिचय और उद्देश्य ……………………………………………………… 3
- द्विभाजक के गुणों पर विचार
- बिंदुओं का तीसरा स्थान …………………………… 3
- प्रमेय 1 ……………………………………………………… 4
- प्रमेय 2 …………………………………………………… 4
- त्रिभुज के द्विभाजक की मुख्य संपत्ति:
- प्रमेय 3 ……………………………………………………… 4
- कार्य 1 ……………………………………………………… .7
- टास्क 2…………………………………………………….8
- टास्क 3…………………………………………………………………9
- कार्य 4 ……………………………………………………… 9-10
- प्रमेय 4 …………………………………………………… 10-11
- द्विभाजक खोजने के सूत्र:
- प्रमेय 5 ……………………………………………………… 11
- प्रमेय 6 …………………………………………………… 11
- प्रमेय 7 ……………………………………………………… 12
- टास्क 5…………………………………………………………………12-13
- प्रमेय 8……………………………………………………13
- टास्क 6 ……………………………………………………… 14
- टास्क 7……………………………………………………14-15
- कार्डिनल बिंदुओं के द्विभाजक का उपयोग करके निर्धारण ……………… 15
- निष्कर्ष और निष्कर्ष ………………………………………… 15
- प्रयुक्त साहित्य की सूची ………………………………..16
द्विभाजक
एक ज्यामिति के पाठ में, समान त्रिभुजों के विषय का अध्ययन करते हुए, मुझे द्विभाजक के विपरीत पक्षों के अनुपात पर प्रमेय पर एक समस्या का सामना करना पड़ा। ऐसा लगता है कि द्विभाजक के विषय में कुछ दिलचस्प हो सकता है, लेकिन इस विषय में मुझे दिलचस्पी थी, और मैं इसे और गहराई से अध्ययन करना चाहता था। आखिरकार, द्विभाजक इसमें बहुत समृद्ध है अद्भुत गुणविभिन्न समस्याओं को हल करने में मदद करने के लिए।
इस विषय पर विचार करते समय, आप देख सकते हैं कि ज्यामिति की पाठ्यपुस्तकें द्विभाजक के गुणों के बारे में बहुत कम कहती हैं, और परीक्षा में, उन्हें जानकर, आप समस्याओं को बहुत आसान और तेज़ी से हल कर सकते हैं। इसके अलावा, जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा पास करने के लिए, आधुनिक छात्रों को अध्ययन करने की आवश्यकता है अतिरिक्त सामग्रीस्कूल के पाठ्यक्रम के लिए। इसलिए मैंने द्विभाजक के विषय का अधिक विस्तार से अध्ययन करने का निर्णय लिया।
द्विभाजक (लैटिन द्वि- "डबल", और सेक्शन से कोण का "काटना") - कोण के शीर्ष पर शुरुआत के साथ एक किरण, कोण को दो समान भागों में विभाजित करना। एक कोण का द्विभाजक (इसके विस्तार के साथ) कोण के किनारे (या उनके विस्तार) से समदूरस्थ बिंदुओं का स्थान है)
बिंदुओं का तीसरा स्थान
चित्रा एफ बिंदुओं का स्थान (बिंदुओं का समूह) है जिसमें कुछ संपत्ति होती हैए, यदि दो शर्तें पूरी होती हैं:
- इस तथ्य से कि बिंदु आकृति का हैएफ, यह इस प्रकार है कि उसके पास संपत्ति हैए;
- इस तथ्य से कि बिंदु संपत्ति को संतुष्ट करता हैए, यह इस प्रकार है कि यह आकृति से संबंधित हैएफ।
ज्यामिति में माने जाने वाले बिंदुओं का पहला बिंदुपथ एक वृत्त है, अर्थात एक निश्चित बिंदु से समदूरस्थ बिंदुओं का स्थान। दूसरा खंड का लंबवत द्विभाजक है, अर्थात एक खंड के अंत से समदूरस्थ बिंदुओं का स्थान। और अंत में, तीसरा - द्विभाजक - कोण के किनारों से समतुल्य बिंदुओं का स्थान
प्रमेय 1:
द्विभाजक के बिंदु भुजाओं से समान रूप से दूर होते हैंवह एक कोना है।
सबूत:
चलो पी - द्विभाजक बिंदुएक। बिंदू से गिराओआर लंबवतआरवी और पीसी प्रति साइड कॉर्नर. तब VAR = SAR कर्ण और तीव्र कोण. इसलिए, आरवी = पीसी
प्रमेय 2:
यदि बिंदु P कोण A की भुजाओं से समान दूरी पर है, तो यह द्विभाजक पर स्थित है.
उपपत्ति: РВ = PC => ВАР = СAP => BAP= CAP => АР एक समद्विभाजक है।
बुनियादी ज्यामितीय तथ्यों में प्रमेय को जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए कि द्विभाजक विपरीत पक्षों के संबंध में विपरीत पक्ष को विभाजित करता है। यह तथ्य लंबे समय तक छाया में रहा, लेकिन हर जगह ऐसी समस्याएं हैं जिन्हें हल करना बहुत आसान है यदि आप इसे और द्विभाजक के बारे में अन्य तथ्यों को जानते हैं। मुझे दिलचस्पी हो गई, और मैंने द्विभाजक की इस संपत्ति को और गहराई से तलाशने का फैसला किया।
त्रिभुज के कोण द्विभाजक का मूल गुण
प्रमेय 3। समद्विभाजक त्रिभुज की विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के संबंध में विभाजित करता है.
सबूत 1:
दिया गया: AL- त्रिभुज ABC का द्विभाजक
सिद्ध करना:
उपपत्ति : मान लीजिए F- एक रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदुअल और एक बिंदु से गुजरने वाली रेखामें भुजा AC के समानांतर।
तब बीएफए = एफएसी = बीएएफ। इसलिए बीएएफ समद्विबाहु औरएबी = बीएफ। त्रिभुजों की समानता सेएएलसी और एफएलबी हमारे पास है
अनुपात
कहाँ
प्रमाण 2
मान लीजिए कि F रेखा AL द्वारा प्रतिच्छेदित बिंदु है और आधार AB के समांतर बिंदु C से गुजरने वाली रेखा है। तब आप तर्क दोहरा सकते हैं।
प्रमाण 3
K और M को रेखा पर गिराए गए लंबों के आधार होने दें AL बिंदु B और C से क्रमश। त्रिभुज ABL और ACL दो कोणों में समरूप हैं। इसीलिए
. और बीकेएल और सीएमएल की समानता से हमारे पास है
यहाँ से
प्रमाण 4
आइए क्षेत्र विधि का उपयोग करें। त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की गणना कीजिएएबीएल और एसीएल दो रास्ते हैं।
यहाँ से।
प्रमाण 5
चलो α= बीएसी,φ= बीएलए। त्रिभुज ABL में ज्या प्रमेय द्वारा
और त्रिभुज ACL में.
क्योंकि ,
फिर, समानता के दोनों भागों को दूसरे के संगत भागों से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं.
कार्य 1
दिया गया: त्रिभुज ABC में, VC समद्विभाजक है, BC=2, KS=1,
समाधान:
कार्य 2
दिया गया:
24 और 18 पैरों वाले एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों के समद्विभाजक ज्ञात कीजिए
समाधान:
माना पाद AC = 18, पाद BC = 24,
पूर्वाह्न त्रिभुज का द्विभाजक है।
पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा, हम पाते हैं
वह एबी = 30।
के बाद से
इसी तरह, हम दूसरा द्विभाजक पाते हैं।
उत्तर:
कार्य 3
एक समकोण त्रिभुज में ABC समकोण B के साथ कोण द्विभाजकए पार की ओरईसा पूर्व
बिंदु पर डी. यह ज्ञात है कि बीडी = 4, डीसी = 6।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिएएडीसी
समाधान:
त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण द्वारा
AB = 2 x , AC = 3 x को निरूपित करें। प्रमेय द्वारा
पायथागॉरियन बीसी 2 + एबी 2 = एसी 2, या 100 + 4 x 2 = 9 x 2
यहाँ से हम पाते हैं x = तब AB = , S ABC=
इस तरह,
कार्य 4
दिया गया:
एक समद्विबाहु त्रिभुज मेंएबीसी ओरअब 10 के बराबर, आधारएसी 12 है।
कोण द्विभाजकए और सी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करनाडी। बी.डी. का पता लगाएं।
समाधान:
चूँकि त्रिभुज के समद्विभाजक पर प्रतिच्छेद करते हैं
एक बिंदु, तो BD, B का समद्विभाजक है। बी.डी. जारी रखें के साथ चौराहे तकएसी बिंदु M पर। फिर एम एसी, बीएम एसी का मध्य बिंदु है। इसीलिए
क्योंकि सी.डी - त्रिभुज द्विभाजकफिर बीएमसी
इस तरह,।
उत्तर:
प्रमेय 4। त्रिभुज के तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दरअसल, पहले दो द्विभाजक के चौराहे के बिंदु पी पर विचार करें, उदाहरण के लिए, एके 1 और कुलपति 2 . यह बिंदु AB और AC भुजाओं से समान रूप से दूर है, क्योंकि यह द्विभाजक पर स्थित हैए, और समद्विभाजक से संबंधित एबी और बीसी पक्षों से समान रूप से हटा दिया गयाबी। इसलिए, यह समान रूप से एसी और बीसी से हटा दिया गया है और इस प्रकार एससी के तीसरे द्विभाजक के अंतर्गत आता है 3 अर्थात्, बिंदु P पर, तीनों समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं।
द्विभाजक खोजने के सूत्र
प्रमेय 5: (द्विभाजक के लिए पहला सूत्र): यदि त्रिभुज ABC में खंड AL एक समद्विभाजक है A, तो AL² = AB AC - LB LC।
सबूत: M को त्रिभुज ABC के चारों ओर परिचालित वृत्त के साथ रेखा AL का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें (चित्र 41)। सम्मेलन द्वारा बीएएम कोण मैक कोण के बराबर है। कोण बीएमए और बीसीए एक ही जीवा पर आधारित अंतःकोण के बराबर हैं। इसलिए, त्रिभुज BAM और LAC दो कोणों में समरूप हैं। इसलिए, AL: AC = AB: AM। तो AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC। Q.E.D.
प्रमेय6:। (द्विभाजक के लिए दूसरा सूत्र): त्रिभुज एबीसी में पक्षों के साथ एबी = ए, एसी = बी औरA, 2α के बराबर और l का द्विभाजक, समानता होती है:
एल = (2ab / (a+b)) cosα।
सबूत : मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है, AL इसका समद्विभाजक है, a=AB, b=AC, l=AL। तब एसएबीसी = एस एएलबी + एस एएलसी . इसलिए, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 7: यदि a, b त्रिभुज की भुजाएँ हैं, तो उनके बीच का कोण Y है,इस कोण का द्विभाजक है। तब.
औसत स्तर
त्रिभुज का द्विभाजक। विस्तृत सिद्धांतउदाहरणों के साथ (2019)
त्रिभुज का द्विभाजक और उसके गुण
क्या आप जानते हैं कि रेखा का मध्य बिंदु क्या होता है? बेशक तुम्हारे पास है। और वृत्त का केंद्र? वही। एक कोण का मध्य बिंदु क्या होता है? आप कह सकते हैं कि ऐसा नहीं होता है। लेकिन क्यों, खंड को आधे में विभाजित किया जा सकता है, लेकिन कोण को नहीं? यह बहुत संभव है - सिर्फ एक बिंदी नहीं, लेकिन .... पंक्ति।
चुटकुला याद रखें: द्विभाजक एक चूहा है जो कोनों के चारों ओर दौड़ता है और कोने को आधे में विभाजित करता है। तो, द्विभाजक की वास्तविक परिभाषा इस मजाक के समान ही है:
त्रिभुज का द्विभाजकत्रिभुज के कोण के द्विभाजक का एक खंड है, जो इस कोण के शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ता है।
एक बार, प्राचीन खगोलविदों और गणितज्ञों ने द्विभाजक के कई दिलचस्प गुणों की खोज की। इस ज्ञान ने लोगों के जीवन को बहुत सरल बना दिया है। निर्माण करना, दूरियों की गणना करना, यहाँ तक कि तोपों की फायरिंग को सही करना भी आसान हो गया है ... लेकिन इन गुणों का ज्ञान हमें GIA और एकीकृत राज्य परीक्षा के कुछ कार्यों को हल करने में मदद करेगा!
पहला ज्ञान जो इसमें मदद करेगा - एक समद्विबाहु त्रिभुज का द्विभाजक।
वैसे, क्या आपको ये सभी शर्तें याद हैं? क्या आपको याद है कि वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं? नहीं? डरावना ना होना। अब इसका पता लगाते हैं।
इसलिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार- यह वह पक्ष है जो किसी अन्य के बराबर नहीं है। तस्वीर को देखिए, आपको क्या लगता है कि यह किस तरफ है? यह सही है - यह एक पक्ष है।
माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष से खींची गई और विभाजित करने वाली रेखा है विपरीत दिशा(यह फिर से) आधे में।
ध्यान दें कि हम यह नहीं कहते हैं, "एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका।" आप जानते हैं क्यों? क्योंकि त्रिभुज के शीर्ष से खींची गई माध्यिका किसी त्रिभुज में विपरीत भुजा को समद्विभाजित करती है।
ठीक है, ऊँचाई एक रेखा है जो शीर्ष और लंबवत से आधार तक खींची जाती है। आपने गौर किया? हम फिर से किसी भी त्रिकोण के बारे में बात कर रहे हैं, सिर्फ समद्विबाहु नहीं। किसी भी त्रिभुज में ऊंचाई हमेशा आधार के लंबवत होती है।
तो, क्या आपने इसका पता लगाया है? लगभग। एक द्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई को बेहतर ढंग से समझने और याद रखने के लिए, उन्हें एक दूसरे के साथ तुलना करने और यह समझने की आवश्यकता है कि वे कैसे समान हैं और वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं। उसी समय, बेहतर याद रखने के लिए, सब कुछ का वर्णन करना बेहतर होता है " मानव भाषा"। तब आप आसानी से गणित की भाषा से काम चला लेंगे, लेकिन पहले तो आपको यह भाषा समझ में नहीं आती है और आपको अपनी भाषा में सब कुछ समझने की जरूरत है।
तो वे समान कैसे हैं? द्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई - वे सभी त्रिभुज के शीर्ष से "बाहर जाते हैं" और विपरीत दिशा में रहते हैं और "कुछ करते हैं" या तो जिस कोण से वे बाहर आते हैं, या विपरीत दिशा में। मुझे लगता है कि यह आसान है, नहीं?
और वे कैसे भिन्न हैं?
- द्विभाजक उस कोण को समद्विभाजित करता है जिससे वह बाहर निकलता है।
- माध्यिका विपरीत दिशा को समद्विभाजित करती है।
- ऊंचाई हमेशा विपरीत दिशा में लंबवत होती है।
इतना ही। समझना आसान है। एक बार जब आप समझ जाते हैं, तो आप याद रख सकते हैं।
अब अगला प्रश्न। फिर, एक समद्विबाहु त्रिभुज के मामले में, द्विभाजक एक ही समय में माध्यिका और ऊँचाई दोनों क्यों निकलता है?
आप केवल आकृति को देख सकते हैं और यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि माध्यिका दो बिल्कुल समान त्रिभुजों में बंट जाती है। बस इतना ही! लेकिन गणितज्ञ अपनी आंखों पर विश्वास करना पसंद नहीं करते। उन्हें सब कुछ साबित करने की जरूरत है। डरावना शब्द? ऐसा कुछ नहीं - सब कुछ सरल है! देखो: और समान भुजाएँ हैं और, उनका एक सामान्य पक्ष है और। (- समद्विभाजक!) और इसलिए, यह पता चला कि दो त्रिभुजों की दो समान भुजाएँ होती हैं और उनके बीच एक कोण होता है। हम त्रिकोणों की समानता के पहले संकेत को याद करते हैं (आपको याद नहीं है, विषय को देखें) और निष्कर्ष निकालते हैं, जिसका अर्थ = और है।
यह पहले से ही अच्छा है - इसका मतलब है कि यह औसत निकला।
लेकिन यह है क्या?
आइए देखते हैं तस्वीर-. और हमें वह मिल गया। तो भी! अंत में, हुर्रे! और।
क्या आपको यह प्रमाण कठिन लगा? चित्र को देखें - दो समान त्रिभुज अपने लिए बोलते हैं।
किसी भी मामले में, कृपया याद रखें:
अब यह कठिन है: हम गिनेंगे किसी भी त्रिभुज के समद्विभाजकों के बीच का कोण !डरो मत, यह इतना मुश्किल नहीं है। तस्वीर पर देखो:
आइए इसे गिनें। क्या आपको वो याद है त्रिभुज के कोणों का योग होता है?
आइए इस अद्भुत तथ्य को लागू करें।
एक ओर, से:
वह है।
अब देखते हैं:
लेकिन द्विभाजक, द्विभाजक!
आइए इसके बारे में याद रखें:
अब पत्रों के माध्यम से
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
क्या यह आश्चर्यजनक नहीं है? ऐसा पता चला कि दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण केवल तीसरे कोण पर निर्भर करता है!
खैर, हमने दो द्विभाजक देखे। क्या होगा अगर तीन हैं ?? !! क्या वे सभी एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे?
या होगा?
आप क्या सोचते है? यहाँ गणितज्ञों ने सोचा और सोचा और साबित किया:
बहुत बढ़िया?
क्या आप जानना चाहते हैं कि ऐसा क्यों होता है?
तो... दो सही त्रिकोण: और। उन्होंने है:
- सामान्य कर्ण।
- (क्योंकि - द्विभाजक!)
अतः - कोण और कर्ण द्वारा। इसलिए, इन त्रिभुजों के संगत पाद बराबर हैं! वह है।
हमने सिद्ध किया कि बिंदु कोण की भुजाओं से समान रूप से (या समान रूप से) हटा दिया गया है। बिंदु 1 का निपटारा किया गया है। अब चलिए बिंदु 2 पर चलते हैं।
2 सही क्यों है?
और डॉट्स कनेक्ट करें।
तो, वह द्विभाजक पर स्थित है!
बस इतना ही!
समस्या समाधान के लिए यह सब कैसे लागू किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, कार्यों में अक्सर ऐसा वाक्यांश होता है: "सर्कल कोण के किनारों को छूता है ..."। ठीक है, आपको कुछ खोजने की जरूरत है।
आप इसे जल्दी समझ जाते हैं
और आप समानता का उपयोग कर सकते हैं।
3. त्रिभुज में तीन समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं
द्विभाजक की संपत्ति से कोण के किनारों से समतुल्य बिंदुओं का स्थान होने के लिए, निम्नलिखित कथन निम्नानुसार है:
यह बिल्कुल कैसे बहता है? लेकिन देखो: दो समद्विभाजक निश्चित रूप से प्रतिच्छेद करेंगे, है ना?
और तीसरा द्विभाजक इस प्रकार हो सकता है:
लेकिन वास्तव में, सब कुछ बहुत बेहतर है!
आइए दो समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर विचार करें। चलो उसे बुलाओ।
हमने दोनों बार यहां क्या इस्तेमाल किया? हाँ परिच्छेद 1, बिल्कुल! यदि कोई बिंदु समद्विभाजक पर स्थित है, तो वह कोण की भुजाओं से समान रूप से दूर होता है।
और ऐसा ही हुआ।
लेकिन इन दोनों समानताओं को ध्यान से देखें! आखिरकार, यह उनसे अनुसरण करता है और इसलिए, .
और अब यह काम करने जा रहा है बिंदु 2: यदि कोण की भुजाओं की दूरियाँ बराबर हों, तो बिंदु किस कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है? तस्वीर को फिर से देखें:
और कोण की भुजाओं की दूरियां हैं, और वे बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु कोण के द्विभाजक पर स्थित है। तीसरा द्विभाजक उसी बिंदु से होकर गुजरा! तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं! और, एक अतिरिक्त उपहार के रूप में -
त्रिज्या अंकित कियाहलकों।
(निष्ठा के लिए, दूसरे विषय को देखें)।
खैर, अब आप कभी नहीं भूलेंगे:
त्रिभुज के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु इसमें अंकित वृत्त का केंद्र होता है।
चलो अगली संपत्ति पर चलते हैं ... वाह, और द्विभाजक में बहुत सारी संपत्तियां होती हैं, है ना? और यह बहुत अच्छा है, क्योंकि अधिक गुण, द्विभाजक के बारे में समस्याओं को हल करने के लिए और अधिक उपकरण।
4. द्विभाजक और समांतरता, आसन्न कोणों के द्विभाजक
तथ्य यह है कि द्विभाजक कुछ मामलों में कोण को द्विभाजित करता है, पूरी तरह से अप्रत्याशित परिणाम देता है। उदाहरण के लिए,
मामला एक
यह बहुत अच्छा है, है ना? आइए समझते हैं क्यों।
एक ओर, हम एक द्विभाजक खींच रहे हैं!
लेकिन, दूसरी ओर, - आड़े-तिरछे पड़े कोनों की तरह (विषय को याद रखें)।
और अब पता चला है कि; बीच से बाहर फेंको : ! - समद्विबाहु!
मामला 2
एक त्रिभुज की कल्पना करें (या चित्र देखें)
आइए अगल-बगल जारी रखें। अब दो कोने हैं:
- - भीतरी कोना
- - बाहरी कोना - यह बाहर है, है ना?
तो, और अब कोई एक नहीं, बल्कि दो द्विभाजक एक साथ खींचना चाहता था: दोनों के लिए और इसके लिए। क्या हो जाएगा?
और यह निकलेगा आयताकार!
हैरानी की बात है, बिल्कुल ऐसा ही है।
हम समझते है।
आपको क्या लगता है राशि क्या है?
बेशक, क्योंकि वे सभी एक साथ ऐसा कोण बनाते हैं कि यह एक सीधी रेखा बन जाती है।
और अब हम उसे याद करते हैं और समद्विभाजक हैं और हम देखेंगे कि अंदर का कोण ठीक है आधाचारों कोणों के योग से: और - - यानी, बिल्कुल। इसे एक समीकरण के रूप में भी लिखा जा सकता है:
तो, अविश्वसनीय लेकिन सच है:
आंतरिक और के द्विभाजक के बीच का कोण बाहरी कोनात्रिभुज बराबर है।
मामला 3
देखें कि यहां सब कुछ वैसा ही है जैसा भीतरी और बाहरी कोनों के लिए है?
या हम फिर से सोचते हैं कि ऐसा क्यों है?
फिर से, के रूप में आसन्न कोने,
(समानांतर आधारों के अनुरूप)।
और फिर से, श्रृंगार करो ठीक आधायोग से
निष्कर्ष:यदि समस्या में समद्विभाजक हैं संबंधितकोण या द्विभाजक संबंधितसमांतर चतुर्भुज या चतुर्भुज के कोण, फिर इस समस्या में निश्चित रूप सेएक समकोण त्रिभुज शामिल है, और शायद एक संपूर्ण आयत भी।
5. द्विभाजक और विपरीत पक्ष
यह पता चला है कि त्रिभुज के कोण का द्विभाजक विपरीत दिशा को किसी तरह नहीं, बल्कि एक विशेष और बहुत ही रोचक तरीके से विभाजित करता है:
वह है:
आश्चर्यजनक तथ्य, है ना?
अब हम इस तथ्य को सिद्ध कर देंगे, लेकिन तैयार हो जाइए: यह पहले से थोड़ा अधिक कठिन होगा।
दोबारा - "अंतरिक्ष" से बाहर निकलें - एक अतिरिक्त इमारत!
सीधे चलते हैं।
किसलिए? अब हम देखेंगे।
हम द्विभाजक को रेखा के साथ चौराहे तक जारी रखते हैं।
एक परिचित तस्वीर? हां, हां, हां, बिल्कुल वैसा ही जैसा कि पैराग्राफ 4 में है, केस 1 - यह पता चला है कि (- द्विभाजक)
जैसे आड़े-तिरछे लेटना
तो ये भी है।
अब आइए त्रिकोणों को देखें और।
उनके बारे में क्या कहा जा सकता है?
वे समान हैं। ठीक है, हाँ, उनके कोण लंबवत के बराबर हैं। तो दो कोने।
अब हमें संबंधित पक्षों के संबंधों को लिखने का अधिकार है।
और अब संक्षिप्त संकेतन में:
ओह! मुझे कुछ याद दिलाता है, है ना? क्या हम यही साबित नहीं करना चाहते थे? हाँ, हाँ, बस!
आप देखते हैं कि "स्पेसवॉक" कितना महान साबित हुआ - एक अतिरिक्त सीधी रेखा का निर्माण - इसके बिना कुछ भी नहीं होता! और इसलिए, हमने यह साबित कर दिया
अब आप इसे सुरक्षित रूप से उपयोग कर सकते हैं! आइए एक त्रिकोण के कोणों के द्विभाजक की एक और संपत्ति का विश्लेषण करें - डरो मत, अब सबसे कठिन काम खत्म हो गया है - यह आसान हो जाएगा।
हमें वह मिल गया
प्रमेय 1:
प्रमेय 2:
प्रमेय 3:
प्रमेय 4:
प्रमेय 5:
प्रमेय 6:
प्रमेय। द्विभाजक भीतर का कोनात्रिभुज विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपातिक भागों में विभाजित करता है।
सबूत। त्रिभुज ABC (चित्र 259) और इसके कोण B के समद्विभाजक पर विचार करें। आइए हम समद्विभाजक VC के समांतर शीर्ष C से होकर एक रेखा CM खींचते हैं, जब तक कि यह भुजा AB की निरंतरता के साथ बिंदु M पर प्रतिच्छेद न करे। चूँकि VC कोण ABC का समद्विभाजक है, तो . इसके अलावा, समानांतर रेखाओं पर संगत कोणों के रूप में, और समानांतर रेखाओं पर आड़े-तिरछे कोणों के रूप में। यहाँ से और इसलिए - समद्विबाहु, कहाँ से। प्रमेय के अनुसार समांतर रेखाओं पर कोण के किनारों को पार करने पर, हमारे पास है और इसे देखते हुए हमें मिलता है, जिसे साबित करना आवश्यक था।
त्रिभुज ABC (चित्र। 260) के बाहरी कोण B के द्विभाजक में एक समान गुण होता है: खंड AL और CL, शीर्ष A और C से द्विभाजक के बिंदु L तक, भुजा AC की निरंतरता के साथ होते हैं। त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती:
यह गुण पिछले वाले की तरह ही सिद्ध होता है: अंजीर में। 260 एक सहायक सीधी रेखा SM खींची गई है, जो द्विभाजक BL के समानांतर है। पाठक स्वयं BMC और BCM कोणों की समानता के बारे में आश्वस्त हो जाएगा, और इसलिए त्रिभुज BMC की भुजाएँ BM और BC, जिसके बाद आवश्यक अनुपात तुरंत प्राप्त हो जाएगा।
हम कह सकते हैं कि बाह्य कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती भागों में विभाजित करता है; केवल खंड के "बाहरी विभाजन" की अनुमति देने के लिए सहमत होना आवश्यक है।
बिंदु एल, जो सेगमेंट एसी (इसकी निरंतरता पर) के बाहर स्थित है, इसे बाहरी रूप से विभाजित करता है यदि तो, त्रिभुज के कोण के द्विभाजक (आंतरिक और बाहरी) विपरीत पक्ष (आंतरिक और बाहरी) को आनुपातिक भागों में विभाजित करते हैं आसन्न पक्षों के लिए।
समस्या 1. समलम्बाकार की भुजाएँ 12 और 15 हैं, आधार 24 और 16 हैं। समलम्बाकार के बड़े आधार और उसके विस्तारित पक्षों द्वारा गठित त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
समाधान। अंजीर के अंकन में। 261 हमारे पास पार्श्व पक्ष की निरंतरता के रूप में सेवा करने वाले खंड के लिए है, जिस अनुपात से हम आसानी से पाते हैं इसी तरह हम त्रिकोण के दूसरे पक्ष को निर्धारित करते हैं तीसरा पक्ष बड़े आधार के साथ मेल खाता है: .
समस्या 2. चतुर्भुज के आधार 6 और 15 हैं। छोटे आधार के शीर्षों से गिनती करते हुए आधारों के समानांतर और 1:2 के अनुपात में भुजाओं को विभाजित करने वाले खंड की लंबाई क्या है?
समाधान। आइए अंजीर की ओर मुड़ें। 262 एक ट्रेपेज़ॉइड का चित्रण। छोटे आधार के शीर्ष C के माध्यम से हम पार्श्व भुजा AB के समानांतर एक रेखा खींचते हैं, जो समलम्बाकार से एक समांतर चतुर्भुज को काटती है। चूंकि, तब यहां से हम पाते हैं। इसलिए, संपूर्ण अज्ञात खंड KL के बराबर है।
प्रश्न 3. त्रिभुज ABC के आंतरिक कोण B का समद्विभाजक भुजा AC को शीर्षों A और C से कितनी दूरी पर खंडों में काटता है, बाह्य कोण B का समद्विभाजक विस्तार AC को प्रतिच्छेद करेगा?
समाधान। कोण B का प्रत्येक समद्विभाजक AC को समान अनुपात में विभाजित करता है, लेकिन एक आंतरिक रूप से और दूसरा बाह्य रूप से। हम L द्वारा AC की निरंतरता के चौराहे के बिंदु और बाहरी कोण B के द्विभाजक को निरूपित करते हैं। चूंकि AK तब तक हम अज्ञात दूरी AL को निरूपित करते हैं और हमारे पास वह अनुपात होगा जिसका समाधान हमें आवश्यक दूरी देता है
ड्राइंग खुद करो।
अभ्यास
1. आधार 8 और 18 के साथ एक समलंब को आधारों के समानांतर सीधी रेखाओं से समान चौड़ाई की छह पट्टियों में विभाजित किया जाता है। समलंब को पट्टियों में विभाजित करने वाले रेखाखंडों की लंबाई ज्ञात कीजिए।
2. त्रिभुज का परिमाप 32 है। कोण A का समद्विभाजक भुजा BC को 5 और 3 के बराबर भागों में विभाजित करता है। त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
3. एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार a है, भुजा b है। आधार के कोनों के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को भुजाओं से जोड़ने वाले खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।
आज एक बहुत ही आसान पाठ होने जा रहा है। हम केवल एक वस्तु - कोण द्विभाजक - पर विचार करेंगे और इसके सबसे महत्वपूर्ण गुण को सिद्ध करेंगे, जो भविष्य में हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा।
बस आराम न करें: कभी-कभी जो छात्र पहले पाठ में उसी OGE या USE पर उच्च अंक प्राप्त करना चाहते हैं, वे समद्विभाजक की सटीक परिभाषा भी नहीं बना सकते हैं।
और वास्तव में दिलचस्प कार्य करने के बजाय हम ऐसी सरल चीजों पर समय व्यतीत करते हैं। तो पढ़िए, देखिए - और अपनाइए। :)
शुरू करने के लिए, थोड़ा अजीब सवाल: कोण क्या है? यह सही है: एक कोण एक ही बिंदु से निकलने वाली केवल दो किरणें हैं। उदाहरण के लिए:
कोणों के उदाहरण: न्यून, अधिक और समकोण जैसा कि आप चित्र से देख सकते हैं, कोने नुकीले, कुंद, सीधे हो सकते हैं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अक्सर, सुविधा के लिए, प्रत्येक किरण पर एक अतिरिक्त बिंदु अंकित किया जाता है और वे कहते हैं, हमारे पास एक कोण $AOB$ है ($\angle AOB$ के रूप में लिखा गया है)।
कप्तान को संकेत मिलता है कि $OA$ और $OB$ किरणों के अलावा, कोई हमेशा $O$ बिंदु से किरणों का एक गुच्छा खींच सकता है। लेकिन उनमें से एक विशेष होगा - इसे समद्विभाजक कहा जाता है।
परिभाषा। किसी कोण का समद्विभाजक वह किरण होती है जो उस कोण के शीर्ष से निकलती है और कोण को समद्विभाजित करती है।
उपरोक्त कोणों के लिए, समद्विभाजक इस प्रकार दिखाई देंगे:
तीव्र, अधिक और समकोण के लिए द्विभाजक के उदाहरण
चूँकि वास्तविक रेखाचित्रों में यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि एक निश्चित किरण (हमारे मामले में, यह $OM$ किरण है) प्रारंभिक कोण को दो समान भागों में विभाजित करती है, यह ज्यामिति में समान कोणों के साथ समान कोणों को चिह्नित करने के लिए प्रथागत है। चाप (हमारे ड्राइंग में यह एक तीव्र कोण के लिए 1 चाप है, दो कुंद के लिए, तीन सीधे के लिए)।
ठीक है, हमने परिभाषा निकाली। अब आपको यह समझने की जरूरत है कि द्विभाजक के गुण क्या हैं।
कोण द्विभाजक की मूल संपत्ति
वास्तव में, द्विभाजक के बहुत सारे गुण हैं। और हम निश्चित रूप से अगले पाठ में उन पर विचार करेंगे। लेकिन एक तरकीब है जिसे आपको अभी समझने की जरूरत है:
प्रमेय। किसी कोण का समद्विभाजक दिए गए कोण की भुजाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ होता है।
गणितीय से रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ है एक साथ दो तथ्य:
- कोण के द्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु चालू है समान दूरीइस कोने के किनारों से।
- और इसके विपरीत: यदि कोई बिंदु किसी दिए गए कोण के किनारों से समान दूरी पर स्थित है, तो इस कोण के द्विभाजक पर स्थित होने की गारंटी है।
इन बयानों को साबित करने से पहले, आइए एक बिंदु स्पष्ट करें: वास्तव में, एक बिंदु से एक कोण की तरफ की दूरी क्या कहलाती है? एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की अच्छी पुरानी परिभाषा यहाँ हमारी सहायता करेगी:
परिभाषा। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई है।
उदाहरण के लिए, एक रेखा $I$ पर विचार करें और एक बिंदु $A$ जो इस रेखा पर स्थित न हो। एक लम्ब $AH$ बनाएँ, जहाँ $H\in l$। तब इस लंब की लंबाई बिंदु $A$ से रेखा $l$ की दूरी होगी।
एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी का चित्रमय प्रतिनिधित्व चूँकि एक कोण केवल दो किरणें होती हैं, और प्रत्येक किरण एक रेखा का एक टुकड़ा होती है, इसलिए एक बिंदु से कोण की भुजाओं की दूरी निर्धारित करना आसान होता है। यह सिर्फ दो लंब हैं:
एक बिंदु से एक कोण की भुजाओं की दूरी ज्ञात कीजिए बस इतना ही! अब हम जानते हैं कि दूरी क्या है और द्विभाजक क्या है। इसलिए, हम मुख्य संपत्ति साबित कर सकते हैं।
जैसा कि वादा किया गया है, हम प्रमाण को दो भागों में विभाजित करते हैं:
1. समद्विभाजक के एक बिंदु से कोण की भुजाओं की दूरियाँ समान होती हैं
वर्टेक्स $O$ और द्विभाजक $OM$ के साथ एक मनमाना कोण पर विचार करें:
आइए सिद्ध करें कि यही बिंदु M कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है।
सबूत। आइए बिंदु $M$ से कोण की भुजाओं पर लंब बनाएं। आइए उन्हें $M((H)_(1))$ और $M((H)_(2))$ कहते हैं:
कोने के किनारों पर लंबवत ड्रा करें
हमें दो समकोण त्रिभुज मिले: $\vartriangle OM((H)_(1))$ और $\vartriangle OM((H)_(2))$। उनके पास एक सामान्य कर्ण $OM$ और समान कोण हैं:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ धारणा के अनुसार (चूंकि $OM$ एक द्विभाजक है);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ निर्माण द्वारा;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ क्योंकि योग एक समकोण त्रिभुज का न्यूनकोण हमेशा 90 डिग्री के बराबर होता है।
इसलिए, त्रिभुज भुजाओं और दो आसन्न कोणों में बराबर होते हैं (त्रिकोणों की समानता के चिह्न देखें)। इसलिए, विशेष रूप से, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, यानी बिंदु $O$ से कोण की भुजाओं की दूरी वास्तव में बराबर होती है। Q.E.D. :)
2. यदि दूरियाँ बराबर हों, तो बिंदु द्विभाजक पर स्थित होता है
अब स्थिति उलट गई है। चलो एक कोण $O$ और एक बिंदु $M$ इस कोण के किनारों से समान दूरी पर दिया गया है:
आइए सिद्ध करें कि किरण $OM$ एक समद्विभाजक है, अर्थात $\कोण एमओ((एच)_(1))=\कोण एमओ((एच)_(2))$।
सबूत। आरंभ करने के लिए, आइए इसी किरण $OM$ को आरेखित करें, अन्यथा सिद्ध करने के लिए कुछ भी नहीं होगा:
बीम $OM$ कोने के अंदर बिताया
हमें फिर से दो समकोण त्रिभुज मिले: $\vartriangle OM((H)_(1))$ और $\vartriangle OM((H)_(2))$। जाहिर है वे बराबर हैं क्योंकि:
- कर्ण $OM$ आम है;
- पैर $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ शर्त के अनुसार (क्योंकि बिंदु $M$ कोने के किनारों से समान दूरी पर है);
- शेष पैर भी बराबर हैं, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय द्वारा $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$।
इसलिए, त्रिभुज $\vartriangle OM((H)_(1))$ और $\vartriangle OM((H)_(2))$ तीन तरफ। विशेष रूप से, उनके कोण बराबर हैं: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$। और इसका मतलब सिर्फ इतना है कि $OM$ एक द्विभाजक है।
प्रमाण के निष्कर्ष में, हम लाल चापों के साथ बने समान कोणों को चिह्नित करते हैं:
द्विभाजक कोण $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ को दो बराबर भागों में विभाजित करता है
जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। हमने सिद्ध किया है कि कोण का समद्विभाजक इस कोण की भुजाओं के समदूरस्थ बिंदुओं का बिन्दुपथ होता है। :)
अब जब हमने कमोबेश शब्दावली पर निर्णय ले लिया है, तो आगे बढ़ने का समय आ गया है नया स्तर. अगले पाठ में, हम और अधिक जानेंगे जटिल गुणद्विभाजक और सीखें कि वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें कैसे लागू किया जाए।
