फ़ंक्शन के विभक्ति बिंदु का भुज खोजें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की उत्तलता और अवतलता का अंतराल
जब हम किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करते हैं, तो उत्तल अंतराल और विभक्ति बिंदुओं को परिभाषित करना महत्वपूर्ण है। ग्राफ़िकल रूप में फ़ंक्शन के स्पष्ट प्रतिनिधित्व के लिए, हमें घटते और बढ़ते अंतराल के साथ-साथ उनकी आवश्यकता है।
इस विषय को समझने के लिए यह जानना आवश्यक है कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है और इसे किसी क्रम में कैसे गणना की जाए, साथ ही इसे हल करने में सक्षम होना चाहिए अलग - अलग प्रकारअसमानताएँ
लेख की शुरुआत में, मुख्य अवधारणाओं को परिभाषित किया गया है। फिर हम दिखाएंगे कि उत्तलता की दिशा और एक निश्चित अंतराल पर दूसरे व्युत्पन्न के मूल्य के बीच क्या संबंध मौजूद है। आगे, हम उन स्थितियों को इंगित करेंगे जिनके तहत ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु निर्धारित किए जा सकते हैं। सभी तर्कों को समस्या समाधान के उदाहरणों द्वारा चित्रित किया जाएगा।
Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1
एक निश्चित अंतराल पर नीचे की दिशा में उस स्थिति में जब इसका ग्राफ इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा से कम नहीं स्थित होता है।
परिभाषा 2
अवकलनीय फलन उत्तल हैएक निश्चित अंतराल पर ऊपर की ओर यदि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा से अधिक ऊंचा नहीं है।
नीचे की ओर उत्तल फलन को अवतल भी कहा जा सकता है। दोनों परिभाषाएँ नीचे दिए गए ग्राफ़ में स्पष्ट रूप से दिखाई गई हैं:
परिभाषा 3
कार्य विभक्ति बिंदुबिंदु M (x 0 ; f (x 0)) है जिस पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा है, बशर्ते कि व्युत्पन्न बिंदु x 0 के आसपास मौजूद हो, जहां बाईं ओर से और दाहिनी ओरफ़ंक्शन ग्राफ़ स्वीकार करता है अलग-अलग दिशाएँउभरना।
सीधे शब्दों में कहें तो विभक्ति बिंदु ग्राफ़ पर वह स्थान है जहां स्पर्शरेखा होती है, और इस स्थान से गुजरने पर ग्राफ़ की उत्तलता की दिशा उत्तलता की दिशा बदल देगी। यदि आपको याद नहीं है कि किन परिस्थितियों में ऊर्ध्वाधर और गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा का अस्तित्व संभव है, तो हम आपको एक बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा पर अनुभाग को दोहराने की सलाह देते हैं।
नीचे एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ है जिसमें कई विभक्ति बिंदु लाल रंग में हाइलाइट किए गए हैं। आइए स्पष्ट करें कि विभक्ति बिंदुओं की उपस्थिति अनिवार्य नहीं है। एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर, एक, दो, अनेक, अपरिमित रूप से अनेक या कोई भी नहीं हो सकता है।
इस अनुभाग में, हम एक प्रमेय के बारे में बात करेंगे जिसके साथ आप किसी विशेष फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर उत्तलता अंतराल निर्धारित कर सकते हैं।
परिभाषा 4
फ़ंक्शन के ग्राफ़ में नीचे या ऊपर की दिशा में उत्तलता होगी यदि संबंधित फ़ंक्शन y = f (x) में निर्दिष्ट अंतराल x पर दूसरा परिमित व्युत्पन्न है, बशर्ते कि असमानता f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) सत्य होगा।
इस प्रमेय का उपयोग करके, आप किसी फ़ंक्शन के किसी भी ग्राफ़ पर अवतलता और उत्तलता के अंतराल पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको बस संबंधित फ़ंक्शन के डोमेन पर असमानताओं f "" (x) ≥ 0 और f "" (x) ≤ 0 को हल करना होगा।
आइए स्पष्ट करें कि वे बिंदु जहां दूसरा व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन फ़ंक्शन y = f (x) परिभाषित है, उत्तलता और अवतलता के अंतराल में शामिल किए जाएंगे।
आइए एक विशिष्ट समस्या का उदाहरण देखें कि इस प्रमेय को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए।
उदाहरण 1
स्थिति:एक फलन y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 दिया गया है। निर्धारित करें कि इसके ग्राफ में किस अंतराल पर उत्तलता और अवतलता होगी।
समाधान
इस फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है। आइए दूसरे व्युत्पन्न की गणना करके प्रारंभ करें।
y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
हम देखते हैं कि दूसरे व्युत्पन्न का डोमेन स्वयं फ़ंक्शन के डोमेन के साथ मेल खाता है। इसलिए, उत्तलता के अंतराल की पहचान करने के लिए, हमें असमानताओं f "" (x) ≥ 0 और f "" (x) ≤ 0 को हल करने की आवश्यकता है .
y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
हमें वह शेड्यूल मिल गया दिया गया कार्यखंड पर समतलता होगी [2 ; + ∞) और खंड पर उत्तलता (- ∞ ; 2 ] .
स्पष्टता के लिए, हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएंगे और उस पर उत्तल भाग को नीले रंग से और अवतल भाग को लाल रंग से चिह्नित करेंगे।
उत्तर:दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ में खंड पर एक अवतलता होगी [2 ; + ∞) और खंड पर उत्तलता (- ∞ ; 2 ] .
लेकिन यदि दूसरे व्युत्पन्न का डोमेन फ़ंक्शन के डोमेन से मेल नहीं खाता है तो क्या करें? यहां ऊपर की गई टिप्पणी हमारे लिए उपयोगी है: वे बिंदु जहां अंतिम दूसरा व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, हम अवतलता और उत्तलता के खंडों में भी शामिल करेंगे।
उदाहरण 2
स्थिति:एक फलन y = 8 x x - 1 दिया गया है। निर्धारित करें कि इसका ग्राफ किस अंतराल में अवतल होगा, और किस अंतराल में यह उत्तल होगा।
समाधान
सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का दायरा जानें।
x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)
अब हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( एक्स - 1) 2 + एक्स 2 (एक्स - 1) एक्स एक्स - 1 4 = = 2 3 एक्स 2 + 6 एक्स - 1 एक्स 3 2 (एक्स - 1) 3
दूसरे व्युत्पन्न का डोमेन सेट x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) है। हम देखते हैं कि शून्य के बराबर x मूल फ़ंक्शन के डोमेन में होगा, लेकिन दूसरे व्युत्पन्न के डोमेन में नहीं। इस बिंदु को अवतलता या उत्तलता के खंड में शामिल किया जाना चाहिए।
उसके बाद, हमें दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन पर असमानताओं f "" (x) ≥ 0 और f "" (x) ≤ 0 को हल करने की आवश्यकता है। हम इसके लिए अंतराल विधि का उपयोग करते हैं: x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 या x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 पर अंश 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 0 हो जाता है और x पर हर 0 है, शून्यया इकाई.
आइए परिणामी बिंदुओं को ग्राफ़ पर रखें और उन सभी अंतरालों पर अभिव्यक्ति का चिह्न निर्धारित करें जो मूल फ़ंक्शन के डोमेन में शामिल किए जाएंगे। ग्राफ़ पर, इस क्षेत्र को हैचिंग द्वारा दर्शाया गया है। यदि मान सकारात्मक है, तो अंतराल को प्लस के साथ चिह्नित करें, यदि नकारात्मक है, तो माइनस के साथ।
इस तरह,
एफ "" (एक्स) ≥ 0 एक्स ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , और f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)
हम पहले से चिह्नित बिंदु x = 0 को चालू करते हैं और वांछित उत्तर प्राप्त करते हैं। मूल फ़ंक्शन के ग्राफ़ में 0 पर नीचे की ओर उभार होगा; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , और ऊपर - x ∈ के लिए [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
आइए एक ग्राफ बनाएं, उत्तल भाग को नीले रंग से और अवतल भाग को लाल रंग से चिह्नित करें। ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी को काली बिंदीदार रेखा से चिह्नित किया गया है।
उत्तर:मूल फ़ंक्शन के ग्राफ़ में 0 पर नीचे की ओर उभार होगा; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , और ऊपर - x ∈ के लिए [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
फ़ंक्शन ग्राफ़ के लिए विभक्ति शर्तें
आइए किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के विभक्ति के लिए आवश्यक शर्त के निर्माण के साथ शुरुआत करें।
परिभाषा 5
मान लीजिए कि हमारे पास एक फ़ंक्शन y = f(x) है जिसके ग्राफ़ में एक विभक्ति बिंदु है। x = x 0 के लिए, इसका एक सतत दूसरा अवकलज है, इसलिए, समानता f "" (x 0) = 0 कायम रहेगी।
इस स्थिति को देखते हुए, हमें उन विभक्ति बिंदुओं की तलाश करनी चाहिए जिन पर दूसरा व्युत्पन्न 0 में बदल जाएगा। यह शर्त पर्याप्त नहीं होगी: ऐसे सभी बिंदु हमारे अनुकूल नहीं होंगे।
यह भी ध्यान रखें कि के अनुसार सामान्य परिभाषा, हमें एक स्पर्शरेखा रेखा की आवश्यकता होगी, ऊर्ध्वाधर या गैर-ऊर्ध्वाधर। व्यवहार में, इसका मतलब यह है कि विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, उन बिंदुओं को लेना चाहिए जिनमें इस फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न 0 हो जाता है। इसलिए, विभक्ति बिंदुओं के भुजाओं को खोजने के लिए, हमें फ़ंक्शन के डोमेन से सभी x 0 लेने की आवश्यकता है, जहां lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ और lim x → x 0 + 0 f " (एक्स) = ∞ . अक्सर, ये ऐसे बिंदु होते हैं जिन पर पहले व्युत्पन्न का हर 0 हो जाता है।
फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु के अस्तित्व के लिए पहली पर्याप्त शर्त
हमें x 0 के सभी मान मिल गए हैं जिन्हें विभक्ति बिंदुओं के भुज के रूप में लिया जा सकता है। उसके बाद, हमें पहली पर्याप्त विभक्ति शर्त लागू करने की आवश्यकता है।
परिभाषा 6
मान लीजिए कि हमारे पास एक फलन y = f (x) है जो बिंदु M (x 0 ; f (x 0)) पर सतत है। इसके अलावा, इस बिंदु पर इसकी एक स्पर्शरेखा है, और फ़ंक्शन का स्वयं इस बिंदु x 0 के आसपास दूसरा व्युत्पन्न है। इस मामले में, यदि दूसरा व्युत्पन्न बाईं और दाईं ओर विपरीत संकेत प्राप्त करता है, तो इस बिंदु को विभक्ति बिंदु माना जा सकता है।
हम देखते हैं कि इस स्थिति के लिए यह आवश्यक नहीं है कि दूसरा व्युत्पन्न आवश्यक रूप से इस बिंदु पर मौजूद हो, बिंदु x 0 के पड़ोस में इसकी उपस्थिति पर्याप्त है।
उपरोक्त सभी को क्रियाओं के अनुक्रम के रूप में आसानी से प्रस्तुत किया जा सकता है।
- सबसे पहले आपको संभावित विभक्ति बिंदुओं के सभी भुज x 0 को खोजने की आवश्यकता है, जहां f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (एक्स) = ∞ .
- पता लगाएं कि किन बिंदुओं पर व्युत्पन्न चिह्न बदलेगा। ये मान विभक्ति बिंदुओं के भुज हैं, और उनके अनुरूप बिंदु M (x 0 ; f (x 0)) स्वयं विभक्ति बिंदु हैं।
स्पष्टता के लिए, आइए दो समस्याओं पर विचार करें।
उदाहरण 3
स्थिति:एक फलन y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x दिया गया है। निर्धारित करें कि इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में विभक्ति और उभार बिंदु कहाँ होंगे।
समाधान
यह फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के संपूर्ण सेट पर परिभाषित किया गया है। हम पहले व्युत्पन्न पर विचार करते हैं:
y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 एक्स + 2
आइए अब प्रथम अवकलज का प्रांत ज्ञात करें। यह सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय भी है। इसलिए, समानताएं lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ और lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ x 0 के किसी भी मान के लिए संतुष्ट नहीं की जा सकतीं।
हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6
y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3
हमें दो संभावित विभक्ति बिंदुओं - 2 और 3 के भुजाओं का पता चला। हमें बस यह जांचना है कि किस बिंदु पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बदलता है। आइए एक संख्यात्मक अक्ष बनाएं और उस पर इन बिंदुओं को आलेखित करें, जिसके बाद हम परिणामी अंतरालों पर दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न लगाएंगे।
चाप प्रत्येक अंतराल में ग्राफ़ की उत्तलता की दिशा दर्शाते हैं।
दूसरा व्युत्पन्न एब्सिस्सा 3 के साथ बिंदु पर चिह्न (प्लस से माइनस तक) को उलट देता है, बाएं से दाएं से गुजरता है, और एब्सिस्सा 3 के साथ बिंदु पर भी ऐसा ही करता है (माइनस से प्लस तक)। तो, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि x = - 2 और x = 3 फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदुओं के भुज हैं। वे ग्राफ़ के बिंदुओं के अनुरूप होंगे - 2; - 4 3 और 3 ; - 15 8 .
आइए अवतलता और उत्तलता के स्थानों के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए संख्यात्मक अक्ष की छवि और अंतराल पर परिणामी संकेतों को फिर से देखें। यह पता चला है कि उभार खंड - 2 पर स्थित होगा; 3 , और खंडों पर अवतलता (- ∞ ; - 2 ] और [ 3 ; + ∞) ।
समस्या का समाधान ग्राफ़ में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है: नीला रंग- उत्तलता, लाल - अवतलता, काले का अर्थ है विभक्ति बिंदु।
उत्तर:उभार खंड - 2 पर स्थित होगा; 3 , और खंडों पर अवतलता (- ∞ ; - 2 ] और [ 3 ; + ∞) ।
उदाहरण 4
स्थिति:फ़ंक्शन y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 के ग्राफ के सभी विभक्ति बिंदुओं के भुजाओं की गणना करें।
समाधान
दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। हम व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5
किसी फ़ंक्शन के विपरीत, इसका पहला व्युत्पन्न 3 के x मान पर निर्धारित नहीं किया जाएगा, लेकिन:
लिम x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞
इसका मतलब यह है कि ग्राफ़ की एक ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा इस बिंदु से होकर गुज़रेगी। इसलिए, 3 विभक्ति बिंदु का भुज हो सकता है।
हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं। हम इसकी परिभाषा का क्षेत्र और वे बिंदु भी पाते हैं जिन पर यह 0 में बदल जाता है:
y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0.4675
हमारे पास दो और संभावित विभक्ति बिंदु हैं। हम उन सभी को एक संख्या रेखा पर रखते हैं और परिणामी अंतरालों को चिह्नों से चिह्नित करते हैं:
प्रत्येक निर्दिष्ट बिंदु से गुजरने पर चिह्न में परिवर्तन होगा, जिसका अर्थ है कि वे सभी विभक्ति बिंदु हैं।
उत्तर:आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं, लाल रंग में अवतलताएं, नीले रंग में उत्तलताएं और काले रंग में विभक्ति बिंदु चिह्नित करें:
पहली पर्याप्त विभक्ति स्थिति को जानकर, हम आवश्यक बिंदु निर्धारित कर सकते हैं जहां दूसरे व्युत्पन्न की उपस्थिति आवश्यक नहीं है। इसके आधार पर पहली शर्त को सबसे सार्वभौमिक और समाधान के लिए उपयुक्त माना जा सकता है अलग - अलग प्रकारकार्य.
ध्यान दें कि दो और विभक्ति स्थितियाँ हैं, लेकिन उन्हें केवल तभी लागू किया जा सकता है जब निर्दिष्ट बिंदु पर एक परिमित व्युत्पन्न हो।
यदि हमारे पास f "" (x 0) = 0 और f """ (x 0) ≠ 0 है, तो x 0 ग्राफ y = f (x) के विभक्ति बिंदु का भुज होगा।
उदाहरण 5
स्थिति:फलन y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 दिया गया है। निर्धारित करें कि फ़ंक्शन ग्राफ़ में बिंदु 3 पर विभक्ति होगी या नहीं; 4 5 .
समाधान
करने वाली पहली बात यह सुनिश्चित करना है कि दिया गया बिंदु इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित होगा।
y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
निर्दिष्ट फ़ंक्शन उन सभी तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है जो वास्तविक संख्याएं हैं। हम पहले और दूसरे डेरिवेटिव की गणना करते हैं:
y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)
हमने पाया कि यदि x, 0 के बराबर है तो दूसरा व्युत्पन्न 0 पर जाएगा। मतलब, आवश्यक शर्तउस बिंदु के लिए विभक्ति निष्पादित की जाएगी. अब हम दूसरी शर्त का उपयोग करते हैं: हम तीसरा व्युत्पन्न ढूंढते हैं और पता लगाते हैं कि क्या यह 3 पर 0 हो जाएगा:
y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10
तीसरा व्युत्पन्न x के किसी भी मान के लिए लुप्त नहीं होगा। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु होगा।
उत्तर:आइए चित्रण में समाधान दिखाएं:
मान लीजिए कि f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0,..., f (n) (x 0) = 0 और f (n + 1) (x 0) ≠ 0। इस मामले में, सम n के लिए, हम पाते हैं कि x 0 ग्राफ y \u003d f (x) के विभक्ति बिंदु का भुज है।
उदाहरण 6
स्थिति:एक फलन y = (x - 3) 5 + 1 दिया गया है। इसके ग्राफ के विभक्ति बिंदुओं की गणना करें।
समाधान
यह फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के संपूर्ण सेट पर परिभाषित किया गया है। व्युत्पन्न की गणना करें: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4। चूंकि इसे तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए भी परिभाषित किया जाएगा, तो इसके ग्राफ में किसी भी बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा होगी।
आइए अब गणना करें कि दूसरा व्युत्पन्न किन मानों पर 0 हो जाएगा:
y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
हमने पाया है कि x = 3 के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक विभक्ति बिंदु हो सकता है। इसकी पुष्टि के लिए हम तीसरी शर्त का उपयोग करते हैं:
y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0
तीसरी पर्याप्त शर्त के अनुसार हमारे पास n = 4 है। यह एक सम संख्या है, इसलिए x = 3 विभक्ति बिंदु का भुज होगा और फ़ंक्शन के ग्राफ़ का बिंदु (3; 1) इसके अनुरूप है।
उत्तर:उत्तलता, अवतलता और विभक्ति बिंदु के साथ इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ यहां दिया गया है:
यदि आपको टेक्स्ट में कोई गलती नज़र आती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ
फ़ंक्शन ग्राफ़ य=एफ(एक्स)बुलाया उत्तलअंतराल पर (ए;बी), यदि यह इस अंतराल पर अपनी किसी स्पर्शरेखा के नीचे स्थित है।
फ़ंक्शन ग्राफ़ य=एफ(एक्स)बुलाया नतोदरअंतराल पर (ए;बी), यदि यह इस अंतराल में अपनी किसी स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है।
चित्र में एक उत्तल वक्र दिखाया गया है (ए;बी)और अवतल (बी;सी).
उदाहरण।
एक पर्याप्त चिह्न पर विचार करें जो आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तल या अवतल होगा या नहीं।
प्रमेय. होने देना य=एफ(एक्स)द्वारा भिन्न (ए;बी). यदि अंतराल के सभी बिंदुओं पर (ए;बी)फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न य = एफ(एक्स)नकारात्मक, यानी एफ ""(एक्स) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же एफ""(एक्स) > 0 अवतल है।
सबूत. निश्चितता के लिए मान लें कि एफ""(एक्स) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
फ़ंक्शन ग्राफ़ लें वाई = एफ(एक्स)मनमाना बिंदु एम 0एब्सिस्सा के साथ X 0 Î ( ए; बी) और बिंदु के माध्यम से ड्रा करें एम 0स्पर्शरेखा उसका समीकरण. हमें यह दिखाना होगा कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ चालू है (ए;बी)इस स्पर्शरेखा के नीचे स्थित है, अर्थात समान मूल्य के साथ एक्सवक्र समन्वय वाई = एफ(एक्स)स्पर्शरेखा की कोटि से कम होगा.
तो वक्र का समीकरण है वाई = एफ(एक्स). आइए हम भुज के संगत स्पर्शरेखा कोटि को निरूपित करें एक्स. तब । इसलिए, समान मान पर वक्र और स्पर्शरेखा के निर्देशांक के बीच का अंतर एक्सइच्छा ।
अंतर एफ(एक्स) – एफ(x0)लैग्रेंज प्रमेय के अनुसार परिवर्तन, जहां सीबीच में एक्सऔर X 0.
इस प्रकार,
हम फिर से लैग्रेंज प्रमेय को वर्गाकार कोष्ठक में अभिव्यक्ति पर लागू करते हैं:, जहां सी 1बीच में सी0और X 0. प्रमेय के अनुसार एफ ""(एक्स) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
इस प्रकार, वक्र का कोई भी बिंदु सभी मानों के लिए वक्र की स्पर्शरेखा से नीचे होता है एक्सऔर X 0 Î ( ए; बी), जिसका अर्थ है कि वक्र उत्तल है। प्रमेय का दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।
उदाहरण.
किसी सतत फलन के ग्राफ पर वह बिंदु जो उसके उत्तल भाग को अवतल भाग से अलग करता है, कहलाता है संक्रमण का बिन्दु.
जाहिर है, विभक्ति बिंदु पर, स्पर्शरेखा, यदि मौजूद है, तो वक्र को काटती है, क्योंकि इस बिंदु के एक तरफ, वक्र स्पर्शरेखा के नीचे स्थित है, और दूसरी तरफ, इसके ऊपर है।
आइए हम वक्र के किसी दिए गए बिंदु को विभक्ति बिंदु बनाने के लिए पर्याप्त शर्तों को परिभाषित करें।
प्रमेय. मान लीजिए कि वक्र को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है वाई = एफ(एक्स). अगर एफ ""(एक्स 0) = 0 या एफ ""(एक्स 0) मौजूद नहीं है और मान से गुजरते समय एक्स = X 0यौगिक एफ ""(एक्स) चिह्न बदलता है, फिर भुज के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ का बिंदु एक्स = X 0एक विभक्ति बिंदु है.
सबूत. होने देना एफ ""(एक्स) < 0 при एक्स < X 0और एफ ""(एक्स) > 0 पर एक्स > X 0. तो फिर एक्स < X 0वक्र उत्तल है, और एक्स > X 0- अवतल. इसलिए बात ए, वक्र पर लेटा हुआ, भुज के साथ X 0एक विभक्ति बिंदु है. इसी प्रकार, हम दूसरे मामले पर भी विचार कर सकते हैं, जब एफ ""(एक्स) > 0 पर एक्स < X 0और एफ ""(एक्स) < 0 при एक्स > X 0.
इस प्रकार, विभक्ति बिंदु केवल उन बिंदुओं के बीच मांगे जाने चाहिए जहां दूसरा व्युत्पन्न गायब हो जाता है या मौजूद नहीं होता है।
उदाहरण।विभक्ति बिंदु खोजें और वक्रों की उत्तलता और अवतलता के अंतराल निर्धारित करें।
किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख
किसी फ़ंक्शन की जांच करते समय, मूल से ग्राफ़ बिंदु को असीमित रूप से हटाकर उसके ग्राफ़ के आकार को स्थापित करना महत्वपूर्ण है।
विशेष रुचि का मामला वह होता है जब किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़, जब उसका चर बिंदु अनंत तक हटा दिया जाता है, अनिश्चित काल तक एक निश्चित सीधी रेखा तक पहुंचता है।
सीधे बुलाया गया अनंतस्पर्शीफ़ंक्शन ग्राफ़ य = एफ(एक्स)यदि चर बिंदु से दूरी एमबिंदु हटा दिए जाने पर इस रेखा पर ग्राफ़ बनाएं एमअनंत की ओर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात्। फ़ंक्शन के ग्राफ़ का बिंदु, क्योंकि यह अनंत की ओर जाता है, अनंतस्पर्शी तक अनिश्चित काल तक पहुंचना चाहिए।
वक्र इसके एक तरफ या साथ रहकर, इसके अनंतस्पर्शी तक पहुंच सकता है अलग-अलग पार्टियाँ, अनंतस्पर्शी को अनंत बार पार करना और उसके एक तरफ से दूसरे तक जाना।
यदि हम बिंदु से दूरी को d से निरूपित करें एमअनंतस्पर्शी की ओर वक्र, यह स्पष्ट है कि बिंदु हटा दिए जाने पर d शून्य हो जाता है एमअनंत की ओर।
हम आगे ऊर्ध्वाधर और तिरछे अनंतस्पर्शी के बीच अंतर करेंगे।
लंबवत स्पर्शोन्मुख
चलो पर एक्स→ X 0फ़ंक्शन के दोनों ओर य = एफ(एक्स)निरपेक्ष मूल्य में अनिश्चित काल तक वृद्धि होती है, अर्थात या या 
. फिर अनंतस्पर्शी की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि रेखा एक्स = X 0एक स्पर्शोन्मुख है. यदि पंक्ति हो तो व्युत्क्रम भी स्पष्ट है एक्स = X 0एक अनंतस्पर्शी है, इसलिए .
इस प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का लंबवत अनंतस्पर्शी वाई = एफ(एक्स)एक पंक्ति कहलाती है यदि एफ(एक्स)→ ∞ कम से कम एक शर्त के तहत एक्स→ X 0– 0 या एक्स → X 0 + 0, एक्स = X 0
इसलिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजने के लिए य = एफ(एक्स)उन मूल्यों को खोजने की जरूरत है एक्स = X 0, जिस पर फ़ंक्शन अनंत तक चला जाता है (अनंत असंततता से ग्रस्त होता है)। फिर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी समीकरण है एक्स = X 0.
उदाहरण।
तिरछा स्पर्शोन्मुख
चूँकि अनंतस्पर्शी एक सीधी रेखा है, तो यदि वक्र है य = एफ(एक्स)एक तिरछा अनंतस्पर्शी है, तो इसका समीकरण होगा य = केएक्स + बी. हमारा कार्य गुणांक ज्ञात करना है कऔर बी.
प्रमेय. सीधा य = केएक्स + बीपर एक परोक्ष अनंतस्पर्शी के रूप में कार्य करता है एक्स→ +∞ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए य
= एफ(एक्स)अगर और केवल अगर 
. एक समान कथन सत्य है एक्स → –∞.
सबूत. होने देना एमपी- खंड की लंबाई बिंदु से दूरी के बराबर एमस्पर्शोन्मुख को. शर्त के अनुसार. अक्ष पर अनंतस्पर्शी के झुकाव के कोण को φ द्वारा निरूपित करें बैल. फिर से ΔMNPउसका अनुसरण करता है। चूँकि φ एक स्थिर कोण (φ ≠ π/2) है, तो, लेकिन
एक ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ, आप पा सकते हैं फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु और उत्तलता अंतराल Word में समाधान के डिज़ाइन के साथ। दो चर f(x1,x2) का एक फ़ंक्शन उत्तल है या नहीं, इसका निर्णय हेसियन मैट्रिक्स का उपयोग करके किया जाता है।
फ़ंक्शन प्रविष्टि नियम:
फ़ंक्शन के ग्राफ़ की उत्तलता की दिशा। विभक्ति बिंदु
परिभाषा: एक वक्र y=f(x) को अंतराल (a; b) में नीचे की ओर उत्तल कहा जाता है यदि यह इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा से ऊपर स्थित है।परिभाषा: वक्र y=f(x) को अंतराल (a; b) में उर्ध्व उत्तल कहा जाता है यदि यह इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा से नीचे स्थित है। 
परिभाषा: वे अंतराल जिनमें फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊपर या नीचे उत्तल होता है, फ़ंक्शन के ग्राफ़ की उत्तलता के अंतराल कहलाते हैं।
वक्र के नीचे या ऊपर की ओर उत्तलता, जो फ़ंक्शन का ग्राफ है y=f(x) , इसके दूसरे व्युत्पन्न के संकेत द्वारा विशेषता है: यदि कुछ अंतराल में f''(x) > 0, तो वक्र उत्तल है इस अंतराल पर नीचे की ओर; यदि f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
परिभाषा: फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ का वह बिंदु जो इस ग्राफ़ की विपरीत दिशाओं के उत्तलता अंतराल को अलग करता है, विभक्ति बिंदु कहलाता है। 
केवल दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु ही विभक्ति बिंदु के रूप में कार्य कर सकते हैं; फ़ंक्शन y = f(x) के डोमेन से संबंधित बिंदु, जिस पर दूसरा व्युत्पन्न f''(x) गायब हो जाता है या टूट जाता है।
फ़ंक्शन ग्राफ़ y = f(x) के विभक्ति बिंदु खोजने का नियम
- दूसरा अवकलज f''(x) ज्ञात कीजिए।
- फ़ंक्शन के दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें y=f(x) , यानी। वह बिंदु जिस पर f''(x) गायब हो जाता है या टूट जाता है।
- अंतराल में दूसरे व्युत्पन्न f''(x) के चिह्न की जांच करें जिसमें पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु फ़ंक्शन f(x) के डोमेन को विभाजित करते हैं। यदि, इस मामले में, क्रांतिक बिंदु x 0 विपरीत दिशाओं के उत्तलता अंतराल को अलग करता है, तो x 0 फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु का भुज है।
- विभक्ति बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें।
उदाहरण 1 । निम्नलिखित वक्र के उत्तलता अंतराल और विभक्ति बिंदु खोजें: f(x) = 6x 2 –x 3।
समाधान: f '(x) = 12x - 3x 2, f'(x) = 12 - 6x ज्ञात कीजिए।
आइए समीकरण 12-6x=0 को हल करके दूसरे अवकलज द्वारा महत्वपूर्ण बिंदु ज्ञात करें। एक्स=2 . 
एफ(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
उत्तर: x∈(2; +∞) के लिए फ़ंक्शन ऊपर की ओर उत्तल है; फ़ंक्शन x∈(-∞; 2) के लिए नीचे की ओर उत्तल है; विभक्ति बिंदु (2;16) .
उदाहरण 2. क्या फ़ंक्शन में विभक्ति बिंदु हैं: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1
उदाहरण 3. वे अंतराल खोजें जहां फ़ंक्शन ग्राफ उत्तल और उत्तल है: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4
अनुदेश
अंक मोड़ कार्यइसकी परिभाषा के दायरे से संबंधित होना चाहिए, जिसे पहले पाया जाना चाहिए। अनुसूची कार्य- यह एक ऐसी रेखा है जो निरंतर हो सकती है या टूट सकती है, घट सकती है या नीरस रूप से बढ़ सकती है, न्यूनतम या अधिकतम हो सकती है अंक(स्पर्शोन्मुख), उत्तल या अवतल हो। अंतिम दो अवस्थाओं में तीव्र परिवर्तन को विभक्ति कहते हैं।
अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त मोड़ कार्यशून्य से दूसरे की समानता में शामिल है। इस प्रकार, फ़ंक्शन को दो बार विभेदित करने और परिणामी अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करने पर, हम संभावित बिंदुओं का भुज पा सकते हैं मोड़.
यह स्थिति ग्राफ़ की उत्तलता और अवतलता के गुणों की परिभाषा से अनुसरण करती है कार्य, अर्थात। दूसरे व्युत्पन्न के नकारात्मक और सकारात्मक मूल्य। बिंदु पर मोड़इन गुणों में तीव्र परिवर्तन, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न शून्य अंक से गुजरता है। हालाँकि, शून्य की समानता अभी भी विभक्ति बिंदु को इंगित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
दो पर्याप्त स्थितियाँ हैं कि पिछले चरण में पाया गया फरसीसा बिंदु से संबंधित है मोड़:इस बिंदु के माध्यम से आप एक स्पर्शरेखा खींच सकते हैं कार्य. दूसरे व्युत्पन्न में अपेक्षित के दाईं और बाईं ओर अलग-अलग संकेत हैं अंक मोड़. इस प्रकार, बिंदु पर इसका अस्तित्व स्वयं आवश्यक नहीं है, यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है कि यह उस पर संकेत बदलता है। दूसरा व्युत्पन्न कार्यशून्य है, और तीसरा नहीं है.
समाधान: खोजें। में इस मामले मेंकोई प्रतिबंध नहीं है, इसलिए, यह वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण स्थान है। पहले व्युत्पन्न की गणना करें: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)²।
पर ध्यान दें । इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि व्युत्पन्न की परिभाषा का क्षेत्र सीमित है। बिंदु x = 5 छिद्रित है, जिसका अर्थ है कि एक स्पर्शरेखा इसके माध्यम से गुजर सकती है, जो आंशिक रूप से पर्याप्तता के पहले संकेत से मेल खाती है मोड़.
x → 5 - 0 और x → 5 + 0 पर परिणामी अभिव्यक्ति के लिए निर्धारित करें। वे -∞ और +∞ के बराबर हैं। आपने सिद्ध किया कि एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बिंदु x=5 से होकर गुजरती है। यह बिंदु एक बिंदु हो सकता है मोड़, लेकिन पहले दूसरे व्युत्पन्न की गणना करें: (2 x - 22)/∛(x - 5)^5।
हर को हटा दें, क्योंकि आप पहले ही बिंदु x = 5 को ध्यान में रख चुके हैं। समीकरण 2 x - 22 = 0 को हल करें। इसका एक ही मूल x = 11 है। अंतिम चरण इसकी पुष्टि करना है अंक x=5 और x=11 बिंदु हैं मोड़. उनके आसपास के क्षेत्र में दूसरे व्युत्पन्न के व्यवहार का विश्लेषण करें। जाहिर है, बिंदु x = 5 पर, यह चिह्न को "+" से "-" में बदल देता है, और बिंदु x = 11 पर, इसके विपरीत। निष्कर्ष: दोनों अंकबिंदु हैं मोड़. पहली पर्याप्त शर्त पूरी हो गई है.
किसी फ़ंक्शन की जांच करते समय और उसके ग्राफ़ का निर्माण करते समय, किसी एक चरण में हम विभक्ति बिंदु और उत्तलता अंतराल निर्धारित करते हैं। ये डेटा, वृद्धि और कमी के अंतराल के साथ, हमें अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के ग्राफ़ को योजनाबद्ध रूप से प्रस्तुत करने की अनुमति देते हैं।
आगे जो कहा गया है वह यह मानता है कि आप एक निश्चित क्रम और विभिन्न प्रकारों के बारे में जानते हैं।
आइए आवश्यक परिभाषाओं और अवधारणाओं के साथ सामग्री का अध्ययन शुरू करें। इसके बाद, हम एक निश्चित अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के मूल्य और इसकी उत्तलता की दिशा के बीच संबंध को आवाज देते हैं। उसके बाद, आइए उन स्थितियों पर आगे बढ़ें जो हमें फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदुओं को निर्धारित करने की अनुमति देती हैं। पाठ में, हम विस्तृत समाधानों के साथ विशिष्ट उदाहरण देंगे।
पेज नेविगेशन.
उत्तलता, किसी फ़ंक्शन की अवतलता, विभक्ति बिंदु।
परिभाषा।
नीचे उत्तलएक्स अंतराल पर, यदि इसका ग्राफ एक्स अंतराल के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा से कम नहीं स्थित है।
परिभाषा।
अवकलनीय फलन कहलाता है उत्तलएक्स अंतराल पर, यदि इसका ग्राफ एक्स अंतराल के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा से अधिक ऊंचा नहीं है।
एक उर्ध्व उत्तल फ़ंक्शन को अक्सर कहा जाता है उत्तल, और नीचे उत्तल - नतोदर.
इन परिभाषाओं को दर्शाने वाले चित्र को देखें।
परिभाषा।
बिंदु कहा जाता है फ़ंक्शन के ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु y \u003d f (x) यदि किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा है (यह ओए अक्ष के समानांतर हो सकता है) और बिंदु का ऐसा पड़ोस है, जिसके भीतर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की अलग-अलग दिशाएँ हैं बिंदु M के बाएँ और दाएँ उत्तलता का।
दूसरे शब्दों में, बिंदु M को फ़ंक्शन के ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु कहा जाता है, यदि इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है और फ़ंक्शन का ग्राफ़ इससे गुजरते हुए उत्तलता की दिशा बदल देता है।
यदि आवश्यक हो, तो गैर-ऊर्ध्वाधर और ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व की शर्तों को याद करने के लिए अनुभाग देखें।
नीचे दिया गया चित्र विभक्ति बिंदुओं (लाल बिंदुओं से चिह्नित) के कई उदाहरण दिखाता है। ध्यान दें कि कुछ कार्यों में विभक्ति बिंदु नहीं हो सकते हैं, जबकि अन्य में एक, कई, या अनंत रूप से कई विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।
किसी फ़ंक्शन के उत्तलता अंतराल का पता लगाना।
हम एक प्रमेय बनाते हैं जो हमें किसी फ़ंक्शन के उत्तलता के अंतराल को निर्धारित करने की अनुमति देता है।
प्रमेय.
यदि फ़ंक्शन y=f(x) में अंतराल X पर एक परिमित दूसरा व्युत्पन्न है और यदि असमानता है 
(), तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक्स पर नीचे (ऊपर) निर्देशित उत्तलता है।
यह प्रमेय आपको किसी फ़ंक्शन की अवतलता और उत्तलता के अंतराल खोजने की अनुमति देता है, आपको केवल असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है और, क्रमशः, मूल फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र पर।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन y=f(x) परिभाषित किया गया है और दूसरा व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, उन्हें अवतलता और उत्तलता के अंतराल में शामिल किया जाएगा।
आइए इसे एक उदाहरण से समझें।
उदाहरण।
वे अंतराल ज्ञात करें जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ है 
एक उत्तलता ऊपर की ओर निर्देशित होती है और एक उत्तलता नीचे की ओर निर्देशित होती है।
समाधान।
किसी फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है।
आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। 
दूसरे व्युत्पन्न की परिभाषा का क्षेत्र मूल फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के साथ मेल खाता है, इसलिए, अवतलता और उत्तलता के अंतराल का पता लगाने के लिए, क्रमशः हल करना पर्याप्त है। 
इसलिए, फ़ंक्शन अंतराल पर नीचे की ओर उत्तल है और अंतराल पर ऊपर की ओर उत्तल है।
ग्राफिक चित्रण.
उत्तल अंतराल पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का हिस्सा नीले रंग में, अवतल अंतराल पर - लाल रंग में दिखाया गया है।
अब एक उदाहरण पर विचार करें जहां दूसरे व्युत्पन्न का डोमेन फ़ंक्शन के डोमेन से मेल नहीं खाता है। इस मामले में, जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, डोमेन के बिंदु जहां कोई परिमित दूसरा व्युत्पन्न नहीं है, उत्तलता और (या) अवतलता के अंतराल में शामिल किया जाना चाहिए।
उदाहरण।
फ़ंक्शन ग्राफ़ की उत्तलता और अवतलता के अंतराल ज्ञात करें।
समाधान।
आइए फ़ंक्शन के दायरे से शुरू करें:
आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें: 
दूसरे व्युत्पन्न का डोमेन समुच्चय है 
. जैसा कि आप देख सकते हैं, x=0 मूल फ़ंक्शन के डोमेन में है, लेकिन दूसरे व्युत्पन्न के डोमेन में नहीं है। इस बिंदु के बारे में मत भूलिए, इसे उत्तलता और (या) अवतलता के अंतराल में शामिल करने की आवश्यकता होगी।
अब हम मूल फ़ंक्शन के डोमेन पर असमानताओं को हल करते हैं। लागू . अभिव्यक्ति अंश 
पर शून्य हो जाता है 
या 
, हर - x = 0 या x = 1 पर। हम इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर योजनाबद्ध रूप से आलेखित करते हैं और मूल फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में शामिल प्रत्येक अंतराल पर अभिव्यक्ति के चिह्न का पता लगाते हैं (यह नीचे की संख्या रेखा पर छायांकित क्षेत्र द्वारा दिखाया गया है)। पर सकारात्मक मूल्यधन चिह्न लगाएं, यदि ऋणात्मक है तो ऋण चिह्न लगाएं। 
इस प्रकार,
और 
इसलिए, बिंदु x=0 को शामिल करने पर, हमें उत्तर मिलता है।
पर 
फ़ंक्शन के ग्राफ़ में नीचे की ओर निर्देशित उत्तलता होती है 
- ऊपर की ओर निर्देशित उभार।
ग्राफिक चित्रण.
उत्तल अंतराल पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का हिस्सा नीले रंग में दिखाया गया है, अवतल अंतराल पर - लाल रंग में, काली बिंदीदार रेखा ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।
विभक्ति के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त स्थितियाँ।
विभक्ति के लिए आवश्यक शर्त.
आइए सूत्रबद्ध करें विभक्ति के लिए आवश्यक शर्तफ़ंक्शन ग्राफ़.
मान लीजिए कि फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ में एक बिंदु पर विभक्ति है और इसके लिए निरंतर दूसरा व्युत्पन्न है, तो समानता सत्य है।
इस स्थिति से यह पता चलता है कि विभक्ति बिंदुओं के भुजाओं को उन लोगों के बीच खोजा जाना चाहिए जिनमें फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न गायब हो जाता है। लेकिन, यह स्थिति पर्याप्त नहीं है, अर्थात वे सभी मान जिनमें दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, विभक्ति बिंदुओं के भुज नहीं हैं।
यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि, विभक्ति बिंदु की परिभाषा के अनुसार, एक स्पर्शरेखा रेखा का अस्तित्व आवश्यक है, यह ऊर्ध्वाधर भी हो सकती है। इसका अर्थ क्या है? और इसका मतलब निम्नलिखित है: विभक्ति बिंदुओं के भुज फ़ंक्शन के डोमेन से सब कुछ हो सकते हैं, जिसके लिए 
और 
. आमतौर पर ये वे बिंदु होते हैं जिन पर पहले व्युत्पन्न का हर गायब हो जाता है।
विभक्ति के लिए पहली पर्याप्त शर्त।
सभी पाए जाने के बाद विभक्ति बिंदुओं के भुज हो सकते हैं, आपको इसका उपयोग करना चाहिए विभक्ति के लिए पहली पर्याप्त शर्तफ़ंक्शन ग्राफ़.
मान लीजिए कि फ़ंक्शन y=f(x) बिंदु पर निरंतर है, इस पर एक स्पर्शरेखा है (संभवतः लंबवत) और इस फ़ंक्शन का बिंदु के कुछ पड़ोस में दूसरा व्युत्पन्न है। फिर, यदि इस पड़ोस के भीतर बाईं ओर और दाईं ओर, दूसरे व्युत्पन्न के अलग-अलग संकेत हैं, तो यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, पहली पर्याप्त स्थिति के लिए बिंदु पर ही दूसरे व्युत्पन्न के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है, बल्कि बिंदु के आसपास इसके अस्तित्व की आवश्यकता होती है।
अब हम सभी सूचनाओं को एक एल्गोरिदम के रूप में संक्षेपित करते हैं।
किसी फ़ंक्शन के विभक्ति बिंदु खोजने के लिए एल्गोरिदम।
हम फ़ंक्शन (या) के ग्राफ़ के संभावित विभक्ति बिंदुओं के सभी भुजाओं को पाते हैं और ) और पता लगाएं कि किस माध्यम से गुजरने पर दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है। ऐसे मान विभक्ति बिंदुओं के भुज होंगे, और उनके अनुरूप बिंदु फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु होंगे।
स्पष्टीकरण के लिए विभक्ति बिंदु खोजने के दो उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण।
किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु और उत्तलता और अवतलता के अंतराल ज्ञात करें 
.
समाधान।
फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है।
आइए पहला व्युत्पन्न खोजें: 
पहले व्युत्पन्न का डोमेन भी वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट है, इसलिए समानताएं और किसी के लिए निष्पादित नहीं किया गया है।
आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें:
आइए जानें कि तर्क x के किन मूल्यों पर दूसरा व्युत्पन्न गायब हो जाता है: 
तो संभावित विभक्ति बिंदुओं के भुज x=-2 और x=3 हैं।
अब पर्याप्त विभक्ति मानदंड के आधार पर यह जांचना बाकी है कि इनमें से किस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न परिवर्तन का संकेत देता है। ऐसा करने के लिए, बिंदु x=-2 और x=3 को वास्तविक अक्ष पर रखें और, जैसा कि है सामान्यीकृत अंतराल विधि, हम प्रत्येक अंतराल पर दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न लगाते हैं। प्रत्येक अंतराल के तहत, फ़ंक्शन के ग्राफ़ की उत्तलता की दिशा को आर्क्स द्वारा योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है। 
दूसरा व्युत्पन्न बिंदु x=-2 से गुजरते हुए बाएं से दाएं संकेत को प्लस से माइनस में बदलता है, और x=3 से गुजरते हुए साइन को माइनस से प्लस में बदलता है। इसलिए, x=-2 और x=3 दोनों फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदुओं के भुज हैं। वे ग्राफ बिंदुओं के अनुरूप हैं और।
वास्तविक अक्ष और उसके अंतराल पर दूसरे व्युत्पन्न के संकेतों को फिर से देखते हुए, हम उत्तलता और अवतलता के अंतराल के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं। फ़ंक्शन का ग्राफ अंतराल पर उत्तल और अंतराल पर अवतल होता है।
ग्राफिक चित्रण.
उत्तल अंतराल पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का हिस्सा नीले रंग में दिखाया गया है, अवतल अंतराल पर - लाल रंग में, विभक्ति बिंदु काले बिंदुओं के रूप में दिखाए गए हैं।
उदाहरण।
किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ के सभी विभक्ति बिंदुओं के भुजाओं का पता लगाएं 
.
समाधान।
इस फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है।
आइए व्युत्पन्न खोजें। 
मूल फ़ंक्शन के विपरीत, पहला व्युत्पन्न, x=3 पर परिभाषित नहीं है। लेकिन 
और 
. इसलिए, भुज x=3 वाले बिंदु पर, मूल फ़ंक्शन के ग्राफ़ की एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा होती है। तो x=3 फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु का भुज हो सकता है।
हम दूसरा व्युत्पन्न, इसकी परिभाषा का क्षेत्र और वे बिंदु पाते हैं जिन पर यह गायब हो जाता है: 
हमें विभक्ति बिंदुओं के दो और संभावित एब्सिस्सा मिले। हम संख्या रेखा पर सभी तीन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं और प्रत्येक प्राप्त अंतराल पर दूसरे व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं। 
प्रत्येक बिंदु से गुजरते समय दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, इसलिए वे सभी विभक्ति बिंदुओं के भुज हैं।
