≡×მენიუ

• შეკეთება
• შეკეთება
• Ინტერიერის დიზაინი
• Ყველაფრის შესახებ
• სანტექნიკის შესახებ

როგორ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა ხვეულით. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითები: ამოხსნის მეთოდი

ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც განტოლებათა რაოდენობა უდრის ცვლადების რაოდენობას, ე.ი. m = n. მაშინ სისტემის მატრიცა არის კვადრატი და მის განმსაზღვრელს სისტემის დეტერმინანტი ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცის მეთოდი

ზოგადად განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა AX = B არაერთგულოვანი კვადრატული მატრიცით A. ამ შემთხვევაში არსებობს შებრუნებული მატრიცა A -1. გავამრავლოთ ორივე მხარე A -1-ზე მარცხნივ. ვიღებთ A -1 AX \u003d A -1 B. აქედან EX \u003d A -1 B და

ბოლო ტოლობა არის მატრიცული ფორმულა განტოლებათა ასეთი სისტემების ამონახსნების საპოვნელად. ამ ფორმულის გამოყენებას ეწოდება ინვერსიული მატრიცის მეთოდი

მაგალითად, გამოვიყენოთ ეს მეთოდი შემდეგი სისტემის გადასაჭრელად:

;

სისტემის ამოხსნის ბოლოს, შემოწმება შეიძლება გაკეთდეს ნაპოვნი მნიშვნელობების სისტემის განტოლებებში ჩანაცვლებით. ამ შემთხვევაში ისინი ნამდვილ თანასწორებად უნდა იქცეს.

ამ მაგალითისთვის შევამოწმოთ:

კვადრატული მატრიცით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდი კრამერის ფორმულების გამოყენებით

მოდით n=2:

თუ პირველი განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლდება 22-ზე, ხოლო მეორის ორივე ნაწილი (-a 12-ზე) და შემდეგ მიღებული განტოლებები დაემატება, მაშინ სისტემიდან გამოვრიცხავთ ცვლადს x 2. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ აღმოფხვრათ ცვლადი x 1 (პირველი განტოლების ორივე მხარის (-a 21-ზე) და მეორის ორივე მხარის 11-ზე გამრავლებით). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

გამოხატულება ფრჩხილებში არის სისტემის განმსაზღვრელი

აღნიშნეთ

შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

მიღებული სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ სისტემის განმსაზღვრელი არის 0, მაშინ სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განსაზღვრული. მისი უნიკალური გადაწყვეტა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულებით:

თუ = 0, a 1 0 და/ან  2 0, მაშინ სისტემის განტოლებები მიიღებს 0*х 1 = 2 და/ან 0*х 1 = 2 ფორმას. ამ შემთხვევაში, სისტემა არათანმიმდევრული იქნება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც = 1 = 2 = 0, სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი (მას ექნება ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა), რადგან ის მიიღებს ფორმას:

კრამერის თეორემა(ჩვენ გამოვტოვებთ მტკიცებულებას). თუ განტოლებათა n სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელი  არ არის ნული, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, რომელიც განისაზღვრება ფორმულებით:

,

სადაც  j არის A მატრიციდან მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი j-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით.

ზემოხსენებულ ფორმულებს ე.წ კრამერის ფორმულები.

მაგალითად, მოდით გამოვიყენოთ ეს მეთოდი სისტემის ამოსახსნელად, რომელიც ადრე იყო ამოხსნილი ინვერსიული მატრიცის მეთოდით:

განხილული მეთოდების ნაკლოვანებები:

1) მნიშვნელოვანი სირთულე (დეტერმინანტების გამოთვლა და შებრუნებული მატრიცის პოვნა);

2) შეზღუდული მასშტაბი (კვადრატული მატრიცის მქონე სისტემებისთვის).

რეალური ეკონომიკური სიტუაციები ხშირად მოდელირებულია სისტემებით, რომლებშიც განტოლებებისა და ცვლადების რაოდენობა საკმაოდ მნიშვნელოვანია და უფრო მეტი განტოლებაა ვიდრე ცვლადი, ამიტომ პრაქტიკაში უფრო გავრცელებულია შემდეგი მეთოდი.

გაუსის მეთოდი (ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი)

ეს მეთოდი გამოიყენება სისტემის მ წრფივი განტოლებები n ცვლადთან ერთად ზოგადი ხედი. მისი არსი მდგომარეობს გაფართოებულ მატრიცაზე ეკვივალენტური გარდაქმნების სისტემის გამოყენებაში, რომლის დახმარებით განტოლებათა სისტემა გარდაიქმნება ისეთ ფორმაში, როდესაც მისი ამონახსნები ადვილად მოსაძებნი გახდება (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

ეს არის ისეთი ხედი, რომელშიც სისტემის მატრიცის ზედა მარცხენა ნაწილი იქნება საფეხურიანი მატრიცა. ეს მიიღწევა იმავე ტექნიკის გამოყენებით, რომელიც გამოიყენებოდა საფეხურიანი მატრიცის მისაღებად რანგის დასადგენად. ამ შემთხვევაში, ელემენტარული გარდაქმნები გამოიყენება გაფართოებულ მატრიცაზე, რაც საშუალებას მისცემს მიიღონ განტოლებათა ექვივალენტური სისტემა. ამის შემდეგ, გაძლიერებული მატრიცა მიიღებს ფორმას:

ასეთი მატრიცის მიღებას ე.წ სწორ ხაზზეგაუსის მეთოდი.

ცვლადების მნიშვნელობების პოვნა განტოლებათა შესაბამისი სისტემიდან ეწოდება უკუღმაგაუსის მეთოდი. განვიხილოთ.

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო (m – r) განტოლებები მიიღებს ფორმას:

თუ ერთი რიცხვი მაინც
არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი ტოლობა იქნება მცდარი და მთელი სისტემა იქნება არათანმიმდევრული.

ამიტომ, ნებისმიერი ერთობლივი სისტემისთვის
. ამ შემთხვევაში, ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობის ბოლო (m – r) განტოლებები იქნება იდენტობები 0 = 0 და მათი იგნორირება შესაძლებელია სისტემის ამოხსნისას (უბრალოდ გადააგდეთ შესაბამისი რიგები).

ამის შემდეგ სისტემა ასე გამოიყურება:

ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც r=n. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

სისტემის ბოლო განტოლებიდან შეიძლება ცალსახად იპოვოთ x r.

იცის x r, შეიძლება ცალსახად გამოხატოს x r -1 მისგან. შემდეგ წინა განტოლებიდან ვიცით x r და x r -1 , შეგვიძლია გამოვხატოთ x r -2 და ა.შ. x 1-მდე.

ასე რომ, ამ შემთხვევაში, სისტემა იქნება თანამშრომლობითი და გარკვეული.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც რ ძირითადი(ძირითადი) და ყველა დანარჩენი - არასაბაზისო(მცირე, უფასო). სისტემის ბოლო განტოლება ასე გამოიყურება:

ამ განტოლებიდან შეგვიძლია გამოვხატოთ ძირითადი ცვლადი x r არაძირითადი ცვლადების მიხედვით:

ბოლო განტოლება ასე გამოიყურება:

მიღებული გამოსახულების ჩანაცვლებით x r-ის ნაცვლად, შესაძლებელი იქნება ძირითადი ცვლადის x r -1 გამოხატვა არაძირითადი ცვლადების მეშვეობით. და ა.შ. ცვლადამდე x 1 . სისტემის ამოხსნის მისაღებად, შეგიძლიათ არასაბაზისო ცვლადები გაუტოლოთ თვითნებურ მნიშვნელობებს და შემდეგ გამოთვალოთ ძირითადი ცვლადები მიღებული ფორმულების გამოყენებით. ამრიგად, ამ შემთხვევაში, სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი (აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).

მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლებათა სისტემა:

ძირითადი ცვლადების ნაკრები გამოიძახება საფუძველისისტემები. ასევე დაერქმევა მათთვის კოეფიციენტების სვეტების სიმრავლეს საფუძველი(ძირითადი სვეტები), ან ძირითადი მცირესისტემის მატრიცები. სისტემის ის ამონახსნი, რომელშიც ყველა არაძირითადი ცვლადი ნულის ტოლია, გამოიძახება ძირითადი გადაწყვეტა.

წინა მაგალითში ძირითადი ამონახსნი იქნება (4/5; -17/5; 0; 0) (ცვლადები x 3 და x 4 (c 1 და c 2) დაყენებულია ნულზე, ხოლო ძირითადი ცვლადები x 1 და x 2 გამოითვლება მათი მეშვეობით). არაძირითადი ამოხსნის მაგალითის მისაცემად აუცილებელია x 3 და x 4 (c 1 და c 2) გავატოლოთ თვითნებურ რიცხვებთან, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი და დანარჩენი ცვლადების გამოთვლა მათ. მაგალითად, c 1 = 1 და c 2 = 0, ვიღებთ არასაბაზისო ამოხსნას - (4/5; -12/5; 1; 0). ჩანაცვლებით, ადვილია იმის დადასტურება, რომ ორივე გამოსავალი სწორია.

ცხადია, არაძირითადი ამონახსნების განუსაზღვრელი სისტემაში შეიძლება არსებობდეს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. რამდენი ძირითადი გამოსავალი შეიძლება იყოს? გარდაქმნილი მატრიცის თითოეული მწკრივი უნდა შეესაბამებოდეს ერთ ძირითად ცვლადს. საერთო ჯამში, პრობლემაში არის n ცვლადი და r ძირითადი რიგები. აქედან გამომდინარე, ძირითადი ცვლადების შესაძლო კომპლექტების რაოდენობა არ შეიძლება აღემატებოდეს კომბინაციების რაოდენობას n-დან 2-მდე. ეს შეიძლება იყოს ნაკლები , რადგან ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სისტემის გარდაქმნა ისეთ ფორმაში, რომ ცვლადების ეს კონკრეტული ნაკრები იყოს საფუძველი.

როგორია ეს? ეს ის ფორმაა, როდესაც ამ ცვლადების კოეფიციენტების სვეტებიდან წარმოქმნილი მატრიცა იქნება ეტაპობრივი და ამ შემთხვევაში შედგება რიგებისაგან. იმათ. ამ ცვლადების კოეფიციენტების მატრიცის რანგი უნდა იყოს r-ის ტოლი. ის არ შეიძლება იყოს უფრო დიდი, რადგან სვეტების რაოდენობა უდრის r. თუ აღმოჩნდება, რომ ის r-ზე ნაკლებია, მაშინ ეს მიუთითებს სვეტების ხაზოვან დამოკიდებულებაზე ცვლადებთან. ასეთი სვეტები არ შეიძლება იყოს საფუძველი.

მოდით განვიხილოთ, რა სხვა ძირითადი გადაწყვეტილებები შეიძლება მოიძებნოს ზემოთ მოცემულ მაგალითში. ამისათვის განიხილეთ ოთხი ცვლადის ყველა შესაძლო კომბინაცია ორ ძირითადთან. ასეთი კომბინაციები იქნება
, და ერთი მათგანი (x 1 და x 2) უკვე განიხილება.

ავიღოთ x 1 და x 3 ცვლადები. იპოვეთ მათთვის კოეფიციენტების მატრიცის რანგი:

ვინაიდან ეს უდრის ორს, ისინი შეიძლება იყოს ძირითადი. არასაბაზისო ცვლადებს x 2 და x 4 გავუტოლებთ ნულს: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. შემდეგ ფორმულიდან x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 გამომდინარეობს, რომ x 1 \u003d 4/5 და x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ძირითად ამოხსნას (4/5; 0; 17/5; 0).

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ ძირითადი ამონახსნები ძირითადი ცვლადებისთვის x 1 და x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 და x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 და x 4 - (0; 0; 9; 4).

ცვლადები x 2 და x 3 ამ მაგალითში არ შეიძლება იქნას მიღებული როგორც ძირითადი, რადგან შესაბამისი მატრიცის წოდება უდრის ერთს, ე.ი. ორზე ნაკლები:

.

შესაძლებელია კიდევ ერთი მიდგომა იმის დასადგენად, შესაძლებელია თუ არა საფუძვლის შექმნა ზოგიერთი ცვლადიდან. მაგალითის ამოხსნისას, სისტემის მატრიცის საფეხურზე გადაყვანის შედეგად, მან მიიღო ფორმა:

ცვლადების წყვილის არჩევით შესაძლებელი გახდა ამ მატრიცის შესაბამისი მინორების გამოთვლა. ადვილი მისახვედრია, რომ ყველა წყვილისთვის, გარდა x 2-ისა და x 3-ისა, ისინი არ არიან ნულის ტოლი, ე.ი. სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია. და მხოლოდ სვეტებისთვის x 2 და x 3 ცვლადებით
, რაც მიუთითებს მათ წრფივ დამოკიდებულებაზე.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა

ასე რომ, ბოლო მატრიცის მესამე მწკრივის შესაბამისი განტოლება არათანმიმდევრულია - ამან გამოიწვია არასწორი თანასწორობა 0 = -1, შესაბამისად, ეს სისტემა არათანმიმდევრულია.

ჟორდანი-გაუსის მეთოდი 3 არის გაუსის მეთოდის განვითარება. მისი არსი იმაში მდგომარეობს, რომ სისტემის გაფართოებული მატრიცა გარდაიქმნება ფორმაში, როდესაც ცვლადების კოეფიციენტები ქმნიან იდენტურობის მატრიცას 4 სტრიქონების ან სვეტების პერმუტაციამდე (სად არის სისტემის მატრიცის რანგი).

მოდით გადავჭრათ სისტემა ამ მეთოდის გამოყენებით:

განვიხილოთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა:

ამ მატრიცაში ჩვენ ვირჩევთ პირადობის ელემენტს. მაგალითად, კოეფიციენტი x 2-ზე მესამე შეზღუდვაში არის 5. დავრწმუნდეთ, რომ ამ სვეტის დარჩენილ რიგებში არის ნულები, ე.ი. გააკეთე სვეტი ერთი. გარდაქმნების პროცესში ამას დავარქმევთ სვეტიდასაშვები(წამყვანი, გასაღები). მესამე შეზღუდვა (მესამე სიმებიანი) ასევე დაერქმევა დასაშვები. მე თვითონ ელემენტი, რომელიც დგას დასაშვები მწკრივისა და სვეტის კვეთაზე (აქ ეს არის ერთეული), ასევე ე.წ. დასაშვები.

პირველი ხაზი ახლა შეიცავს კოეფიციენტს (-1). მის ადგილას ნულის მისაღებად, მესამე მწკრივი გავამრავლოთ (-1) და გამოვაკლოთ შედეგი პირველ რიგს (ე.ი. უბრალოდ დაამატეთ პირველი რიგი მესამეს).

მეორე სტრიქონი შეიცავს კოეფიციენტს 2. მის ადგილას ნულის მისაღებად მესამე სტრიქონი გავამრავლოთ 2-ზე და გამოვაკლოთ შედეგი პირველ ხაზს.

გარდაქმნების შედეგი ასე გამოიყურება:

ეს მატრიცა ნათლად აჩვენებს, რომ პირველი ორი შეზღუდვიდან ერთ-ერთი შეიძლება წაიშალოს (შესაბამისი რიგები პროპორციულია, ანუ ეს განტოლებები ერთმანეთს მოჰყვება). გადავკვეთოთ მეორე:

ასე რომ, ახალ სისტემაში ორი განტოლებაა. მიიღება ერთი სვეტი (მეორე) და აქ ერთეული მეორე რიგშია. გავიხსენოთ, რომ ძირითადი ცვლადი x 2 შეესატყვისება ახალი სისტემის მეორე განტოლებას.

მოდით ავირჩიოთ ძირითადი ცვლადი პირველი რიგისთვის. ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი ცვლადი x 3-ის გარდა (რადგან x 3-ზე პირველ შეზღუდვას აქვს ნულოვანი კოეფიციენტი, ანუ x 2 და x 3 ცვლადების ნაკრები აქ არ შეიძლება იყოს ძირითადი). შეგიძლიათ აიღოთ პირველი ან მეოთხე ცვლადი.

ავირჩიოთ x ​​1. მაშინ გადამწყვეტი ელემენტი იქნება 5 და ამოხსნის განტოლების ორივე მხარე უნდა გაიყოს ხუთზე, რათა მივიღოთ ერთი პირველი რიგის პირველ სვეტში.

მოდით დავრწმუნდეთ, რომ დანარჩენ რიგებს (ანუ მეორე სტრიქონს) აქვს ნულები პირველ სვეტში. ვინაიდან ახლა მეორე ხაზი არ არის ნული, არამედ 3, აუცილებელია მეორე სტრიქონიდან გამოვაკლოთ გარდაქმნილი პირველი ხაზის ელემენტები, გამრავლებული 3-ზე:

ერთი ძირითადი ამონახსნის პირდაპირი ამოღება შესაძლებელია მიღებული მატრიციდან არასაბაზისო ცვლადების ნულთან გათანაბრებით, ხოლო ძირითადი ცვლადების თავისუფალ წევრებთან შესაბამის განტოლებებში: (0.8; -3.4; 0; 0). თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ ზოგადი ფორმულები, რომლებიც გამოხატავს ძირითად ცვლადებს არასაბაზისო ცვლადების საშუალებით: x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4. ეს ფორმულები აღწერს სისტემის ამონახსნების მთელ უსასრულო კომპლექტს (x 3 და x 4 თვითნებურ რიცხვებთან გატოლებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ x 1 და x 2).

გაითვალისწინეთ, რომ ჟორდანია-გაუსის მეთოდის თითოეულ ეტაპზე ტრანსფორმაციების არსი შემდეგი იყო:

1) დასაშვები სტრიქონი იყოფა ნებადართული ელემენტით, რათა ერთეული მიეღო მის ადგილზე,

2) ყველა სხვა მწკრივს, გარდაქმნილი გადაწყვეტის ძალა გამრავლებული იმ ელემენტზე, რომელიც იყო მოცემულ ხაზში, ამომრჩეველ სვეტში, გამოაკლოთ ამ ელემენტის ნაცვლად ნულის მისაღებად.

კიდევ ერთხელ განვიხილოთ სისტემის გარდაქმნილი გაძლიერებული მატრიცა:

ამ ჩანაწერიდან ჩანს, რომ A სისტემის მატრიცის რანგია r.

ზემოაღნიშნული მსჯელობის დროს დავადგინეთ, რომ სისტემა თანმიმდევრულია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში
. ეს ნიშნავს, რომ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა ასე გამოიყურება:

ნულოვანი რიგების უგულებელყოფით, მივიღებთ, რომ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგი ასევე უდრის r-ს.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა. წრფივი განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი უდრის ამ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგს.

შეგახსენებთ, რომ მატრიცის წოდება უდრის მისი წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალურ რაოდენობას. აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ გაფართოებული მატრიცის რანგი ნაკლებია განტოლებათა რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის განტოლებები წრფივია დამოკიდებული და ერთი ან მეტი მათგანი შეიძლება გამოირიცხოს სისტემიდან (რადგან ისინი წრფივია. სხვების კომბინაცია). განტოლებათა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გაფართოებული მატრიცის რანგი უდრის განტოლებების რაოდენობას.

უფრო მეტიც, ხაზოვანი განტოლებების თავსებადი სისტემებისთვის შეიძლება ითქვას, რომ თუ მატრიცის რანგი უდრის ცვლადების რაოდენობას, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა და თუ ის ნაკლებია ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემა განუსაზღვრელია და აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

1 მაგალითად, დავუშვათ, რომ მატრიცაში არის ხუთი მწკრივი (მწკრივის საწყისი რიგი არის 12345). ჩვენ უნდა შევცვალოთ მეორე და მეხუთე ხაზი. იმისათვის, რომ მეორე ხაზმა დაიკავოს მეხუთე ადგილი, "გადავიდეს" ქვემოთ, ჩვენ თანმიმდევრულად ვცვლით მიმდებარე ხაზებს სამჯერ: მეორე და მესამე (13245), მეორე და მეოთხე (13425) და მეორე და მეხუთე ( 13452). შემდეგ, იმისთვის, რომ მეხუთე მწკრივმა დაიკავოს მეორის ადგილი თავდაპირველ მატრიცაში, საჭიროა მეხუთე მწკრივის „გადატანა“ მხოლოდ ორი თანმიმდევრული ცვლილებით: მეხუთე და მეოთხე რიგები (13542) და მეხუთე და მესამე. (15342).

2 კომბინაციების რაოდენობა n-დან r-მდე მოვუწოდებთ n-ელემენტების სიმრავლის ყველა სხვადასხვა r-ელემენტის ქვესიმრავლის რაოდენობას (სხვადასხვა კომპლექტი არის ის, რომელსაც აქვს ელემენტების განსხვავებული შემადგენლობა, შერჩევის თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი). იგი გამოითვლება ფორმულით:
. გაიხსენეთ ნიშნის მნიშვნელობა "!" (ფაქტორული):
0!=1.)

3 ვინაიდან ეს მეთოდი უფრო გავრცელებულია, ვიდრე ადრე განხილული გაუსის მეთოდი და არსებითად წარმოადგენს გაუსის წინა და საპირისპირო მეთოდის ერთობლიობას, მას ასევე ზოგჯერ უწოდებენ გაუსის მეთოდს და გამოტოვებს სახელის პირველ ნაწილს.

4 მაგალითად,
.

5 სისტემის მატრიცაში ერთეულები რომ არ არსებობდეს, მაშინ შესაძლებელი იქნებოდა, მაგალითად, პირველი განტოლების ორივე ნაწილი გავყოთ ორზე და მაშინ პირველი კოეფიციენტი გახდება ერთიანობა; ან მსგავსი.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არასანქცირებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ ინდუსტრიაში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, პოპულაციის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახულებით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. სისტემაში განტოლებების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური გზა არ არსებობს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. მათემატიკის სასკოლო კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

ზოგადსაგანმანათლებლო სასკოლო პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია და დეტალურად არის ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ იგი მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, შემცვლელი გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდით სისტემების ამოხსნის ძიებისას ხორციელდება ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა რიცხვებზე. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

შესაძლებელია ახალი ცვლადის შემოღება, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითიდან ჩანს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი შედგება სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების გამოსახვაში კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი ამოხსნა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალური გზით ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, ნაპოვნია y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგ მაგალითში საჭიროა წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნა: 0,5x-y+2=0 და 0,5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითებიდან 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - რიგები და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივების ნომრები არ განმეორდეს პროდუქტში.

წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის უხერხული ჩანაწერების შემცირებას ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად შეისწავლება გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემების ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება ამოხსნის გაუს-კრამერის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობის მქონე სისტემების ცვლადების მოსაძებნად.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებითა და ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, წერს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამაში სწავლის მქონე ბავშვების გამომგონებლობის განვითარებისთვის.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რაოდენობას.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭირო ალგებრული ოპერაციების შესრულებას შედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლებით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

ინსტრუქცია

დამატების მეთოდი.
თქვენ უნდა დაწეროთ ორი მკაცრად ერთმანეთის ქვეშ:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
თვითნებურად არჩეულ (სისტემიდან) განტოლებაში ჩასვით რიცხვი 11 უკვე ნაპოვნი „თამაშის“ ნაცვლად და გამოთვალეთ მეორე უცნობი:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
განტოლებათა ამ სისტემის პასუხი: x=116, y=11.

გრაფიკული გზა.
იგი შედგება იმ წერტილის კოორდინატების პრაქტიკულ პოვნაში, სადაც ხაზები მათემატიკურად იწერება განტოლებათა სისტემაში. თქვენ უნდა დახაზოთ ორივე ხაზის გრაფიკები ცალ-ცალკე ერთსა და იმავე კოორდინატულ სისტემაში. ზოგადი ხედი: - y \u003d kx + b. სწორი ხაზის ასაგებად საკმარისია ორი წერტილის კოორდინატების პოვნა და x არჩეულია თვითნებურად.
მიეცით სისტემა: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
სწორი ხაზი აგებულია პირველის მიხედვით, მოხერხებულობისთვის ის უნდა ჩაიწეროს: y \u003d 2x-4. გამოიტანეთ (უფრო მარტივი) მნიშვნელობები x-ისთვის, ჩაანაცვლეთ იგი განტოლებაში, ამოხსენით, იპოვეთ y. მიიღება ორი წერტილი, რომლის გასწვრივ სწორი ხაზია აგებული. (იხილეთ სურათი.)
x 0 1

y -4 -2
სწორი ხაზი აგებულია მეორე განტოლების მიხედვით: y \u003d -3x + 1.
ასევე შექმენით ხაზი. (იხილეთ სურათი.)

1-5
იპოვეთ გრაფიკზე ორი აგებული წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები (თუ წრფეები არ იკვეთება, მაშინ განტოლებათა სისტემას არ აქვს - ასე).

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

თუ განტოლებათა ერთი და იგივე სისტემა ამოხსნილია სამი განსხვავებული გზით, პასუხი იგივე იქნება (თუ ამონახსნი სწორია).

წყაროები:

• ალგებრა მე-8 კლასი
• გადაჭრით განტოლება ორი უცნობით ონლაინ
• ხაზოვანი განტოლების სისტემების ამოხსნის მაგალითები ორით

სისტემა განტოლებებიარის მათემატიკური ჩანაწერების კრებული, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ცვლადების გარკვეულ რაოდენობას. მათი გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს.

დაგჭირდებათ

• - სახაზავი და ფანქარი;
• - კალკულატორი.

ინსტრუქცია

განვიხილოთ სისტემის ამოხსნის თანმიმდევრობა, რომელიც შედგება წრფივი განტოლებისგან, რომლებსაც აქვთ ფორმა: a1x + b1y = c1 და a2x + b2y = c2. სადაც x და y უცნობი ცვლადებია და b,c თავისუფალი წევრები. ამ მეთოდის გამოყენებისას თითოეული სისტემა არის თითოეული განტოლების შესაბამისი წერტილების კოორდინატები. პირველ რიგში, თითოეულ შემთხვევაში, გამოხატეთ ერთი ცვლადი მეორის თვალსაზრისით. შემდეგ დააყენეთ x ცვლადი ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობებზე. ორი საკმარისია. შეაერთეთ განტოლება და იპოვეთ y. ააგეთ კოორდინატთა სისტემა, მონიშნეთ მასზე მიღებული წერტილები და გაავლეთ სწორი ხაზი. მსგავსი გამოთვლები უნდა განხორციელდეს სისტემის სხვა ნაწილებისთვის.

სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, თუ აგებული ხაზები იკვეთება და აქვთ ერთი საერთო წერტილი. შეუსაბამოა, თუ ისინი ერთმანეთის პარალელურია. და მას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი, როდესაც ხაზები ერწყმის ერთმანეთს.

ეს მეთოდი ითვლება ძალიან მკაფიოდ. მთავარი მინუსი არის ის, რომ გამოთვლილ უცნობებს აქვთ სავარაუდო მნიშვნელობები. უფრო ზუსტ შედეგს იძლევა ეგრეთ წოდებული ალგებრული მეთოდები.

განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი შესამოწმებელია. ამისათვის შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობები ცვლადების ნაცვლად. თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მისი გამოსავალი რამდენიმე გზით. თუ სისტემის გამოსავალი სწორია, მაშინ ყველა ერთნაირი უნდა აღმოჩნდეს.

ხშირად არის განტოლებები, რომლებშიც ერთ-ერთი ტერმინი უცნობია. განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ და შეასრულოთ მოქმედებების გარკვეული ნაკრები ამ რიცხვებით.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• - კალამი ან ფანქარი.

ინსტრუქცია

წარმოიდგინეთ, რომ თქვენს წინ 8 კურდღელი გყავთ და მხოლოდ 5 სტაფილო გაქვთ. იფიქრეთ, რომ მეტი სტაფილო უნდა იყიდოთ, რათა თითოეულმა კურდღელმა მიიღოს სტაფილო.

ეს პრობლემა წარმოვადგინოთ განტოლების სახით: 5 + x = 8. ჩავანაცვლოთ რიცხვი 3 x-ით. მართლაც, 5 + 3 = 8.

როდესაც თქვენ ჩაანაცვლეთ რიცხვი x-ით, თქვენ აკეთებდით იგივე ოპერაციას, რასაც 8-ს გამოაკლოთ 5. ამრიგად, იპოვეთ უცნობივადა, გამოაკელი ცნობილი ტერმინი ჯამს.

ვთქვათ, გყავთ 20 კურდღელი და მხოლოდ 5 სტაფილო. მოდით შევადგინოთ. განტოლება არის თანასწორობა, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ მასში შემავალი ასოების გარკვეულ მნიშვნელობებზე. ასოებს, რომელთა მნიშვნელობებიც გსურთ იპოვოთ, ეწოდება. დაწერეთ განტოლება ერთი უცნობით, დავარქვით x. კურდღლების შესახებ ჩვენი ამოცანის ამოხსნისას მიიღება შემდეგი განტოლება: 5 + x = 20.

ვიპოვოთ სხვაობა 20-სა და 5-ს შორის. გამოკლებისას მცირდება რიცხვი, რომელსაც აკლებს. რიცხვს, რომელიც გამოკლებულია, ეწოდება , ხოლო საბოლოო შედეგს სხვაობა. ასე რომ, x = 20 - 5; x = 15. თქვენ უნდა შეიძინოთ 15 სტაფილო კურდღლისთვის.

გააკეთეთ შემოწმება: 5 + 15 = 20. განტოლება სწორია. რა თქმა უნდა, როდესაც საქმე ეხება ასეთ მარტივს, შემოწმება არ არის საჭირო. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება სამნიშნა, ოთხნიშნა და ა.შ. განტოლებებს, აუცილებელია შეამოწმოთ თქვენი მუშაობის შედეგში აბსოლუტურად დარწმუნებული.

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

უცნობი მინუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ სუბტრაჰენდი.

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად აუცილებელია სხვაობის გამოკლება მინუენდისგან.

რჩევა 4: როგორ ამოხსნათ სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით

სამი უცნობის მქონე სამი განტოლების სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები, მიუხედავად განტოლებების საკმარისი რაოდენობისა. შეგიძლიათ სცადოთ მისი გადაჭრა ჩანაცვლების მეთოდით ან კრამერის მეთოდით. კრამერის მეთოდი, სისტემის ამოხსნის გარდა, საშუალებას აძლევს ადამიანს შეაფასოს არის თუ არა სისტემა ამოსახსნელი უცნობის მნიშვნელობების პოვნამდე.

ინსტრუქცია

ჩანაცვლების მეთოდი შედგება თანმიმდევრობით ერთი უცნობიდან ორი სხვას მეშვეობით და მიღებული შედეგის ჩანაცვლება სისტემის განტოლებებში. მოდით, სამი განტოლებისგან შემდგარი სისტემა მოცემულია ზოგადი ფორმით:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

გამოხატეთ x პირველი განტოლებიდან: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - და ჩაანაცვლეთ მეორე და მესამე განტოლებაში, შემდეგ გამოხატეთ y მეორე განტოლებიდან და ჩაანაცვლეთ მესამეში. სისტემის განტოლებათა კოეფიციენტების მეშვეობით მიიღებთ z-ის წრფივ გამოხატულებას. ახლა გადადით "უკან": შეაერთეთ z მეორე განტოლებაში და იპოვეთ y, შემდეგ შეაერთეთ z და y პირველ განტოლებაში და იპოვეთ x. პროცესი ზოგადად ნაჩვენებია სურათზე, სანამ z არ მოიძებნება. გარდა ამისა, ჩანაწერი ზოგადი ფორმით ძალიან რთული იქნება, პრაქტიკაში, ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ სამივე უცნობი.

კრამერის მეთოდი შედგება სისტემის მატრიცის შედგენაში და ამ მატრიცის დეტერმინანტის, ასევე კიდევ სამი დამხმარე მატრიცის გამოთვლაში. სისტემის მატრიცა შედგება კოეფიციენტებისგან განტოლებების უცნობ წევრებზე. სვეტი, რომელიც შეიცავს რიცხვებს განტოლებების მარჯვენა მხარეს, სვეტი მარჯვენა მხარეს. ის არ გამოიყენება სისტემაში, მაგრამ გამოიყენება სისტემის ამოხსნისას.

Მსგავსი ვიდეოები

შენიშვნა

სისტემის ყველა განტოლებამ უნდა მიაწოდოს დამატებითი ინფორმაცია სხვა განტოლებისგან დამოუკიდებლად. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სისტემა არასაკმარისად იქნება განსაზღვრული და ცალსახა გადაწყვეტის პოვნა შეუძლებელია.

სასარგებლო რჩევა

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის შემდეგ, ნაპოვნი მნიშვნელობები ჩაანაცვლეთ თავდაპირველ სისტემაში და შეამოწმეთ, რომ ისინი აკმაყოფილებენ ყველა განტოლებას.

Თავისით განტოლებასამთან ერთად უცნობიაქვს მრავალი ამონახსნი, ამიტომ ყველაზე ხშირად მას ავსებს კიდევ ორი ​​განტოლება ან პირობა. დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა არის საწყისი მონაცემები, გადაწყვეტილების კურსი დიდწილად იქნება დამოკიდებული.

დაგჭირდებათ

• - სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

ინსტრუქცია

თუ სამი სისტემიდან ორს აქვს სამი უცნობიდან მხოლოდ ორი, შეეცადეთ გამოხატოთ ზოგიერთი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩართოთ ისინი განტოლებასამთან ერთად უცნობი. ამით თქვენი მიზანია გადააქციოთ ის ნორმალურად განტოლებაუცნობთან. თუ ეს ასეა, შემდგომი გამოსავალი საკმაოდ მარტივია - შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა სხვა განტოლებით და იპოვეთ ყველა სხვა უცნობი.

განტოლებათა ზოგიერთი სისტემა შეიძლება გამოკლდეს ერთ განტოლებას მეორეზე. ნახეთ, შესაძლებელია თუ არა ერთის გამრავლება ან ცვლადზე ისე, რომ ორი უცნობი ერთდროულად შემცირდეს. თუ არსებობს ასეთი შესაძლებლობა, გამოიყენეთ იგი, სავარაუდოდ, შემდგომი გადაწყვეტილება არ იქნება რთული. არ დაგავიწყდეთ, რომ რიცხვზე გამრავლებისას უნდა გაამრავლოთ როგორც მარცხენა, ასევე მარჯვენა მხარე. ანალოგიურად, განტოლებების გამოკლებისას გახსოვდეთ, რომ მარჯვენა მხარეც უნდა გამოკლდეს.

თუ წინა მეთოდები არ დაგვეხმარა, გამოიყენეთ ზოგადი მეთოდი ნებისმიერი განტოლების სამით ამოხსნისთვის უცნობი. ამისათვის გადაწერეთ განტოლებები სახით a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. ახლა გააკეთეთ კოეფიციენტების მატრიცა x-ზე (A), უცნობის მატრიცა (X) და თავისუფალის მატრიცა (B). ყურადღება მიაქციეთ, გავამრავლოთ კოეფიციენტების მატრიცა უცნობების მატრიცით, მიიღებთ მატრიცას, თავისუფალი წევრების მატრიცას, ანუ A * X \u003d B.

იპოვეთ მატრიცა A სიმძლავრის (-1) პოვნის შემდეგ, გაითვალისწინეთ, რომ ის არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამის შემდეგ მიღებული მატრიცა გაამრავლეთ B მატრიცით, შედეგად მიიღებთ სასურველ X მატრიცას, ყველა მნიშვნელობის მითითებით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ გამოსავალი სამი განტოლებისგან შემდგარი სისტემისთვის კრამერის მეთოდის გამოყენებით. ამისათვის იპოვეთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი Δ, რომელიც შეესაბამება სისტემის მატრიცას. შემდეგ თანმიმდევრულად იპოვნეთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი ∆1, ∆2 და ∆3, ჩაანაცვლეთ თავისუფალი ტერმინების მნიშვნელობები შესაბამისი სვეტების მნიშვნელობების ნაცვლად. ახლა იპოვეთ x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

წყაროები:

• სამი უცნობის მქონე განტოლების ამონახსნები

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის დაწყებით, გაარკვიეთ რა არის ეს განტოლებები. კარგად არის შესწავლილი წრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. არაწრფივი განტოლებები ყველაზე ხშირად არ წყდება. არსებობს მხოლოდ ერთი განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელთაგან თითოეული პრაქტიკულად ინდივიდუალურია. ამიტომ ამოხსნის მეთოდების შესწავლა უნდა დაიწყოს წრფივი განტოლებებით. ასეთი განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია თუნდაც წმინდა ალგორითმულად.

ნაპოვნი უცნობების მნიშვნელები ზუსტად იგივეა. დიახ, და მრიცხველებზე ჩანს მათი კონსტრუქციის ზოგიერთი ნიმუში. თუ განტოლებათა სისტემის განზომილება ორზე მეტი იქნებოდა, მაშინ აღმოფხვრის მეთოდი გამოიწვევს ძალიან რთულ გამოთვლებს. მათი თავიდან აცილების მიზნით, შემუშავებულია წმინდა ალგორითმული გადაწყვეტილებები. მათგან ყველაზე მარტივია კრამერის ალგორითმი (კრამერის ფორმულები). ამისთვის უნდა ვისწავლოთ n განტოლებათა განტოლების ზოგადი სისტემა.

n წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემას n უცნობით აქვს ფორმა (იხ. სურ. 1ა). მასში aij არის სისტემის კოეფიციენტები,
хj – უცნობი, ბი – თავისუფალი წევრები (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). ასეთი სისტემა შეიძლება კომპაქტურად დაიწეროს AX=B მატრიცის სახით. აქ A არის სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა, X არის უცნობის სვეტის მატრიცა, B არის თავისუფალი ტერმინების სვეტის მატრიცა (იხ. ნახ. 1ბ). კრამერის მეთოდის მიხედვით, თითოეული უცნობი xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). კოეფიციენტთა მატრიცის განმსაზღვრელს Δ-ს ეწოდება მთავარი განმსაზღვრელი, ხოლო ∆i - დამხმარე. ყოველი უცნობისთვის, დამხმარე განმსაზღვრელი მოიძებნება მთავარი განმსაზღვრელი i-ე სვეტის თავისუფალი ტერმინების სვეტით ჩანაცვლებით. კრამერის მეთოდი მეორე და მესამე რიგის სისტემების შემთხვევაში დეტალურად არის წარმოდგენილი ნახ. 2.

სისტემა არის ორი ან მეტი თანასწორობის გაერთიანება, რომელთაგან თითოეულს აქვს ორი ან მეტი უცნობი. სასკოლო სასწავლო გეგმაში გამოყენებული წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ორი ძირითადი გზა არსებობს. ერთ მათგანს მეთოდს უწოდებენ, მეორეს - დამატების მეთოდს.

ორი განტოლების სისტემის სტანდარტული ფორმა

სტანდარტული ფორმით პირველი განტოლება არის a1*x+b1*y=c1, მეორე განტოლება არის a2*x+b2*y=c2 და ა.შ. მაგალითად, სისტემის ორი ნაწილის შემთხვევაში ორივე მოცემულ a1, a2, b1, b2, c1, c2 არის გარკვეული რიცხვითი კოეფიციენტები წარმოდგენილი კონკრეტულ განტოლებებში. თავის მხრივ, x და y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობები უნდა განისაზღვროს. სასურველი მნიშვნელობები ორივე განტოლებას ერთდროულად აქცევს ნამდვილ თანასწორებად.

სისტემის ამოხსნა დამატების მეთოდით

სისტემის გადასაჭრელად, ანუ x-ისა და y-ის იმ მნიშვნელობების პოვნა, რომლებიც მათ ნამდვილ თანასწორებად გადააქცევს, თქვენ უნდა გადადგათ რამდენიმე მარტივი ნაბიჯი. პირველი მათგანი არის ნებისმიერი განტოლების ისე გარდაქმნა, რომ x ან y ცვლადის რიცხვითი კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში ემთხვევა აბსოლუტურ მნიშვნელობას, მაგრამ განსხვავდება ნიშნით.

მაგალითად, მიეცით სისტემა, რომელიც შედგება ორი განტოლებისგან. მათგან პირველს აქვს ფორმა 2x+4y=8, მეორეს აქვს ფორმა 6x+2y=6. დავალების შესრულების ერთ-ერთი ვარიანტია მეორე განტოლების გამრავლება -2 კოეფიციენტზე, რაც მიგვიყვანს ფორმამდე -12x-4y=-12. კოეფიციენტის სწორი არჩევანი არის ერთ-ერთი მთავარი ამოცანა სისტემის ამოხსნის პროცესში დამატების მეთოდით, რადგან ის განსაზღვრავს უცნობების პოვნის პროცედურის მთელ შემდგომ კურსს.

ახლა აუცილებელია სისტემის ორი განტოლების დამატება. ცხადია, თანაბარი მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნის კოეფიციენტების მქონე ცვლადების ურთიერთ განადგურება მიგვიყვანს ფორმამდე -10x=-4. ამის შემდეგ აუცილებელია ამ მარტივი განტოლების ამოხსნა, საიდანაც ცალსახად გამოდის, რომ x=0.4.

ამოხსნის პროცესის ბოლო ნაბიჯი არის ერთ-ერთი ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება სისტემაში არსებული ნებისმიერი საწყისი ტოლობით. მაგალითად, x=0.4 ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში, შეგიძლიათ მიიღოთ გამოხატულება 2*0.4+4y=8, საიდანაც y=1.8. ამრიგად, x=0.4 და y=1.8 არის მაგალითში ნაჩვენები სისტემის ფესვები.

იმისათვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ფესვები სწორად იქნა ნაპოვნი, სასარგებლოა მისი შემოწმება სისტემის მეორე განტოლებაში ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით. მაგალითად, ამ შემთხვევაში მიიღება 0.4 * 6 + 1.8 * 2 = 6 ფორმის ტოლობა, რაც სწორია.

Მსგავსი ვიდეოები

ამ სტატიის მასალა განკუთვნილია განტოლებების სისტემების პირველი გაცნობისთვის. აქ წარმოგიდგენთ განტოლებათა სისტემის განმარტებას და მის ამონახსნებს, ასევე განვიხილავთ განტოლებათა სისტემების ყველაზე გავრცელებულ ტიპებს. ჩვეულებისამებრ, ჩვენ მოვიყვანთ განმარტებით მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის განტოლებათა სისტემა?

ჩვენ თანდათან მივუახლოვდებით განტოლებათა სისტემის განმარტებას. ჯერ ერთი, ვთქვათ, რომ მოსახერხებელია მისი მიცემა, აღვნიშნოთ ორი პუნქტი: პირველი, ჩანაწერის ტიპი და, მეორეც, ამ ჩანაწერში ჩადებული მნიშვნელობა. მოდით ვისაუბროთ მათზე, შემდეგ კი განვაზოგადოთ მსჯელობა განტოლებათა სისტემების განმარტებაში.

მოდით, რამდენიმე მათგანი ჩვენს თვალწინ გვქონდეს. მაგალითად, ავიღოთ ორი განტოლება 2 x+y=−3 და x=5. ჩვენ ვწერთ მათ ერთმანეთის ქვეშ და ვაერთიანებთ მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით:

ამ ტიპის ჩანაწერები, რომლებიც წარმოადგენს სვეტში განლაგებულ რამდენიმე განტოლებას და გაერთიანებულია მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით, არის განტოლებათა სისტემების ჩანაწერები.

რას ნიშნავს ასეთი ჩანაწერები? ისინი განსაზღვრავენ სისტემის განტოლებების ყველა ასეთი ამონახსნის სიმრავლეს, რომლებიც თითოეული განტოლების ამონახსნია.

მისი სხვა სიტყვებით აღწერა არ არის მტკივნეული. დავუშვათ, პირველი განტოლების ზოგიერთი ამონახსნები სისტემის ყველა სხვა განტოლების ამონახსნებია. ასე რომ, სისტემის ჩანაწერი ასევე მიუთითებს მათ.

ახლა ჩვენ მზად ვართ ადეკვატურად მივიღოთ განტოლებათა სისტემის განმარტება.

განმარტება.

განტოლებათა სისტემებიგამოძახების ჩანაწერები, რომლებიც განტოლებებია, რომლებიც მდებარეობს ერთმანეთის ქვემოთ, გაერთიანებულია მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით, რომელიც აღნიშნავს განტოლებათა ყველა ამონახსნის სიმრავლეს, რომლებიც ერთდროულად ამონახსნებია სისტემის თითოეული განტოლებისთვის.

მსგავსი განმარტება მოცემულია სახელმძღვანელოში, მაგრამ იქ მოცემულია არა ზოგადი შემთხვევისთვის, არამედ ორი რაციონალური განტოლებისთვის ორ ცვლადში.

ძირითადი ტიპები

ნათელია, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი განსხვავებული განტოლება. ბუნებრივია, ასევე არსებობს უსასრულოდ ბევრი განტოლების სისტემა, რომელიც შედგენილია მათ გამოყენებით. ამიტომ, განტოლებათა სისტემებთან შესწავლისა და მუშაობის მოხერხებულობისთვის, აზრი აქვს მათი ჯგუფებად დაყოფას მსგავსი მახასიათებლების მიხედვით, შემდეგ კი ცალკეული ტიპის განტოლებების სისტემების განხილვას.

პირველი ქვედანაყოფი თავს ამტკიცებს სისტემაში შემავალი განტოლებების რაოდენობით. თუ არის ორი განტოლება, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გვაქვს ორი განტოლების სისტემა, თუ არის სამი, მაშინ სამი განტოლების სისტემა და ა.შ. გასაგებია, რომ ერთი განტოლების სისტემაზე ლაპარაკს აზრი არ აქვს, ვინაიდან ამ შემთხვევაში, ფაქტობრივად, საქმე გვაქვს თავად განტოლებასთან და არა სისტემასთან.

შემდეგი დაყოფა ეფუძნება სისტემის განტოლებების ჩაწერაში ჩართული ცვლადების რაოდენობას. თუ არის ერთი ცვლადი, მაშინ საქმე გვაქვს განტოლებათა სისტემასთან ერთი ცვლადით (ასევე ამბობენ ერთ უცნობთან), თუ არის ორი, მაშინ განტოლებათა სისტემასთან ორი ცვლადით (ორი უცნობით) და ა.შ. Მაგალითად, არის განტოლებათა სისტემა ორი ცვლადით x და y .

ეს ეხება ჩანაწერში ჩართული ყველა სხვადასხვა ცვლადის რაოდენობას. ისინი არ უნდა იყოს ერთდროულად შეყვანილი თითოეული განტოლების ჩანაწერში, საკმარისია მათი ყოლა მინიმუმ ერთ განტოლებაში. Მაგალითად, არის განტოლებათა სისტემა სამი ცვლადით x, y და z. პირველ განტოლებაში x ცვლადი წარმოდგენილია აშკარად, ხოლო y და z არის იმპლიციტური (შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ამ ცვლადებს აქვს ნული), ხოლო მეორე განტოლებაში x და z არის წარმოდგენილი, ხოლო y ცვლადი აშკარად არ არის წარმოდგენილი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველი განტოლება შეიძლება ჩაითვალოს როგორც , ხოლო მეორე x+0 y−3 z=0 .

მესამე წერტილი, რომელშიც განტოლებათა სისტემები განსხვავდება, არის თავად განტოლებების ფორმა.

სკოლაში განტოლებათა სისტემების შესწავლა იწყება ორი წრფივი განტოლების სისტემები ორ ცვლადში. ანუ, ასეთი სისტემები ქმნიან ორ წრფივ განტოლებას. აქ არის რამდენიმე მაგალითი: და . მათზე ისწავლება განტოლებათა სისტემებთან მუშაობის საფუძვლები.

უფრო რთული ამოცანების ამოხსნისას შეიძლება ასევე შეგვხვდეს სამი წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

შემდგომ მე-9 კლასში, არაწრფივი განტოლებები ემატება ორი განტოლების სისტემებს ორი ცვლადით, უმეტესწილად მეორე ხარისხის მთელი განტოლებები, ნაკლებად ხშირად უფრო მაღალი ხარისხის. ამ სისტემებს უწოდებენ არაწრფივი განტოლებების სისტემებს, საჭიროების შემთხვევაში მითითებულია განტოლებებისა და უცნობის რაოდენობა. მოდით ვაჩვენოთ არაწრფივი განტოლებების ასეთი სისტემების მაგალითები: და .

შემდეგ სისტემებში ასევე არის, მაგალითად,. მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ განტოლებათა სისტემებს, რომელი განტოლებების დაზუსტების გარეშე. აქ უნდა აღინიშნოს, რომ ყველაზე ხშირად ისინი უბრალოდ ამბობენ "განტოლებათა სისტემა" განტოლებათა სისტემის შესახებ და დახვეწა ემატება მხოლოდ საჭიროების შემთხვევაში.

საშუალო სკოლაში მასალის შესწავლისას სისტემებში შეაღწევს ირაციონალური, ტრიგონომეტრიული, ლოგარითმული და ექსპონენციალური განტოლებები: , , .

თუ კიდევ უფრო შორს გადავხედავთ უნივერსიტეტების პირველი კურსების პროგრამას, მაშინ მთავარი აქცენტი კეთდება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების (SLAE) შესწავლასა და ამოხსნაზე, ანუ განტოლებებზე, რომელთა მარცხენა ნაწილებში არის პოლინომები. პირველი ხარისხი, ხოლო მარჯვნივ - რამდენიმე რიცხვი. მაგრამ იქ, სკოლისგან განსხვავებით, უკვე აღებულია არა ორი წრფივი განტოლება ორი ცვლადით, არამედ განტოლებების თვითნებური რაოდენობა ცვლადების თვითნებური რაოდენობით, ხშირად არ ემთხვევა განტოლებების რაოდენობას.

რა არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი?

ტერმინი „განტოლებათა სისტემის ამოხსნა“ პირდაპირ ეხება განტოლებათა სისტემებს. სკოლა იძლევა ორი ცვლადით განტოლებათა სისტემის ამოხსნის განმარტებას :

განმარტება.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ორი ცვლადითეწოდება ამ ცვლადების მნიშვნელობების წყვილი, რომელიც აქცევს სისტემის თითოეულ განტოლებას სწორში, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის სისტემის თითოეული განტოლების ამონახსნი.

მაგალითად, ცვლადის მნიშვნელობების წყვილი x=5, y=2 (შეიძლება დაიწეროს როგორც (5, 2)) არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი განმარტებით, ვინაიდან სისტემის განტოლებები, როდესაც x= 5 , y=2 ჩანაცვლებულია მათში, გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლებად 5+2=7 და 5−2=3 შესაბამისად. მაგრამ მნიშვნელობების წყვილი x=3, y=0 არ არის გამოსავალი ამ სისტემისთვის, რადგან როდესაც ეს მნიშვნელობები ჩანაცვლდება განტოლებებში, პირველი მათგანი გადაიქცევა არასწორ ტოლობაში 3+0=7.

მსგავსი განმარტებები შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთი ცვლადის მქონე სისტემებისთვის, ასევე სამი, ოთხი და ა.შ. ცვლადები.

განმარტება.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ერთი ცვლადითიქნება ცვლადი მნიშვნელობა, რომელიც არის სისტემის ყველა განტოლების ფესვი, ანუ ის აქცევს ყველა განტოლებას ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლებად.

ავიღოთ მაგალითი. განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა ფორმის t ცვლადით . რიცხვი −2 მისი ამონახსნია, ვინაიდან ორივე (−2) 2 =4 და 5·(−2+2)=0 ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობებია. და t=1 არ არის სისტემის ამოხსნა, რადგან ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება მისცემს ორ არასწორ ტოლობას 1 2 =4 და 5·(1+2)=0 .

განმარტება.

სისტემის ამოხსნა სამი, ოთხი და ა.შ. ცვლადებიეწოდება სამმაგი, ოთხმაგი და ა.შ. ცვლადების მნიშვნელობები, შესაბამისად, რაც გარდაქმნის სისტემის ყველა განტოლებას ნამდვილ თანასწორებად.

ასე რომ, განმარტებით, x=1, y=2, z=0 ცვლადების მნიშვნელობების სამმაგი არის სისტემის ამოხსნა. , ვინაიდან 2 1=2 , 5 2=10 და 1+2+0=3 სწორი რიცხვითი ტოლობებია. და (1, 0, 5) არ არის გამოსავალი ამ სისტემისთვის, რადგან როდესაც ცვლადების ეს მნიშვნელობები იცვლება სისტემის განტოლებებში, მეორე მათგანი გადაიქცევა არასწორ ტოლობაში 5 0=10, ხოლო მესამე ერთი ასევე არის 1+0+5=3.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებათა სისტემებს შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები, შეიძლება ჰქონდეს ამონახსნების სასრული რაოდენობა, მაგალითად, ერთი, ორი, ..., ან შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. ამას დაინახავთ, როცა უფრო ღრმად ჩახვალთ თემაში.

განტოლებათა სისტემის განმარტებებისა და მათი ამონახსნების გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის მისი ყველა განტოლების ამონახსნების სიმრავლეთა კვეთა.

დასასრულს, აქ არის რამდენიმე დაკავშირებული განმარტება:

განმარტება.

შეუთავსებელითუ მას არ აქვს გადაწყვეტილებები, წინააღმდეგ შემთხვევაში სისტემა ეწოდება ერთობლივი.

განმარტება.

განტოლებათა სისტემა ე.წ გაურკვეველითუ მას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი და გარკვეული, თუ მას აქვს ამონახსნების სასრული რაოდენობა, ან საერთოდ არ აქვს.

ეს ტერმინები, მაგალითად, სახელმძღვანელოშია შემოტანილი, მაგრამ სკოლაში იშვიათად გამოიყენება, უფრო ხშირად ისმის უმაღლეს სასწავლებლებში.

ბიბლიოგრაფია.

1. Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-7 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-17 გამოცემა, დამატება. - მ.: მნემოზინა, 2013. - 175გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, სრ. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. უმაღლესი ალგებრის კურსი.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. ანალიტიკური გეომეტრია:სახელმძღვანელო: უნივერსიტეტებისთვის. - მე-5 გამოცემა. - მ.: მეცნიერება. Fizmatlit, 1999. - 224გვ. – (უმაღლესი მათემატიკისა და მათემატიკური ფიზიკის კურსი). – ISBN 5-02-015234 – X (გამოცემა 3)