ფაქტორიზაციის წესი. დიდი რიცხვების ფაქტორინგი
ძალიან ხშირად, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი არის ალგებრული გამონათქვამები, რომლებიც ჯერ უნდა დაიშალოს ფაქტორებად, შემდეგ კი, მათ შორის იგივე რომ აღმოვაჩინოთ, დაყოთ როგორც მრიცხველი, ასევე მნიშვნელი, ანუ შეამციროთ წილადი. მე-7 კლასში ალგებრის სახელმძღვანელოს მთელი თავი ეთმობა მრავალწევრის ფაქტორიზაციის ამოცანებს. ფაქტორინგი შეიძლება გაკეთდეს 3 გზა, ისევე როგორც ამ მეთოდების კომბინაცია.
1. შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება
როგორც ცნობილია გავამრავლოთ მრავალწევრი მრავალწევრზე, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია. ცნებაში შესული მრავალწევრების გამრავლების სულ მცირე 7 (შვიდი) გავრცელებული შემთხვევაა. Მაგალითად,
ცხრილი 1. ფაქტორიზაცია 1-ლი გზით
2. საერთო ფაქტორის ფრჩხილიდან ამოღება
ეს მეთოდი ეფუძნება გამრავლების კანონის გამოყენებას. Მაგალითად,
ორიგინალური გამონათქვამის თითოეულ ტერმინს ვყოფთ იმ ფაქტორზე, რომელსაც ამოვიღებთ და ამავდროულად ვიღებთ გამონათქვამს ფრჩხილებში (ანუ იმის შედეგი, რაც იყო, რაც ამოვიღებთ, რჩება ფრჩხილებში). პირველ რიგში, თქვენ გჭირდებათ სწორად განსაზღვრეთ მულტიპლიკატორი, რომელიც უნდა იყოს ფრჩხილებში.
ფრჩხილებში პოლინომი ასევე შეიძლება იყოს საერთო ფაქტორი:
„ფაქტორიზაციის“ ამოცანის შესრულებისას განსაკუთრებული სიფრთხილე უნდა გამოიჩინოთ იმ ნიშნებთან, როცა საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოიღებთ. თითოეული ტერმინის ნიშნის შეცვლა ფრჩხილებში (ბ - ა)ჩვენ ამოვიღებთ საერთო ფაქტორს -1 , ხოლო ფრჩხილში თითოეული წევრი იყოფა -1-ზე: (ბ - ა) = - (ა - ბ) .
იმ შემთხვევაში, თუ ფრჩხილებში გამოსახულება არის კვადრატში (ან ნებისმიერ თანაბარ ძალაზე), მაშინ ფრჩხილებში მყოფი ნომრები შეიძლება შეიცვალოს სრულიად უფასოდ, რადგან ფრჩხილებიდან ამოღებული მინუსები გამრავლებისას მაინც პლიუსად გადაიქცევა: (ბ - ა) 2 = (ა - ბ) 2, (ბ - ა) 4 = (ა - ბ) 4 და ასე შემდეგ…
3. დაჯგუფების მეთოდი
ზოგჯერ გამოხატვის ყველა ტერმინს არ აქვს საერთო ფაქტორი, მაგრამ მხოლოდ ზოგიერთს. მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ ჯგუფის პირობები ფრჩხილებში ისე, რომ თითოეული ფაქტორის ამოღება შეიძლება. დაჯგუფების მეთოდიარის საერთო ფაქტორების ორმაგი ბრეკეტინგი.
4. რამდენიმე მეთოდის ერთდროულად გამოყენება
ზოგჯერ საჭიროა არა ერთი, არამედ რამდენიმე ხერხის გამოყენება პოლინომის ფაქტორებად ერთდროულად გასამრავლებლად.
ეს არის მოკლე შინაარსი თემაზე. "ფაქტორიზაცია". აირჩიეთ შემდეგი ნაბიჯები:
- გადადით შემდეგ აბსტრაქტზე:
მრავალწევრების გაფართოება პროდუქტის მისაღებად ზოგჯერ დამაბნეველი ჩანს. მაგრამ ეს არც ისე რთულია, თუ ეტაპობრივად გაიგებთ პროცესს. სტატიაში დეტალურადაა აღწერილი, თუ როგორ უნდა მოხდეს ფაქტორიზაცია კვადრატული ტრინომიალი.
ბევრს არ ესმის, როგორ მოახდინოს კვადრატული ტრინომილის ფაქტორიზირება და რატომ კეთდება ეს. თავიდან შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს უსარგებლო ვარჯიშია. მაგრამ მათემატიკაში არაფერი კეთდება ისე. ტრანსფორმაცია აუცილებელია გამოხატვის გასამარტივებლად და გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის.
მრავალწევრი, რომელსაც აქვს ფორმა - ax² + bx + c, კვადრატულ ტრინომს უწოდებენ.ტერმინი "ა" უნდა იყოს უარყოფითი ან დადებითი. პრაქტიკაში ამ გამოთქმას კვადრატულ განტოლებას უწოდებენ. ამიტომ, ზოგჯერ ისინი სხვაგვარად ამბობენ: როგორ გავაფართოვოთ კვადრატული განტოლება.
საინტერესოა!კვადრატულ მრავალწევრს უწოდებენ მისი ყველაზე დიდი ხარისხის გამო - კვადრატი. და ტრინომიალი - 3 კომპონენტის გამო.
რამდენიმე სხვა სახის მრავალწევრი:
- წრფივი ბინომი (6x+8);
- კუბური ოთხკუთხედი (x³+4x²-2x+9).
კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია
ჯერ გამოთქმა ნულის ტოლია, შემდეგ თქვენ უნდა იპოვოთ ფესვების x1 და x2 მნიშვნელობები. შეიძლება არ იყოს ფესვები, შეიძლება იყოს ერთი ან ორი ფესვი. ფესვების არსებობა განისაზღვრება დისკრიმინანტით. მისი ფორმულა ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი: D=b²-4ac.
თუ D-ის შედეგი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. თუ დადებითია, არსებობს ორი ფესვი. თუ შედეგი არის ნული, ფესვი არის ერთი. ფესვები ასევე გამოითვლება ფორმულით.
თუ დისკრიმინანტის გამოთვლა ნულის ტოლია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა. პრაქტიკაში, ფორმულა უბრალოდ შემოკლებულია: -b / 2a.
ფორმულები ამისთვის სხვადასხვა ღირებულებებიდისკრიმინანტი განსხვავებულია.
თუ D დადებითია:
თუ D არის ნული:
ონლაინ კალკულატორები
ინტერნეტს აქვს ონლაინ კალკულატორი. ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფაქტორიზაციისთვის. ზოგიერთი რესურსი იძლევა გამოსავალი ეტაპობრივად ნახვის შესაძლებლობას. ასეთი სერვისები ხელს უწყობს თემის უკეთ გაგებას, მაგრამ თქვენ უნდა ეცადოთ კარგად გაიგოთ.
სასარგებლო ვიდეო: კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგი
მაგალითები
გეპატიჟებით სანახავად მარტივი მაგალითებიროგორ გავამრავლოთ კვადრატული განტოლება.
მაგალითი 1
აქ ნათლად ჩანს, რომ შედეგი იქნება ორი x, რადგან D დადებითია. ისინი უნდა შეიცვალოს ფორმულაში. თუ ფესვები უარყოფითია, ფორმულაში ნიშანი შებრუნებულია.
ჩვენ ვიცით კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა: a(x-x1)(x-x2). მნიშვნელობებს ვდებთ ფრჩხილებში: (x+3)(x+2/3). მაჩვენებელში ტერმინამდე რიცხვი არ არის. ეს ნიშნავს, რომ არის ერთეული, ის დაბლაა.
მაგალითი 2
ეს მაგალითი ნათლად აჩვენებს, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლება, რომელსაც აქვს ერთი ფესვი.
შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა:
მაგალითი 3
მოცემული: 5x²+3x+7
პირველ რიგში, ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს, როგორც წინა შემთხვევებში.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ფესვები არ არსებობს.
შედეგის მიღების შემდეგ ღირს ფრჩხილების გახსნა და შედეგის შემოწმება. ორიგინალური ტრინომიალი უნდა გამოჩნდეს.
ალტერნატიული გადაწყვეტა
ზოგიერთმა ადამიანმა ვერასოდეს შეძლო დისკრიმინატორთან დამეგობრება. არსებობს კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციის კიდევ ერთი გზა. მოხერხებულობისთვის, მეთოდი ნაჩვენებია მაგალითში.
მოცემული: x²+3x-10
ჩვენ ვიცით, რომ უნდა დავასრულოთ 2 ფრჩხილით: (_)(_). როდესაც გამოთქმა ასე გამოიყურება: x² + bx + c, ჩვენ ვდებთ x ყოველი ფრჩხილის დასაწყისში: (x_) (x_). დარჩენილი ორი რიცხვი არის ნამრავლი, რომელიც იძლევა "c", ანუ -10 ამ შემთხვევაში. იმის გასარკვევად, თუ რა არის ეს რიცხვები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მხოლოდ შერჩევის მეთოდი. ჩანაცვლებული რიცხვები უნდა ემთხვეოდეს დარჩენილ ტერმინს.
მაგალითად, შემდეგი რიცხვების გამრავლება იძლევა -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. არა.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. არა.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. არა.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. ჯდება.
ასე რომ, x2+3x-10 გამოხატვის ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება: (x-2)(x+5).
Მნიშვნელოვანი!ფრთხილად უნდა იყოთ, რომ ნიშნები არ აირიოთ.
რთული ტრინომის დაშლა
თუ "ა" ერთზე მეტია, სირთულეები იწყება. მაგრამ ყველაფერი არც ისე რთულია, როგორც ჩანს.
ფაქტორიზაციისთვის, ჯერ უნდა დაინახოს, შესაძლებელია თუ არა რაიმეს ფაქტორირება.
მაგალითად, მოცემულია გამოთქმა: 3x²+9x-30. აქ ნომერი 3 ამოღებულია ფრჩხილებიდან:
3 (x²+3x-10). შედეგი არის უკვე ცნობილი ტრინომიალი. პასუხი ასე გამოიყურება: 3(x-2)(x+5)
როგორ დავშალოთ, თუ კვადრატში მყოფი ტერმინი უარყოფითია? IN ამ საქმესრიცხვი -1 ამოღებულია ფრჩხილიდან. მაგალითად: -x²-10x-8. შემდეგ გამოთქმა ასე გამოიყურება:
სქემა ოდნავ განსხვავდება წინაგან. მხოლოდ რამდენიმე ახალი რამ არის. ვთქვათ მოცემულია გამოთქმა: 2x²+7x+3. პასუხი ასევე იწერება 2 ფრჩხილში, რომელიც უნდა შეივსოს (_) (_). X იწერება მე-2 ფრჩხილში, ხოლო რაც დარჩა 1-ში. ასე გამოიყურება: (2x_)(x_). წინააღმდეგ შემთხვევაში, წინა სქემა მეორდება.
ნომერი 3 იძლევა ნომრებს:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
განტოლებებს ვხსნით მოცემული რიცხვების შეცვლით. ბოლო ვარიანტი ჯდება. ასე რომ, 2x²+7x+3 გამოხატვის ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება: (2x+1)(x+3).
სხვა შემთხვევები
ყოველთვის არ არის შესაძლებელი გამოხატვის გარდაქმნა. მეორე მეთოდში განტოლების ამოხსნა არ არის საჭირო. მაგრამ ტერმინების პროდუქტად გადაქცევის შესაძლებლობა მოწმდება მხოლოდ დისკრიმინანტის საშუალებით.
ღირს გადაწყვეტილების პრაქტიკა კვადრატული განტოლებებიისე, რომ ფორმულების გამოყენებისას სირთულეები არ იყოს.
სასარგებლო ვიდეო: ტრინომის ფაქტორიზაცია
დასკვნა
თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი ნებისმიერი გზით. მაგრამ უმჯობესია ვიმუშაოთ ორივე ავტომატიზმზე. ასევე, მათ, ვინც აპირებენ თავიანთი ცხოვრების მათემატიკასთან დაკავშირებას, უნდა ისწავლონ კვადრატული განტოლებების კარგად ამოხსნა და მრავალწევრების ფაქტორებად დაშლა. ყველა შემდეგი მათემატიკური თემა აგებულია ამაზე.
Რა მოხდა ფაქტორიზაცია?ეს არის უხერხული და რთული მაგალითის მარტივ და მიმზიდველად გადაქცევის საშუალება.) ძალიან ძლიერი ხრიკი! ეს ხდება ყოველ საფეხურზე, როგორც ელემენტარულ მათემატიკაში, ასევე უმაღლეს მათემატიკაში.
ასეთ გარდაქმნებს მათემატიკური ენაში ეწოდება გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები. ვინც არ არის თემაში - გაისეირნეთ ლინკზე. არის ძალიან ცოტა, მარტივი და გამოსადეგი.) ნებისმიერი იდენტური ტრანსფორმაციის მნიშვნელობა არის გამოხატვის დაწერა განსხვავებული ფორმითმისი არსის შენარჩუნებისას.
მნიშვნელობა ფაქტორიზაციებიძალიან მარტივი და გასაგები. უშუალოდ სათაურიდან. შეგიძლიათ დაივიწყოთ (ან არ იცოდეთ) რა არის მულტიპლიკატორი, მაგრამ შეგიძლიათ გაარკვიოთ, რომ ეს სიტყვა მომდინარეობს სიტყვიდან "გამრავლება"?) ფაქტორინგი ნიშნავს: წარმოადგენენ გამონათქვამს, როგორც რაღაცის რაღაცაზე გამრავლებას. მაპატიეთ მათემატიკა და რუსული ენა...) და ეს არის.
მაგალითად, თქვენ უნდა დაშალოთ რიცხვი 12. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ:
ასე რომ, ჩვენ წარმოვადგინეთ რიცხვი 12, როგორც 3-ის 4-ზე გამრავლება. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ მარჯვნივ (3 და 4) რიცხვები სრულიად განსხვავებულია, ვიდრე მარცხნივ (1 და 2). მაგრამ ჩვენ კარგად ვიცით, რომ 12 და 3 4 იგივე. 12 რიცხვის არსი ტრანსფორმაციისგან არ შეცვლილა.
შესაძლებელია თუ არა 12-ის სხვა გზით დაშლა? მარტივად!
12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........
დაშლის ვარიანტები გაუთავებელია.
რიცხვების ფაქტორებად დაშლა სასარგებლო რამ არის. ეს ძალიან ეხმარება, მაგალითად, ფესვებთან ურთიერთობისას. მაგრამ ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორიზაცია არ არის სასარგებლო, ეს არის - აუცილებელია!უბრალოდ მაგალითად:
გამარტივება:
ვინც არ იცის გამოთქმის ფაქტორიზაცია, განზე ისვენებს. ვინ იცის როგორ - ამარტივებს და იღებს:
ეფექტი საოცარია, არა?) სხვათა შორის, გამოსავალი საკმაოდ მარტივია. თქვენ თვითონ ნახავთ ქვემოთ. ან, მაგალითად, ასეთი დავალება:
ამოხსენით განტოლება:
x 5 - x 4 = 0
სხვათა შორის, გონებაში გადაწყდა. ფაქტორიზაციის დახმარებით. ქვემოთ მოვაგვარებთ ამ მაგალითს. პასუხი: x 1 = 0; x2 = 1.
ან, იგივე, მაგრამ უფროსებისთვის):
ამოხსენით განტოლება:
ამ მაგალითებში მე ვაჩვენე მთავარი მიზანიფაქტორიზაციები: წილადი გამოსახულებების გამარტივება და ზოგიერთი ტიპის განტოლების ამოხსნა. გირჩევთ გახსოვდეთ ემპირიული წესი:
თუ ჩვენ გვაქვს საშინელი წილადური გამოხატულება, შეგიძლიათ სცადოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორიზირება. ძალიან ხშირად, ფრაქცია მცირდება და გამარტივებულია.
თუ ჩვენ წინ გვაქვს განტოლება, სადაც მარჯვნივ არის ნული, ხოლო მარცხნივ - არ მესმის რა, შეგიძლიათ სცადოთ მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება. ზოგჯერ ეს ეხმარება.)
ფაქტორიზაციის ძირითადი მეთოდები.
აქ არის ყველაზე პოპულარული გზები:
4. კვადრატული ტრინომის დაშლა.
ეს მეთოდები უნდა გვახსოვდეს. ეს იმ თანმიმდევრობით. შემოწმებულია რთული მაგალითები ყველასთვის შესაძლო გზებიდაშლა.და ჯობია გადაამოწმოთ თანმიმდევრობით, რომ არ დაიბნეთ ... დავიწყოთ თანმიმდევრობით.)
1. საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.
მარტივი და საიმედო გზა. მისგან ცუდი არ არის! ეს ან კარგად ხდება ან საერთოდ არა.) ამიტომ ის პირველია. ჩვენ გვესმის.
ყველამ იცის (მჯერა!) წესი:
a(b+c) = ab+ac
ან უფრო მეტში ზოგადი ხედი:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
ყველა თანასწორობა მუშაობს მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით, მარჯვნიდან მარცხნივ. შეგიძლიათ დაწეროთ:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
ეს არის საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.
Მარცხნივ ა - საერთო ფაქტორიყველა ტერმინისთვის. ყველაფერზე გამრავლებული.) უფლება ყველაზე მეტია აუკვე არის ფრჩხილების გარეთ.
პრაქტიკული გამოყენებამოდით შევხედოთ მაგალითებს. თავდაპირველად, ვარიანტი მარტივია, თუნდაც პრიმიტიული.) მაგრამ ამ ვარიანტზე მე აღვნიშნავ ( მწვანეში) ძალიან მნიშვნელოვანი პუნქტებინებისმიერი ფაქტორიზაციისთვის.
გამრავლება:
აჰ+9x
რომელიც გენერალიარის მულტიპლიკატორი ორივე თვალსაზრისით? X, რა თქმა უნდა! ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ. ჩვენ ასე ვაკეთებთ. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ x ფრჩხილებს გარეთ:
ნაჯახი+9x=x(
ხოლო ფრჩხილებში ვწერთ გაყოფის შედეგს ყოველი ტერმინისწორედ ამ x-ზე. Წესით:
Სულ ეს არის. რა თქმა უნდა, არ არის აუცილებელი ასეთი დეტალების დახატვა, ეს კეთდება გონებაში. მაგრამ იმის გასაგებად, რა არის რა, სასურველია). ჩვენ ვაფიქსირებთ მეხსიერებაში:
საერთო ფაქტორს ვწერთ ფრჩხილების გარეთ. ფრჩხილებში ვწერთ ყველა ტერმინის ამ ძალიან გავრცელებულ ფაქტორზე გაყოფის შედეგებს. Წესით.
აქ ჩვენ გავაფართოვეთ გამოხატულება აჰ+9xმულტიპლიკატორებისთვის. გადააქციე ის x-ზე გამრავლებით (a + 9).მე აღვნიშნავ, რომ თავდაპირველ გამონათქვამში ასევე იყო გამრავლება, თუნდაც ორი: x და 9 x.Მაგრამ ეს არ არის ფაქტორიზებული!რადგან ეს გამოთქმა გამრავლების გარდა შეიცავდა შეკრებას, „+“ ნიშანს! და გამოთქმაში x(a+9) გამრავლების გარდა არაფერი!
Როგორ თუ!? - მესმის ხალხის აღშფოთებული ხმა - და ფრჩხილებში!?)
დიახ, არის დამატებები ფრჩხილებში. მაგრამ ხრიკი ის არის, რომ სანამ ფრჩხილები არ არის გახსნილი, ჩვენ მათ განვიხილავთ როგორც ერთი ასო.და ჩვენ ვაკეთებთ ყველა მოქმედებას ფრჩხილებით მთლიანად, როგორც ერთი ასო.ამ თვალსაზრისით გამოხატულებაში x(a+9)გამრავლების გარდა არაფერი. ეს არის ფაქტორილიზაციის მთელი აზრი.
სხვათა შორის, არის თუ არა რაიმე გზა იმის შესამოწმებლად, ყველაფერი სწორად გავაკეთეთ თუ არა? Ადვილი! საკმარისია ამოღებული (x) ფრჩხილებით გავამრავლოთ და ვნახოთ გამოვიდა თუ არა საწყისიგამოხატულება? თუ ეს გამოვიდა, ყველაფერი საუკეთესოა!)
x(a+9)=ax+9x
მოხდა.)
ამ პრიმიტიულ მაგალითში პრობლემა არ არის. მაგრამ თუ არის რამდენიმე ტერმინი, თანაც განსხვავებული ნიშნებით... მოკლედ, ყოველი მესამე სტუდენტი ირევა). ამიტომ:
საჭიროების შემთხვევაში, შეამოწმეთ ფაქტორიზაცია შებრუნებული გამრავლებით.
გამრავლება:
3ax+9x
ჩვენ ვეძებთ საერთო ფაქტორს. ისე, X-ით ყველაფერი გასაგებია, ამის ატანა შეიძლება. კიდევ არის გენერალიფაქტორი? დიახ! ეს არის ტრიო. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაწეროთ გამოთქმა ასე:
3x+3 3x
აქ მაშინვე ნათელია, რომ საერთო ფაქტორი იქნება 3x. აქ ჩვენ ამოვიღებთ:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Გავრცელება.
და რა მოხდება, თუ აიღებთ მხოლოდ x?Არაფერი განსაკუთრებული:
3ax+9x=x(3a+9)
ესეც ფაქტორიზაცია იქნება. მაგრამ ამაში საინტერესო პროცესიჩვეულებრივია ყველაფრის განლაგება მანამ, სანამ არ შეჩერდება, სანამ არის შესაძლებლობა. აქ ფრჩხილებში არის სამეულის ამოღების შესაძლებლობა. მიიღეთ:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
იგივე, მხოლოდ ერთი დამატებითი მოქმედებით.) გახსოვდეთ:
ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებისას ვცდილობთ ამოვიღოთ მაქსიმუმსაერთო მულტიპლიკატორი.
გავაგრძელოთ გართობა?
გამოხატვის ფაქტორირება:
3ax+9x-8a-24
რას ამოვიღებთ? სამი, X? არა-ეე... არ შეგიძლია. შეგახსენებთ, რომ შეგიძლიათ მიიღოთ მხოლოდ გენერალიმულტიპლიკატორი ანუ სულგამოხატვის პირობები. ამიტომაც ის გენერალი.ასეთი მულტიპლიკატორი აქ არ არის... რა, ვერ დადებ!? დიახ, ჩვენ აღფრთოვანებული ვიყავით, როგორ ... შეხვდით:
2. დაჯგუფება.
სინამდვილეში, დაჯგუფების დასახელება რთულია დამოუკიდებელი გზითფაქტორიზაციები. ეს უფრო გამოსავალია რთული მაგალითი.) აუცილებელია ტერმინების დაჯგუფება ისე, რომ ყველაფერი გამოვიდეს. ამის ჩვენება მხოლოდ მაგალითით შეიძლება. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს გამოთქმა:
3ax+9x-8a-24
ჩანს, რომ არსებობს რამდენიმე საერთო ასო და რიცხვი. მაგრამ... გენერალიარ არსებობს მულტიპლიკატორი ყველა თვალსაზრისით. გული არ დაკარგო და ჩვენ ვწყვეტთ გამონათქვამს ნაწილებად.ვაჯგუფებთ. ისე, რომ თითოეულ ნაჭერში იყო საერთო ფაქტორი, იყო რაღაც ამოსაღები. როგორ გავტეხოთ? დიახ, მხოლოდ ფრჩხილებში.
შეგახსენებთ, რომ ბრეკეტები შეიძლება განთავსდეს ყველგან და ნებისმიერნაირად. თუ მხოლოდ მაგალითის არსი არ შეცვლილა.მაგალითად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)
გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ მეორე ფრჩხილებს! მათ წინ უძღვის მინუს ნიშანი და 8ადა 24 გახდი პოზიტიური! თუ გადამოწმებისთვის ფრჩხილებს უკან გავხსნით, ნიშნები შეიცვლება და მივიღებთ საწყისიგამოხატულება. იმათ. ფრჩხილებიდან გამოთქმის არსი არ შეცვლილა.
მაგრამ თუ უბრალოდ ჩასვით ფრჩხილებში, არ გაითვალისწინებთ ნიშნის ცვლილებას, მაგალითად, ასე:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a-24 )
ეს იქნება შეცდომა. მართალია - უკვე სხვაგამოხატულება. გააფართოვეთ ფრჩხილები და ყველაფერი ნათელი გახდება. თქვენ აღარ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ, დიახ ...)
მაგრამ დავუბრუნდეთ ფაქტორიზაციას. შეხედეთ პირველ ფრჩხილებს (3ax + 9x)და დაფიქრდი, შესაძლებელია რამის გაძლება? კარგად, ეს მაგალითი ზემოთ მოვაგვარეთ, შეგვიძლია მისი ამოღება 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
ჩვენ ვსწავლობთ მეორე ფრჩხილებს, იქ შეგიძლიათ ამოიღოთ რვა:
(8a+24)=8(a+3)
მთელი ჩვენი გამოხატულება იქნება:
(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)
გამრავლებული? არა. დაშლა უნდა მოჰყვეს მხოლოდ გამრავლება,და ჩვენ გვაქვს მინუს ნიშანი აფუჭებს ყველაფერს. მაგრამ... ორივე ტერმინს აქვს საერთო ფაქტორი! ეს (a+3). ტყუილად არ ვთქვი, რომ ფრჩხილები მთლიანობაში, თითქოს, ერთი ასოა. ასე რომ, ამ ფრჩხილების ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილებიდან. დიახ, ზუსტად ასე ჟღერს.)
ჩვენ ვაკეთებთ როგორც ზემოთ აღწერილი. დაწერეთ საერთო ფაქტორი (a+3), მეორე ფრჩხილებში ვწერთ ტერმინების გაყოფის შედეგებს (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
ყველა! მარჯვნივ, გამრავლების გარდა არაფერია! ასე რომ, ფაქტორიზაცია წარმატებით დასრულდა!) აი:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
გავიმეოროთ ჯგუფის არსი.
თუ გამოთქმა არა გენერალიმულტიპლიკატორი ამისთვის ყველათვალსაზრისით, ჩვენ ვყოფთ გამოხატულებას ფრჩხილებით ისე, რომ ფრჩხილების შიგნით არის საერთო ფაქტორი იყო.ამოვიღოთ და ვნახოთ რა იქნება. თუ გაგვიმართლა და ზუსტად იგივე გამონათქვამები რჩება ფრჩხილებში, ამ ფრჩხილებს ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან.
დავამატებ, რომ დაჯგუფება შემოქმედებითი პროცესია). ის ყოველთვის არ მუშაობს პირველად. Ყველაფერი კარგადაა. ზოგჯერ საჭიროა ტერმინების გაცვლა, განხილვა სხვადასხვა ვარიანტებიდაჯგუფება, სანამ კარგი არ მოიძებნება. აქ მთავარია გული არ დაკარგო!)
მაგალითები.
ახლა, ცოდნით გამდიდრებული, თქვენ ასევე შეგიძლიათ ამოხსნათ რთული მაგალითები.) გაკვეთილის დასაწყისში სამი ასეთი იყო ...
გამარტივება:
სინამდვილეში, ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ ეს მაგალითი. ჩემთვის შეუმჩნევლად.) შეგახსენებთ: თუ საშინელ წილადს გვაძლევენ, ვცდილობთ მრიცხველი და მნიშვნელი დავშალოთ ფაქტორებად. სხვა გამარტივების ვარიანტები უბრალოდ არა.
ჰოდა, აქ მნიშვნელი კი არ იშლება, არამედ მრიცხველი... გაკვეთილის მსვლელობისას უკვე დავშალეთ მრიცხველი! Ამგვარად:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
გაფართოების შედეგს ვწერთ წილადის მრიცხველში:
წილადების (წილადის მთავარი თვისება) შემცირების წესის მიხედვით, მრიცხველი და მნიშვნელი შეგვიძლია გავყოთ (ერთდროულად!) ერთი და იგივე რიცხვით, ანუ გამოსახულებით. ფრაქცია აქედან არ იცვლება.ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს და მნიშვნელს გამოსახულებით (3x-8). და აქეთ-იქით ვიღებთ ერთეულებს. გამარტივების საბოლოო შედეგი:
განსაკუთრებით ხაზს ვუსვამ: წილადის შემცირება შესაძლებელია თუ და მხოლოდ მრიცხველში და მნიშვნელში, გამონათქვამების გამრავლების გარდა. იქ არაფერია.ამიტომ ჯამის (განსხვავების) გარდაქმნა გამრავლებაასე მნიშვნელოვანია გამარტივება. რა თქმა უნდა, თუ გამონათქვამები განსხვავებული,მაშინ არაფერი შემცირდება. ბივეტი. მაგრამ ფაქტორიზაცია აძლევს შანსს.ეს შანსი დაშლის გარეშე - უბრალოდ არ არსებობს.
განტოლების მაგალითი:
ამოხსენით განტოლება:
x 5 - x 4 = 0
საერთო ფაქტორის ამოღება x 4ფრჩხილებისთვის. ჩვენ ვიღებთ:
x 4 (x-1)=0
ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ფაქტორების ნამრავლი ნულის ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინროცა რომელიმე მათგანი ნულის ტოლია. თუ ეჭვი გეპარებათ, იპოვნეთ რამდენიმე არა-ნულოვანი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ ნულს.) ასე რომ, ჩვენ ვწერთ პირველ ფაქტორს:
ამ თანასწორობით მეორე ფაქტორი არ გვაწუხებს. ნებისმიერი შეიძლება იყოს, მაინც, საბოლოოდ, ნული გამოვა. რა რიცხვია ნულის მეოთხე ხარისხში? მხოლოდ ნული! და მეტი არაფერი... ამიტომ:
ჩვენ გავარკვიეთ პირველი ფაქტორი, ვიპოვეთ ერთი ფესვი. მოდით გაუმკლავდეთ მეორე ფაქტორს. ახლა ჩვენ არ გვაინტერესებს პირველი მულტიპლიკატორი.):
აქ ვიპოვეთ გამოსავალი: x 1 = 0; x2 = 1. ამ ფესვებიდან რომელიმე შეესაბამება ჩვენს განტოლებას.
ძალიან მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ მოვაგვარეთ განტოლება ნელ - ნელა!თითოეული ფაქტორი დაყენებული იყო ნულზე. განურჩევლად სხვა ფაქტორებისა.სხვათა შორის, თუ ასეთ განტოლებაში არ არის ორი ფაქტორი, როგორც ჩვენ გვაქვს, არამედ სამი, ხუთი, რამდენიც გინდა, ჩვენ გადავწყვეტთ მსგავსი.Ნაკუწ - ნაკუწ. Მაგალითად:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
ვინც ხსნის ფრჩხილებს, ამრავლებს ყველაფერს, სამუდამოდ ჩამოკიდება ამ განტოლებაზე.) სწორი მოსწავლე მაშინვე დაინახავს, რომ მარცხნივ არაფერია გამრავლების გარდა, მარჯვნივ - ნული. და ის დაიწყებს (გონებაში!) ყველა ფრჩხილის ნულთან გათანაბრებას. და ის მიიღებს (10 წამში!) სწორ გამოსავალს: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.
მშვენიერია, არა?) ელეგანტური გადაწყვეტაშესაძლებელია თუ მარცხენა მხარეგანტოლებები გაყოფილი მრავალჯერადად.მინიშნება გასაგებია?)
ისე, ბოლო მაგალითი, უფროსებისთვის):
ამოხსენით განტოლება:
რაღაცით წინას ჰგავს, არ გგონიათ?) რა თქმა უნდა. დროა გავიხსენოთ, რომ მეშვიდე კლასის ალგებრაში ასოების ქვეშ შეიძლება დამალული იყოს სინუსები, ლოგარითმები და ყველაფერი! ფაქტორინგი მუშაობს ყველა მათემატიკაში.
საერთო ფაქტორის ამოღება lg4xფრჩხილებისთვის. ჩვენ ვიღებთ:
lg 4x=0
ეს არის ერთი ფესვი. მოდით გაუმკლავდეთ მეორე ფაქტორს.
აქ არის საბოლოო პასუხი: x 1 = 1; x2 = 10.
იმედი მაქვს, თქვენ გააცნობიერეთ ფაქტორინგის ძალა წილადების გამარტივებაში და განტოლებების ამოხსნაში.)
ამ გაკვეთილზე გავეცანით საერთო ფაქტორის ამოღებას და დაჯგუფებას. რჩება საქმე შემოკლებული გამრავლების ფორმულებთან და კვადრატულ ტრინომებთან.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას ხშირად ხდება საჭირო მრავალწევრის ფაქტორზე გაყვანა, რომლის ხარისხი სამი ან მეტია. ამ სტატიაში განვიხილავთ ამის გაკეთების უმარტივეს გზას.
ჩვეულებისამებრ, დახმარებისთვის თეორიას მივმართოთ.
ბეზუტის თეორემააცხადებს, რომ მრავალწევრის ორწევრზე გაყოფის ნაშთი არის .
მაგრამ ჩვენთვის მნიშვნელოვანია არა თავად თეორემა, არამედ დასკვნა მისგან:
თუ რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ მრავალწევრი იყოფა ნარჩენების გარეშე ორწევრზე.
ჩვენ წინაშე დგას ამოცანა, როგორმე ვიპოვოთ მრავალწევრის მინიმუმ ერთი ფესვი, შემდეგ გავყოთ მრავალწევრი, სადაც არის მრავალწევრის ფესვი. შედეგად მივიღებთ მრავალწევრს, რომლის ხარისხი ერთით ნაკლებია ორიგინალის ხარისხზე. შემდეგ, საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ გაიმეოროთ პროცედურა.
ეს ამოცანა იყოფა ორად: როგორ ვიპოვოთ მრავალწევრის ფესვი და როგორ გავყოთ მრავალწევრი ორწევრად.
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პუნქტებს.
1. როგორ ვიპოვოთ მრავალწევრის ფესვი.
პირველ რიგში ვამოწმებთ არის თუ არა რიცხვები 1 და -1 მრავალწევრის ფესვები.
აქ დაგვეხმარება შემდეგი ფაქტები:
თუ მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტის ჯამი არის ნული, მაშინ რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი.
მაგალითად, მრავალწევრში კოეფიციენტების ჯამი ნულის ტოლია: . ადვილია იმის შემოწმება, თუ რა არის მრავალწევრის ფესვი.
თუ მრავალწევრის კოეფიციენტების ჯამი ლუწი გრადუსზე უდრის კენტი გრადუსის კოეფიციენტების ჯამს, მაშინ რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი.თავისუფალი წევრი განიხილება კოეფიციენტად ლუწი ხარისხით, რადგან , a არის ლუწი რიცხვი.
მაგალითად, მრავალწევრებში კოეფიციენტების ჯამი ლუწი გრადუსზე არის : , ხოლო კენტი გრადუსების კოეფიციენტების ჯამი არის : . ადვილია იმის შემოწმება, თუ რა არის მრავალწევრის ფესვი.
თუ არც 1 და არც -1 არ არის მრავალწევრის ფესვები, მაშინ გადავდივართ.
შემცირებული ხარისხის მრავალწევრისთვის (ანუ პოლინომისთვის, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტია კოეფიციენტი - ერთის ტოლი) Vieta ფორმულა მოქმედებს:
სად არის მრავალწევრის ფესვები.
ასევე არსებობს ვიეტას ფორმულები მრავალწევრის დარჩენილ კოეფიციენტებთან დაკავშირებით, მაგრამ ეს არის ის, რაც გვაინტერესებს.
ვიეტას ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ თუ მრავალწევრის ფესვები მთელი რიცხვებია, მაშინ ისინი არიან მისი თავისუფალი წევრის გამყოფები, რომელიც ასევე მთელი რიცხვია.
ამის საფუძველზე, ჩვენ უნდა დავშალოთ მრავალწევრის თავისუფალი წევრი ფაქტორებად და თანმიმდევრულად, პატარადან უფრო დიდამდე, შევამოწმოთ რომელი ფაქტორებიდან არის მრავალწევრის ფესვი.
განვიხილოთ, მაგალითად, მრავალწევრი
თავისუფალი წევრების გამყოფები: ; ; ;
მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტის ჯამი ტოლია, შესაბამისად, რიცხვი 1 არ არის მრავალწევრის ფესვი.
კოეფიციენტების ჯამი ლუწი ძალებზე:
კენტი ძალების კოეფიციენტების ჯამი:
მაშასადამე, რიცხვი -1 ასევე არ არის მრავალწევრის ფესვი.
შევამოწმოთ, არის თუ არა რიცხვი 2 მრავალწევრის ფესვი: მაშასადამე, რიცხვი 2 არის მრავალწევრის ფესვი. მაშასადამე, ბეზუტის თეორემის მიხედვით, მრავალწევრი ნაშთების გარეშე იყოფა ორწევრზე.
2. როგორ გავყოთ მრავალწევრი ორწევრად.
მრავალწევრი შეიძლება დაიყოს ბინომად სვეტით.
ჩვენ ვყოფთ მრავალწევრს ბინომალურ სვეტად:
არსებობს მრავალწევრის ბინომად დაყოფის კიდევ ერთი გზა - ჰორნერის სქემა.
უყურეთ ამ ვიდეოს გასაგებად როგორ გავყოთ მრავალწევრი ბინომად სვეტზე და ჰორნერის სქემის გამოყენებით.
მე აღვნიშნავ, რომ თუ სვეტზე გაყოფისას, უცნობის გარკვეული ხარისხი არ არის თავდაპირველ მრავალწევრში, მის ადგილას ვწერთ 0 - ისევე, როგორც ჰორნერის სქემისთვის ცხრილის შედგენისას.
ასე რომ, თუ ჩვენ გვჭირდება მრავალწევრის გაყოფა ბინომად და გაყოფის შედეგად მივიღებთ მრავალწევრს, მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ მრავალწევრის კოეფიციენტები ჰორნერის სქემის გამოყენებით:
ასევე შეგვიძლია გამოვიყენოთ ჰორნერის სქემარათა შევამოწმოთ არის თუ არა მოცემული რიცხვი მრავალწევრის ფესვი: თუ რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ მრავალწევრის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არის ნული, ანუ ჰორნერის მეორე რიგის ბოლო სვეტში. სქემა, ჩვენ ვიღებთ 0.
ჰორნერის სქემით „ვხოცავთ ორ ჩიტს ერთი ქვით“: ამავდროულად ვამოწმებთ არის თუ არა რიცხვი მრავალწევრის ფესვი და ამ მრავალწევრს ვყოფთ ორწევრზე.
მაგალითი.ამოხსენით განტოლება:
1. ვწერთ თავისუფალი წევრის გამყოფებს და ვეძებთ მრავალწევრის ფესვებს თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის.
24-ის გამყოფები:
2. შეამოწმეთ რიცხვი 1 არის თუ არა მრავალწევრის ფესვი.
მრავალწევრის კოეფიციენტების ჯამი, შესაბამისად, რიცხვი 1 არის მრავალწევრის ფესვი.
3. ჰორნერის სქემის გამოყენებით თავდაპირველი პოლინომი დაყავით ბინომად.
ა) ჩაწერეთ თავდაპირველი მრავალწევრის კოეფიციენტები ცხრილის პირველ რიგში.
ვინაიდან შემცველი წევრი აკლია, ცხრილის სვეტში, რომელშიც უნდა ჩაიწეროს at-ის კოეფიციენტი, ვწერთ 0. მარცხნივ ვწერთ ნაპოვნი ფესვს: რიცხვს 1.
ბ) შეავსეთ ცხრილის პირველი სტრიქონი.
ბოლო სვეტში, როგორც მოსალოდნელი იყო, მივიღეთ ნული, დავყავით თავდაპირველი მრავალწევრი ნაშთის გარეშე ორწევად. გაყოფის შედეგად მიღებული მრავალწევრის კოეფიციენტები ლურჯად არის ნაჩვენები ცხრილის მეორე რიგში:
ადვილია იმის შემოწმება, რომ რიცხვები 1 და -1 არ არის მრავალწევრის ფესვები
გ) გავაგრძელოთ ცხრილი. მოდით შევამოწმოთ რიცხვი 2 არის თუ არა მრავალწევრის ფესვი:
ასე რომ, მრავალწევრის ხარისხი, რომელიც მიიღება ერთზე გაყოფის შედეგად, ნაკლებია თავდაპირველი მრავალწევრის ხარისხზე, შესაბამისად კოეფიციენტების რაოდენობა და სვეტების რაოდენობა ერთით ნაკლებია.
ბოლო სვეტში მივიღეთ -40 - რიცხვი, არა ნულიმაშასადამე, მრავალწევრი იყოფა ნაშთით ორწევრზე, ხოლო რიცხვი 2 არ არის მრავალწევრის ფესვი.
გ) შევამოწმოთ რიცხვი -2 არის თუ არა მრავალწევრის ფესვი. ვინაიდან წინა მცდელობა წარუმატებელი აღმოჩნდა, რათა არ მოხდეს კოეფიციენტებთან დაბნეულობა, ამ მცდელობის შესაბამის ხაზს წავშლი:
დიდი! ნაშთში მივიღეთ ნული, მაშასადამე, მრავალწევრი დაიყო ნარჩენის გარეშე ორწევრად, შესაბამისად, რიცხვი -2 არის მრავალწევრის ფესვი. მრავალწევრის კოეფიციენტები, რომლებიც მიიღება მრავალწევრის ორწევრზე გაყოფით, მწვანედ არის ნაჩვენები ცხრილში.
გაყოფის შედეგად მივიღეთ კვადრატული ტრინომი 
, რომლის ფესვები ადვილად იპოვება ვიეტას თეორემით:
ასე რომ, ორიგინალური განტოლების ფესვები:
{
}
პასუხი: ( 
}
ამ სტატიაში თქვენ ნახავთ ყველა საჭირო ინფორმაციას, რომელიც პასუხობს კითხვას, როგორ მოვახდინოთ რიცხვის ფაქტორიზირება. პირველი, მოცემულია ზოგადი იდეა რიცხვის პირველ ფაქტორებად დაშლის შესახებ, მოცემულია გაფართოების მაგალითები. რიცხვის მარტივ ფაქტორებად გადაყვანის კანონიკური ფორმა ნაჩვენებია შემდეგში. ამის შემდეგ მოცემულია თვითნებური რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმი და მოცემულია ამ ალგორითმის გამოყენებით რიცხვების დაშლის მაგალითები. ასევე განიხილება ალტერნატიული გზები, რომელიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად დაშალოთ პატარა მთელი რიცხვები პირველ ფაქტორებად გაყოფის ნიშნებისა და გამრავლების ცხრილის გამოყენებით.
გვერდის ნავიგაცია.
რას ნიშნავს რიცხვის გამრავლება პირველ ფაქტორებად?
პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ რა არის ძირითადი ფაქტორები.
გასაგებია, რომ რადგან სიტყვა „ფაქტორები“ არის ამ ფრაზაში, მაშინ ხდება ზოგიერთი რიცხვის ნამრავლი, ხოლო განმსაზღვრელი სიტყვა „პირველი“ ნიშნავს, რომ თითოეული ფაქტორი არის მარტივი რიცხვი. მაგალითად, 2 7 7 23 ფორმის ნამრავლში არის ოთხი ძირითადი ფაქტორი: 2, 7, 7 და 23.
რას ნიშნავს რიცხვის გამრავლება პირველ ფაქტორებად?
ეს ნიშნავს, რომ მოცემული რიცხვი უნდა იყოს წარმოდგენილი როგორც უბრალო ფაქტორების ნამრავლი და ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უნდა იყოს თავდაპირველი რიცხვის ტოლი. მაგალითად, განვიხილოთ სამი მარტივი რიცხვის ნამრავლი 2, 3 და 5, ის უდრის 30-ს, ამიტომ რიცხვის 30-ის ფაქტორიზაცია მარტივ ფაქტორებად არის 2 3 5. ჩვეულებრივ რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად იწერება ტოლობის სახით, ჩვენს მაგალითში ასე იქნება: 30=2 3 5 . ცალკე აღვნიშნავთ, რომ გაფართოების ძირითადი ფაქტორები შეიძლება განმეორდეს. ეს ნათლად ასახავს შემდეგი მაგალითი: 144=2 2 2 2 2 3 3 . მაგრამ 45=3 15 ფორმის წარმოდგენა არ არის დაშლა პირველ ფაქტორებად, რადგან რიცხვი 15 არის შედგენილი.
ჩნდება შემდეგი კითხვა: "და რა რიცხვები შეიძლება დაიშალოს პირველ ფაქტორებად"?
მასზე პასუხის მოსაძებნად წარმოგიდგენთ შემდეგ მსჯელობას. მარტივი რიცხვები, განსაზღვრებით, ერთზე დიდთა შორისაა. ამ ფაქტის გათვალისწინებით და , შეიძლება ითქვას, რომ რამდენიმე მარტივი ფაქტორის ნამრავლი არის ერთზე მეტი დადებითი მთელი რიცხვი. ამრიგად, ფაქტორიზაცია ხდება მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვებისთვის, რომლებიც 1-ზე მეტია.
მაგრამ ყველა მთელი რიცხვი ერთ ფაქტორზე მეტი გადაიქცევა პირველ ფაქტორებად?
ნათელია, რომ არ არსებობს მარტივი მთელი რიცხვების პირველ ფაქტორებად დაშლის საშუალება. ეს იმიტომ ხდება, რომ მარტივ რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ორი დადებითი გამყოფი, ერთი და თავად, ამიტომ ისინი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ან ნამრავლის სახით. მეტიმარტივი რიცხვები. თუ მთელი z შეიძლება იყოს წარმოდგენილი a და b მარტივი რიცხვების ნამრავლის სახით, მაშინ გაყოფის კონცეფცია საშუალებას მოგვცემს დავასკვნათ, რომ z იყოფა როგორც a-ზე, ასევე b-ზე, რაც შეუძლებელია z რიცხვის სიმარტივის გამო. თუმცა, ითვლება, რომ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი თავისთავად მისი დაშლაა.
რაც შეეხება შედგენილ რიცხვებს? იშლება თუ არა კომპოზიტური რიცხვები მარტივ ფაქტორებად და ექვემდებარება თუ არა ყველა შედგენილი რიცხვი ასეთ დაშლას? ამ რიგ კითხვებზე დადებით პასუხს იძლევა არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა. არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა ამბობს, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი a, რომელიც 1-ზე მეტია, შეიძლება დაიშალოს მარტივი ფაქტორების ნამრავლად p 1 , p 2 , ..., p n , ხოლო გაფართოებას აქვს ფორმა a=p 1 p 2 .. p n და ეს დაშლა უნიკალურია, თუ არ გავითვალისწინებთ ფაქტორების თანმიმდევრობას
რიცხვის კანონიკური დაშლა პირველ ფაქტორებად
რიცხვის გაფართოებისას, ძირითადი ფაქტორები შეიძლება განმეორდეს. განმეორებადი ძირითადი ფაქტორები შეიძლება დაიწეროს უფრო კომპაქტურად გამოყენებით . მოდით, პირველი ფაქტორი p 1 მოხდეს s 1-ჯერ a რიცხვის დაშლისას, მარტივი ფაქტორი p 2 - s 2-ჯერ და ასე შემდეგ, p n - s n-ჯერ. შემდეგ a რიცხვის ძირითადი ფაქტორიზაცია შეიძლება დაიწეროს როგორც a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. წერის ეს ფორმა ე.წ რიცხვის კანონიკური ფაქტორიზაცია მარტივ ფაქტორებად.
მოდით მოვიყვანოთ რიცხვის კანონიკური დაშლის მაგალითი პირველ ფაქტორებად. გაგვაგებინეთ დაშლა 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, მისი კანონიკური ფორმაა 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რიცხვის ყველა გამყოფი და რიცხვის გამყოფების რაოდენობა.
რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმი
იმისათვის, რომ წარმატებით გაუმკლავდეთ რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ამოცანას, თქვენ ძალიან კარგად უნდა იყოთ სტატიაში მოცემული მარტივი და შედგენილი რიცხვების შესახებ ინფორმაცია.
დადებითი მთელი რიცხვის და ერთზე მეტი a რიცხვის გაფართოების პროცესის არსი არითმეტიკის მთავარი თეორემის მტკიცებულებიდან ირკვევა. მნიშვნელობა არის უმცირესი მარტივი გამყოფების თანმიმდევრულად პოვნა p 1 , p 2 , ..., p n რიცხვები a, a 1 , a 2 , ..., a n-1 , რაც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ტოლობების სერია a=p 1 a 1 , სადაც a 1 = a:p 1, a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2, სადაც a 2 =a 1:p 2, …, a = p 1 p 2 …p n a n, სადაც a n =a n -1:p n . როდესაც მიიღება a n =1, მაშინ ტოლობა a=p 1 ·p 2 ·…·p n მოგვცემს a რიცხვის საჭირო დაშლას მარტივ ფაქტორებად. აქვე უნდა აღინიშნოს ისიც p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
რჩება საქმე ყოველ საფეხურზე უმცირესი მარტივი გამყოფების პოვნასთან და გვექნება რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმი. მარტივი რიცხვების ცხრილი დაგვეხმარება მარტივი გამყოფების პოვნაში. მოდით ვაჩვენოთ, როგორ გამოვიყენოთ იგი z რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფის მისაღებად.
თანმიმდევრობით ვიღებთ მარტივ რიცხვებს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან (2 , 3 , 5 , 7 , 11 და ასე შემდეგ) და ვყოფთ მათზე მოცემულ z რიცხვს. პირველი მარტივი რიცხვი, რომლითაც z თანაბრად იყოფა, არის მისი უმცირესი მარტივი გამყოფი. თუ z რიცხვი მარტივია, მაშინ მისი უმცირესი მარტივი გამყოფი იქნება თავად რიცხვი z. აქვე უნდა გავიხსენოთ, რომ თუ z არ არის მარტივი რიცხვი, მაშინ მისი უმცირესი მარტივი გამყოფი არ აღემატება რიცხვს, სადაც - z-დან. ამრიგად, თუ მარტივ რიცხვებს შორის, რომლებიც არ აღემატება , არ იყო z რიცხვის ერთი გამყოფი, მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ z არის მარტივი რიცხვი (დაწვრილებით ამის შესახებ დაწერილია თეორიის განყოფილებაში სათაურით ეს რიცხვი არის მარტივი ან შედგენილი. ).
მაგალითად, ვაჩვენოთ, როგორ ვიპოვოთ 87 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფი. ვიღებთ ნომერ 2-ს. 87 გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 87:2=43 (დასვენება 1) (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია). ანუ 87-ის 2-ზე გაყოფისას ნაშთი არის 1, ამიტომ 2 არ არის 87 რიცხვის გამყოფი. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მარტივ რიცხვს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან, ეს არის რიცხვი 3. 87-ს ვყოფთ 3-ზე, მივიღებთ 87:3=29. ანუ 87 თანაბრად იყოფა 3-ზე, ამიტომ 3 არის 87-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი.
გაითვალისწინეთ, რომ ზოგად შემთხვევაში, a რიცხვის ფაქტორიზაციისთვის, გვჭირდება მარტივი რიცხვების ცხრილი არანაკლებ რიცხვამდე. ამ ცხრილს ყოველ ნაბიჯზე მოგვიწევს მივმართოთ, ამიტომ ის ხელთ უნდა გვქონდეს. მაგალითად, 95 რიცხვის ფაქტორიზაციისთვის დაგვჭირდება 10-მდე მარტივი რიცხვების ცხრილი (რადგან 10 მეტია). 846 653 რიცხვის დასაშლელად უკვე დაგჭირდებათ 1000-მდე მარტივი რიცხვების ცხრილი (რადგან 1000 მეტია).
ახლა საკმარისი ინფორმაცია გვაქვს დასაწერად ალგორითმი რიცხვის მარტივ ფაქტორებად გადაყვანისთვის. რიცხვის a გაფართოების ალგორითმი შემდეგია:
- მარტივი რიცხვების ცხრილიდან რიცხვების თანმიმდევრულად დახარისხებით, ვპოულობთ a რიცხვის უმცირეს მარტივ გამყოფს p 1, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ 1 =a:p 1-ს. თუ a 1 =1, მაშინ რიცხვი a არის მარტივი და ეს არის მისი დაშლა მარტივ ფაქტორებად. თუ a 1 უდრის 1-ს, მაშინ გვაქვს a=p 1 ·a 1 და გადავდივართ შემდეგ საფეხურზე.
- ვპოულობთ a 1 რიცხვის უმცირეს მარტივ გამყოფს p 2-ს, ამისათვის ჩვენ თანმიმდევრულად ვახარისხებთ რიცხვებს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან, დაწყებული p 1-ით, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ 2 =a 1:p 2-ს. თუ a 2 =1, მაშინ a რიცხვის სასურველ დაშლას მარტივ ფაქტორებად აქვს ფორმა a=p 1 ·p 2 . თუ a 2 უდრის 1-ს, მაშინ გვაქვს a=p 1 ·p 2 ·a 2 და გადავდივართ შემდეგ საფეხურზე.
- მარტივი რიცხვების ცხრილიდან, p 2-დან დაწყებული რიცხვების გავლისას, ვპოულობთ a 2 რიცხვის უმცირეს მარტივ გამყოფს p 3, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ a 3 =a 2:p 3 . თუ a 3 =1, მაშინ a რიცხვის სასურველ დაშლას მარტივ ფაქტორებად აქვს ფორმა a=p 1 ·p 2 ·p 3 . თუ a 3 უდრის 1-ს, მაშინ გვაქვს a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 და გადავდივართ შემდეგ საფეხურზე.
- იპოვეთ a n-1 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფი p n მარტივი რიცხვების დახარისხებით, დაწყებული p n-1-ით, ასევე a n =a n-1:p n და a n უდრის 1-ს. ეს ნაბიჯი არის ალგორითმის ბოლო საფეხური, აქ ვიღებთ a რიცხვის საჭირო დაშლას მარტივ ფაქტორებად: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .
რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმის თითოეულ საფეხურზე მიღებული ყველა შედეგი სიცხადისთვის წარმოდგენილია შემდეგი ცხრილის სახით, რომელშიც რიცხვები a, a 1, a 2, ..., a n იწერება თანმიმდევრობით. ვერტიკალური ზოლის მარცხნივ, ხოლო ზოლის მარჯვნივ - შესაბამისი უმცირესი მარტივი გამყოფები p 1 , p 2 , ..., p n .
რჩება მხოლოდ რამდენიმე მაგალითის განხილვა მიღებული ალგორითმის გამოყენებისას რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლაზე.
ძირითადი ფაქტორიზაციის მაგალითები
ახლა ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ძირითადი ფაქტორიზაციის მაგალითები. დაშლისას გამოვიყენებთ წინა აბზაცის ალგორითმს. დავიწყოთ მარტივი შემთხვევებით და ნელ-ნელა გავართულებთ მათ, რათა ყველასთან შევეგუოთ შესაძლო ნიუანსირიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის შედეგად წარმოქმნილი.
მაგალითი.
რიცხვი 78 ფაქტორზე გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად.
გამოსავალი.
ვიწყებთ a=78 რიცხვის პირველი უმცირესი მარტივი გამყოფის p 1 ძიებას. ამისათვის ჩვენ ვიწყებთ მარტივი რიცხვების თანმიმდევრობით დახარისხებას მარტივი რიცხვების ცხრილიდან. ვიღებთ რიცხვს 2 და ვყოფთ მასზე 78, მივიღებთ 78:2=39. რიცხვი 78 იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ p 1 \u003d 2 არის 78 რიცხვის პირველი ნაპოვნი მთავარი გამყოფი. ამ შემთხვევაში a 1 =a:p 1 =78:2=39 . ასე რომ, მივდივართ a=p 1 ·a 1 ტოლობამდე, რომელსაც აქვს ფორმა 78=2·39. ცხადია, 1 =39 განსხვავდება 1-ისგან, ამიტომ გადავდივართ ალგორითმის მეორე საფეხურზე.
ახლა ჩვენ ვეძებთ a 1 =39 რიცხვის p 2 უმცირეს მარტივ გამყოფს. ჩვენ ვიწყებთ რიცხვების ჩამოთვლას მარტივი ცხრილიდან, დაწყებული p 1 =2-ით. 39 გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 39:2=19 (დარჩენილი 1). ვინაიდან 39 თანაბრად არ იყოფა 2-ზე, 2 არ არის მისი გამყოფი. შემდეგ ვიღებთ შემდეგ რიცხვს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან (რიცხვი 3) და ვყოფთ მასზე 39, მივიღებთ 39:3=13. მაშასადამე, p 2 \u003d 3 არის 39 რიცხვის უმცირესი ძირითადი გამყოფი, ხოლო a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. გვაქვს ტოლობა a=p 1 p 2 a 2 სახით 78=2 3 13 . ვინაიდან 2 =13 განსხვავდება 1-ისგან, გადავდივართ ალგორითმის შემდეგ საფეხურზე.
აქ უნდა ვიპოვოთ a 2 =13 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფი. 13 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფის p 3 ძიებაში, ჩვენ თანმიმდევრულად დავახარისხებთ რიცხვებს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან, დაწყებული p 2 =3-ით. რიცხვი 13 არ იყოფა 3-ზე, ვინაიდან 13:3=4 (დასვენება 1), ასევე 13 არ იყოფა 5-ზე, 7-ზე და 11-ზე, ვინაიდან 13:5=2 (დასვენება 3), 13:7=1. (res. 6) და 13:11=1 (res. 2) . შემდეგი მარტივი რიცხვი არის 13, ხოლო 13 იყოფა მასზე ნაშთების გარეშე, შესაბამისად, 13 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფი p 3 არის თავად რიცხვი 13 და a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. . ვინაიდან 3 =1 , მაშინ ალგორითმის ეს საფეხური ბოლოა და 78 რიცხვის სასურველ დაშლას მარტივ ფაქტორებად აქვს ფორმა 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .
პასუხი:
78=2 3 13 .
მაგალითი.
გამოთქვით რიცხვი 83006, როგორც უბრალო ფაქტორების ნამრავლი.
გამოსავალი.
რიცხვის მარტივ ფაქტორებად გადაყვანის ალგორითმის პირველ საფეხურზე ვპოულობთ p 1 =2 და a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503, საიდანაც 83 006=2 41 503 .
მეორე საფეხურზე აღმოვაჩენთ, რომ 2, 3 და 5 არ არის a 1 =41 503 რიცხვის ძირითადი გამყოფები და რიცხვი 7 არის, რადგან 41 503: 7=5 929. გვაქვს p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . ამრიგად, 83 006=2 7 5 929.
2 =5 929-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი არის 7, ვინაიდან 5 929:7=847. ამრიგად, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847, საიდანაც 83 006=2 7 7 847.
შემდგომ ვხვდებით, რომ a 3 =847 რიცხვის p 4 უმცირესი მარტივი გამყოფი უდრის 7-ს. შემდეგ a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, ანუ 83 006=2 7 7 7 121.
ახლა ვპოულობთ a 4 =121 რიცხვის უმცირეს მარტივ გამყოფს, ეს არის რიცხვი p 5 =11 (რადგან 121 იყოფა 11-ზე და არ იყოფა 7-ზე). შემდეგ a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 და 83 006=2 7 7 7 11 11.
და ბოლოს, 5 =11-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი არის p 6 =11. შემდეგ a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. ვინაიდან 6 =1, რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმის ეს საფეხური ბოლოა და სასურველ დაშლას აქვს ფორმა 83 006=2·7·7·7·11·11.
მიღებული შედეგი შეიძლება დაიწეროს როგორც რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად 83 006=2·7 3 ·11 2 .
პასუხი:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 არის მარტივი რიცხვი. მართლაც, მას არ აქვს ძირითადი გამყოფი, რომელიც არ აღემატება ( შეიძლება დაახლოებით შეფასდეს როგორც , რადგან აშკარაა, რომ 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
პასუხი:
897 924 289=937 967 991 .
გაყოფის ტესტების გამოყენება ძირითადი ფაქტორიზაციისთვის
მარტივ შემთხვევებში, თქვენ შეგიძლიათ დაშალოთ რიცხვი პირველ ფაქტორებად ამ სტატიის პირველი პუნქტის დაშლის ალგორითმის გამოყენების გარეშე. თუ რიცხვები არ არის დიდი, მაშინ მათი პირველ ფაქტორებად დასაშლელად, ხშირად საკმარისია გაყოფის ნიშნების ცოდნა. ჩვენ ვაძლევთ მაგალითებს განმარტებისთვის.
მაგალითად, რიცხვი 10 უნდა დავშალოთ პირველ ფაქტორებად. გამრავლების ცხრილიდან ვიცით, რომ 2 5=10 , ხოლო რიცხვები 2 და 5 აშკარად მარტივია, ამიტომ 10-ის მარტივი ფაქტორიზაცია არის 10=2 5 .
Სხვა მაგალითი. გამრავლების ცხრილის გამოყენებით, ჩვენ ვანაწილებთ რიცხვს 48 მარტივ ფაქტორებად. ვიცით, რომ ექვსი რვა არის ორმოცდარვა, ანუ 48=6 8. თუმცა არც 6 და არც 8 არ არის მარტივი რიცხვები. მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ ორჯერ სამი არის ექვსი და ორჯერ ოთხი არის რვა, ანუ 6=2 3 და 8=2 4 . მაშინ 48=6 8=2 3 2 4 . უნდა გვახსოვდეს, რომ ორჯერ ორი არის ოთხი, მაშინ მივიღებთ სასურველ დაშლას პირველ ფაქტორებად 48=2 3 2 2 2 . დავწეროთ ეს დაშლა კანონიკური სახით: 48=2 4 ·3 .
მაგრამ 3400 რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაყოფის ნიშნები. 10-ზე გაყოფის ნიშნები 100-ზე გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ 3400 იყოფა 100-ზე, ხოლო 3400=34 100 და 100 იყოფა 10-ზე, ხოლო 100=10 10, შესაბამისად, 3400=34 10 10. და 2-ზე გაყოფის ნიშნის საფუძველზე შეიძლება ითქვას, რომ თითოეული 34, 10 და 10 ფაქტორი იყოფა 2-ზე, მივიღებთ 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. შედეგად გაფართოების ყველა ფაქტორი მარტივია, ამიტომ ეს გაფართოება აუცილებელია. რჩება მხოლოდ ფაქტორების გადალაგება ისე, რომ ისინი წავიდნენ ზრდის მიხედვით: 3 400=2 2 2 5 5 17 . ჩვენ ასევე ვწერთ ამ რიცხვის კანონიკურ დაშლას მარტივ ფაქტორებად: 3 400=2 3 5 2 17 .
მოცემული რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლისას შეგიძლიათ თავის მხრივ გამოიყენოთ როგორც გაყოფის ნიშნები, ასევე გამრავლების ცხრილი. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 75, როგორც მარტივი ფაქტორების ნამრავლი. 5-ზე გაყოფის ნიშანი გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ 75 იყოფა 5-ზე, მაშინ როცა მივიღებთ 75=5 15-ს. და გამრავლების ცხრილიდან ვიცით, რომ 15=3 5 , შესაბამისად, 75=5 3 5 . ეს არის 75 რიცხვის სასურველი დაშლა პირველ ფაქტორებად.
ბიბლიოგრაფია.
- ვილენკინი ნ.ია. და ა.შ მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
- ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
- მიხელოვიჩ შ.ხ. რიცხვების თეორია.
- კულიკოვი ლ.ია. და სხვა ამოცანების კრებული ალგებრაში და რიცხვთა თეორიაში: სახელმძღვანელო ფიზ.-მატ. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.
