Paralēlogrammas četrstūris, tad pretējās malas ir vienādas. Paralelogramma un tās īpašības. Paralelograma laukums. Paralelograma leņķa bisektrise
Tas ir četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas.
Īpašums 1 . Jebkura paralelograma diagonāle sadala to divos vienādos trīsstūros.
Pierādījums . Atbilstoši II zīmei (šķērsojošie stūri un kopīgā puse).
Teorēma pierādīta.
2. īpašums. Paralelogrammā pretējās malas ir vienādas un pretējie leņķi ir vienādi.
Pierādījums .
Tāpat
Teorēma pierādīta.
Īpašība 3. Diagonālā paralelogramā krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm.
Pierādījums .
Teorēma pierādīta.
Īpašums 4 . Paralelograma leņķa bisektrise, kas krusto pretējo malu, sadala to vienādsānu trīsstūris un trapecveida. (Ch. vārds - augšā - divi vienādsānu? -ka).
Pierādījums .
Teorēma pierādīta.
Īpašums 5 . Paralelogramā segmentu ar galiem pretējās pusēs, kas iet caur diagonāļu krustošanās punktu, sadala ar šo punktu.
Pierādījums .
Teorēma pierādīta.
Īpašums 6 . Leņķis starp augstumiem, kas nokrituši no paralelograma neasā leņķa virsotnes, ir vienāds ar paralelograma akūto leņķi.
Pierādījums .
Teorēma pierādīta.
Īpašums 7 . Vienai malai blakus esošā paralelograma leņķu summa ir 180°.
Pierādījums .
Teorēma pierādīta.
Leņķa bisektrise konstrukcija. Trijstūra leņķa bisektrise īpašības.
1) Izveidojiet patvaļīgu staru DE.
2) Uz dotā stara izveidojiet patvaļīgu apli ar centru virsotnē un to pašu
centrēts konstruētā stara sākumā.
3) F un G - riņķa krustošanās punkti ar dotā leņķa malām, H - apļa krustpunkts ar konstruēto staru.
Izveidojiet apli, kura centrs atrodas punktā H un rādiuss ir vienāds ar FG.
5) I - konstruētā stara apļu krustošanās punkts.
6) Novelciet līniju caur virsotni un I.
IDH - nepieciešamais leņķis.
)
Īpašums 1 . Trijstūra leņķa bisektrise dala pretējo malu proporcionāli blakus esošajām malām.
Pierādījums . Lai x, y ir malas c segmenti. Mēs turpinām staru BC. Uz stara BC mēs uzzīmējam segmentu CK no C, kas vienāds ar AC.
Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Nākamajā attēlā parādīts paralelograms ABCD. Tam ir AB mala paralēla malai CD un mala BC paralēla malai AD.
Kā jūs, iespējams, uzminējāt, paralelograms ir izliekts četrstūris. Apsveriet paralelograma pamatīpašības.
Paralelogrammas īpašības
1. Paralelogramā pretējie leņķi un pretējās malas ir vienādi. Pierādīsim šo īpašību - apskatīsim paralelogramu, kas parādīts nākamajā attēlā.
Diagonāle BD sadala to divos vienādos trīsstūros: ABD un CBD. Tie ir vienādi malās BD un divos tai blakus esošajos leņķos, jo leņķi, kas atrodas pie BD sekanta, ir attiecīgi paralēlas taisnes BC un AD un AB un CD. Tāpēc AB = CD un
BC = AD. Un no leņķu 1, 2, 3 un 4 vienādības izriet, ka leņķis A = leņķis1 + leņķis3 = leņķis2 + leņķis4 = leņķis C.
2. Paralelograma diagonāles dala uz pusēm ar krustpunktu. Pieņemsim, ka punkts O ir paralelograma ABCD diagonāļu AC un BD krustpunkts.
Tad trijstūris AOB un trijstūris COD ir vienādi viens ar otru, gar malu un diviem tai blakus esošajiem leņķiem. (AB=CD, jo tās ir paralelograma pretējās malas. Un leņķis1 = leņķis2 un leņķis3 = leņķis4 kā šķērsvirziena leņķi taisnes AB un CD krustpunktā attiecīgi ar sekantiem AC un BD.) No tā izriet, ka AO = OC un OB = OD, kas un bija jāpierāda.
Visas galvenās īpašības ir attēlotas sekojošos trīs attēlos.
Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Šī definīcija jau ir pietiekama, jo no tās izriet atlikušās paralelograma īpašības un tiek pierādītas teorēmu veidā.
Paralelograma galvenās īpašības ir:
- paralelograms ir izliekts četrstūris;
- paralelograma pretējās malas ir vienādas pa pāriem;
- paralelogramam ir pretēji leņķi, kas ir vienādi pa pāriem;
- paralelograma diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu.
Paralēlogramma - izliekts četrstūris
Vispirms pierādīsim teorēmu, ka paralelograms ir izliekts četrstūris. Daudzstūris ir izliekts, ja jebkura tā mala ir pagarināta līdz taisnai līnijai, visas pārējās daudzstūra malas atradīsies vienā šīs taisnes pusē.
Dots paralelograms ABCD, kurā AB ir pretēja mala CD, bet BC ir pretējā mala AD. Tad no paralelograma definīcijas izriet, ka AB || CD, BC || AD.
Nav paralēlu līniju kopīgi punkti, tie nekrustojas. Tas nozīmē, ka CD atrodas vienā AB pusē. Tā kā segments BC savieno segmenta AB punktu B ar segmenta CD punktu C un segments AD savieno citus punktus AB un CD, segmenti BC un AD arī atrodas vienā un tajā pašā līnijas AB pusē, kur atrodas CD. Tādējādi visas trīs malas - CD, BC, AD - atrodas vienā AB pusē.
Līdzīgi ir pierādīts, ka attiecībā pret paralelograma pārējām malām pārējās trīs malas atrodas tajā pašā pusē.
Pretējās malas un leņķi ir vienādi
Viena no paralelograma īpašībām ir tā paralelogramā pretējās malas un pretējie leņķi ir vienādi. Piemēram, ja ir dots paralelograms ABCD, tad tam ir AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Šī teorēma ir pierādīta šādi.
Paralelograms ir četrstūris. Tātad tam ir divas diagonāles. Tā kā paralelograms ir izliekts četrstūris, jebkurš no tiem sadala to divos trīsstūros. Aplūkosim trijstūrus ABC un ADC paralelogramā ABCD, kas iegūts, novelkot diagonāli AC.
Šiem trijstūriem ir viena kopīga mala – maiņstrāva. Leņķis BCA ir vienāds ar leņķi CAD, tāpat kā vertikāles ar paralēlām BC un AD. Leņķi BAC un ACD arī ir vienādi, tāpat kā vertikālie leņķi, kad AB un CD ir paralēli. Tāpēc ∆ABC = ∆ADC pa diviem leņķiem un sānu starp tiem.
Šajos trīsstūros mala AB atbilst malai CD, un mala BC atbilst AD. Tāpēc AB = CD un BC = AD.
Leņķis B atbilst leņķim D, t.i., ∠B = ∠D. Paralelograma leņķis A ir divu leņķu summa - ∠BAC un ∠CAD. Leņķis C ir vienāds ar ∠BCA un ∠ACD. Tā kā leņķu pāri ir vienādi viens ar otru, tad ∠A = ∠C.
Tādējādi ir pierādīts, ka paralelogramā pretējās malas un leņķi ir vienādi.
Diagonāles pārgrieztas uz pusēm
Tā kā paralelograms ir izliekts četrstūris, tam ir divas divas diagonāles, un tās krustojas. Dots paralelograms ABCD, kura diagonāles AC un BD krustojas punktā E. Aplūkosim to veidotos trijstūrus ABE un CDE.
Šiem trijstūriem malas AB un CD ir vienādas ar paralelograma pretējām malām. Leņķis ABE ir vienāds ar leņķi CDE, jo tie atrodas pāri paralēlām līnijām AB un CD. Tā paša iemesla dēļ ∠BAE = ∠DCE. Tādējādi ∆ABE = ∆CDE pār diviem leņķiem un malu starp tiem.
Varat arī pamanīt, ka leņķi AEB un CED ir vertikāli un tāpēc arī ir vienādi viens ar otru.
Tā kā trijstūri ABE un CDE ir vienādi, tad arī visi tiem atbilstošie elementi ir vienādi. Pirmā trīsstūra mala AE atbilst otrā trijstūra malai CE, tātad AE = CE. Līdzīgi, BE = DE. Katrs vienādu segmentu pāris veido paralelograma diagonāli. Tādējādi tiek pierādīts, ka paralelograma diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu.
Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas pa pāriem (233. att.).
Patvaļīgam paralelogramam ir šādas īpašības:
1. Paralelograma pretējās malas ir vienādas.
Pierādījums. Paralelogrammā ABCD uzzīmējiet diagonāli AC. Trijstūri ACD un AC B ir vienādi ar kopēju malu AC un diviem vienādu leņķu pāriem blakus tai:
(kā šķērsvirziena leņķi ar paralēlām taisnēm AD un BC). Tādējādi un kā vienādu trīsstūru malas, kas atrodas pretī vienādiem leņķiem, kas bija jāpierāda.
2. Paralelograma pretējie leņķi ir:
3. Paralelograma blakus leņķi, tas ir, vienai malai blakus esošie leņķi, summējas utt.
2. un 3. īpašību pierādījums uzreiz izriet no leņķu īpašībām paralēlās taisnēs.
4. Paralelograma diagonāles krustošanās punktā sadala viena otru uz pusēm. Citiem vārdiem sakot,
Pierādījums. Trijstūri AOD un BOC ir vienādi, jo to malas AD un BC ir vienādas (īpašība 1) un tiem blakus esošie leņķi (kā krusteniski novietoti leņķi ar paralēlām līnijām). Tas nozīmē šo trīsstūru atbilstošo malu vienādību: AO, kas bija jāpierāda.
Katra no šīm četrām īpašībām raksturo paralelogramu vai, kā saka, ir tā raksturīgā īpašība, t.i., jebkurš četrstūris, kuram ir vismaz viena no šīm īpašībām, ir paralelograms (un līdz ar to ir visas pārējās trīs īpašības).
Pierādīšanu veicam katram īpašumam atsevišķi.
1". Ja četrstūra pretējās malas ir pa pāriem vienādas, tad tas ir paralelograms.
Pierādījums. Lai četrstūrim ABCD malas AD un BC, attiecīgi AB un CD ir vienādas (233. att.). Zīmēsim diagonāli AC. Trijstūri ABC un CDA būs kongruenti, jo tiem ir trīs vienādu malu pāri.
Bet tad leņķi BAC un DCA ir vienādi un . Malu BC un AD paralēlisms izriet no leņķu CAD un DIA vienādības.
2. Ja četrstūrim ir divi pāri pretējos stūros ir vienādi, tad tas ir paralelograms.
Pierādījums. Ļaujiet . Tā kā abas malas AD un BC ir paralēlas (pamatojoties uz paralēlām taisnēm).
3. Formulēšanu un pierādījumus atstājam lasītāja ziņā.
4. Ja četrstūra diagonāles krustošanās punktā savstarpēji dala uz pusēm, tad četrstūris ir paralelograms.
Pierādījums. Ja AO \u003d OS, BO \u003d OD (233. att.), tad trijstūri AOD un BOC ir vienādi, jo tiem ir vienādi leņķi (vertikāli!) Virsotnē O, kas atrodas starp vienādu malu pāriem AO un CO, BO un DO. No trīsstūru vienādības secinām, ka malas AD un BC ir vienādas. Arī malas AB un CD ir vienādas, un četrstūris pēc raksturīgās īpašības Г izrādās paralelograms.
Tādējādi, lai pierādītu, ka dots četrstūris ir paralelograms, pietiek ar to, lai pārbaudītu jebkuras no četrām īpašībām derīgumu. Lasītājs tiek aicināts patstāvīgi pierādīt vēl vienu paralelograma raksturīgo īpašību.
5. Ja četrstūrim ir vienādu, paralēlu malu pāris, tad tas ir paralelograms.
Dažreiz jebkuru paralelograma paralēlo malu pāri sauc par tā pamatiem, bet pārējās divas par sānu malām. Taisnas līnijas nogriezni, kas ir perpendikulāra abām paralelograma malām un atrodas starp tām, sauc par paralelograma augstumu. Paralelograms attēlā. 234 augstums h ir novilkts uz malām AD un BC, tā otrais augstums ir attēlots ar segmentu .
Šodienas nodarbībā mēs atkārtosim paralelograma galvenās īpašības, un pēc tam pievērsīsim uzmanību pirmo divu paralelograma pazīmju izskatīšanai un pierādīsim tās. Pierādīšanas gaitā atgādināsim par trijstūra vienādības zīmju pielietojumu, ko pētījām pagājušajā gadā un atkārtojām pirmajā nodarbībā. Beigās tiks sniegts piemērs par paralelograma pētīto pazīmju pielietojumu.
Tēma: Četrstūri
Nodarbība: Paralelograma zīmes
Sāksim, atgādinot paralelograma definīciju.
Definīcija. Paralelogramma- četrstūris, kurā katras divas pretējās malas ir paralēlas (skat. 1. att.).
Rīsi. 1. Paralēlogramma
Atcerēsimies paralelograma pamatīpašības:
Lai varētu izmantot visas šīs īpašības, ir jāpārliecinās, ka skaitlis par kuru jautājumā, ir paralelograms. Lai to izdarītu, jums jāzina tādi fakti kā paralelograma zīmes. Šodien mēs izskatīsim pirmos divus no tiem.
Teorēma. Pirmā paralelograma pazīme. Ja četrstūrī divas pretējās malas ir vienādas un paralēlas, tad šis četrstūris ir paralelograms. 
.
Rīsi. 2. Paralelograma pirmā zīme
Pierādījums. Iezīmēsim četrstūrī diagonāli (skat. 2. att.), viņa to sadalīja divos trīsstūros. Pierakstīsim, ko zinām par šiem trijstūriem:
saskaņā ar pirmo trīsstūru vienādības zīmi.
No šo trīsstūru vienādības izriet, ka, pamatojoties uz līniju paralēlismu to sekanta krustpunktā. Mums ir tas:
Pierādīts.
Teorēma. Otrā paralelograma zīme. Ja četrstūrī katras divas pretējās malas ir vienādas, tad šis četrstūris ir paralelograms. 
.
Rīsi. 3. Paralelograma otrā zīme
Pierādījums. Ievelkam četrstūrī diagonāli (skat. 3. att.), tā sadala to divos trīsstūros. Uzrakstīsim, ko zinām par šiem trijstūriem, pamatojoties uz teorēmas formulējumu:
saskaņā ar trešo trīsstūru vienādības kritēriju.
No trīsstūru vienādības izriet, ka, pamatojoties uz līniju paralēlismu to sekanta krustpunktā. Mēs iegūstam:
paralelograms pēc definīcijas. Q.E.D.
Pierādīts.
Apskatīsim piemēru paralelograma pazīmju pielietošanai.
Piemērs 1. Izliektā četrstūrī Atrast: a) četrstūra stūrus; b) sānu.
Risinājums. Attēlosim att. 4.
Rīsi. 4
paralelograms atbilstoši pirmajam paralelograma atribūtam.
