Cum să demonstrezi că o progresie geometrică este în scădere infinită. Fii mereu în chef
Progresie geometrică- Acest succesiune de numere, al cărui prim termen este diferit de zero și fiecare termen ulterior este egal cu termenul anterior înmulțit cu același nu egal cu zero număr.
Conceptul de progresie geometrică
Progresia geometrică se notează b1,b2,b3, …, bn, ….
Raportul dintre orice termen al erorii geometrice și termenul anterior este egal cu același număr, adică b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Aceasta rezultă direct din definiția unei progresii aritmetice. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice. De obicei, numitorul unei progresii geometrice este notat cu litera q.
Suma unei progresii geometrice infinite pentru |q|<1
O modalitate de a specifica o progresie geometrică este de a specifica primul său termen b1 și numitorul erorii geometrice q. De exemplu, b1=4, q=-2. Aceste două condiții definesc progresia geometrică 4, -8, 16, -32, ….
Dacă q>0 (q nu este egal cu 1), atunci progresia este o secvență monotonă. De exemplu, secvența, 2, 4,8,16,32, ... este o secvență crescătoare monoton (b1=2, q=2).
Dacă numitorul în eroarea geometrică este q=1, atunci toți termenii progresiei geometrice vor fi egali între ei. În astfel de cazuri, se spune că progresia este o secvență constantă.
Pentru ca o succesiune de numere (bn) sa fie o progresie geometrica, este necesar ca fiecare dintre membrii sai, incepand de la al doilea, sa fie media geometrica a membrilor invecinati. Adică, este necesar să se îndeplinească următoarea ecuație
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pentru orice n>0, unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.
Acum să punem (Xn) - o progresie geometrică. Numitorul progresiei geometrice q, și |q|∞).
Dacă notăm acum cu S suma unei progresii geometrice infinite, atunci se va aplica următoarea formulă:
S=x1/(1-q).
Să ne uităm la un exemplu simplu:
Aflați suma progresiei geometrice infinite 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….
Pentru a găsi S, folosim formula pentru suma unei progresii aritmetice infinite. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice, adică fiecare termen diferă de cel anterior de q ori. (Vom presupune că q ≠ 1, altfel totul este prea banal). Nu este greu să vezi asta formula generala al n-lea termen al progresiei geometrice b n = b 1 q n – 1 ; termenii cu numere b n și b m diferă de q n – m ori.Deja inauntru Egiptul antic cunoștea nu numai aritmetica, ci și progresia geometrică. Iată, de exemplu, o problemă din papirusul Rhind: „Șapte fețe au șapte pisici; Fiecare pisică mănâncă șapte șoareci, fiecare șoarece mănâncă șapte spice de porumb și fiecare spic de orz poate crește șapte măsuri de orz. Cât de mari sunt numerele din această serie și suma lor?
 |
|
Orez. 1. Problema de progresie geometrică a Egiptului antic |
Această sarcină de multe ori variatii diferite s-a repetat printre alte popoare în alte vremuri. De exemplu, în scris în secolul al XIII-lea. „Cartea Abacului” de Leonardo din Pisa (Fibonacci) are o problemă în care 7 bătrâne apar în drum spre Roma (evident pelerini), fiecare având câte 7 catâri, fiecare având câte 7 pungi, fiecare dintre ele. conține 7 pâini, fiecare având 7 cuțite, fiecare având 7 teci. Problema se întreabă câte obiecte sunt.
Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Această formulă poate fi demonstrată, de exemplu, astfel: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Adăugați numărul b 1 q n la S n și obțineți:
|
De aici S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), și obținem formula necesară.
Deja pe una dintre tăblițele de lut ale Babilonului antic, datând din secolul al VI-lea. î.Hr e., conține suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Adevărat, ca și într-o serie de alte cazuri, nu știm cum a fost cunoscut acest fapt babilonienilor. .
Creșterea rapidă a progresiei geometrice într-un număr de culturi, în special în cea indiană, este folosită în mod repetat ca simbol vizual al vastității universului. În celebra legendă despre apariția șahului, domnitorul îi oferă inventatorului său posibilitatea de a alege singur recompensa și el cere numărul de boabe de grâu care vor fi obținute dacă unul este plasat pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea, opt pe al patrulea și etc., de fiecare dată când numărul se dublează. Vladyka a crezut asta despre care vorbim, cel mult, vreo câteva pungi, dar a greșit. Este ușor de observat că pentru toate cele 64 de pătrate ale tablei de șah inventatorul ar trebui să primească (2 64 - 1) granule, care se exprimă ca un număr de 20 de cifre; chiar dacă s-ar semăna întreaga suprafață a Pământului, ar dura cel puțin 8 ani pentru a colecta cantitatea necesară de cereale. Această legendă este uneori interpretată ca indicând posibilitățile practic nelimitate ascunse în jocul de șah.
Este ușor de observat că acest număr are într-adevăr 20 de cifre:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un calcul mai precis dă 1,84∙10 19). Dar mă întreb dacă poți afla cu ce cifră se termină acest număr?
O progresie geometrică poate fi crescătoare dacă numitorul este mai mare de 1, sau descrescătoare dacă este mai mică de unu. ÎN acest din urmă caz numărul q n pentru n suficient de mare poate deveni arbitrar mic. În timp ce progresia geometrică în creștere crește în mod neașteptat de repede, progresia geometrică în scădere scade la fel de repede.
Cu cât n este mai mare, cu atât numărul q n diferă de zero mai slab și cu atât suma n termeni ai progresiei geometrice S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) este mai apropiată de numărul S = b 1 / ( 1 – q). (De exemplu, F. Viet a argumentat astfel). Numărul S se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Cu toate acestea, timp de multe secole întrebarea care este sensul însumării întregii progresii geometrice, cu numărul său infinit de termeni, nu a fost suficient de clară pentru matematicieni.
O progresie geometrică în scădere poate fi observată, de exemplu, în aporia lui Zeno „Jumătate de divizie” și „Achilles și broasca țestoasă”. În primul caz, se arată clar că întreg drumul (presupunând lungimea 1) este suma unui număr infinit de segmente 1/2, 1/4, 1/8 etc. Acesta este, desigur, cazul de la punctul de vedere al ideilor despre o sumă finită progresie geometrică infinită. Și totuși - cum poate fi asta?
|
Orez. 2. Progresie cu un coeficient de 1/2 |
În aporia despre Ahile, situația este puțin mai complicată, pentru că aici numitorul progresiei nu este 1/2, ci un alt număr. Să fie, de exemplu, Ahile să alerge cu viteza v, broasca țestoasă se mișcă cu viteza u, iar distanța inițială dintre ele este l. Ahile va parcurge această distanță în timp l/v, iar în acest timp țestoasa se va deplasa cu o distanță lu/v. Când Ahile trece prin acest segment, distanța dintre el și broasca țestoasă va deveni egală cu l (u /v) 2 etc. Se dovedește că a ajunge din urmă cu țestoasa înseamnă a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu prima. termenul l şi numitorul u /v. Această sumă - segmentul pe care Ahile îl va alerga în cele din urmă la locul de întâlnire cu țestoasa - este egală cu l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Dar, din nou, cum ar trebui interpretat acest rezultat și de ce are vreun sens? pentru o lungă perioadă de timp nu era foarte clar.
|
Orez. 3. Progresie geometrică cu coeficient de 2/3 |
Arhimede a folosit suma unei progresii geometrice pentru a determina aria unui segment de parabolă. Fie acest segment al parabolei să fie delimitat de coarda AB și fie tangenta din punctul D al parabolei paralelă cu AB. Fie C mijlocul lui AB, E mijlocul lui AC, F mijlocul lui CB. Să trasăm drepte paralele cu DC prin punctele A, E, F, B; Fie tangenta trasată în punctul D să intersecteze aceste drepte în punctele K, L, M, N. Să desenăm și segmentele AD și DB. Fie ca dreapta EL să intersecteze dreapta AD în punctul G și parabola în punctul H; linia FM intersectează linia DB în punctul Q și parabola în punctul R. Conform teorie generală secțiuni conice, DC – diametrul parabolei (adică un segment paralel cu axa acesteia); ea și tangenta din punctul D pot servi drept axe de coordonate x și y, în care ecuația parabolei este scrisă ca y 2 = 2px (x este distanța de la D la orice punct cu un diametru dat, y este lungimea lui un segment paralel cu o tangentă dată de la acest punct de diametru până la un punct de pe parabolă în sine).
În virtutea ecuației parabolei, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, iar din moment ce DK = 2DL, atunci KA = 4LH. Deoarece KA = 2LG, LH = HG. Aria segmentului ADB al unei parabole este egală cu aria triunghiului ΔADB și ariile segmentelor AHD și DRB combinate. La rândul său, aria segmentului AHD este egală cu aria triunghiului AHD și a segmentelor rămase AH și HD, cu fiecare dintre ele puteți efectua aceeași operație - împărțită într-un triunghi (Δ) și cele două segmente rămase (), etc.:
Aria triunghiului ΔAHD este egală cu jumătate din aria triunghiului ΔALD (au o bază comună AD, iar înălțimile diferă de 2 ori), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria lui triunghiul ΔAKD și, prin urmare, jumătate din aria triunghiului ΔACD. Astfel, aria triunghiului ΔAHD este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔACD. De asemenea, aria triunghiului ΔDRB este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔDFB. Deci, ariile triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB, luate împreună, sunt egale cu un sfert din aria triunghiului ΔADB. Repetarea acestei operații atunci când este aplicată segmentelor AH, HD, DR și RB va selecta triunghiuri dintre ele, a căror zonă, luate împreună, va fi de 4 ori mai mică decât aria triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB, luate împreună și prin urmare, de 16 ori mai puțin decât aria triunghiului ΔADB. Și așa mai departe:
Astfel, Arhimede a demonstrat că „fiecare segment cuprins între o linie dreaptă și o parabolă constituie patru treimi dintr-un triunghi având aceeași bază și înălțime egală”.
Dacă toată lumea numar natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că este dat succesiune de numere :
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n , . . . .
Deci, secvența de numere este o funcție a argumentului natural.
Număr A 1 numit primul termen al secvenței , număr A 2 — al doilea termen al secvenței , număr A 3 — al treilea și așa mai departe. Număr un n numit al n-lea termen secvente , și un număr natural n — numărul lui .
Din doi membri alăturați un n Și un n +1 membru al secvenței un n +1 numit ulterior (către un n ), A un n — anterior (către un n +1 ).
Pentru a defini o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.
Adesea secvența este specificată folosind formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul acesteia.
De exemplu,
o succesiune de numere impare pozitive poate fi dată prin formula
un n= 2n- 1,
iar succesiunea alternării 1 Și -1 - formulă
b n = (-1)n +1 . ◄
Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).
De exemplu,
Dacă A 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5
A 1 = 1,
A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Dacă a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte termeni ai șirului numeric sunt stabiliți după cum urmează:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,
A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Secvențele pot fi final Și fără sfârşit .
Secvența este numită final , dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit , dacă are infinit de membri.
De exemplu,
succesiune de numere naturale din două cifre:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Succesiunea numerelor prime:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
fără sfârşit. ◄
Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.
Secvența este numită in scadere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.
De exemplu,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — succesiune crescătoare;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — secvență descrescătoare. ◄
O succesiune ale cărei elemente nu scad pe măsură ce numărul crește sau, dimpotrivă, nu cresc, se numește succesiune monotonă .
Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.
Progresie aritmetică
Progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n, . . .
este o progresie aritmetică dacă pentru orice număr natural n este îndeplinită condiția:
un n +1 = un n + d,
Unde d - un anumit număr.
Astfel, diferența dintre termenii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:
a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = un n +1 - un n = d.
Număr d numit diferența de progresie aritmetică.
Pentru a defini o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.
De exemplu,
Dacă A 1 = 3, d = 4 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Pentru o progresie aritmetică cu primul termen A 1 si diferenta d a ei n
un n = a 1 + (n- 1)d.
De exemplu,
găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
un 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = a 1 + (n- 2)d,
un n= a 1 + (n- 1)d,
un n +1 = A 1 + nd,
atunci evident
| un n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Fiecare membru al unei progresii aritmetice, pornind de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor precedenti si urmatori.
numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.
De exemplu,
un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.
Să folosim afirmația de mai sus. Avem:
un n = 2n- 7,
un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Prin urmare,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = un n,
|
| 2
| 2
|
◄
Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin A 1 , dar și orice anterioară un k
un n = un k + (n- k)d.
De exemplu,
Pentru A 5 poate fi notat
un 5 = a 1 + 4d,
un 5 = a 2 + 3d,
un 5 = a 3 + 2d,
un 5 = a 4 + d. ◄
un n = un n-k + kd,
un n = un n+k - kd,
atunci evident
| un n=
| A n-k
+ a n+k
|
| 2
|
orice membru al unei progresii aritmetice, începând cu al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor egal distanțați ai acestei progresii aritmetice.
În plus, pentru orice progresie aritmetică este valabilă următoarea egalitate:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
De exemplu,
în progresie aritmetică
1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;
2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,
primul n termenii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi și numărul de termeni:
De aici, în special, rezultă că dacă trebuie să însumați termenii
un k, un k +1 , . . . , un n,
atunci formula anterioară își păstrează structura:
De exemplu,
în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Dacă este dată o progresie aritmetică, atunci cantitățile A 1 , un n, d, nȘiS n legate prin două formule:
Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. în care:
- Dacă d > 0 , atunci este în creștere;
- Dacă d < 0 , atunci este în scădere;
- Dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.
Progresie geometrică
Progresie geometrică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul înmulțit cu același număr.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n este îndeplinită condiția:
b n +1 = b n · q,
Unde q ≠ 0 - un anumit număr.
Astfel, raportul dintre termenul următor al unei progresii geometrice date și cel precedent este un număr constant:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Număr q numit numitorul progresiei geometrice.
Pentru a defini o progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.
De exemplu,
Dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 și numitorul q a ei n Al treilea termen poate fi găsit folosind formula:
b n = b 1 · qn -1 .
De exemplu,
găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
b n = b 1 · qn -1 ,
b n +1 = b 1 · qn,
atunci evident
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrelor precedente si urmatoare.
Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:
numerele a, b și c sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ei egal cu produsul celelalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.
De exemplu,
Să demonstrăm că șirul dat de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Prin urmare,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
care dovedeşte afirmaţia dorită. ◄
Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice membru anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula
b n = b k · qn - k.
De exemplu,
Pentru b 5 poate fi notat
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · qn - k,
b n = b n - k · q k,
atunci evident
b n 2 = b n - k· b n + k
pătratul oricărui termen al unei progresii geometrice, începând cu al doilea, este egal cu produsul termenilor egal distanțați ai acestei progresii.
În plus, pentru orice progresie geometrică, egalitatea este adevărată:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
De exemplu,
în progresie geometrică
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:
Și atunci când q = 1 - conform formulei
S n= nb 1
Rețineți că, dacă trebuie să însumați termenii
b k, b k +1 , . . . , b n,
atunci se folosește formula:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
De exemplu,
în progresie geometrică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nȘi S n legate prin două formule:
Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietățile monotonității :
- progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
b 1 > 0 Și q> 1;
b 1 < 0 Și 0 < q< 1;
- Progresia este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
b 1 > 0 Și 0 < q< 1;
b 1 < 0 Și q> 1.
Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică este alternativă: termenii săi cu numere impare au același semn ca primul său termen, iar termenii cu numere pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.
Produsul primului n membrii unei progresii geometrice pot fi calculate folosind formula:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
De exemplu,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progresie geometrică în scădere infinită
Progresie geometrică în scădere infinită numită progresie geometrică infinită al cărei modul numitor este mai mic 1 , acesta este
|q| < 1 .
Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Se potrivește ocaziei
1 < q< 0 .
Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternativă. De exemplu,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul de care se apropie fără limită suma primelor n membrii unei progresii cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
De exemplu,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice
Progresiile aritmetice și geometrice sunt strâns legate. Să ne uităm la doar două exemple.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . d , Acea
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
De exemplu,
1, 3, 5, . . . - progresie aritmetica cu diferenta 2 Și
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progresie geometrică cu numitor q , Acea
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progresie aritmetica cu diferenta log aq .
De exemplu,
2, 12, 72, . . . - progresie geometrică cu numitor 6 Și
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progresie aritmetica cu diferenta lg 6 . ◄
Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.
Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov
Progresie geometrică.
Alături de problemele privind progresiile aritmetice, problemele legate de conceptul de progresie geometrică sunt comune și la examenele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile progresiilor geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.
Acest articol este dedicat prezentării proprietăților de bază ale progresiei geometrice. Aici sunt oferite și exemple de rezolvare a problemelor tipice., împrumutat din sarcinile examenelor de admitere la matematică.
Să notăm mai întâi proprietățile de bază ale progresiei geometrice și să ne amintim cel mai mult formule importanteși declarații, asociat cu acest concept.
Definiție. O secvență de numere se numește progresie geometrică dacă fiecare număr, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.
Pentru progresie geometricăformulele sunt valabile
, (1)
Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare termen al progresiei coincide cu media geometrică a termenilor săi învecinați și .
Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia în cauză se numește „geometrică”.
Formulele de mai sus (1) și (2) sunt generalizate după cum urmează:
, (3)
Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplică formula
Dacă notăm , atunci
Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).
În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți termenii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se folosește formula
. (7)
De exemplu , folosind formula (7) putem arăta, Ce
Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).
Teorema. Daca atunci
Dovada. Daca atunci
Teorema a fost demonstrată.
Să trecem la considerarea exemplelor de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.
Exemplul 1. Având în vedere: , și . Găsi .
Soluţie. Dacă aplicăm formula (5), atunci
Răspuns: .
Exemplul 2. Lăsați-l să fie. Găsi .
Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem un sistem de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . De aici rezultă că . Să luăm în considerare două cazuri.
1. Dacă, atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.
2. Dacă , atunci .
Exemplul 3. Să , și . Găsi .
Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .
După condiție. Cu toate acestea, prin urmare. Din moment ce şi atunci aici avem un sistem de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .
Deoarece, ecuația are o rădăcină adecvată unică. În acest caz, rezultă din prima ecuație a sistemului.
Ținând cont de formula (7), obținem.
Răspuns: .
Exemplul 4. Având în vedere: și . Găsi .
Soluţie. De atunci.
De când , atunci sau
Conform formulei (2) avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .
Totuși, prin condiție, așadar.
Exemplul 5. Se știe că . Găsi .
Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități
De când , atunci sau . Pentru că atunci .
Răspuns: .
Exemplul 6. Având în vedere: și . Găsi .
Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem
De atunci. De când , și , atunci .
Exemplul 7. Lăsați-l să fie. Găsi .
Soluţie. După formula (1) putem scrie
Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .
Răspuns: .
Exemplul 8. Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă
Și .
Soluţie. Din formula (7) rezultăȘi . De aici și din condițiile problemei obținem un sistem de ecuații
Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim
Sau .
Răspuns: .
Exemplul 9. Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.
Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .
De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntȘi .
Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .
În primul caz avemși , iar în al doilea – și .
Răspuns: , .
Exemplul 10.Rezolvați ecuația
, (11)
unde si .
Soluţie. Partea stanga ecuația (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , sub rezerva: și .
Din formula (7) rezultă, Ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . Rădăcină potrivită ecuație pătratică este
Răspuns: .
Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, A – progresie geometrică, ce legatura are cu . Găsi .
Soluţie. Deoarece succesiune aritmetică, Acea (proprietatea principală a progresiei aritmetice). Deoarece, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică are forma. Conform formulei (2), apoi scriem asta .
De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din Eq.primim singura decizie problema luată în considerare, adică .
Răspuns: .
Exemplul 12. Calculați Suma
. (12)
Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți
Dacă scădem (12) din expresia rezultată, Acea
sau .
Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci.
Răspuns: .
Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile candidaților atunci când se pregătesc pentru examenele de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, legate de progresia geometrică, poate fi folosit mijloace didactice din lista literaturii recomandate.
1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Mir și Educația, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru elevii de liceu: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Curs complet matematica elementara in probleme si exercitii. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Primul nivel
Progresie geometrică. Ghid cuprinzător cu exemple (2019)
Secvență de numere
Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Poți scrie orice numere și pot fi atâtea câte vrei (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:
Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.
De exemplu, pentru secvența noastră:
Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu numărul este numit al n-lea membru al secvenței.
De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .
În cazul nostru:
Cele mai comune tipuri de progresie sunt aritmetice și geometrice. În acest subiect vom vorbi despre al doilea tip - progresie geometrică.
De ce este necesară progresia geometrică și istoria ei?
Chiar și în cele mai vechi timpuri, călugărul matematician italian Leonardo de Pisa (mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci) s-a ocupat de nevoile practice ale comerțului. Călugărul s-a confruntat cu sarcina de a determina care este cel mai mic număr de greutăți care poate fi folosit pentru a cântări un produs? În lucrările sale, Fibonacci demonstrează că un astfel de sistem de greutăți este optim: Aceasta este una dintre primele situații în care oamenii au avut de-a face cu o progresie geometrică, despre care probabil ați auzit deja și despre care aveți cel puțin concept general. Odată ce ați înțeles pe deplin subiectul, gândiți-vă de ce un astfel de sistem este optim?
În prezent, în practica de viață, progresia geometrică se manifestă la investirea banilor într-o bancă, când se acumulează suma dobânzii la suma acumulată în cont pentru perioada anterioară. Cu alte cuvinte, dacă puneți bani într-un depozit la termen în bancă de economii, apoi dupa un an contributia se va majora cu fata de suma initiala, i.e. noua sumă va fi egală cu contribuția înmulțită cu. Într-un alt an, această sumă va crește cu, i.e. suma obţinută în acel moment va fi din nou înmulţită cu şi aşa mai departe. O situație similară este descrisă în problemele de calculare a așa-numitului interes compus- procentul se ia de fiecare data din suma care se afla in cont, tinand cont de dobanda anterioara. Despre aceste sarcini vom vorbi puțin mai târziu.
Există multe mai multe cazuri simple în care se aplică progresia geometrică. De exemplu, răspândirea gripei: o persoană a infectat o altă persoană, ea, la rândul său, a infectat o altă persoană și, astfel, al doilea val de infecție este o persoană, iar ei, la rândul lor, au infectat-o pe alta... și așa mai departe.. .
Apropo, o piramidă financiară, același MMM, este un calcul simplu și uscat bazat pe proprietățile unei progresii geometrice. Interesant? Să ne dăm seama.
Progresie geometrică.
Să presupunem că avem o secvență de numere:
Veți răspunde imediat că acest lucru este ușor și numele unei astfel de secvențe este o progresie aritmetică cu diferența de termeni. Ce zici de asta:
Dacă îl scădeți pe cel anterior din următorul număr, veți vedea că de fiecare dată când obțineți o nouă diferență (și așa mai departe), dar succesiunea există cu siguranță și este ușor de observat - fiecare număr ulterior este de ori mai mare decât cel anterior!
Acest tip de secvență de numere este numit progresie geometrică si este desemnat.
Progresia geometrică () este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.
Restricțiile conform cărora primul termen ( ) nu este egal și nu sunt aleatorii. Să presupunem că nu există, iar primul termen este încă egal, iar q este egal cu, hmm.. lasă-l să fie, atunci rezultă:
De acord că aceasta nu mai este o progresie.
După cum înțelegeți, vom obține aceleași rezultate dacă există alt număr decât zero, a. În aceste cazuri, pur și simplu nu va exista progresie, deoarece întreaga serie de numere va fi fie toate zerouri, fie un număr, iar restul vor fi zerouri.
Acum să vorbim mai detaliat despre numitorul progresiei geometrice, adică o.
Să repetăm: - acesta este numărul de câte ori se schimbă fiecare termen ulterior? progresie geometrică.
Ce crezi că ar putea fi? Așa este, pozitiv și negativ, dar nu zero (am vorbit despre asta puțin mai sus).
Să presupunem că a noastră este pozitivă. Să fie în cazul nostru, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și? Puteți răspunde cu ușurință:
Asta e corect. În consecință, dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive.
Dacă este negativ? De exemplu, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și?
Aceasta este o cu totul altă poveste
Încercați să numărați termenii acestei progresii. Cât ai primit? Eu am. Astfel, dacă, atunci alternează semnele termenilor progresiei geometrice. Adică, dacă vedeți o progresie cu semne alternative pentru membrii săi, atunci numitorul său este negativ. Aceste cunoștințe vă pot ajuta să vă testați atunci când rezolvați probleme pe această temă.
Acum să exersăm puțin: încercați să determinați ce secvențe de numere sunt o progresie geometrică și care sunt o progresie aritmetică:
Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
- Progresie geometrică - 3, 6.
- Progresie aritmetică - 2, 4.
- Nu este nici o progresie aritmetică, nici geometrică - 1, 5, 7.
Să revenim la ultima noastră progresie și să încercăm să-i găsim membrul, la fel ca în aritmetică. După cum probabil ați ghicit, există două moduri de a o găsi.
Înmulțim succesiv fiecare termen cu.
Deci, al treilea termen al progresiei geometrice descrise este egal cu.
După cum ați ghicit deja, acum voi înșivă veți obține o formulă care vă va ajuta să găsiți orice membru al progresiei geometrice. Sau l-ai dezvoltat deja pentru tine, descriind cum să găsești al treilea membru pas cu pas? Dacă da, atunci verificați corectitudinea raționamentului dvs.
Să ilustrăm acest lucru cu exemplul de găsire a celui de-al treilea termen al acestei progresii:
Cu alte cuvinte:
Găsiți singur valoarea termenului progresiei geometrice date.
S-a întâmplat? Să comparăm răspunsurile noastre:
Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am înmulțit secvențial cu fiecare termen anterior al progresiei geometrice.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o punem în formă generală și să obținem:
Formula derivată este valabilă pentru toate valorile - atât pozitive, cât și negative. Verificați singuri acest lucru calculând termenii progresiei geometrice cu următoarele condiții: , a.
ai numarat? Să comparăm rezultatele:
De acord că ar fi posibil să găsiți un termen de progresie în același mod ca un termen, totuși, există posibilitatea de a calcula incorect. Și dacă am găsit deja al treilea termen al progresiei geometrice, atunci ce ar putea fi mai simplu decât să folosim partea „trunchiată” a formulei.
Progresie geometrică în scădere infinită.
Recent am vorbit despre faptul că ar putea fi atât mai multe, cât și mai putin de zero Cu toate acestea, există valori speciale pentru care se numește progresia geometrică în scădere infinit.
De ce crezi că este dat acest nume?
Mai întâi, să scriem o progresie geometrică constând din termeni.
Să spunem, atunci:
Vedem că fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior cu un factor, dar va exista vreun număr? Veți răspunde imediat - „nu”. De aceea este în scădere infinit - scade și scade, dar nu devine niciodată zero.
Pentru a înțelege clar cum arată acest lucru vizual, să încercăm să desenăm un grafic al progresiei noastre. Deci, pentru cazul nostru, formula ia următoarea formă:
Pe grafice suntem obișnuiți să trasăm dependența de, prin urmare:
Esența expresiei nu s-a schimbat: în prima intrare am arătat dependența valorii unui membru al unei progresii geometrice de numărul său ordinal, iar în a doua intrare am luat pur și simplu valoarea unui membru al unei progresii geometrice ca , și a desemnat numărul ordinal nu ca, ci ca. Tot ce rămâne de făcut este să construim un grafic.
Să vedem ce ai. Iată graficul cu care am venit:
Vezi? Funcția scade, tinde spre zero, dar nu o traversează niciodată, deci este în scădere infinit. Să ne marchem punctele pe grafic și, în același timp, ce înseamnă și coordonatele:
Încercați să descrieți schematic un grafic al unei progresii geometrice dacă primul său termen este, de asemenea, egal. Analizați care este diferența cu graficul nostru anterior?
Ai reușit? Iată graficul cu care am venit:
Acum că ați înțeles pe deplin elementele de bază ale subiectului progresiei geometrice: știți ce este, știți cum să-i găsiți termenul și, de asemenea, știți ce este o progresie geometrică infinit descrescătoare, să trecem la proprietatea sa principală.
Proprietatea progresiei geometrice.
Vă amintiți proprietatea termenilor unei progresii aritmetice? Da, da, cum să găsiți valoarea unui anumit număr al unei progresii atunci când există valori anterioare și ulterioare ale termenilor acestei progresii. Vă amintiți? Acest:
Acum ne confruntăm cu exact aceeași întrebare pentru termenii progresiei geometrice. Pentru a obține o astfel de formulă, să începem să desenăm și să raționăm. O să vezi, este foarte ușor, iar dacă uiți, îl poți scoate singur.
Să luăm o altă progresie geometrică simplă, în care știm și. Cum să găsești? Cu progresia aritmetică este ușor și simplu, dar ce zici de aici? De fapt, nici în geometrie nu este nimic complicat - trebuie doar să notezi fiecare valoare dată nouă conform formulei.
Vă puteți întreba, ce ar trebui să facem acum? Da, foarte simplu. Mai întâi, să descriem aceste formule într-o imagine și să încercăm să facem diverse manipulări cu ele pentru a ajunge la valoare.
Să facem abstracție de la numerele care ne sunt date, să ne concentrăm doar pe exprimarea lor prin formulă. Trebuie să găsim valoarea evidențiată portocale, cunoscând membrii adiacente acestuia. Să încercăm să producem cu ei diverse actiuni, în urma căruia putem obține.
Plus.
Să încercăm să adăugăm două expresii și obținem:
Din această expresie, după cum puteți vedea, nu o putem exprima în niciun fel, prin urmare, vom încerca o altă opțiune - scăderea.
Scădere.
După cum puteți vedea, nici nu putem exprima acest lucru, prin urmare, să încercăm să înmulțim aceste expresii unele cu altele.
Multiplicare.
Acum priviți cu atenție ceea ce avem prin înmulțirea termenilor progresiei geometrice date nouă în comparație cu ceea ce trebuie găsit:
Ghici despre ce vorbesc? Așa e, pentru a descoperi că trebuie să luăm Rădăcină pătrată din numerele de progresie geometrică adiacente celei dorite înmulțite între ele:
Poftim. Tu însuți ai derivat proprietatea progresiei geometrice. Încercați să scrieți această formulă în vedere generala. S-a întâmplat?
Ați uitat starea? Gândiți-vă de ce este important, de exemplu, încercați să îl calculați singur. Ce se va întâmpla în acest caz? Așa e, prostie completă pentru că formula arată așa:
Prin urmare, nu uitați de această limitare.
Acum să calculăm cu ce este egal
Răspuns corect - ! Dacă nu ați uitat a doua valoare posibilă în timpul calculului, atunci ești grozav și poți trece imediat la antrenament, iar dacă ai uitat, citește ce se discută mai jos și fii atent la motivul pentru care este necesar să notezi ambele rădăcini în răspuns.
Să desenăm ambele progresii geometrice - una cu o valoare și cealaltă cu o valoare și să verificăm dacă ambele au dreptul de a exista:
Pentru a verifica dacă o astfel de progresie geometrică există sau nu, este necesar să vedem dacă toți termenii ei dați sunt la fel? Calculați q pentru primul și al doilea caz.
Vezi de ce trebuie să scriem două răspunsuri? Pentru că semnul termenului pe care îl cauți depinde dacă este pozitiv sau negativ! Și din moment ce nu știm ce este, trebuie să scriem ambele răspunsuri cu un plus și un minus.
Acum că ați stăpânit punctele principale și ați derivat formula proprietății progresiei geometrice, găsiți, cunoașteți și
Comparați răspunsurile dvs. cu cele corecte:
Ce credeți, dacă ni s-ar da nu valorile termenilor progresiei geometrice adiacente numărului dorit, ci echidistante de acesta. De exemplu, trebuie să găsim, și dat și. Putem folosi formula pe care am derivat-o în acest caz? Încercați să confirmați sau să infirmați această posibilitate în același mod, descriind în ce constă fiecare valoare, așa cum ați făcut atunci când ați derivat inițial formula, la.
Ce ai primit?
Acum uită-te din nou cu atenție.
si corespunzator:
De aici putem concluziona că formula funcționează nu numai cu vecinii cu termenii doriti ai progresiei geometrice, dar si cu echidistant din ceea ce caută membrii.
Astfel, formula noastră inițială ia forma:
Adică dacă în primul caz am spus asta, acum spunem că poate fi egal cu orice număr natural care este mai mic. Principalul lucru este că este același pentru ambele numere date.
Exersează mai departe exemple concrete, doar fii extrem de atent!
- , . Găsi.
- , . Găsi.
- , . Găsi.
Hotărât? Sper că ați fost extrem de atenți și ați observat o mică captură.
Să comparăm rezultatele.
În primele două cazuri, aplicăm cu calm formula de mai sus și obținem următoarele valori:
În al treilea caz, când examinăm cu atenție numerele de serie ale numerelor care ni s-au dat, înțelegem că acestea nu sunt echidistante față de numărul pe care îl căutăm: este numărul anterior, dar este eliminat la o poziție, deci este nu se poate aplica formula.
Cum să o rezolv? De fapt, nu este atât de dificil pe cât pare! Să scriem în ce constă fiecare număr dat și numărul pe care îl căutăm.
Deci avem și. Să vedem ce putem face cu ei? Sugerez împărțirea la. Primim:
Înlocuim datele noastre în formula:
Următorul pas îl putem găsi - pentru asta trebuie să-l facem rădăcină cub din numărul rezultat.
Acum să ne uităm din nou la ce avem. Îl avem, dar trebuie să îl găsim și, la rândul său, este egal cu:
Am găsit toate datele necesare pentru calcul. Înlocuiți în formula:
Raspunsul nostru: .
Încercați să rezolvați singur o altă problemă similară:
Dat: ,
Găsi:
Cât ai primit? Eu am - .
După cum puteți vedea, în esență aveți nevoie amintiți-vă doar o formulă- . Puteți retrage tot restul fără nicio dificultate în orice moment. Pentru a face acest lucru, scrieți pur și simplu cea mai simplă progresie geometrică pe o bucată de hârtie și notați cu ce este egal fiecare dintre numerele sale, conform formulei descrise mai sus.
Suma termenilor unei progresii geometrice.
Acum să ne uităm la formule care ne permit să calculăm rapid suma termenilor unei progresii geometrice într-un interval dat:
Pentru a obține formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite, înmulțiți toate părțile ecuației de mai sus cu. Primim:
Privește cu atenție: ce au în comun ultimele două formule? Așa este, membri comuni, de exemplu, și așa mai departe, cu excepția primului și ultimului membru. Să încercăm să scădem prima ecuație din a doua ecuație. Ce ai primit?
Acum exprimați termenul progresiei geometrice prin formulă și înlocuiți expresia rezultată în ultima noastră formulă:
Grupați expresia. Ar trebui să iei:
Tot ce rămâne de făcut este să exprim:
În consecință, în acest caz.
Și dacă? Ce formulă funcționează atunci? Imaginați-vă o progresie geometrică la. Cum este ea? O serie de numere identice este corectă, deci formula va arăta astfel:
Există multe legende despre progresia aritmetică și geometrică. Una dintre ele este legenda lui Set, creatorul șahului.
Mulți oameni știu că jocul de șah a fost inventat în India. Când regele hindus a întâlnit-o, a fost încântat de inteligența ei și de varietatea de poziții posibile în ea. Aflând că a fost inventat de unul dintre supușii săi, regele a decis să-l recompenseze personal. L-a chemat pe inventator la sine și i-a ordonat să-i ceară tot ce își dorește, promițându-i că-și va îndeplini și cea mai pricepută dorință.
Seta a cerut timp să se gândească, iar când a doua zi Seta a apărut în fața regelui, l-a surprins pe rege cu modestia fără precedent a cererii sale. A cerut să dea un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, un bob de grâu pentru al doilea, un bob de grâu pentru al treilea, un al patrulea etc.
Regele s-a supărat și l-a alungat pe Set, spunând că cererea slujitorului nu merită generozitatea regelui, dar a promis că slujitorul își va primi boabele pentru toate pătratele tablei.
Și acum întrebarea: folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice, calculați câte boabe ar trebui să primească Seth?
Să începem să raționăm. Întrucât, conform condiției, Seth a cerut un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, pentru al doilea, pentru al treilea, pentru al patrulea etc., atunci vedem că problema este despre o progresie geometrică. Cu ce este egal în acest caz?
Dreapta.
Total pătrate ale tablei de șah. Respectiv, . Avem toate datele, tot ce rămâne este să le introducem în formulă și să calculăm.
Pentru a ne imagina cel puțin aproximativ „scara” unui număr dat, transformăm folosind proprietățile gradului:
Desigur, dacă doriți, puteți lua un calculator și calcula cu ce număr ajungeți, iar dacă nu, va trebui să mă credeți pe cuvânt: valoarea finală a expresiei va fi.
Acesta este:
quintilioane cvadrilioane trilioane miliarde de milioane de mii.
Uf) Dacă doriți să vă imaginați enormitatea acestui număr, atunci estimați cât de mare ar fi necesar un hambar pentru a găzdui întreaga cantitate de cereale.
Dacă hambarul are m înălțime și m lățime, lungimea lui ar trebui să se extindă pe km, adică. de două ori mai departe decât de la Pământ la Soare.
Dacă regele ar fi fost puternic la matematică, ar fi putut să-l invite pe omul de știință însuși să numere boabele, pentru că pentru a număra un milion de boabe, ar fi nevoie de cel puțin o zi de numărare neobosită și, având în vedere că este necesar să numere chintilioane, boabele. ar trebui să fie numărat de-a lungul vieții.
Acum să rezolvăm o problemă simplă care implică suma termenilor unei progresii geometrice.
Un elev din clasa 5A Vasya s-a îmbolnăvit de gripă, dar continuă să meargă la școală. În fiecare zi, Vasya infectează două persoane, care, la rândul lor, infectează încă două persoane și așa mai departe. În clasă sunt doar oameni. În câte zile toată clasa se va îmbolnăvi de gripă?
Deci, primul termen al progresiei geometrice este Vasya, adică o persoană. Al treilea termen al progresiei geometrice sunt cele două persoane pe care le-a infectat în prima zi a sosirii. valoare totală membrii progresiei este egal cu numărul de elevi din 5A. În consecință, vorbim despre o progresie în care:
Să substituim datele noastre în formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice:
Întreaga clasă se va îmbolnăvi în câteva zile. Nu crezi formule și numere? Încercați să prezentați singur „infecția” studenților. S-a întâmplat? Uite cum mi se pare:
Calculați singur câte zile ar fi nevoie pentru ca elevii să se îmbolnăvească de gripă dacă fiecare ar infecta o persoană și ar exista o singură persoană în clasă.
Ce valoare ai primit? S-a dovedit că toată lumea a început să se îmbolnăvească după o zi.
După cum puteți vedea, o astfel de sarcină și desenul pentru ea seamănă cu o piramidă, în care fiecare ulterior „aduce” oameni noi. Totuși, mai devreme sau mai târziu vine un moment în care acesta din urmă nu poate atrage pe nimeni. În cazul nostru, dacă ne imaginăm că clasa este izolată, persoana din închide lanțul (). Astfel, dacă o persoană ar fi implicată într-o piramidă financiară în care s-au dat bani dacă ați aduce alți doi participanți, atunci persoana respectivă (sau în general) nu ar aduce pe nimeni, în consecință, ar pierde tot ceea ce a investit în această înșelătorie financiară.
Tot ceea ce s-a spus mai sus se referă la o progresie geometrică în scădere sau în creștere, dar, după cum vă amintiți, avem un tip special - o progresie geometrică în scădere infinit. Cum se calculează suma membrilor săi? Și de ce acest tip de progresie are anumite caracteristici? Să ne dăm seama împreună.
Deci, mai întâi, să ne uităm din nou la acest desen al unei progresii geometrice în scădere infinită din exemplul nostru:
Acum să ne uităm la formula pentru suma unei progresii geometrice, derivată puțin mai devreme:
sau
Pentru ce ne străduim? Așa e, graficul arată că tinde spre zero. Adică at, va fi aproape egal, respectiv, atunci când calculăm expresia vom obține aproape. În acest sens, credem că atunci când se calculează suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, această paranteză poate fi neglijată, deoarece va fi egală.
- formula este suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma infinit numarul de membri.
Dacă este specificat un anumit număr n, atunci folosim formula pentru suma n termeni, chiar dacă sau.
Acum haideți să exersăm.
- Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice cu și.
- Aflați suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu și.
Sper că ai fost extrem de atent. Să comparăm răspunsurile noastre:
Acum știți totul despre progresia geometrică și este timpul să treceți de la teorie la practică. Cele mai frecvente probleme de progresie geometrică întâlnite la examen sunt problemele de calcul al dobânzii compuse. Acestea sunt cele despre care vom vorbi.
Probleme la calcularea dobânzii compuse.
Probabil ați auzit de așa-numita formulă a dobânzii compuse. Înțelegi ce înseamnă? Dacă nu, să ne dăm seama, pentru că odată ce înțelegi procesul în sine, vei înțelege imediat ce legătură are progresia geometrică cu el.
Mergem cu toții la bancă și știm că există conditii diferite la depozite: acesta este termenul și serviciul suplimentar și dobânda cu două căi diferite calculele sale - simple și complexe.
CU interes simplu totul este mai mult sau mai puțin clar: dobânda se acumulează o singură dată la sfârșitul termenului de depozit. Adică, dacă spunem că depunem 100 de ruble pentru un an, atunci acestea vor fi creditate abia la sfârșitul anului. În consecință, până la sfârșitul depozitului vom primi ruble.
Interes compus- aceasta este o opțiune în care apare capitalizarea dobânzii, adică adăugarea acestora la suma depozitului și calculul ulterior al veniturilor nu din suma inițială, ci din suma depozitului acumulat. Capitalizarea nu are loc constant, ci cu o oarecare frecvență. De regulă, astfel de perioade sunt egale și cel mai adesea băncile folosesc o lună, un trimestru sau un an.
Să presupunem că depunem aceleași ruble anual, dar cu capitalizarea lunară a depozitului. Ce facem?
Înțelegi totul aici? Dacă nu, hai să ne dăm seama pas cu pas.
Am adus ruble la bancă. Până la sfârșitul lunii, ar trebui să avem o sumă în cont constând din rublele noastre plus dobânda pentru ele, adică:
De acord?
O putem scoate din paranteze și apoi obținem:
De acord, această formulă este deja mai asemănătoare cu ceea ce am scris la început. Mai rămâne doar să ne dai seama de procente
În enunțul problemei ni se spune despre ratele anuale. După cum știți, nu înmulțim cu - convertim procentele în zecimale, acesta este:
Dreapta? Acum vă puteți întreba, de unde a venit numărul? Foarte simplu!
Repet: enunțul problemei spune despre ANUAL dobânda care se acumulează LUNAR. După cum știți, într-un an de luni, în consecință, banca ne va percepe o parte din dobânda anuală pe lună:
Ti-ai dat seama? Acum încercați să scrieți cum ar arăta această parte a formulei dacă aș spune că dobânda se calculează zilnic.
Ai reușit? Să comparăm rezultatele:
Bine făcut! Să revenim la sarcina noastră: scrieți cât va fi creditat în contul nostru în a doua lună, ținând cont că se acumulează dobândă la suma acumulată a depozitului.
Iată ce am primit:
Sau, cu alte cuvinte:
Cred că ați observat deja un model și ați văzut o progresie geometrică în toate acestea. Scrieți cu ce va fi membrul acestuia sau, cu alte cuvinte, ce sumă de bani vom primi la sfârșitul lunii.
Făcut? Sa verificam!
După cum puteți vedea, dacă puneți bani în bancă timp de un an la o dobândă simplă, veți primi ruble, iar dacă la o dobândă compusă, veți primi ruble. Beneficiul este mic, dar acest lucru se întâmplă doar în timpul celui de-al treilea an, dar pentru o perioadă mai lungă capitalizarea este mult mai profitabilă:
Să ne uităm la un alt tip de problemă care implică dobânda compusă. După ce ți-ai dat seama, va fi elementar pentru tine. Deci, sarcina:
Compania Zvezda a început să investească în industrie în 2000, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2001, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Cât profit va primi compania Zvezda la sfârșitul anului 2003 dacă profiturile nu ar fi retrase din circulație?
Capitalul companiei Zvezda în 2000.
- capitalul companiei Zvezda în 2001.
- capitalul companiei Zvezda în 2002.
- capitalul companiei Zvezda în 2003.
Sau putem scrie pe scurt:
Pentru cazul nostru:
2000, 2001, 2002 și 2003.
Respectiv:
ruble
Vă rugăm să rețineți că în această problemă nu avem o împărțire nici după, nici după, deoarece procentul este dat ANUAL și se calculează ANUAL. Adică, atunci când citiți o problemă privind dobânda compusă, acordați atenție la ce procent este dat și în ce perioadă este calculat și abia apoi treceți la calcule.
Acum știi totul despre progresia geometrică.
Instruire.
- Aflați termenul progresiei geometrice dacă se știe că și
- Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice dacă se știe că și
- Compania MDM Capital a început să investească în industrie în 2003, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2004, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Compania MSK Flux de fonduri„a început să investească în industrie în 2005 în valoare de 10.000 de dolari, începând să facă profit în 2006 în valoare de. Cu câți dolari este capitalul unei companii mai mare decât al celeilalte la sfârșitul anului 2007, dacă profiturile nu au fost retrase din circulație?
Raspunsuri:
- Deoarece enunțul problemei nu spune că progresia este infinită și este necesar să se găsească suma unui anumit număr al termenilor săi, calculul se efectuează conform formulei:
Compania MDM Capital:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- crește cu 100%, adică de 2 ori.
Respectiv:
ruble
Compania MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007.
- crește cu, adică cu ori.
Respectiv:
ruble
ruble
Să rezumam.
1) Progresia geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.
2) Ecuația termenilor progresiei geometrice este .
3) poate lua orice valoare cu excepția și.
- dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive;
- dacă, atunci toți termenii ulterioare ai progresiei semne alternative;
- când - progresia se numește infinit descrescătoare.
4) , at - proprietatea progresiei geometrice (termeni adiacenți)
sau
, la (termeni echidistanti)
Când îl găsiți, nu uitați asta ar trebui să existe două răspunsuri.
De exemplu,
5) Suma termenilor progresiei geometrice se calculează prin formula:
sau
Dacă progresia este în scădere infinită, atunci:
sau
IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma unui număr infinit de termeni.
6) Problemele care implică dobânda compusă se calculează și folosind formula pentru al treilea termen al unei progresii geometrice, cu condiția ca bani gheata nu au fost retrase din circulatie:
PROGRESIA GEOMETRICA. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Progresie geometrică( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr este numit numitorul unei progresii geometrice.
Numitorul progresiei geometrice poate lua orice valoare cu excepția și.
- Dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - sunt pozitivi;
- dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei se alternează semne;
- când - progresia se numește infinit descrescătoare.
Ecuația termenilor de progresie geometrică - .
Suma termenilor unei progresii geometrice calculat prin formula:
sau
