Tabela natančnih vrednosti trigonometričnih funkcij. Trigonometrične funkcije
Referenčni podatki za tangens (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijske definicije, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangensov in kotangensov, odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.
Geometrijska definicija
|BD| - dolžina krožnega loka s središčem v točki A.
α je kot, izražen v radianih.
Tangenta ( tgα) je trigonometrična funkcija, ki je odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, enako razmerju dolžina nasprotna noga|BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .
Kotangens ( ctgα) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| .
Tangenta
Kje n- cela.
V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
;
;
.
Graf funkcije tangente, y = tg x
Kotangens
Kje n- cela.
V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:
.
Sprejet je bil tudi naslednji zapis:
;
;
.
Graf funkcije kotangens, y = ctg x
Lastnosti tangensa in kotangensa
Periodičnost
Funkcije y= tg x in y= ctg x so periodični s periodo π.
Pariteta
Funkciji tangens in kotangens sta lihi.
Domena definicij in vrednosti, naraščajoče, padajoče
Funkciji tangens in kotangens sta na svoji definicijski domeni zvezni (glej dokaz zveznosti). Glavne lastnosti tangensa in kotangensa so predstavljene v tabeli ( n- celo število).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Obseg in kontinuiteta | ||
| Razpon vrednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Naraščajoče | - | |
| Sestopanje | - | |
| Ekstremi | - | - |
| Ničle, y= 0 | ||
| Presečišča z osjo y, x = 0 | y= 0 | - |
Formule
Izrazi s sinusom in kosinusom
;
;
;
;
;
Formule za tangens in kotangens vsote in razlike
Preostale formule je na primer enostavno dobiti
Produkt tangent
Formula za vsoto in razliko tangent
Ta tabela prikazuje vrednosti tangentov in kotangensov za nekatere vrednosti argumenta. 
Izrazi v kompleksnih številih
Izrazi v terminih hiperboličnih funkcij
;
;
Odvod
; .
.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>
Integrali
Razširitve v serije
Če želite dobiti razteg tangente po potencah x, morate vzeti več členov raztezanja v potenco za funkcije greh x in cos x in te polinome razdeli drug na drugega , . Posledica tega so naslednje formule.
Ob .
ob .
Kje B n- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
;
;
Kje .
Ali po Laplaceovi formuli: 
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije na tangento in kotangens sta arktangens oziroma arkotangens.
Arktangens, arctg
, Kje n- cela.
Arkus tangenta, arcctg
, Kje n- cela.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik iz matematike za inženirje in študente visokošolskih ustanov, Lan, 2009.
G. Korn, Priročnik za matematiko za znanstvena dela nikov in inženirji, 2012.
Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () so neločljivo povezani s pojmom kota. Da bi jih na prvi pogled dobro razumeli, zapleteni pojmi(ki pri mnogih šolarjih povzročijo stanje groze), in se prepričajte, da "hudič ni tako strašen, kot je naslikan", začnimo od samega začetka in razumemo koncept kota.
Pojem kota: radian, stopinja
Poglejmo sliko. Vektor se je "obrnil" glede na točko za določeno količino. Torej bo mera tega vrtenja glede na začetni položaj kotiček.
Kaj še morate vedeti o pojmu kot? No, kotne enote, seveda!
Kot v geometriji in trigonometriji se lahko meri v stopinjah in radianih.
Imenuje se kot (ena stopinja). osrednji kot v krogu, ki temelji na krožnem loku, ki je enak delu kroga. Tako je celoten krog sestavljen iz "koščkov" krožnih lokov oziroma je kot, ki ga opisuje krog, enak.
To pomeni, da zgornja slika prikazuje kot, ki je enak, to pomeni, da ta kot temelji na krožnem loku velikosti obsega.
Kot v radianih se imenuje središčni kot v krogu, ki temelji na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga. No, si razumel? Če ne, potem poglejmo sliko.
Torej, slika prikazuje kot, ki je enak radianu, to pomeni, da ta kot temelji na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga (dolžina je enaka dolžini ali polmer je enak dolžina loka). Tako se dolžina loka izračuna po formuli:
Kje je središčni kot v radianih.
No, če to veste, ali lahko odgovorite, koliko radianov vsebuje kot, ki ga opisuje krog? Da, za to se morate spomniti formule za obseg kroga. Tukaj je:
No, zdaj pa povežimo ti dve formuli in ugotovimo, da je kot, ki ga opisuje krog, enak. To pomeni, da koreliramo vrednost v stopinjah in radianih, dobimo to. Oziroma,. Kot lahko vidite, je za razliko od "stopinj" beseda "radian" izpuščena, saj je merska enota običajno razvidna iz konteksta.
Koliko radianov je? Tako je!
Razumem? Nato pritrdite naprej:
Kakšne težave? Potem poglej odgovori:
Pravokotni trikotnik: sinus, kosinus, tangens, kotangens kota
Torej, s konceptom kota smo ugotovili. Toda kaj je sinus, kosinus, tangens, kotangens kota? Ugotovimo. Pri tem nam bo pomagal pravokotni trikotnik.
Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in noge: hipotenuza je stran, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica); noge sta dve preostali strani in (tisti, ki mejijo na pravi kot), poleg tega, če upoštevamo krake glede na kot, potem je krak sosednji krak, krak pa nasprotni. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens kota?
Sinus kota je razmerje med nasprotnim (daljnjim) krakom in hipotenuzo.
v našem trikotniku.
Kosinus kota- to je razmerje med sosednjo (tesno) nogo in hipotenuzo.
v našem trikotniku.
Kotna tangenta- to je razmerje med nasprotno (daleč) nogo in sosednjo (bližnjo).
v našem trikotniku.
Kotangens kota- to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).
v našem trikotniku.
Te definicije so potrebne zapomni si! Da bi si lažje zapomnili, katero nogo razdeliti na kaj, morate jasno razumeti, da v tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinusov in kosinus. In potem lahko dobite verigo asociacij. Na primer ta:
kosinus→dotik→dotik→sosednji;
Kotangens→dotik→dotik→sosednji.
Najprej si je treba zapomniti, da sinus, kosinus, tangens in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh strani (pod enim kotom). Ne verjemi? Nato se prepričajte z ogledom slike:
Upoštevajte na primer kosinus kota. Po definiciji iz trikotnika: , lahko pa izračunamo kosinus kota iz trikotnika: . Vidite, dolžine strani so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.
Če razumete definicije, jih popravite!
Za trikotnik, prikazan na spodnji sliki, najdemo.
No, si razumel? Potem poskusite sami: izračunajte enako za vogal.
Enotni (trigonometrični) krog
Ob razumevanju pojmov stopinj in radianov smo obravnavali krog s polmerom, ki je enak. Tak krog se imenuje samski. Zelo uporaben je pri študiju trigonometrije. Zato se na njem osredotočimo nekoliko podrobneje.
Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga enako ena, medtem ko je središče kroga v izhodišču, je začetni položaj vektorja radija fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi (v našem primeru je to polmer).
Vsaka točka kroga ustreza dvema številoma: koordinati vzdolž osi in koordinati vzdolž osi. Kakšne so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Če želite to narediti, se spomnite obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku. Pravokotna je, ker je pravokotna na os.
Čemu je enako iz trikotnika? Tako je. Poleg tega vemo, da je to polmer enotskega kroga, zato je . Nadomestite to vrednost v našo kosinusno formulo. Takole se zgodi:
In kaj je enako iz trikotnika? No, seveda! Nadomestite vrednost polmera v to formulo in dobite:
Torej, mi lahko poveste, kakšne so koordinate točke, ki pripada krogu? No, nikakor? In če se tega zavedaš in so samo številke? Kateri koordinati ustreza? No, seveda, koordinata! Kateri koordinati ustreza? Tako je, uskladite! Torej bistvo.
In kaj sta potem enaka in? Tako je, uporabimo ustrezne definicije tangensa in kotangensa in dobimo to, a.
Kaj pa, če je kot večji? Tukaj, na primer, kot na tej sliki:
Kaj se je spremenilo v ta primer? Ugotovimo. Za to se ponovno obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku: kotu (kot sosednjem kotu). Kakšna je vrednost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometrične funkcije:
No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati; vrednost kosinusa kota - koordinata; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako so te relacije uporabne za vse rotacije vektorja radija.
Omenili smo že, da je začetni položaj radijnega vektorja vzdolž pozitivne smeri osi. Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene velikosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti, in pri vrtenju v smeri urinega kazalca - negativno.
Torej, vemo, da je cel obrat vektorja radija okoli kroga oz. Ali je možno zasukati radijski vektor za ali za? No, seveda lahko! V prvem primeru bo torej radius vektor naredil en popoln obrat in se ustavil na položaju oz.
V drugem primeru, torej bo radius vektor naredil tri popolne obrate in se ustavil na položaju oz.
Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za ali (kjer je poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju radijnega vektorja.
Spodnja slika prikazuje kot. Ista slika ustreza kotu itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo ali (kjer je poljubno celo število)
Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotski krog, poskusite odgovoriti, čemu so vrednosti enake:
Tukaj je enotski krog, ki vam bo v pomoč:
Kakšne težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:
Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim meram kota. No, začnimo po vrsti: kot pri ustreza točki s koordinatami, torej:
Ne obstaja;
Nadalje, z upoštevanjem iste logike, ugotovimo, da vogali ustrezajo točkam s koordinatami. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato preverite odgovore.
odgovori:
Ne obstaja
Ne obstaja
Ne obstaja
Ne obstaja
Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:
Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:
Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in, podane v spodnji tabeli, je treba zapomniti:
Ne bojte se, zdaj bomo pokazali enega od primerov precej preprosto pomnjenje ustreznih vrednosti:
Za uporabo te metode je nujno, da si zapomnite vrednosti sinusa za vse tri mere kota (), kot tudi vrednost tangensa kota v. Če poznate te vrednosti, je povsem enostavno obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:
Če to veste, lahko obnovite vrednosti za. Števec " " se bo ujemal in imenovalec " " se bo ujemal. Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite celotno vrednost iz tabele.
Koordinate točke na krožnici
Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, poznavanje koordinat središča kroga, njegovega polmera in rotacijskega kota?
No, seveda lahko! Pripeljimo ven splošna formula najti koordinate točke.
Tukaj imamo na primer tak krog:
Podano nam je, da je točka središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem točke za stopinje.
Kot je razvidno iz slike, koordinata točke ustreza dolžini segmenta. Dolžina segmenta ustreza koordinati središča kroga, torej je enaka. Dolžino segmenta lahko izrazimo z definicijo kosinusa:
Potem imamo to za koordinato točke.
Po isti logiki najdemo vrednost koordinate y za točko. torej
Torej v splošni pogled koordinate točke so določene s formulami:
koordinate središča kroga,
polmer kroga,
Kot zasuka vektorja radija.
Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič, polmer pa je enak eni:
No, poskusimo te formule za okus, vadimo iskanje točk na krogu?
1. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vklopom točke.
2. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke na.
3. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vklopom točke.
4. Točka - središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.
5. Točka - središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.
Imate težave z iskanjem koordinat točke na krogu?
Rešite teh pet primerov (ali dobro razumejte rešitev) in naučili se boste, kako jih najti!
1.
Vidi se, da. In vemo, kaj ustreza polnemu obratu začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če to vemo, najdemo želene koordinate točke:
2. Krog je enota s središčem v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:
Vidi se, da. Vemo, kaj ustreza dvema popolnima rotacijama začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če to vemo, najdemo želene koordinate točke:
Sinus in kosinus sta tabelarični vrednosti. Zapomnimo si njihove vrednosti in dobimo:
Tako ima želena točka koordinate.
3. Krog je enota s središčem v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:
Vidi se, da. Upodabljamo obravnavani primer na sliki:
Polmer tvori kote z osjo, ki je enaka in. Če vemo, da sta tabelarični vrednosti kosinusa in sinusa enaki, in ko ugotovimo, da ima kosinus tukaj negativno vrednost, sinus pa pozitiven, imamo:
Podobni primeri so podrobneje analizirani pri preučevanju formul za zmanjšanje trigonometričnih funkcij v temi.
Tako ima želena točka koordinate.
4.
Kot zasuka vektorja radija (po pogoju)
Za določitev ustreznih predznakov sinusa in kosinusa sestavimo enotski krog in kot:
Kot lahko vidite, je vrednost, tj., pozitivna, vrednost, tj., pa negativna. Če poznamo tabelarične vrednosti ustreznih trigonometričnih funkcij, dobimo, da:
Nadomestimo dobljene vrednosti v našo formulo in poiščemo koordinate:
Tako ima želena točka koordinate.
5. Za rešitev tega problema uporabljamo formule v splošni obliki, kjer
Koordinate središča kroga (v našem primeru
Polmer kroga (glede na pogoje)
Kot zasuka vektorja radija (po pogoju).
Nadomestite vse vrednosti v formulo in dobite:
in - tabele vrednosti. Zapomnimo si jih in jih nadomestimo v formulo:
Tako ima želena točka koordinate.
POVZETEK IN OSNOVNA FORMULA
Sinus kota je razmerje med nasprotnim (skrajnim) krakom in hipotenuzo.
Kosinus kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.
Tangens kota je razmerje med nasprotnim (daljnim) krakom in sosednjim (bližnjim).
Kotangens kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in nasprotnim (daljnim).
1. Trigonometrične funkcije predstavljati elementarne funkcije, katerega argument je kotiček. Trigonometrične funkcije opisujejo razmerje med stranicami in ostrimi koti v pravokotnem trikotniku. Področja uporabe trigonometričnih funkcij so izjemno raznolika. Tako lahko na primer vse periodične procese predstavimo kot vsoto trigonometričnih funkcij (Fourierjeve vrste). Te funkcije se pogosto pojavljajo pri reševanju diferencialnih in funkcionalnih enačb.
2. Trigonometrične funkcije vključujejo naslednjih 6 funkcij: sinusov, kosinus, tangenta,kotangens, sekant in kosekans. Za vsako od teh funkcij obstaja inverzna trigonometrična funkcija.
3. Priročno je uvesti geometrijsko definicijo trigonometričnih funkcij z uporabo enotski krog. Spodnja slika prikazuje krog s polmerom r=1. Na krožnici je označena točka M(x,y). Kot med radij vektorjem OM in pozitivno smerjo osi Ox je α.
4. sinusov kot α je razmerje med ordinato y točke M(x,y) in polmerom r:
sinα=y/r.
Ker je r=1, je sinus enak ordinati točke M(x,y).
5. kosinus kot α je razmerje med absciso x točke M(x,y) in polmerom r:
cosα=x/r
6. tangenta kot α je razmerje med ordinato y točke M(x,y) in njeno absciso x:
tanα=y/x,x≠0
7. Kotangens kot α je razmerje med absciso x točke M(x,y) in njeno ordinato y:
cotα=x/y,y≠0
8. Sekant kot α je razmerje med polmerom r in absciso x točke M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Kosekans kot α je razmerje med polmerom r in ordinato y točke M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. V enotskem krogu projekcije x, y sestavljata točki M(x, y) in polmer r pravokotni trikotnik, v katerem sta x, y kateta, r pa hipotenuza. Zato so zgornje definicije trigonometričnih funkcij, ki se uporabljajo za pravokotni trikotnik, oblikovane takole:
sinusov kot α je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo.
kosinus kot α je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.
tangenta kot α imenujemo nasprotni krak sosednjemu.
Kotangens kot α imenujemo sosednji krak nasprotnemu.
Sekant kot α je razmerje med hipotenuzo in sosednjim krakom.
Kosekans kot α je razmerje med hipotenuzo in nasprotnim krakom.
11. graf sinusne funkcije
y=sinx, domena: x∈R, domena: −1≤sinx≤1
12. Graf kosinusne funkcije
y=cosx, domena: x∈R, obseg: −1≤cosx≤1
13. graf tangentne funkcije 14. Graf funkcije kotangensa 15. Graf funkcije sekante Z vidika matematike je Zenon v svoji aporiji nazorno prikazal prehod od vrednote k. Ta prehod pomeni uporabo namesto konstant. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen za Zenonove aporije. Uporaba naše običajne logike nas vodi v past. Mi, po inerciji razmišljanja, uporabljamo stalne enote časa za recipročne. S fizičnega vidika je videti, kot da se čas upočasni in popolnoma ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve. Če obrnemo logiko, ki smo je vajeni, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo "Ahil neskončno hitro prehitel želvo." Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v konstantnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne vrednosti. V Zenonovem jeziku je to videti takole: V času, ko Ahil preteče tisoč korakov, se želva plazi sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, enakem prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo. Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o nepremostljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo šele preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah. Druga zanimiva Zenonova aporija pripoveduje o leteči puščici: Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje. V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da v vsakem trenutku leteča puščica počiva na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tu je treba opozoriti še na eno točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Za določitev dejstva gibanja avtomobila sta potrebni dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ju ni mogoče uporabiti za določitev razdalje. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru hkrati, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala). Posebej želim poudariti, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru dve različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne priložnosti za raziskovanje. Zelo dobro so razlike med množico in množico opisane v Wikipediji. Gledamo. Kot lahko vidite, »množica ne more imeti dveh enakih elementov«, če pa so v množici enaki elementi, se taka množica imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne logike absurda. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, pri katerih je um odsoten od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje. Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom med preizkusi mostu. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove. Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo "pozor, jaz sem v hiši", oziroma "matematika preučuje abstraktne pojme", obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike. Matematiko smo učili zelo dobro in zdaj sedimo za blagajno in izplačujemo plače. Tukaj pride matematik k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en bankovec in damo matematiku njegov "matematični plačni niz". Matematiko razložimo, da bo ostale račune dobil šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se začne zabava. Najprej bo delovala poslanska logika: »za druge lahko, zame pa ne!« Nadalje se bodo začela zagotavljanja, da so na bankovcih istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za enake elemente. No, plačo štejemo v kovancih - na kovancih ni številk. Tukaj se bo matematik mrzlično spomnil fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov za vsak kovanec je edinstvena ... In zdaj imam najbolj zanimivo vprašanje: kje je meja, za katero se elementi množice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanosti tu ni niti blizu. Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območje polj je enako, kar pomeni, da imamo multiset. Če pa upoštevamo imena istih stadionov, dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Kako prav? In tukaj matematik-šaman-šuler vzame iz rokava adutnega asa in nam začne pripovedovati bodisi o množici bodisi o množici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav. Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnega koli "predstavljivo kot neenotna celota" ali "nepredstavljivo kot ena sama celota". Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a za to so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli. Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran »Vsota števk števila«. Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so števila grafični simboli, s katerimi zapisujemo števila, v jeziku matematike pa naloga zveni takole: "Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število." Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa ga elementarno zmorejo. Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako, recimo, da imamo številko 12345. Kaj je treba narediti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu. 1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v številčni grafični simbol. To ni matematična operacija. 2. Eno prejeto sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo ločene številke. Rezanje slike ni matematična operacija. 3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija. 4. Seštejte dobljena števila. Zdaj je to matematika. Vsota števk števila 12345 je 15. To so "tečaji krojenja in šivanja" šamanov, ki jih uporabljajo matematiki. A to še ni vse. Z vidika matematike ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej bo v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z velikim številom 12345 si ne želim zavajati glave, upoštevajte številko 26 iz članka o. Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Vsakega koraka ne bomo obravnavali pod drobnogledom, to smo že storili. Poglejmo rezultat. Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je tako, kot da bi iskanje ploščine pravokotnika v metrih in centimetrih dalo popolnoma drugačne rezultate. Ničla v vseh številskih sistemih izgleda enako in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označuje tisto, kar ni število? Kaj, za matematike ne obstaja nič drugega kot številke? Za šamane to lahko dovolim, za znanstvenike pa ne. Realnost niso samo številke. Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote števil. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko. Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematičnega dejanja ni odvisen od vrednosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja. Oh! Ali ni to žensko stranišče? Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol je moški. Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan vrti pred očmi, Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu: Osebno se potrudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (sestav več slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In tega dekleta nimam za norca, ki ne pozna fizike. Ima samo lok stereotipa dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer. 1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "pokakajoči človek" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem številskem sistemu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol. Preučevanje trigonometrije začnemo s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus, pa tudi tangens in kotangens ostrega kota. To so osnove trigonometrije.
Spomni se tega pravi kot je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, polovica razgrnjenega kota. Oster kot- manj kot 90 stopinj. Topi kot- več kot 90 stopinj. V zvezi s takim kotom "top" ni žaljivka, ampak matematični izraz :-) Narišimo pravokotni trikotnik. Običajno je označen pravi kot. Upoštevajte, da je stran nasproti vogala označena z isto črko, le majhna. Torej je označena stran, ki leži nasproti kota A. Kot je označen z ustrezno grško črko. hipotenuza Pravokotni trikotnik je stran nasproti pravega kota. Noge- strani nasproti ostrih vogalov. Noga nasproti vogala se imenuje nasprotje(glede na kot). Druga noga, ki leži na eni strani vogala, se imenuje sosednji. Sinus ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo: Kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo: Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med nasprotno nogo in sosednjo: Druga (enakovredna) definicija: tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom: Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo nogo in nasprotno (ali enako razmerje med kosinusom in sinusom): Bodite pozorni na osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangens in kotangens, ki so navedena spodaj. Koristili nam bodo pri reševanju težav. Dokažimo nekatere izmed njih. V redu, dali smo definicije in zapisali formule. Toda zakaj potrebujemo sinus, kosinus, tangens in kotangens? To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je. Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorov izrek: . Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani pravokotnega trikotnika, lahko najdete tretjo. Torej, za kote - njihovo razmerje, za stranice - svoje. Toda kaj storiti, če sta v pravokotnem trikotniku znani en kot (razen pravega) in ena stran, vendar morate najti druge strani? S tem so se soočali ljudje v preteklosti, ko so izdelovali zemljevide območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh strani trikotnika. Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi trigonometrične funkcije kota- navedite razmerje med stranke in vogali trikotnik. Če poznate kot, lahko s posebnimi tabelami najdete vse njegove trigonometrične funkcije. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih strani, lahko najdete ostalo. Narisali bomo tudi tabelo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za "dobre" kote od do. Bodite pozorni na dve rdeči črti v tabeli. Za ustrezne vrednosti kotov tangens in kotangens ne obstajata. Analizirajmo več problemov v trigonometriji iz nalog banke FIPI. 1. V trikotniku je kot , . Najti . Problem je rešen v štirih sekundah. Zaradi , . 2. V trikotniku je kot , , . Najti . Poiščimo po Pitagorovem izreku. Problem rešen. Pogosto so v težavah trikotniki s koti in ali s koti in . Zapomnite si osnovna razmerja zanje na pamet! Za trikotnik s koti in krakom nasproti kota pri je enako polovica hipotenuze. Trikotnik s koti in je enakokrak. V njej je hipotenuza krat večja od noge. Upoštevali smo naloge za reševanje pravokotnih trikotnikov – torej za iskanje neznanih stranic ali kotov. A to še ni vse! V variantah izpita iz matematike je veliko nalog, kjer se pojavljajo sinus, kosinus, tangens ali kotangens zunanjega kota trikotnika. Več o tem v naslednjem članku.
y=tanx, domena: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domena: −∞ 
y=cotx, domena: x∈R,x≠kπ, domena: −∞ 
y=secx, domena: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domena: secx∈(−∞,−1]∪∪. Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, kaj je zavajanje.Sreda, 4. julij 2018
Nedelja, 18. marec 2018
Znak na vratih
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje neomejene svetosti duš ob vnebohodu v nebesa! Nimbus na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?
