المنصف يقسم الجانب الآخر. زاوية منصف. دروس كاملة - المعرفة هايبر ماركت
الهندسة هي واحدة من العلوم الأكثر تعقيدا وتعقيدا. في ذلك، ما يبدو واضحًا للوهلة الأولى، نادرًا ما يتبين أنه صحيح. المنصفات، الارتفاعات، المتوسطات، الإسقاطات، الظلال - عدد كبير من المصطلحات الصعبة حقًا، والتي من السهل جدًا الخلط بينها.
في الواقع، مع الرغبة المناسبة، يمكنك فهم النظرية بأي تعقيد. عندما يتعلق الأمر بالمنصف والوسيط والارتفاع، عليك أن تفهم أنها ليست فريدة من نوعها بالنسبة للمثلثات. للوهلة الأولى هذا خطوط بسيطةولكن لكل منهم خصائصه ووظائفه الخاصة، والتي تبسط المعرفة بها إلى حد كبير حل المشكلات الهندسية. إذًا، ما هو منصف المثلث؟
تعريف
يأتي مصطلح "المنصف" نفسه من مزيج من الكلمات اللاتينية "اثنين" و "قطع"، "قطع"، والتي تشير بالفعل بشكل غير مباشر إلى خصائصه. عادة، عندما يتم تعريف الأطفال بهذا الشعاع، يُعرض عليهم عبارة قصيرة لحفظها: "المنصف هو فأر يدور حول الزوايا ويقسم الزاوية إلى نصفين". بطبيعة الحال، مثل هذا التفسير غير مناسب للطلاب الأكبر سنا، بالإضافة إلى ذلك، عادة ما يتم سؤالهم عن الزاوية، ولكن عن الشكل الهندسي. إذن منصف المثلث هو شعاع يصل رأس المثلث بالضلع المقابل، مع تقسيم الزاوية إلى جزأين متساويين. يتم اختيار نقطة الجانب المقابل التي يأتي إليها المنصف لمثلث عشوائي بشكل عشوائي.
الوظائف والخصائص الأساسية
هذا الشعاع لديه عدد قليل من الخصائص الأساسية. أولاً، لأن منصف المثلث ينصف الزاوية، فإن أي نقطة تقع عليه ستكون على مسافة متساوية من الجوانب التي تشكل الرأس. ثانيا، في كل مثلث، يمكن رسم ثلاثة منصفات، وفقا لعدد الزوايا المتاحة (وبالتالي، في نفس الرباعي سيكون هناك بالفعل أربعة منهم، وهكذا). والنقطة التي تتقاطع عندها الأشعة الثلاثة هي مركز الدائرة المرسومة في المثلث.
تصبح الخصائص أكثر تعقيدًا
دعونا تعقيد النظرية قليلا. خاصية أخرى مثيرة للاهتمام: منصف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل إلى أجزاء تكون نسبتها مساوية لنسبة الجوانب التي تشكل الرأس. للوهلة الأولى، هذا صعب، ولكن في الواقع كل شيء بسيط: في الشكل المقترح، RL:LQ = PR:PK. بالمناسبة، تسمى هذه الخاصية "نظرية المنصف" وظهرت لأول مرة في الأعمال عالم الرياضيات اليوناني القديمإقليدس. لم يتذكروه في أحد الكتب المدرسية الروسية إلا في الربع الأول من القرن السابع عشر.
أكثر صعوبة قليلا. في الشكل الرباعي، يقطع المنصف مثلثًا متساوي الساقين. في هذا الشكل، يتم تسمية جميع الزوايا المتساوية للتركيز البؤري التلقائي المتوسط.
وكذلك في الأشكال الرباعية وشبه المنحرفة، تكون منصفات الزوايا أحادية الجانب متعامدة مع بعضها البعض. في الرسم، الزاوية APB هي 90 درجة.
في مثلث متساوي الساقين
منصف مثلث متساوي الساقين- أكثر بكثير شعاع مفيد. وهو في الوقت نفسه ليس فقط مقسمًا للزاوية إلى النصف، بل أيضًا متوسطًا وارتفاعًا.
والوسط هو القطعة التي تخرج من زاوية ما وتقع في منتصف الضلع المقابل، فيقسمها إلى أجزاء متساوية. الارتفاع هو انخفاض عمودي من قمة الرأس إلى الجانب الآخر، وبمساعدته يمكن اختزال أي مشكلة إلى نظرية فيثاغورس البسيطة والبدائية. في هذه الحالة يكون منصف المثلث يساوي جذر الفرق بين مربع الوتر والضلع الآخر. بالمناسبة، هذه الخاصية هي التي تحدث غالبًا في المشكلات الهندسية.
للإصلاح: في هذا المثلث، المنصف FB هو الوسيط (AB=BC) والارتفاع (الزوايا FBC وFBA هي 90 درجة).
في مخطط
إذن ما الذي تحتاج إلى تذكره؟ منصف المثلث هو الشعاع الذي ينصف رأسه. عند تقاطع الأشعة الثلاثة يوجد مركز الدائرة المدرج في هذا المثلث (العيب الوحيد لهذه الخاصية هو أنها ليس لها قيمة عملية وتعمل فقط على التنفيذ الكفء للرسم). كما أنه يقسم الضلع المقابل إلى قطع، نسبتها تساوي نسبة الأضلاع التي مر بينها هذا الشعاع. في الشكل الرباعي، تكون الخصائص أكثر تعقيدًا بعض الشيء، ولكن بصراحة، لا تحدث عمليًا في المهام على مستوى المدرسة، لذلك لا تتأثر عادةً في البرنامج.
منصف المثلث متساوي الساقين هو الحلم النهائي لأي طالب. وهو الوسيط (أي أنه يقسم الجانب الآخر إلى النصف) والارتفاع (المتعامد مع هذا الجانب). يتم تقليل حل المشكلات باستخدام مثل هذا المنصف إلى نظرية فيثاغورس.
إن معرفة الوظائف الأساسية للمنصف، بالإضافة إلى خصائصه الرئيسية، أمر ضروري لحل المسائل الهندسية لكل من المتوسط والحساب. مستوى عالالصعوبات. في الواقع، تم العثور على هذا الشعاع فقط في Planimetry، لذلك لا يمكن القول أن حفظ المعلومات حوله سيسمح لك بالتعامل مع جميع أنواع المهام.
سوروكينا فيكا
يتم تقديم البراهين على خصائص منصف المثلث ويؤخذ في الاعتبار تطبيق النظرية على حل المشكلات.
تحميل:
معاينة:
لجنة التعليم في إدارة ساراتوف، مقاطعة أوكتيابرسكي البلدية ذاتية الحكم مؤسسة تعليميةليسيوم №3 ايم. إيه إس بوشكين.
البلدية العلمية والعملية
مؤتمر
"الخطوات الأولى"
موضوع: المنصف وخصائصه.
تم إنجاز العمل من قبل: طالبة من الصف الثامن
سوروكينا فيكتورياالمشرف: مدرس الرياضيات من الفئة العليابوبوفا نينا فيودوروفنا
ساراتوف 2011
- صفحة العنوان ……………………………………………………………………………………………………………………………………….1
- المحتويات ……………………………………………………… 2
- المقدمة والأهداف ………………………………………..3
- النظر في خصائص المنصف
- موضع النقاط الثالث………………………….3
- النظرية 1 …………………………………………………….4
- النظرية 2 …………………………………………………… 4
- الخاصية الرئيسية لمنصف المثلث:
- النظرية 3 ………………………………………………….4
- المهمة 1 ………………………………………………… ….7
- المهمة 2 ………………………………………………….8
- المهمة 3 …………………………………………………..9
- المهمة 4 ……………………………………………….9-10
- النظرية 4 ………………………………………………………………………………………………… 10-11
- الصيغ لإيجاد المنصف:
- النظرية 5 ……………………………………………………….11
- النظرية 6 ……………………………………………………….11
- النظرية 7 ……………………………………………………….12
- المهمة 5 …………………………………………………………….12-13
- النظرية 8 ……………………………………………………….13
- المهمة 6 …………………………………………………….14
- المهمة 7 ……………………………………………………………………………………………… 14-15
- التحديد باستخدام منصف النقاط الأساسية .......................... 15
- الخاتمة والخاتمة ……………………………………………..15
- قائمة الأدبيات المستخدمة ……………………………..16
منصف
في درس الهندسة، أثناء دراستي لموضوع المثلثات المتشابهة، واجهت مشكلة في نظرية نسبة المنصف إلى الأضلاع المقابلة. يبدو أنه قد يكون هناك شيء مثير للاهتمام في موضوع المنصف، لكن هذا الموضوع أثار اهتمامي، وأردت دراسته بشكل أعمق. بعد كل شيء، المنصف غني جدًا به خصائص مذهلةللمساعدة في حل المشاكل المختلفة.
عند النظر في هذا الموضوع، يمكنك أن ترى أن كتب الهندسة المدرسية تقول القليل جدًا عن خصائص المنصف، وفي الامتحانات، بمعرفتها، يمكنك حل المشكلات بشكل أسهل وأسرع. بالإضافة إلى ذلك، من أجل اجتياز امتحان GIA وامتحان الدولة الموحدة، يحتاج الطلاب الحديثون إلى الدراسة مواد إضافيةإلى المنهج المدرسي. لهذا السبب قررت دراسة موضوع المنصف بمزيد من التفصيل.
منصف (من اللاتينية ثنائية - "مزدوج" و sectio "قطع") زاوية - شعاع يبدأ من قمة الزاوية، ويقسم الزاوية إلى جزأين متساويين. منصف الزاوية (مع امتدادها) هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب الزاوية (أو امتداداتها))
الموضع الثالث للنقاط
الشكل واو هو محل النقاط (مجموعة النقاط) التي لها خاصية ماأ، إذا تم استيفاء شرطين:
- من حقيقة أن النقطة تنتمي إلى هذا الرقم F، ويترتب على ذلك أن لديها الممتلكاتأ؛
- من كون النقطة تفي بالملكيةأ، ويترتب على ذلك أنه ينتمي إلى هذا الرقم F.
أول محل نظر للنقاط في الهندسة هو الدائرة، أي. موضع النقاط المتساوية البعد عن نقطة ثابتة واحدة. والثاني هو المنصف العمودي للقطعة، أي. موضع النقاط المتساوية البعد عن نهاية القطعة. وأخيرًا، الثالث - المنصف - موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب الزاوية
النظرية 1:
نقاط المنصف متباعدة بالتساوي عن الجانبينانه ركن.
دليل:
دع P - نقطة منصفةأ. إسقاط من النقطةR متعامدينعربة سكن متنقلة و جهاز كمبيوتر لكل زاوية جانبية. ثم VAR = SAR الوتر والزاوية الحادة. ومن ثم، RV = PC
النظرية 2:
إذا كانت النقطة P على مسافة متساوية من جانبي الزاوية A، فإنها تقع على المنصف.
الدليل: РВ = PC => ВАР = СAP => BAP= CAP => АР منصف.
من بين الحقائق الهندسية الأساسية يجب أن تعزى النظرية القائلة بأن المنصف يقسم الجانب الآخر بالنسبة للأطراف المتقابلة. لقد ظلت هذه الحقيقة لفترة طويلة في الظل، ولكن في كل مكان توجد مشاكل يسهل حلها إذا كنت تعرف هذه الحقائق وغيرها من الحقائق حول المنصف. لقد أصبحت مهتمًا، وقررت استكشاف خاصية المنصف بشكل أعمق.
الخاصية الأساسية لمنصف زاوية المثلث
النظرية 3. يقسم المنصف الضلع المقابل للمثلث بالنسبة للأضلاع المجاورة.
الدليل 1:
المعطى: AL- منصف المثلث ABC
يثبت:
برهان : دع ف - نقطة تقاطع الخطال وخط يمر عبر نقطةفي بالتوازي مع الجانب AC.
ثم منتدى بواو الاسيوى = FAC = BAF. ولذلك باف متساوي الساقين وأب = فرنك بلجيكي. من تشابه المثلثات ALC وFLB لدينا
نسبة
أين
الدليل 2
لتكن F هي النقطة التي يتقاطع معها الخط AL والخط الذي يمر بالنقطة C الموازية للقاعدة AB. ثم يمكنك تكرار المنطق.
الدليل 3
دع K و M هما أساسات الخطوط العمودية المسقطة على الخط AL من النقطتين B وC على التوالى. المثلثان ABL و ACL متشابهان في زاويتين. لهذا
. ومن التشابه بين BKL وCML لدينا
من هنا
الدليل 4
دعونا نستخدم طريقة المنطقة. حساب مساحات المثلثات ABL و ACL بطريقتين.
من هنا.
الدليل 5
دع α= BAC,φ= جيش تحرير بلوشستان. بواسطة نظرية الجيب في المثلث ABL
وفي مثلث الرباط الصليبي الأمامي.
لأن ،
ثم، بتقسيم كلا جزأي المساواة على الأجزاء المقابلة للآخر، نحصل على.
مهمة 1
منح: في المثلث ABC، VC هو المنصف، BC=2، KS=1،
حل:
المهمة 2
منح:
أوجد منصفات الزوايا الحادة للمثلث القائم الزاوية ذو الأرجل 24 و18
حل:
دع الساق AC = 18، الساق BC = 24،
أكون هو منصف المثلث .
ومن خلال نظرية فيثاغورس نجد
أن أ ب = 30
منذ ذلك الحين
وبالمثل، نجد المنصف الثاني.
إجابة:
المهمة 3
في المثلث الأيمن ABC مع الزاوية القائمة B زاوية منصفأ يعبر الجانبقبل الميلاد
عند النقطة د. ومن المعروف أن BD = 4، DC = 6.
أوجد مساحة المثلثأدك
حل:
بواسطة خاصية منصف المثلث
تشير إلى AB = 2 x , AC = 3 x . حسب النظرية
فيثاغورس ق 2 + أ ب 2 = أ 2، أو 100 + 4 × 2 = 9 × 2
ومن هنا نجد ذلكس = ثم AB =، S ABC=
لذلك،
المهمة 4
منح:
في مثلث متساوي الساقيناي بي سي جانبأ.ب يساوي 10، القاعدةالتيار المتردد هو 12.
منصفات الزواياأ و ج تتقاطع عند نقطة ماد. ابحث عن دينار بحريني.
حل:
وبما أن منصفات المثلث تتقاطع عند
نقطة واحدة، إذن BD هو المنصف لـ B. دعونا نواصل دينار بحريني إلى التقاطع مع AC عند النقطة M . ثم M هي نقطة منتصف AC , BM AC . لهذا
لأن القرص المضغوط - منصف المثلثبي ام سي بعد ذلك
لذلك،.
إجابة:
نظرية 4 . تتقاطع منصفات المثلث الثلاثة عند نقطة واحدة.
في الواقع، فكر أولاً في النقطة Р عند تقاطع منصفين، على سبيل المثال، AK 1 و في سي 2 . هذه النقطة بعيدة بالتساوي عن الجانبين AB وAC، لأنها تقع على المنصفA، ويتم إزالتها بالتساوي من الجانبين AB و BC، باعتبارها تابعة للمنصفب. وبالتالي، يتم إزالته بالتساوي من الجانبين AC وBC، وبالتالي ينتمي إلى المنصف الثالث لـ SC 3 أي أنه عند النقطة P تتقاطع المنصفات الثلاثة.
صيغ للعثور على المنصف
النظرية 5: (الصيغة الأولى للمنصف): إذا كان في المثلث ABC القطعة AL منصف A، ثم AL² = AB AC - LB LC.
دليل: لتكن M نقطة تقاطع الخط AL مع الدائرة المحيطة بالمثلث ABC (الشكل 41). زاوية BAM تساوي زاوية MAC حسب الاتفاقية. الزاويتان BMA وBCA متساويتان كزوايا محيطية مبنية على نفس الوتر. ومن ثم، فإن المثلثين BAM و LAC متشابهان في الزاويتين. وبالتالي، AL: AC = AB: AM. إذًا AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Q.E.D.
النظرية 6 : . (الصيغة الثانية للمنصف): في المثلث ABC مع أضلاعه AB=a، AC=b وA، يساوي 2α ومنصف l، تحدث المساواة:
ل = (2ab / (أ+ب)) cosα.
دليل : ليكن ABC مثلثًا معلومًا، AL منصفه، a=AB، b=AC، l=AL. ثم س ABC = S ALB + S ALC . وبالتالي، ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. لقد تم إثبات النظرية.
النظرية 7: إذا كانت a، b هي أضلاع المثلث، فإن Y هي الزاوية بينهما،هو منصف هذه الزاوية. ثم.
مستوى متوسط
منصف المثلث. النظرية التفصيليةمع الأمثلة (2019)
منصف المثلث وخصائصه
هل تعرف ما هي نقطة المنتصف للخط؟ بالطبع تفعل. ومركز الدائرة؟ نفس. ما هي نقطة منتصف الزاوية؟ يمكنك القول أن هذا لا يحدث. لكن لماذا يمكن تقسيم القطعة المستقيمة إلى نصفين، ولا يمكن تقسيم الزاوية؟ من الممكن تمامًا - ليس مجرد نقطة، ولكن .... خط.
تذكر النكتة: المنصف هو فأر يدور حول الزوايا ويقسم الزاوية إلى نصفين. لذا، فإن التعريف الحقيقي للمنصف يشبه إلى حد كبير هذه النكتة:
منصف المثلثهو قطعة من منصف زاوية المثلث، يصل رأس هذه الزاوية بنقطة على الجانب المقابل.
ذات مرة، اكتشف علماء الفلك وعلماء الرياضيات القدماء الكثير من الخصائص المثيرة للاهتمام للمنصف. لقد سهلت هذه المعرفة حياة الناس بشكل كبير. لقد أصبح من الأسهل البناء وحساب المسافات وحتى تصحيح إطلاق المدافع... لكن معرفة هذه الخصائص ستساعدنا في حل بعض مهام GIA وامتحان الدولة الموحدة!
المعرفة الأولى التي ستساعد في هذا - منصف مثلث متساوي الساقين.
بالمناسبة، هل تتذكر كل هذه المصطلحات؟ هل تتذكر كيف يختلفون عن بعضهم البعض؟ لا؟ ليس مخيفا. الآن دعونا معرفة ذلك.
لذا، قاعدة مثلث متساوي الساقين- هذا هو الضلع الذي لا يساوي أي ضلع آخر. انظر إلى الصورة، أي جانب تعتقد أنه؟ هذا صحيح - إنه جانب.
الوسيط هو الخط المرسوم من رأس المثلث وتقسيمه الجانب المعاكس(مرة أخرى) في النصف.
لاحظ أننا لا نقول "متوسط المثلث المتساوي الساقين". هل تعرف لماذا؟ لأن الوسيط المرسوم من رأس المثلث ينصف الضلع المقابل في أي مثلث.
حسنًا، الارتفاع عبارة عن خط مرسوم من الأعلى وعمودي على القاعدة. انت لاحظت؟ نحن نتحدث مرة أخرى عن أي مثلث، وليس مجرد مثلث متساوي الساقين. الارتفاع في أي مثلث يكون دائمًا متعامدًا مع القاعدة.
لذلك عليك أن ترد عليها؟ بالكاد. من أجل فهم أفضل وتذكر إلى الأبد ما هو المنصف والوسيط والارتفاع، يجب مقارنتهم مع بعضهم البعض وفهم مدى تشابههم وكيف يختلفون عن بعضهم البعض. في الوقت نفسه، من أجل تذكر أفضل، من الأفضل وصف كل شيء " لغة بشرية". بعد ذلك سوف تتعامل بسهولة مع لغة الرياضيات، ولكن في البداية لا تفهم هذه اللغة وتحتاج إلى فهم كل شيء بلغتك الخاصة.
إذن كيف يتشابهون؟ المنصف والوسيط والارتفاع - كلهم \u200b\u200b"يخرجون" من قمة المثلث ويتاخمون في الاتجاه المعاكس و "يفعلون شيئًا" إما بالزاوية التي يخرجون منها أو بالجانب الآخر. أعتقد أن الأمر بسيط، أليس كذلك؟
وكيف يختلفون؟
- المنصف ينصف الزاوية التي يخرج منها.
- الوسيط يشطر الجانب الآخر.
- يكون الارتفاع دائمًا متعامدًا مع الجانب الآخر.
هذا كل شيء. من السهل أن نفهم. بمجرد أن تفهم، يمكنك أن تتذكر.
الآن السؤال التالي. لماذا إذن، في حالة المثلث متساوي الساقين، يتبين أن المنصف هو المتوسط والارتفاع في نفس الوقت؟
يمكنك فقط إلقاء نظرة على الشكل والتأكد من أن الوسيط ينقسم إلى مثلثين متساويين تمامًا. هذا كل شئ! لكن علماء الرياضيات لا يحبون أن يصدقوا أعينهم. إنهم بحاجة إلى إثبات كل شيء. كلمة مخيفة؟ لا شيء مثل ذلك - كل شيء بسيط! انظر: ولهما جوانب متساوية، ولهما ضلع مشترك و. (- منصف!) وهكذا اتضح أن المثلثين لهما ضلعان متساويان وزاوية بينهما. نتذكر العلامة الأولى لتساوي المثلثات (لا تتذكر، انظر إلى الموضوع) ونستنتج أن مما يعني = و.
هذا جيد بالفعل - وهذا يعني أنه تبين أنه الوسيط.
ولكن ما هو؟
دعونا ننظر إلى الصورة -. وقد حصلنا على ذلك. أيضا! وأخيرا، يا هلا! و.
هل وجدت هذا الدليل صعبا؟ انظر إلى الصورة - مثلثان متطابقان يتحدثان عن نفسيهما.
وعلى أية حال، يرجى تذكر:
الآن أصبح الأمر أصعب: سنحسب الزاوية بين المنصفات في أي مثلث!لا تخف، فالأمر ليس بهذه الصعوبة. انظر الى الصورة:
دعونا نحسبها. هل تتذكر ذلك مجموع زوايا المثلث هو?
دعونا نطبق هذه الحقيقة المدهشة.
ومن ناحية من:
إنه.
الآن دعونا ننظر إلى:
لكن منصفات، منصفات!
دعونا نتذكر حول:
الآن من خلال الحروف
\زاوية AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
أليس من المستغرب؟ اتضح ذلك الزاوية المحصورة بين منصفات زاويتين تعتمد على الزاوية الثالثة فقط!
حسنًا، لقد نظرنا إلى منصفين. ماذا لو كانوا ثلاثة؟؟!! هل ستتقاطع جميعها في نفس النقطة؟
أم سيكون كذلك؟
كيف تفكر؟ وهنا فكر علماء الرياضيات وفكروا وأثبتوا:
رائع حقا؟
هل تريد أن تعرف لماذا يحدث هذا؟
إذن...اثنان مثلث قائم: و. يملكون:
- الوتر المشترك.
- (لأن - المنصف!)
إذن - بالزاوية والوتر. وبالتالي فإن الأرجل المتناظرة في هذين المثلثين متساوية! إنه.
لقد أثبتنا أن النقطة متساوية (أو متساوية) من جانبي الزاوية. تم التعامل مع النقطة 1. الآن دعنا ننتقل إلى النقطة 2.
لماذا 2 صحيح؟
وربط النقاط.
لذلك، وهذا هو، يكمن على المنصف!
هذا كل شئ!
كيف يمكن تطبيق كل هذا على حل المشكلات؟ على سبيل المثال، في المهام غالبا ما تكون هناك مثل هذه العبارة: "الدائرة تمس جوانب الزاوية ...". حسنا، أنت بحاجة إلى العثور على شيء ما.
وسرعان ما تدرك ذلك
ويمكنك استخدام المساواة.
3. ثلاثة منصفات في المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة
ومن خاصية المنصف أنه محل النقاط المتساوية البعد عن أضلاع الزاوية يأتي البيان التالي:
كيف يتدفق بالضبط؟ لكن انظر: من المؤكد أن المنصفين سيتقاطعان، أليس كذلك؟
ويمكن أن يكون المنصف الثالث على النحو التالي:
ولكن في الواقع، كل شيء أفضل بكثير!
دعونا نفكر في نقطة تقاطع منصفين. دعونا ندعو لها.
ماذا استخدمنا هنا في المرتين؟ نعم الفقرة 1، بالطبع! إذا كانت هناك نقطة تقع على المنصف، فهي متساوية البعد عن جانبي الزاوية.
وهكذا حدث.
لكن انظر بعناية إلى هاتين المساويتين! بعد كل شيء، يتبع منهم، وبالتالي، .
والآن سوف ينجح الأمر النقطة 2: إذا كانت المسافات إلى جانبي الزاوية متساوية، فإن النقطة تقع على المنصف ... لأي زاوية؟ انظر إلى الصورة مرة أخرى:
وهي المسافتان إلى أضلاع الزاوية، وهما متساويتان، أي أن النقطة تقع على منصف الزاوية. المنصف الثالث مر بنفس النقطة! تتقاطع المنصفات الثلاثة عند نقطة واحدة! وكهدية إضافية -
نصف القطر منقوشةالدوائر.
(من أجل الإخلاص، انظر إلى موضوع آخر).
حسنًا، الآن لن تنسى أبدًا:
نقطة تقاطع منصفات المثلث هي مركز الدائرة الموضحة فيه.
دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية ... واو، والمنصف لديه الكثير من الخصائص، أليس كذلك؟ وهذا عظيم، لأنه المزيد من الخصائص، كلما زادت أدوات حل المشكلات المتعلقة بالمنصف.
4. المنصف والتوازي، منصفات الزوايا المتجاورة
تؤدي حقيقة أن المنصف ينصف الزاوية في بعض الحالات إلى نتائج غير متوقعة تمامًا. على سبيل المثال،
حالة 1
إنه أمر رائع، أليس كذلك؟ دعونا نفهم لماذا.
من ناحية، نرسم منصفًا!
ولكن، من ناحية أخرى، - مثل الزوايا المتقاطعة (تذكر الموضوع).
والآن اتضح أن؛ رمي الوسط: ! - متساوي الساقين!
الحالة 2
تخيل مثلثًا (أو انظر إلى الصورة)
دعونا نواصل جنبا إلى جنب. الآن هناك زاويتان:
- - الزاوية الداخلية
- - الزاوية الخارجية - إنها بالخارج، أليس كذلك؟
لذلك، والآن أراد شخص ما أن يرسم ليس واحدًا، بل منصفين في وقت واحد: كلاهما من أجل ومن أجل. ماذا سيحدث؟
وسوف تتحول مستطيلي!
والمثير للدهشة أن هذا هو بالضبط ما هو عليه.
نحن نتفهم.
ما هو المبلغ برأيك؟
بالطبع، لأنهم جميعا يشكلون زاوية بحيث يتبين أنها خط مستقيم.
والآن نتذكر أن المنصفين سنرى أن الزاوية الداخلية تساوي تمامًا نصفمن مجموع الزوايا الأربع: و - - أي بالضبط. ويمكن كتابتها أيضًا على شكل معادلة:
لذلك، لا يصدق ولكن صحيح:
الزاوية بين منصفات الداخلية و الزاوية الخارجيةالمثلث متساوي.
الحالة 3
هل ترى أن كل شيء هنا هو نفسه بالنسبة للزوايا الداخلية والخارجية؟
أو هل نفكر مرة أخرى لماذا يحدث هذا؟
مرة أخرى، أما بالنسبة الزوايا المجاورة,
(كما يتوافق مع القواعد المتوازية).
ومرة أخرى، مكياج النصف بالضبطمن المبلغ
خاتمة:إذا كان هناك منصفات في المشكلة متعلق بزوايا أو منصفات خاص بهزوايا متوازي الأضلاع أو شبه منحرف، ثم في هذه المشكلة بالتأكيديتضمن الأمر مثلثًا قائمًا، وربما مستطيلًا كاملاً.
5. المنصف والجانب المقابل
اتضح أن منصف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل ليس بطريقة ما، ولكن بطريقة خاصة ومثيرة للاهتمام للغاية:
إنه:
حقيقة مذهلة، أليس كذلك؟
الآن سوف نثبت هذه الحقيقة، ولكن الاستعداد: سيكون الأمر أكثر صعوبة قليلا من ذي قبل.
مرة أخرى - الخروج إلى "الفضاء" - مبنى إضافي!
دعنا نذهب مباشرة.
لماذا؟ الآن سنرى.
نواصل المنصف حتى التقاطع مع الخط.
صورة مألوفة؟ نعم، نعم، نعم، تمامًا كما في الفقرة 4، الحالة 1 - اتضح أن (- منصف)
مثل الكذب بالعرض
إذن، هذا أيضًا.
الآن دعونا نلقي نظرة على المثلثات و.
ماذا يمكن أن يقال عنهم؟
هم متشابهون. حسنًا، نعم، زواياهما متساوية مع الوضع الرأسي. إذن زاويتان.
الآن لدينا الحق في كتابة علاقات الأطراف المقابلة.
والآن بملاحظة قصيرة:
أوه! يذكرني بشيء، أليس كذلك؟ أليس هذا ما أردنا إثباته؟ نعم، نعم، هذا كل شيء!
ترى كم هو رائع "السير في الفضاء" - بناء خط مستقيم إضافي - لم يكن من الممكن أن يحدث شيء بدونه! وهكذا أثبتنا ذلك
الآن يمكنك استخدامه بأمان! دعونا نحلل خاصية أخرى لمنصفات زوايا المثلث - لا تخف، الآن انتهى الأمر الأصعب - سيكون الأمر أسهل.
لقد حصلنا على ذلك
النظرية 1:
النظرية 2:
النظرية 3:
النظرية 4:
النظرية 5:
النظرية 6:
نظرية. منصف الزاوية الداخليةيقسم المثلث الجانب المقابل إلى أجزاء تتناسب مع الجوانب المجاورة.
دليل. خذ بعين الاعتبار المثلث ABC (الشكل 259) ومنصف زاويته B. لنرسم خط CM عبر الرأس C، موازياً للمنصف VC، حتى يتقاطع عند النقطة M مع استمرار الجانب AB. بما أن VC هو منصف الزاوية ABC، إذن . علاوة على ذلك، كزوايا متناظرة على الخطوط المتوازية، وكزوايا عرضية على الخطوط المتوازية. من هنا وبالتالي - متساوي الساقين ومن أين. وفقًا لنظرية الخطوط المتوازية التي تتقاطع مع جوانب الزاوية، لدينا وفي ضوء ذلك حصلنا على ما كان مطلوبًا إثباته.
منصف الزاوية الخارجية B للمثلث ABC (الشكل 260) له خاصية مماثلة: القطع AL و CL من القمم A و C إلى النقطة L من تقاطع المنصف مع استمرار الجانب AC هي يتناسب مع أضلاع المثلث :
تم إثبات هذه الخاصية بنفس الطريقة السابقة: في الشكل. 260 يتم رسم خط مستقيم مساعد SM، موازياً للمنصف BL. وسيقتنع القارئ نفسه بتساوي الزاويتين BMC وBCM، ومن ثم تساوي الضلعين BM وBC للمثلث BMC، وبعد ذلك سيتم الحصول على النسبة المطلوبة على الفور.
ويمكننا القول إن منصف الزاوية الخارجية يقسم الضلع المقابل أيضًا إلى أجزاء تتناسب مع الأضلاع المجاورة؛ من الضروري فقط الموافقة على السماح "بالتقسيم الخارجي" للقطعة.
النقطة L التي تقع خارج القطعة AC (على استمرارها) تقسمها خارجياً بالنسبة إلى إذا كان الأمر كذلك فإن منصفات زاوية المثلث (الداخلية والخارجية) تقسم الضلع المقابل (الداخلي والخارجي) إلى أجزاء متناسبة إلى الجوانب المجاورة.
المسألة 1. أضلاع شبه المنحرف هي 12 و 15، والقاعدتان 24 و 16. أوجد أضلاع المثلث الذي يتكون من القاعدة الكبيرة لشبه المنحرف وأضلاعه الممتدة.
حل. في تدوين الشكل. 261 لدينا للقطعة التي تعمل بمثابة استمرار للجانب الجانبي النسبة التي نجد منها بسهولة وبطريقة مماثلة نحدد الضلع الثاني للمثلث الضلع الثالث يتطابق مع القاعدة الكبيرة: .
المسألة 2. قاعدتا شبه المنحرف هما 6 و15. ما طول القطعة الموازية للقاعدتين وتقسيم الجوانب بنسبة 1:2، مع العد من رؤوس القاعدة الصغيرة؟
حل. دعنا ننتقل إلى الشكل. 262 يصور شبه منحرف. من خلال قمة الرأس C للقاعدة الصغيرة، نرسم خطًا موازيًا للجانب الجانبي AB، ونقطع متوازي الأضلاع من شبه المنحرف. منذ ذلك الحين من هنا نجد . وبالتالي فإن القطعة المجهولة KL بأكملها تساوي. لاحظ أنه لحل هذه المشكلة، لا نحتاج إلى معرفة أضلاع شبه المنحرف.
المشكلة 3. يقطع منصف الزاوية الداخلية B للمثلث ABC الجانب AC إلى أجزاء، على أي مسافة من القمم A وC سوف يتقاطع منصف الزاوية الخارجية B مع الامتداد AC؟
حل. يقسم كل منصف للزاوية B التيار المتناوب بنفس النسبة، لكن أحدهما داخليًا والآخر خارجيًا. نشير بـ L إلى نقطة تقاطع استمرار AC ومنصف الزاوية الخارجية B. بما أن AK نشير إلى المسافة المجهولة AL بحلول ذلك الوقت وسنحصل على النسبة التي يعطينا حلها المسافة المطلوبة
قم بالرسم بنفسك.
تمارين
1. شبه المنحرف ذو القاعدتين 8 و 18 مقسم بخطوط مستقيمة موازية للقاعدتين إلى ستة شرائح متساوية العرض. أوجد أطوال القطع المستقيمة التي تقسم شبه المنحرف إلى شرائح.
2. محيط المثلث هو 32. منصف الزاوية A يقسم الضلع BC إلى أجزاء تساوي 5 و 3. أوجد أطوال أضلاع المثلث.
3. قاعدة المثلث متساوي الساقين هي أ، والضلع هو ب. أوجد طول القطعة التي تربط نقاط تقاطع منصفات زوايا القاعدة مع الجوانب.
اليوم سيكون الدرس سهلا جدا سننظر في كائن واحد فقط - منصف الزاوية - ونثبت أهم خاصية له، والتي ستكون مفيدة جدًا لنا في المستقبل.
فقط لا تسترخي: في بعض الأحيان، لا يستطيع الطلاب الذين يرغبون في الحصول على درجة عالية في نفس OGE أو USE، في الدرس الأول، حتى صياغة التعريف الدقيق للمنصف.
وبدلاً من القيام بمهام مثيرة للاهتمام حقًا، فإننا نقضي الوقت في مثل هذه الأشياء البسيطة. لذا اقرأ وشاهد - وتبني. :)
في البداية، هناك سؤال غريب بعض الشيء: ما هي الزاوية؟ هذا صحيح: الزاوية هي مجرد شعاعين يخرجان من نفس النقطة. على سبيل المثال:
أمثلة على الزوايا: الحادة، المنفرجة، القائمة كما ترون من الصورة، يمكن أن تكون الزوايا حادة، منفرجة، مستقيمة - لا يهم الآن. في كثير من الأحيان، من أجل الراحة، يتم وضع علامة على نقطة إضافية على كل شعاع ويقولون، كما يقولون، أمامنا الزاوية $AOB$ (مكتوبة كـ $\angle AOB$).
يبدو أن القبطان يلمح إلى أنه بالإضافة إلى الشعاعين $OA$ و$OB$، يمكن للمرء دائمًا رسم مجموعة من الأشعة من النقطة $O$. ولكن من بينها سيكون هناك واحد خاص - يسمى المنصف.
تعريف. منصف الزاوية هو الشعاع الذي يخرج من رأس تلك الزاوية فينصفها.
بالنسبة للزوايا المذكورة أعلاه، ستبدو المنصفات كما يلي:
أمثلة على منصفات الزوايا الحادة والمنفرجة والقائممة
نظرًا لأنه في الرسومات الحقيقية، ليس من الواضح دائمًا أن شعاعًا معينًا (في حالتنا، هذا هو شعاع $OM$) يقسم الزاوية الأولية إلى زاويتين متساويتين، فمن المعتاد في الهندسة تحديد زوايا متساوية بنفس عدد الزوايا أقواس (في رسمنا هذا هو قوس واحد لزاوية حادة، واثنان حادة، وثلاثة مستقيمة).
حسنًا، لقد توصلنا إلى التعريف. أنت الآن بحاجة إلى فهم الخصائص التي يمتلكها المنصف.
الخاصية الأساسية لمنصف الزاوية
في الواقع، المنصف لديه الكثير من الخصائص. وسوف نفكر فيها بالتأكيد في الدرس التالي. ولكن هناك خدعة واحدة عليك أن تفهمها الآن:
نظرية. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن ضلعي الزاوية المعطاة.
إذا ترجمت من الرياضيات إلى اللغة الروسية، فهذا يعني حقيقتين في وقت واحد:
- أي نقطة تقع على منصف الزاوية تكون في وضع التشغيل نفس المسافةمن جوانب هذا الركن.
- والعكس صحيح: إذا كانت النقطة تقع على نفس المسافة من جوانب زاوية معينة، فمن المؤكد أنها تقع على منصف هذه الزاوية.
قبل إثبات هذه العبارات، دعونا نوضح نقطة واحدة: ما الذي يسمى في الواقع المسافة من نقطة إلى جانب الزاوية؟ سيساعدنا التعريف القديم الجيد للمسافة من نقطة إلى خط هنا:
تعريف. المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي المرسوم من تلك النقطة إلى ذلك الخط.
على سبيل المثال، ضع في اعتبارك أن الخط $l$ والنقطة $A$ لا تقعان على هذا الخط. ارسم $AH$ عموديًا، حيث $H\in l$. إذن سيكون طول هذا العمود هو المسافة من النقطة $A$ إلى الخط $l$.
تمثيل رسومي للمسافة من نقطة إلى خط بما أن الزاوية عبارة عن شعاعين فقط، وكل شعاع عبارة عن قطعة من الخط، فمن السهل تحديد المسافة من نقطة إلى جوانب الزاوية. إنه مجرد عمودين متعامدين:
تحديد المسافة من نقطة إلى جوانب الزاوية هذا كل شئ! الآن نحن نعرف ما هي المسافة وما هو المنصف. لذلك، يمكننا إثبات الخاصية الرئيسية.
وكما وعدناكم، سنقسم الدليل إلى قسمين:
1. المسافات من نقطة على المنصف إلى أضلاع الزاوية هي نفسها
النظر في زاوية تعسفية مع قمة الرأس $O$ والمنصف $OM$:
دعونا نثبت أن هذه النقطة نفسها $M$ تقع على نفس المسافة من جانبي الزاوية.
دليل. لنرسم خطوطًا متعامدة من النقطة $M$ إلى أضلاع الزاوية. دعنا نسميهم $M((H)_(1))$ و $M((H)_(2))$:
ارسم خطوطًا متعامدة على جوانب الزاوية
حصلنا على مثلثين قائمين: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. لديهم وتر مشترك $OM$ وزوايا متساوية:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ بالافتراض (نظرًا لأن $OM$ منصف)؛
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ عن طريق البناء؛
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ لأن المجموع الزوايا الحادة للمثلث القائم الزاوية تساوي دائمًا 90 درجة.
ولذلك فإن المثلثين متساويان في أضلاعهما وزاويتين متجاورتين (انظر علامات تساوي المثلثات). ولذلك، على وجه الخصوص، $M((H)_(2))=M((H)_(1))$، أي. المسافات من النقطة $O$ إلى جانبي الزاوية متساوية بالفعل. سؤال وجواب :)
2. إذا كانت المسافات متساوية فإن النقطة تقع على المنصف
الآن انعكس الوضع. دع الزاوية $O$ ونقطة $M$ متساوية البعد عن جانبي هذه الزاوية:
دعونا نثبت أن الشعاع $OM$ منصف، أي. $\زاوية MO((H)_(1))=\زاوية MO((H)_(2))$.
دليل. في البداية، لنرسم هذا الشعاع $OM$، وإلا فلن يكون هناك ما يمكن إثباته:
أنفق الشعاع $OM$ داخل الزاوية
لقد حصلنا على مثلثين قائمين مرة أخرى: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. ومن الواضح أنهما متساويان للأسباب التالية:
- الوتر $OM$ شائع؛
- الأرجل $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ حسب الشرط (لأن النقطة $M$ متساوية البعد عن جوانب الزاوية)؛
- الأرجل المتبقية متساوية أيضًا، لأن بواسطة نظرية فيثاغورس $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
لذلك، المثلثان $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$ من ثلاثة جوانب. على وجه الخصوص، زواياها متساوية: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. وهذا يعني فقط أن $OM$ منصف.
في ختام الإثبات، نحدد الزوايا المتساوية المتكونة بأقواس حمراء:
يقسم المنصف الزاوية $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ إلى قسمين متساويين
كما ترون، لا شيء معقد. لقد أثبتنا أن منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية. :)
الآن بعد أن قررنا بشكل أو بآخر بشأن المصطلحات، فقد حان الوقت للانتقال إلى ذلك مستوى جديد. وفي الدرس القادم سنتناول المزيد خصائص معقدةالمنصفات وتعلم كيفية تطبيقها لحل المشكلات الحقيقية.
