تقاطع المنصفات في مثلث متساوي الساقين. منصف المثلث - ما هو
تسمى الزوايا الداخلية للمثلث بمنصف المثلث.
يُفهم أيضًا منصف زاوية المثلث على أنه القطعة الواقعة بين رأسه ونقطة تقاطع المنصف مع الجانب المقابل للمثلث.
نظرية 8.
تتقاطع المنصفات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة.
في الواقع ، ضع في اعتبارك أولاً النقطة Р من تقاطع منصفين ، على سبيل المثال ، AK 1 و VC 2. هذه النقطة بعيدة بشكل متساوٍ عن الضلع AB و AC ، لأنها تقع على منصف الزاوية A ، وهي بعيدة بشكل متساوٍ عن الضلع AB و BC ، لأنها تنتمي لمنصف الزاوية B. لذلك ، فهي بعيدة بنفس القدر عن الجانبين AC و BC وبالتالي ينتمي إلى المنصف الثالث SK 3 ، أي عند النقطة P تتقاطع جميع المنصات الثلاثة.
خصائص منصفات الزوايا الداخلية والخارجية للمثلث
نظرية 9.
يقسم منصف الزاوية الداخلية للمثلث الضلع المقابل إلى أجزاء تتناسب مع الأضلاع المجاورة. 
دليل. ضع في اعتبارك المثلث ABC ومنصف زاويته B. دعونا نرسم خطًا مستقيمًا CM عبر الرأس C ، موازيًا للمنصف BK ، حتى يتقاطع عند النقطة M كامتداد للضلع AB.بما أن VC هو منصف الزاوية ABC ، إذن ∠ ABK = ∠ KBC. علاوة على ذلك ، ∠ ABK = ∠ VMS ، كزاوية مقابلة في خطوط متوازية ، و ∠ KBC = ∠ VCM ، كزوايا متقاطعة عند خطوط متوازية. ومن ثم فإن ∠ VCM = ∠ VMS ، وبالتالي فإن مثلث VMS هو متساوي الساقين ، ومن ثم BC = VM. وفقًا لنظرية الخطوط المتوازية التي تتقاطع مع جوانب زاوية ، لدينا AK: K C = AB: VM = AB: BC ، والذي كان مطلوبًا لإثباته.
نظرية 10
منصف الزاوية الخارجيةفي المثلث ABC لها خاصية مشابهة: الأجزاء AL و CL من الرأس A و C إلى النقطة L من تقاطع المنصف مع امتداد جانب AC متناسبة مع جوانب المثلث: AL: CL= AB: BC.
تم إثبات هذه الخاصية بنفس الطريقة السابقة: يتم رسم خط مستقيم إضافي CM في الشكل ، بالتوازي مع المنصف BL. الزاويتان BMC و BCM متساويتان ، مما يعني أن الضلع BM و BC للمثلث BMC متساويان. من هنا نصل إلى الاستنتاج AL: CL = AB: BC.
نظرية d4.
(الصيغة الأولى للمنصف): إذا كان المقطع AL في المثلث ABC هو منصف الزاوية A ، إذن AL؟ = AB AC - LB LC.
دليل:لنفترض أن M هي نقطة تقاطع الخط AL مع الدائرة المحددة حول المثلث ABC (الشكل 41). زاوية BAM تساوي زاوية MAC حسب الاصطلاح. الزاويتان BMA و BCA متساويتان كزوايا محوطة تعتمد على نفس الوتر. ومن ثم ، فإن المثلثات BAM و LAC متشابهة في زاويتين. لذلك ، AL: AC = AB: AM. إذن AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL؟ = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. وهو ما يجب إثباته. ملاحظة: بالنسبة لنظرية مقاطع الأوتار المتقاطعة في دائرة وعلى الزوايا المحيطية ، انظر دائرة الموضوع ودائرة.
نظرية d5.
(الصيغة الثانية للمنصف): في المثلث ABC بأضلاعه AB = a و AC = b والزاوية A تساوي 2؟ والمنصف l ، تحدث المساواة:
l = (2ab / (a + b)) · cos ؟.
دليل:لنفترض أن ABC مثلث معطى ، AL منصفه (الشكل 42) ، a = AB ، b = AC ، l = AL. ثم S ABC = S ALB + S ALC. ومن ثم absin2؟ = الجن؟ + blsin؟<=>2absin؟ كوس؟ = (أ + ب) lsin؟<=>ل = 2 (أب / (أ + ب)) جتا ؟. لقد تم إثبات النظرية.
منصف المثلث هو مفهوم هندسي شائع لا يسبب صعوبة كبيرة في التعلم. معرفة خصائصه ، يمكن حل العديد من المشاكل دون صعوبة كبيرة. ما هو المنصف؟ سنحاول تعريف القارئ بكل أسرار هذا الخط الرياضي.
في تواصل مع
جوهر المفهوم
جاء اسم المفهوم من استخدام الكلمات في اللاتينية ، ومعنى ذلك هو "bi" - two ، "sectionio" - cut. يشيرون على وجه التحديد إلى المعنى الهندسي للمفهوم - تفتيت المسافة بين الأشعة إلى قسمين متساويين.
منصف المثلث هو جزء ينشأ من أعلى الشكل ، ويوضع الطرف الآخر على الجانب المقابل له ، بينما يقسم الفراغ إلى جزأين متطابقين.
يستخدم العديد من المعلمين للحفظ النقابي السريع للمفاهيم الرياضية من قبل الطلاب مصطلحات مختلفة ، والتي يتم عرضها في الآيات أو الجمعيات. بالطبع ، يوصى بهذا التعريف للأطفال الأكبر سنًا.
كيف يتم تمييز هذا الخط؟ هنا نعتمد على قواعد تحديد المقاطع أو الأشعة. لو نحن نتكلمحول تعيين منصف زاوية الشكل الثلاثي ، فعادة ما يتم كتابته كقطعة ، نهاياتها الرأس ونقطة التقاطع مع الجانب الآخر من الرأس. علاوة على ذلك ، فإن بداية التسمية مكتوبة بالضبط من الأعلى.
انتباه!كم عدد منصفات المثلث؟ الجواب واضح: بقدر عدد الرؤوس - ثلاثة.
ملكيات
بالإضافة إلى التعريف ، لا توجد الكثير من خصائص هذا المفهوم الهندسي في الكتاب المدرسي. الخاصية الأولى لمنصف المثلث ، التي يتعرف عليها تلاميذ المدارس ، هي المركز المدرج ، والثاني ، المرتبط مباشرة به ، هو تناسب المقاطع. الخلاصة هي:
- أيا كان الخط الفاصل ، فهناك نقاط عليه على نفس المسافةمن الأطراف، والتي تشكل الفراغ بين الأشعة.
- من أجل كتابة دائرة في شكل مثلث ، من الضروري تحديد النقطة التي ستتقاطع عندها هذه المقاطع. هذه هي النقطة المركزية للدائرة.
- أجزاء من جانب الشكل الهندسي المثلث ، الذي يقسم إليه خط فاصل ، هي بما يتناسب مع الجوانب التي تشكل الزاوية.
سنحاول إدخال بقية الميزات في نظام وتقديم حقائق إضافية تساعد على فهم مزايا هذا المفهوم الهندسي بشكل أفضل.
طول
أحد أنواع المهام التي تسبب صعوبة لأطفال المدارس هو إيجاد طول منصف زاوية المثلث. يحتوي الخيار الأول ، الذي يقع فيه طوله ، على البيانات التالية:
- حجم المسافة بين الأشعة ، والتي يظهر الجزء العلوي منها ؛
- أطوال الأضلاع التي تشكل هذه الزاوية.
لحل المشكلة الصيغة المستخدمة، ومعنى ذلك إيجاد نسبة حاصل الضرب المضاعف لقيم الأضلاع التي تتكون منها الزاوية ، بجيب تمام نصفها ، إلى مجموع الأضلاع.
لنلق نظرة على مثال محدد. لنفترض أننا حصلنا على رقم ABC ، حيث يتم رسم المقطع من الزاوية A ويتقاطع مع الجانب BC عند النقطة K. نشير إلى قيمة A من Y. بناءً على ذلك ، AK \ u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).
النسخة الثانية من المشكلة ، والتي يتم فيها تحديد طول منصف المثلث ، تحتوي على البيانات التالية:
- قيم جميع جوانب الشكل معروفة.
عند حل مشكلة من هذا النوع في البداية تحديد semiperimeter. للقيام بذلك ، أضف قيم جميع الجوانب وقسمها إلى نصفين: p \ u003d (AB + BC + AC) / 2. بعد ذلك ، نطبق الصيغة الحسابية التي تم استخدامها لتحديد طول هذا المقطع في المسألة السابقة. من الضروري فقط إجراء بعض التغييرات على جوهر الصيغة وفقًا للمعايير الجديدة. لذلك ، من الضروري إيجاد نسبة جذر الدرجة الثانية من حاصل ضرب أطوال الأضلاع المجاورة للأعلى ، إلى نصف المحيط والفرق بين نصف المحيط وطول الضلع المقابل لمجموع الأضلاع المكونة للزاوية. أي ، AK \ u003d (26AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).
انتباه!لتسهيل إتقان المواد ، يمكنك الرجوع إلى القصص المصورة المتوفرة على الإنترنت والتي تحكي عن "مغامرات" هذا الخط.
تعليمات
إذا كان مثلث معين متساوي الساقين أو منتظم ، فهذا يعني أن له
وجهان أو ثلاثة ثم منصفه حسب الملكية مثلث، سيكون أيضًا الوسيط. وبالتالي ، فإن العكس سيقسم المنصف إلى نصفين.
قس الضلع المقابل بالمسطرة مثلثحيث سيميل المنصف إلى. اقسم هذا الجانب إلى نصفين وضع نقطة في منتصف الجانب.
ارسم خطًا مستقيمًا من خلال النقطة المبنية والرأس المعاكس. سيكون هذا هو المنصف مثلث.
مصادر:
- المتوسطات والمنصفات والارتفاعات في المثلث
يعد تقسيم الزاوية إلى النصف وحساب طول الخط المرسوم من أعلى إلى الجانب الآخر أمرًا ضروريًا للقواطع والمساحين والميكانيكيين وأشخاص بعض المهن الأخرى.
سوف تحتاج
- أدوات مسطرة قلم رصاص منقلة جداول الجيب وجيب التمام الصيغ والمفاهيم الرياضية: تعريف المنصف نظرية الجيب وجيب التمام نظرية المنصف
تعليمات
بناء مثلث من الضروري والحجم اعتمادا على ما أعطيت لك؟ dff والزاوية بينهما ثلاثة جوانب أو زاويتان والجانب الواقع بينهما.
عيّن رؤوس الزوايا والجوانب باللاتينية التقليدية A و B و C. يتم الإشارة إلى رؤوس الزوايا ، بينما تكون الأضلاع المتقابلة صغيرة. قم بتسمية الزوايا الحروف اليونانية؟،؟ و؟
باستخدام نظريتي الجيب وجيب التمام ، احسب الزوايا والأضلاع مثلث.
تذكر المنصات. المنصف - تقسيم الزاوية إلى نصفين. زاوية منصف مثلثيقسم المقابل إلى جزأين ، وهو ما يساوي نسبة الضلعين المتجاورين مثلث.
ارسم منصف الزاوية. عيّن المقاطع الناتجة بأسماء الزوايا ، مكتوبة بأحرف صغيرة ، مع حرف l. الجانب ج مقسم إلى جزأين أ وب مع مؤشرات ل.
احسب أطوال المقاطع الناتجة باستخدام نظرية الجيب.
فيديوهات ذات علاقة
ملحوظة
يتم حساب طول المقطع ، الذي يمثل في نفس الوقت جانب المثلث المكون من أحد جانبي المثلث الأصلي ، والمنصف والقطعة نفسها ، باستخدام نظرية الجيب. لحساب طول مقطع آخر من نفس الجانب ، استخدم نسبة المقاطع الناتجة والأضلاع المجاورة للمثلث الأصلي.
حتى لا تتشوش ، ارسم المنصفين زوايا مختلفة لون مختلف.
منصف زاويةيسمى الشعاع الذي يبدأ من قمة الرأس زاويةويقسمها إلى قسمين متساويين. أولئك. ليصرف منصف، عليك أن تجد الوسط زاوية. أسهل طريقة للقيام بذلك هي باستخدام البوصلة. في هذه الحالة ، لن تحتاج إلى إجراء أي حسابات ، ولن تعتمد النتيجة على ما إذا كانت القيمة كذلك زاويةالرقم كاملا.
سوف تحتاج
- بوصلة ، قلم رصاص ، مسطرة.
تعليمات
اترك عرض البوصلة مفتوحًا كما هو ، اضبط الإبرة في نهاية المقطع على أحد الجانبين وارسم جزءًا من الدائرة بحيث يكون موجودًا بالداخل زاوية. افعل نفس الشيء مع الثاني. ستحصل على جزأين من الدوائر التي ستتقاطع في الداخل زاوية- في المنتصف تقريباً. يمكن أن تتقاطع أجزاء الدوائر عند نقطة أو نقطتين.
فيديوهات ذات علاقة
نصائح مفيدة
يمكنك استخدام منقلة لإنشاء منصف الزاوية ، لكن هذه الطريقة تتطلب مزيدًا من الدقة. في هذه الحالة ، إذا لم تكن قيمة الزاوية عددًا صحيحًا ، يزداد احتمال حدوث أخطاء في بناء المنصف.
عند بناء أو تطوير مشاريع تصميم المنزل ، غالبًا ما يكون من الضروري البناء ركنيساوي الموجود بالفعل. تأتي القوالب للإنقاذ المعرفة المدرسيةالهندسة.
تعليمات
تتكون الزاوية من خطين مستقيمين ينبثقان من نفس النقطة. ستسمى هذه النقطة رأس الزاوية ، وستكون الخطوط هي جوانب الزاوية.
استخدم ثلاثة للإشارة إلى الزوايا: واحدة في الأعلى واثنتان في الجانبين. وتسمى ركن، بدءًا بالحرف الذي يقف على جانب واحد ، ثم يسمون الحرف في الأعلى ، ثم الحرف في الجانب الآخر. استخدم الآخرين لتحديد الزوايا إذا كنت تفضل ذلك. في بعض الأحيان يتم استدعاء حرف واحد فقط ، وهو في الجزء العلوي. ويمكنك الإشارة إلى الزوايا بأحرف يونانية ، على سبيل المثال ، α ، β ، γ.
هناك حالات حيث يكون ذلك ضروريًا ركنبحيث يتم منحه الزاوية بالفعل. إذا لم يكن من الممكن استخدام المنقلة عند البناء ، يمكنك فقط استخدام المسطرة والبوصلة. لنفترض ، على السطر المميز بالأحرف MN ، أنك بحاجة إلى البناء ركنعند النقطة K ، بحيث تكون مساوية للزاوية B. أي من النقطة K ، من الضروري رسم خط مستقيم ، مع الخط MN ركن، والتي ستكون مساوية للزاوية ب.
أولاً ، حدد نقطة على كل جانب من هذه الزاوية ، على سبيل المثال ، النقطتان A و C ، ثم قم بتوصيل النقطتين C و A بخط مستقيم. احصل على tre ركننيك ABC.
الآن بناء على الخط MN نفس الثلاثة ركنيقع الرأس B على الخط عند النقطة K. استخدم القاعدة لبناء مثلث ركنالساعة الثالثة. ضع جانباً المقطع KL من النقطة K. يجب أن تكون مساوية للجزء BC. احصل على النقطة L.
من النقطة K ، ارسم دائرة نصف قطرها يساوي المقطع BA. من L ارسم دائرة نصف قطرها CA. قم بتوصيل النقطة الناتجة (P) من تقاطع دائرتين مع K. احصل على ثلاثة ركننك KPL ، والتي ستكون مساوية لثلاثة ركننيكو ABC. حتى تحصل ركنستكون مساوية للزاوية B. لجعلها أكثر ملاءمة وأسرع ، ضع جانباً أجزاء متساوية من الرأس B ، باستخدام محلول بوصلة واحدة ، دون تحريك الأرجل ، صف دائرة لها نفس نصف القطر من النقطة K.
فيديوهات ذات علاقة
نصيحة 5: كيفية رسم مثلث معطى جانبين ومتوسط
المثلث هو الأبسط الشكل الهندسي، الذي يحتوي على ثلاثة رؤوس متصلة في أزواج بواسطة مقاطع تشكل جوانب هذا المضلع. يسمى الجزء الخطي الذي يربط الرأس بنقطة المنتصف في الجانب المقابل بالمتوسط. بمعرفة أطوال الضلعين والوسيط المتصل عند أحد الرؤوس ، يمكنك بناء مثلث دون معرفة طول الضلع الثالث أو الزوايا.
تعليمات
ارسم مقطعًا من النقطة A ، يكون طوله أحد الأضلاع المعروفة للمثلث (أ). حدد نقطة نهاية هذا الجزء بالحرف B. بعد ذلك ، يمكن اعتبار أحد جوانب المثلث المطلوب بالفعل مبنيًا.
استخدم بوصلة لرسم دائرة نصف قطرها يساوي ضعف طول الوسيط (2 ∗ م) ومركزها عند النقطة أ.
استخدم البوصلة لرسم دائرة ثانية بنصف قطر يساوي طول الضلع المعروف (ب) ومركزها عند النقطة ب. ضع البوصلة جانبًا لبعض الوقت ، لكن اترك الدائرة المقاسة عليها - ستحتاجها مرة أخرى بعد قليل.
أنشئ مقطعًا خطيًا يربط النقطة A بنقطة التقاطع بين الاثنين المرسومة بواسطتك. سيكون نصف هذا الجزء هو الجزء الذي تقوم ببنائه - قم بقياس هذا النصف ووضع النقطة M. عند هذه النقطة ، لديك جانب واحد من المثلث المطلوب (AB) ومتوسطه (AM).
استخدم بوصلة لرسم دائرة نصف قطرها يساوي طول الضلع الثاني المعروف (ب) ومركزها عند النقطة أ.
ارسم جزءًا يجب أن يبدأ من النقطة B ، ويمر بالنقطة M وينتهي عند نقطة تقاطع الخط مع الدائرة التي رسمتها في الخطوة السابقة. عيّن نقطة التقاطع بالحرف C. الآن ، في الجانب المطلوب ، تم أيضًا بناء الضلع BC ، غير المعروف بظروف المشكلة.
القدرة على قسمة أي زاوية مع منصف ضرورية ليس فقط من أجل الحصول على "A" في الرياضيات. ستكون هذه المعرفة مفيدة جدًا للباني والمصمم والمساح والخياط. هناك أشياء كثيرة في الحياة يجب تقسيمها.
قام الجميع في المدرسة بتعليم نكتة حول فأر يدور حول الزوايا ويقسم الزاوية إلى نصفين. كان يسمى هذا القارض الذكي والذكي بالمنصف. من غير المعروف كيف قسم الجرذ الزاوية ، ويمكن لعلماء الرياضيات في الكتاب المدرسي "الهندسة" أن يقدموا الطرق التالية.
بمساعدة منقلة
أسهل طريقة لرسم منصف هي استخدام جهاز ل. من الضروري ربط المنقلة بجانب واحد من الزاوية ، محاذاة النقطة المرجعية مع طرفها O. ثم قم بقياس الزاوية بالدرجات أو بالراديان وقسمها على اثنين. بمساعدة نفس المنقلة ، ضع الدرجات التي تم الحصول عليها من أحد الجانبين جانبًا وارسم خطًا مستقيمًا ، والذي سيصبح المنصف ، إلى النقطة التي تبدأ عندها الزاوية O.بمساعدة الدائرة
يجب أن تأخذ بوصلة وترسلها إلى أي حجم تعسفي (داخل الرسم). بعد ضبط الحافة عند نقطة بداية الزاوية O ، ارسم قوسًا يتقاطع مع الأشعة ، مع تحديد نقطتين عليها. عين لهم A1 و A2. بعد ذلك ، عند ضبط البوصلة بالتناوب في هذه النقاط ، يجب رسم دائرتين من نفس القطر التعسفي (على مقياس الرسم). تم تعيين نقطتي تقاطعهما C و B. بعد ذلك ، تحتاج إلى رسم خط مستقيم عبر النقاط O و C و B ، والتي ستكون المنصف المرغوب.مع مسطرة
من أجل رسم منصف الزاوية بمسطرة ، تحتاج إلى وضع أجزاء من نفس الطول من النقطة O على الأشعة (الجوانب) وتعيينها بالنقطتين A و B. ثم يجب عليك توصيلها بخط مستقيم واستخدم المسطرة لتقسيم المقطع الناتج إلى نصفين ، مع وضع علامة على النقطة C.بدون أدوات
إذا لم تكن هناك أدوات قياس ، فيمكنك استخدام البراعة. يكفي فقط رسم زاوية على ورق التتبع أو الورق الرقيق العادي ثم قم بطي الورقة بعناية بحيث يتم محاذاة أشعة الزاوية. سيكون خط الطي في الرسم هو المنصف المرغوب.زاوية موسعة
يمكن تقسيم الزاوية الأكبر من 180 درجة على المنصف بالطريقة نفسها. فقط لن يكون من الضروري تقسيمها ، ولكن الزاوية الحادة المجاورة لها ، تبقى من الدائرة. سيصبح استمرار المنصف الموجود هو الخط المستقيم المطلوب ، ويقسم الزاوية الموسعة إلى النصف.الزوايا في المثلث
يجب أن نتذكر أنه في مثلث متساوي الأضلاع ، يكون المنصف هو أيضًا الوسيط والارتفاع. لذلك ، يمكن العثور على المنصف فيه ببساطة عن طريق خفض العمود العمودي على الجانب المقابل للزاوية (الارتفاع) أو تقسيم هذا الجانب إلى النصف وربط نقطة المنتصف بـ الزاوية المقابلة(الوسيط).فيديوهات ذات علاقة
قاعدة الذاكرة "المنصف هو جرذ يدور حول الزوايا ويقسمها إلى نصفين" يصف جوهر المفهوم ، لكنه لا يقدم توصيات لبناء منصف. لرسمه ، بالإضافة إلى القاعدة ، ستحتاج إلى بوصلة ومسطرة.
تعليمات
لنفترض أنك بحاجة إلى البناء منصفالزاوية أ. خذ بوصلة ، ضعها بنقطة عند النقطة أ (الزاوية) وارسم أي دائرة. عندما تتقاطع مع جوانب الزاوية ، ضع النقطتين B و C.
قس نصف قطر الدائرة الأولى. ارسم واحدة أخرى بنفس نصف القطر ، مع وضع البوصلة عند النقطة B.
ارسم الدائرة التالية (متساوية في الحجم مع السابقة) متمركزة عند النقطة C.
يجب أن تتقاطع الدوائر الثلاث عند نقطة واحدة - دعنا نسميها F. باستخدام المسطرة ، ارسم شعاعًا يمر عبر النقطتين A و F. هذا سيكون المنصف المرغوب للزاوية A.
هناك عدة قواعد لمساعدتك في العثور عليها. على سبيل المثال ، هو عكس ذلك في ، يساوي النسبةوجهان متجاوران. في متساوي الساقين
سيكون اليوم درسًا سهلاً للغاية. سننظر في كائن واحد فقط - منصف الزاوية - ونثبت أهم خصائصه ، والتي ستكون مفيدة جدًا لنا في المستقبل.
فقط لا تسترخي: في بعض الأحيان الطلاب الذين يرغبون في الحصول على درجة عالية في نفس OGE أو USE ، في الدرس الأول ، لا يمكنهم حتى صياغة التعريف الدقيق للمنصف.
وبدلاً من القيام بمهام شيقة حقًا ، نقضي الوقت في مثل هذه الأشياء البسيطة. لذا اقرأ ، شاهد - واعتمد. :)
بادئ ذي بدء ، سؤال غريب بعض الشيء: ما هي الزاوية؟ هذا صحيح: الزاوية هي مجرد شعاعين يخرجان من نفس النقطة. على سبيل المثال:
أمثلة على الزوايا: حادة ، منفرجة ، ومستقيمة كما ترى من الصورة ، يمكن أن تكون الزوايا حادة ومنفرجة ومستقيمة - لا يهم الآن. في كثير من الأحيان ، للراحة ، يتم تحديد نقطة إضافية على كل شعاع ويقولون ، كما يقولون ، لدينا زاوية $ AOB $ (مكتوبة كـ $ \ angle AOB $).
يبدو أن القبطان يلمح إلى أنه بالإضافة إلى الأشعة $ OA $ و $ OB $ ، يمكن للمرء دائمًا رسم مجموعة من الأشعة من النقطة $ O $. لكن من بينهم سيكون هناك واحد خاص - يسمى المنصف.
تعريف. منصف الزاوية هو شعاع يخرج من رأس تلك الزاوية ويشطر الزاوية.
بالنسبة للزوايا أعلاه ، ستبدو المنصفات كما يلي:
أمثلة من المنصّفات للحادة والمنفرجة و زاوية مستقيمة
نظرًا لأنه في الرسومات الحقيقية ، من غير الواضح دائمًا أن شعاعًا معينًا (في حالتنا ، هذا هو $ OM $ ray) يقسم الزاوية الأولية إلى زاويتين متساويتين ، فمن المعتاد في الهندسة تحديد زوايا متساوية بنفس العدد من أقواس (في الرسم لدينا هذا هو 1 قوس للزاوية الحادة ، واثنان للزاوية الحادة ، وثلاثة للزاوية المستقيمة).
حسنًا ، توصلنا إلى التعريف. أنت الآن بحاجة إلى فهم خصائص المنصف.
الخاصية الأساسية لمنصف الزاوية
في الواقع ، للمنصف الكثير من الخصائص. وسننظر فيها بالتأكيد في الدرس التالي. ولكن هناك خدعة واحدة يجب أن تفهمها الآن:
نظرية. منصف الزاوية هو موضع النقاط على مسافة متساوية من جانبي الزاوية المعطاة.
ترجم من الرياضيات إلى الروسية ، وهذا يعني حقيقتين في وقت واحد:
- تقع كل نقطة على منصف الزاوية على نفس المسافة من جانبي تلك الزاوية.
- والعكس صحيح: إذا كانت نقطة تقع على نفس المسافة من جانبي زاوية معينة ، فمن المؤكد أنها تقع على منصف هذه الزاوية.
قبل إثبات هذه العبارات ، دعنا نوضح نقطة واحدة: ما يسمى ، في الواقع ، المسافة من نقطة إلى جانب من زاوية؟ سيساعدنا التعريف القديم الجيد للمسافة من نقطة إلى خط هنا:
تعريف. المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمود المرسوم من تلك النقطة إلى هذا الخط.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السطر $ l $ والنقطة $ A $ غير الموجودة على هذا السطر. ارسم $ AH $ عموديًا ، حيث $ H \ in l $. سيكون طول هذا العمودي هو المسافة من النقطة $ A $ إلى الخط $ l $.
تمثيل رسومي للمسافة من نقطة إلى خط نظرًا لأن الزاوية عبارة عن شعاعين فقط ، وكل شعاع هو جزء من خط ، فمن السهل تحديد المسافة من نقطة إلى جانبي الزاوية. إنها مجرد عمودين:
أوجد المسافة من نقطة إلى جانبي زاوية هذا كل شئ! الآن نعرف ما هي المسافة وما هو المنصف. لذلك ، يمكننا إثبات الملكية الرئيسية.
كما وعدنا ، نقسم الإثبات إلى قسمين:
1. المسافات من نقطة على المنصف إلى جانبي الزاوية هي نفسها
ضع في اعتبارك زاوية عشوائية ذات رأس $ O $ ومنصف $ OM $:
دعنا نثبت أن نفس النقطة $ M $ تقع على نفس المسافة من جانبي الزاوية.
دليل. لنرسم الخطوط المتعامدة من النقطة $ M $ إلى أضلاع الزاوية. دعنا نسميها $ M ((H) _ (1)) $ و $ M ((H) _ (2)) $:
ارسم الخطوط العمودية على جوانب الزاوية
حصلنا على مثلثين قائمين: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ و $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. لديهم وتر مشترك $ OM $ وزوايا متساوية:
- $ \ زاوية MO ((H) _ (1)) = \ زاوية MO ((H) _ (2)) $ بافتراض (بما أن $ OM $ هو منصف) ؛
- $ \ الزاوية M ((H) _ (1)) O = \ الزاوية M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ بالبناء ؛
- $ \ زاوية OM ((H) _ (1)) = \ زاوية OM ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ angle MO ((H) _ (1)) $ لأن المجموع الزوايا الحادة لمثلث قائم الزاوية تساوي دائمًا 90 درجة.
لذلك ، المثلثات متساوية في الضلع وزاويتان متجاورتان (انظر علامات تساوي المثلثات). لذلك ، على وجه الخصوص ، $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $ ، أي المسافات من النقطة $ O $ إلى جانبي الزاوية متساوية بالفعل. Q.E.D. :)
2. إذا كانت المسافات متساوية ، فإن النقطة تقع على المنصف
الآن انعكس الوضع. دع الزاوية $ O $ والنقطة $ M $ متساوية البعد من جانبي هذه الزاوية:
دعنا نثبت أن الشعاع $ OM $ هو منصف ، أي $ \ زاوية MO ((H) _ (1)) = \ زاوية MO ((H) _ (2)) $.
دليل. بادئ ذي بدء ، دعنا نرسم هذا الشعاع $ OM $ ، وإلا فلن يكون هناك شيء لإثباته:
أنفق الشعاع $ OM $ داخل الزاوية
حصلنا على مثلثين قائمين مرة أخرى: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ و $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. من الواضح أنهم متساوون للأسباب التالية:
- الوتر $ OM $ شائع؛
- الأرجل $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ حسب الشرط (لأن النقطة $ M $ متساوية البعد من جوانب الزاوية) ؛
- الأرجل المتبقية متساوية أيضًا ، لأن بواسطة نظرية فيثاغورس $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.
لذلك ، المثلثات $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ و $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $ على ثلاثة جوانب. على وجه الخصوص ، زواياهما متساوية: $ \ زاوية MO ((H) _ (1)) = \ زاوية MO ((H) _ (2)) $. وهذا يعني فقط أن $ OM $ منصف.
في ختام الإثبات ، نحدد الزوايا المتساوية بأقواس حمراء:
يقسم المنصف الزاوية $ \ الزاوية ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ إلى قسمين متساويين
كما ترون ، لا شيء معقد. لقد أثبتنا أن منصف الزاوية هو موضع النقاط على مسافة متساوية من جوانب هذه الزاوية. :)
الآن وقد قررنا بشكل أو بآخر المصطلحات ، فقد حان الوقت للانتقال إلى مستوى جديد. في الدرس التالي ، سوف نستعرض المزيد خصائص معقدةمنصف وتعلم كيفية تطبيقها لحل المشاكل الحقيقية.
خصائص العصافير
خاصية المنصف: في المثلث ، يقسم المنصف الجانب المقابل إلى مقاطع تتناسب مع الجوانب المجاورة.
منصف الزاوية الخارجية يتقاطع منصف الزاوية الخارجية للمثلث مع امتداد جانبه عند نقطة ما ، والمسافات التي من خلالها إلى نهايات هذا الجانب تتناسب ، على التوالي ، مع الجوانب المجاورة للمثلث. ج ب أ د
صيغ طول المنصف:
صيغة إيجاد أطوال المقاطع التي يقسم إليها المنصف الضلع المقابل للمثلث
صيغة إيجاد نسبة أطوال المقاطع التي يقسم إليها المنصف على نقطة تقاطع المنصفين
المشكلة 1. أحد منصف المثلث مقسومًا على نقطة تقاطع المنصفين بنسبة 3: 2 ، بدءًا من الرأس. أوجد محيط المثلث إذا كان طول ضلع المثلث الذي رسم عليه هذا المنصف يساوي 12 سم.
الحل نستخدم الصيغة لإيجاد نسبة أطوال المقاطع التي يقسم إليها المنصف على نقطة تقاطع المنصفين في المثلث: 30. الإجابة: P = 30 سم.
المهمة 2. يتقاطع المنصفان BD و CE ∆ ABC عند النقطة O. AB = 14 ، BC = 6 ، AC = 10. أوجد يا د.
حل. دعنا نستخدم الصيغة لإيجاد طول المنصف: لدينا: BD = BD = = وفقًا لصيغة نسبة المقاطع التي يقسم فيها المنصف على نقطة تقاطع المنصفين: l =. 2 + 1 = 3 أجزاء من كل شيء.
هذا هو الجزء 1 OD = الإجابة: OD =
المشاكل في ∆ ABC ، يتم رسم المنصفين AL و BK. أوجد طول المقطع KLif AB \ u003d 15 ، AK \ u003d 7.5 ، BL \ u003d 5. في ∆ ABC ، يتم رسم المنصف AD ، ومن خلال النقطة D هو خط مستقيم موازٍ لـ AC ومتقاطع عند النقطة E. أوجد نسبة المساحات ABC و ∆ BDE ، إذا كان AB = 5 ، AC = 7. أوجد منصفات الزوايا الحادة لمثلث قائم الزاوية بأرجل 24 سم و 18 سم. في مثلث قائميقسم منصف الزاوية الحادة الساق المقابلة إلى جزأين بطول 4 و 5 سم ، حدد مساحة المثلث.
5. في مثلث متساوي الساقين ، طول القاعدة والضلع 5 و 20 سم على التوالي ، أوجد منصف الزاوية عند قاعدة المثلث. 6. أوجد منصف الزاوية القائمة لمثلث تساوي رجليه أ وب. 7. احسب طول منصف الزاوية A للمثلث ABC أطوال أضلاعه أ = 18 سم ، ب = 15 سم ، ج = 12 سم. أوجد النسبة التي يقسم بها المنصفان الزوايا الداخليةعند نقطة تقاطعهم.
الإجابات: الجواب: الجواب: الجواب: الجواب: الجواب: الجواب: الجواب: AP = 6 AP = 10 انظر KL = CP =
