• Ремонт
• Ремонт
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Най-голямата и най-малката стойност на дефиницията на функцията е кратка. Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент

Изследването на такъв обект на математически анализ като функция е от голямо значение. значениеи в други области на науката. Например в икономически анализпостоянно трябва да оценяваме поведението функциипечалба, а именно да се определи нейният максимум значениеи разработете стратегия за постигането му.

Инструкция

Изследването на всяко поведение винаги трябва да започва с търсене на домейн на дефиниция. Обикновено, според състоянието на конкретен проблем, се изисква да се определи най-големият значение функцииили върху цялата тази област, или върху нейния специфичен интервал с отворени или затворени граници.

Въз основа на най-големият е значение функции y(x0), при което за всяка точка от областта на дефиниране е изпълнено неравенството y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графично тази точка ще бъде най-висока, ако подредите стойностите на аргумента по абсцисната ос и самата функция по ординатната ос.

За определяне на най-големия значение функции, следвайте алгоритъма от три стъпки. Имайте предвид, че трябва да можете да работите с едностранни и , както и да изчислявате производната. И така, нека е дадена някаква функция y(x) и се изисква да се намери най-голямата й значениена някакъв интервал с гранични стойности A и B.

Разберете дали този интервал е в обхвата функции. За да направите това, трябва да го намерите, като вземете предвид всички възможни ограничения: наличието на дроб в израза, корен квадратени т.н. Домейнът на дефиницията е набор от стойности на аргументи, за които функцията има смисъл. Определете дали дадения интервал е подмножество от него. Ако да, преминете към следващата стъпка.

Намерете производната функциии решете полученото уравнение, като приравните производната на нула. Така ще получите стойностите на така наречените стационарни точки. Преценете дали поне един от тях принадлежи на интервала A, B.

Помислете за тези точки на третия етап, заменете техните стойности във функцията. Изпълнете следните допълнителни стъпки в зависимост от типа интервал. Ако има сегмент от формата [A, B], граничните точки се включват в интервала, това се обозначава със скоби. Изчисляване на стойности функцииза x = A и x = B. Ако отвореният интервал е (A, B), граничните стойности се пробиват, т.е. не са включени в него. Решаване на едностранни граници за x→A и x→B. Комбиниран интервал от формата [A, B) или (A, B), една от чиито граници му принадлежи, а другата не. Намерете едностранната граница, когато x клони към пунктираната стойност, и заместете другата в функцията Безкраен двустранен интервал (-∞, +∞) или едностранни безкрайни интервали от вида: , (-∞, B) За реални граници A и B процедирайте съгласно вече описаните принципи, а за безкрайни , потърсете граници за x→-∞ и x→+∞, съответно.

Задачата на този етап

Дадена е функция, която е дефинирана и непрекъсната на някакъв интервал. Необходимо е да се намери най-голямата (най-малката) стойност на функцията на този интервал.

Теоретична основа.
Теорема (втора теорема на Вайерщрас):

Ако една функция е дефинирана и непрекъсната в затворен интервал, тогава тя достига своите максимални и минимални стойности в този интервал.

Функцията може да достигне своите максимални и минимални стойности или във вътрешните точки на интервала, или в неговите граници. Нека илюстрираме всички възможни варианти.

Обяснение:
1) Функцията достига максималната си стойност на лявата граница на интервала в точка , а минималната си стойност на дясната граница на интервала в точката .
2) Функцията достига максималната си стойност в точката (това е максималната точка), а минималната си стойност на дясната граница на интервала в точката.
3) Функцията достига максималната си стойност на лявата граница на интервала в точката , а минималната си стойност в точката (това е минималната точка).
4) Функцията е постоянна на интервала, т.е. тя достига своите минимални и максимални стойности във всяка точка от интервала, а минималните и максималните стойности са равни една на друга.
5) Функцията достига максималната си стойност в точката , а минималната си стойност в точката (въпреки факта, че функцията има както максимум, така и минимум на този интервал).
6) Функцията достига максималната си стойност в точка (това е максималната точка), а минималната си стойност в точка (това е минималната точка).
коментар:

„Максимум“ и „максимална стойност“ са различни неща. Това следва от дефиницията на максимума и интуитивното разбиране на фразата "максимална стойност".

Алгоритъм за решаване на задача 2.



4) Изберете най-голямата (най-малката) от получените стойности и запишете отговора.

Пример 4:

Определете най-големия и най-малка стойностфункции на сегмента.
Решение:
1) Намерете производната на функцията.

2) Намерете стационарни точки (и точки, които са съмнителни за екстремум), като решите уравнението. Обърнете внимание на точките, където няма двустранна крайна производна.

3) Изчислете стойностите на функцията в стационарни точки и в границите на интервала.

4) Изберете най-голямата (най-малката) от получените стойности и запишете отговора.

Функцията на този сегмент достига максималната си стойност в точката с координати .

Функцията на този сегмент достига минималната си стойност в точката с координати .

Можете да проверите правилността на изчисленията, като погледнете графиката на изследваната функция.


коментар:Функцията достига максималната си стойност в максималната точка, а минималната стойност на границата на сегмента.

Специален случай.

Да предположим, че искате да намерите максималната и минималната стойност на някаква функция в сегмент. След изпълнението на първия параграф от алгоритъма, т.е. изчисляване на производната, става ясно, че например тя приема само отрицателни стойности за целия разглеждан сегмент. Не забравяйте, че ако производната е отрицателна, тогава функцията е намаляваща. Установихме, че функцията намалява през целия интервал. Тази ситуация е показана на графика №1 в началото на статията.

Функцията намалява на интервала, т.е. няма екстремни точки. От снимката се вижда, че функцията ще вземе най-малката стойност на дясната граница на сегмента, а най-голямата стойност на лявата. ако производната на интервала е навсякъде положителна, тогава функцията нараства. Най-малката стойност е на лявата граница на сегмента, най-голямата е на дясната.

И за да го решите, имате нужда от минимални познания по темата. Следващата учебна година приключва, всички искат да отидат на почивка и за да доближа този момент, веднага се заемам с работата:

Да започнем с района. Посочената в условието площ е ограничен затворен набор от точки в равнината. Например набор от точки, ограничени от триъгълник, включително ЦЕЛИЯ триъгълник (ако от граници„Изкарайте“ поне една точка, тогава зоната вече няма да бъде затворена). На практика има и области с правоъгълна, кръгла и малко по-сложна форма. Трябва да се отбележи, че в теорията на математическия анализ се дават строги определения ограничения, изолация, граници и др., но мисля, че всеки е наясно с тези концепции на интуитивно ниво и сега не е необходимо повече.

Плоската площ стандартно се обозначава с буквата и като правило се дава аналитично - чрез няколко уравнения (не непременно линеен); по-рядко неравенства. Типичен словесен оборот: "затворена зона, ограничена от линии".

Неразделна част от разглежданата задача е изграждането на площта върху чертежа. Как да го направим? Необходимо е да начертаете всички изброени линии (в този случай 3 прав) и анализирайте случилото се. Желаната област обикновено е леко щрихована и нейната граница е подчертана с удебелена линия:


Същата област може да бъде зададена линейни неравенства: , които по някаква причина по-често се пишат като списък с изброяване, а не система.
Тъй като границата принадлежи на региона, тогава всички неравенства, разбира се, нестроги.

И сега същината на въпроса. Представете си, че оста върви право към вас от началото на координатите. Помислете за функция, която непрекъснато във всекиобластна точка. Графиката на тази функция е повърхност, а малкото щастие е, че за да решим днешния проблем, изобщо не е нужно да знаем как изглежда тази повърхност. Може да се намира отгоре, отдолу, да пресича равнината - всичко това не е важно. А важно е следното: съгл Теореми на Вайерщрас, непрекъснато V ограничено затворенплощ, функцията достига своя максимум (от "най-високите")и най-малко (от "най-ниските")стойности, които трябва да бъдат намерени. Тези стойности са постигнати или V стационарни точки, принадлежащи към регионад , илив точки, които лежат на границата на този регион. От което следва прост и прозрачен алгоритъм за решение:

Пример 1

Ограничен затворена зона

Решение: Първо, трябва да изобразите областта на чертежа. За съжаление, за мен е технически трудно да направя интерактивен модел на проблема и затова веднага ще дам окончателната илюстрация, която показва всички „подозрителни“ точки, открити по време на проучването. Обикновено те се записват един след друг, когато бъдат намерени:

Въз основа на преамбюла решението може удобно да се раздели на две точки:

I) Да намерим неподвижни точки. Това е стандартно действие, което многократно сме изпълнявали в урока. за екстремуми на няколко променливи:

Намерена неподвижна точка принадлежиобласти: (маркирайте го на чертежа), което означава, че трябва да изчислим стойността на функцията в дадена точка:

- както е в статията Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент, ще маркирам важните резултати с удебелен шрифт. В тетрадка е удобно да ги кръжите с молив.

Обърнете внимание на второто ни щастие - няма смисъл да проверявате достатъчно условие за екстремум. Защо? Дори ако в точката функцията достигне, напр. местен минимум, то това НЕ ОЗНАЧАВА, че получената стойност ще бъде минималенв целия регион (вижте началото на урока за безусловните крайности) .

Ами ако стационарната точка НЕ ​​принадлежи на областта? Почти нищо! Трябва да се отбележи, че и да преминете към следващия параграф.

II) Проучваме границата на региона.

Тъй като границата се състои от страни на триъгълник, е удобно изследването да се раздели на 3 подпараграфа. Но е по-добре да не го правите така или иначе. От моя гледна точка в началото е по-изгодно да се разглеждат сегменти, успоредни на координатните оси, и на първо място тези, които лежат на самите оси. За да уловите цялата последователност и логика на действията, опитайте се да изучите края "на един дъх":

1) Нека се заемем с долната страна на триъгълника. За да направим това, заместваме директно във функцията:

Като алтернатива можете да го направите по следния начин:

Геометрично това означава, че координатната равнина (което също е дадено от уравнението)"изрязан" от повърхности"пространствена" парабола, чийто връх веднага попада под съмнение. Нека разберем къде е тя:

- получената стойност "удари" в зоната и може да се окаже, че в точката (маркирайте на чертежа)функцията достига най-голямата или най-малката стойност в цялата област. Както и да е, нека направим изчисленията:

Други "кандидати" са, разбира се, края на сегмента. Изчислете стойностите на функцията в точки (маркирайте на чертежа):

Тук, между другото, можете да извършите устна мини-проверка на „съкратената“ версия:

2) За изследване правилната страназаместваме триъгълника във функцията и „подреждаме нещата там“:

Тук веднага извършваме груба проверка, „звънейки“ на вече обработения край на сегмента:
, Страхотен.

Геометричната ситуация е свързана с предходната точка:

- получената стойност също „влезе в обхвата на нашите интереси“, което означава, че трябва да изчислим на какво е равна функцията в появилата се точка:

Нека разгледаме втория край на сегмента:

Използване на функцията , да проверим:

3) Вероятно всеки знае как да изследва останалата страна. Заместваме във функцията и извършваме опростявания:

Редът свършва вече са проучени, но в черновата все още проверяваме дали сме намерили функцията правилно :
– съвпадна с резултата от алинея 1;
– съвпадна с резултата от 2-ра алинея.

Остава да разберем дали има нещо интересно вътре в сегмента:

- Има! Замествайки права линия в уравнението, получаваме ординатата на тази „интересност“:

Маркираме точка на чертежа и намираме съответната стойност на функцията:

Нека контролираме изчисленията според "бюджетната" версия :
, поръчка.

И последната стъпка: ВНИМАТЕЛНО прегледайте всички "тлъсти" числа, препоръчвам дори на начинаещите да направят един списък:

от които избираме най-голямата и най-малката стойност. Отговорпишете в стила на задачата за намиране най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала:

За всеки случай още веднъж ще коментирам геометричния смисъл на резултата:
– тук е най-високата точка на повърхността в района;
- тук е най-ниската точка на повърхността в района.

В анализирания проблем открихме 7 „съмнителни“ точки, но техният брой варира от задача до задача. За триъгълен регион минималният "набор за изследване" се състои от три точки. Това се случва, когато функцията например се задава самолет- съвсем ясно е, че няма стационарни точки и функцията може да достигне максималните / минималните стойности само във върховете на триъгълника. Но няма такива примери веднъж, два пъти - обикновено трябва да се справите с някакъв вид повърхност от 2-ри ред.

Ако решите малко такива задачи, тогава триъгълниците могат да ви замаят главата и затова съм ви подготвил необичайни примерида стане квадрат :)

Пример 2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена зона, ограничена с линии

Пример 3

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в ограничена затворена област.

Специално вниманиеобърнете внимание на рационалния ред и техника на изучаване на границата на района, както и на веригата от междинни проверки, което почти напълно ще избегне изчислителните грешки. Най-общо казано, можете да го решите както искате, но в някои проблеми, например в същия Пример 2, има всички шансове значително да усложните живота си. Приблизителен пример за завършване на задачи в края на урока.

Ние систематизираме алгоритъма за решение, в противен случай, с моето старание на паяк, той някак си се загуби в дълга нишка от коментари на първия пример:

- На първата стъпка изграждаме зона, желателно е да я засенчваме и подчертаваме границата с дебела линия. По време на решението ще се появят точки, които трябва да бъдат поставени върху чертежа.

– Намерете стационарни точки и изчислете стойностите на функцията само в тези, които принадлежат към местността . Получените стойности са маркирани в текста (например оградени с молив). Ако стационарната точка НЕ ​​принадлежи към областта, тогава отбелязваме този факт с икона или устно. Ако изобщо няма стационарни точки, тогава правим писмено заключение, че те липсват. Във всеки случай този елемент не може да бъде пропуснат!

– Проучване на граничната зона. Първо, изгодно е да се работи с прави линии, които са успоредни на координатните оси (ако има такива). Стойностите на функциите, изчислени в "подозрителни" точки, също са подчертани. По-горе беше казано много за техниката на решаване, а по-долу ще бъде казано още нещо - четете, препрочитайте, задълбавайте!

- От избраните числа изберете най-големите и най-малките стойности и дайте отговор. Понякога се случва функцията да достигне такива стойности в няколко точки наведнъж - в този случай всички тези точки трябва да бъдат отразени в отговора. нека например и се оказа, че това е най-малката стойност. Тогава пишем това

Последните примери са посветени на други полезни идеиполезни на практика:

Пример 4

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област .

Запазил съм формулировката на автора, в която площта е дадена като двойно неравенство. Това условие може да бъде написано в еквивалентна система или в по-традиционна форма за този проблем:

Напомням ви, че с нелинейнисрещнахме неравенства на и ако не разбирате геометричния смисъл на записа, моля, не отлагайте и изяснете ситуацията точно сега ;-)

Решение, както винаги, започва с изграждането на зоната, която е един вид "подметка":

Хм, понякога трябва да гризете не само гранита на науката ....

I) Намерете стационарни точки:

Системата на мечтите на идиота :)

Стационарната точка принадлежи на региона, а именно лежи на неговата граница.

И така, нищо ... забавният урок мина - това означава да пиете правилния чай =)

II) Проучваме границата на региона. Без повече шум, нека започнем с оста x:

1) Ако , тогава

Намерете къде е върхът на параболата:
– Ценете такива моменти – „улучвайте“ право в точката, от която вече всичко е ясно. Но не забравяйте да проверите:

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

2) Ще се справим с долната част на „подметката“ „на едно заседание“ - без никакви комплекси я заместваме във функцията, освен това ще се интересуваме само от сегмента:

Контрол:

Сега това вече внася известно съживяване в монотонното каране по назъбена писта. Нека намерим критичните точки:

Ние решаваме квадратно уравнениепомниш ли този ... Но не забравяйте, разбира се, в противен случай няма да прочетете тези редове =) Ако в двата предишни примера изчисленията бяха удобни в десетични дроби(което, между другото, е рядкост), тогава тук чакаме обичайното обикновени дроби. Намираме корените "x" и, използвайки уравнението, определяме съответните координати на "играта" на точките "кандидат":


Нека изчислим стойностите на функцията в намерените точки:

Проверете сами функцията.

Сега внимателно проучваме спечелените трофеи и ги записваме отговор:

Ето ги "кандидатите", значи "кандидатите"!

За независимо решение:

Пример 5

Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция в затворена зона

Запис с къдрави скоби гласи така: „набор от точки, такива че“.

Понякога в такива примери те използват Метод на умножителя на Лагранж, но едва ли ще възникне реална нужда от използването му. Така например, ако е дадена функция със същата област "de", след заместване в нея - с производна без затруднения; освен това всичко е съставено в „един ред“ (със знаци), без да е необходимо да се разглеждат отделно горните и долните полукръгове. Но, разбира се, има и по-сложни случаи, където без функцията на Лагранж (където , например, е същото кръгово уравнение)трудно е да минеш - колко трудно е да минеш без добра почивка!

Всичко най-добро за преминаване на сесията и до скоро следващия сезон!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: начертайте областта на чертежа:

Процесът на намиране на най-малките и най-големите стойности на функция на сегмент напомня на завладяващ полет около обект (графика на функция) на хеликоптер със стрелба от далекобойно оръдие в определени точки и избор от тези точки много специални точки за контролни изстрели. Точките се избират по определен начин и по определени правила. По какви правила? Ще говорим за това по-нататък.

Ако функцията г = f(х) непрекъснат на сегмента [ а, b] , тогава достига до този сегмент най-малко И най-високи стойности . Това може да се случи или в екстремни точкиили в краищата на сегмента. Следователно, за да намерите най-малко И най-големите стойности на функцията , непрекъснато на сегмента [ а, b], трябва да изчислите стойностите му във всички критични точкии в краищата на сегмента, след което изберете най-малкия и най-големия от тях.

Нека, например, е необходимо да се определи максималната стойност на функцията f(х) на сегмента [ а, b] . За да направите това, намерете всички негови критични точки, лежащи на [ а, b] .

критична точка се нарича точката, в която дефинирана функция, и тя производнае или нула, или не съществува. След това трябва да изчислите стойностите на функцията в критични точки. И накрая, трябва да сравните стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента ( f(а) И f(b) ). Най-голямото от тези числа ще бъде най-голямата стойност на функцията върху сегмента [а, b] .

Проблемът с намирането най-малките стойности на функцията .

Търсим заедно най-малката и най-голямата стойност на функцията

Пример 1. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента [-1, 2] .

Решение. Намираме производната на тази функция. Приравнете производната на нула () и получете две критични точки: и . За да намерите най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, достатъчно е да изчислите стойностите му в краищата на сегмента и в точката, тъй като точката не принадлежи на сегмента [-1, 2] . Тези стойности на функцията са следните: , , . Следва, че най-малката стойност на функцията(отбелязано в червено на графиката по-долу), равно на -7, се достига в десния край на отсечката - в точката , и най велик(също червено на графиката), е равно на 9, - в критичната точка .

Ако функцията е непрекъсната в определен интервал и този интервал не е сегмент (но е, например, интервал; разликата между интервал и сегмент: граничните точки на интервала не са включени в интервала, но граничните точки на сегмента са включени в сегмента), тогава сред стойностите на функцията може да няма най-малката и най-голямата. Така например функцията, изобразена на фигурата по-долу, е непрекъсната върху ]-∞, +∞[ и няма най-голямата стойност.

Въпреки това, за всеки интервал (затворен, отворен или безкраен) е валидно следното свойство на непрекъснатите функции.

Пример 4. Намерете най-малките и най-големите стойности на функция на сегмента [-1, 3] .

Решение. Намираме производната на тази функция като производна на частното:

.

Приравняваме производната на нула, което ни дава една критична точка: . Принадлежи към интервала [-1, 3] . За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Нека сравним тези стойности. Заключение: равно на -5/13, в точката и най-голямата стойностравно на 1 в точката.

Продължаваме да търсим заедно най-малката и най-голямата стойност на функцията

Има учители, които по темата за намиране на най-малките и най-големите стойности на функция не дават на учениците примери, по-сложни от току-що разгледаните, тоест тези, в които функцията е полином или дроб, числител и чийто знаменател са полиноми. Но няма да се ограничаваме до такива примери, тъй като сред учителите има любители да карат учениците да мислят изцяло (таблица с производни). Следователно ще се използват логаритъм и тригонометрична функция.

Пример 6. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намираме производната на тази функция като производно на продукта :

Приравняваме производната на нула, което дава една критична точка: . Принадлежи към сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Резултатът от всички действия: функцията достига минималната си стойност, равно на 0, в точка и в точка и най-голямата стойностравна на д², в точката.

Пример 7. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намираме производната на тази функция:

Приравнете производната на нула:

Единствената критична точка принадлежи на сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Заключение: функцията достига минималната си стойност, равно на , в точката и най-голямата стойност, равно на , в точката .

В приложните екстремални задачи намирането на най-малките (най-големите) стойности на функцията, като правило, се свежда до намиране на минимума (максимума). Но не самите минимуми или максимуми са от по-голям практически интерес, а стойностите на аргумента, при който са постигнати. При решаването на приложни задачи възниква допълнителна трудност - съставянето на функции, които описват разглежданото явление или процес.

Пример 8Резервоар с вместимост 4, имащ формата на паралелепипед с квадратна основа и отворен отгоре, трябва да бъде калайдисан. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара, за да се покрие с най-малко материал?

Решение. Позволявам х- страна на основата ч- височина на резервоара, С- неговата повърхност без покритие, V- обемът му. Площта на резервоара се изразява с формулата, т.е. е функция на две променливи. Да изразя Скато функция на една променлива използваме факта, че , откъдето . Заместване на намерения израз чвъв формулата за С:

Нека разгледаме тази функция за екстремум. Той е дефиниран и диференцируем навсякъде в ]0, +∞[ и

.

Приравняваме производната на нула () и намираме критичната точка. В допълнение, при , производната не съществува, но тази стойност не е включена в областта на дефиниция и следователно не може да бъде точка на екстремум. И така, - единствената критична точка. Нека го проверим за наличие на екстремум, като използваме втория достатъчен критерий. Нека намерим втората производна. Когато втората производна е по-голяма от нула (). Това означава, че когато функцията достигне минимум . Защото това минимум - единственият екстремум на тази функция, това е най-малката й стойност. Така че страната на основата на резервоара трябва да бъде равна на 2 м, а височината му.

Пример 9От параграф А, находящ се на жп линията, до пункта СЪС, на разстояние от него л, стоките трябва да бъдат транспортирани. Разходите за транспортиране на единица тегло на единица разстояние с железопътен транспорт са равни на , а по магистрала са равни на . До кой момент Млинии железопътна линиятрябва да се построи магистрала, така че превозът на стоки от А V СЪСбеше най-икономичен ABжелезопътната линия се приема за права)?

дребна и хубава проста задачаот категорията на тези, които служат като спасителен пояс за плаващ студент. В природата, сънното царство на средата на юли, така че е време да се установите с лаптоп на плажа. Рано сутринта слънчев лъч на теория играе, за да се фокусира скоро върху практиката, която въпреки декларираната си лекота съдържа стъклени фрагменти в пясъка. В тази връзка препоръчвам съвестно да разгледате няколко примера от тази страница. За да решавате практически задачи, трябва да можете намерете производнии разбират материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функция.

Първо, накратко за основното. В урок за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал. По подобен начин се формулира примерното поведение на функция върху сегмент. Една функция е непрекъсната на сегмент, ако:

1) тя е непрекъсната на интервала ;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.

Вторият параграф се занимава с т.нар едностранна приемственостфункции в точка. Има няколко подхода към дефинирането му, но аз ще се придържам към линията, започната по-рано:

Функцията е непрекъсната в точка на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и дясната й граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: . То е непрекъснато в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и лявата му граница е равна на стойността в тази точка:

Представете си, че зелените точки са ноктите, на които е прикрепена магическата гумена лента:

Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно е, че колкото и да разтеглим графиката нагоре и надолу (по оста), функцията пак ще остане ограничен- жив плет отгоре, жив плет отдолу, а нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната на сегмент, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се констатира и строго доказва Първата теорема на Вайерщрас.… Много хора се дразнят, че елементарните твърдения са досадно обосновани в математиката, но това има важно значение. Да предположим, че определен жител на средновековието е изтеглил графиката в небето отвъд границите на видимост, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа, ограничената функция в космоса изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква отвъд хоризонта? В края на краищата, някога Земята се смяташе за плоска, така че днес дори обикновеното телепортиране изисква доказателство =)

Според втора теорема на Вайерщрас, непрекъснат на сегментафункция достига своята точен горен ръбИ неговият точен долен ръб .

Извиква се и номерът максималната стойност на функцията върху сегментаи се обозначава с , а числото - минималната стойност на функцията върху сегментаотбелязани.

В нашия случай:

Забележка : на теория записите са често срещани .

Грубо казано, най-голямата стойност се намира там, където е най-високата точка на графиката, а най-малката - там, където е най-ниската точка.

важно!Както вече беше посочено в статията за екстремуми на функцията, най-голямата стойност на функциятаИ най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво максимална функцияИ функционален минимум. Така че в този пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.

Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори наводнението, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва намирането само на две числа и това е!

Освен това решението е чисто аналитично, следователно, няма нужда да рисуваш!

Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:

1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат към този сегмент.

Хванете още една екстра: няма нужда да проверявате достатъчно условие за екстремум, тъй като, както току-що беше показано, наличието на минимум или максимум все още не е гарантиранокаква е минималната или максималната стойност. Демонстрационната функция достига своя максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията на интервала. Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.

Така че на първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали имат екстремуми или не.

2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.

3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграф, ние избираме най-малката и най-много голямо число, запишете отговора.

Седим на брега на синьото море и удряме петите в плитка вода:

Пример 1

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент

Решение:
1) Изчислете стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на този сегмент:

Нека изчислим стойността на функцията във втората критична точка:

2) Изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента:

3) Получени са "удебелени" резултати с експоненциали и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина ще се въоръжим с калкулатор или Excel и ще изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че:

Сега всичко е ясно.

Отговор:

Дробно-рационален пример за независимо решение:

Пример 6

Намерете максималните и минималните стойности на функция върху сегмент

Паста с риба тон в кремообразен сос Паста с прясна риба тон в кремообразен сос Пастата с риба тон в кремообразен сос е ястие, от което всеки ще си глътне езика, разбира се, не само за удоволствие, а защото е безумно вкусно. Риба тон и паста са в перфектна хармония помежду си. Разбира се, може би някой няма да хареса това ястие.	Пролетни рулца със зеленчуци Зеленчукови рулца у дома Така че, ако се борите с въпроса „каква е разликата между суши и ролки?“, Ние отговаряме - нищо. Няколко думи за това какво представляват ролките. Ролцата не са непременно японска кухня. Рецептата за рула под една или друга форма присъства в много азиатски кухни.
Защита на флората и фауната в международните договори И човешкото здраве Решаването на екологичните проблеми и следователно перспективите за устойчиво развитие на цивилизацията са до голяма степен свързани с компетентното използване на възобновяеми ресурси и различни функции на екосистемите и тяхното управление. Тази посока е най-важният начин за получаване	Минимална заплата (минимална заплата) Минималната работна заплата е минималната работна заплата (SMIC), която се одобрява от правителството на Руската федерация ежегодно въз основа на Федералния закон „За минималната работна заплата“. Минималната работна заплата се изчислява за изпълнената месечна норма труд.