• შეკეთება
• შეკეთება
• Ინტერიერის დიზაინი
• Ყველაფრის შესახებ
• სანტექნიკის შესახებ

ფუნქციის განსაზღვრის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა არის მოკლე. სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

მათემატიკური ანალიზის ასეთი ობიექტის, როგორც ფუნქციის შესწავლას დიდი მნიშვნელობა აქვს. მნიშვნელობადა მეცნიერების სხვა სფეროებში. მაგალითად, in ეკონომიკური ანალიზიმუდმივად სჭირდება ქცევის შეფასება ფუნქციებიმოგება, კერძოდ მისი მაქსიმუმის განსაზღვრა მნიშვნელობადა შეიმუშავეთ სტრატეგია მის მისაღწევად.

ინსტრუქცია

ნებისმიერი ქცევის შესწავლა ყოველთვის უნდა დაიწყოს განსაზღვრების დომენის ძიებით. ჩვეულებრივ, კონკრეტული პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, საჭიროა ყველაზე დიდის დადგენა მნიშვნელობა ფუნქციებიან მთელ ამ ტერიტორიაზე, ან მის კონკრეტულ ინტერვალზე ღია ან დახურული საზღვრებით.

საფუძველზე, ყველაზე დიდი არის მნიშვნელობა ფუნქციები y(x0), რომლის მიხედვითაც განსაზღვრების დომენის ნებისმიერი წერტილისთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). გრაფიკულად, ეს წერტილი ყველაზე მაღალი იქნება, თუ არგუმენტის მნიშვნელობებს მოაწყობთ აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო თავად ფუნქციას ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.

ყველაზე დიდის დასადგენად მნიშვნელობა ფუნქციები, მიჰყევით სამსაფეხურიან ალგორითმს. გაითვალისწინეთ, რომ თქვენ უნდა შეძლოთ ცალმხრივი და , ასევე წარმოებულის გამოთვლა. მაშ ასე, მოცემული იყოს y(x) ფუნქცია და საჭიროა მისი უდიდესის პოვნა მნიშვნელობაგარკვეულ ინტერვალზე სასაზღვრო მნიშვნელობებით A და B.

გაარკვიეთ, არის თუ არა ეს ინტერვალი ფარგლებში ფუნქციები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ იგი ყველა შესაძლო შეზღუდვის გათვალისწინებით: წილადის არსებობა გამოხატვაში, კვადრატული ფესვიდა ა.შ. განმარტების დომენი არის არგუმენტების მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომლისთვისაც ფუნქციას აზრი აქვს. დაადგინეთ არის თუ არა მოცემული ინტერვალი მისი ქვესიმრავლე. თუ კი, მაშინ გადადით შემდეგ ეტაპზე.

იპოვეთ წარმოებული ფუნქციებიდა ამოიღეთ მიღებული განტოლება წარმოებულის ნულთან გათანაბრებით. ამრიგად, თქვენ მიიღებთ ეგრეთ წოდებულ სტაციონარული წერტილების მნიშვნელობებს. შეაფასეთ, ერთ-ერთი მაინც ეკუთვნის A, B ინტერვალს.

განიხილეთ ეს პუნქტები მესამე ეტაპზე, ჩაანაცვლეთ მათი მნიშვნელობები ფუნქციაში. შეასრულეთ შემდეგი დამატებითი ნაბიჯები ინტერვალის ტიპის მიხედვით. თუ არსებობს ფორმის სეგმენტი [A, B], სასაზღვრო წერტილები შედის ინტერვალში, ეს მითითებულია ფრჩხილებით. გამოთვალეთ მნიშვნელობები ფუნქციები x = A და x = B. თუ ღია ინტერვალი არის (A, B), სასაზღვრო მნიშვნელობები პუნქციაა, ე.ი. მასში არ შედის. ამოხსენით x→A და x→B ცალმხრივი ზღვრები. [A, B) ან (A, B) ფორმის კომბინირებული ინტერვალი, რომლის ერთი საზღვრები მას ეკუთვნის, მეორე არა. იპოვეთ ცალმხრივი ზღვარი, რადგან x მიდრეკილია პუნქცია მნიშვნელობისკენ და ჩაანაცვლეთ მეორე ფუნქცია უსასრულო ორმხრივი ინტერვალი (-∞, +∞) ან ფორმის ცალმხრივი უსასრულო ინტერვალები: , მოძებნეთ ლიმიტები x→-∞ და x→+∞, შესაბამისად.

დავალება ამ ეტაპზე

მოცემულია ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია და უწყვეტია გარკვეული ინტერვალით. საჭიროა ამ ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის პოვნა.

თეორიული საფუძველი.
თეორემა (ვაიერშტრასის მეორე თეორემა):

თუ ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია დახურულ ინტერვალში, მაშინ ის აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ ინტერვალში.

ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ინტერვალის შიდა წერტილებში ან მის საზღვრებში. მოდით ილუსტრაციით ყველა შესაძლო ვარიანტი.

ახსნა:
1) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე, ხოლო მის მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე.
2) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მაქსიმალური წერტილი), ხოლო მის მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე.
3) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მინიმალური წერტილი).
4) ფუნქცია მუდმივია ინტერვალზე, ე.ი. ის აღწევს თავის მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში, ხოლო მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობები ერთმანეთის ტოლია.
5) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქციას აქვს როგორც მაქსიმუმი, ასევე მინიმალური ამ ინტერვალზე).
6) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მაქსიმალური წერტილი), ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მინიმალური წერტილი).
კომენტარი:

"მაქსიმალური" და "მაქსიმალური ღირებულება" სხვადასხვა რამეა. ეს გამომდინარეობს მაქსიმუმის განმარტებიდან და ფრაზის "მაქსიმალური მნიშვნელობის" ინტუიციური გაგებით.

2 პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი.



4) ამოირჩიეთ ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) მიღებული მნიშვნელობებიდან და ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 4:

განსაზღვრეთ ყველაზე დიდი და უმცირესი ღირებულებაფუნქციები სეგმენტზე.
გამოსავალი:
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

2) იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები (და წერტილები, რომლებიც საეჭვოა ექსტრემის მიმართ) განტოლების ამოხსნით. ყურადღება მიაქციეთ წერტილებს, სადაც არ არის ორმხრივი სასრულ წარმოებული.

3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სტაციონარულ წერტილებზე და ინტერვალის საზღვრებზე.

4) ამოირჩიეთ ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) მიღებული მნიშვნელობებიდან და ჩაწერეთ პასუხი.

ფუნქცია ამ სეგმენტზე აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში.

ფუნქცია ამ სეგმენტზე აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში.

თქვენ შეგიძლიათ გადაამოწმოთ გამოთვლების სისწორე შესასწავლი ფუნქციის გრაფიკის დათვალიერებით.


კომენტარი:ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას მაქსიმალურ წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას სეგმენტის საზღვარზე.

Განსაკუთრებული შემთხვევა.

დავუშვათ, რომ გსურთ იპოვოთ რაიმე ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობა სეგმენტზე. ალგორითმის პირველი აბზაცის შესრულების შემდეგ ე.ი. წარმოებულის გაანგარიშებით, ცხადი ხდება, რომ, მაგალითად, იგი იღებს მხოლოდ უარყოფით მნიშვნელობებს მთელ განხილულ სეგმენტზე. გახსოვდეთ, რომ თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება. ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქცია მცირდება მთელი ინტერვალით. ეს სიტუაცია ნაჩვენებია სტატიის დასაწყისში No1 დიაგრამაში.

ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე, ე.ი. მას არ აქვს ექსტრემალური წერტილები. სურათიდან ჩანს, რომ ფუნქცია მიიღებს უმცირეს მნიშვნელობას სეგმენტის მარჯვენა საზღვარზე, ხოლო ყველაზე დიდ მნიშვნელობას მარცხნივ. თუ წარმოებული ინტერვალზე ყველგან დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება. ყველაზე პატარა მნიშვნელობა არის სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე, ყველაზე დიდი არის მარჯვნივ.

და მის გადასაჭრელად საჭიროა თემის მინიმალური ცოდნა. შემდეგი სასწავლო წელი იწურება, ყველას უნდა შვებულებაში წასვლა და ამ მომენტის დასაახლოებლად, მაშინვე საქმეს ვუშვებ:

დავიწყოთ ტერიტორიით. მდგომარეობაში მითითებული ტერიტორია არის შეზღუდული დახურული წერტილების ნაკრები თვითმფრინავში. მაგალითად, სამკუთხედით შემოსაზღვრული წერტილების ნაკრები, მთელი სამკუთხედის ჩათვლით (თუ დან საზღვრები"ამოიღეთ" მინიმუმ ერთი წერტილი, მაშინ ტერიტორია აღარ დაიხურება). პრაქტიკაში ასევე არის მართკუთხა, მრგვალი და ოდნავ უფრო რთული ფორმების ადგილები. უნდა აღინიშნოს, რომ მათემატიკური ანალიზის თეორიაში მოცემულია მკაცრი განმარტებები შეზღუდვები, იზოლაცია, საზღვრები და ა.შ., მაგრამ ვფიქრობ, ყველამ იცის ეს ცნებები ინტუიციურ დონეზე და ახლა მეტი არ არის საჭირო.

ბრტყელი ფართობი სტანდარტულად აღინიშნება ასოთი და, როგორც წესი, მოცემულია ანალიტიკურად - რამდენიმე განტოლებით. (არ არის აუცილებელი წრფივი); ნაკლებად ხშირად უთანასწორობა. ტიპიური სიტყვიერი ბრუნვა: "დახურული ზონა შემოიფარგლება ხაზებით".

განსახილველი ამოცანის განუყოფელი ნაწილია ნახაზზე ტერიტორიის აგება. Როგორ გავაკეთო ეს? აუცილებელია ყველა ჩამოთვლილი ხაზის დახაზვა (in ამ საქმეს 3 სწორი) და გააანალიზეთ რა მოხდა. სასურველი უბანი ჩვეულებრივ მსუბუქად არის გამოჩეკილი და მისი საზღვარი ხაზგასმულია თამამი ხაზით:


იგივე ფართობის დაყენება შეიძლება წრფივი უტოლობები: , რომლებიც რატომღაც უფრო ხშირად იწერება როგორც აღრიცხვის სია და არა სისტემა.
ვინაიდან საზღვარი ეკუთვნის რეგიონს, მაშინ ყველა უთანასწორობა, რა თქმა უნდა, არა მკაცრი.

ახლა კი საქმის არსი. წარმოიდგინეთ, რომ ღერძი პირდაპირ თქვენკენ მიდის კოორდინატების საწყისიდან. განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტი თითოეულშიფართობის წერტილი. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ზედაპირი, და პატარა ბედნიერება ისაა, რომ დღევანდელი პრობლემის გადასაჭრელად, საერთოდ არ გვჭირდება ვიცოდეთ, როგორ გამოიყურება ეს ზედაპირი. ის შეიძლება განთავსდეს ზემოთ, ქვემოთ, გადაკვეთა თვითმფრინავი - ეს ყველაფერი არ არის მნიშვნელოვანი. და მნიშვნელოვანია შემდეგი: მიხედვით ვაიერშტრასის თეორემები, უწყვეტივ შეზღუდული დახურულიფართობი, ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ("უმაღლესი")და ყველაზე ნაკლებად ("ყველაზე დაბალი")მოსაძებნი ღირებულებები. ეს ღირებულებები მიღწეულია ანვ სტაციონარული წერტილები, რეგიონს ეკუთვნისდ , ანწერტილებში, რომლებიც დევს ამ რეგიონის საზღვარზე. საიდანაც მოყვება მარტივი და გამჭვირვალე ამოხსნის ალგორითმი:

მაგალითი 1

შეზღუდული დახურული ტერიტორია

გამოსავალი: უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოსახოთ ნახაზზე ფართობი. სამწუხაროდ, ტექნიკურად მიჭირს პრობლემის ინტერაქტიული მოდელის გაკეთება და ამიტომაც მაშინვე მივცემ საბოლოო ილუსტრაციას, სადაც ნაჩვენებია კვლევის დროს აღმოჩენილი ყველა „საეჭვო“ პუნქტი. როგორც წესი, ისინი იშლება ერთმანეთის მიყოლებით, როგორც ისინი იპოვიან:

პრეამბულიდან გამომდინარე, გადაწყვეტილება მოხერხებულად შეიძლება დაიყოს ორ პუნქტად:

ი) ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები. ეს არის სტანდარტული მოქმედება, რომელიც არაერთხელ განვახორციელეთ გაკვეთილზე. რამდენიმე ცვლადის უკიდურესობის შესახებ:

ნაპოვნია სტაციონარული წერტილი ეკუთვნისსფეროები: (მონიშნეთ ნახატზე), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში:

- როგორც სტატიაში სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, მე გამოვყოფ მნიშვნელოვან შედეგებს თამამად. რვეულში მოსახერხებელია მათი ფანქრით შემოხაზვა.

ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს მეორე ბედნიერებას - შემოწმებას აზრი არ აქვს საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის. რატომ? მაშინაც კი, თუ ფუნქცია აღწევს წერტილში, მაგალითად, ადგილობრივი მინიმალური, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ მიღებული მნიშვნელობა იქნება მინიმალურიმთელ რეგიონში (იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი უპირობო უკიდურესობების შესახებ) .

რა მოხდება, თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას? Თითქმის არაფერი! უნდა აღინიშნოს, რომ და გადადით შემდეგ აბზაცზე.

II) ვიკვლევთ რეგიონის საზღვარს.

ვინაიდან საზღვარი შედგება სამკუთხედის გვერდებისგან, მოსახერხებელია კვლევის 3 ქვეპუნქტად დაყოფა. მაგრამ უმჯობესია ამის გაკეთება არანაირად. ჩემი გადმოსახედიდან, თავიდან უფრო ხელსაყრელია კოორდინატთა ღერძების პარალელურად სეგმენტების გათვალისწინება და, პირველ რიგში, თავად ღერძებზე დევს. იმისათვის, რომ დაიჭიროთ მოქმედებების მთელი თანმიმდევრობა და ლოგიკა, შეეცადეთ შეისწავლოთ დასასრული "ერთი ამოსუნთქვით":

1) მოდით გაუმკლავდეთ სამკუთხედის ქვედა მხარეს. ამისათვის ჩვენ პირდაპირ ჩავცვლით ფუნქციას:

ალტერნატიულად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს ასე:

გეომეტრიულად ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატთა სიბრტყე (რაც ასევე მოცემულია განტოლებით)"ამოჭრა" საწყისი ზედაპირები"სივრცითი" პარაბოლა, რომლის ზედა მყისვე ვარდება ეჭვის ქვეშ. მოდით გავარკვიოთ სად არის ის:

- მიღებულმა მნიშვნელობამ "დაარტყა" მიდამოში და ეს შეიძლება იყოს ზუსტად იმ წერტილში (მონიშვნა ნახატზე)ფუნქცია აღწევს უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობას მთელ ტერიტორიაზე. ყოველ შემთხვევაში, მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები:

სხვა „კანდიდატები“, რა თქმა უნდა, სეგმენტის ბოლოები არიან. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები წერტილებში (მონიშვნა ნახატზე):

აქ, სხვათა შორის, შეგიძლიათ შეასრულოთ ზეპირი მინი შემოწმება "გაშიშვლებულ" ვერსიაზე:

2) კვლევისთვის მარჯვენა მხარეჩვენ ვცვლით სამკუთხედს ფუნქციაში და „მოვაწესრიგებთ იქ ნივთებს“:

აქ ჩვენ დაუყოვნებლივ ვასრულებთ უხეშ შემოწმებას, "ვრეკავთ" სეგმენტის უკვე დამუშავებულ ბოლოს:
, დიდი.

გეომეტრიული სიტუაცია დაკავშირებულია წინა პუნქტთან:

- შედეგად მიღებული მნიშვნელობა ასევე "შევიდა ჩვენი ინტერესების ფარგლებში", რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ რის ტოლია ფუნქცია იმ წერტილში, რომელიც გამოჩნდა:

განვიხილოთ სეგმენტის მეორე ბოლო:

ფუნქციის გამოყენებით , შევამოწმოთ:

3) ყველამ ალბათ იცის, როგორ გამოიკვლიოს დარჩენილი მხარე. ჩვენ ვცვლით ფუნქციას და ვახორციელებთ გამარტივებებს:

ხაზი მთავრდება უკვე გამოკვლეულია, მაგრამ პროექტზე მაინც ვამოწმებთ, სწორად ვიპოვეთ თუ არა ფუნქცია :
– დაემთხვა 1-ლი ქვეპუნქტის შედეგს;
– დაემთხვა მე-2 ქვეპუნქტის შედეგს.

რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა რაიმე საინტერესო სეგმენტის შიგნით:

- Იქ არის! სწორი ხაზის განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ ამ "საინტერესოობის" ორდინატს:

ნახაზზე ვნიშნავთ წერტილს და ვპოულობთ ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობას:

გავაკონტროლოთ გათვლები „ბიუჯეტის“ ვერსიით :
, შეკვეთა.

და ბოლო ნაბიჯი: ყურადღებით დაათვალიერეთ ყველა "მსუქანი" ნომერი, დამწყებთათვისაც კი ვურჩევ შეადგინონ ერთი სია:

საიდანაც ვირჩევთ უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს. უპასუხედაწერე პოვნის პრობლემის სტილში სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები:

ყოველ შემთხვევაში, კიდევ ერთხელ კომენტარს გავაკეთებ შედეგის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე:
– აქ არის რეგიონის ზედაპირის უმაღლესი წერტილი;
- აქ არის ზედაპირის ყველაზე დაბალი წერტილი ამ მხარეში.

გაანალიზებულ პრობლემაში აღმოვაჩინეთ 7 „საეჭვო“ წერტილი, მაგრამ მათი რიცხვი განსხვავდება დავალების მიხედვით. სამკუთხა რეგიონისთვის მინიმალური „საძიებო ნაკრები“ შედგება სამი ქულა. ეს ხდება, როდესაც ფუნქცია, მაგალითად, დაყენებულია თვითმფრინავი- სავსებით ნათელია, რომ არ არის სტაციონარული წერტილები და ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს მაქსიმალურ / მინიმალურ მნიშვნელობებს მხოლოდ სამკუთხედის წვეროებზე. მაგრამ არ არსებობს ასეთი მაგალითები ერთხელ, ორჯერ - ჩვეულებრივ, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ რაიმე სახის მე-2 რიგის ზედაპირი.

თუ ასეთ ამოცანებს ოდნავ მოაგვარებთ, მაშინ სამკუთხედებმა შეიძლება თავი დაგიტრიალოთ და ამიტომ მე მოვამზადე თქვენთვის უჩვეულო მაგალითებირომ იყოს კვადრატი :)

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ხაზებით შემოზღუდულ დახურულ ტერიტორიაზე

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები შეზღუდულ დახურულ ზონაში.

Განსაკუთრებული ყურადღებაყურადღება მიაქციეთ ტერიტორიის საზღვრის შესწავლის რაციონალურ წესრიგს და ტექნიკას, ასევე შუალედური შემოწმებების ჯაჭვს, რომელიც თითქმის მთლიანად თავიდან აიცილებს გამოთვლით შეცდომებს. ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ მოაგვაროთ ის, როგორც გსურთ, მაგრამ ზოგიერთ პრობლემაში, მაგალითად, იგივე მაგალითში 2, არის ყველა შანსი, რომ მნიშვნელოვნად გაართულოთ თქვენი ცხოვრება. გაკვეთილის ბოლოს დავალებების დასრულების სავარაუდო მაგალითი.

ჩვენ ვაწარმოებთ გადაწყვეტის ალგორითმს სისტემატიზაციას, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ობობის ჩემი მონდომებით, ის რატომღაც დაიკარგა პირველი მაგალითის კომენტარების გრძელ ძაფში:

- პირველ საფეხურზე ვაშენებთ ტერიტორიას, სასურველია დავჩრდილოთ, საზღვარი კი თამამი ხაზით გამოვყოთ. ამოხსნის დროს გამოჩნდება წერტილები, რომლებიც ნახატზე უნდა დაიტანოთ.

- იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ მათში, რომლებიც ეკუთვნის ტერიტორიას . მიღებული მნიშვნელობები მონიშნულია ტექსტში (მაგალითად, შემოხაზულია ფანქრით). თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას, მაშინ აღვნიშნავთ ამ ფაქტს ხატით ან სიტყვიერად. თუ საერთოდ არ არის სტაციონარული წერტილები, მაშინ ვაკეთებთ წერილობით დასკვნას, რომ ისინი არ არიან. ნებისმიერ შემთხვევაში, ამ ნივთის გამოტოვება შეუძლებელია!

- სასაზღვრო ტერიტორიის შესწავლა. პირველ რიგში, მომგებიანია სწორ ხაზებთან გამკლავება, რომლებიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან (თუ არსებობს). ასევე მონიშნულია "საეჭვო" წერტილებში გამოთვლილი ფუნქციის მნიშვნელობები. ზემოაღნიშნული გადაწყვეტის ტექნიკაზე ბევრი ითქვა და ქვემოთ კიდევ სხვა რამ იქნება ნათქვამი - წაიკითხეთ, ხელახლა წაიკითხეთ, ჩაღრმავდით!

- არჩეული რიცხვებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები და გაეცით პასუხი. ზოგჯერ ხდება, რომ ფუნქცია აღწევს ასეთ მნიშვნელობებს ერთდროულად რამდენიმე წერტილში - ამ შემთხვევაში, ყველა ეს წერტილი უნდა აისახოს პასუხში. მოდით, მაგალითად, და აღმოჩნდა, რომ ეს არის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. მერე ამას ვწერთ

საბოლოო მაგალითები ეძღვნება სხვებს სასარგებლო იდეებისასარგებლოა პრაქტიკაში:

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები დახურულ ზონაში .

მე შევინარჩუნე ავტორის ფორმულირება, რომელშიც ფართობი მოცემულია ორმაგ უტოლობად. ეს პირობა შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტური სისტემით ან უფრო ტრადიციული ფორმით ამ პრობლემისთვის:

შეგახსენებთ, რომ ერთად არაწრფივიჩვენ შევხვდით უთანასწორობას და თუ თქვენ არ გესმით ჩანაწერის გეომეტრიული მნიშვნელობა, გთხოვთ, არ გადადოთ და ახლავე განმარტოთ სიტუაცია ;-)

გამოსავალი, როგორც ყოველთვის, იწყება ტერიტორიის მშენებლობით, რომელიც ერთგვარი "ერთადერთია":

ჰმ, ხანდახან გიწევს არა მხოლოდ მეცნიერების გრანიტის გახეხვა...

ი) იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები:

იდიოტის ოცნების სისტემა :)

სტაციონარული წერტილი ეკუთვნის რეგიონს, კერძოდ, მდებარეობს მის საზღვარზე.

ასე რომ, ეს არაფერია ... მხიარული გაკვეთილი წავიდა - აი რას ნიშნავს სწორი ჩაის დალევა =)

II) ვიკვლევთ რეგიონის საზღვარს. ზედმეტის გარეშე, დავიწყოთ x-ღერძით:

1) თუ, მაშინ

იპოვნეთ სად არის პარაბოლის ზედა ნაწილი:
– დააფასეთ ასეთი მომენტები – „დაარტყით“ ზუსტად იმ წერტილში, საიდანაც უკვე ყველაფერი ნათელია. მაგრამ არ დაგავიწყდეთ შეამოწმოთ:

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში:

2) „ერთ სხდომაზე“ „ძირის“ ქვედა ნაწილს შევეხებით - ყოველგვარი კომპლექსების გარეშე ვანაცვლებთ მას ფუნქციაში, უფრო მეტიც, ჩვენ დავინტერესდებით მხოლოდ სეგმენტით:

კონტროლი:

ახლა ეს უკვე მოაქვს გარკვეული აღორძინება მონოტონურ მგზავრობას დახრილ ტრასაზე. მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:

Ჩვენ ვწყვეტთ კვადრატული განტოლებაეს გახსოვს? ... თუმცა, გახსოვდეთ, რა თქმა უნდა, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ არ წაიკითხავდით ამ სტრიქონებს =) თუ წინა ორ მაგალითში გამოთვლები მოსახერხებელი იყო ათობითი წილადები(რაც, სხვათა შორის, იშვიათია), მაშინ აქ ველოდებით ჩვეულებრივს საერთო წილადები. ჩვენ ვპოულობთ "x" ფესვებს და განტოლების გამოყენებით განვსაზღვრავთ "კანდიდატი" პუნქტების შესაბამის "თამაშის" კოორდინატებს:


გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნი წერტილებში:

თავად შეამოწმეთ ფუნქცია.

ახლა ჩვენ ყურადღებით ვსწავლობთ მოგებულ თასებს და ვწერთ პასუხი:

აი, "კანდიდატები", მაშ "კანდიდატები"!

ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები დახურულ ტერიტორიაზე

ჩანაწერი ხვეული ბრეკეტებით ასე იკითხება: "პუნქტების ნაკრები ისეთი, რომ".

ზოგჯერ ასეთ მაგალითებში იყენებენ ლაგრანჟის გამრავლების მეთოდი, მაგრამ მისი გამოყენების რეალური საჭიროება ნაკლებად სავარაუდოა. ასე, მაგალითად, თუ მოცემულია ფუნქცია იგივე ფართობის მქონე "de", მაშინ მასში ჩანაცვლების შემდეგ - წარმოებული არ არის სირთულეები; უფრო მეტიც, ყველაფერი შედგენილია "ერთი ხაზით" (ნიშანებით) ზედა და ქვედა ნახევარწრეების ცალკე განხილვის გარეშე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, არის უფრო რთული შემთხვევებიც, სადაც ლაგრანგის ფუნქციის გარეშე (სადაც, მაგალითად, იგივე წრის განტოლებაა)ძნელია გაძლება - რა ძნელია კარგი დასვენების გარეშე!

ყველაფერი საუკეთესო, რომ გაიაროთ სესია და შევხვდეთ მალე მომავალ სეზონში!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გამოსავალი: დახაზეთ ფართობი ნახაზზე:

სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის პროცესი მოგვაგონებს მომხიბლავ ფრენას ობიექტის ირგვლივ (ფუნქციის გრაფიკი) ვერტმფრენზე, შორი მანძილის ქვემეხიდან სროლით გარკვეულ წერტილებზე და არჩევით. ეს წერტილები ძალიან სპეციალური წერტილებია საკონტროლო დარტყმებისთვის. ქულები შეირჩევა გარკვეული წესით და გარკვეული წესებით. რა წესებით? ამაზე შემდგომში ვისაუბრებთ.

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ] , შემდეგ ის აღწევს ამ სეგმენტზე სულ მცირე და უმაღლესი ღირებულებები . ეს შეიძლება მოხდეს ექსტრემალური წერტილებიან სეგმენტის ბოლოებში. ამიტომ, რომ იპოვოთ სულ მცირე და ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობები , უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ], თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი მნიშვნელობები ყველაში კრიტიკული წერტილებიდა სეგმენტის ბოლოებში, შემდეგ კი აირჩიეთ მათგან ყველაზე პატარა და უდიდესი.

მოდით, მაგალითად, საჭიროა ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობის განსაზღვრა ვ(x) სეგმენტზე [ ა, ბ] . ამისათვის იპოვნეთ მისი ყველა კრიტიკული წერტილი, რომელიც მდებარეობს [ ა, ბ] .

კრიტიკული წერტილი ეწოდება წერტილი, სადაც ფუნქცია განსაზღვრულია, და ის წარმოებულიარის ნული ან არ არსებობს. შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში. და ბოლოს, უნდა შევადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში ( ვ(ა) და ვ(ბ) ). ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი იქნება სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [ა, ბ] .

პოვნის პრობლემა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობები .

ჩვენ ერთად ვეძებთ ფუნქციის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 2] .

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს. გაუტოლეთ წარმოებული ნულს () და მიიღეთ ორი კრიტიკული წერტილი: და . მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად საკმარისია მისი მნიშვნელობების გამოთვლა სეგმენტის ბოლოებში და წერტილში, რადგან წერტილი არ ეკუთვნის სეგმენტს [-1, 2] . ეს ფუნქციის მნიშვნელობები შემდეგია: , , . Აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა(ქვემოთ გრაფიკზე მონიშნულია წითლად), ტოლია -7, მიიღწევა სეგმენტის მარჯვენა ბოლოში - წერტილში, და უდიდესი(გრაფიკაზე ასევე წითელი), უდრის 9-ს, - კრიტიკულ წერტილში.

თუ ფუნქცია უწყვეტია გარკვეულ ინტერვალში და ეს ინტერვალი არ არის სეგმენტი (მაგრამ არის, მაგალითად, ინტერვალი; განსხვავება ინტერვალსა და სეგმენტს შორის: ინტერვალის სასაზღვრო წერტილები არ შედის ინტერვალში, მაგრამ სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები შედის სეგმენტში), მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის შეიძლება არ იყოს ყველაზე პატარა და უდიდესი. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში გამოსახული ფუნქცია უწყვეტია ]-∞, +∞[-ზე და არ აქვს უდიდესი მნიშვნელობა.

თუმცა, ნებისმიერი ინტერვალისთვის (დახურული, ღია ან უსასრულო) მოქმედებს უწყვეტი ფუნქციების შემდეგი თვისება.

მაგალითი 4. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 3] .

გამოსავალი. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ, როგორც კოეფიციენტის წარმოებულს:

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რაც გვაძლევს ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის [-1, 3] ინტერვალს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

მოდით შევადაროთ ეს ღირებულებები. დასკვნა: -5/13-ის ტოლია, წერტილში და უდიდესი ღირებულებაუდრის 1 წერტილში.

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების ძიებას

არიან მასწავლებლები, რომლებიც ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის თემაზე არ აძლევენ მოსწავლეებს უფრო რთულ მაგალითებს, ვიდრე ახლახან განვიხილეთ, ანუ ისეთები, რომლებშიც ფუნქცია არის მრავალწევრი ან წილადი, მრიცხველი. და რომლის მნიშვნელიც არის მრავალწევრები. მაგრამ ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ასეთი მაგალითებით, რადგან მასწავლებელთა შორის არიან სტუდენტების სრული აზროვნების მოყვარულები (წარმოებულების ცხრილი). ამიტომ გამოყენებული იქნება ლოგარითმი და ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი 6. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გამოსავალი. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ როგორც პროდუქტის წარმოებული :

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რომელიც იძლევა ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

ყველა მოქმედების შედეგი: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას 0-ის ტოლი, წერტილში და წერტილში და უდიდესი ღირებულებატოლია ე² , წერტილში .

მაგალითი 7. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს:

გამოიტანეთ წარმოებული ნულთან:

ერთადერთი კრიტიკული წერტილი ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

დასკვნა: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას, ტოლია , წერტილში და უდიდესი ღირებულება, ტოლია , წერტილში .

გამოყენებული ექსტრემალური პრობლემების დროს, უმცირესი (ყველაზე დიდი) ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნა, როგორც წესი, მცირდება მინიმალურის (მაქსიმუმის) პოვნამდე. მაგრამ უფრო დიდი პრაქტიკული ინტერესი არ არის თვით მინიმუმები ან მაქსიმუმები, არამედ არგუმენტების მნიშვნელობები, რომლითაც ისინი მიიღწევა. გამოყენებული პრობლემების გადაჭრისას წარმოიქმნება დამატებითი სირთულე - ფუნქციების შედგენა, რომელიც აღწერს განსახილველ ფენომენს ან პროცესს.

მაგალითი 8 4 ცალი ტევადობის ავზი, რომელსაც აქვს კვადრატული ფუძის მქონე პარალელეპიპედის ფორმა და ზემოდან ღია, უნდა იყოს დაკონსერვებული. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები, რომ დაფაროს იგი მინიმალური რაოდენობით?

გამოსავალი. დაე x- ბაზის მხარე თ- ავზის სიმაღლე, ს- მისი ზედაპირის ფართობი საფარის გარეშე, ვ- მისი მოცულობა. ავზის ზედაპირის ფართობი გამოიხატება ფორმულით, ე.ი. არის ორი ცვლადის ფუნქცია. გამოხატოს სერთი ცვლადის ფუნქციად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ , საიდან . ნაპოვნი გამონათქვამის ჩანაცვლება თფორმულაში შევიდა ს:

მოდით განვიხილოთ ეს ფუნქცია ექსტრემისთვის. ის ყველგან არის განსაზღვრული და დიფერენცირებადი ]0, +∞[ და

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს () და ვპოულობთ კრიტიკულ წერტილს. გარდა ამისა, at , წარმოებული არ არსებობს, მაგრამ ეს მნიშვნელობა არ შედის განმარტების დომენში და, შესაბამისად, არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი. ასე რომ, - ერთადერთი კრიტიკული წერტილი. მოდით შევამოწმოთ ის ექსტრემის არსებობაზე მეორე საკმარისი კრიტერიუმის გამოყენებით. ვიპოვოთ მეორე წარმოებული. როდესაც მეორე წარმოებული მეტია ნულზე (). ეს ნიშნავს, რომ როდესაც ფუნქცია მიაღწევს მინიმუმს . რადგან ეს მინიმალური - ამ ფუნქციის ერთადერთი ექსტრემი, ეს არის მისი ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. ასე რომ, ავზის ძირის მხარე უნდა იყოს 2 მ, ხოლო მისი სიმაღლე.

მაგალითი 9აბზაციდან ა, მდებარეობს რკინიგზის ხაზზე, წერტილამდე თან, მისგან დაშორებით ლ, საქონლის ტრანსპორტირება უნდა მოხდეს. წონის ერთეულის გადაზიდვის ღირებულება ერთეულ მანძილზე რკინიგზით უდრის, ხოლო გზატკეცილი უდრის. რომელ წერტილამდე მხაზები რკინიგზაუნდა აშენდეს მაგისტრალი ისე, რომ საქონლის ტრანსპორტირება მოხდეს ავ თანყველაზე ეკონომიური იყო ABვარაუდობენ, რომ რკინიგზა სწორია)?

წვრილმანი და ლამაზი მარტივი დავალებაიმ კატეგორიიდან, რომლებიც მცურავი სტუდენტისთვის მაშველია. ბუნებაში, ივლისის შუა რიცხვების უძილო სფეროა, ამიტომ დროა დასახლდეთ ლეპტოპთან ერთად სანაპიროზე. დილით ადრე, თეორიის მზის სხივი ითამაშა, რათა მალე ფოკუსირება მოახდინოს პრაქტიკაზე, რომელიც, მიუხედავად გამოცხადებული სიმსუბუქისა, შეიცავს შუშის ფრაგმენტებს ქვიშაში. ამასთან დაკავშირებით, გირჩევთ კეთილსინდისიერად განიხილოთ ამ გვერდის რამდენიმე მაგალითი. პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეძლოთ იპოვნეთ წარმოებულებიდა გაიგეთ სტატიის მასალა ფუნქციის ერთფეროვნებისა და ექსტრემის ინტერვალები.

პირველ რიგში, მოკლედ მთავარის შესახებ. გაკვეთილზე იმის შესახებ ფუნქციის უწყვეტობამე მივეცი უწყვეტობის განმარტება წერტილში და უწყვეტობა ინტერვალზე. ფუნქციის სამაგალითო ქცევა სეგმენტზე ჩამოყალიბებულია ანალოგიურად. ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე, თუ:

1) ის უწყვეტია ინტერვალზე;
2) უწყვეტი წერტილში მარჯვნივდა წერტილში დატოვა.

მეორე პუნქტი ეხება ე.წ ცალმხრივი უწყვეტობაფუნქციონირებს წერტილში. მისი განმარტების რამდენიმე მიდგომა არსებობს, მაგრამ მე დავრჩები ადრე დაწყებულ ხაზს:

ფუნქცია უწყვეტია წერტილში მარჯვნივ, თუ იგი განსაზღვრულია მოცემულ წერტილში და მისი მარჯვენა ზღვარი ემთხვევა მოცემულ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას: . ის უწყვეტია წერტილში დატოვა, თუ განსაზღვრულია მოცემულ წერტილში და მისი მარცხენა ზღვარი უდრის ამ წერტილში არსებულ მნიშვნელობას:

წარმოიდგინეთ, რომ მწვანე წერტილები არის ლურსმნები, რომლებზეც დამაგრებულია ჯადოსნური რეზინის ზოლი:

გონებრივად აიღეთ წითელი ხაზი თქვენს ხელში. ცხადია, რამდენადაც არ უნდა გავწელოთ გრაფიკი მაღლა და ქვევით (ღერძის გასწვრივ), ფუნქცია მაინც დარჩება შეზღუდული- ღობე ზემოთ, ჰეჯი ქვემოთ, და ჩვენი პროდუქტი ძოვს პადოკში. ამრიგად, სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქცია შემოსაზღვრულია მასზე. მათემატიკური ანალიზის დროს ეს ერთი შეხედვით მარტივი ფაქტი ცხადდება და მკაცრად არის დადასტურებული ვაიერშტრასის პირველი თეორემა.... ბევრს აღიზიანებს, რომ ელემენტარული დებულებები მათემატიკაში დამღლელი დასაბუთებულია, მაგრამ ამას მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა აქვს. დავუშვათ, შუასაუკუნეების ტერიტორიის გარკვეულმა ბინადარმა ცაში გამოათრია გრაფიკი ხილვადობის საზღვრებს მიღმა, ეს იყო ჩასმული. ტელესკოპის გამოგონებამდე კოსმოსში შეზღუდული ფუნქცია სულაც არ იყო აშკარა! მართლაც, როგორ იცით, რა გველოდება ჰორიზონტის მიღმა? ბოლოს და ბოლოს, ოდესღაც დედამიწა ბრტყლად ითვლებოდა, ამიტომ დღეს ჩვეულებრივი ტელეპორტაციაც კი მოითხოვს მტკიცებულებას =)

Მიხედვით ვაიერშტრასის მეორე თეორემა, უწყვეტი სეგმენტზეფუნქცია აღწევს თავისას ზუსტი ზედა ზღვარიდა მისი ზუსტი ქვედა კიდე .

ნომერსაც ეძახიან ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა სეგმენტზედა აღინიშნება , და რიცხვი - ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა სეგმენტზემონიშნული.

ჩვენს შემთხვევაში:

შენიშვნა : თეორიულად, ჩანაწერები ხშირია .

უხეშად რომ ვთქვათ, ყველაზე დიდი მნიშვნელობა განლაგებულია გრაფიკის ყველაზე მაღალი წერტილი, ხოლო ყველაზე პატარა - ყველაზე დაბალი წერტილი.

Მნიშვნელოვანი!როგორც უკვე აღინიშნა სტატიაში ფუნქციის უკიდურესი, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობადა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა – არა იგივე, Რა ფუნქცია მაქსიმუმდა ფუნქციის მინიმუმი. ასე რომ, ამ მაგალითში რიცხვი არის ფუნქციის მინიმალური, მაგრამ არა მინიმალური მნიშვნელობა.

სხვათა შორის, რა ხდება სეგმენტის გარეთ? დიახ, წყალდიდობაც კი, განსახილველი პრობლემის კონტექსტში, ეს საერთოდ არ გვაინტერესებს. ამოცანა მოიცავს მხოლოდ ორი რიცხვის პოვნას და ეს არის ის!

უფრო მეტიც, გამოსავალი არის წმინდა ანალიტიკური, ამიტომ, არ არის საჭირო დახატვა!

ალგორითმი ზედაპირზე დევს და თავს გვთავაზობს ზემოთ მოყვანილი ფიგურიდან:

1) იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკული წერტილები, რომელიც ეკუთვნის ამ სეგმენტს.

დაიჭირეთ კიდევ ერთი სიკეთე: არ არის საჭირო ექსტრემისთვის საკმარისი მდგომარეობის შემოწმება, რადგან, როგორც ნაჩვენებია, მინიმალური ან მაქსიმუმის არსებობა ჯერ არ არის გარანტირებულირა არის მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობა. საჩვენებელი ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს და, ბედის ნებით, იგივე რიცხვია ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ინტერვალზე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, ასეთი დამთხვევა ყოველთვის არ ხდება.

ასე რომ, პირველ ეტაპზე უფრო სწრაფი და ადვილია ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა სეგმენტს მიკუთვნებულ კრიტიკულ წერტილებზე, ისე, რომ არ აწუხებდეთ, აქვთ თუ არა ექსტრემები.

2) ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში.

3) პირველ და მე-2 აბზაცებში ნაპოვნი ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ვირჩევთ ყველაზე პატარა და ყველაზე დიდი რიცხვი, ჩაწერეთ პასუხი.

ჩვენ ვსხედვართ ლურჯი ზღვის ნაპირზე და ქუსლებს ზედაპირულ წყალში ვურტყამთ:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე

გამოსავალი:
1) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ სეგმენტის კრიტიკულ წერტილებში:

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მეორე კრიტიკულ წერტილში:

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში:

3) „თამამი“ შედეგები მიიღეს ექსპონენციალებთან და ლოგარითმებთან, რაც მნიშვნელოვნად ართულებს მათ შედარებას. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიარაღდებით კალკულატორით ან Excel-ით და გამოვთვლით სავარაუდო მნიშვნელობებს, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ:

ახლა ყველაფერი გასაგებია.

უპასუხე:

წილადი-რაციონალური მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის:

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები სეგმენტზე

მაკარონი თინუსით ნაღების სოუსში მაკარონი ახალი ტუნას ნაღების სოუსში მაკარონი ტუნასთან ერთად ნაღების სოუსში არის კერძი, რომლიდანაც ნებისმიერი ენა გადაყლაპავს, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ გასართობად, არამედ იმიტომ, რომ ის საოცრად გემრიელია. ტუნა და მაკარონი სრულყოფილ ჰარმონიაშია ერთმანეთთან. რა თქმა უნდა, ალბათ ვინმეს არ მოეწონება ეს კერძი.	საგაზაფხულო რულონები ბოსტნეულით ბოსტნეულის რულონები სახლში ამრიგად, თუ თქვენ გიჭირთ კითხვა "რა განსხვავებაა სუშისა და რულონებს შორის?", ჩვენ ვპასუხობთ - არაფერი. რამდენიმე სიტყვა იმის შესახებ, თუ რა არის რულონები. რულონები სულაც არ არის იაპონური სამზარეულო. რულეტების რეცეპტი ამა თუ იმ ფორმით გვხვდება ბევრ აზიურ სამზარეულოში.
ფლორისა და ფაუნის დაცვა საერთაშორისო ხელშეკრულებებში და ადამიანის ჯანმრთელობა ეკოლოგიური პრობლემების გადაწყვეტა და, შესაბამისად, ცივილიზაციის მდგრადი განვითარების პერსპექტივები დიდწილად დაკავშირებულია განახლებადი რესურსების კომპეტენტურ გამოყენებასთან და ეკოსისტემების სხვადასხვა ფუნქციებთან და მათ მართვასთან. ეს მიმართულება არის ყველაზე მნიშვნელოვანი გზა	მინიმალური ხელფასი (მინიმალური ხელფასი) მინიმალური ხელფასი არის მინიმალური ხელფასი (SMIC), რომელსაც ამტკიცებს რუსეთის ფედერაციის მთავრობა ყოველწლიურად ფედერალური კანონის "მინიმალური ხელფასის შესახებ" საფუძველზე. მინიმალური ხელფასი გამოითვლება სრულად დასრულებული ყოველთვიური სამუშაო განაკვეთისთვის.