Paralelogramski štirikotnik, potem sta nasprotni stranici enaki. Paralelogram in njegove lastnosti. Območje paralelograma. Simetrale kotov paralelograma
Je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta po parih vzporedni.
Lastnina 1. Vsaka diagonala paralelograma deli na dva enaka trikotnika.
Dokaz . Po znaku II (navzkrižno ležeči vogali in skupna stranica).
Izrek dokazan.
Lastnina 2. V paralelogramu sta nasprotni strani enaki in nasprotni koti enaki.
Dokaz .
prav tako
Izrek dokazan.
Lastnost 3. V diagonalnem paralelogramu je presečišče razpolovljeno.
Dokaz .
Izrek dokazan.
Lastnina 4. Simetrala kota paralelograma, ki seka nasprotno stran, ga deli na enakokraki trikotnik in trapez. (Pogl. beseda - vrh - dva enakokraka? -ka).
Dokaz .
Izrek dokazan.
Lastnina 5 . V paralelogramu je segment s konci na nasprotnih straneh, ki poteka skozi točko presečišča diagonal, razpolovljen s to točko.
Dokaz .
Izrek dokazan.
Lastnina 6 . Kot med višinama, spuščenima z vrha topega kota paralelograma, je enak ostremu kotu paralelograma.
Dokaz .
Izrek dokazan.
Lastnina 7 . Vsota kotov paralelograma, ki mejijo na eno stran, je 180°.
Dokaz .
Izrek dokazan.
Konstrukcija simetrale kota. Lastnosti simetrale kota trikotnika.
1) Konstruirajte poljuben žarek DE.
2) Na danem žarku sestavi poljubno krožnico s središčem v oglišču in enakim
s središčem na začetku konstruiranega žarka.
3) F in G - točki presečišča kroga s stranicami danega kota, H - točka presečišča kroga s konstruiranim žarkom
Konstruirajte krog s središčem v točki H in polmerom, ki je enak FG.
5) I - točka presečišča krogov konstruiranega žarka.
6) Skozi oglišče in I nariši črto.
IDH - zahtevani kot.
)
Lastnina 1. Simetrala kota trikotnika deli nasprotno stranico sorazmerno s sosednjimi stranicami.
Dokaz . Naj bosta x, y odseka stranice c. Nadaljujemo žarek BC. Na žarek BC narišemo odsek CK iz C, ki je enak AC.
Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni stranici sta po paru vzporedni. Naslednja slika prikazuje paralelogram ABCD. Ima stranico AB vzporedno s stranico CD in stranico BC vzporedno s stranico AD.
Kot ste morda uganili, je paralelogram konveksen štirikotnik. Razmislite o osnovnih lastnostih paralelograma.
Lastnosti paralelograma
1. V paralelogramu so nasprotni koti in nasprotne stranice enaki. Dokažimo to lastnost – razmislimo o paralelogramu, prikazanem na naslednji sliki.
Diagonala BD ga deli na dva enaka trikotnika: ABD in CBD. Enaka sta v stranici BD in dveh kotih, ki ležita na njej, saj sta kota, ki ležita na sekanti BD, vzporedni premici BC in AD oziroma AB in CD. Zato je AB = CD in
BC=AD. In iz enakosti kotov 1, 2, 3 in 4 sledi, da je kot A = kot 1 + kot 3 = kot 2 + kot 4 = kot C.
2. Diagonali paralelograma razpolovita presečišče. Naj bo točka O presečišče diagonal AC in BD paralelograma ABCD.
Potem sta trikotnik AOB in trikotnik COD enaka drug drugemu, vzdolž stranice in dveh kotov, ki mejijo nanjo. (AB=CD, ker sta nasprotni strani paralelograma. In kot 1 = kot 2 in kot 3 = kot 4 kot navzkrižno ležeča kota v presečišču premic AB in CD s sekantama AC oziroma BD.) Iz tega sledi, da je AO = OC in OB = OD, kar je bilo treba dokazati.
Vse glavne lastnosti so prikazane na naslednjih treh slikah.
Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni stranici sta po paru vzporedni. Že ta definicija zadostuje, saj iz nje sledijo preostale lastnosti paralelograma in so dokazane v obliki izrekov.
Glavne lastnosti paralelograma so:
- paralelogram je konveksen štirikotnik;
- paralelogram ima nasprotne stranice v parih enake;
- paralelogram ima nasprotna kota, ki sta v parih enaka;
- diagonale paralelograma razpolovijo s presečiščem.
Paralelogram - konveksni štirikotnik
Najprej dokažimo izrek, da paralelogram je konveksen štirikotnik. Mnogokotnik je konveksen, če je katera koli njegova stran razširjena v ravno črto, vse druge strani mnogokotnika bodo na isti strani te ravne črte.
Podan je paralelogram ABCD, v katerem je AB nasprotna stran CD, BC pa nasprotna stranica AD. Tedaj iz definicije paralelograma sledi, da je AB || CD, BC || AD.
Brez vzporednih črt skupne točke, se ne sekata. To pomeni, da CD leži na eni strani od AB. Ker odsek BC povezuje točko B odseka AB s točko C odseka CD, odsek AD pa povezuje ostali točki AB in CD, ležita tudi odsek BC in AD na isti strani premice AB, kjer leži CD. Tako vse tri stranice - CD, BC, AD - ležijo na isti strani od AB.
Podobno je dokazano, da glede na druge stranice paralelograma ostale tri stranice ležijo na isti strani.
Nasprotni stranici in koti so enaki
Ena od lastnosti paralelograma je, da v paralelogramu so nasprotne stranice in nasprotni koti enaki. Na primer, če je podan paralelogram ABCD, potem ima AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ta izrek je dokazan na naslednji način.
Paralelogram je štirikotnik. Torej ima dve diagonali. Ker je paralelogram konveksen štirikotnik, ga vsak izmed njih razdeli na dva trikotnika. Oglejmo si trikotnika ABC in ADC v paralelogramu ABCD, ki ga dobimo, če narišemo diagonalo AC.
Ti trikotniki imajo eno skupno stranico - AC. Kot BCA je enak kotu CAD, prav tako navpičnici z vzporednikoma BC in AD. Enaka sta tudi kota BAC in ACD, enaka sta tudi navpična kota, ko sta AB in CD vzporedna. Zato je ∆ABC = ∆ADC nad dvema kotoma in stranico med njima.
V teh trikotnikih stranica AB ustreza strani CD, stranica BC pa AD. Zato je AB = CD in BC = AD.
Kot B ustreza kotu D, tj. ∠B = ∠D. Kot A paralelograma je vsota dveh kotov - ∠BAC in ∠CAD. Kot C je sestavljen iz ∠BCA in ∠ACD. Ker so pari kotov med seboj enaki, potem je ∠A = ∠C.
Tako je dokazano, da so v paralelogramu nasprotni strani in koti enaki.
Diagonale prerezane na pol
Ker je paralelogram konveksen štirikotnik, ima dve diagonali in se sekata. Naj bo podan paralelogram ABCD, njegovi diagonali AC in BD se sekata v točki E. Razmislite o trikotniku ABE in CDE, ki ju tvorita.
Ti trikotniki imajo stranice AB in CD enake nasprotnim stranicam paralelograma. Kot ABE je enak kotu CDE, saj ležita na vzporednih premicah AB in CD. Iz istega razloga je ∠BAE = ∠DCE. Zato je ∆ABE = ∆CDE nad dvema kotoma in stranico med njima.
Opazite lahko tudi, da sta kota AEB in CED navpična in torej tudi med seboj enaka.
Ker sta trikotnika ABE in CDE med seboj enaka, so enaki tudi vsi njuni ustrezni elementi. Stranica AE prvega trikotnika ustreza strani CE drugega, torej AE = CE. Podobno je BE = DE. Vsak par enakih odsekov sestavlja diagonalo paralelograma. Tako je dokazano, da diagonale paralelograma razpolovijo s presečiščem.
Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni (slika 233).
Poljubni paralelogram ima naslednje lastnosti:
1. Nasprotni stranici paralelograma sta enaki.
Dokaz. Paralelogramu ABCD nariši diagonalo AC. Trikotnika ACD in AC B sta enaka, če imata skupno stranico AC in dva para enakih kotov ob njej:
(kot navzkrižno ležeča kota z vzporednicama AD in BC). Torej, in kot strani enakih trikotnikov, ki ležijo nasproti enakih kotov, kar je bilo potrebno dokazati.
2. Nasprotna kota paralelograma sta:
3. Sosednji koti paralelograma, to je koti, ki mejijo na eno stran, se seštejejo itd.
Dokaz lastnosti 2 in 3 neposredno izhaja iz lastnosti kotov pri vzporednicah.
4. Diagonali paralelograma se razpolavljata v točki svojega presečišča. Z drugimi besedami,
Dokaz. Trikotnika AOD in BOC sta enaka, saj sta njuni stranici AD in BC enaki (lastnost 1) in jima priležni koti (kot navzkrižno ležeča kota z vzporednimi premicami). To pomeni enakost ustreznih stranic teh trikotnikov: AO, kar je bilo treba dokazati.
Vsaka od teh štirih lastnosti označuje paralelogram ali, kot pravijo, je njegova značilna lastnost, tj. vsak štirikotnik, ki ima vsaj eno od teh lastnosti, je paralelogram (in zato ima vse ostale tri lastnosti).
Dokaz izvajamo za vsako nepremičnino posebej.
1". Če sta nasprotni strani štirikotnika po parih enaki, je štirikotnik paralelogram.
Dokaz. Naj ima štirikotnik ABCD stranice AD in BC, AB in CD enake (slika 233). Narišimo diagonalo AC. Trikotnika ABC in CDA bosta skladna, če imata tri pare enakih stranic.
Toda potem sta kota BAC in DCA enaka in . Vzporednost stranic BC in AD izhaja iz enakosti kotov CAD in DIA.
2. Če ima štirikotnik dva para nasprotni koti sta enaka, potem je paralelogram.
Dokaz. Pustiti . Ker sta stranici AD in BC vzporedni (na podlagi vzporednih premic).
3. Formulacijo in dokaz prepuščamo bralcu.
4. Če sta diagonali štirikotnika medsebojno razdeljeni v presečni točki na pol, potem je štirikotnik paralelogram.
Dokaz. Če je AO \u003d OS, BO \u003d OD (slika 233), potem sta trikotnika AOD in BOC enaka, saj imata enake kote (navpično!) Na oglišču O, zaprta med pari enakih stranic AO in CO, BO in NAREDI Iz enakosti trikotnikov sklepamo, da sta stranici AD in BC enaki. Stranici AB in CD sta prav tako enaki, štirikotnik pa se izkaže za paralelogram glede na značilno lastnost Г.
Torej, da bi dokazali, da je dani štirikotnik paralelogram, zadostuje, da preverimo veljavnost katere koli od štirih lastnosti. Bralec je povabljen, da samostojno dokaže še eno značilno lastnost paralelograma.
5. Če ima štirikotnik par enakih, vzporednih stranic, potem je to paralelogram.
Včasih kateri koli par vzporednih stranic paralelograma imenujemo njegove osnove, drugi dve pa stranske stranice. Odsek premice, ki je pravokoten na dve stranici paralelograma, zaprt med njima, se imenuje višina paralelograma. Paralelogram na sl. 234 ima višino h, narisano na straneh AD in BC, njena druga višina je predstavljena z odsekom .
Pri današnji uri bomo ponovili glavne lastnosti paralelograma, nato pa bomo pozornost posvetili upoštevanju prvih dveh značilnosti paralelograma in ju dokazali. Pri dokazu se spomnimo na uporabo znakov enakosti trikotnikov, ki smo se jih učili lani in ponovili v prvi lekciji. Na koncu bo podan primer uporabe preučenih značilnosti paralelograma.
Tema: štirikotniki
Lekcija: Znaki paralelograma
Začnimo s spominjanjem definicije paralelograma.
Opredelitev. Paralelogram- štirikotnik, v katerem sta vsaki dve nasprotni stranici vzporedni (glej sliko 1).
riž. 1. Paralelogram
Spomnimo se osnovne lastnosti paralelograma:
Da bi lahko uporabili vse te lastnosti, je treba biti prepričan, da je figura, o kateri pod vprašajem, je paralelogram. Če želite to narediti, morate poznati dejstva, kot so znaki paralelograma. Danes bomo obravnavali prva dva.
Izrek. Prva lastnost paralelograma.Če sta v štirikotniku dve nasprotni stranici enaki in vzporedni, potem je tudi ta štirikotnik paralelogram. 
.
riž. 2. Prvi znak paralelograma
Dokaz. V štirikotnik narišimo diagonalo (glej sliko 2), razdelila jo je na dva trikotnika. Zapišimo, kaj vemo o teh trikotnikih:
glede na prvi znak enakosti trikotnikov.
Iz enakosti teh trikotnikov sledi, da na podlagi vzporednosti premic v presečišču njihove sekante. To imamo:
Dokazano.
Izrek. Drugi znak paralelograma.Če sta v štirikotniku vsaki dve nasprotni stranici enaki, potem je ta štirikotnik enak paralelogram. 
.
riž. 3. Drugi znak paralelograma
Dokaz. V štirikotnik narišimo diagonalo (glej sliko 3), ki ga deli na dva trikotnika. Zapišimo, kaj vemo o teh trikotnikih na podlagi formulacije izreka:
po tretjem kriteriju za enakost trikotnikov.
Iz enakosti trikotnikov sledi, da na podlagi vzporednosti premic v presečišču njihove sekante. Dobimo:
paralelogram po definiciji. Q.E.D.
Dokazano.
Oglejmo si primer uporabe lastnosti paralelograma.
Primer 1. V konveksnem štirikotniku Poišči: a) vogale štirikotnika; b) stran.
rešitev. Upodabljajmo sl. 4.
riž. 4
paralelogram glede na prvi atribut paralelograma.
