Kaj je koren n stopnja. Kvadratni koren. Obsežen vodnik (2019)
Prva stopnja
Koren in njegove lastnosti. Podrobna teorija s primeri (2019)
Poskusimo ugotoviti, kakšen koncept je "koren" in "s čim se jedo". Če želite to narediti, upoštevajte primere, s katerimi ste se že srečali v lekcijah (no, ali pa se morate s tem preprosto soočiti).
Na primer, imamo enačbo. Kaj je rešitev te enačbe? Katera števila lahko kvadriramo in dobimo hkrati? Če se spomnite tabele množenja, lahko zlahka podate odgovor: in (ker ko pomnožite dve negativni števili, dobite pozitivno število)! Če poenostavimo, so matematiki uvedli poseben koncept kvadratnega korena in mu dodelili poseben simbol.
Določimo aritmetični kvadratni koren.
Zakaj mora biti število nenegativno? Na primer, kaj je enako. V redu, poskusimo ugotoviti. Mogoče tri? Preverimo: in ne. Mogoče, ? Ponovno preverite: No, ali ni izbrano? To je pričakovano – saj ni števil, ki bi ob kvadriranju dala negativno število!
To si je treba zapomniti: število ali izraz pod korenom mora biti nenegativen!
Vendar pa so najbolj pozorni verjetno že opazili, da definicija pravi, da se rešitev kvadratnega korena iz "števila imenuje tako nenegativnoštevilo, katerega kvadrat je ". Nekateri boste rekli, da smo že na začetku analizirali primer, izbrali števila, ki jih lahko kvadriramo in dobimo hkrati, odgovor je bil in, tukaj pa gre za nekakšno “nenegativno število”! Takšna pripomba je povsem na mestu. Tukaj je treba preprosto razlikovati med pojmoma kvadratnih enačb in aritmetičnega kvadratnega korena števila. Na primer, ni enakovreden izrazu.
Iz tega sledi, da je oz. (Preberite temo "")
In temu sledi.
Seveda je to zelo zmedeno, vendar si je treba zapomniti, da so predznaki rezultat reševanja enačbe, saj moramo pri reševanju enačbe zapisati vse x-e, ki bodo, če jih zamenjamo v prvotno enačbo, dali pravilno rezultat. V našem kvadratna enačba ustreza obema.
Vendar, če samo vzemite kvadratni koren od nečesa, potem vedno dobimo en nenegativen rezultat.
Zdaj poskusite rešiti to enačbo. Ni vse tako preprosto in gladko, kajne? Poskusite razvrstiti številke, morda bo kaj pregorelo? Začnimo od samega začetka - od začetka: - ne štima, pojdi naprej - manj kot tri, tudi ščetkaj stran, a kaj ko. Preverimo: – tudi ne ustreza, saj je več kot tri. Z negativnimi števili se bo izkazala ista zgodba. In kaj storiti zdaj? Ali nam iskanje ni dalo ničesar? Sploh ne, zdaj zagotovo vemo, da bo odgovor neko število med in, pa tudi med in. Prav tako je očitno, da rešitve ne bodo cela števila. Poleg tega niso racionalni. Torej, kaj je naslednje? Zgradimo graf funkcije in na njem označimo rešitve.
Poskusimo pretentati sistem in dobiti odgovor s kalkulatorjem! Spravimo koren iz posla! Oh-oh-oh, izkazalo se je, da. Ta številka se nikoli ne konča. Kako si lahko to zapomniš, saj na izpitu ne bo kalkulatorja!? Vse je zelo preprosto, ni vam treba zapomniti, zapomniti si morate (ali biti sposobni hitro oceniti) približno vrednost. in sami odgovori. Takšna števila imenujemo iracionalna in za poenostavitev zapisa takih števil je bil uveden koncept kvadratnega korena.
Oglejmo si še en primer za okrepitev. Analizirajmo naslednjo težavo: prečkati morate diagonalno kvadratna škatla s stranico km, koliko km moraš prehoditi?
Najbolj očitna stvar tukaj je obravnavati trikotnik ločeno in uporabiti Pitagorov izrek:. Tako,. Kakšna je torej zahtevana razdalja tukaj? Očitno razdalja ne more biti negativna, to razumemo. Koren iz dva je približno enak, vendar je, kot smo že omenili, že popoln odgovor.
Da reševanje primerov s koreninami ne povzroča težav, jih morate videti in prepoznati. Če želite to narediti, morate poznati vsaj kvadrate števil od do, pa tudi znati jih prepoznati. Na primer, vedeti morate, kaj je na kvadrat, in tudi, nasprotno, kaj je na kvadrat.
Ste ugotovili, kaj je kvadratni koren? Nato reši nekaj primerov.
Primeri.
No, kako je delovalo? Zdaj pa poglejmo te primere:
odgovori:
kockasti koren
No, nekako smo ugotovili koncept kvadratnega korena, zdaj pa bomo poskušali ugotoviti, kaj je kubični koren in kakšna je njihova razlika.
Kubični koren nekega števila je število, katerega kub je enak. Ste opazili, kako lažje je? Tukaj ni nobenih omejitev glede možnih vrednosti kot vrednosti pod znakom kockasti koren, in ekstrahirano številko. To pomeni, da lahko kubični koren vzamemo iz katerega koli števila:.
Ste ujeli, kaj je kockasti koren in kako ga izluščiti? Potem nadaljujte s primeri.
Primeri.
odgovori:
Koren - oh stopnja
No, razumeli smo koncepte kvadratnih in kubičnih korenin. Zdaj pridobljeno znanje posplošimo s konceptom th koren.
th koren iz števila je število, katerega potenca je enaka, tj.
je enako.
Če - celo, to:
- z negativnim, izraz nima smisla (koreni sode -te stopnje negativnih števil ni mogoče izvleči!);
- z nenegativnim() ima en nenegativen koren.
Če je - liho, potem ima izraz en sam koren za katerikoli.
Naj vas ne skrbi, tukaj veljajo ista načela kot pri kvadratnih in kubičnih korenih. To so načela, ki smo jih upoštevali kvadratni koren, razširimo na vse korene sode stopnje.
In tiste lastnosti, ki so bile uporabljene za kubični koren, veljajo za korenine lihe stopnje.
No, je postalo bolj jasno? Razumejmo s primeri:
Tukaj je vse bolj ali manj jasno: najprej pogledamo - ja, stopnja je soda, število pod korenom je pozitivno, zato je naša naloga najti število, katerega četrta stopnja nam bo dala. No, kakšna ugibanja? Mogoče, ? točno tako!
Torej, stopnja je enaka - liho, pod korenom je število negativno. Naša naloga je najti takšno število, ki se, ko ga dvignemo na potenco, izkaže. Zelo težko je takoj opaziti korenino. Vendar pa lahko iskanje takoj zožite, kajne? Prvič, želeno število je zagotovo negativno, in drugič, vidi se, da je liho, zato je želeno število liho. Poskusite pobrati korenino. Seveda, in lahko varno krtačite stran. Mogoče, ?
Da, to smo iskali! Upoštevajte, da smo za poenostavitev izračuna uporabili lastnosti stopinj: .
Osnovne lastnosti korenin
To je jasno? Če ne, potem bi moralo po preučitvi primerov vse pasti na svoje mesto.
Množenje korenin
Kako pomnožiti korenine? Najpreprostejša in najbolj osnovna lastnost pomaga odgovoriti na to vprašanje:
Začnimo s preprostim:
Koreni dobljenih števil niso natančno izluščeni? Ne skrbite, tukaj je nekaj primerov:
Kaj pa, če nista dva množitelja, ampak več? Enako! Formula množenja korenov deluje s poljubnim številom faktorjev:
Kaj lahko storimo z njim? No, seveda skrijte trojček pod koren, pri čemer se spomnite, da je trojček kvadratni koren iz!
Zakaj ga potrebujemo? Da, samo za razširitev naših zmožnosti pri reševanju primerov:
Kako vam je všeč ta lastnost korenin? Olajša življenje? Zame je to prav! Samo zapomniti si moraš to pozitivna števila lahko seštejemo le pod znakom korena sode stopnje.
Poglejmo, kje nam še lahko pride prav. Na primer, v nalogi morate primerjati dve številki:
Še to:
Ne boste rekli takoj. No, uporabimo razčlenjeno lastnost dodajanja števila pod znak korena? Nato naprej:
No, saj vem kaj več številk pod znakom korena, večji je sam koren! Tisti. če pomeni. Iz tega trdno sklepamo, da In nihče nas ne bo prepričal v nasprotno!
Pred tem smo uvedli faktor pod znakom korena, a kako ga odstraniti? Samo faktorizirati ga morate in izluščiti, kar je izluščeno!
Lahko bi šli drugače in razčlenili na druge dejavnike:
Ni slabo, kajne? Kateri koli od teh pristopov je pravilen, odločite se, kako se počutite udobno.
Na primer, tukaj je izraz:
V tem primeru je stopnja soda, kaj pa če je liha? Ponovno uporabite lastnosti moči in faktorizirajte vse:
Zdi se, da je s tem vse jasno, toda kako iz številke v stopinji izvleči koren? Tukaj je na primer to:
Precej preprosto, kajne? Kaj pa, če je diploma večja od dve? Sledimo isti logiki z uporabo lastnosti stopinj:
No, je vse jasno? Potem je tukaj primer:
To so pasti, o njih vedno vreden spomina. To je pravzaprav odraz primerov lastnosti:
| za liho: za celo in: |
To je jasno? Popravite s primeri:
Ja, vidimo koren na sodo stopnjo, negativno število pod korenom je tudi na sodo stopnjo. No, ali deluje enako? In tukaj je to:
To je vse! Tukaj je nekaj primerov:
Razumem? Potem nadaljujte s primeri.
Primeri.
odgovori.
Če ste prejeli odgovore, potem lahko mirne duše nadaljujete. Če ne, si poglejmo te primere:
Oglejmo si še dve lastnosti korenin:
Te lastnosti je treba analizirati na primerih. No, bomo naredili to?
Razumem? Popravimo to.
Primeri.
odgovori.
KORENINE IN NJIHOVE LASTNOSTI. POVPREČNA STOPNJA
Aritmetični kvadratni koren
Enačba ima dve rešitvi: in. To so števila, katerih kvadrat je enak.
Razmislite o enačbi. Rešimo jo grafično. Narišimo graf funkcije in premico na ravni. Presečišča teh črt bodo rešitve. Vidimo, da ima tudi ta enačba dve rešitvi - eno pozitivno in drugo negativno:
Ampak v ta primer rešitve niso cela števila. Poleg tega niso racionalni. Da bi zapisali te neracionalne odločitve, uvedemo poseben simbol kvadratnega korena.
Aritmetični kvadratni koren je nenegativno število, katerega kvadrat je . Ko izraz ni definiran, ker ne obstaja takšno število, katerega kvadrat je enak negativnemu številu.
Kvadratni koren: .
Na primer,. In iz tega sledi, da oz.
Še enkrat, to je zelo pomembno: Kvadratni koren je vedno nenegativno število: !
kockasti koren iz števila je število, katerega kocka je enaka. Kubični koren je definiran za vse. Izvleče se lahko iz poljubne številke: . Kot lahko vidite, ima lahko tudi negativne vrednosti.
Koren th stopnje števila je število, katerega th stopnja je enaka, tj.
Če - celo, potem:
- če, potem th koren a ni definiran.
- če, potem se nenegativni koren enačbe imenuje aritmetični koren th stopnje in je označen.
Če je - liho, ima enačba en sam koren za katero koli.
Ste opazili, da njegovo stopnjo pišemo zgoraj levo od znaka korena? Ampak ne za kvadratni koren! Če vidite koren brez stopnje, potem je kvadrat (stopinj).
Primeri.
Osnovne lastnosti korenin
KORENINE IN NJIHOVE LASTNOSTI. NA KRATKO O GLAVNEM
Kvadratni koren (aritmetični kvadratni koren) iz nenegativnega števila se imenuje tak nenegativno število, katerega kvadrat je
Lastnosti korenin:
Ta članek je zbirka podrobnih informacij, ki obravnavajo temo lastnosti korenin. Glede na temo bomo začeli z lastnostmi, preučili vse formulacije in podali dokaze. Za utrditev teme bomo upoštevali lastnosti n-te stopnje.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Lastnosti korena
Govorili bomo o lastnostih.
- Lastnina pomnožena števila a in b, ki je predstavljena kot enakost a · b = a · b . Lahko se predstavi kot množitelji, pozitivni ali enaki nič a 1 , a 2 , … , a k kot a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
- iz zasebnega a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, lahko zapišemo tudi v tej obliki a b = a b ;
- Lastnost iz moči števila a s sodim eksponentom a 2 m = a m za poljubno število a, na primer lastnost iz kvadrata števila a 2 = a .
V kateri koli predstavljeni enačbi lahko zamenjate dele pred in za pomišljajem, na primer enakost a · b = a · b pretvorimo kot a · b = a · b . Lastnosti enakosti se pogosto uporabljajo za poenostavitev kompleksnih enačb.
Dokaz prvih lastnosti temelji na definiciji kvadratnega korena in lastnostih potenc z naravnim eksponentom. Za utemeljitev tretje lastnosti se je treba sklicevati na definicijo modula števila.
Najprej je treba dokazati lastnosti kvadratnega korena a · b = a · b . Glede na definicijo je treba upoštevati, da je a b število, pozitivno ali enako nič, ki bo enako a b med gradnjo v kvadrat. Vrednost izraza a · b je pozitivna ali enaka nič kot produkt nenegativnih števil. Lastnost stopnje pomnoženih števil nam omogoča, da enakost predstavimo v obliki (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Po definiciji kvadratnega korena a 2 \u003d a in b 2 \u003d b, potem a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.
Na podoben način lahko to dokažemo s produktom k multiplikatorji a 1 , a 2 , … , a k bo enak zmnožku kvadratnih korenov teh faktorjev. Dejansko je a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
Iz te enakosti sledi a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .
Oglejmo si nekaj primerov za okrepitev teme.
Primer 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 in 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .
Dokazati je treba lastnost aritmetičnega kvadratnega korena količnika: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Lastnost vam omogoča, da zapišete enakost a: b 2 = a 2: b 2 in a 2: b 2 = a: b, medtem ko je a: b pozitivno število ali enako nič. Ta izraz bo dokaz.
Na primer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 in 30, 121 = 30, 121.
Razmislite o lastnosti kvadratnega korena kvadrata števila. Lahko jo zapišemo kot enakost kot a 2 = a Da bi dokazali to lastnost, je treba podrobno preučiti več enakosti za a ≥ 0 in pri a< 0 .
Očitno za a ≥ 0 velja enakost a 2 = a. pri a< 0 bo veljala enakost a 2 = - a. Pravzaprav v tem primeru − a > 0 in (− a) 2 = a 2 . Sklepamo lahko, da je a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Poglejmo si nekaj primerov.
Primer 2
5 2 = 5 = 5 in - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .
Dokazana lastnost bo pomagala utemeljiti a 2 m = a m , kjer je a- resnično, in m –naravno število. Dejansko nam lastnost potenciranja omogoča zamenjavo stopnje a 2 m izražanje (zjutraj) 2, potem je a 2 · m = (a m) 2 = a m .
Primer 3
3 8 = 3 4 = 3 4 in (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .
Lastnosti n-tega korena
Najprej morate upoštevati glavne lastnosti korenin n-te stopnje:
- Lastnost produkta števil a in b, ki sta pozitivni ali enaki nič, lahko izrazimo kot enakost a b n = a n b n , ta lastnost velja za produkt kštevilke a 1 , a 2 , … , a k kot a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
- iz ulomka ima lastnost a b n = a n b n , kjer a je vsako realno število, ki je pozitivno ali enako nič, in b je pozitivno realno število;
- Za katero koli a in sode številke n = 2 m a 2 m 2 m = a velja in za liho n = 2 m − 1 izpolnjena je enakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
- Lastnost izločanja iz a m n = a n m , kjer je a- poljubno število, pozitivno ali enako nič, n in m so naravna števila, lahko to lastnost predstavimo tudi kot . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
- Za vsako nenegativno a in poljubno n in m, ki so naravne, lahko definiramo tudi pošteno enakost a m n · m = a n ;
- lastnina stopnje n iz moči števila a, ki je pozitiven ali enak nič, v naravi m, definiran z enakostjo a m n = a n m ;
- Primerjalna lastnost, ki ima enake eksponente: za poljubna pozitivna števila a in b tako da a< b , neenakost a n< b n ;
- Lastnost primerjalnikov, ki imajo pod korenom enaka števila: če m in n- naravna števila, ki m > n, nato pri 0 < a < 1 velja neenakost a m > a n, in za a > 1 a m< a n .
Zgornje enačbe so veljavne, če sta dela pred in za znakom enačaja obrnjena. Uporabljajo se lahko tudi v tej obliki. To se pogosto uporablja med poenostavljanjem ali preoblikovanjem izrazov.
Dokaz zgornjih lastnosti korena temelji na definiciji, lastnostih stopnje in definiciji modula števila. Te lastnosti je treba dokazati. Ampak vse je v redu.
- Najprej bomo dokazali lastnosti korena n-te stopnje iz produkta a · b n = a n · b n . Za a in b, ki so pozitivno ali nič , tudi vrednost a n · b n je pozitivna oziroma enaka nič, saj je posledica množenja nenegativnih števil. Lastnost naravnega potenčnega produkta nam omogoča, da zapišemo enakost a n · b n n = a n n · b n n. Po definiciji korena n stopnje a n n = a in b n n = b , torej a n · b n n = a · b . Nastala enakost je natanko tisto, kar je bilo treba dokazati.
Ta lastnost je dokazana podobno za izdelek k faktorji: za nenegativna števila a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .
Tukaj so primeri uporabe korenske lastnosti n potenca iz produkta: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 in 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .
- Dokažimo lastnost korena količnika a b n = a n b n . pri a ≥ 0 in b > 0 je izpolnjen pogoj a n b n ≥ 0 in a n b n n = a n n b n n = a b .
Pokažimo primere:
Primer 4
8 27 3 = 8 3 27 3 in 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3 : 2 3 10 .
- Za naslednji korak je potrebno dokazati lastnosti n-te stopnje od števila do stopnje n. To predstavimo kot enakost a 2 m 2 m = a in a 2 m - 1 2 m - 1 = a za poljubno realno a in naravno m. pri a ≥ 0 dobimo a = a in a 2 m = a 2 m , kar dokazuje enakost a 2 m 2 m = a , pri čemer je enakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a očitna. pri a< 0 dobimo a = - a in a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Zadnja transformacija števila velja glede na lastnost stopnje. To dokazuje enakost a 2 m 2 m \u003d a in a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a bo resnična, saj se - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m šteje za liho stopnja - 1 za poljubno število c, pozitivna ali enaka nič.
Da bi utrdili prejete informacije, razmislite o nekaj primerih uporabe lastnosti:
Primer 5
7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 in (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .
- Dokažimo naslednjo enakost a m n = a n · m. Če želite to narediti, morate spremeniti številke pred znakom enačaja in za njim na mestih a n · m = a m n . To bo pokazalo pravilen vnos. Za a , kar je pozitivno ali enako nič , oblike a m n je pozitivno število oz nič. Obrnemo se na lastnost dviga potence na potenco in definicijo. Z njihovo pomočjo lahko transformiramo enačbe v obliki a m n n · m = a m n n m = a m m = a . To dokazuje obravnavano lastnost korena iz korena.
Druge lastnosti dokazujemo podobno. Res,. . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .
Na primer, 7 3 5 = 7 5 3 in 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.
- Dokažimo naslednjo lastnost a m n · m = a n . Da bi to naredili, je treba pokazati, da je n število, ki je pozitivno ali enako nič. Pri povišanju na potenco n m je a m. Če število a je torej pozitivna ali nič n stopnje med a je pozitivno število ali enako nič. Še več, a n · m n = a n n m , kar je bilo treba dokazati.
Da bi utrdili pridobljeno znanje, razmislite o nekaj primerih.
- Dokažimo naslednjo lastnost - lastnost korena potence oblike a m n = a n m . Očitno je, da pri a ≥ 0 stopnja a n m je nenegativno število. Še več, njo n-ta stopnja je enaka a m, dejansko je a n m n = a n m · n = a n n m = a m . To dokazuje obravnavano lastnost diplome.
Na primer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .
- To moramo dokazati za katera koli pozitivna števila a in b a< b . Upoštevajte neenakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Zato je n< b n при a< b .
Na primer, damo 12 4< 15 2 3 4 .
- Upoštevajte korensko lastnost n- stopnja. Najprej razmislite o prvem delu neenakosti. pri m > n in 0 < a < 1 res a m > a n. Recimo, da je a m ≤ a n. Lastnosti bodo poenostavile izraz na a n m · n ≤ a m m · n. Tedaj je glede na lastnosti stopnje z naravnim eksponentom izpolnjena neenakost a n m n m n ≤ a m m n m n, tj. a n ≤ a m. Vrednost, dobljena pri m > n in 0 < a < 1 ne ustreza zgornjim lastnostim.
Na enak način se lahko to dokaže m > n in a > 1 pogoj a m< a n .
Če želite popraviti zgornje lastnosti, razmislite o nekaj konkretni primeri. Razmislite o neenakosti z uporabo določenih števil.
Primer 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Cilji lekcije:
izobraževalni: ustvariti pogoje za oblikovanje celostnega pogleda na koren n-te stopnje, spretnosti zavestnega in racionalno uporabo lastnosti korena pri reševanju različnih problemov.
Poučna: ustvariti pogoje za razvoj algoritemskega, ustvarjalnega mišljenja, razviti sposobnosti samokontrole.
Poučna: spodbujati razvoj zanimanja za predmet, dejavnost, gojiti natančnost pri delu, sposobnost izražanja lastno mnenje dati priporočila.
Med poukom
1. Organizacijski trenutek.
Dober večer Dobra ura!
Kako sem vesel, da te vidim.
Zvonec je že zazvonil
Lekcija se začne.
Nasmehnila sta se. Povišana raven.
se spogledala
In tiho so se usedli.
2. Motivacija za pouk.
Izjemno francoski filozof, je znanstvenik Blaise Pascal trdil: "Veličina človeka je v njegovi sposobnosti razmišljanja." Danes se bomo poskušali počutiti kot veliki ljudje, tako da sami odkrivamo znanje. Moto današnje lekcije bodo besede starogrški matematik Thales:
Kaj je največ na svetu? - Vesolje.
Kaj je najhitrejše? - Um.
Kaj je najbolj modro? - Čas.
Kaj je najbolj prijetno? - Doseči, kar hočeš.
Želim, da vsak od vas doseže želeni rezultat v današnji lekciji.
3. Aktualizacija znanja.
1. Poimenujte medsebojno inverzne algebraične operacije na številih. (Seštevanje in odštevanje, množenje in deljenje)
2. Ali je vedno mogoče izvesti tako algebraično operacijo, kot je deljenje? (Ne, ne moreš deliti z ničlo)
3. Katere druge operacije lahko izvedete s števili? (Potencevanje)
4. Katera operacija bo njena obratna? (izdiranje korenin)
5. Koren katere stopnje lahko izvlečete? (Drugi koren)
6. Katere lastnosti kvadratnega korena poznate? (Izvleček kvadratnega korena iz produkta, iz količnika, iz korena, potenciranje)
7. Poiščite vrednosti izrazov:
Iz zgodovine.Že pred 4000 leti so babilonski znanstveniki sestavili poleg tabel množenja in tabel recipročnih vrednosti (s pomočjo katerih se je deljenje števil zreduciralo na množenje) še tabele kvadratov števil in kvadratnih korenov števil. Hkrati so lahko našli približno vrednost kvadratnega korena poljubnega celega števila.
4. Učenje nove snovi.
Očitno je, da v skladu z osnovnimi lastnostmi stopinj z naravnimi eksponenti iz katerega koli pozitivnega števila obstajata dve nasprotni vrednosti korena sode stopnje, na primer, števili 4 in -4 sta kvadratni koren iz 16 , ker (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, števili 3 in -3 pa sta četrti korenini 81, saj je (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81.
Prav tako ne obstaja sodi koren negativnega števila, ker soda potenca katerega koli realnega števila je nenegativna. Kar zadeva koren lihe stopnje, potem za vsako realno število obstaja samo en koren lihe stopnje iz tega števila. Na primer, 3 je tretji koren iz 27, ker je Z3 = 27, in -2 je peti koren iz -32, ker (-2)5 = 32.
V zvezi z obstojem dveh korenov sode stopnje iz pozitivnega števila uvajamo koncept aritmetičnega korena, da odpravimo to dvoumnost korena.
Nenegativna korenska vrednost n-to stopnjo nenegativnega števila imenujemo aritmetični koren.
Oznaka: - n-ti koren stopnja.
Število n imenujemo stopnja aritmetičnega korena. Če je n = 2, potem stopnja korena ni navedena in je zapisana. Koren druge stopnje se imenuje kvadratni koren, koren tretje stopnje pa kubični koren.
B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0
B, bp = a, p - tudi a ≥ 0, b ≥ 0
p - liho a, b - poljubno
Lastnosti
1. , a ≥ 0, b ≥ 0
2. , a ≥ 0, b > 0
3. , a ≥ 0
4. , m, n, k - naravna števila
5. Utrjevanje nove snovi.
ustno delo
a) Kateri izrazi so smiselni?
b) Za katere vrednosti spremenljivke a je izraz smiseln?
Rešite št. 3, 4, 7, 9, 11.
6. Telesna vzgoja.
V vseh zadevah je potrebna zmernost,
Naj bo glavno pravilo.
Naredite gimnastiko, če ste dolgo razmišljali,
Gimnastika ne izčrpa telesa,
Čisti pa celo telo!
Zaprite oči, sprostite telo
Predstavljajte si - vi ste ptice, nenadoma ste poleteli!
Zdaj plavaš kot delfin v oceanu,
Zdaj na vrtu nabiraš zrela jabolka.
Levo, desno, pogledal okoli
Odprite oči in se vrnite na delo!
7. Samostojno delo.
Delo v parih z 178 #1, #2.
8. D / z. Naučite se element 10 (str. 160-161), rešite št. 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).
9. Rezultati lekcije. Odsev dejavnosti.
Ali je lekcija dosegla svoj namen?
Kaj ste se naučili?
Korenska stopnja n iz realnega števila a, Kje n- naravno število, tako realno število imenujemo x, n katere th potenca je enaka a.
koren stopnje n od številke a označen s simbolom. Po tej definiciji.
Iskanje korena n stopnje med a imenovano ekstrakcija korenin. številka A se imenuje korensko število (izraz), n- indikator korenine. Za neparno n obstaja korenina n-ta potenca za poljubno realno število a. celo n obstaja korenina n-ta stopnja samo za nenegativno število a. Za odpravo dvoumnosti korena n stopnje med a, je predstavljen koncept aritmetičnega korena n stopnje med a.
Koncept aritmetičnega korena stopnje N
če n- naravno število večje od 1 , potem obstaja in samo eno, nenegativno število X, tako da enakost velja. Ta številka X imenujemo aritmetični koren n potenco nenegativnega števila A in je označena. številka A imenovano korensko število n- indikator korenine.
Torej, po definiciji zapis , kjer , pomeni, prvič, da in, drugič, da , tj. .
Koncept diplome z racionalni indikator
Stopnja z naravnim eksponentom: let A je realno število in n je naravno število večje od ena n-ta potenca števila A poklicati delo n množitelji, od katerih je vsak enak A, tj. . številka A- osnova diplome, n- eksponent. Eksponent z ničelnim eksponentom: po definiciji, če , potem . Ničelna potenca števila 0 nima smisla. Potenca z negativnim celim eksponentom: po definiciji, če in n je naravno število, potem . Stopnja z delnim eksponentom: po definiciji, če in n- naravno število, m je celo število, potem .
Operacije s koreninami.
V vseh spodnjih formulah simbol pomeni aritmetični koren (radikalni izraz je pozitiven).
1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenine teh dejavnikov:
2. Korenina razmerja je enako razmerju koreni dividende in delitelja:
3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da povečate število korena na to potenco: 
4. Če povečate stopnjo korena za n-krat in hkrati povečate število korena na n-to potenco, se vrednost korena ne bo spremenila: 
5. Če zmanjšate stopnjo korena za n-krat in hkrati izvlečete koren n-te stopnje iz radikalnega števila, se vrednost korena ne bo spremenila:
Razširitev koncepta stopnje. Doslej smo upoštevali stopnje samo z naravnim kazalnikom; vendar lahko operacije s potencami in koreni vodijo tudi do negativnih, ničelnih in delnih eksponentov. Vsi ti eksponenti zahtevajo dodatno opredelitev.
Stopnja z negativnim eksponentom. Potenca nekega števila z negativnim (celim) eksponentom je definirana kot ena, deljena s potenco istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti negativnega eksponenta:
Zdaj lahko formulo a m: a n \u003d a m - n uporabimo ne samo za m, večje od n, ampak tudi za m, manjše od n.
PRIMER a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Če želimo, da formula a m: a n = a m - n velja za m = n, moramo določiti ničelno stopnjo.
Stopnja z ničelnim eksponentom. Stopnja katerega koli neničelnega števila z ničelnim eksponentom je 1.
PRIMERI. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.
Stopnja z delnim eksponentom. Če želite dvigniti realno število a na potenco m / n, morate izluščiti koren n-te stopnje iz m-te stopnje tega števila a:
O izrazih, ki nimajo smisla. Takih izrazov je več.
Primer 1
Kjer a ≠ 0 ne obstaja.
Dejansko, če predpostavimo, da je x določeno število, potem imamo v skladu z definicijo operacije deljenja: a = 0 · x, tj. a = 0, kar je v nasprotju s pogojem: a ≠ 0
Primer 2
Poljubna številka.
Če predpostavimo, da je ta izraz enak nekemu številu x, potem imamo glede na definicijo operacije deljenja: 0 = 0 · x . Toda ta enakost velja za vsako število x, kar je bilo treba dokazati.
res,
Rešitev Razmislite o treh glavnih primerih:
1) x = 0 - ta vrednost ne zadovoljuje te enačbe
2) za x > 0 dobimo: x / x = 1, tj. 1 = 1, od koder sledi, da je x poljubno število; vendar glede na to, da je v našem primeru x > 0, je odgovor x > 0;
3) pri x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
v tem primeru ni rešitve. Torej x > 0.
V tem članku bomo predstavili pojem korena števila. Delovali bomo zaporedno: začeli bomo s kvadratnim korenom, od njega prešli na opis kubičnega korena, nato pa bomo posplošili koncept korena z opredelitvijo korena n-te stopnje. Hkrati bomo predstavili definicije, zapise, podali primere korenin ter podali potrebna pojasnila in komentarje.
Kvadratni koren, aritmetični kvadratni koren
Da bi razumeli definicijo korena števila in še posebej kvadratnega korena, moramo imeti . Na tem mestu se bomo pogosto srečali z drugo potenco števila – kvadratom števila.
Začnimo z definicije kvadratnega korena.
Opredelitev
Kvadratni koren iz a je število, katerega kvadrat je a .
Da bi prinesel primeri kvadratnih korenov, vzamemo več števil, na primer 5 , −0,3 , 0,3 , 0 in jih kvadriramo, dobimo števila 25 , 0,09 , 0,09 oziroma 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 in 0 2 =0 0=0 ). Potem je po zgornji definiciji 5 kvadratni koren iz 25, −0,3 in 0,3 sta kvadratna korena iz 0,09 in 0 je kvadratni koren iz nič.
Vedeti je treba, da za nobeno število a ne obstaja , katerega kvadrat je enak a . Za nobeno negativno število a namreč ne obstaja realno število b, katerega kvadrat je enak a. Dejansko je enakost a=b 2 nemogoča za kateri koli negativni a , saj je b 2 nenegativno število za kateri koli b . torej na množici realnih števil ni kvadratnega korena negativnega števila. Z drugimi besedami, na množici realnih števil kvadratni koren negativnega števila ni definiran in nima pomena.
To vodi do logičnega vprašanja: "Ali obstaja kvadratni koren iz a za vsak nenegativen a"? Odgovor je pritrdilen. Utemeljitev tega dejstva se lahko šteje za konstruktivno metodo, ki se uporablja za iskanje vrednosti kvadratnega korena.
Potem se pojavi naslednje logično vprašanje: "Koliko je število vseh kvadratnih korenov danega nenegativnega števila a - ena, dva, tri ali celo več"? Tukaj je odgovor nanj: če je a nič, potem je edini kvadratni koren iz nič nič; če je a neko pozitivno število, potem je število kvadratnih korenov iz števila a enako dve, koreni pa so . Utemeljimo to.
Začnimo s primerom a=0. Najprej pokažimo, da je nič res kvadratni koren iz nič. To izhaja iz očitne enakosti 0 2 =0·0=0 in definicije kvadratnega korena.
Zdaj pa dokažimo, da je 0 edini kvadratni koren iz nič. Uporabimo obratno metodo. Predpostavimo, da obstaja neko neničelno število b, ki je kvadratni koren iz nič. Takrat mora biti izpolnjen pogoj b 2 =0, kar je nemogoče, saj je za vsak neničelni b vrednost izraza b 2 pozitivna. Prišli smo do protislovja. To dokazuje, da je 0 edini kvadratni koren iz nič.
Pojdimo na primere, ko je a pozitivno število. Zgoraj smo rekli, da vedno obstaja kvadratni koren katerega koli nenegativnega števila, naj bo b kvadratni koren iz a. Recimo, da obstaja število c , ki je tudi kvadratni koren iz a . Potem po definiciji kvadratnega korena veljata enakosti b 2 =a in c 2 =a, iz katerih sledi, da je b 2 −c 2 =a−a=0, ker pa je b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , potem (b−c) (b+c)=0 . Nastala enakost v veljavi lastnosti dejanj z realnimi števili možno le, če je b−c=0 ali b+c=0. Tako sta števili b in c enaki ali nasprotni.
Če predpostavimo, da obstaja število d, ki je drug kvadratni koren števila a, potem s sklepanjem, podobnim že podanim, dokažemo, da je d enako številu b ali številu c. Torej je število kvadratnih korenov pozitivnega števila dve, kvadratni koreni pa so nasprotna števila.
Za udobje dela s kvadratnimi koreninami je negativni koren "ločen" od pozitivnega. V ta namen uvaja definicija aritmetičnega kvadratnega korena.
Opredelitev
Aritmetični kvadratni koren nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega kvadrat je enak a .
Za aritmetični kvadratni koren števila a velja zapis. Predznak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena. Imenuje se tudi znak radikala. Zato lahko delno slišite tako "koren" kot "radikal", kar pomeni isti predmet.
Število pod znakom aritmetičnega kvadratnega korena se imenuje korensko število in izraz pod korenskim znakom - radikalno izražanje, medtem ko se izraz "radikalno število" pogosto nadomesti z "radikalni izraz". Na primer, v zapisu je število 151 radikalno število, v zapisu pa je izraz a radikalni izraz.
Pri branju je beseda "aritmetika" pogosto izpuščena, na primer vnos se bere kot "kvadratni koren iz sedem pika dvajset devet stotink." Beseda "aritmetika" se uporablja le, ko se želi to poudariti pogovarjamo se o pozitivnem kvadratnem korenu števila.
V luči uvedenega zapisa iz definicije aritmetičnega kvadratnega korena izhaja, da je za vsako nenegativno število a .
Kvadratni koreni pozitivnega števila a so zapisani z aritmetičnim znakom kvadratnega korena kot in . Na primer, kvadratni koren iz 13 je in . Aritmetični kvadratni koren iz nič je nič, to je . Za negativna števila a vnosom ne bomo pripisovali pomena, dokler ne preučimo kompleksna števila. Na primer, izraza in sta brez pomena.
Na podlagi definicije kvadratnega korena so dokazane lastnosti kvadratnih korenov, ki se pogosto uporabljajo v praksi.
Za zaključek tega pododdelka omenimo, da so kvadratni koreni števila rešitve oblike x 2 =a glede na spremenljivko x.
kubični koren
Opredelitev kubnega korenaštevila a je podana na podoben način kot definicija kvadratnega korena. Le da temelji na konceptu kocke števila, ne kvadrata.
Opredelitev
Kubični koren iz a imenujemo število, katerega kub je enak a.
Prinesimo primeri kockastih korenin. Če želite to narediti, vzemite več števil, na primer 7 , 0 , −2/3 , in jih sestavite na kocke: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , 
. Nato lahko na podlagi definicije kubičnega korena rečemo, da je število 7 kubični koren iz 343, 0 je kubični koren iz nič, −2/3 pa kubični koren iz −8/27.
Lahko se pokaže, da kubični koren števila a, za razliko od kvadratnega korena, vedno obstaja, in ne samo za nenegativno a, ampak tudi za vsako realno število a. Če želite to narediti, lahko uporabite isto metodo, ki smo jo omenili pri preučevanju kvadratnega korena.
Poleg tega obstaja le en kubični koren danega števila a. Dokažimo zadnjo trditev. Če želite to narediti, ločeno razmislite o treh primerih: a je pozitivno število, a=0 in a je negativno število.
Enostavno je pokazati, da pri pozitivnem a kubni koren iz a ne more biti niti negativen niti nič. Res, naj bo b kubični koren od a , potem lahko po definiciji zapišemo enakost b 3 =a . Jasno je, da ta enakost ne more veljati za negativni b in za b=0, saj bo v teh primerih b 3 =b·b·b negativno število oziroma nič. Torej je kubni koren pozitivnega števila a pozitivno število.
Zdaj pa predpostavimo, da poleg števila b obstaja še en kubični koren iz števila a, označimo ga s c. Potem je c 3 =a. Zato je b 3 −c 3 =a−a=0 , vendar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(to je skrajšana formula množenja razlika kock), od koder je (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Dobljena enakost je mogoča le, če je b−c=0 ali b 2 +b c+c 2 =0 . Iz prve enačbe imamo b=c, druga enačba pa nima rešitev, saj je njena leva stran pozitivno število za poljubna pozitivna števila b in c kot vsota treh pozitivnih členov b 2 , b c in c 2 . To dokazuje edinstvenost kubnega korena pozitivnega števila a.
Za a=0 je edini kubični koren iz a nič. Če predpostavimo, da obstaja število b , ki je različen od nič kubni koren iz nič, potem mora veljati enakost b 3 =0, kar je možno le pri b=0 .
Za negativni a lahko trdimo podobno kot za pozitivni a. Najprej pokažemo, da kubični koren negativnega števila ne more biti enak niti pozitivnemu številu niti nič. Drugič, predpostavimo, da obstaja drugi kubični koren negativnega števila in pokažemo, da bo nujno sovpadal s prvim.
Torej vedno obstaja kubni koren katerega koli realnega števila a in samo eden.
Dajmo definicija aritmetičnega kubnega korena.
Opredelitev
Aritmetični kubični koren nenegativnega števila a imenujemo nenegativno število, katerega kub je enak a.
Aritmetični kubni koren nenegativnega števila a je označen kot , predznak se imenuje predznak aritmetičnega kubnega korena, število 3 v tem zapisu se imenuje indikator korena. Številka pod korenskim znakom je korensko število, izraz pod korenskim znakom je radikalno izražanje.
Čeprav je aritmetični kubni koren definiran samo za nenegativna števila a, je priročno uporabiti tudi vnose, v katerih so negativna števila pod znakom aritmetičnega kubnega korena. Razumeli jih bomo takole: , kjer je a pozitivno število. na primer 
.
O lastnostih kockastih korenov bomo govorili v splošnem članku Lastnosti korenin.
Izračun vrednosti kubnega korena se imenuje pridobivanje kubnega korena, to dejanje je obravnavano v članku pridobivanje korenin: metode, primeri, rešitve.
Za zaključek tega pododdelka rečemo, da je kubični koren a rešitev oblike x 3 =a.
N-ti koren, aritmetični koren iz n
Posplošimo pojem korena iz števila – uvedemo določitev n-tega korena za n.
Opredelitev
n-ti koren od a je število, katerega n-ta potenca je enaka a.
Od ta definicija jasno je, da je koren prve stopnje iz števila a samo število a, saj smo pri preučevanju stopnje z naravnim indikatorjem vzeli 1 \u003d a.
Zgoraj smo obravnavali posebne primere korena n-te stopnje za n=2 in n=3 - kvadratni koren in kubični koren. To pomeni, da je kvadratni koren koren druge stopnje, kubični koren pa koren tretje stopnje. Če želite preučiti korenine n-te stopnje za n=4, 5, 6, ..., jih je priročno razdeliti v dve skupini: prva skupina - korenine sodih stopenj (to je za n=4, 6 , 8, ...), druga skupina - koreni neparnih potenc (to je za n=5, 7, 9, ... ). To je posledica dejstva, da so korenine sodih stopinj podobne kvadratnemu korenu, korenine lihih stopinj pa kubičnemu korenu. Ukvarjajmo se z njimi po vrsti.
Začnimo s koreni, katerih potence so soda števila 4, 6, 8, ... Kot smo že povedali, so podobni kvadratnemu korenu števila a. To pomeni, da koren katere koli sode stopnje iz števila a obstaja samo za nenegativno a. Poleg tega, če je a=0, potem je koren a edinstven in enak nič, in če je a>0, potem obstajata dva korena sode stopnje iz števila a in sta nasprotni števili.
Utemeljimo zadnjo trditev. Naj bo b koren sode stopnje (označujemo ga kot 2·m, kjer je m neko naravno število) iz a. Recimo, da obstaja število c - še en 2 m koren iz a . Potem je b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Poznamo pa obliko b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), potem (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz te enakosti sledi b−c=0 , ali b+c=0 , oz b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvi dve enakosti pomenita, da sta števili b in c enaki oziroma sta b in c nasprotni. In zadnja enakost velja samo za b=c=0 , saj njena leva stran vsebuje izraz, ki je nenegativen za poljubna b in c kot vsota nenegativnih števil.
Kar zadeva korenine n-te stopnje za liho n, so podobne kockastemu korenu. To pomeni, da koren katere koli lihe stopnje iz števila a obstaja za vsako realno število a in je za dano število a edinstven.
Edinstvenost korena lihe stopnje 2·m+1 iz števila a dokažemo po analogiji z dokazom edinstvenosti kubnega korena iz a . Samo tukaj namesto enakosti a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) enačba oblike b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Izraz v zadnjem oklepaju lahko prepišemo kot b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primer, za m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Če sta a in b oba pozitivna ali oba negativna, je njun produkt pozitivno število, potem je izraz b 2 +c 2 +b·c, ki je v oklepaju najvišje stopnje gnezdenja, pozitiven kot vsota pozitivnih številke. Zdaj, ko se zaporedno premaknemo na izraze v oklepajih prejšnjih stopenj gnezdenja, se prepričamo, da so pozitivni tudi kot vsote pozitivnih števil. Kot rezultat dobimo, da je enakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 možno le, če je b−c=0 , to je, ko je število b enako številu c .
Čas je, da se ukvarjamo z zapisom korenin n-te stopnje. Za to je dano določitev aritmetičnega korena n-te stopnje.
Opredelitev
aritmetični koren n-ta potenca nenegativnega števila a imenujemo nenegativno število, katerega n-ta potenca je enaka a.
