Poiščite tangentno enačbo. Spletni kalkulator. Enačba direktne tangente na graf funkcije v dani točki
Enačba tangente na graf funkcije
P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeljabinska regija
Enačba tangente na graf funkcije
Članek je bil objavljen ob podpori Hotelskega kompleksa ITAKA+. Če ostanete v mestu ladjedelnikov Severodvinsk, se ne boste soočili s problemom iskanja začasnega bivališča. , Na spletu hotelski kompleks"ITAKA +" http://itakaplus.ru, lahko enostavno in hitro najamete stanovanje v mestu, za katero koli obdobje, z dnevnim plačilom.
Vklopljeno sedanji fazi razvoj izobraževanja kot ena njegovih glavnih nalog je oblikovanje ustvarjalno misleče osebnosti. Sposobnost za ustvarjalnost pri študentih je mogoče razviti le, če se sistematično ukvarjajo z osnovami raziskovalne dejavnosti. Osnova za uporabo ustvarjalnih sil, sposobnosti in talentov študentov je oblikovano polno znanje in spretnosti. V zvezi s tem je problem oblikovanja sistema osnovnih znanj in spretnosti za vsako temo šolskega tečaja matematike nepomemben. Hkrati bi morale biti polnopravne spretnosti didaktični cilj ne posameznih nalog, temveč njihovega skrbno premišljenega sistema. V najširšem smislu sistem razumemo kot niz medsebojno povezanih elementov, ki delujejo celovito in imajo stabilno strukturo.
Razmislite o metodologiji za učenje študentov, kako sestaviti enačbo tangente na graf funkcije. V bistvu so vse naloge za iskanje tangentne enačbe zmanjšane na potrebo po izbiri iz nabora (snopa, družine) črt tistih, ki izpolnjujejo določeno zahtevo - so tangentne na graf določene funkcije. V tem primeru je nabor vrstic, iz katerih se izvaja izbor, mogoče določiti na dva načina:
a) točka, ki leži na ravnini xOy (osrednji svinčnik premic);
b) kotni koeficient (vzporedni snop premic).
V zvezi s tem smo pri preučevanju teme "Tangenta na graf funkcije", da bi izolirali elemente sistema, identificirali dve vrsti nalog:
1) naloge na tangenti, ki jo daje točka, skozi katero poteka;
2) naloge na tangento, podano z njenim naklonom.
Učenje reševanja problemov na tangenti je potekalo z uporabo algoritma, ki ga je predlagal A.G. Mordkovič. Njegova temeljna razlika od že znanih je v tem, da je abscisa tangentne točke označena s črko a (namesto x0), v povezavi s katero ima tangentna enačba obliko
y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)
(primerjajte z y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ta metodološka tehnika po našem mnenju študentom omogoča hitro in enostavno spoznanje, kje so zapisane koordinate trenutne točke v splošni tangentni enačbi in kje so stične točke.
Algoritem za sestavljanje enačbe tangente na graf funkcije y = f(x)
1. S črko a označimo absciso stične točke.
2. Poiščite f(a).
3. Poiščite f "(x) in f "(a).
4. Najdene številke a, f (a), f "(a) zamenjajte v splošno enačbo tangente y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).
Ta algoritem je mogoče sestaviti na podlagi študentovega samostojnega izbora operacij in zaporedja njihovega izvajanja.
Praksa je pokazala, da dosledna rešitev vsake od ključnih nalog z uporabo algoritma omogoča oblikovanje sposobnosti pisanja enačbe tangente na graf funkcije v stopnjah, koraki algoritma pa služijo kot močne točke za dejanja. . Ta pristop ustreza teoriji postopnega oblikovanja miselnih dejanj, ki jo je razvil P.Ya. Galperin in N.F. Talyzina.
Pri prvem tipu nalog sta bili identificirani dve ključni nalogi:
- tangenta poteka skozi točko, ki leži na krivulji (problem 1);
- tangenta poteka skozi točko, ki ne leži na krivulji (problem 2).
Naloga 1. Izenačite tangento na graf funkcije 
v točki M(3; – 2).
rešitev. Točka M(3; – 2) je stična točka, saj
1. a = 3 - abscisa točke dotika.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 je tangentna enačba.
Naloga 2. Zapišite enačbe vseh tangent na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2, ki poteka skozi točko M(- 3; 6).
rešitev. Točka M(– 3; 6) ni tangentna točka, saj je f(– 3) 6 (slika 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentna enačba.
Tangenta poteka skozi točko M(– 3; 6), zato njene koordinate zadoščajo enačbi tangente.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.
Če je a = – 4, je enačba tangente y = 4x + 18.
Če je a \u003d - 2, ima tangentna enačba obliko y \u003d 6.
Pri drugi vrsti bodo ključne naloge naslednje:
- tangenta je vzporedna z neko premico (problem 3);
- tangenta poteka pod nekim kotom na dano premico (4. naloga).
Naloga 3. Zapišite enačbe vseh tangent na graf funkcije y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, vzporedno s premico y \u003d 9x + 1.
rešitev.
1. a - abscisa točke dotika.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.
Toda po drugi strani f "(a) \u003d 9 (pogoj vzporednosti). Torej moramo rešiti enačbo 3a 2 - 6a \u003d 9. Njene korenine a \u003d - 1, a \u003d 3 (slika 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 je tangentna enačba;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);
y = 9x – 24 je tangentna enačba.
Naloga 4. Zapišite enačbo tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, ki poteka pod kotom 45 ° na ravno črto y = 0 (slika 4).
rešitev. Iz pogoja f "(a) \u003d tg 45 ° najdemo a: a - 3 \u003d 1^a=4.
1. a = 4 - abscisa točke dotika.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).
y \u003d x - 7 - enačba tangente.
Lahko je pokazati, da je rešitev katerega koli drugega problema zmanjšana na rešitev enega ali več ključnih problemov. Razmislite o naslednjih dveh težavah kot primeru.
1. Napišite enačbe tangent na parabolo y = 2x 2 - 5x - 2, če se tangenti sekata pod pravim kotom in se ena od njiju dotika parabole v točki z absciso 3 (slika 5).
rešitev. Ker je abscisa stične točke podana, se prvi del rešitve reducira na ključni problem 1.
1. a \u003d 3 - abscisa stične točke ene od stranic pravega kota.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - enačba prve tangente.
Naj a je naklonski kot prve tangente. Ker sta tangenti pravokotni, je naklonski kot druge tangente. Iz enačbe y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Poišči
To pomeni, da je naklon druge tangente .
Nadaljnja rešitev se zmanjša na ključno nalogo 3.
Naj bo torej B(c; f(c)) tangentna točka druge premice
1. - abscisa druge stične točke.
2.
3.
4.je enačba druge tangente.
Opomba. Kotni koeficient tangente je lažje najti, če učenci poznajo razmerje koeficientov pravokotnic k 1 k 2 = - 1.
2. Napišite enačbe vseh skupnih tangent na grafe funkcij
rešitev. Naloga se zmanjša na iskanje abscis stičnih točk skupnih tangent, to je na rešitev ključnega problema 1 v splošni obliki, sestavljanje sistema enačb in njegovo reševanje (slika 6).
1. Naj bo a abscisa dotične točke, ki leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.
1. Naj bo c abscisa tangente, ki leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.
Ker so tangente skupne, torej
Torej sta y = x + 1 in y = - 3x - 3 skupni tangenti.
Glavni cilj obravnavanih nalog je pripraviti študente na samoprepoznavanje vrste ključne naloge pri reševanju zahtevnejših nalog, ki zahtevajo določene raziskovalne sposobnosti (sposobnost analiziranja, primerjanja, posploševanja, postavljanja hipotez ipd.). Takšne naloge vključujejo vse naloge, v katere je ključna naloga vključena kot komponenta. Vzemimo za primer problem (obraten problemu 1) iskanja funkcije iz družine njenih tangent.
3. Za kaj b in c sta črti y \u003d x in y \u003d - 2x tangentni na graf funkcije y \u003d x 2 + bx + c?
rešitev.
Naj bo t abscisa dotične točke premice y = x s parabolo y = x 2 + bx + c; p je abscisa dotične točke premice y = - 2x s parabolo y = x 2 + bx + c. Takrat bo tangentna enačba y = x imela obliko y = (2t + b)x + c - t 2 , tangentna enačba y = - 2x pa bo imela obliko y = (2p + b)x + c - p 2 .
Sestavi in reši sistem enačb
odgovor: 
Naloge za samostojno reševanje
1. Zapišite enačbe tangent, narisanih na graf funkcije y = 2x 2 - 4x + 3 v presečiščih grafa s premico y = x + 3.
Odgovor: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.
2. Za katere vrednosti a gre tangenta, narisana na graf funkcije y \u003d x 2 - ax na točki grafa z absciso x 0 \u003d 1, skozi točko M (2; 3) ?
Odgovor: a = 0,5.
3. Pri katerih vrednostih p se premica y = px - 5 dotika krivulje y = 3x 2 - 4x - 2?
Odgovor: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.
4. Poiščite vse skupne točke grafa funkcije y = 3x - x 3 in tangente, ki poteka na ta graf skozi točko P(0; 16).
Odgovor: A(2; - 2), B(- 4; 52).
5. Poiščite najkrajšo razdaljo med parabolo y = x 2 + 6x + 10 in premico
odgovor:
6. Na krivulji y \u003d x 2 - x + 1 poiščite točko, v kateri je tangenta na graf vzporedna s črto y - 3x + 1 \u003d 0.
Odgovor: M(2; 3).
7. Zapišite enačbo tangente na graf funkcije y = x 2 + 2x - | 4x | ki se ga dotika v dveh točkah. Narišite risbo.
Odgovor: y = 2x - 4.
8. Dokaži, da premica y = 2x – 1 ne seka krivulje y = x 4 + 3x 2 + 2x. Poiščite razdaljo med njunima najbližjima točkama.
odgovor:
9. Na paraboli y \u003d x 2 sta vzeti dve točki z abscisama x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Skozi te točke je narisana sekanta. Na kateri točki parabole bo tangenta nanjo vzporedna z narisano sekanto? Napišite enačbi za sekans in tangento.
Odgovor: y \u003d 4x - 3 - sekantna enačba; y = 4x – 4 je tangentna enačba.
10. Poiščite kot q med tangentami na graf funkcije y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, narisane v točkah z abscisama 0 in 1.
Odgovor: q = 45°.
11. V katerih točkah tvori tangenta na graf funkcije z osjo Ox kot 135°?
Odgovor: A(0; - 1), B(4; 3).
12. V točki A(1; 8) do krivulje 
narisana je tangenta. Poiščite dolžino tangentnega odseka med koordinatnimi osmi.
odgovor:
13. Napišite enačbo vseh skupnih tangent na grafe funkcij y \u003d x 2 - x + 1 in y \u003d 2x 2 - x + 0,5.
Odgovor: y = - 3x in y = x.
14. Poiščite razdaljo med tangentama na grafu funkcije 
vzporedno z osjo x.
odgovor:
15. Ugotovite, pod kakšnimi koti parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 seka os x.
Odgovor: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).
16. Na grafu funkcije 
poiščite vse točke, od katerih tangenta na ta graf seka pozitivne polose koordinat in od njih odreže enake segmente.
Odgovor: A(-3; 11).
17. Premica y = 2x + 7 in parabola y = x 2 – 1 se sekata v točkah M in N. Poiščite presečišče K premic, ki se dotikajo parabole v točkah M in N.
Odgovor: K(1; - 9).
18. Za katere vrednosti b je črta y \u003d 9x + b tangentna na graf funkcije y \u003d x 3 - 3x + 15?
Odgovor: - 1; 31.
19. Za katere vrednosti k ima vrstica y = kx – 10 samo eno skupna točka z grafom funkcije y = 2x 2 + 3x - 2? Za najdene vrednosti k določite koordinate točke.
Odgovor: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).
20. Pri katerih vrednostih b gre tangenta, narisana na graf funkcije y = bx 3 – 2x 2 – 4 v točki z absciso x 0 = 2, skozi točko M(1; 8)?
Odgovor: b = - 3.
21. Parabola z vrhom na osi x se dotika premice, ki poteka skozi točki A(1; 2) in B(2; 4) v točki B. Poiščite enačbo parabole.
odgovor: 
22. Pri kateri vrednosti koeficienta k se parabola y \u003d x 2 + kx + 1 dotika osi Ox?
Odgovor: k = q 2.
23. Poiščite kote med premico y = x + 2 in krivuljo y = 2x 2 + 4x - 3.
29. Poiščite razdaljo med tangentami na graf funkcijskih generatorjev s pozitivno smerjo osi Ox pod kotom 45 °.
odgovor:
30. Poiščite geometrijsko mesto oglišč vseh parabol oblike y = x 2 + ax + b, ki se dotikajo premice y = 4x - 1.
Odgovor: premica y = 4x + 3.
Literatura
1. Zvavič L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra in začetki analize: 3600 nalog za šolarje in kandidate. - M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Četrti seminar za mlade učitelje. Tema je "Izpeljane aplikacije". - M., "Matematika", št. 21/94.
3. Oblikovanje znanja in spretnosti na podlagi teorije postopnega usvajanja miselnih dejanj. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskovska državna univerza, 1968.
Razmislite o naslednji sliki:
Prikazuje neko funkcijo y = f(x), ki je diferenciabilna v točki a. Označena točka M s koordinatami (a; f(a)). Skozi poljubno točko P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa je narisana sekanta MP.
Če zdaj točko P premaknemo po grafu v točko M, se bo premica MP vrtela okoli točke M. V tem primeru bo ∆x težil k ničli. Od tu lahko oblikujemo definicijo tangente na graf funkcije.
Tangenta na graf funkcije
Tangenta na graf funkcije je mejni položaj sekante, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli. Treba je razumeti, da obstoj odvoda funkcije f v točki x0 pomeni, da na tej točki grafa obstaja tangenta njemu.
V tem primeru bo naklon tangente enak odvodu te funkcije v tej točki f’(x0). To je geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na graf funkcije f, diferencibilne v točki x0, je neka premica, ki poteka skozi točko (x0;f(x0)) in ima naklon f’(x0).
Tangentna enačba
Poskusimo dobiti enačbo tangente na graf neke funkcije f v točki A(x0; f(x0)). Enačba premice z naklonom k ima naslednjo obliko:
Ker je naš naklon enak odvodu f'(x0), potem bo enačba imela naslednjo obliko: y = f'(x0)*x + b.
Zdaj pa izračunajmo vrednost b. Za to uporabimo dejstvo, da funkcija prehaja skozi točko A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, od tu izrazimo b in dobimo b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Dobljeno vrednost nadomestimo v tangentno enačbo:
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
Razmislite naslednji primer: poiščite enačbo tangente na graf funkcije f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 v točki x \u003d 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Dobljene vrednosti nadomestimo s formulo tangente, dobimo: y = 1 + 4*(x - 2). Če odpremo oklepaje in dodamo podobne člene, dobimo: y = 4*x - 7.
Odgovor: y = 4*x - 7.
Splošna shema za sestavljanje tangentne enačbe na graf funkcije y = f(x):
1. Določite x0.
2. Izračunajte f(x0).
3. Izračunajte f'(x)
Naj bo podana funkcija f, ki ima v neki točki x 0 končni odvod f (x 0). Potem se premica, ki poteka skozi točko (x 0; f (x 0)), ki ima naklon f '(x 0), imenuje tangenta.
Toda kaj se zgodi, če odvod v točki x 0 ne obstaja? Obstajata dve možnosti:
- Tudi tangenta na graf ne obstaja. Klasičen primer- funkcija y = |x | v točki (0; 0).
- Tangenta postane navpična. To velja na primer za funkcijo y = arcsin x v točki (1; π /2).
Tangentna enačba
Vsaka nenavpična ravna črta je podana z enačbo v obliki y = kx + b, kjer je k naklon. Tangenta ni nobena izjema in da bi sestavili njeno enačbo v neki točki x 0, je dovolj poznati vrednost funkcije in odvod v tej točki.
Torej, naj bo dana funkcija y \u003d f (x), ki ima odvod y \u003d f '(x) na segmentu. Potem lahko v katerikoli točki x 0 ∈ (a; b) na graf te funkcije potegnemo tangento, ki je podana z enačbo:
y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)
Tu je f ’(x 0) vrednost odvoda v točki x 0, f (x 0) pa vrednost same funkcije.
Naloga. Dana je funkcija y = x 3 . Zapišite enačbo za tangento na graf te funkcije v točki x 0 = 2.
Tangentna enačba: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Točka x 0 = 2 nam je dana, vendar bo treba izračunati vrednosti f (x 0) in f '(x 0).
Najprej poiščimo vrednost funkcije. Tukaj je vse enostavno: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Zdaj pa poiščimo izpeljanko: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Nadomestimo v odvodu x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tako dobimo: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
To je tangentna enačba.
Naloga. Sestavite enačbo tangente na graf funkcije f (x) \u003d 2sin x + 5 v točki x 0 \u003d π / 2.
Tokrat ne bomo podrobno opisovali vsakega dejanja - navedli bomo le ključne korake. Imamo:
f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;
Tangentna enačba:
y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
IN zadnji primer ravna črta se je izkazala za vodoravno, ker njegov naklon k = 0. S tem ni nič narobe - le naleteli smo na ekstremno točko.
Primer 1 Glede na funkcijo f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Zapišimo enačbo tangente na graf funkcije f(x) na točki grafa z absciso x 0 = 1.
rešitev. Izpeljanka funkcije f(x) obstaja za vsak x R . Poiščimo ga:
= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.
Potem f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna enačba ima obliko:
l = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
l = 10(x – 1) + 2,
l = 10x – 8.
Odgovori. l = 10x – 8.
Primer 2 Glede na funkcijo f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Zapišimo enačbo tangente na graf funkcije f(x), vzporedno s premico l = 2x – 11.
rešitev. Izpeljanka funkcije f(x) obstaja za vsak x R . Poiščimo ga:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Ker je tangenta na graf funkcije f(x) v točki z absciso x 0 je vzporedna s premico l = 2x– 11, potem je njegov naklon 2, tj. x 0) = 2. Poiščite to absciso iz pogoja, da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ta enakost velja samo za x 0 = 0 in x 0 = 2. Ker v obeh primerih f(x 0) = 5, nato premica l = 2x + b dotakne grafa funkcije v točki (0; 5) ali v točki (2; 5).
V prvem primeru velja numerična enakost 5 = 2×0 + b, kje b= 5, v drugem primeru pa velja numerična enakost 5 = 2 × 2 + b, kje b = 1.
Torej obstajata dve tangenti l = 2x+ 5 in l = 2x+ 1 na graf funkcije f(x) vzporedno s premico l = 2x – 11.
Odgovori. l = 2x + 5, l = 2x + 1.
Primer 3 Glede na funkcijo f(x) = x 2 – 6x+ 7. Zapišimo enačbo tangente na graf funkcije f(x), ki poteka skozi točko A (2; –5).
rešitev. Ker f(2) –5, nato pika A ne sodi v graf funkcije f(x). Pustiti x 0 - abscisa točke dotika.
Izpeljanka funkcije f(x) obstaja za vsak x R . Poiščimo ga:
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Potem f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangentna enačba ima obliko:
l = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
l = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Od točke A pripada tangenti, potem velja numerična enakost
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
kje x 0 = 0 oz x 0 = 4. To pomeni, da skozi točko A na graf funkcije je mogoče narisati dve tangenti f(x).
če x 0 = 0, potem ima tangentna enačba obliko l = –6x+ 7. Če x 0 = 4, potem ima tangentna enačba obliko l = 2x – 9.
Odgovori. l = –6x + 7, l = 2x – 9.
Primer 4 Dane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 in g(x) = –x 2 - 3. Zapišimo enačbo skupne tangente na grafe teh funkcij.
rešitev. Pustiti x 1 - abscisa točke stika želene črte z grafom funkcije f(x), A x 2 - abscisa točke stika iste črte z grafom funkcije g(x).
Izpeljanka funkcije f(x) obstaja za vsak x R . Poiščimo ga:
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Potem f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangentna enačba ima obliko:
l = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
l = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Poiščimo odvod funkcije g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
Navodilo
Določimo naklon tangente na krivuljo v točki M.
Krivulja, ki predstavlja graf funkcije y = f(x), je zvezna v neki okolici točke M (vključno s samo točko M).
Če vrednost f‘(x0) ne obstaja, potem bodisi ni tangente ali pa poteka navpično. Glede na to je prisotnost odvoda funkcije v točki x0 posledica obstoja nenavpične tangente, ki je v stiku z grafom funkcije v točki (x0, f(x0)). V tem primeru bo naklon tangente enak f "(x0). Tako postane geometrijski pomen izpeljanke jasen - izračun naklon tangenta.
Poiščite vrednost abscise stične točke, ki je označena s črko "a". Če sovpada z dano tangentno točko, bo "a" njena x-koordinata. Določite vrednost funkcije f(a), nadomestitev v enačbo funkcije velikost abscise.
Določite prvi odvod enačbe funkcije f'(x) in vanjo nadomestite vrednost točke "a".
Vzemite splošno tangentno enačbo, ki je definirana kot y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a), in nadomestite najdene vrednosti a, f (a), f "( a) vanj. Posledično bo rešitev grafa najdena in tangentna.
Nalogo reši drugače, če podana tangentna točka ne sovpada s tangentno točko. V tem primeru je treba namesto števil v enačbi tangente nadomestiti "a". Nato namesto črk "x" in "y" nadomestite vrednost koordinat dane točke. Rešite nastalo enačbo, v kateri je "a" neznanka. Dobljeno vrednost vnesite v enačbo tangente.
Napišite enačbo za tangento s črko "a", če je enačba podana v pogoju problema funkcije in enačbo vzporedne premice glede na želeno tangento. Po tem potrebujete izpeljanko funkcije na koordinato v točki "a". Vstavite ustrezno vrednost v enačbo tangente in rešite funkcijo.
