• Ремонт
• Ремонт
• Дизайн інтер'єра
• Про все
• Про сантехніку

Найбільше та найменше значення функції визначення коротко. Найбільше та найменше значення функції на відрізку

Дослідження такого об'єкта математичного аналізу як функція має велике значеннята в інших галузях науки. Наприклад, в економічному аналізіпостійно потрібно оцінити поведінку функціїприбутку, а саме визначити її найбільше значеннята розробити стратегію його досягнення.

Інструкція

Дослідження поведінки будь-якої завжди слід починати з пошуку області визначення. Зазвичай за умовою конкретного завдання потрібно визначити найбільше значення функціїабо по всій цій галузі, або на конкретному її інтервалі з відкритими або закритими межами.

Виходячи з , найбільшим є значення функції y(x0), при якому для будь-якої точки області визначення виконується нерівність y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графічно ця точка буде найвищою, якщо розташувати значення аргументу на осі абсцис, а саму функцію на осі ординат.

Щоб визначити найбільше значення функції, дотримуйтесь алгоритму з трьох етапів. Врахуйте, що ви повинні вміти працювати з односторонніми та , а також обчислювати похідну. Отже, нехай задана деяка функція y(x) і потрібно знайти її найбільше значенняна деякому інтервалі з граничними значеннями А та В.

З'ясуйте, чи входить цей інтервал до області визначення функції. Для цього необхідно її знайти, розглянувши всі можливі обмеження: присутність у виразі дробу, квадратного кореняі т.д. Область визначення – це безліч значень аргументу, у яких функція має сенс. Визначте, чи цей інтервал є його підмножиною. Якщо так, переходьте до наступного етапу.

Знайдіть похідну функціїі розв'яжіть отримане рівняння, прирівнявши похідну до нуля. Таким чином, ви отримаєте значення так званих стаціонарних точок. Оцініть, чи належить хоч одна їх інтервалу А, У.

Розгляньте на третьому етапі ці точки, підставте їх значення функцію. Залежно від типу інтервалу виконайте такі додаткові дії. За наявності відрізка виду [А, В] граничні точки входять до інтервалу, про це говорять дужки. Обчисліть значення функціїпри х = А і х = У. Якщо відкритий інтервал (А, У), граничні значення є виколотими, тобто. не входять до нього. Вирішіть односторонні межі для х→А та х→В. Комбінований інтервал виду [А, В) або (А, В), одна з меж якого належить йому, інша – ні, знайдіть односторонню межу при х, що прагне до виколотого значення, а інше підставте в функцію. +∞) або односторонні нескінченні проміжки виду: , (-∞, B) Для дійсних меж А та В дійте відповідно до вже описаних принципів, а для нескінченних шукайте межі для х→-∞ та х→+∞ відповідно.

Завдання цьому етапі

Дана функція, певна і безперервна на певному проміжку. Потрібно знайти найбільше (найменше) значення функції у цьому проміжку.

Теоретичні основи.
Теорема (Друга теорема Вейєрштраса):

Якщо функція визначена і безперервна в замкнутому проміжку , вона досягає у цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень.

Функція може досягати своїх найбільших і найменших значень на внутрішніх точках проміжку, або на його межах. Проілюструємо усі можливі варіанти.

Пояснення:
1) Функція досягає свого найбільшого значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
2) Функція досягає свого найбільшого значення в точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
3) Функція досягає свого найбільшого значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення в точці (це точка мінімуму).
4) Функція стала на проміжку, тобто. вона досягає свого мінімального та максимального значення в будь-якій точці проміжку, причому мінімальне та максимальне значення рівні між собою.
5) Функція досягає свого найбільшого значення у точці , а свого найменшого значення точці (попри те, що функція має у цьому проміжку як максимум, і мінімум).
6) Функція досягає свого найбільшого значення у точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення у точці (це точка мінімуму).
Примітка:

"Максимум" і "максимальне значення" - різні речі. Це випливає із визначення максимуму та інтуїтивного розуміння словосполучення «максимальне значення».

Алгоритм розв'язання задачі 2.



4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) та записати відповідь.

Приклад 4:

Визначити найбільше та найменше значенняфункції на відрізку.
Рішення:
1) Знайти похідну функції.

2) Знайти стаціонарні точки (і точки, підозрілі на екстремум), розв'язавши рівняння . Звернути увагу на точки, в яких немає двосторонньої кінцевої похідної.

3) Обчислити значення функції у стаціонарних точках і межах інтервалу.

4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) та записати відповідь.

Функція цьому відрізку досягає свого найбільшого значення у точці з координатами .

Функція цьому відрізку досягає свого найменшого значення у точці з координатами .

У правильність обчислень можна переконатися, подивившись графік досліджуваної функції.


Примітка:Найбільшого значення функція сягає у точці максимуму, а найменшого – межі відрізка.

Окремий випадок.

Припустимо, потрібно знайти максимально та мінімальне значення деякої функції на відрізку. Після виконання першого пункту алгоритму, тобто. обчислення похідної, стає ясно, що, наприклад, вона набуває лише негативних значень на всьому розглянутому відрізку. Пам'ятаємо, якщо похідна негативна, то функція зменшується. Отримали, що на всьому відрізку функція зменшується. Ця ситуація відображена на графіку №1 на початку статті.

На відрізку функція зменшується, тобто. точок екстремумів у неї немає. З зображення видно, що найменше значення функція прийме на правій межі відрізка, а найбільше значення - на лівій. якщо похідна на відрізку всюди позитивна, то функція зростає. Найменше значення - на лівій межі відрізка, найбільше - на правій.

І на її вирішення знадобиться мінімальне знання теми. Закінчується черговий навчальний рік, усім хочеться на канікули, і щоб наблизити цей момент, я відразу ж переходжу до справи:

Почнемо з області. Область, про яку йдеться в умові, є обмежене замкнене безліч точок площини. Наприклад, безліч точок, обмежена трикутником, включаючи ВЕСЬ трикутник (якщо з Межі«виколоти» хоча б одну точку, то область перестане бути замкненою). Насправді також зустрічаються області прямокутної, круглої і трохи складніших форм. Слід зазначити, що теорії математичного аналізу даються суворі визначення обмеженість, замкнутість, межі і т.д.Але, думаю, всі усвідомлюють ці поняття на інтуїтивному рівні, а більшого зараз і не треба.

Плоска область стандартно позначається буквою , і, як правило, задається аналітично - декількома рівняннями (не обов'язково лінійними); рідше за нерівності. Типовий словесний оборот: "замкнена область, обмежена лініями".

Невід'ємною частиною завдання є побудова області на кресленні. Як це зробити? Потрібно накреслити всі ці лінії (в даному випадку 3 прямі) та проаналізувати, що ж вийшло. Шукану область зазвичай злегка штрихують, а її кордон виділяють жирною лінією:


Цю ж область можна задати і лінійними нерівностями: , які чомусь частіше записують перечислювальним списком, а не системою.
Оскільки кордон належить області, всі нерівності, зрозуміло, несуворі.

А тепер суть завдання. Уявіть, що з початку координат прямо на вас виходить вісь . Розглянемо функцію, яка безперервна в кожнійточці області. Графік цієї функції є деякою поверхня, і маленьке щастя у тому, що з вирішення сьогоднішнього завдання нам не обов'язково знати, як ця поверхня виглядає. Вона може розташовуватись вище, нижче, перетинати площину – все це не важливо. А важливе таке: згідно теорем Вейєрштраса, безперервнав обмеженою замкненоюобласті функція досягає в ній найбільшого (найвищого)і найменшого (найнижчого)значень, які потрібно знайти. Такі значення досягаються абов стаціонарних точках, що належать областіD , абоу точках, що лежать на межі цієї області. З чого випливає простий і прозорий алгоритм розв'язання:

Приклад 1

В обмеженій замкнутої області

Рішення: перш за все, потрібно зобразити область на кресленні На жаль, мені технічно важко зробити інтерактивну модель завдання, і тому я одразу наведу фінальну ілюстрацію, на якій зображені всі «підозрілі» точки, знайдені в ході дослідження. Зазвичай вони проставляються одна за одною в міру їхнього виявлення:

Виходячи з преамбули, рішення зручно розбити на два пункти:

I) Знайдемо стаціонарні точки. Це стандартна дія, яку ми неодноразово виконували на уроці про екстремуми кількох змінних:

Знайдена стаціонарна точка належитьобласті: (Зазначаємо її на кресленні), Отже, слід обчислити значення функції у цій точці:

– як і у статті Найбільше та найменше значення функції на відрізку, важливі результати я виділятиму жирним шрифтом. У зошиті їх зручно обводити олівцем.

Зверніть увагу на наше друге щастя – немає сенсу перевіряти достатня умова екстремуму. Чому? Навіть якщо в точці функція досягає, наприклад, локального мінімуму, то це ЩЕ НЕ ЗНАЧИТЬ, що отримане значення буде мінімальниму всій області (Див. початок уроку про безумовні екстремуми) .

Що робити, якщо стаціонарна точка не належить області? Майже нічого! Слід зазначити, як і перейти до наступного пункту.

II) Досліджуємо кордон області.

Оскільки межа складається із сторін трикутника, то дослідження зручно розбити на 3 підпункти. Але краще це зробити не аби як. На мою думку, спочатку вигідніше розглянути відрізки, паралельні координатним осям, і в першу чергу - лежать на самих осях. Щоб вловити всю послідовність і логіку дій, постарайтеся вивчити кінцівку «на одному диханні»:

1) Розберемося з нижньою стороною трикутника. Для цього підставимо безпосередньо у функцію:

Як варіант, можна оформити і так:

Геометрично це означає, що координатна площина (яка теж задається рівнянням)«висікає» з поверхні"просторову" параболу, вершина якої негайно потрапляє під підозру. З'ясуємо, де вона знаходиться:

- Отримане значення «потрапило» в область, і цілком може статися, що в точці (Зазначаємо на кресленні)функція досягає максимального чи меншого значення у всій області . Так чи інакше, проводимо обчислення:

Інші «кандидати» – це, звичайно, кінці відрізка. Обчислимо значення функції у точках (Зазначаємо на кресленні):

Тут, до речі, можна виконати усну міні-перевірку за «урізаною» версією:

2) Для дослідження правої сторонитрикутника підставляємо у функцію і «наводимо там порядок»:

Тут відразу ж виконаємо чорнову перевірку, «продзвонюючи» вже оброблений кінець відрізка:
, відмінно.

Геометрична ситуація споріднена з попереднім пунктом:

– отримане значення теж «увійшло сферу наших інтересів», отже, потрібно обчислити, чому дорівнює функція в точці :

Досліджуємо другий кінець відрізка:

Використовуючи функцію , Виконаємо контрольну перевірку:

3) Напевно, всі здогадуються, як дослідити бік, що залишився. Підставляємо у функцію та проводимо спрощення:

Кінці відрізка вже досліджено, але на чернетці все одно перевіряємо, чи правильно ми знайшли функцію :
- Збіглося з результатом 1-го підпункту;
- Збіглося з результатом 2-го підпункту.

Залишилося з'ясувати, чи щось цікаве всередині відрізка:

- Є! Підставляючи в рівняння прямий, отримаємо ординату цієї «цікавості»:

Відзначаємо на кресленні точку і знаходимо відповідне значення функції:

Проконтролюємо обчислення за «бюджетною» версією :
, Порядок.

І заключний крок: Уважно переглядаємо всі жирні числа, початківцям рекомендую навіть скласти єдиний список:

з якого вибираємо найбільше та найменше значення. Відповідьзапишемо у стилістиці завдання знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку:

Про всяк випадок ще раз закоментую геометричний зміст результату:
- Тут найвища точка поверхні в області;
- Тут найнижча точка поверхні в області.

У розібраному завданні у нас виявилося 7 «підозрілих» точок, але від завдання до завдання їхня кількість варіюється. Для трикутної області мінімальний «дослідницький набір» складається з трьох точок. Таке буває, коли функція , наприклад, задає площина- Зрозуміло, що стаціонарні точки відсутні, і функція може досягати найбільшого/найменшого значень лише у вершинах трикутника. Але подібних прикладів раз, два і влаштувався - зазвичай доводиться мати справу з якою-небудь поверхнею 2-го порядку.

Якщо ви трохи вирішуєте такі завдання, то від трикутників голова може піти кругом, і тому я приготував для вас незвичайні прикладищоб вона стала квадратною:))

Приклад 2

Знайти найбільше та найменше значення функції у замкнутій області, обмеженій лініями

Приклад 3

Знайти найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області.

Особливу увагузверніть на раціональний порядок і техніку дослідження кордону області, а також на ланцюжок проміжних перевірок, який практично повністю дозволить уникнути обчислювальних помилок. Взагалі кажучи, вирішувати можна як завгодно, але в деяких завданнях, наприклад, у тому ж Прикладі 2 є всі шанси значно ускладнити собі життя. Зразок чистового оформлення завдань наприкінці уроку.

Систематизуємо алгоритм рішення, а то з моєю старанністю павука він якось загубився в довгій нитці коментарів 1-го прикладу:

- На першому кроці будуємо область, її бажано заштрихувати, а кордон виділити жирною лінією. У ході рішення з'являтимуться точки, які потрібно проставляти на кресленні.

– Знайдемо стаціонарні точки та обчислимо значення функції тільки в тих із них, що належать області. Отримані значення виділяємо у тексті (наприклад, обводимо олівцем). Якщо стаціонарна точка НЕ ​​належить області, то відзначаємо цей факт значком чи словесно. Якщо ж стаціонарних точок немає зовсім, то робимо письмовий висновок у тому, що вони відсутні. У жодному разі цей пункт пропускати не можна!

– Досліджуємо кордон області. Спочатку вигідно розібратися з прямими, які паралельні координатним осям (якщо такі є взагалі). Значення функції, обчислені в підозрілих точках, також виділяємо. Про техніку рішення дуже багато сказано вище і ще щось буде сказано нижче - читайте, перечитуйте, вникайте!

– З виділених чисел вибираємо найбільше та найменше значення та даємо відповідь. Іноді буває, що такі значення функція досягає відразу в кількох точках – у цьому випадку всі ці точки слід відобразити у відповіді. Нехай, наприклад, і виявилося, що це найменше значення. Тоді записуємо, що

Заключні приклади присвячені іншим корисним ідеям, які стануть у нагоді на практиці:

Приклад 4

Знайти найбільше та найменше значення функції у замкнутій області .

Я зберіг авторське формулювання, в якому область задана у вигляді подвійної нерівності. Цю умову можна записати еквівалентною системою або ж у більш традиційному для цього завдання вигляді:

Нагадую, що з нелінійниминерівностями ми стикалися на , і якщо вам не зрозумілий геометричний зміст запису , то, будь ласка, не відкладайте та проясніть ситуацію прямо зараз;-)

Рішення, як завжди, починається з побудови області, яка є своєрідною «підошвою»:

Мда, іноді доводиться гризти як граніт науки….

I) Знайдемо стаціонарні точки:

Система-мрія ідіота:)

Стаціонарна точка належить області, зокрема, лежить її межі.

А так, воно, нічого… весело урок пішов – ось що означає попити правильного чаю =)

II) Досліджуємо кордон області. Не мудруючи лукаво, почнемо з осі абсцис:

1) Якщо , то

Знайдемо, де вершина параболи:
– цінуйте такі моменти – «потрапили» прямо в точку, з якою вже все ясно. Але про перевірку все одно не забуваємо:

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

2) З нижньою частиною «підошви» розберемося «за один присід» – без будь-яких комплексів підставляємо в функцію, причому цікавити нас буде лише відрізок:

Контроль:

Ось це вже вносить деяке пожвавлення в монотонну їзду накатаною колією. Знайдемо критичні точки:

Вирішуємо квадратне рівнянняпам'ятаєте ще про таке? …Втім, пам'ятайте, звичайно, інакше б не читали ці рядки =) Якщо у двох попередніх прикладах були зручні обчислення в десяткових дробах(що, до речі, рідкість), то тут на нас чекають звичні звичайні дроби. Знаходимо «іксове» коріння і за рівнянням визначаємо відповідні «ігрові» координати точок-«кандидатів»:


Обчислимо значення функції у знайдених точках:

Перевірку функції проведіть самостійно.

Тепер уважно вивчаємо завойовані трофеї та записуємо відповідь:

Ось це «кандидати», то «кандидати»!

Для самостійного рішення:

Приклад 5

Знайти найменше та найбільше значення функції у замкнутій області

Запис з фігурними дужками читається так: «безліч точок, таких, що».

Іноді у подібних прикладах використовують метод множників ЛагранжаАле реальна необхідність його застосовувати навряд чи виникне. Так, наприклад, якщо дана функція з тією ж областю "де", то після підстановки в неї - з похідною від жодних труднощів; причому оформляється все «одним рядком» (зі знаками) без необхідності розглядати верхню і нижню півкола окремо. Але, звичайно, бувають і складніші випадки, де без функції Лагранжа (де , наприклад, те саме рівняння кола)обійтися важко – як важко обійтись і без гарного відпочинку!

Всім добре скласти сесію і до швидких зустрічей наступного сезону!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення: зобразимо область на кресленні:

Процес пошуку найменшого і максимального значення функції на відрізку нагадує цікавий обліт об'єкта (графіка функції) на гелікоптері з обстрілом з далекобійної гармати певних точок і вибором з цих точок дуже особливих точок для контрольних пострілів. Крапки вибираються певним чином і за певними правилами. За якими правилами? Про це ми далі й поговоримо.

Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень . Це може статися або в точках екстремуму, або кінцях відрізка. Тому для знаходження найменшого і найбільшого значень функції , безперервний на відрізку [ a, b], потрібно обчислити її значення у всіх критичних точкахі на кінцях відрізка, а потім вибрати з них найменше та найбільше.

Нехай, наприклад, потрібно визначити найбільше значення функції f(x) на відрізку [ a, b]. Для цього слід знайти всі її критичні точки, що лежать на [ a, b] .

Критичною точкою називається точка, в якій функція визначена, а її похіднаабо дорівнює нулю, або немає. Потім слід обчислити значення функції критичних точках. І, нарешті, слід порівняти між собою за величиною значення функції в критичних точках і кінцях відрізка ( f(a) та f(b)). Найбільше з цих чисел і буде найбільшим значенням функції на відрізку [a, b] .

Аналогічно вирішуються завдання на перебування найменших значень функції .

Шукаємо найменше та найбільше значення функції разом

Приклад 1. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 2] .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції. Прирівняємо похідну нулю () та отримаємо дві критичні точки: і . Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку достатньо обчислити її значення на кінцях відрізка і в точці, оскільки точка не належить відрізку [-1, 2]. Ці значення функції - такі: , , . З цього виходить що найменше значення функції(на графіці нижче позначено червоним), що дорівнює -7, досягається на правому кінці відрізка - у точці , а найбільше(теж червоне на графіці), дорівнює 9, - у критичній точці .

Якщо функція безперервна в деякому проміжку і цей проміжок не є відрізком (а є, наприклад, інтервалом; різниця між інтервалом та відрізком: граничні точки інтервалу не входять до інтервалу, а граничні точки відрізка входять у відрізок), то серед значень функції може і не бути найменшого та найбільшого. Так, наприклад, функція, зображена на малюнку нижче, безперервна на ]-∞, +∞[ і не має найбільшого значення.

Однак для будь-якого проміжку (закритого, відкритого чи нескінченного) справедлива наступна властивість безперервних функцій.

Приклад 4. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 3] .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну приватного:

.

Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку [-1, 3]. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та в знайденій критичній точці:

Порівнюємо ці значення. Висновок: , рівного -5/13, у точці та найбільшого значення, рівного 1, у точці .

Продовжуємо шукати найменше та найбільше значення функції разом

Існують викладачі, які на тему знаходження найменшого і максимального значень функції не дають студентам на вирішення приклади складніше щойно розглянутих, тобто таких, у яких функція - многочлен чи дріб, чисельник і знаменник якої - многочлены. Але ми не обмежимося такими прикладами, оскільки серед викладачів бувають любителі змусити студентів думати по повній (таблиці похідних). Тому в хід підуть логарифм та тригонометрична функція.

Приклад 6. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну твори :

Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та в знайденій критичній точці:

Результат усіх дій: функція досягає найменшого значення, рівного 0, у точці та в точці та найбільшого значення, рівного e², у точці.

Приклад 7. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції:

Прирівнюємо похідну нулю:

Єдина критична точка належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та в знайденій критичній точці:

Висновок: функція досягає найменшого значення, рівного , у точці та найбільшого значення, рівного , у точці .

У прикладних екстремальних задачах знаходження найменшого (найбільшого) значень функції, як правило, зводиться до знаходження мінімуму (максимуму). Але більший практичний інтерес мають самі мінімуми чи максимуми, а ті значення аргументу, у яких досягаються. При вирішенні прикладних завдань виникає додаткова труднощі - складання функцій, що описують явище, що розглядається, або процес.

Приклад 8.Резервуар ємністю 4 має форму паралелепіпеда з квадратною основою і відкритий зверху, потрібно вилудити оловом. Якими мають бути розміри резервуара, щоб на його покриття пішла найменша кількість матеріалу?

Рішення. Нехай x- сторона основи, h- Висота резервуара, S- площа поверхні без кришки, V- Його обсяг. Площа поверхні резервуара виражається формулою, тобто. є функцією двох змінних. Щоб виразити Sяк функцію однієї змінної, скористаємося тим, що , звідки . Підставивши знайдений вираз hу формулу для S:

Досліджуємо цю функцію на екстремум. Вона визначена і диференційована всюди ]0, +∞[ , причому

.

Прирівнюємо похідну нулю () і знаходимо критичну точку. Крім того, при похідна не існує, але це значення не входить в область визначення і тому не може бути точкою екстремуму. Отже, єдина критична точка. Перевіримо її на наявність екстремуму, використовуючи другу достатню ознаку. Знайдемо другу похідну. При другому похідному більше нуля (). Значить, при функція досягає мінімуму . Оскільки цей мінімум - єдиний екстремум цієї функції, і є її найменшим значенням. Отже, сторона основи резервуара повинна дорівнювати 2 м, а його висота .

Приклад 9.З пункту A, що знаходиться на лінії залізниці, в пункт Звіддалений від неї на відстані l, повинні переправити вантажі. Вартість провезення вагової одиниці на одиницю відстані залізницею дорівнює, а шосе вона дорівнює. До якої точки Млінії залізниціслід провести шосе, щоб транспортування вантажу з Ав Збула найбільш економічною (ділянка АВзалізниці передбачається прямолінійним)?

Мініатюрна та досить просте завданняз розряду тих, які служать рятівним колом студенту, що плаває. На природі сонне царство середини липня, тому саме час влаштуватися з ноутбуком на пляжі. Рано-вранці заграв сонячний зайчик теорії, щоб незабаром сфокусуватися на практиці, яка, незважаючи на заявлену легкість, містить уламки скла в піску. У зв'язку з цим рекомендую сумлінно розглянути нечисленні приклади цієї сторінки. Для вирішення практичних завдань необхідно вміти знаходити похідніта розуміти матеріал статті Інтервали монотонності та екстремуми функції.

Спочатку коротко про головне. На уроці про безперервності функціїя наводив визначення безперервності у точці та безперервності на інтервалі. Зразково-показова поведінка функції на відрізку формулюється таким чином. Функція безперервна на відрізку якщо:

1) вона безперервна на інтервалі;
2) безперервна у точці справаі в точці зліва.

У другому пункті мова зайшла про так звану односторонньої безперервностіфункції у точці. Існує кілька підходів до її визначення, але я дотримуватимуся розпочатої раніше лінії:

Функція безперервна у точці справа, якщо вона визначена в цій точці та її правостороння межа збігається зі значенням функції у цій точці: . Вона ж безперервна у точці зліва, якщо визначена в даній точці та її лівостороння межа дорівнює значенню у цій точці:

Уявіть, що зелені крапки – це цвяхи, на яких закріплена чарівна гумка:

Подумки візьміть червону лінію до рук. Очевидно, що як далеко ми не розтягували графік вгору і вниз (вздовж осі), функція все одно залишиться обмеженою– огорожу зверху, огорожу знизу, і наш виріб пасеться в загоні. Таким чином, безперервна на відрізку функція обмежена на ньому. У курсі матаналізу цей начебто простий факт констатується і суворо доводиться першою теоремою Вейєрштраса.…Багато хто дратує, що в математиці нудно обґрунтовуються елементарні твердження, однак у цьому є важливий зміст. Припустимо, якийсь житель махрового середньовіччя витягував графік у небо поза видимості ось це вставляло. До винаходу телескопа обмеженість функції у космосі була зовсім очевидна! Справді, звідки ви знаєте, що на нас чекає за обрієм? Адже колись і Земля вважалася плоскою, тому сьогодні навіть звичайна телепортація потребує доказів.

Згідно другий теоремі Вейєрштраса, безперервна на відрізкуфункція досягає своєї точної верхньої граніі своєю точної нижньої грані .

Число також називають максимальним значенням функції на відрізкуі позначають через , а число – мінімальним значенням функції на відрізкуз позначкою .

У нашому випадку:

Примітка : у теорії поширені записи .

Грубо кажучи, найбільше значення є там, де найвища точка графіка, а найменше – де найнижча точка.

Важливо!Як уже загострювалася увага у статті про екстремумах функції, найбільше значення функціїі найменше значення функції – НЕ ТЕ Ж САМЕ, що максимум функціїі мінімум функції. Так, у прикладі число є мінімумом функції, але не мінімальним значенням.

До речі, а що відбувається поза відрізком? Та хоч потоп, у контексті завдання це нас зовсім не цікавить. Завдання передбачає лише знаходження двох чисел і все!

Більше того, рішення чисто аналітичне, отже, креслення робити не треба!

Алгоритм лежить на поверхні та напрошується з наведеного малюнка:

1) Знаходимо значення функції у критичних точках, які належать даному відрізку.

Ловіть ще одну плюшку: тут відпадає необхідність перевіряти достатню умову екстремуму, оскільки, щойно було показано, наявність мінімуму або максимуму ще не гарантуєщо там мінімальне або максимальне значення. Демонстраційна функція досягає максимуму і волею долі це число є найбільшим значенням функції на відрізку. Але, зрозуміло, такий збіг має місце далеко не завжди.

Отже, на першому кроці швидше і простіше обчислити значення функції в критичних точках, що належать відрізку, не заморочуючись їсти в них екстремуми чи ні.

2) Обчислюємо значення функції кінцях відрізка.

3) Серед знайдених у 1-му та 2-му пунктах значень функції вибираємо найменше та найменше велике число, записуємо відповідь.

Сідаємо на берег синього моря і б'ємо п'ятами по мілководді:

Приклад 1

Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

Рішення:
1) Обчислимо значення функції у критичних точках, що належать даному відрізку:

Обчислимо значення функції у другій критичній точці:

2) Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

3) «Жирні» результати отримані з експонентами та логарифмами, що суттєво ускладнює їх порівняння. Тому озброїмося калькулятором або Екселем і обчислимо наближені значення, не забуваючи, що :

Ось тепер все зрозуміло.

Відповідь:

Дробно-раціональний екземпляр для самостійного вирішення:

Приклад 6

Знайти максимальне та мінімальне значення функції на відрізку

Паста з тунцем у вершковому соусі Паста зі свіжим тунцем у вершковому соусі Паста з тунцем у вершковому соусі – страва, від якої будь-який проковтне свою мову, само собою не просто, так заради сміху, а тому що це шалено смачно. Тунець та паста відмінно гармонують один з одним. Звичайно, можливо, комусь ця страва прийде не до вподоби	Спринг-роли з овочами Овочеві роли в домашніх умовах Таким чином, якщо ви б'єтеся над питанням "чим відрізняються суші від ролів?", відповідаємо - нічим. Декілька слів про те, які бувають роли. Роли - це не обов'язково японська кухня. Рецепт ролів у тому чи іншому вигляді є у багатьох азіатських кухнях.
Охорона тваринного та рослинного світу в міжнародних договорах І здоров'я людини Вирішення екологічних проблем, отже, і перспективи сталого розвитку цивілізації багато в чому пов'язані з грамотним використанням відновлюваних ресурсів та різноманітних функцій екосистем, управлінням ними. Цей напрямок - найважливіший шлях	Мінімальний розмір оплати праці (мрот) Мінімальна зарплата - це мінімальний розмір оплати праці (МРОТ), який затверджується Урядом РФ щорічно на підставі Федерального закону "Про мінімальний розмір оплати праці". МРОТ розраховується за повністю відпрацьовану місячну норму робітників