Правило диференціювання складної функції. Складна функція. Похідна складної функції
І теорему про похідну складної функції, формулювання якої таке:
Нехай 1) функція $u=\varphi (x)$ має у певній точці $x_0$ похідну $u_(x)"=\varphi"(x_0)$; 2) функція $y=f(u)$ має у відповідній точці $u_0=\varphi (x_0)$ похідну $y_(u)"=f"(u)$. Тоді складна функція $y=f\left(\varphi (x) \right)$ у згаданій точці також матиме похідну, рівну добуткупохідних функцій $f(u)$ і $\varphi(x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
або, у більш короткому записі: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
У прикладах цього розділу всі функції мають вигляд $y=f(x)$ (тобто розглядаємо лише функції однієї змінної $x$). Відповідно, у всіх прикладах похідна $y"$ береться за змінною $x$. Щоб підкреслити те, що похідна береться за змінною $x$, часто замість $y"$ пишуть $y"_x$.
У прикладах №1, №2 та №3 викладено докладний процесзнаходження похідної складних функцій. Приклад №4 призначений більш повного розуміння таблиці похідних і з ним має сенс ознайомитися.
Бажано після вивчення матеріалу у прикладах №1-3 перейти до самостійного рішенняприкладів №5, №6 та №7. Приклади №5, №6 та №7 містять коротке рішення, щоб читач міг перевірити правильність свого результату.
Приклад №1
Знайти похідну функції $y=e^(\cos x)$.
Нам потрібно знайти похідну складної функції $y"$. Оскільки $y=e^(\cos x)$, то $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Щоб знайти похідну $ \left(e^(\cos x)\right)"$ використовуємо формулу №6 з таблиці похідних . Щоб використати формулу №6, потрібно врахувати, що в нашому випадку $u=\cos x$. Подальше рішення полягає у банальній підстановці у формулу №6 виразу $\cos x$ замість $u$:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Тепер потрібно знайти значення виразу $(\cos x)"$. Знову звертаємося до таблиці похідних, вибираючи з неї формулу №10. Підставляючи $u=x$ у формулу №10, маємо: $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Тепер продовжимо рівність (1.1), доповнивши його знайденим результатом:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Оскільки $x"=1$, то продовжимо рівність (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Отже, з рівності (1.3) маємо: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Природно, що пояснення та проміжні рівності зазвичай пропускають, записуючи перебування похідної в один рядок, - як у рівності ( 1.3) Отже, похідна складної функції знайдена, залишилося лише записати відповідь.
Відповідь: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Приклад №2
Знайти похідну функції $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Нам необхідно обчислити похідну $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Спочатку відзначимо, що константу (тобто число 9) можна винести за знак похідної:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Тепер звернемося до виразу $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Щоб вибрати потрібну формулу з таблиці похідних було легше, я представлю вираз, що розглядається в такому вигляді: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Тепер видно, що потрібно використовувати формулу №2, тобто. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. У цю формулу підставимо $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ і $\alpha=12$:
Доповнюючи рівність (2.1) отриманим результатом, маємо:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
У цій ситуації часто допускається помилка, коли вирішувач на першому кроці вибирає формулу $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ замість формули $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Справа в тому, що першою має бути похідна зовнішньої функції. Щоб зрозуміти, яка саме функція буде зовнішньою для вираження $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, уявіть, що ви вважаєте значення виразу $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ за якогось значення $x$. Спочатку ви порахуєте значення $5^x$, потім помножите результат на 4, отримавши $4\cdot 5^x$. Тепер від цього результату беремо арктангенс, отримавши $ arcctg (4 cdot 5 ^ x) $. Потім зводимо отримане число в дванадцятий ступінь, отримуючи $ arctg (12) (4 cdot 5 x) $. Остання дія, - тобто. зведення в ступінь 12 - і буде зовнішньою функцією. І саме з неї слід починати перебування похідної, що було зроблено рівності (2.2).
Тепер потрібно знайти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Використовуємо формулу №19 таблиці похідних, підставивши в неї $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Трохи спростимо отриманий вираз, враховуючи $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Рівність (2.2) тепер стане такою:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Залишилося знайти $(4\cdot \ln x)"$. Винесемо константу (тобто 4) за знак похідної: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. того, щоб знайти $(\ln x)"$ використовуємо формулу №8, підставивши в неї $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$. Оскільки $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x )$.Підставивши отриманий результат у формулу (2.3), отримаємо:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)). $
Нагадаю, що похідна складної функції найчастіше знаходиться в один рядок - як записано в останній рівності. Тому при оформленні типових розрахунків або контрольних робітзовсім не обов'язково розписувати рішення так само докладно.
Відповідь: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Приклад №3
Знайти $y"$ функції $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Для початку трохи змінимо функцію $y$, висловивши радикал (корінь) у вигляді ступеня: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Тепер приступимо до знаходження похідної. Оскільки $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, то:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Використовуємо формулу №2 з таблиці похідних , підставивши до неї $u=\sin(5\cdot 9^x)$ і $\alpha=\frac(3)(7)$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Продовжимо рівність (3.1), використовуючи отриманий результат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Тепер потрібно знайти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Використовуємо для цього формулу №9 з похідних таблиці, підставивши в неї $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Доповнивши рівність (3.2) отриманим результатом, маємо:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Залишилося знайти $(5\cdot 9^x)"$. Для початку винесемо константу (число $5$) за знак похідної, тобто $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x) "$. Для знаходження похідної $(9^x)"$ застосуємо формулу №5 таблиці похідних, підставивши до неї $a=9$ і $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Оскільки $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Тепер можна продовжити рівність (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можна знову від ступенів повернутися до радикалів (тобто коріння), записавши $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ у вигляді $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Тоді похідна буде записана у такій формі:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$
Відповідь: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
Приклад №4
Показати, що формули №3 та №4 таблиці похідних є окремий випадокформули №2 цієї таблиці.
У формулі №2 таблиці похідних записано похідну функцію $u^\alpha$. Підставляючи $\alpha=-1$ у формулу №2, отримаємо:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Оскільки $u^(-1)=\frac(1)(u)$ і $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, то рівність (4.1) можна переписати так: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Це і є формула №3 таблиці похідних.
Знову звернемося до формули №2 таблиці похідних. Підставимо до неї $\alpha=\frac(1)(2)$:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Оскільки $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ і $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, то рівність (4.2) можна переписати в такому вигляді:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Отримана рівність $(sqrt(u))"=\frac(1)(2sqrt(u))cdot u"$ і є формула №4 таблиці похідних. Як бачите, формули №3 та №4 таблиці похідних виходять із формули №2 підстановкою відповідного значення $ alfa $.
У «старих» підручниках його ще називають «ланцюговим» правилом. Отже якщо у = f(u), а u = φ(х), тобто
у = f(φ(х))
складна - складова функція (композиція функцій)
де 
, після обчислення розглядається при u = φ(х).
Зазначимо, що ми тут брали «різні» композиції з тих самих функцій, і результат диференціювання природно виявився залежним від порядку «змішування».
Ланцюгове правило природним чином поширюється і композицію з трьох і більше функцій. При цьому «ланок» у «ланцюжку», що становить похідну, буде відповідно три або більше. Тут і аналогія з множенням: "у нас" - таблиця похідних; "там" - таблиця множення; "у нас" - ланцюгове правило а "там" - правило множення "стовпчиком". При обчисленні таких «складних» похідних жодних допоміжних аргументів (u?v та ін.), звичайно ж, не вводиться, а, зазначивши для себе число і послідовність функцій, що беруть участь у композиції, «нанизують» у зазначеному порядку відповідні ланки.
. Тут з «іксом» для отримання значення «гравця» роблять п'ять операцій, тобто, має місце композиція з п'яти функцій: «зовнішня» (остання з них) – показова – е ; далі у зворотному порядку статечна. (♦) 2 ; тригонометрична sin (); статечна. () 3 і, нарешті, логарифмічна ln.(). Тому
Наступними прикладами «вбиватимемо пари зайців»: потренуємося в диференціювання складних функцій і доповнимо таблицю похідних елементарних функцій. Отже:
4. Для статечної функції - у = х α - переписав її за допомогою відомого «основного логарифмічного тотожності» - b = e ln b - у вигляді х α = х α ln x отримуємо
5. Для довільної показової функціїзастосовуючи той самий прийом будемо мати
6. Для довільної логарифмічної функції використовуючи відому формулу переходу до нової основи послідовно отримуємо
.
7. Щоб продиференціювати тангенс (котангенс), скористаємося правилом диференціювання приватного:
Для отримання похідних зворотних тригонометричних функцій скористаємося співвідношенням якому задовольняють похідні двох взаємозворотних функцій, тобто φ (х) і f (х) пов'язаних співвідношеннями:
Ось це співвідношення
Саме з цієї формули для взаємно зворотних функцій
і 
,
Під кінець зведемо ці та деякі інші, так само легко одержувані похідні, наступну таблицю.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Наводяться приклади обчислення похідних із застосуванням похідної формули складної функції.
Тут ми наводимо приклади обчислення похідних від таких функцій:
;
;
;
;
.
Якщо функцію можна представити як складну функцію у такому вигляді:
,
то її похідна визначається за формулою:
.
У наведених нижче прикладах ми будемо записувати цю формулу в наступному вигляді:
.
де.
Тут нижні індекси або розташовані під знаком похідної позначають змінні, по якій виконується диференціювання.
Зазвичай, в похідних таблицях , наводяться похідні функцій від змінної x . Однак x – це формальний параметр. Змінну x можна замінити будь-якою іншою змінною. Тому, при диференціювання функції від змінної , ми змінюємо, у таблиці похідних, змінну x на змінну u .
Прості приклади
Приклад 1
Знайти похідну складної функції
.
Рішення
Запишемо задану функціюв еквівалентному вигляді:
.
У таблиці похідних знаходимо:
;
.
За формулою похідної складної функції маємо:
.
Тут.
Відповідь
Приклад 2
Знайти похідну
.
Рішення
Виносимо постійну 5 за знак похідної та з таблиці похідних знаходимо:
.
.
Тут.
Відповідь
Приклад 3
Знайдіть похідну
.
Рішення
Виносимо постійну -1
за знак похідної та з таблиці похідних знаходимо:
;
З таблиці похідних знаходимо:
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції:
.
Тут.
Відповідь
Більш складні приклади
У більш складних прикладахми застосовуємо правило диференціювання складної функції кілька разів. При цьому ми обчислюємо похідну з кінця. Тобто розбиваємо функцію на складові частини та знаходимо похідні найпростіших частин, використовуючи таблицю похідних. Також ми застосовуємо правила диференціювання суми, твори та дроби . Потім робимо підстановки та застосовуємо формулу похідної складної функції.
Приклад 4
Знайдіть похідну
.
Рішення
Виділимо найпростішу частину формули та знайдемо її похідну. .
.
Тут ми використовували позначення
.
Знаходимо похідну наступної частини вихідної функції, застосовуючи отримані результати. Застосовуємо правило диференціювання суми:
.
Ще раз застосовуємо правило диференціювання складної функції.
.
Тут.
Відповідь
Приклад 5
Знайдіть похідну функції
.
Рішення
Виділимо найпростішу частину формули та з таблиці похідних знайдемо її похідну. .
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
.
Тут
.
Визначення.Нехай функція \(y = f(x) \) визначена в деякому інтервалі, що містить у собі точку \(x_0 \). Дамо аргументу приріст (Delta x) таке, щоб не вийти з цього інтервалу. Знайдемо відповідне збільшення функції \(\Delta y \) (при переході від точки \(x_0 \) до точки \(x_0 + \Delta x \)) і складемо відношення \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Якщо існує межа цього відношення при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то вказану межу називають похідної функції\(y=f(x) \) у точці \(x_0 \) і позначають \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Для позначення похідної часто використовують символ y". Зазначимо, що y" = f(x) - це нова функціяале, природно, пов'язана з функцією y = f(x), визначена у всіх точках x, в яких існує зазначена вище межа. Цю функцію називають так: похідна функції у = f(x).
Геометричний зміст похідноїполягає у наступному. Якщо до графіку функції у = f(x) у точці з абсцисою х=a можна провести дотичну, непаралельну осі y, то f(a) виражає кутовий коефіцієнт дотичної:
\(k = f"(a) \)
Оскільки \(k = tg(a) \), то вірна рівність \(f"(a) = tg(a) \).
А тепер витлумачимо визначення похідної з погляду наближених рівностей. Нехай функція \(y = f(x) \) має похідну в конкретній точці \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Це означає, що біля точки х виконується наближена рівність \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), тобто \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Змістовний зміст отриманої наближеної рівності полягає в наступному: збільшення функції «майже пропорційно» до збільшення аргументу, причому коефіцієнтом пропорційності є значення похідної в заданій точці х. Наприклад, для функції \(y = x^2 \) справедливо наближена рівність \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Якщо уважно проаналізувати визначення похідної, ми виявимо, що у ньому закладено алгоритм її знаходження.
Сформулюємо його.
Як знайти похідну функції у = f (x)?
1. Зафіксувати значення \(x \), знайти \(f(x) \)
2. Дати аргументу \(x \) збільшення \(\Delta x \), перейти в нову точку \(x+ \Delta x \), знайти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Знайти збільшення функції: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Скласти відношення \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Обчислити $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ця межа і є похідною функцією в точці x.
Якщо функція у = f(x) має похідну в точці х, її називають диференційованою в точці х. Процедуру знаходження похідної функції у = f(x) називають диференціюваннямфункції у = f(x).
Обговоримо таке питання: як пов'язані між собою безперервність та диференційність функції у точці.
Нехай функція у = f(x) диференційована у точці х. Тоді до графіку функції в точці М(х; f(x)) можна провести дотичну, причому, нагадаємо, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(x). Такий графік не може «розриватися» у точці М, тобто функція зобов'язана бути безперервною у точці х.
Це були міркування "на пальцях". Наведемо більш строгу міркування. Якщо функція у = f(x) диференційована в точці х, то виконується наближена рівність \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Якщо в цій рівності \(\Delta x \) спрямувати до нулю, то й \(\Delta y \) прагнутиме до нуля, а це і є умова безперервності функції в точці.
Отже, якщо функція диференційована у точці х, вона і безперервна у цій точці.
Зворотне твердження не так. Наприклад: функція у = | х | безперервна скрізь, зокрема у точці х = 0, але щодо графіку функції в «точці стику» (0; 0) не існує. Якщо деякій точці до графіку функції не можна провести дотичну, то цій точці немає похідна.
Ще один приклад. Функція \(y=\sqrt(x) \) безперервна на всій числовій прямій, у тому числі в точці х = 0. І дотична до графіка функції існує в будь-якій точці, у тому числі в точці х = 0. Але в цій точці дотична збігається з віссю у, тобто перпендикулярна до осі абсцис, її рівняння має вигляд х = 0. Кутового коефіцієнтау такої прямої немає, значить, не існує і \(f"(0) \)
Отже, ми познайомилися з новою властивістю функції - диференціювання. А як за графіком функції можна дійти невтішного висновку про її диференційованості?
Відповідь фактично отримано вище. Якщо деякій точці до графіку функції можна провести дотичну, не перпендикулярну осі абсцис, то цій точці функція диференційована. Якщо у певній точці дотична до графіку функції немає чи вона перпендикулярна осі абсцис, то цій точці функція не диференційована.
Правила диференціювання
Операція знаходження похідної називається диференціюванням. За виконання цієї операції часто доводиться працювати з приватними, сумами, творами функцій, і навіть з «функціями функцій», тобто складними функціями. Виходячи з визначення похідної, можна вивести правила диференціювання, що полегшують роботу. Якщо C - постійне число і f = f (x), g = g (x) - деякі функції, що диференціюються, то справедливі наступні правила диференціювання:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Таблиця похідних деяких функцій
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $У цій статті ми говоритимемо про таке важливе математичне поняття, як складна функція, і вчитися знаходити похідну складної функції.
Перш ніж вчитися знаходити похідну складної функції, давайте розберемося з поняттям складної функції, що це таке "з чим її їдять" і "як правильно її готувати".
Розглянемо довільну функцію, наприклад, таку:
Зауважимо, що аргумент , що стоїть у правій і лівій частині рівняння функції - це те саме число, або вираз.
Замість змінної ми можемо поставити, наприклад, такий вираз: . І тоді ми отримаємо функцію
Назвемо вираз проміжним аргументом, а функцію – зовнішньою функцією. Не суворі математичні поняття, але допомагають усвідомити сенс поняття складної функції.
Суворе визначення поняття складної функції звучить так:
Нехай функція визначена на множині і - безліч значень цієї функції. Нехай, множина (або його підмножина) є областю визначення функції . Поставимо у відповідність кожному з число. Тим самим на множині буде задана функція. Її називають композицією функцій чи складною функцією.
У цьому вся визначенні, якщо користуватися нашою термінологією, - зовнішня функція, - проміжний аргумент.
Похідна складної функції знаходиться за таким правилом:
Щоб було зрозуміліше, я люблю записувати це правило у вигляді такої схеми:
У цьому виразі за допомогою позначено проміжну функцію.
Отже. Щоб знайти похідну складної функції, потрібно
1. Визначити, яка функція є зовнішньою та знайти по таблиці похідних відповідну похідну.
2. Визначити проміжний аргумент.
У цій процедурі найбільші складнощі викликають знаходження зовнішньої функції. Для цього використовується простий алгоритм:
а. Запишіть рівняння функції.
б. Уявіть, що вам потрібно визначити значення функції при якомусь значенні х. Для цього ви підставляєте це значення х у рівняння функції та робите арифметичні дії. Та дія, яку ви робите останнім і є зовнішня функція.
Наприклад, у функції
Остання дія - зведення у ступінь.
Знайдемо похідну цієї функції. Для цього запишемо проміжний аргумент
