≡×قائمة طعام

• بصلح
• بصلح
• تصميم داخلي
• حول كل شيء
• حول السباكة

المتباينات في المعامل تضبط الجانب الأيسر. حل المتباينات بالمقياس

رقم moduloيسمى هذا الرقم نفسه إذا كان غير سالب ، أو نفس الرقم مع الإشارة المعاكسة إذا كان سالبًا.

على سبيل المثال ، مقياس 6 هو 6 ، ومقياس -6 هو أيضًا 6.

بمعنى ، يُفهم معامل العدد على أنه قيمة مطلقة ، القيمة المطلقة لهذا الرقم دون مراعاة علامته.

يُشار إليه على النحو التالي: | 6 | ، | X|, |أ| إلخ.

(لمزيد من التفاصيل ، راجع قسم "وحدة الرقم").

معادلات مودولو.

مثال 1 . حل المعادلة|10 X - 5| = 15.

حل.

وفقًا للقاعدة ، تكافئ المعادلة الجمع بين معادلتين:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

نحن نقرر:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

إجابة: X 1 = 2, X 2 = -1.

مثال 2 . حل المعادلة|2 X + 1| = X + 2.

حل.

بما أن المقياس عدد غير سالب ، إذن X+ 2 0. وفقًا لذلك:

X ≥ -2.

نصنع معادلتين:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

نحن نقرر:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

كلا الرقمين أكبر من -2. إذن كلاهما جذور المعادلة.

إجابة: X 1 = -1, X 2 = 1.

مثال 3 . حل المعادلة

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

حل.

تكون المعادلة منطقية إذا لم يكن المقام كذلك صفر- يعني إذا X≠ 1. لنأخذ هذا الشرط بعين الاعتبار. إجراءنا الأول بسيط - نحن لا نتخلص من الكسر فحسب ، بل نحوله بطريقة تجعل الوحدة في أنقى صورها:

|X+ 3 | - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

الآن لدينا فقط المقدار الموجود أسفل المقياس في الجانب الأيسر من المعادلة. تفضل.
مقياس العدد هو رقم غير سالب - أي يجب أن يكون فوق الصفرأو يساوي الصفر. وفقًا لذلك ، نحل عدم المساواة:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

وبالتالي ، لدينا شرط ثانٍ: يجب أن يكون جذر المعادلة 3/4 على الأقل.

وفقًا للقاعدة ، نؤلف مجموعة من معادلتين ونحلهما:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

لقد تلقينا ردين. دعنا نتحقق مما إذا كانت هذه هي جذور المعادلة الأصلية.

كان لدينا شرطان: لا يمكن أن يكون جذر المعادلة مساويًا لـ 1 ، ويجب أن يكون 3/4 على الأقل. إنه X ≠ 1, X≥ 3/4. يتوافق كلا الشرطين مع إجابة واحدة فقط من الجوابين المتلقين - الرقم 2. ومن ثم فهو فقط جذر المعادلة الأصلية.

إجابة: X = 2.

المتباينات في المعامل.

مثال 1 . حل المتباينة| X - 3| < 4

حل.

تقول قاعدة الوحدة:

|أ| = أ، لو أ ≥ 0.

|أ| = -أ، لو أ < 0.

يمكن أن يحتوي المقياس على عدد غير سالب وعدد سالب. لذلك علينا النظر في كلتا الحالتين: X- 3 ≥ 0 و X - 3 < 0.

1) متى X- 3 ≥ 0 تظل المتباينة الأصلية كما هي ، فقط بدون علامة modulo:
X - 3 < 4.

2) متى X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

عند فتح الأقواس ، نحصل على:

-X + 3 < 4.

وهكذا ، من هذين الشرطين ، توصلنا إلى اتحاد نظامين من عدم المساواة:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

لنحلها:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

إذن ، في إجابتنا ، لدينا اتحاد مجموعتين:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

نحدد أصغر و أعظم قيمة. هذه هي -1 و 7. في نفس الوقت Xأكبر من -1 ولكن أقل من 7.
بجانب، X≥ 3. إذن ، حل المتباينة هو مجموعة الأعداد الكاملة من -1 إلى 7 ، باستثناء هذه الأعداد المتطرفة.

إجابة: -1 < X < 7.

أو: X ∈ (-1; 7).

الإضافات.

1) هناك طريقة أبسط وأقصر لحل المتباينة - بالرسم. للقيام بذلك ، ارسم محورًا أفقيًا (الشكل 1).

التعبير | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Xللإشارة 3 أقل من أربع وحدات. نحتفل بالرقم 3 على المحور ونعد 4 أقسام على يساره ويمينه. على اليسار نأتي إلى النقطة -1 ، على اليمين - للنقطة 7. وبالتالي ، فإن النقاط Xلقد رأيناها للتو دون حسابها.

علاوة على ذلك ، وفقًا لشرط عدم المساواة ، لم يتم تضمين -1 و 7 في مجموعة الحلول. وهكذا نحصل على الجواب:

1 < X < 7.

2) ولكن هناك حل آخر أبسط من الطريقة الرسومية. للقيام بذلك ، يجب تقديم عدم المساواة لدينا بالشكل التالي:

4 < X - 3 < 4.

بعد كل شيء ، هذه هي الطريقة وفقًا لقاعدة الوحدة. العدد غير السالب 4 والعدد السالب المماثل -4 هما حدود حل المتباينة.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

مثال 2 . حل المتباينة| X - 2| ≥ 5

حل.

هذا المثال يختلف بشكل كبير عن السابق. الطرف الأيسر أكبر من 5 أو يساوي 5. من وجهة نظر هندسية ، حل المتباينة هو جميع الأعداد التي تقع على مسافة 5 وحدات أو أكثر من النقطة 2 (الشكل 2). يوضح الرسم البياني أن هذه كلها أرقام أقل من أو تساوي -3 وأكبر من أو تساوي 7. لذا ، فقد تلقينا الإجابة بالفعل.

إجابة: -3 ≥ X ≥ 7.

على طول الطريق ، نحل نفس المتباينة بإعادة ترتيب المصطلح الحر إلى اليسار واليمين بإشارة معاكسة:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

الجواب هو نفسه: -3 ≥ X ≥ 7.

أو: X ∈ [-3; 7]

حل المثال.

مثال 3 . حل المتباينة 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

حل.

رقم Xيمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا. لذلك ، علينا أن نأخذ في الاعتبار جميع الظروف الثلاثة. كما تعلم ، يتم أخذها في الاعتبار في اثنين من عدم المساواة: X≥ 0 و X < 0. При X≥ 0 ، نحن ببساطة نعيد كتابة المتباينة الأصلية كما هي ، فقط بدون علامة modulo:

6 × 2 - X - 2 ≤ 0.

الآن بالنسبة للحالة الثانية: إذا X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

توسيع الأقواس:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

وهكذا حصلنا على نظامين من المعادلات:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

نحتاج إلى حل المتباينات في الأنظمة - ما يعني أننا بحاجة إلى إيجاد جذور معادلتين تربيعيتين. للقيام بذلك ، نساوي الطرفين الأيسر من المتباينات بالصفر.

لنبدأ بالأول:

6X 2 - X - 2 = 0.

كيف يتم حلها معادلة من الدرجة الثانية- انظر قسم "المعادلة الرباعية". سنقوم على الفور بتسمية الإجابة:

X 1 \ u003d -1/2 ، × 2 \ u003d 2/3.

من النظام الأول للمتباينات ، نجد أن حل المتباينة الأصلية هو مجموعة الأعداد الكاملة من -1/2 إلى 2/3. نكتب اتحاد الحلول ل X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

لنحل الآن المعادلة التربيعية الثانية:

6X 2 + X - 2 = 0.

جذورها:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

الخلاصة: متى X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

دعونا نجمع بين الإجابتين ونحصل على الإجابة النهائية: الحل هو مجموعة الأرقام الكاملة من -2/3 إلى 2/3 ، بما في ذلك هذه الأرقام المتطرفة.

إجابة: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

أو: X ∈ [-2/3; 2/3].

تتكون طرق (قواعد) الكشف عن عدم المساواة مع الوحدات في الكشف المتسلسل للوحدات ، مع استخدام فترات من الإشارات الثابتة لوظائف الوحدة الفرعية. في النسخة النهائية ، يتم الحصول على العديد من المتباينات التي يتم من خلالها العثور على فترات أو فترات تفي بشرط المشكلة.

دعنا ننتقل إلى حل الأمثلة الشائعة في الممارسة.

المتباينات الخطية مع الوحدات النمطية

نعني بالخطي المعادلات التي يدخل فيها المتغير المعادلة خطيًا.

مثال 1. أوجد حلاً لمتباينة

حل:
ويترتب على حالة المشكلة أن الوحدات النمطية تتحول إلى صفر عند x = -1 و x = -2. تقسم هذه النقاط المحور العددي إلى فترات

في كل من هذه الفترات ، نحل المتباينة المعطاة. للقيام بذلك ، أولاً وقبل كل شيء ، نرسم رسومات بيانية لمناطق العلامات الثابتة للوظائف الفرعية. يتم تصويرها كمناطق بها علامات لكل وظيفة.

أو فترات مع علامات جميع الوظائف.

في الفاصل الزمني الأول ، افتح الوحدات النمطية

نضرب كلا الجزأين في ناقص واحد ، بينما ستتغير علامة المتباينة إلى العكس. إذا كان من الصعب عليك التعود على هذه القاعدة ، فيمكنك حينئذٍ تحريك كل جزء خارج العلامة للتخلص من الطرح. في النهاية سوف تتلقى

سيكون تقاطع المجموعة x> -3 مع المنطقة التي تم فيها حل المعادلات هو الفاصل الزمني (-3 ؛ -2). بالنسبة لأولئك الذين يجدون أنه من الأسهل البحث عن حلول بيانياً ، يمكنك رسم تقاطع هذه المناطق

سيكون التقاطع العام بين المناطق هو الحل. مع تفاوت صارم ، لا يتم تضمين الحواف. إذا تم تحديد nonstrict عن طريق الاستبدال.

في الفترة الثانية نحصل عليها

سيكون المقطع الفاصل الزمني (-2 ؛ -5/3). بيانيا ، سيبدو الحل

في الفترة الثالثة نحصل عليها

هذا الشرط لا يعطي حلولاً للمنطقة المطلوبة.

نظرًا لأن الحلين وجدا (-3 ؛ -2) و (-2 ؛ -5 / 3) يحدان النقطة س = -2 ، فإننا نتحقق من ذلك أيضًا.

وبالتالي فإن النقطة x = -2 هي الحل. سيبدو الحل العام مع وضع هذا في الاعتبار مثل (-3 ؛ 5/3).

مثال 2. أوجد حلاً للمتباينة
| x-2 | - | x-3 |> = | x-4 |

حل:
ستكون أصفار وظائف الوحدة الفرعية هي النقاط x = 2 ، x = 3 ، x = 4. عندما تكون قيم الوسيطات أقل من هذه النقاط ، تكون وظائف الوحدة الفرعية سالبة ، وعندما تكون القيم كبيرة ، تكون موجبة.

تقسم النقاط المحور الحقيقي إلى أربع فترات. نفتح الوحدات وفقًا لفترات ثبات الإشارة ونحل المتباينات.

1) في الفترة الأولى ، تكون جميع الوظائف شبه المعيارية سالبة ، لذلك ، عند توسيع الوحدات ، نقوم بتغيير الإشارة إلى العكس.

سيكون تقاطع قيم x التي تم العثور عليها مع الفاصل الزمني المدروس هو مجموعة النقاط

2) في الفترة بين النقطتين x = 2 و x = 3 ، تكون دالة الوحدة الفرعية الأولى موجبة ، والثانية والثالثة سلبية. نحصل على توسيع الوحدات

متباينة ، بالتقاطع مع الفترة التي نحل فيها ، نحصل على حل واحد - x = 3.

3) في الفترة الفاصلة بين النقطتين x = 3 و x = 4 ، تكون وظيفتا الوحدة الفرعية الأولى والثانية موجبة ، والثالثة سلبية. بناءً على هذا ، نحصل عليه

يوضح هذا الشرط أن الفترة بأكملها ستحقق المتباينة بالوحدات النمطية.

4) بالنسبة للقيم x> 4 ، تكون جميع الوظائف موجبة الإشارة. عند توسيع الوحدات ، فإننا لا نغير علامتها.

تعطي الحالة التي تم العثور عليها عند التقاطع مع الفترة مجموعة الحلول التالية

بما أن المتراجحة تم حلها في كل المجالات ، يبقى إيجاد القيمة المشتركة لجميع قيم x الموجودة. الحل عبارة عن فترتين

تم حل هذا المثال.

مثال 3. أوجد حلاً للمتباينة
|| x-1 | -5 |> 3-2x

حل:
لدينا متباينة مع وحدة من وحدة. يتم الكشف عن مثل هذه التفاوتات عندما يتم تضمين الوحدات النمطية ، بدءًا من تلك التي يتم وضعها بشكل أعمق.

يتم تحويل دالة الوحدة الفرعية x-1 إلى صفر عند النقطة x = 1. للقيم الأصغر التي تتجاوز 1 تكون سالبة وموجبة لـ x> 1. بناءً على ذلك ، نفتح الوحدة الداخلية ونأخذ في الاعتبار المتباينة في كل فترة.

فكر أولاً في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى واحد

دالة الوحدة الفرعية هي صفر عند النقطة x = -4. للقيم الأصغر تكون موجبة ، والقيم الأكبر تكون سالبة. قم بتوسيع الوحدة النمطية لـ x<-4:

عند التقاطع مع المنطقة التي نعتبرها ، نحصل على مجموعة من الحلول

الخطوة التالية هي توسيع الوحدة على الفاصل الزمني (-4 ؛ 1)

مع الأخذ في الاعتبار مساحة التوسع للوحدة النمطية ، نحصل على الفاصل الزمني للحلول

تذكر: إذا حصلت على فترتين في مثل هذه المخالفات مع الوحدات ، المتاخمة لنقطة مشتركة ، إذن ، كقاعدة عامة ، هذا أيضًا حل.

للقيام بذلك ، ما عليك سوى التحقق.

في هذه القضيةنعوض بالنقطة x = -4.

إذن ، x = -4 هو الحل.
قم بتوسيع الوحدة الداخلية لـ x> 1

دالة الوحدة الفرعية سالبة لـ x<6.
توسيع الوحدة ، نحصل عليها

يعطي هذا الشرط في القسم الذي يحتوي على الفترة (1 ؛ 6) مجموعة فارغة من الحلول.

بالنسبة إلى x> 6 نحصل على المتباينة

حل أيضا حصلنا على مجموعة فارغة.
بالنظر إلى كل ما سبق ، الحل الوحيدستكون المتباينات مع الوحدات هي الفترة التالية.

المتباينات مع وحدات تحتوي على معادلات من الدرجة الثانية

مثال 4. أوجد حلاً للمتباينة
| x ^ 2 + 3x |> = 2-x ^ 2

حل:
تختفي وظيفة الوحدة الفرعية عند النقاط x = 0 ، x = -3. بالتعويض البسيط ناقص واحد

إثبات أنها أقل من الصفرفي الفترة (-3 ؛ 0) والإيجابية خارجها.
قم بتوسيع الوحدة النمطية في المناطق التي تكون فيها وظيفة الوحدة الفرعية موجبة

يبقى تحديد المناطق التي تكون فيها الدالة التربيعية موجبة. للقيام بذلك ، نحدد جذور المعادلة التربيعية

للراحة ، نستبدل النقطة x = 0 ، التي تنتمي إلى الفترة (-2 ؛ 1/2). الدالة سالبة في هذه الفترة ، لذا سيكون الحل هو المجموعات التالية x

هنا ، تشير الأقواس إلى حواف المناطق مع الحلول ؛ وقد تم ذلك بشكل متعمد ، مع مراعاة القاعدة التالية.

تذكر: إذا كانت المتباينة مع الوحدات النمطية ، أو المتباينة البسيطة صارمة ، فإن حواف المناطق التي تم العثور عليها ليست حلولا ، ولكن إذا لم تكن المتباينات صارمة () ، فإن الحواف هي حلول (يشار إليها بأقواس مربعة).

يستخدم العديد من المدرسين هذه القاعدة: إذا تم إعطاء متباينة صارمة ، وكتبت قوسًا مربعًا ([،]) في الحل أثناء العمليات الحسابية ، فسيعتبرون تلقائيًا هذه إجابة غير صحيحة. أيضًا ، عند الاختبار ، إذا تم تحديد متباينة غير صارمة مع الوحدات ، فمن بين الحلول ، ابحث عن المناطق ذات الأقواس المربعة.

في الفاصل الزمني (-3 ؛ 0) ، بتوسيع الوحدة ، نقوم بتغيير إشارة الوظيفة إلى العكس

مع الأخذ في الاعتبار نطاق الإفصاح عن عدم المساواة ، سيكون للحل الشكل

سويًا مع المنطقة السابقة ، سيعطي هذا فترتين نصفيتين

مثال 5. أوجد حلاً للمتباينة
9x ^ 2- | x-3 |> = 9x-2

حل:
تم إعطاء متباينة غير صارمة ، دالة الوحدة الفرعية لها تساوي صفرًا عند النقطة x = 3. في القيم الأصغر تكون سالبة ، وفي القيم الأكبر تكون موجبة. نقوم بتوسيع الوحدة النمطية في الفترة الزمنية x<3.

إيجاد مميز المعادلة

والجذور

بالتعويض عن نقطة الصفر ، نجد أنه في الفترة [-1/9 ؛ 1] الدالة التربيعية سالبة ، وبالتالي فإن الفترة هي حل. بعد ذلك ، افتح الوحدة النمطية لـ x> 3

الرياضيات هو رمز لحكمة العلم,

مثال على الدقة العلمية والبساطة,

معيار الكمال والجمال في العلم.

فيلسوف روسي ، الأستاذ أ.ف. فولوشينوف

عدم المساواة Modulo

إن أصعب المشكلات التي يجب حلها في الرياضيات المدرسية هي عدم المساواة, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة. لحل هذه التفاوتات بنجاح ، من الضروري معرفة خصائص الوحدة جيدًا ولديك المهارات اللازمة لاستخدامها.

المفاهيم والخصائص الأساسية

المعامل (القيمة المطلقة) للعدد الحقيقييعني ويتم تعريفه على النحو التالي:

تتضمن الخصائص البسيطة للوحدة العلاقات التالية:

و .

ملحوظة، أن آخر خاصيتين تحملان لأي درجة زوجية.

أيضا ، إذا ، أين ، ثم و

أكثر خصائص معقدةوحدة, والتي يمكن استخدامها بشكل فعال في حل المعادلات وعدم المساواة مع الوحدات, تمت صياغتها من خلال النظريات التالية:

نظرية 1.لأية وظائف تحليليةو عدم المساواة.

نظرية 2.المساواة يعادل عدم المساواة.

نظرية 3.المساواة يعادل عدم المساواة.

أكثر التفاوتات شيوعًا في الرياضيات المدرسية, تحتوي على متغيرات غير معروفة تحت علامة modulo, هي عدم المساواة في الشكلو أين بعض الثوابت الإيجابية.

نظرية 4.عدم المساواة يعادل عدم المساواة المزدوجة, وحل اللامساواةيقلل من حل مجموعة المتبايناتو .

هذه النظرية هي حالة خاصة للنظرية 6 و 7.

مزيد من عدم المساواة المعقدة, تحتوي على الوحدة النمطية هي عدم المساواة في النموذج، و .

يمكن صياغة طرق حل هذه التفاوتات باستخدام النظريات الثلاث التالية.

نظرية 5.عدم المساواة يعادل الجمع بين نظامين من عدم المساواة

و 1)

دليل.منذ ذلك الحين

هذا يدل على صحة (1).

نظرية 6.عدم المساواة يعادل نظام عدم المساواة

دليل.لأن ، ثم من عدم المساواةيتبع ذلك . في ظل هذا الشرط ، عدم المساواةوفي هذه الحالة يتبين أن النظام الثاني لعدم المساواة (1) غير متسق.

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية 7.عدم المساواة معادل لمزيج من متباينة واحدة ونظامين من عدم المساواة

و (3)

دليل.منذ ذلك الحين عدم المساواة دائما أعدم، لو .

يترك ، ثم عدم المساواةسيكون بمثابة عدم مساواة, الذي تتبع منه مجموعة المتراجحتينو .

لقد تم إثبات النظرية.

ضع في اعتبارك أمثلة نموذجية لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "عدم المساواة, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة.

حل المتباينات بالمقياس

معظم طريقة بسيطةالطريقة هي حل المتباينات باستخدام المقياس, على أساس توسيع الوحدة. هذه الطريقة عامة, ومع ذلك ، في الحالة العامة ، يمكن أن يؤدي تطبيقه إلى حسابات مرهقة للغاية. لذلك ، يجب أن يعرف الطلاب أيضًا طرقًا وتقنيات أخرى (أكثر كفاءة) لحل مثل هذه التفاوتات. بخاصة, بحاجة إلى المهارات لتطبيق النظريات, الواردة في هذه المقالة.

مثال 1حل المتباينة

. (4)

حل.سيتم حل اللامساواة (4) بالطريقة "الكلاسيكية" - طريقة التوسع المعياري. تحقيقا لهذه الغاية ، نقوم بكسر المحور العدديالنقاط و فترات والنظر في ثلاث حالات.

1. إذا ، وتأخذ اللامساواة (4) الشكلأو .

نظرًا لأن الحالة يتم النظر فيها هنا ، فهي حل لعدم المساواة (4).

2. إذا ، ثم من عدم المساواة (4) نحصل عليهاأو . منذ تقاطع الفتراتو فارغ, إذن لا توجد حلول للمتباينة (4) في الفترة المدروسة.

3. إذا ، ثم تأخذ المتباينة (4) الشكلأو . من الواضح أن هو أيضا حل لعدم المساواة (4).

إجابة: ، .

مثال 2حل المتباينة.

حل.لنفترض ذلك. لأن ، ثم تأخذ المتباينة المعطاة الشكلأو . لأنه عندها ومن ثم يتبعأو .

ومع ذلك ، لذلك أو.

مثال 3حل المتباينة

. (5)

حل.لأن ، ثم المتباينة (5) تعادل عدم المساواةأو . من هنا، وفقًا للنظرية 4, لدينا مجموعة من المتبايناتو .

إجابة: ، .

مثال 4حل المتباينة

. (6)

حل.دعنا نشير. ثم من المتباينة (6) نحصل على المتباينات ، أو.

من هنا، باستخدام طريقة الفاصل الزمني، نحن نحصل . لأن ، ثم هنا لدينا نظام من عدم المساواة

حل المتباينة الأولى في النظام (7) هو اتحاد فترتينو ، وحل المتباينة الثانية هو عدم المساواة المزدوجة. هذا يعني ، أن حل نظام المتباينات (7) هو اتحاد فترتينو .

إجابة: ،

مثال 5حل المتباينة

. (8)

حل. نقوم بتحويل عدم المساواة (8) على النحو التالي:

أو .

تطبيق طريقة الفاصل, نحصل على حل لعدم المساواة (8).

إجابة: .

ملحوظة. إذا وضعنا النظرية 5 وشرطناها ، فإننا نحصل عليها.

مثال 6حل المتباينة

. (9)

حل. من عدم المساواة (9) يتبعها. نقوم بتحويل عدم المساواة (9) على النحو التالي:

أو

منذ ذلك الحين أو.

إجابة: .

مثال 7حل المتباينة

. (10)

حل.منذ و ، ثم أو.

في هذا الإتصال وتأخذ اللامساواة (10) الشكل

أو

. (11)

ويترتب على هذا أن أو. منذ ذلك الحين ، فإن عدم المساواة (11) تعني أيضًا أو.

إجابة: .

ملحوظة. إذا طبقنا النظرية 1 على الجانب الأيسر من المتباينة (10)، ثم نحصل عليه . من هنا ومن عدم المساواة (10) يتبع ذلكأو ذاك أو. لأن ، ثم تأخذ المتباينة (10) الشكلأو .

المثال 8حل المتباينة

. (12)

حل.منذ ذلك الحين وعدم المساواة (12)أو . ومع ذلك ، لذلك أو. من هنا نحصل على أو.

إجابة: .

المثال 9حل المتباينة

. (13)

حل.وفقًا لنظرية 7 ، فإن حلول عدم المساواة (13) هي أو.

دعنا الآن. في هذه الحالة وتأخذ اللامساواة (13) الشكلأو .

إذا قمنا بدمج الفتراتو ، ثم نحصل على حل لعدم المساواة (13) من النموذج.

المثال 10حل المتباينة

. (14)

حل.دعونا نعيد كتابة المتباينة (14) في شكل مكافئ:. إذا طبقنا النظرية 1 على الطرف الأيسر من هذه المتباينة ، فسنحصل على المتباينة.

من هنا ومن النظرية 1 يتبع ذلك, أن اللامساواة (14) تتحقق لأي قيم.

الجواب: أي رقم.

المثال 11.حل المتباينة

. (15)

حل. تطبيق النظرية 1 على الجانب الأيسر من عدم المساواة (15)، نحن نحصل . من هنا ومن المتباينة (15) يتبع المعادلة, الذي يشبه.

وفقًا للنظرية 3، المعادلة يعادل عدم المساواة. من هنا وصلنا.

المثال 12.حل المتباينة

. (16)

حل. من عدم المساواة (16) ، وفقًا للنظرية 4 ، نحصل على نظام عدم المساواة

عند حل المتباينةنستخدم النظرية 6 ونحصل على نظام عدم المساواةمما يلي.

ضع في اعتبارك عدم المساواة. وفقًا لنظرية 7, نحصل على مجموعة من المتبايناتو . التباين السكاني الثاني ينطبق على أي شيء حقيقي.

لذلك ، حل المتباينة (16) هي.

المثال 13حل المتباينة

. (17)

حل.وفقًا للنظرية 1 ، يمكننا الكتابة

(18)

مع الأخذ في الاعتبار عدم المساواة (17) ، نستنتج أن كلا التفاوتات (18) تتحول إلى مساواة ، أي هناك نظام معادلات

بواسطة Theorem 3 هذا النظامالمعادلات تعادل نظام عدم المساواة

أو

المثال 14حل المتباينة

. (19)

حل.منذ ذلك الحين . دعونا نضرب كلا جزأي المتباينة (19) في التعبير ، والذي يأخذ فقط لأي قيم القيم الإيجابية. ثم نحصل على متباينة تعادل عدم المساواة (19) من الشكل

من هنا نصل أو من أين. منذ و ثم حلول عدم المساواة (19) هيو .

إجابة: ، .

للحصول على دراسة أعمق لطرق حل عدم المساواة باستخدام وحدة نمطية ، يُنصح بالرجوع إلى البرامج التعليمية, المدرجة في قائمة القراءات الموصى بها.

1. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: العالم والتعليم، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: طرق حل وإثبات عدم المساواة. - م: ليناند / URSS، 2018. - 264 ص.

3. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: طرق غير قياسيةحل المشاكل. - M: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 296 ص.

هل لديك اسئلة؟

للحصول على مساعدة مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

اليوم ، أيها الأصدقاء ، لن يكون هناك مخاط ومشاعر. بدلاً من ذلك ، سوف أرسلك إلى معركة مع أحد أقوى المعارضين في دورة الجبر للصفين الثامن والتاسع دون مزيد من الأسئلة.

نعم ، لقد فهمت كل شيء بشكل صحيح: نحن نتحدث عن عدم المساواة بمعامل. سننظر في أربع تقنيات أساسية ستتعلم من خلالها حل حوالي 90٪ من هذه المشكلات. ماذا عن الـ 10٪ الأخرى؟ حسنًا ، سنتحدث عنها في درس منفصل. :)

ومع ذلك ، قبل تحليل أي حيل هناك ، أود أن أذكر حقيقتين تحتاج إلى معرفتهما بالفعل. وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم مادة درس اليوم على الإطلاق.

ما تحتاج إلى معرفته بالفعل

كابتن إيفيدنس ، كما كان ، يلمح إلى أنه من أجل حل التفاوتات باستخدام المعامل ، عليك أن تعرف شيئين:

1. كيف يتم حل التفاوتات؟
2. ما هي الوحدة.

لنبدأ بالنقطة الثانية.

تعريف الوحدة

كل شيء بسيط هنا. هناك تعريفان: جبري ورسمي. لنبدأ بالجبر:

تعريف. الوحدة النمطية للرقم $ x $ هي إما الرقم نفسه ، إذا كان غير سالب ، أو الرقم المقابل له ، إذا كان الأصل $ x $ لا يزال سالبًا.

إنه مكتوب على هذا النحو:

\ [\ اليسار | x \ right | = \ left \ (\ start (align) & x، \ x \ ge 0، \\ & -x، \ x \ lt 0. \\\ end (align) \ right. \]

تتحدث لغة بسيطة، المعامل هو "رقم بدون سالب". وفي هذه الازدواجية (في مكان ما لا تحتاج إلى فعل أي شيء بالرقم الأصلي ، ولكن في مكان ما عليك إزالة بعض ناقص هناك) وتكمن كل الصعوبة التي يواجهها الطلاب المبتدئين.

هناك أيضا تعريف هندسي. من المفيد أيضًا معرفة ذلك ، لكننا سنشير إليه فقط في الحالات المعقدة وبعض الحالات الخاصة ، حيث يكون النهج الهندسي أكثر ملاءمة من الأسلوب الجبري (المفسد: ليس اليوم).

تعريف. دع النقطة $ a $ يتم تعليمها على السطر الحقيقي. ثم الوحدة $ \ left | x-a \ right | $ هي المسافة من النقطة $ x $ إلى النقطة $ a $ على هذا الخط.

إذا قمت برسم صورة ، فستحصل على شيء مثل هذا:

تعريف الرسموحدة

بطريقة أو بأخرى ، تتبع خاصيتها الرئيسية مباشرة من تعريف الوحدة: دائمًا ما يكون معامل العدد قيمة غير سالبة. ستكون هذه الحقيقة بمثابة خيط أحمر يمر عبر قصتنا بأكملها اليوم.

حل عدم المساواة. طريقة التباعد

الآن دعونا نتعامل مع المتباينات. يوجد عدد كبير منهم ، لكن مهمتنا الآن هي أن نكون قادرين على حل أبسطها على الأقل. أولئك الذين ينزلون إلى المتباينات الخطية، وكذلك طريقة الفترات.

لديّ برنامجان تعليميان كبيران حول هذا الموضوع (بالمناسبة ، مفيد جدًا جدًا - أوصي بالدراسة):

1. طريقة الفاصل الزمني لعدم المساواة (خاصة مشاهدة الفيديو) ؛
2. المتباينات الكسرية - العقلانية درس ضخم للغاية ، لكن بعده لن يتبقى لديك أي أسئلة على الإطلاق.

إذا كنت تعرف كل هذا ، إذا كانت عبارة "دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة" لا تجعلك ترغب بشكل غامض في قتل نفسك ضد الجدار ، فأنت جاهز: مرحبًا بك في الجحيم في الموضوع الرئيسي للدرس. :)

1 - عدم المساواة في شكل "وحدة أقل من وظيفة"

هذه واحدة من أكثر المهام التي تتم مواجهتها مع الوحدات النمطية. مطلوب لحل عدم المساواة من النموذج:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ ltg \]

يمكن لأي شيء أن يعمل كوظائف $ f $ و $ g $ ، لكن عادة ما تكون متعددة الحدود. أمثلة على هذه التفاوتات:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار | 2x + 3 \ يمين | \ ltx + 7 ؛ \\ & \ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ اليسار | ((x) ^ (2)) - 2 \ left | س \ حق | -3 \ حق | \ lt 2. \\\ end (محاذاة) \]

يتم حل كل منهم حرفيًا في سطر واحد وفقًا للمخطط:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g \ quad \ left (\ Rightarrow \ left \ (\ start (align) & f \ lt g، \\ & f \ gt -g \\\ end (محاذاة) \صحيح صحيح)\]

من السهل أن نرى أننا نتخلص من الوحدة النمطية ، لكن بدلاً من ذلك نحصل على متباينة مزدوجة (أو ، وهو نفس الشيء ، نظام من متباينتين). لكن هذا الانتقال يأخذ في الاعتبار كل شيء على الإطلاق المشاكل المحتملة: إذا كان الرقم تحت المعامل موجبًا ، فإن الطريقة تعمل ؛ إذا كانت سلبية ، فإنها لا تزال تعمل ؛ وحتى مع وجود أكثر وظيفة غير ملائمة بدلاً من $ f $ أو $ g $ ، فإن الطريقة ستظل تعمل.

بطبيعة الحال ، السؤال الذي يطرح نفسه: أليس هذا أسهل؟ لسوء الحظ ، لا يمكنك ذلك. هذا هو بيت القصيد من الوحدة.

لكن يكفي من التفلسف. لنحل مشكلتين:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | 2x + 3 \ صحيح | \ ltx + 7 \]

حل. لذلك ، لدينا متباينة كلاسيكية في شكل "الوحدة النمطية أقل من" - حتى أنه لا يوجد شيء يمكن تحويله. نعمل وفق الخوارزمية:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار | و \ الحق | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g ؛ \\ & \ اليسار | 2x + 3 \ يمين | \ lt x + 7 \ Rightarrow - \ left (x + 7 \ right) \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \\\ end (align) \]

لا تتسرع في فتح الأقواس التي يسبقها "ناقص": فمن المحتمل تمامًا أنك سترتكب خطأً عدوانيًا بسبب التسرع.

\ [- x-7 \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \]

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & -x-7 \ lt 2x + 3 \\ & 2x + 3 \ lt x + 7 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & -3x \ lt 10 \\ & x \ lt 4 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار \ (\ start (محاذاة) & x \ gt - \ frac (10) (3) \\ & x \ lt 4 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

تم تقليل المشكلة إلى اثنين من التفاوتات الأولية. نلاحظ حلولهم على خطوط حقيقية متوازية:

تقاطع كثير

سيكون تقاطع هذه المجموعات هو الجواب.

الإجابة: $ x \ in \ left (- \ frac (10) (3)؛ 4 \ right) $

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 \]

حل. هذه المهمة أصعب قليلاً. بادئ ذي بدء ، نقوم بعزل الوحدة عن طريق تحريك المصطلح الثاني إلى اليمين:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ lt -3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \]

من الواضح ، لدينا مرة أخرى عدم مساواة في الشكل "الوحدة النمطية أقل" ، لذلك نتخلص من الوحدة وفقًا للخوارزمية المعروفة بالفعل:

\ [- \ يسار (-3 \ يسار (س + 1 \ يمين) \ يمين) \ lt ((س) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \]

الانتباه الآن: سيقول شخص ما إنني منحرف قليلاً مع كل هذه الأقواس. لكن مرة أخرى أذكرك أن هدفنا الرئيسي هو حل المتباينة بشكل صحيح والحصول على الإجابة. في وقت لاحق ، عندما تتقن كل ما هو موصوف في هذا الدرس تمامًا ، يمكنك أن تفسد نفسك كما تريد: فتح الأقواس ، وإضافة السلبيات ، وما إلى ذلك.

بالنسبة للمبتدئين ، نتخلص فقط من علامة الطرح المزدوجة الموجودة على اليسار:

\ [- \ يسار (-3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \ يمين) = \ يسار (-1 \ يمين) \ cdot \ يسار (-3 \ يمين) \ cdot \ يسار (x + 1 \ يمين) = 3 \ يسار (س + 1 \ يمين) \]

لنفتح الآن جميع الأقواس في المتباينة المزدوجة:

دعنا ننتقل إلى مضاعفة عدم المساواة. هذه المرة ستكون الحسابات أكثر جدية:

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3x-3 \\ & 3x + 3 \ lt ((x) ^ (2)) + 2x -3 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 5x \ lt 0 \\ & ((x) ^ (2)) - x-6 \ gt 0 \\ \ end ( محاذاة اليمين.\]

كلا المتباينات مربعة ويتم حلها بطريقة الفاصل (لهذا السبب أقول: إذا كنت لا تعرف ما هي ، فمن الأفضل عدم استخدام الوحدات بعد). نمرر إلى المعادلة في المتباينة الأولى:

\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) + 5x = 0 ؛ \\ & x \ يسار (x + 5 \ يمين) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 0 ؛ ((x) _ (2)) = - 5. \\\ end (محاذاة) \]

كما ترى ، تبين أن الناتج كان معادلة تربيعية غير مكتملة ، والتي تم حلها بشكل أساسي. لنتعامل الآن مع المتباينة الثانية للنظام. هناك يجب عليك تطبيق نظرية فييتا:

\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) - x-6 = 0 ؛ \\ & \ يسار (x-3 \ يمين) \ يسار (x + 2 \ يمين) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 3 ؛ ((x) _ (2)) = - 2. \\\ end (محاذاة) \]

نحتفل بالأرقام التي تم الحصول عليها على خطين متوازيين (منفصلان عن المتباينة الأولى ومنفصلان عن الثاني):

مرة أخرى ، نظرًا لأننا نقوم بحل نظام من المتباينات ، فنحن مهتمون بتقاطع المجموعات المظللة: $ x \ in \ left (-5؛ -2 \ right) $. هذا هو الجواب.

الإجابة: $ x \ in \ left (-5؛ -2 \ right) $

أعتقد بعد هذه الأمثلة أن مخطط الحل واضح للغاية:

1. افصل الوحدة عن طريق تحريك كل الحدود الأخرى إلى الجانب الآخر من المتباينة. وهكذا نحصل على متباينة بالصيغة $ \ left | و \ الحق | \ ltg $.
2. قم بحل هذا التفاوت بالتخلص من الوحدة النمطية كما هو موضح أعلاه. في مرحلة ما ، سيكون من الضروري الانتقال من عدم المساواة المزدوجة إلى نظام من تعبيرين مستقلين ، يمكن حل كل منهما على حدة.
3. أخيرًا ، يبقى فقط عبور حلول هذين المقدارين المستقلين - وهذا كل شيء ، سنحصل على الإجابة النهائية.

توجد خوارزمية مماثلة لعدم المساواة النوع التاليعندما تكون الوحدة أكبر من الوظيفة. ومع ذلك ، هناك نوعان من "تحفظات" خطيرة. سنتحدث عن هذه "تحفظات" الآن.

2. عدم المساواة من نموذج "الوحدة أكبر من الوظيفة"

تبدو هكذا:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt g \]

على غرار السابق؟ يبدو. ومع ذلك ، يتم حل هذه المهام بطريقة مختلفة تمامًا. رسمياً ، المخطط على النحو التالي:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt g \ Rightarrow \ left [\ start (align) & f \ gt g، \\ & f \ lt -g \\\ end (align) \ right. \]

بمعنى آخر ، نعتبر حالتين:

1. أولاً ، نتجاهل الوحدة النمطية ببساطة - فنحن نحل عدم المساواة المعتادة ؛
2. بعد ذلك ، في الواقع ، نفتح الوحدة بعلامة الطرح ، ثم نضرب كلا جزئي المتباينة في 1 بإشارة.

تم دمج الخيارات قوس مربع، أي. لدينا مزيج من اثنين من المتطلبات.

انتبه مرة أخرى: أمامنا ليس نظامًا ، ولكنه إجمالي ، لذلك في الإجابة ، يتم الجمع بين المجموعات ، وليست متقاطعة. هذا اختلاف جوهري عن الفقرة السابقة!

بشكل عام ، كثير من الطلاب لديهم الكثير من الالتباس مع النقابات والتقاطعات ، لذلك دعونا ننظر في هذه المشكلة مرة واحدة وإلى الأبد:

• "∪" هي علامة تسلسل. في الواقع ، هذا هو الحرف "U" الذي جاء إلينا من باللغة الإنجليزيةوهو اختصار لكلمة "Union" ، أي "ذات الصلة".
• "∩" هي علامة التقاطع. لم تأت هذه الهراء من أي مكان ، لكنها ظهرت فقط كمعارضة لـ "∪".

لتسهيل التذكر ، ما عليك سوى إضافة أرجل إلى هذه العلامات لصنع النظارات (فقط لا تتهمني بالترويج لإدمان المخدرات وإدمان الكحول الآن: إذا كنت تدرس هذا الدرس بجدية ، فأنت بالفعل مدمن مخدرات):

الفرق بين التقاطع واتحاد المجموعات

ترجم إلى الروسية ، وهذا يعني ما يلي: الاتحاد (المجموعة) يشمل عناصر من كلتا المجموعتين ، وبالتالي ، ما لا يقل عن كل منهما ؛ لكن التقاطع (النظام) يشمل فقط تلك العناصر الموجودة في المجموعة الأولى والثانية. لذلك ، فإن تقاطع المجموعات لا يكون أبدًا أكبر من مجموعات المصدر.

لذلك أصبح الأمر أكثر وضوحا؟ هذا عظيم. دعنا ننتقل إلى الممارسة.

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | 3x + 1 \ يمين | \ gt 5-4x \]

حل. نحن نتصرف وفقًا للمخطط:

\ [\ اليسار | 3x + 1 \ يمين | \ gt 5-4x \ Rightarrow \ left [\ start (align) & 3x + 1 \ gt 5-4x \\ & 3x + 1 \ lt - \ left (5-4x \ right) \\\ end (align) \ يمين.\]

نحن نحل كل عدم مساواة سكانية:

\ [\ يسار [\ start (محاذاة) & 3x + 4x \ gt 5-1 \\ & 3x-4x \ lt -5-1 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار [\ start (محاذاة) & 7x \ gt 4 \\ & -x \ lt -6 \\ \ end (align) \ right. \]

\ [\ يسار [\ ابدأ (محاذاة) & x \ gt 4/7 \ \\ & x \ gt 6 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

نحتفل بكل مجموعة ناتجة على خط الأعداد ، ثم نجمعها:

اتحاد المجموعات

من الواضح أن الإجابة هي $ x \ in \ left (\ frac (4) (7)؛ + \ infty \ right) $

الإجابة: $ x \ in \ left (\ frac (4) (7)؛ + \ infty \ right) $

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gtx \]

حل. حسنًا؟ لا ، كل شيء متشابه. ننتقل من متباينة بمقياس إلى مجموعة من متراجعتين:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gt x \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x \\ & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x \\\ end (محاذاة) \ يمين. \]

نحل كل متباينة. لسوء الحظ ، لن تكون الجذور جيدة جدًا هناك:

\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x؛ \\ & ((x) ^ (2)) + x-3 \ gt 0 ؛ \\ & D = 1 + 12 = 13 ؛ \\ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\\ end (محاذاة) \]

في عدم المساواة الثانية ، هناك أيضًا القليل من اللعبة:

\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x؛ \\ & ((x) ^ (2)) + 3x-3 \ lt 0 ؛ \\ & D = 9 + 12 = 21 ؛ \\ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\\ end (محاذاة) \]

نحتاج الآن إلى تعليم هذه الأعداد على محورين - محور واحد لكل متباينة. ومع ذلك ، تحتاج إلى تحديد النقاط بالترتيب الصحيح: رقم أكثر، كلما زاد تحويل النقطة إلى اليمين.

وهنا ننتظر الإعداد. إذا كان كل شيء واضحًا بالأرقام $ \ frac (-3- \ sqrt (21)) (2) \ lt \ frac (-1- \ sqrt (13)) (2) $ (الشروط الموجودة في بسط الأول الكسر أقل من الحدود الموجودة في بسط الثاني ، لذا فإن المجموع أصغر أيضًا) ، بالأرقام $ \ frac (-3- \ sqrt (13)) (2) \ lt \ frac (-1+ \ sqrt (21)) (2) $ لن تكون هناك أيضًا صعوبة (رقم موجب من الواضح أنه أكثر سلبية) ، ولكن مع الزوجين الأخيرين ، كل شيء ليس بهذه البساطة. أيهما أكبر: $ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) $ أو $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) $؟ يعتمد ترتيب النقاط على خطوط الأرقام ، وفي الواقع ، الإجابة على إجابة هذا السؤال.

لذلك دعونا نقارن:

\ [\ start (matrix) \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ vee \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \\ -1+ \ sqrt (13) \ vee -3+ \ sqrt (21) \\ 2+ \ sqrt (13) \ vee \ sqrt (21) \\\ end (matrix) \]

لقد عزلنا الجذر ، وحصلنا على أعداد غير سالبة على طرفي المتباينة ، لذلك لدينا الحق في تربيع كلا الطرفين:

\ [\ start (matrix) ((\ left (2+ \ sqrt (13) \ right)) ^ (2)) \ vee ((\ left (\ sqrt (21) \ right)) ^ (2)) \ \ 4 + 4 \ الجذر التربيعي (13) +13 \ vee 21 \\ 4 \ sqrt (13) \ vee 3 \\\ end (matrix) \]

أعتقد أنه من غير المنطقي أن تكون $ 4 \ sqrt (13) \ gt 3 $ ، لذا $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ gt \ frac (-3+ \ sqrt (21)) ( 2) $ ، أخيرًا سيتم ترتيب النقاط على المحاور على النحو التالي:

حالة الجذور القبيحة

دعني أذكرك بأننا نحل مجموعة ، لذا فإن الإجابة ستكون الاتحاد ، وليس تقاطع المجموعات المظللة.

الإجابة: $ x \ in \ left (- \ infty؛ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \ right) \ bigcup \ left (\ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2 ) ؛ + \ infty \ right) $

كما ترون ، مخططنا يعمل بشكل رائع لكليهما مهام بسيطة، وللأشياء الجامدة جدًا. الشيء الوحيد " ضعف"في هذا النهج ، تحتاج إلى مقارنة الأرقام غير المنطقية بكفاءة (وصدقني: هذه ليست مجرد جذور). لكن سيتم تخصيص درس منفصل (وخطير للغاية) لأسئلة المقارنة. ونمضي قدما.

3. عدم المساواة مع "ذيول" غير سلبية

لذلك وصلنا إلى الأكثر إثارة للاهتمام. هذه هي عدم المساواة في الشكل:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt \ يسار | ز \ الحق | \]

بشكل عام ، الخوارزمية التي سنتحدث عنها الآن صحيحة فقط للوحدة. إنه يعمل في جميع حالات عدم المساواة حيث توجد تعبيرات غير سلبية مضمونة على اليسار واليمين:

ماذا تفعل بهذه المهام؟ تذكر فقط:

في عدم المساواة مع ذيول غير سالبة ، يمكن رفع كلا الطرفين إلى أي قوة طبيعية. لن تكون هناك قيود إضافية.

بادئ ذي بدء ، سنكون مهتمين بالتربيع - فهو يحرق الوحدات والجذور:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | f \ right | \ right)) ^ (2)) = ((f) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (\ sqrt (f) \ right)) ^ (2)) = f. \\\ end (محاذاة) \]

فقط لا تخلط بين هذا وبين أخذ جذر المربع:

\ [\ sqrt (((f) ^ (2))) = \ يسار | f \ الحق | \ ne f \]

ارتكبت أخطاء لا حصر لها عندما نسي الطالب تثبيت وحدة! لكن هذه قصة مختلفة تمامًا (مثل معادلات غير منطقية) ، لذلك لن ندخل في ذلك الآن. دعنا نحل مشكلتين بشكل أفضل:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | س + 2 \ يمين | \ جي \ يسار | 1-2x \ صحيح | \]

حل. نلاحظ على الفور شيئين:

1. هذه عدم مساواة غير صارمة. ستُثقب النقاط الموجودة على خط الأعداد.
2. من الواضح أن كلا جانبي عدم المساواة غير سالبين (هذه خاصية للوحدة: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

إذن ، يمكننا تربيع طرفي المتباينة للتخلص من المقياس وحل المسألة باستخدام طريقة الفترة المعتادة:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | x + 2 \ right | \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (\ left | 1-2x \ right | \ right) ) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)). \\\ end (محاذاة) \]

في الخطوة الأخيرة ، خدعت قليلاً: لقد غيرت تسلسل المصطلحات ، باستخدام التكافؤ في المقياس (في الواقع ، لقد ضربت التعبير $ 1-2x $ في 1).

\ [\ start (align) & ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ le 0 ؛ \\ & \ left (\ left (2x-1 \ right) - \ left (x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ left (2x-1 \ right) + \ left (x + 2 \ right) \ right) \ le 0؛ \\ & \ يسار (2x-1-x-2 \ right) \ cdot \ left (2x-1 + x + 2 \ right) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (x-3 \ يمين) \ cdot \ يسار (3x + 1 \ يمين) \ le 0. \\\ end (محاذاة) \]

نحل بطريقة الفاصل. دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة:

\ [\ start (align) & \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 3 ؛ ((x) _ (2)) = - \ frac (1) (3). \\\ end (محاذاة) \]

نحتفل بالجذور التي تم العثور عليها على خط الأعداد. مرة أخرى: كل النقاط مظللة لأن المتباينة الأصلية ليست صارمة!

التخلص من علامة الوحدة

دعني أذكرك بالعناد بشكل خاص: نحن نأخذ الإشارات من آخر متباينة ، والتي تمت كتابتها قبل الانتقال إلى المعادلة. ونرسم المساحات المطلوبة في نفس المتباينة. في حالتنا ، هذا هو $ \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) \ le 0 $.

حسنًا ، انتهى كل شيء الآن. تم حل المشكلة.

الإجابة: $ x \ in \ left [- \ frac (1) (3)؛ 3 \ right] $.

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ le \ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \]

حل. نحن نفعل كل شيء بنفس الطريقة. لن أعلق - فقط انظر إلى تسلسل الإجراءات.

دعونا نربيعها:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \ right)) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ يمين)) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ يمين)) ^ (2)) \ le 0 ؛ \\ & \ left (((x) ^ (2)) + x + 1 - ((x) ^ (2)) - 3x-4 \ right) \ times \\ & \ times \ left (((x) ^ (2)) + x + 1 + ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right) \ le 0 ؛ \\ & \ left (-2x-3 \ right) \ left (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) \ le 0. \\\ end (align) \]

طريقة التباعد:

\ [\ start (align) & \ left (-2x-3 \ right) \ left (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) = 0 \\ & -2x-3 = 0 \ السهم الأيمن س = -1.5 ؛ \\ & 2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 = 0 \ Rightarrow D = 16-40 \ lt 0 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

يوجد جذر واحد فقط على خط الأعداد:

الجواب هو نطاق كامل

الإجابة: $ x \ in \ left [-1.5؛ + \ infty \ right) $.

ملاحظة صغيرة حول المهمة الأخيرة. كما لاحظ أحد طلابي بدقة ، فإن كلا التعبيرين الفرعيين في عدم المساواة هذا إيجابيان بشكل واضح ، لذلك يمكن حذف علامة المعامل دون الإضرار بالصحة.

لكن هذا بالفعل مستوى مختلف تمامًا من التفكير ونهج مختلف - يمكن تسميته بطريقة مشروطة بطريقة العواقب. عنه - في درس منفصل. والآن دعنا ننتقل إلى الجزء الأخير من درس اليوم ونفكر في خوارزمية عالمية تعمل دائمًا. حتى عندما كانت جميع الأساليب السابقة عاجزة. :)

4. طريقة تعداد الخيارات

ماذا لو لم تنجح كل هذه الحيل؟ إذا لم تختزل عدم المساواة إلى ذيول غير سلبية ، إذا كان من المستحيل عزل الوحدة ، إذا كان هناك ألم - حزن - شوق؟

ثم تدخل "المدفعية الثقيلة" لجميع الرياضيات في المشهد - طريقة العد. فيما يتعلق بعدم المساواة في المقياس ، يبدو كالتالي:

1. اكتب جميع تعبيرات الوحدة الفرعية ومساواتها بالصفر ؛
2. حل المعادلات الناتجة وحدد الجذور الموجودة على خط رقم واحد ؛
3. سيتم تقسيم الخط المستقيم إلى عدة أقسام ، كل وحدة بها علامة ثابتة وبالتالي يتم توسيعها بشكل لا لبس فيه ؛
4. حل عدم المساواة في كل قسم (يمكنك النظر بشكل منفصل في الجذور الحدودية التي تم الحصول عليها في الفقرة 2 - من أجل الموثوقية). اجمع النتائج - ستكون هذه هي الإجابة. :)

حسنا كيف؟ ضعيف؟ بسهولة! فقط لفترة طويلة. دعونا نرى في الممارسة:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | س + 2 \ حق | \ lt \ اليسار | x-1 \ right | + x- \ frac (3) (2) \]

حل. هذا الهراء لا يتلخص في عدم المساواة مثل $ \ left | و \ الحق | \ lt g $، $ \ left | و \ الحق | \ gt g $ أو $ \ left | و \ الحق | \ lt \ اليسار | g \ right | $ ، فلنبدأ.

نكتب تعبيرات الوحدة الفرعية ، ونساويها بالصفر ونجد الجذور:

\ [\ start (align) & x + 2 = 0 \ Rightarrow x = -2 ؛ \\ & x-1 = 0 \ Rightarrow x = 1. \\\ end (محاذاة) \]

إجمالاً ، لدينا جذران يقسمان خط الأعداد إلى ثلاثة أقسام ، يتم الكشف بداخلهما عن كل وحدة بشكل فريد:

تقسيم خط الأعداد على أصفار الوظائف شبه المعيارية

دعونا ننظر في كل قسم على حدة.

1. دع $ x \ lt -2 $. ثم يكون كلا التعبيرين في الوحدة الفرعية سالبين ، ويتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\ [\ start (align) & - \ left (x + 2 \ right) \ lt - \ left (x-1 \ right) + x-1،5 \\ & -x-2 \ lt -x + 1 + x-1.5 \\ & x \ gt 1.5 \\\ end (محاذاة) \]

لدينا قيد بسيط إلى حد ما. دعنا نتقاطع مع الافتراض الأصلي بأن $ x \ lt -2 $:

\ [\ left \ (\ start (align) & x \ lt -2 \\ & x \ gt 1،5 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ varnothing \]

من الواضح أن المتغير $ x $ لا يمكن أن يكون أقل من 2 ولكن أكبر من 1.5 في نفس الوقت. لا توجد حلول في هذا المجال.

1.1 لنفكر بشكل منفصل في حالة الحدود: $ x = -2 $. دعنا فقط نعوض بهذا الرقم في المتباينة الأصلية ونفحص: هل هو صحيح؟

\ [\ start (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1،5 \ right |) _ (x = -2) ) \\ & 0 \ lt \ يسار | -3 \ حق | -2-1.5 ؛ \\ & 0 \ lt 3-3.5 ؛ \\ & 0 \ lt -0،5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

من الواضح أن سلسلة الحسابات أدت بنا إلى عدم المساواة الخاطئة. لذلك ، فإن المتباينة الأصلية خاطئة أيضًا ، ولا يتم تضمين $ x = -2 $ في الإجابة.

2. الآن دعنا $ -2 \ lt x \ lt 1 $. سيتم فتح الوحدة اليسرى بالفعل بعلامة "علامة الجمع" ، بينما تظل الوحدة اليمنى بعلامة "ناقص". لدينا:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 \ lt - \ left (x-1 \ right) + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt -x + 1 + x-1.5 \\ & x \ lt - 2.5 \\\ end (محاذاة) \]

مرة أخرى نتقاطع مع المطلب الأصلي:

\ [\ left \ (\ begin (align) & x \ lt -2،5 \\ & -2 \ lt x \ lt 1 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ varnothing \]

ومرة أخرى ، مجموعة الحلول الفارغة ، نظرًا لعدم وجود أرقام أصغر من 2.5 وأكبر من 2.

2.1. ومره اخرى حالة خاصة: x دولار = 1 دولار. نستبدل المتباينة الأصلية:

\ [\ start (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1،5 \ right |) _ (x = 1)) \\ & \ اليسار | 3 \ الحق | \ lt \ اليسار | 0 \ يمين | + 1-1.5 ؛ \\ & 3 \ lt -0.5 ؛ \\ & 3 \ lt -0،5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

على غرار "الحالة الخاصة" السابقة ، من الواضح أن الرقم $ x = 1 $ لم يتم تضمينه في الإجابة.

3. آخر قطعة من السطر: $ x \ gt 1 $. هنا يتم توسيع جميع الوحدات بعلامة الجمع:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x \ gt 4.5 \\ \ end (align) \ ]

ومرة أخرى نتقاطع مع المجموعة التي تم العثور عليها مع القيد الأصلي:

\ [\ left \ (\ start (align) & x \ gt 4،5 \\ & x \ gt 1 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ left (4،5؛ + \ infty \يمين)\]

أخيراً! لقد أوجدنا الفترة الزمنية التي ستكون الإجابة.

الإجابة: $ x \ in \ left (4،5؛ + \ infty \ right) $

أخيرًا ، ملاحظة واحدة قد تنقذك من الأخطاء الغبية عند حل المشكلات الحقيقية:

عادةً ما تكون حلول المتباينات ذات الوحدات النمطية عبارة عن مجموعات متصلة على خط الأعداد - فواصل زمنية ومقاطع. النقاط المعزولة أكثر ندرة. ونادرًا ما يحدث أن تتطابق حدود الحل (نهاية المقطع) مع حدود النطاق قيد الدراسة.

لذلك ، إذا لم يتم تضمين الحدود (تلك "الحالات الخاصة") في الإجابة ، فمن شبه المؤكد أنه لن يتم تضمين المناطق الموجودة على اليسار واليمين من هذه الحدود في الإجابة أيضًا. والعكس صحيح: دخلت الحدود ردا ، مما يعني أن بعض المناطق المحيطة بها ستكون أيضا ردود.

ضع ذلك في الاعتبار عند التحقق من الحلول الخاصة بك.