≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Преобразувайте алгебрични изрази онлайн. Публикации с етикет „опростяване на алгебричен израз“

Всеки език може да изрази една и съща информация с различни думии революции. Математическият език не е изключение. Но един и същи израз може да бъде еквивалентно написан по различни начини. И в някои ситуации един от записите е по-прост. Ще говорим за опростяване на изрази в този урок.

Хората общуват на различни езици. За нас важно сравнение е двойката „руски език - математически език“. Една и съща информация може да се предава на различни езици. Но, освен това, той може да се произнася по различни начини на един език.

Например: „Петя е приятел с Вася“, „Вася е приятел с Петя“, „Петя и Вася са приятели“. Казано различно, но същото. От всяка от тези фрази бихме разбрали за какво говорим.

Нека да разгледаме тази фраза: „Момчето Петя и момчето Вася са приятели.“ Разбираме какво имаме предвид ние говорим за. Въпреки това не харесваме звука на тази фраза. Не можем ли да го опростим, да кажем същото, но по-просто? „Момче и момче“ - можете да кажете веднъж: „Момчетата Петя и Вася са приятели.“

„Момчета“... От имената им не става ли ясно, че не са момичета? Премахваме „момчетата“: „Петя и Вася са приятели“. И думата „приятели“ може да бъде заменена с „приятели“: „Петя и Вася са приятели“. В резултат на това първата, дълга, грозна фраза беше заменена с еквивалентно твърдение, което е по-лесно за казване и по-лесно за разбиране. Опростихме тази фраза. Да се ​​опрости означава да се каже по-просто, но без да се губи или изкривява смисълът.

На математически език се случва приблизително същото. Едно и също нещо може да се каже, да се напише различно. Какво означава да се опрости израз? Това означава, че за оригиналния израз има много еквивалентни изрази, тоест такива, които означават едно и също нещо. И от цялото това многообразие трябва да изберем най-простото според нас или най-подходящото за по-нататъшните ни цели.

Например, разгледайте числовия израз. Това ще бъде еквивалентно на.

Също така ще бъде еквивалентно на първите две: .

Оказва се, че сме опростили нашите изрази и сме намерили най-краткия еквивалентен израз.

За числови изрази винаги трябва да направите всичко и да получите еквивалентния израз като едно число.

Нека да разгледаме пример за буквален израз . Очевидно ще е по-просто.

При опростяване на буквални изрази е необходимо да се извършат всички възможни действия.

Винаги ли е необходимо да се опростява израз? Не, понякога ще ни е по-удобно да имаме еквивалентен, но по-дълъг запис.

Пример: трябва да извадите число от число.

Възможно е да се изчисли, но ако първото число беше представено чрез еквивалентната си нотация: , тогава изчисленията биха били мигновени: .

Тоест, опростен израз не винаги е полезен за нас за по-нататъшни изчисления.

Въпреки това много често се сблъскваме със задача, която просто звучи като „опростете израза“.

Опростете израза: .

Решение

1) Изпълнете действията в първата и втората скоби: .

2) Да изчислим продуктите: .

Очевидно последният израз има по-проста форма от първоначалния. Ние го опростихме.

За да се опрости изразът, той трябва да бъде заменен с еквивалент (равен).

За да определите еквивалентния израз, трябва:

1) извършете всички възможни действия,

2) използвайте свойствата на събиране, изваждане, умножение и деление, за да опростите изчисленията.

Свойства на събиране и изваждане:

1. Комутативно свойство на събирането: пренареждането на членовете не променя сумата.

2. Комбинативно свойство на събирането: за да добавите трето число към сумата от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото число към първото число.

3. Свойството за изваждане на сбор от число: за да извадите сбор от число, можете да извадите всеки член поотделно.

Свойства на умножението и делението

1. Комутативно свойство на умножението: пренареждането на множителите не променя произведението.

2. Комбинативно свойство: за да умножите число по произведението на две числа, можете първо да го умножите по първия фактор и след това да умножите получения продукт по втория фактор.

3. Разпределително свойство на умножението: за да умножите число по сума, трябва да го умножите по всеки член поотделно.

Нека да видим как всъщност правим умствени изчисления.

Изчисли:

Решение

1) Нека си представим как

2) Нека си представим първия множител като сбор от битови членове и извършим умножението:

3) можете да си представите как и да извършите умножение:

4) Заменете първия фактор с еквивалентна сума:

Законът за разпределение може да се използва и в обратна страна: .

Следвай тези стъпки:

1) 2)

Решение

1) За удобство можете да използвате закона за разпределение, само че го използвайте в обратната посока - извадете общия множител извън скобите.

2) Нека извадим общия множител извън скобите

Необходимо е да закупите линолеум за кухнята и коридора. Кухня - , коридор - . Има три вида линолеуми: за, и рубли за. Колко ще струва всеки? три видалинолеум? (Фиг. 1)

Ориз. 1. Илюстрация към постановката на проблема

Решение

Метод 1. Можете отделно да разберете колко пари ще отнеме, за да закупите линолеум за кухнята, след което да го поставите в коридора и да добавите получените продукти.

Опростяването на алгебрични изрази е един от ключови точкиизучаване на алгебра и изключително полезно умение за всички математици. Опростяването ви позволява да намалите сложен или дълъг израз до прост израз, с който се работи лесно. Основните умения за опростяване са добри дори за тези, които не са ентусиазирани от математиката. Като наблюдаваме няколко прости правила, можете да опростите много от най-често срещаните типове алгебрични изрази без никакви специални математически познания.

стъпки

Важни дефиниции

1. Подобни членове.Това са членове с променлива от същия ред, членове с еднакви променливи или свободни членове (членове, които не съдържат променлива). С други думи, подобни термини включват една и съща променлива в същата степен, включват няколко от същите променливи или изобщо не включват променлива. Редът на термините в израза няма значение.

   • Например, 3x 2 и 4x 2 са подобни термини, защото съдържат променлива от втори ред (на втора степен) "x". Въпреки това x и x2 не са сходни термини, тъй като съдържат променливата „x“ от различен ред (първи и втори). По същия начин -3yx и 5xz не са подобни термини, защото съдържат различни променливи.

2. Факторизация.Това е намиране на числа, чийто продукт води до оригиналното число. Всяко оригинално число може да има няколко фактора. Например, числото 12 може да се разложи на следните множители: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, така че можем да кажем, че числата 1, 2, 3, 4, 6 и 12 са фактори на число 12. Факторите са същите като факторите , тоест числата, на които е разделено оригиналното число.

   • Например, ако искате да разложите числото 20, напишете го така: 4×5.
   • Имайте предвид, че при факторизиране променливата се взема предвид. Например 20x = 4 (5x).
   • Простите числа не могат да се разлагат на множители, защото се делят само на себе си и на 1.

3. Запомнете и следвайте реда на операциите, за да избегнете грешки.

   • Скоби
   • Степен
   • Умножение
   • дивизия
   • Допълнение
   • Изваждане

   Привличане на подобни членове

   1. Запишете израза.Прости алгебрични изрази (тези, които не съдържат дроби, корени и т.н.) могат да бъдат решени (опростени) само с няколко стъпки.

      • Например, опростете израза 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Дефинирайте подобни термини (термини с променлива от същия ред, термини със същите променливи или свободни термини).

      • Намерете подобни термини в този израз. Членовете 2x и 4x съдържат променлива от същия ред (първа). Освен това 1 и -3 са свободни членове (не съдържат променлива). Така в този израз условията 2x и 4xса подобни, а членовете 1 и -3също са подобни.

   3. Дайте подобни членове.Това означава да ги добавите или извадите и да опростите израза.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Препишете израза, като вземете предвид дадените членове.Ще получите прост израз с по-малко термини. Новият израз е равен на оригиналния.

      • В нашия пример: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, тоест оригиналният израз е опростен и по-лесен за работа.

   5. Следвайте реда на операциите, когато довеждате подобни членове.В нашия пример беше лесно да се предоставят подобни условия. Въпреки това, в случай на сложни изрази, в които термините са затворени в скоби и присъстват дроби и корени, не е толкова лесно да се приведат такива термини. В тези случаи следвайте реда на операциите.

      • Например, разгледайте израза 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Тук би било грешка веднага да дефинираме 3x и 2x като подобни термини и да ги представим, защото е необходимо първо да отворим скобите. Затова извършете операциите според техния ред.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Сега, когато изразът съдържа само операции събиране и изваждане, можете да въведете подобни термини.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Изваждане на множителя извън скоби

   1. Намерете най-големия общ делител (НОД) на всички коефициенти на израза. GCD е най-голямото число, на който се делят всички коефициенти на израза.

      • Например, разгледайте уравнението 9x 2 + 27x - 3. В този случай GCD = 3, тъй като всеки коефициент на този израз се дели на 3.

   2. Разделете всеки член на израза на gcd.Получените членове ще съдържат по-малки коефициенти, отколкото в оригиналния израз.

      • В нашия пример разделете всеки член в израза на 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Резултатът беше израз 3x 2 + 9x - 1. Не е равно на оригиналния израз.

   3. Запишете оригиналния израз като равно на произведениетоНОД на получения израз.Тоест, затворете получения израз в скоби и извадете gcd от скобите.

      • В нашия пример: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Опростяване на дробни изрази чрез поставяне на фактора извън скоби.Защо просто да поставите множителя извън скоби, както беше направено по-рано? След това да се научим да опростяваме сложни изрази, като дробни изрази. В този случай поставянето на фактора извън скоби може да помогне да се отървете от дробта (от знаменателя).

      • Например, помислете дробен израз(9x 2 + 27x - 3)/3. Използвайте разлагане, за да опростите този израз.
        • Поставете коефициента 3 извън скобите (както направихте по-рано): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Забележете, че сега има 3 както в числителя, така и в знаменателя. Това може да бъде намалено, за да се получи изразът: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Тъй като всяка дроб, която има числото 1 в знаменателя, е просто равна на числителя, оригиналният израз на дробта се опростява до: 3x 2 + 9x - 1.

   Допълнителни методи за опростяване

4. Нека да разгледаме прост пример: √(90). Числото 90 може да се разложи на следните множители: 9 и 10 и да се извлече от 9 Корен квадратен(3) и извадете 3 изпод корена.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Опростяване на изрази със степени.Някои изрази съдържат операции на умножение или деление на членове със степени. В случай на умножение на членове с една и съща основа, техните мощности се добавят; в случай на деление на членове с една и съща основа, техните степени се изваждат.

   • Например, разгледайте израза 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). При умножение съберете степените, а при деление ги извадете.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Следва обяснение на правилата за умножение и деление на членове със степени.
     • Умножаването на членове със степени е еквивалентно на умножаване на членове по самите тях. Например, тъй като x 3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, тогава x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x 8.
     • По същия начин разделянето на термини със степени е еквивалентно на разделянето на термини сами по себе си. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Тъй като подобни членове, намиращи се както в числителя, така и в знаменателя, могат да бъдат намалени, произведението от две „x“ или x 2 остава в числителя.

• Винаги помнете за знаците (плюс или минус), предхождащи термините на израза, тъй като много хора срещат трудности при избора на правилния знак.
• Потърсете помощ, ако е необходимо!
• Опростяването на алгебрични изрази не е лесно, но след като хванете цаката, това е умение, което можете да използвате до края на живота си.

Изрази, преобразуване на изрази

Степенен израз (изрази със степен) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за преобразуване на изрази със степени. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се извършват с изрази от всякакъв вид, включително изрази за мощност, като отваряне на скоби и въвеждане на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и показателя, използване на свойствата на степените и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват изразите на властта?

Терминът „степенни изрази“ практически не се появява в училищните учебници по математика, но се появява доста често в колекции от задачи, особено в тези, предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит, например. След анализ на задачите, в които е необходимо да се извършват каквито и да било действия със степенни изрази, става ясно, че степенните изрази се разбират като изрази, съдържащи мощности в своите записи. Следователно можете да приемете следното определение за себе си:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи степени.

Да дадем примери за степенни изрази. Нещо повече, ние ще ги представим според това как става развитието на възгледите от степен с естествен показател към степен с реален показател.

Както е известно, първо се запознаваме със степента на число с естествен показател, като на този етап първите най-прости степенни изрази от вида 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 се появяват −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изучава степента на число с цяло число, което води до появата на степенни изрази с цели отрицателни степени, като следното: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

В гимназията се връщат към степени. Там се въвежда степента рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и така нататък. Накрая се разглеждат степени с ирационални показатели и изрази, които ги съдържат: , .

Въпросът не се ограничава до изброените степенни изрази: по-нататък променливата прониква в експонента и например възникват следните изрази: 2 x 2 +1 или . И след като се запознаем с , започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2·lgx −5·x lgx.

И така, ние се справихме с въпроса какво представляват изразите на мощност. След това ще се научим да ги трансформираме.

Основни видове преобразувания на степенни изрази

Със степенни изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност на изрази. Например, можете да отворите скоби, да замените числови изрази с техните стойности, да добавите подобни термини и т.н. Естествено, в този случай е необходимо да се спазва приетата процедура за извършване на действия. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на степенния израз 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на изпълнение на действията първо изпълнете действията в скоби. Там, първо, заместваме степента 4 2 с нейната стойност 16 (ако е необходимо, вижте), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В получения израз заместваме степента 2 3 с нейната стойност 8, след което изчисляваме произведението 8·4=32. Това е желаната стойност.

Така, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Отговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Опростете изрази със степени 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни членове 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 и можем да ги представим: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със степени като произведение.

Решение.

Можете да се справите със задачата, като представите числото 9 като степен на 3 2 и след това използвате формулата за съкратено умножение - разлика на квадратите:

Отговор:

Съществуват и редица идентични трансформации, присъщи специално на изразите на мощност. Ще ги анализираме допълнително.

Работа с основа и експонента

Има степени, чиято основа и/или експонента не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Когато работите с такива изрази, можете да замените както израза в основата на степента, така и израза в експонентата с идентично равен израз в ODZ на неговите променливи. С други думи, според известните ни правила, можем отделно да трансформираме основата на степента и отделно експонентата. Ясно е, че в резултат на тази трансформация ще се получи израз, който е идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации ни позволяват да опростим изрази със способности или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например в израза на степен, споменат по-горе (2+0,3 7) 5−3,7, можете да извършвате операции с числата в основата и степента, което ще ви позволи да преминете към степен 4,1 1,3. И след отваряне на скобите и привеждане на подобни членове към основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) получаваме степенен израз повече прост тип a 2·(x+1) .

Използване на свойства на степен

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s са верни следните свойства на степените:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Имайте предвид, че за естествени, цели и положителни показатели ограниченията за числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествените числа m и n равенството a m ·a n =a m+n е вярно не само за положително a, но и за отрицателно a, и за a=0.

В училище основният фокус при трансформирането на изразите на силата е върху способността за избор подходящ имоти го прилагайте правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което позволява свойствата на степените да се използват без ограничения. Същото важи и за преобразуването на изрази, съдържащи променливи в основите на степените - обхватът на допустимите стойности на променливите обикновено е такъв, че базите върху него приемат само положителни стойности, което ви позволява свободно да използвате свойствата на степените. Като цяло трябва постоянно да се питате дали е възможно да в такъв случайприлагайте всяко свойство на степени, тъй като неточното използване на свойства може да доведе до стесняване на образователната стойност и други проблеми. Тези точки са обсъдени подробно и с примери в статията трансформация на изрази, използващи свойства на степени. Тук ще се ограничим до разглеждането на няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a.

Решение.

Първо, трансформираме втория множител (a 2) −3, използвайки свойството за повишаване на степен на степен: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналният израз на степента ще приеме формата a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа, която имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Свойствата на степените при преобразуване на степенни изрази се използват както отляво надясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на степенния израз.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r, приложено отдясно наляво, ни позволява да преминем от оригиналния израз към продукт на формата и по-нататък. И когато се умножават степени с еднакви основи, показателите се събират: .

Беше възможно да се трансформира оригиналният израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

При даден степенен израз a 1,5 −a 0,5 −6, въведете нова променлива t=a 0,5.

Решение.

Степента a 1,5 може да бъде представена като 0,5 3 и след това, въз основа на свойството на степента към степен (a r) s =a r s, приложено отдясно наляво, да го трансформира във формата (a 0,5) 3. По този начин, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да въведем нова променлива t=a 0,5, получаваме t 3 −t−6.

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите на степен могат да съдържат или представляват дроби със степени. Всяка от основните трансформации на дроби, които са присъщи на всякакъв вид дроби, е напълно приложима за такива дроби. Тоест дроби, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, намалени до нов знаменател, да се работи отделно с техния числител и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате тези думи, помислете за решения на няколко примера.

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Този израз на мощност е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме получения израз, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И нека също да променим знака на знаменателя, като поставим минус пред дробта: .

Отговор:

.

Намаляването на дроби, съдържащи степени, до нов знаменател се извършва по същия начин като редукция до нов знаменател рационални дроби. В този случай се намира и допълнителен множител и числителят и знаменателят на дробта се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на VA. За да предотвратите това да се случи, е необходимо допълнителният коефициент да не отива на нула за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Намалете дробите до нов знаменател: а) до знаменател а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да разберете кой допълнителен множител помага за постигане на желания резултат. Това е множител на 0,3, тъй като a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Обърнете внимание, че в диапазона от допустими стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), силата на a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на даден част от този допълнителен фактор:

б) Ако погледнете по-отблизо знаменателя, ще откриете това

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубове и , т.е. И това е новият знаменател, до който трябва да намалим първоначалната дроб.

Ето как открихме допълнителен фактор. В обхвата на допустимите стойности на променливите x и y изразът не изчезва, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията по него:

Отговор:

а) , б) .

Също така няма нищо ново в намаляването на дроби, съдържащи степени: числителят и знаменателят са представени като редица множители и същите множители на числителя и знаменателя са намалени.

Пример.

Намалете дроба: а) , б) .

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Също така очевидно е възможно да се извърши редукция с x 0,5 +1 и с . Ето какво имаме:

б) В този случай еднаквите множители в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, ще трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Преобразуването на дроби в нов знаменател и намаляването на дроби се използват главно за извършване на неща с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се събират (изваждат), но знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите. Делението с дроб е умножение с обратното му.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, изваждаме дробите в скобите. За да направим това, ги привеждаме към общ знаменател, който е , след което изваждаме числителите:

Сега умножаваме дробите:

Очевидно е възможно да се намали със степен x 1/2, след което имаме .

Можете също така да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

Очевидно тази дроб може да бъде намалена с (x 2,7 +1) 2, това дава дробта . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със правомощията на X. За да направим това, трансформираме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да се възползваме от свойството на деление на степени с еднакви бази: . И в края на процеса преминаваме от последния продукт към фракцията.

Отговор:

.

И нека добавим също, че е възможно и в много случаи желателно да се прехвърлят множители с отрицателни показатели от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя, като се промени знакът на степента. Такива трансформации често опростяват по-нататъшни действия. Например, степенен израз може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, заедно със степени присъстват и корени с дробни показатели. За да преобразувате такъв израз в правилния тип, в повечето случаи е достатъчно да отидете само до корени или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с правомощия, те обикновено преминават от корени към правомощия. Въпреки това е препоръчително да извършите такъв преход, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да се позовавате на модула или да разделяте ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в статията преход от корени към степени и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен с ирационален показател, което ни позволява да говорим за степен с произволен реален показател.На този етап училището започва да проучване експоненциална функция , което е аналитично дадено чрез степен, чиято основа е число, а показателят е променлива. Така се сблъскваме със степенни изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в степента - изрази с променливи, и естествено възниква необходимостта от извършване на трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изрази от посочения тип обикновено трябва да се извърши при решаването експоненциални уравненияИ експоненциални неравенстваи тези преобразувания са доста прости. В преобладаващата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени в по-голямата си част към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, степените, в експонентите на които е сумата от определена променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с продукти. Това се отнася за първия и последния член на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това двете страни на равенството се разделят на израза 7 2 x, който на ODZ на променливата x за оригиналното уравнение приема само положителни стойности (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този тип, ние не сме говорим за това сега, така че се фокусирайте върху последващите трансформации на изрази със степени):

Сега можем да съкратим дроби със степен, което дава .

И накрая, съотношението на степените с еднакви показатели се заменя със степени на отношенията, което води до уравнението , което е еквивалентно . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която намалява решението до оригинала експоненциално уравнениеза решаване на квадратно уравнение

И. В. Бойков, Л. Д. РомановаСборник от задачи за подготовка за единния държавен изпит. Част 1. Пенза 2003 г.

Раздел 5 ИЗРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ

В този раздел ще научите:

ü o изрази и техните опростявания;

ü какви са свойствата на равенствата;

ü как се решават уравнения въз основа на свойствата на равенствата;

ü какви видове задачи се решават с уравнения; какво представляват перпендикулярните линии и как се изграждат;

ü какви прави се наричат ​​успоредни и как се построяват;

ü какво е координатна равнина?

ü как се определят координатите на точка в равнина;

ü какво е графика на връзката между величините и как се построява;

ü как да приложат на практика изучения материал

§ 30. ИЗРАЗИ И ТЯХНОТО ОПРОСТЯВАНЕ

Вече знаете какво представляват буквените изрази и знаете как да ги опростите, като използвате законите за събиране и умножение. Например, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . В получения израз числото -8 се нарича коефициент на израза.

Дали израза CD коефициент? Така. То е равно на 1, защото cd - 1 ∙ cd .

Спомнете си, че преобразуването на израз със скоби в израз без скоби се нарича разширяване на скоби. Например: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Обратното действие в този пример е да извадите общия множител извън скобите.

Термини, съдържащи еднакви буквени фактори, се наричат ​​подобни термини. Като извадим общия множител извън скоби, се повдигат подобни термини:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Правила за отваряне на скоби

1. Ако пред скобите има знак “+”, то при отваряне на скобите знаците на термините в скобите се запазват;

2. Ако пред скобите има знак „-“, тогава при отваряне на скобите знаците на термините в скобите се променят на противоположни.

Задача 1. Опростете израза:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Решения. 1. Преди скобите има знак „+“, така че при отваряне на скобите знаците на всички термини се запазват:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Преди скобите има знак „-“, така че при отваряне на скобите: знаците на всички термини са обърнати:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

За да отворите скобите, използвайте разпределителното свойство на умножението: a( b + c ) = ab + ак. Ако a > 0, тогава знаците на членовете b и с не се променят. Ако< 0, то знаки слагаемых b и се промени на обратното.

Задача 2. Опростете израза:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5x) + 12.

Решения. 1. Факторът 2 пред скобите е положителен, следователно, когато отваряме скобите, запазваме знаците на всички членове: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Факторът -5 пред скобите е отрицателен, така че когато отваряме скобите, променяме знаците на всички членове на противоположни:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Открийте повече

1. Думата „сума“ идва от латинскисума , което означава „общо“, „обща сума“.

2. Думата “плюс” идва от латинскиплюс което означава "повече", а думата "минус" е от латинскиминус Какво означава "по-малко"? Знаците “+” и “-” се използват за обозначаване на операциите събиране и изваждане. Тези знаци са въведени от чешкия учен Й. Видман през 1489 г. в книгата „Бърза и приятна сметка за всички търговци“(фиг. 138).

Ориз. 138

ЗАПОМНЕТЕ ВАЖНОТО

1. Какви термини се наричат ​​подобни? Как се конструират такива термини?

2. Как се отварят скоби, предхождани от знак „+“?

3. Как се отварят скоби, предшествани от знак „-“?

4. Как се отварят скоби, предхождани от положителен фактор?

5. Как се отварят скоби, предшествани от отрицателен фактор?

1374". Назовете коефициента на израза:

1) 12 а; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Назовете членовете, които се различават само по коефициент:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4) 5x + 4y-x + y.

Как се наричат ​​тези термини?

1376". Има ли подобни термини в израза:

1)11а+10а; 3) 6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Необходимо ли е да се променят знаците на термините в скоби, отваряйки скобите в израза:

1)4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Опростете израза и подчертайте коефициента:

1379°. Опростете израза и подчертайте коефициента:

1380°. Комбинирайте подобни термини:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Комбинирайте подобни термини:

1) 6а - 5а + 8а -7а; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Извадете общия множител извън скобите:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Извадете общия множител извън скобите:

1) 6а-12 б; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Отворете скобите и комбинирайте подобни термини;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Отворете скобите и комбинирайте подобни термини:

1) 10а + (4 - 4а); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Отворете скобите и намерете значението на израза:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Отворете скобите и намерете значението на израза:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. отворена скоба:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 T);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. отворена скоба:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d)∙(-0,5 y);

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Опростете израза:

1391. Опростете израза:

1392. Намалете подобни членове:

1393. Комбинирайте подобни термини:

1394. Опростете израза:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, от ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Опростете израза:

1396. Намерете значението на израза;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), ако a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), ако = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Намерете значението на израза:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), ако x = -0,25;

1398*. Намерете грешката в решението:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Отворете скобите и опростете израза:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Подредете скобите, за да получите правилното равенство:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Докажете, че за всякакви числа a и b, ако a > b , тогава равенството е в сила:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Правилно ли е това равенство, ако: а) а< b ; б) а = 6?

1402*. Докажете това за всеки естествено числоа средноаритметичното на предходното и следващите числа е равно на числото a.

ПРИЛОЖЕТЕ ГО НА ПРАКТИКА

1403. За да приготвите плодов десерт за трима души са ви необходими: 2 ябълки, 1 портокал, 2 банана и 1 киви. Как да създадем буквен израз, за ​​да определим количеството плодове, необходими за приготвяне на десерт за гостите? Помогнете на Марин да изчисли колко плодове трябва да купи, ако: 1) 5 приятели й дойдат на гости; 2) 8 приятели.

1404. Направете буквен израз, за ​​да определите времето, необходимо за завършване на домашното по математика, ако:

1) една минута е изразходвана за решаване на проблеми; 2) опростяването на изразите е 2 пъти по-голямо, отколкото при решаването на задачи. Колко време отне завършването домашна работаВасилко, ако е отделил 15 минути за решаване на задачи?

1405. Обядът в училищния стол се състои от салата, борш, сърми и компот. Цената на салата е 20%, борш - 30%, зелеви рула - 45%, компот - 5% от общата цена на целия обяд. Напишете израз за намиране на цената на обяда в училищната столова. Колко струва обядът, ако цената на салатата е 2 UAH?

ПРОБЛЕМИ С ПРЕГЛЕД

1406. Решете уравнението:

1407. Таня похарчи за сладоледвсички налични пари и за бонбони -остатъка. Колко пари са останали на Таня?

ако бонбоните струват 12 UAH?

аз Изрази, в които заедно с букви могат да се използват числа, аритметични знаци и скоби, се наричат ​​алгебрични изрази.

Примери за алгебрични изрази:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0.3a -b · (4а + 2б); a 2 – 2ab;

Тъй като буква в алгебричен израз може да бъде заменена с някои различни числа, тогава буквата се нарича променлива, а самата тя алгебричен израз- израз с променлива.

II. Ако в алгебричен израз буквите (променливите) се заменят с техните стойности и се извършат посочените действия, тогава полученото число се нарича стойност на алгебричния израз.

Примери. Намерете значението на израза:

1) a + 2b -c с a = -2; b = 10; с = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при х = -8; y = -5; z = 6.

Решение.

1) a + 2b -c с a = -2; b = 10; с = -3,5. Вместо променливи, нека заместим техните стойности. Получаваме:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при х = -8; y = -5; z = 6. Заместете посочените стойности. Спомняме си, че модулът на отрицателно число е равен на противоположното му число, а модулът на положително число е равен на самото това число. Получаваме:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.Стойностите на буквата (променливата), за които алгебричният израз има смисъл, се наричат ​​допустимите стойности на буквата (променливата).

Примери. За какви стойности на променливата изразът няма смисъл?

Решение.Знаем, че не можете да делите на нула, следователно всеки от тези изрази няма да има смисъл предвид стойността на буквата (променливата), която превръща знаменателя на дробта в нула!

В пример 1) тази стойност е a = 0. Наистина, ако замените 0 вместо a, тогава ще трябва да разделите числото 6 на 0, но това не може да стане. Отговор: израз 1) няма смисъл, когато a = 0.

В пример 2) знаменателят на x е 4 = 0 при x = 4, следователно тази стойност x = 4 не може да бъде взета. Отговор: израз 2) няма смисъл, когато x = 4.

В пример 3) знаменателят е x + 2 = 0, когато x = -2. Отговор: израз 3) няма смисъл, когато x = -2.

В пример 4) знаменателят е 5 -|x| = 0 за |x| = 5. И тъй като |5| = 5 и |-5| = 5, тогава не можете да вземете x = 5 и x = -5. Отговор: израз 4) няма смисъл при x = -5 и при x = 5.
IV. Казват, че два израза са идентично равни, ако за всеки приемливи стойностипроменливи, съответните стойности на тези изрази са равни.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b също са равни, тъй като равенството 5 (a – b) = 5a – 5b ще бъде вярно за всякакви стойности на a и b. Равенството 5 (a – b) = 5a – 5b е тъждество.

Идентичност е равенство, което е валидно за всички допустими стойности на променливите, включени в него. Примери за тъждества, които вече са ви известни, са например свойствата на събиране и умножение и разпределителното свойство.

Замяната на един израз с друг идентично равен израз се нарича трансформация на идентичност или просто трансформация на израз. Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.

Примери.

а)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате разпределителното свойство на умножението:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение. Нека си припомним разпределителното свойство (закон) на умножението:

(a+b)c=ac+bc(закон за разпределение на умножението спрямо събирането: за да умножите сумата от две числа по трето число, можете да умножите всеки член по това число и да добавите получените резултати).
(a-b) c=a c-b c(закон за разпределение на умножението спрямо изваждането: за да умножите разликата на две числа по трето число, можете да умножите умаленото и да извадите с това число отделно и да извадите второто от първия резултат).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате комутативните и асоциативни свойства (закони) на събирането:

4) х + 4,5 + 2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Решение.Нека приложим законите (свойствата) на събирането:

a+b=b+a(комутативен: пренареждането на членовете не променя сумата).
(a+b)+c=a+(b+c)(комбинативно: за да добавите трето число към сумата от два члена, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V)Преобразувайте израза в идентично равен, като използвате комутативните и асоциативни свойства (закони) на умножението:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2s.

Решение.Нека приложим законите (свойствата) на умножението:

a·b=b·a(комутативен: пренареждането на факторите не променя продукта).
(a b) c=a (b c)(комбинативно: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2c = -18ac.

Ако даден алгебричен израз е даден под формата на редуцируема дроб, то с помощта на правилото за редуциране на дроб той може да се опрости, т.е. заменете го с еднакво равен по-прост израз.

Примери. Опростете чрез съкращаване на дроби.

Решение.Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също число (израз), различно от нула. Дроб 10) ще бъде намалена с 3б; фракция 11) ще бъде намалена с Аи дроб 12) ще бъдат намалени с 7n. Получаваме:

Алгебричните изрази се използват за създаване на формули.

Формулата е алгебричен израз, написан като равенство и изразяващ връзката между две или повече променливи.Пример: формула за път, която знаете s=v t(s - изминато разстояние, v - скорост, t - време). Спомнете си какви други формули знаете.

Страница 1 от 1 1