≡×მენიუ

• შეკეთება
• შეკეთება
• Ინტერიერის დიზაინი
• Ყველაფრის შესახებ
• სანტექნიკის შესახებ

უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა. წრფივი უტოლობების სისტემების გრაფიკულად ამოხსნა

გრაფიკული მეთოდი კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი მეთოდია. სტატიაში წარმოგიდგენთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენების ალგორითმს, შემდეგ კი განვიხილავთ განსაკუთრებულ შემთხვევებს მაგალითების გამოყენებით.

გრაფიკული მეთოდის არსი

მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი უტოლობის გადასაჭრელად და არა მხოლოდ კვადრატის. მისი არსი ასეთია: უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა ნაწილები განიხილება, როგორც ორი ცალკეული ფუნქცია y \u003d f (x) და y \u003d g (x), მათი გრაფიკები აგებულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში და უყურებენ რომელი. გრაფიკები განლაგებულია მეორის ზემოთ და რომელ ინტერვალებზე. ინტერვალები ფასდება შემდეგნაირად:

განმარტება 1

• f(x) > g(x) უტოლობის ამონახსნები არის ის ინტერვალები, სადაც f ფუნქციის გრაფიკი უფრო მაღალია, ვიდრე g ფუნქციის გრაფიკი;
• f (x) ≥ g (x) უტოლობის ამონახსნები არის ის ინტერვალები, სადაც f ფუნქციის გრაფიკი არ არის g ფუნქციის გრაფიკზე დაბალი;
• f (x) უტოლობის ამონახსნები< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• f (x) ≤ g (x) უტოლობის ამონახსნები არის ის ინტერვალები, სადაც f ფუნქციის გრაფიკი არ არის g ფუნქციის გრაფიკზე მაღალი;
• f და g ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები არის f(x) = g(x) განტოლების ამონახსნები.

განვიხილოთ ზემოთ მოყვანილი ალგორითმი მაგალითით. ამისათვის აიღეთ კვადრატული უტოლობა a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) და მისგან გამოიღეთ ორი ფუნქცია. Მარცხენა მხარეუტოლობა შეესაბამება y = a x 2 + b x + c (ამ შემთხვევაში f (x) = a x 2 + b x + c) და მარჯვენა y = 0 (ამ შემთხვევაში g (x) = 0) .

პირველი ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, მეორე არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა x ღერძს. გავაანალიზოთ პარაბოლის პოზიცია x ღერძთან მიმართებაში. ამისათვის ჩვენ შევასრულებთ სქემატურ ნახატს.

პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ. ის კვეთს x ღერძს წერტილებში x 1და x2. კოეფიციენტი a to ამ საქმესდადებითი, რადგან სწორედ ის არის პასუხისმგებელი პარაბოლის ტოტების მიმართულებაზე. დისკრიმინანტი დადებითია, რაც მიუთითებს ორი ფესვის არსებობაზე კვადრატული ტრინომიალიa x 2 + b x + c. ტრინომის ფესვებს აღვნიშნავთ როგორც x 1და x2, და მიღებული იყო რომ x 1< x 2 , ვინაიდან O x ღერძზე გამოსახავდნენ წერტილს აბსცისით x 1წერტილის მარცხნივ აბსცისით x2.

პარაბოლის ნაწილები, რომლებიც მდებარეობს O x ღერძის ზემოთ, აღინიშნება წითელი, ქვემოთ - ლურჯი. ეს საშუალებას მოგვცემს ნახატი უფრო ვიზუალური გავხადოთ.

ავირჩიოთ ის ხარვეზები, რომლებიც შეესაბამება ამ ნაწილებს და მოვნიშნოთ ისინი ფიგურაში გარკვეული ფერის ველებით.

წითლად აღვნიშნეთ ინტერვალები (− ∞, x 1) და (x 2, + ∞), მათზე პარაბოლა არის O x ღერძის ზემოთ. ისინი არიან x 2 + b x + c > 0 . ლურჯად, ჩვენ აღვნიშნეთ ინტერვალი (x 1, x 2), რომელიც არის ამონახსნი a x 2 + b x + c უტოლობაზე.< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

მოდით მოკლედ შევნიშნოთ გამოსავალი. a > 0-სთვის და D = b 2 − 4 a c > 0 (ან D " = D 4 > 0 ლუწი კოეფიციენტისთვის b) მივიღებთ:

• a x 2 + b x + c > 0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) ან სხვა გზით x< x 1 , x >x2;
• კვადრატული უტოლობის ამონახსნი a · x 2 + b · x + c ≥ 0 არის (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• a x 2 + b x + c კვადრატული უტოლობის ამოხსნა< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• a x 2 + b x + c ≤ 0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის [ x 1 , x 2 ] ან სხვა აღნიშვნით x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

სადაც x 1 და x 2 არის კვადრატული ტრინომის ფესვები a x 2 + b x + c და x 1< x 2 .

ამ ფიგურაში პარაბოლა ეხება O x ღერძს მხოლოდ ერთ წერტილში, რომელიც მითითებულია როგორც x0 a > 0. D=0მაშასადამე, კვადრატულ ტრინომს აქვს ერთი ფესვი x0.

პარაბოლა მდებარეობს მთლიანად O x ღერძის ზემოთ, გარდა კოორდინატთა ღერძის შეხების წერტილისა. გააფერადე ხარვეზები (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

დავწეროთ შედეგები. ზე a > 0და D=0:

• კვადრატული უტოლობის ამოხსნა a x 2 + b x + c > 0არის (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ≠ x0;
• კვადრატული უტოლობის ამოხსნა a x 2 + b x + c ≥ 0არის (− ∞ , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ∈ R ;
• კვადრატული უთანასწორობა a x 2 + b x + c< 0 არ აქვს ამონახსნები (არ არსებობს ინტერვალები, რომლებზეც პარაბოლა მდებარეობს ღერძის ქვემოთ O x);
• კვადრატული უთანასწორობა a x 2 + b x + c ≤ 0Მას აქვს მხოლოდ გადაწყვეტილება x = x0(ეს მოცემულია კონტაქტის წერტილით),

სად x0- კვადრატული ტრინომის ფესვი a x 2 + b x + c.

განვიხილოთ მესამე შემთხვევა, როდესაც პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ და არ ეხება ღერძს. O x. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ, რაც იმას ნიშნავს a > 0. კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ნამდვილი ფესვები, იმიტომ დ< 0 .

გრაფიკზე არ არის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა იქნება x ღერძის ქვემოთ. ჩვენ ამას გავითვალისწინებთ ჩვენი ნახატის ფერის არჩევისას.

თურმე როცა a > 0და დ< 0 კვადრატული უტოლობების ამოხსნა a x 2 + b x + c > 0და a x 2 + b x + c ≥ 0არის ყველა რეალური რიცხვისა და უტოლობების სიმრავლე a x 2 + b x + c< 0 და a x 2 + b x + c ≤ 0არ აქვთ გადაწყვეტილებები.

ჩვენთვის რჩება სამი ვარიანტის განხილვა, როდესაც პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ. ჩვენ არ გვჭირდება ამ სამ ვარიანტზე შეჩერება, რადგან უტოლობის ორივე ნაწილის − 1-ზე გამრავლებისას ვიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას დადებითი კოეფიციენტით x 2-ზე.

სტატიის წინა ნაწილის განხილვამ მოგვამზადა გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით უტოლობების ამოხსნის ალგორითმის აღქმისთვის. გამოთვლების განსახორციელებლად, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ნახაზი ყოველ ჯერზე, რომელიც აჩვენებს კოორდინატთა ხაზს O x და პარაბოლას, რომელიც შეესაბამება კვადრატული ფუნქცია y = a x 2 + b x + c. უმეტეს შემთხვევაში, ჩვენ არ გამოვსახავთ O y ღერძს, რადგან ის არ არის საჭირო გამოთვლებისთვის და მხოლოდ გადატვირთავს ნახატს.

პარაბოლის ასაგებად, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ ორი რამ:

განმარტება 2

• ტოტების მიმართულება, რომელიც განისაზღვრება a კოეფიციენტის მნიშვნელობით;
• პარაბოლისა და აბსცისის ღერძის გადაკვეთის წერტილების არსებობა, რომლებიც განისაზღვრება კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტის მნიშვნელობით a · x 2 + b · x + c.

ჩვენ განვსაზღვრავთ გადაკვეთის და ტანჯვის წერტილებს ჩვეულებრივი გზითარამკაცრი უტოლობების ამოხსნისას და ცარიელი მკაცრის ამოხსნისას.

დასრულებული ნახაზის არსებობა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ გადაწყვეტის შემდეგ ეტაპზე. ის გულისხმობს ინტერვალების განსაზღვრას, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ზემოთ ან ქვემოთ. ხარვეზები და გადაკვეთის წერტილები არის გამოსავალი კვადრატული უტოლობისთვის. თუ არ არის გადაკვეთის ან ტანგენციური წერტილები და არ არის შუალედები, მაშინ ითვლება, რომ პრობლემის პირობებში მითითებულ უტოლობას არ აქვს გამოსავალი.

ახლა მოდით გადავჭრათ რამდენიმე კვადრატული უტოლობა ზემოაღნიშნული ალგორითმის გამოყენებით.

მაგალითი 1

აუცილებელია 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 უტოლობა გრაფიკულად ამოხსნათ.

გამოსავალი

დავხატოთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . კოეფიციენტი at x2დადებითი, რადგან 2 . ეს ნიშნავს, რომ პარაბოლას ტოტები მიმართული იქნება ზემოთ.

ჩვენ ვიანგარიშებთ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტს 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2, რათა გავარკვიოთ აქვს თუ არა პარაბოლას საერთო წერტილები x ღერძთან. ჩვენ ვიღებთ:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

როგორც ხედავთ, დ ნულის ზემოთ, შესაბამისად, გვაქვს ორი გადაკვეთის წერტილი: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 და x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2, ანუ, x 1 = - 3და x 2 = 1 3.

ჩვენ ვხსნით არამკაცრ უტოლობას, ამიტომ გრაფიკზე ვსვამთ ჩვეულებრივ წერტილებს. ჩვენ ვხატავთ პარაბოლას. როგორც ხედავთ, ნახატს ისეთივე გარეგნობა აქვს, როგორც ჩვენ მიერ განხილულ პირველ შაბლონში.

ჩვენს უთანასწორობას აქვს ნიშანი ≤. ამიტომ, ჩვენ უნდა ავირჩიოთ უფსკრული გრაფიკზე, სადაც პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ქვემოთ და დავამატოთ მათ გადაკვეთის წერტილები.

ინტერვალი, რომელიც გვჭირდება არის − 3, 1 3. მასზე გადაკვეთის წერტილების დამატება, მივიღებთ ნომრის ხაზი− 3 , 1 3 . ეს არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. პასუხი შეიძლება დაიწეროს ორმაგი უტოლობის სახით: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

პასუხი:− 3 , 1 3 ან − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

მაგალითი 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 გრაფიკული მეთოდი.

გამოსავალი

ცვლადის კვადრატს აქვს უარყოფითი რიცხვითი კოეფიციენტი, ამიტომ პარაბოლის ტოტები მიმართული იქნება ქვემოთ. გამოთვალეთ დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. ეს შედეგი გვეუბნება, რომ იქნება ორი გადაკვეთის წერტილი.

მოდით გამოვთვალოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 და x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 \u003d 7 და x2 = 9.

გამოდის, რომ პარაბოლა კვეთს x ღერძს წერტილებში 7 და 9 . ამ წერტილებს გრაფიკზე ვნიშნავთ ცარილად, რადგან ვმუშაობთ მკაცრ უთანასწორობაზე. ამის შემდეგ ვხატავთ პარაბოლას, რომელიც კვეთს O x ღერძს მონიშნულ წერტილებში.

ჩვენ დავინტერესდებით იმ ინტერვალებით, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ქვემოთ. მონიშნეთ ეს ინტერვალები ლურჯად.

ვიღებთ პასუხს: უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალები (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

პასუხი:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x< 7 , x > 9 .

როდესაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნული, საჭიროა ყურადღებით მივუდგეთ კითხვას, ღირს თუ არა პასუხში შეხების წერტილის აბსცისის ჩართვა. სწორი გადაწყვეტილების მისაღებად აუცილებელია უთანასწორობის ნიშნის გათვალისწინება. მკაცრ უტოლობაში აბსცისის ღერძის შეხების წერტილი არ არის უთანასწორობის გამოსავალი, არამკაცრებში ეს არის.

მაგალითი 3

ამოხსენით კვადრატული უტოლობა 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0გრაფიკული მეთოდი.

გამოსავალი

პარაბოლას ტოტები ამ შემთხვევაში მიმართული იქნება ზემოთ. ის შეეხება O x ღერძს 0, 7 წერტილში, ვინაიდან

მოდით დავხატოთ ფუნქცია y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. მისი ტოტები მიმართულია ზემოთ, ვინაიდან კოეფიციენტი არის x2დადებითი და ის ეხება x ღერძს x ღერძის წერტილში 0 , 7 , იმიტომ D" = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, საიდანაც x 0 = 7 10 ან 0 , 7 .

დავდოთ წერტილი და დავხატოთ პარაბოლა.

არამკაცრ უტოლობას ვხსნით ≤ ნიშნით. აქედან გამომდინარე. ჩვენ დავინტერესდებით იმ ინტერვალებით, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს x-ღერძისა და შეხების წერტილის ქვემოთ. ფიგურაში არ არის ინტერვალები, რომლებიც დააკმაყოფილებს ჩვენს პირობებს. არსებობს მხოლოდ შეხების წერტილი 0, 7. ეს არის სასურველი გამოსავალი.

პასუხი:უტოლობას აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი 0, 7.

მაგალითი 4

ამოხსენით კვადრატული უტოლობა – x 2 + 8 x − 16< 0 .

გამოსავალი

პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვემოთ. დისკრიმინანტი არის ნული. გადაკვეთის წერტილი x0 = 4.

x-ღერძზე ვნიშნავთ შეხების წერტილს და ვხატავთ პარაბოლას.

საქმე გვაქვს მკაცრ უთანასწორობასთან. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებზეც პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ქვემოთ. მოდი აღვნიშნოთ ისინი ლურჯად.

აბსცისის წერტილი 4 არ არის გამოსავალი, რადგან პარაბოლა არ მდებარეობს მასზე O x ღერძის ქვემოთ. აქედან გამომდინარე, ვიღებთ ორ ინტერვალს (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

პასუხი: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ≠ 4 .

არა ყოველთვის დისკრიმინანტის უარყოფითი მნიშვნელობით, უთანასწორობას არ ექნება გამოსავალი. არის შემთხვევები, როცა ამონახსნი იქნება ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

მაგალითი 5

გრაფიკულად ამოხსენით კვადრატული უტოლობა 3 · x 2 + 1 > 0.

გამოსავალი

კოეფიციენტი a დადებითია. დისკრიმინანტი უარყოფითია. პარაბოლას ტოტები მიმართული იქნება ზემოთ. პარაბოლას O x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები არ არის. მოდით მივმართოთ ნახატს.

ჩვენ ვმუშაობთ მკაცრი უთანასწორობით, რომელსაც აქვს > ნიშანი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ. ეს არის ზუსტად ის შემთხვევა, როდესაც პასუხი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

პასუხი:(− ∞ , + ∞) ანუ x ∈ R.

მაგალითი 6

აუცილებელია უთანასწორობის გამოსავლის პოვნა − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0გრაფიკული გზა.

გამოსავალი

პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვემოთ. დისკრიმინანტი უარყოფითია, ასე რომ საერთო წერტილებიარ არსებობს პარაბოლა და x-ღერძი. მოდით მივმართოთ ნახატს.

ჩვენ ვმუშაობთ არამკაცრ უტოლობასთან ≥ ნიშანთან, შესაბამისად, გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებზეც პარაბოლა მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ. გრაფიკის მიხედვით თუ ვიმსჯელებთ, ასეთი ხარვეზები არ არის. ეს ნიშნავს, რომ პრობლემის მდგომარეობაში მოცემულ უთანასწორობას არ აქვს გამოსავალი.

პასუხი:გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

წრფივი ან კვადრატული უტოლობის გრაფიკი აგებულია ისევე, როგორც აგებულია ნებისმიერი ფუნქციის (განტოლების) გრაფიკი. განსხვავება ისაა, რომ უტოლობა გულისხმობს მრავალ ამონახსანს, ამიტომ უტოლობის გრაფიკი არ არის მხოლოდ წერტილი რიცხვითი წრფეზე ან წრფე კოორდინატულ სიბრტყეზე. მათემატიკური მოქმედებების და უტოლობის ნიშნის დახმარებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ უტოლობის ამონახსნების ნაკრები.

ნაბიჯები

რიცხვითი წრფეზე წრფივი უტოლობის გრაფიკული წარმოდგენა

1. უტოლობის ამოხსნა.ამისათვის გამოყავით ცვლადი იმავე ალგებრული ხრიკების გამოყენებით, რომლებსაც იყენებთ ნებისმიერი განტოლების ამოსახსნელად. გახსოვდეთ, რომ უტოლობის უარყოფით რიცხვზე (ან წევრზე) გამრავლების ან გაყოფისას, შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი.

   • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით 3წ + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). ცვლადის იზოლირებისთვის, გამოაკლეთ 9 უტოლობის ორივე მხარეს და შემდეგ გაყავით ორივე მხარე 3-ზე:
     3წ + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 წ > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • უტოლობას უნდა ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ცვლადი. თუ უტოლობას აქვს ორი ცვლადი, უმჯობესია გრაფიკის დახატვა კოორდინატულ სიბრტყეზე.

2. დახაზეთ რიცხვითი ხაზი.რიცხვთა ხაზში მონიშნეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა (ცვლადი შეიძლება იყოს ამ მნიშვნელობაზე ნაკლები, მეტი ან ტოლი). დახაზეთ შესაბამისი სიგრძის რიცხვითი წრფე (გრძელი ან მოკლე).

   • მაგალითად, თუ თქვენ გამოთვალეთ ეს y > 1 (\displaystyle y>1), მონიშნეთ მნიშვნელობა 1 რიცხვით ხაზში.

3. დახაზეთ წრე ნაპოვნი მნიშვნელობის გამოსაჩენად.თუ ცვლადი ნაკლებია ( < {\displaystyle <} ) ან მეტი ( > (\displaystyle >)) ამ მნიშვნელობის, წრე არ არის შევსებული, რადგან ამოხსნის ნაკრები არ შეიცავს ამ მნიშვნელობას. თუ ცვლადი ნაკლებია ან ტოლია ( ≤ (\displaystyle \leq)) ან მეტი ან ტოლი ( ≥ (\displaystyle\geq)) ამ მნიშვნელობამდე წრე ივსება, რადგან ამოხსნის ნაკრები მოიცავს ამ მნიშვნელობას.

   • y > 1 (\displaystyle y>1)რიცხვთა წრფეზე დახაზეთ ღია წრე 1 წერტილში, რადგან 1 არ არის ამონახსნების ნაკრებში.

4. რიცხვთა ხაზზე დაჩრდილეთ არე, რომელიც განსაზღვრავს ამონახსნების კომპლექტს.თუ ცვლადი აღემატება ნაპოვნი მნიშვნელობას, დაჩრდილეთ უბანი მის მარჯვნივ, რადგან ამონახსნების ნაკრები მოიცავს ყველა მნიშვნელობას, რომელიც აღემატება ნაპოვნი მნიშვნელობას. თუ ცვლადი ნაპოვნ მნიშვნელობაზე ნაკლებია, დაჩრდილეთ უბანი მისგან მარცხნივ, რადგან ამოხსნის ნაკრები მოიცავს ყველა მნიშვნელობას, რომელიც ნაკლებია ნაპოვნი მნიშვნელობაზე.

   • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით y > 1 (\displaystyle y>1)რიცხვთა ხაზზე დაჩრდილეთ უბანი 1-ის მარჯვნივ, რადგან ამონახსნების ნაკრები მოიცავს 1-ზე მეტ ყველა მნიშვნელობას.

   წრფივი უტოლობის გრაფიკული წარმოდგენა კოორდინატულ სიბრტყეზე

   1. ამოხსენით უტოლობა (იპოვეთ მნიშვნელობა y (\displaystyle y)). წრფივი განტოლების მისაღებად გამოყავით ცვლადი მარცხენა მხარეს ცნობილი ალგებრული მეთოდების გამოყენებით. ცვლადი უნდა დარჩეს მარჯვენა მხარეს x (\displaystyle x)და შესაძლოა გარკვეული მუდმივი.

      • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით 3წ + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). ცვლადის იზოლირება y (\displaystyle y), გამოაკელი 9 უტოლობის ორივე მხარეს და შემდეგ გაყავი ორივე მხარე 3-ზე:
        3წ + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. ნაკვეთი კოორდინატულ სიბრტყეზე წრფივი განტოლება. დახაზეთ გრაფიკი ნებისმიერი წრფივი განტოლების გამოსახატავად. დახაზეთ გადაკვეთის წერტილი Y-ღერძთან და შემდეგ დახაზეთ სხვა წერტილები დახრილობის გამოყენებით.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დახაზეთ განტოლება y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები და ფერდობზეარის 3 (ან 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). ასე რომ, ჯერ დახაზეთ წერტილი კოორდინატებით (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილის ზემოთ წერტილს აქვს კოორდინატები (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილის ქვემოთ წერტილს აქვს კოორდინატები (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. დახაზეთ სწორი ხაზი.თუ უთანასწორობა მკაცრია (მოიცავს ნიშანს < {\displaystyle <} ან > (\displaystyle >)), დახაზეთ წერტილოვანი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების კომპლექტი არ შეიცავს ხაზზე მდებარე მნიშვნელობებს. თუ უთანასწორობა არ არის მკაცრი (მოიცავს ნიშანს ≤ (\displaystyle \leq)ან ≥ (\displaystyle\geq)), დახაზეთ მყარი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების ნაკრები მოიცავს მნიშვნელობებს, რომლებიც დევს ხაზზე.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დახაზეთ წერტილოვანი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების კომპლექტი არ შეიცავს ხაზზე მდებარე მნიშვნელობებს.

   4. დაჩრდილეთ შესაბამისი ტერიტორია.თუ უტოლობას აქვს ფორმა y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), შეავსეთ ზონა ხაზის ზემოთ. თუ უტოლობას აქვს ფორმა წ< m x + b {\displaystyle y, შეავსეთ ზონა ხაზის ქვეშ.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დაჩრდილეთ ტერიტორია ხაზის ზემოთ.

   კვადრატული უტოლობის გრაფიკული წარმოდგენა კოორდინატულ სიბრტყეზე

   1. დაადგინეთ, რომ ეს უტოლობა არის კვადრატი. კვადრატული უთანასწორობაფორმა აქვს a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). ზოგჯერ უტოლობა არ შეიცავს პირველი რიგის ცვლადს ( x (\displaystyle x)) და/ან თავისუფალი ტერმინი (მუდმივი), მაგრამ უნდა შეიცავდეს მეორე რიგის ცვლადს ( x 2 (\displaystyle x^(2))). ცვლადები x (\displaystyle x)და y (\displaystyle y)უნდა იყოს იზოლირებული სხვადასხვა მხარეებიუთანასწორობები.

      • მაგალითად, თქვენ უნდა გამოსახოთ უტოლობა წ< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. დახაზეთ გრაფიკი კოორდინატულ სიბრტყეზე.ამისათვის გადააქციეთ უტოლობა განტოლებად და ააგეთ გრაფიკი, როგორც თქვენ ქმნით ნებისმიერის გრაფიკს კვადრატული განტოლება. გახსოვდეთ, რომ კვადრატული განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში წ< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yნაკვეთის კვადრატული განტოლება y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). პარაბოლას მწვერვალი არის წერტილში (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), და პარაბოლა კვეთს x ღერძს წერტილებში (2 , 0) (\displaystyle (2,0))და (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

დაე f(x,y)და g (x, y)- ორი გამონათქვამი ცვლადებით Xდა ზედა განმარტების სფერო X. შემდეგ ფორმის უტოლობები f(x, y) > g (x, y)ან f(x, y) < g (x, y)დაურეკა უტოლობა ორი ცვლადით .

ცვლადების მნიშვნელობა x, yბევრისგან X, რომლის დროსაც უტოლობა გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად, მისი ეწოდება გადაწყვეტილება და აღნიშნა (x, y). ამოხსენით უტოლობა არის ასეთი წყვილების ნაკრების პოვნა.

თუ თითოეული წყვილი რიცხვი (x, y)ამონახსნების სიმრავლიდან უტოლობამდე, შესაბამისობაში ჩადეთ წერტილი M(x, y), ვიღებთ წერტილთა სიმრავლეს სიბრტყეზე მოცემული უტოლობით. Მას ეწოდება ამ უტოლობის გრაფიკი . უტოლობის ნაკვეთი, როგორც წესი, არის ფართობი სიბრტყეზე.

უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის გამოსახვა f(x, y) > g (x, y), გააგრძელეთ შემდეგნაირად. პირველ რიგში, შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი ტოლობის ნიშნით და იპოვეთ წრფე, რომელსაც აქვს განტოლება f(x,y) = g(x,y). ეს ხაზი თვითმფრინავს რამდენიმე ნაწილად ყოფს. ამის შემდეგ საკმარისია აიღოთ თითო ქულა თითოეულ ნაწილში და შეამოწმოთ არის თუ არა უტოლობა ამ ეტაპზე f(x, y) > g (x, y). თუ ის შესრულებულია ამ ეტაპზე, მაშინ ის ასევე შესრულდება მთელ ნაწილში, სადაც ეს წერტილი დევს. ასეთი ნაწილების გაერთიანებით, ჩვენ ვიღებთ გადაწყვეტილებების კომპლექტს.

დავალება. წ > x.

გამოსავალი.პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით უტოლობის ნიშანს ტოლობის ნიშნით და ვაშენებთ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რომელსაც აქვს განტოლება წ = x.

ეს ხაზი თვითმფრინავს ორ ნაწილად ყოფს. ამის შემდეგ თითოეულ ნაწილში ვიღებთ თითო ქულას და ვამოწმებთ არის თუ არა უტოლობა ამ წერტილში წ > x.

დავალება.გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა
X 2 + ზე 2 £25.

ბრინჯი. 18.

გამოსავალი.ჯერ შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი ტოლობის ნიშნით და დახაზეთ ხაზი X 2 + ზე 2 = 25. ეს არის წრე, რომლის ცენტრია სათავეში და რადიუსი 5. შედეგად მიღებული წრე სიბრტყეს ორ ნაწილად ყოფს. უტოლობის მართებულობის შემოწმება X 2 + ზე 2 £ 25 თითოეულ ნაწილში, მივიღებთ, რომ გრაფიკი არის წრის წერტილების სიმრავლე და სიბრტყის ნაწილი წრის შიგნით.

მიეცით ორი უტოლობა ვ 1(x, y) > გ 1(x, y)და ვ 2(x, y) > გ 2(x, y).

უტოლობათა სიმრავლეთა სისტემები ორი ცვლადით

უტოლობების სისტემა არის საკუთარ თავს ამ უთანასწორობების შეერთება. სისტემური გადაწყვეტა არის ნებისმიერი ღირებულება (x, y), რომელიც აქცევს თითოეულ უტოლობას ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. უამრავი გამოსავალი სისტემები უტოლობები არის უტოლობების ამოხსნის ერთობლიობის კვეთა, რომლებიც ქმნიან მოცემულ სისტემას.

უტოლობების ნაკრები არის საკუთარ თავს ამათგან განცალკევება უთანასწორობები. გადაწყვეტილების დაყენება არის ნებისმიერი ღირებულება (x, y), რომელიც იქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად სიმრავლის უტოლობებიდან ერთ-ერთ მაინც. უამრავი გამოსავალი აგრეგატები არის უტოლობების ამონახსნების ერთობლიობა, რომელიც ქმნის სიმრავლეს.

დავალება.გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

გამოსავალი. y = xდა X 2 + ზე 2 = 25. ჩვენ ვხსნით სისტემის თითოეულ უტოლობას.

სისტემის გრაფიკი იქნება სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, რომლებიც წარმოადგენს პირველი და მეორე უტოლობების ამონახსნების სიმრავლის კვეთას (ორმაგი გამოჩეკვა).

დავალება.გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობების სიმრავლე

გამოსავალი.პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით უტოლობის ნიშანს ტოლობის ნიშნით და ვხატავთ ხაზებს იმავე კოორდინატულ სისტემაში y = x+ 4 და X 2 + ზე 2 = 16. ამოხსენით თითოეული პოპულაციის უტოლობა. აგრეგატული გრაფიკი იქნება სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, რომლებიც წარმოადგენს პირველი და მეორე უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეების გაერთიანებას.

სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის

1. გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა: ა) ზე> 2x; ბ) ზე< 2x + 3;

V) x 2+y 2 > 9; გ) x 2+y 2 £4.

2. უტოლობების გრაფიკული სისტემების ამოხსნა:

ა) გ)

აგრეთვე ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის გრაფიკულად გადაჭრა, წრფივი პროგრამირების ამოცანების კანონიკური ფორმა

ასეთი პრობლემის შეზღუდვების სისტემა შედგება უტოლობებისაგან ორ ცვლადში:
ხოლო ობიექტურ ფუნქციას აქვს ფორმა ფ = C 1 x + C 2 წ, რაც მაქსიმალურად უნდა იყოს.

მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა რიცხვების წყვილი ( x; წ) არის თუ არა ამონახსნები უტოლობათა სისტემისა, ანუ აკმაყოფილებენ თუ არა ისინი თითოეულ უტოლობას ერთდროულად? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რას ნიშნავს სისტემის გრაფიკულად ამოხსნა?
ჯერ უნდა გესმოდეთ, რა არის ერთი წრფივი უტოლობის ამოხსნა ორი უცნობით.
წრფივი უტოლობა ორი უცნობის ამოხსნა ნიშნავს უცნობის მნიშვნელობების ყველა წყვილის განსაზღვრას, რომლებისთვისაც დაკმაყოფილებულია უტოლობა.
მაგალითად, უტოლობა 3 x – 5წ≥ 42 აკმაყოფილებს წყვილებს ( x , წ) : (100, 2); (3, –10) და ა.შ. პრობლემა არის ყველა ასეთი წყვილის პოვნა.
განვიხილოთ ორი უტოლობა: ნაჯახი + მიერ≤ გ, ნაჯახი + მიერ≥ გ. პირდაპირ ნაჯახი + მიერ = გსიბრტყეს ყოფს ორ ნახევრად სიბრტყეზე ისე, რომ ერთ-ერთის წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ უტოლობას ნაჯახი + მიერ >გდა სხვა უთანასწორობა ნაჯახი + +მიერ <გ.
მართლაც, აიღეთ წერტილი კოორდინატით x = x 0; შემდეგ წერტილი, რომელიც დევს სწორ ხაზზე და აქვს აბსციზა x 0 , აქვს ორდინატი

დაე, დაზუსტებისთვის ა<0, ბ>0, გ>0. ყველა წერტილი აბსცისით x 0 ზემოთ პ(მაგ. წერტილი მ), აქვს y მ>წ 0 და ყველა წერტილი წერტილის ქვემოთ პ, აბსცისით x 0, აქვს yN<წ 0 . Იმიტომ რომ x 0 არის თვითნებური წერტილი, მაშინ ყოველთვის იქნება წერტილები ხაზის ერთ მხარეს, რისთვისაც ნაჯახი+ მიერ > გ, ნახევრად სიბრტყის ფორმირება და მეორე მხრივ, წერტილები, რისთვისაც ნაჯახი + მიერ< გ.

სურათი 1

უტოლობის ნიშანი ნახევრად სიბრტყეში დამოკიდებულია რიცხვებზე ა, ბ , გ.
ეს გულისხმობს სისტემების გრაფიკული გადაწყვეტის შემდეგ მეთოდს წრფივი უტოლობებიორი ცვლადიდან. სისტემის გადასაჭრელად გჭირდებათ:

1. თითოეული უტოლობისთვის ჩაწერეთ მოცემული უტოლობის შესაბამისი განტოლება.
2. ააგეთ ხაზები, რომლებიც არის განტოლებებით მოცემული ფუნქციების გრაფიკები.
3. თითოეული სწორი ხაზისთვის განსაზღვრეთ ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მოცემულია უტოლობით. ამისათვის აიღეთ თვითნებური წერტილი, რომელიც არ დევს სწორ ხაზზე, ჩაანაცვლეთ მისი კოორდინატები უტოლობით. თუ უტოლობა მართალია, მაშინ არჩეული წერტილის შემცველი ნახევარსიბრტყე არის საწყისი უტოლობის ამოხსნა. თუ უტოლობა მცდარია, მაშინ ნახევრად სიბრტყე ხაზის მეორე მხარეს არის ამ უტოლობის ამონახსნების ნაკრები.
4. უტოლობების სისტემის გადასაჭრელად, აუცილებელია ყველა ნახევრად სიბრტყის გადაკვეთის ფართობის პოვნა, რომელიც წარმოადგენს სისტემის თითოეული უტოლობის ამოხსნას.

ეს ტერიტორია შეიძლება ცარიელი აღმოჩნდეს, მაშინ უტოლობების სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ის არათანმიმდევრულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სისტემა თავსებადია.
ამონახსნები შეიძლება იყოს სასრული რიცხვი და უსასრულო სიმრავლე. ფართობი შეიძლება იყოს დახურული პოლიგონი ან შეიძლება იყოს შეუზღუდავი.

მოდით შევხედოთ სამ შესაბამის მაგალითს.

მაგალითი 1. სისტემის გრაფიკულად ამოხსნა:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2წ + 5 ≤ 0.

• განვიხილოთ განტოლებები x+y–1=0 და –2x–2y+5=0 უტოლობების შესაბამისი;
• მოდით ავაშენოთ ამ განტოლებებით მოცემული სწორი ხაზები.

სურათი 2

განვსაზღვროთ უტოლობებით მოცემული ნახევრად სიბრტყეები. აიღეთ თვითნებური წერტილი, მოდით (0; 0). განიხილეთ x+ y– 1 0, ჩვენ ვცვლით წერტილს (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. შესაბამისად, ნახევარ სიბრტყეში, სადაც წერტილი (0; 0) დევს, x + წ – 1 ≤ 0, ე.ი. ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს სწორი ხაზის ქვემოთ, არის გამოსავალი პირველი უტოლობაზე. ამ წერტილის (0; 0) მეორეში ჩანაცვლებით მივიღებთ: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ე.ი. ნახევარ სიბრტყეში, სადაც წერტილი (0; 0) დევს, -2 x – 2წ+ 5≥ 0 და გვკითხეს სად -2 x – 2წ+ 5 ≤ 0, შესაბამისად, მეორე ნახევრად სიბრტყეში - სწორი ხაზის ზემოთ.
იპოვეთ ამ ორი ნახევარსიბრტყის გადაკვეთა. წრფეები პარალელურია, ამიტომ სიბრტყეები არსად არ იკვეთება, რაც ნიშნავს, რომ ამ უტოლობათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები, ის არათანმიმდევრულია.

მაგალითი 2. იპოვეთ უტოლობათა სისტემის გრაფიკული ამონახსნები:

სურათი 3
1. ჩამოწერეთ უტოლობების შესაბამისი განტოლებები და ააგეთ სწორი ხაზები.
x + 2წ– 2 = 0

x	2	0
წ	0	1

წ – x – 1 = 0

x	0	2
წ	1	3

წ + 2 = 0;
წ = –2.
2. წერტილის არჩევის შემდეგ (0; 0), განვსაზღვრავთ უტოლობათა ნიშნებს ნახევარ სიბრტყეში:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ე.ი. x + 2წ– 2 ≤ 0 ნახევრად სიბრტყეში სწორი ხაზის ქვემოთ;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ე.ი. წ –x– 1 ≤ 0 ნახევრად სიბრტყეში სწორი ხაზის ქვემოთ;
0 + 2 =2 ≥ 0, ე.ი. წ+ 2 ≥ 0 ხაზის ზემოთ ნახევრად სიბრტყეში.
3. ამ სამი ნახევარსიბრტყის კვეთა იქნება ფართობი, რომელიც არის სამკუთხედი. რეგიონის წვეროების, როგორც შესაბამისი წრფეების გადაკვეთის წერტილების პოვნა რთული არ არის


ამრიგად, ა(–3; –2), IN(0; 1), თან(6; –2).

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი, რომელშიც სისტემის ამოხსნის დომენი შეზღუდული არ არის.

განტოლებათა გრაფიკული ამოხსნა

ჰეიდეი, 2009 წელი

შესავალი

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა უძველეს დროში გამოწვეული იყო არეების მოძიებასთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნის აუცილებლობით მიწის ნაკვეთებიდა თან მიწის სამუშაოებისამხედრო ბუნება, ისევე როგორც თავად ასტრონომიისა და მათემატიკის განვითარებით. ბაბილონელებმა იცოდნენ როგორ ამოეხსნათ კვადრატული განტოლებები ჩვენს წელთაღრიცხვამდე დაახლოებით 2000 წელს. ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც ნათქვამია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეებს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე.

ევროპაში კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა აბაკუსის წიგნში, რომელიც 1202 წელს დაწერა იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ. მისმა წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში.

მაგრამ ზოგადი წესიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა, b და c კოეფიციენტების ყველა შესაძლო კომბინაციით, ჩამოყალიბდა ევროპაში მხოლოდ 1544 წელს მ.შტიფელის მიერ.

1591 წელს ფრანსუა ვიეტი შემოიღო კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები.

ზოგიერთი სახის კვადრატული განტოლება ამოხსნილი იყო ძველ ბაბილონში.

დიოფანტე ალექსანდრიელი და ევკლიდე, ალ-ხვარიზმიდა ომარ ხაიამიამოხსნილი განტოლებები გეომეტრიული და გრაფიკული გზებით.

მე-7 კლასში ვსწავლობდით ფუნქციებს y \u003d C, y=kx, y =kx+ მ, y =x 2,y = -x 2, მე-8 კლასში - y = √x, y =|x|, y=ნაჯახი2 + bx+ გ, y =კ/ x. მე-9 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოში ვნახე ფუნქციები, რომლებიც ჯერ არ იყო ჩემთვის ცნობილი: y=x 3, y=x 4,y=x 2n, y=x- 2n, y= 3√x, (x– ა) 2 + (y -ბ) 2 = რ 2 და სხვები. არსებობს ამ ფუნქციების გრაფიკების აგების წესები. მაინტერესებდა არის თუ არა სხვა ფუნქციები, რომლებიც ამ წესებს ემორჩილება.

ჩემი საქმეა ფუნქციების გრაფიკების შესწავლა და განტოლებების გრაფიკულად ამოხსნა.

1. რა ფუნქციებია

ფუნქციის გრაფიკი არის კოორდინატთა სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთა აბსციები უდრის არგუმენტების მნიშვნელობებს, ხოლო ორდინატები ტოლია ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების.

ხაზოვანი ფუნქციამოცემული განტოლებით y=kx+ ბ, სად კდა ბ- რამდენიმე რიცხვი. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი.

შებრუნებული პროპორციული ფუნქცია y=კ/ x, სადაც k ¹ 0. ამ ფუნქციის გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება.

ფუნქცია (x– ა) 2 + (y -ბ) 2 = რ2 , სად ა, ბდა რ- რამდენიმე რიცხვი. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის r რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია A წერტილზე ( ა, ბ).

კვადრატული ფუნქცია წ= ნაჯახი2 + bx+ გსად A,ბ, თან- რამდენიმე რიცხვი და ა¹ 0. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა.

განტოლება ზე2 (ა– x) = x2 (ა+ x) . ამ განტოლების გრაფიკი იქნება მრუდი, რომელსაც სტროფოიდი ეწოდება.

/>განტოლება (x2 + წ2 ) 2 = ა(x2 – წ2 ) . ამ განტოლების გრაფიკს ბერნულის ლემნისკატი ეწოდება.

განტოლება. ამ განტოლების გრაფიკს ასტროიდი ეწოდება.

მრუდი (x2 წ2 - 2 x)2 =4 ა2 (x2 +y2 ) . ამ მრუდს კარდიოიდი ეწოდება.

ფუნქციები: y=x 3 - კუბური პარაბოლა, y=x 4, y = 1/x 2.

2. განტოლების ცნება, მისი გრაფიკული ამოხსნა

განტოლებაარის ცვლადის შემცველი გამოხატულება.

განტოლების ამოხსნა- ეს ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას, ან იმის მტკიცებას, რომ ისინი არ არსებობს.

განტოლების ფესვიარის რიცხვი, რომელიც განტოლებაში ჩანაცვლებისას წარმოქმნის სწორ რიცხვობრივ ტოლობას.

განტოლებების გრაფიკულად ამოხსნასაშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ფესვების ზუსტი ან სავარაუდო მნიშვნელობა, საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ განტოლების ფესვების რაოდენობა.

გრაფიკების გამოსახვისას და განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება ფუნქციის თვისებები, ამიტომ მეთოდს ხშირად ფუნქციონალურ-გრაფიკულს უწოდებენ.

განტოლების ამოსახსნელად მას „ვყოფთ“ ორ ნაწილად, შემოგვაქვს ორი ფუნქცია, ვაშენებთ მათ გრაფიკებს, ვპოულობთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს. ამ წერტილების აბსციები არის განტოლების ფესვები.

3. ფუნქციის გრაფიკის აგების ალგორითმი

ფუნქციის გრაფიკის ცოდნა y=ვ(x) , შეგიძლიათ დახაზოთ ფუნქციები y=ვ(x+ მ) ,y=ვ(x)+ ლდა y=ვ(x+ მ)+ ლ. ყველა ეს გრაფიკი მიღებულია ფუნქციის გრაფიკიდან y=ვ(x) პარალელური თარგმანის ტრანსფორმაციის გამოყენებით: on │ მ│ მასშტაბის ერთეულები მარჯვნივ ან მარცხნივ x-ღერძის გასწვრივ და შემდეგ │ ლ│ მასშტაბის ერთეულები ზემოთ ან ქვემოთ ღერძის გასწვრივ წ.

4. კვადრატული განტოლების გრაფიკული ამოხსნა

კვადრატული ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით განვიხილავთ კვადრატული განტოლების გრაფიკულ ამოხსნას. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა.

რა იცოდნენ ძველმა ბერძნებმა პარაბოლის შესახებ?

თანამედროვე მათემატიკური სიმბოლიზმი წარმოიშვა მე-16 საუკუნეში.

ძველ ბერძენ მათემატიკოსებს არც კოორდინატთა მეთოდი ჰქონდათ და არც ფუნქციის კონცეფცია. თუმცა პარაბოლას თვისებები მათ დეტალურად შეისწავლეს. ძველი მათემატიკოსების გამომგონებლობა უბრალოდ გასაოცარია, რადგან მათ შეეძლოთ მხოლოდ ნახატებისა და დამოკიდებულებების სიტყვიერი აღწერილობის გამოყენება.

ყველაზე სრულად გამოიკვლია პარაბოლა, ჰიპერბოლა და ელიფსი აპოლონიუს პერგაელი, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III საუკუნეში. მან ასევე დაასახელა ამ მრუდეები და მიუთითა, თუ რა პირობებს აკმაყოფილებს კონკრეტულ მრუდეზე მოთავსებული წერტილები (ბოლოს და ბოლოს, ფორმულები არ იყო!).

პარაბოლის ასაგებად არსებობს ალგორითმი:

იპოვეთ პარაბოლის A წვეროს კოორდინატები (x0; y0): X=- ბ/2 ა;

y0=aho2+in0+s;

იპოვეთ პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი (სწორი x=x0);

ᲒᲕᲔᲠᲓᲘᲡ ᲬᲧᲕᲔᲢᲐ--

შენობების საკონტროლო წერტილების მნიშვნელობების ცხრილის შედგენა;

მიღებულ წერტილებს ვაშენებთ და ვაშენებთ მათ სიმეტრიულ წერტილებს სიმეტრიის ღერძის მიმართ.

1. ავაშენოთ პარაბოლა ალგორითმის მიხედვით წ= x2 – 2 x– 3 . ღერძთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები xდა არის კვადრატული განტოლების ფესვები x2 – 2 x– 3 = 0.

ამ განტოლების გრაფიკულად ამოხსნის ხუთი გზა არსებობს.

2. დავყოთ განტოლება ორ ფუნქციად: წ= x2 და წ= 2 x+ 3

3. დავყოთ განტოლება ორ ფუნქციად: წ= x2 –3 და წ=2 x. განტოლების ფესვები არის პარაბოლას წრფესთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

4. გადააქციეთ განტოლება x2 – 2 x– 3 = 0 ფუნქციის სრული კვადრატის არჩევით: წ= (x–1) 2 და წ=4. განტოლების ფესვები არის პარაბოლას წრფესთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

5. განტოლების ორივე ნაწილს ვანაწილებთ ტერმინებს x2 – 2 x– 3 = 0 on x, ვიღებთ x– 2 – 3/ x= 0 მოდით გავყოთ ეს განტოლება ორ ფუნქციად: წ= x– 2, წ= 3/ x. განტოლების ფესვები არის წრფისა და ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

5. ხარისხის განტოლებების გრაფიკული ამოხსნან

მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა x5 = 3 – 2 x.

წ= x5 , წ= 3 – 2 x.

პასუხი: x = 1.

მაგალითი 2განტოლების ამოხსნა 3 √ x= 10 – x.

ამ განტოლების ფესვები არის ორი ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა: წ= 3 √ x, წ= 10 – x.

პასუხი: x=8.

დასკვნა

ფუნქციის გრაფიკის გათვალისწინებით: y=ნაჯახი2 + bx+ გ, y =კ/ x, y = √x, y =|x|, y=x 3, y=x 4,y= 3√x, მე შევამჩნიე, რომ ყველა ეს გრაფიკი აგებულია ღერძებთან მიმართებაში პარალელური თარგმნის წესის მიხედვით xდა წ.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის მაგალითის გამოყენებით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გრაფიკული მეთოდი ასევე გამოიყენება n ხარისხის განტოლებებზე.

განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდები ლამაზი და გასაგებია, მაგრამ ისინი არ იძლევა რაიმე განტოლების ამოხსნის 100%-იან გარანტიას. გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები შეიძლება იყოს მიახლოებითი.

მე-9 კლასში და უფროს კლასებში კიდევ გავეცნობი სხვა ფუნქციებს. მაინტერესებს, ემორჩილება თუ არა ეს ფუნქციები პარალელური თარგმნის წესებს მათი გრაფიკების შედგენისას.

მომავალ წელს ასევე მინდა განვიხილო განტოლებათა და უტოლობათა სისტემების გრაფიკული ამოხსნის საკითხები.

ლიტერატურა

1. ალგებრა. მე-7 კლასი. ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის / ა.გ. მორდკოვიჩი. მოსკოვი: მნემოსინე, 2007 წ.

2. ალგებრა. მე-8 კლასი. ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის / ა.გ. მორდკოვიჩი. მოსკოვი: მნემოსინე, 2007 წ.

3. ალგებრა. მე-9 კლასი ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის / ა.გ. მორდკოვიჩი. მოსკოვი: მნემოსინე, 2007 წ.

4. გლეიზერ გ.ი. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. VII-VIII კლასები. – მ.: განმანათლებლობა, 1982 წ.

5. ჟურნალი მათემატიკა №5 2009; No8 2007 წელი; No23 2008 წ.

6. განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა ინტერნეტ საიტები: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.