≡× MENIUL

• Reparație
• Reparație
• Design interior
• Despre tot
• Despre instalații sanitare

Cum să găsiți cel mai mic multiplu al unui număr. Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Un multiplu al unui număr este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unui grup de numere este cel mai mic număr, care este divizibil fără rest cu fiecare număr din grup. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să găsiți factorii primi ai numerelor date. De asemenea, LCM poate fi calculat folosind o serie de alte metode care sunt aplicabile la grupuri de două sau mai multe numere.

Pași

Un număr de multipli

Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere care sunt ambele mai mici de 10. Dacă sunt date numere mari, utilizați o metodă diferită.

• De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 și 8. Acestea sunt numere mici, așa că această metodă poate fi folosită.

1. Un multiplu al unui număr este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Numerele multiple pot fi găsite în tabelul înmulțirii.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 5 sunt: ​​5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Notează o serie de numere care sunt multipli ai primului număr. Faceți acest lucru sub multiplii primului număr pentru a compara două rânduri de numere.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 8 sunt: ​​8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 și 64.

3. Găsiți cel mai mic număr care apare în ambele serii de multipli. Poate fi necesar să scrieți serii lungi de multipli pentru a găsi totalul. Cel mai mic număr care apare în ambele serii de multipli este cel mai mic multiplu comun.

   • De exemplu, cel mai mic număr care apare în seria multiplilor lui 5 și 8 este 40. Prin urmare, 40 este cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8.

   factorizare primara

   1. Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere care sunt ambele mai mari decât 10. Dacă sunt date numere mai mici, utilizați o metodă diferită.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 84. Fiecare dintre numere este mai mare decât 10, așa că această metodă poate fi folosită.

   2. Factorizați primul număr. Adică, trebuie să găsiți astfel de numere prime, atunci când sunt multiplicate, obțineți un număr dat. După ce ați găsit factorii primi, notați-i ca o egalitate.

      • De exemplu, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)Și 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Astfel, factorii primi ai numărului 20 sunt numerele 2, 2 și 5. Notează-i ca expresie: .

   3. Factorizați al doilea număr în factori primi. Faceți acest lucru în același mod în care ați factorizat primul număr, adică găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor obține acest număr.

      • De exemplu, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)Și 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Astfel, factorii primi ai numărului 84 ​​sunt numerele 2, 7, 3 și 2. Notează-le ca expresie: .

   4. Notați factorii comuni ambelor numere. Scrieți factori precum o operație de înmulțire. Pe măsură ce notați fiecare factor, tăiați-l în ambele expresii (expresii care descriu descompunerea numerelor în factori primi).

      • De exemplu, factorul comun pentru ambele numere este 2, așa că scrieți 2 × (\displaystyle 2\times )și tăiați 2 în ambele expresii.
      • Factorul comun pentru ambele numere este un alt factor de 2, așa că scrieți 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)și tăiați al doilea 2 în ambele expresii.

   5. Adăugați factorii rămași la operația de înmulțire. Aceștia sunt factori care nu sunt tăiați în ambele expresii, adică factori care nu sunt comuni ambelor numere.

      • De exemplu, în expresia 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) ambele două (2) sunt tăiate deoarece sunt factori comuni. Factorul 5 nu este tăiat, așa că scrieți operația de înmulțire după cum urmează: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • În expresie 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) ambele două (2) sunt de asemenea bilate. Factorii 7 și 3 nu sunt tăiați, așa că scrieți operația de înmulțire după cum urmează: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Calculați cel mai mic multiplu comun. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele în operația de înmulțire scrisă.

      • De exemplu, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 84 este 420.

      Găsirea divizorilor comuni

      1. Desenați o grilă așa cum ați face pentru un joc de tic-tac-toe. O astfel de grilă este formată din două linii paralele care se intersectează (în unghi drept) cu alte două linii paralele. Acest lucru va avea ca rezultat trei rânduri și trei coloane (grila seamănă foarte mult cu semnul #). Scrieți primul număr în primul rând și a doua coloană. Scrieți al doilea număr în primul rând și a treia coloană.

         • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30. Scrieți 18 în primul rând și a doua coloană și scrieți 30 în primul rând și a treia coloană.

      2. Aflați divizorul comun ambelor numere. Notează-l pe primul rând și pe prima coloană. Este mai bine să cauți divizori primi, dar aceasta nu este o condiție prealabilă.

         • De exemplu, 18 și 30 sunt numere pare, deci divizorul lor comun este 2. Așa că scrieți 2 în primul rând și prima coloană.

      3. Împărțiți fiecare număr la primul divizor. Scrieți fiecare coeficient sub numărul corespunzător. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere.

         • De exemplu, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), deci scrie 9 sub 18.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), deci scrie 15 sub 30.

      4. Găsiți un divizor comun ambilor coeficienti. Dacă nu există un astfel de divizor, săriți peste următorii doi pași. În caz contrar, notați divizorul în al doilea rând și prima coloană.

         • De exemplu, 9 și 15 sunt divizibile cu 3, așa că scrieți 3 în al doilea rând și în prima coloană.

      5. Împărțiți fiecare coeficient la al doilea divizor. Scrieți fiecare rezultat al împărțirii sub câtul corespunzător.

         • De exemplu, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), deci scrie 3 sub 9.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), deci scrie 5 sub 15.

      6. Dacă este necesar, completați grila cu celule suplimentare. Repetați pașii de mai sus până când coeficientii au un divizor comun.

      7. Încercuiește numerele din prima coloană și ultimul rând al grilei. Apoi scrieți numerele evidențiate ca operație de înmulțire.

         • De exemplu, numerele 2 și 3 sunt în prima coloană, iar numerele 3 și 5 sunt în ultimul rând, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

      8. Găsiți rezultatul înmulțirii numerelor. Aceasta va calcula cel mai mic multiplu comun al celor două numere date.

         • De exemplu, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30 este 90.

      algoritmul lui Euclid

      1. Amintiți-vă terminologia asociată cu operația de divizare. Dividendul este numărul care este împărțit. Divizorul este numărul cu care se împarte. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere. Restul este numărul rămas când două numere sunt împărțite.

         • De exemplu, în expresia 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odihnă. 3:
           15 este divizibilul
           6 este divizorul
           2 este privat
           3 este restul.

Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun aceste numere. Indicați GCD(a, b).

Luați în considerare găsirea GCD folosind exemplul a două numere naturale 18 și 60:

1 Să descompunem numerele în factori primi:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Ștergeți din expansiunea primului număr toți factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr, obținem 2×3×3 .

3 Înmulțim factorii primi rămași după tăiere și obținem cel mai mare divizor comun al numerelor: mcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Rețineți că nu contează de la primul sau al doilea număr în care tăiem factorii, rezultatul va fi același:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 Și 432

Să descompunem numerele în factori primi:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Ștergeți din primul număr, ai cărui factori nu sunt în al doilea și al treilea număr, obținem:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Ca rezultat al GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Găsirea GCD cu algoritmul lui Euclid

A doua modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun folosind algoritmul lui Euclid. Algoritmul lui Euclid este cel mai mult mod eficient găsirea GCD, folosindu-l trebuie să găsiți în mod constant restul diviziunii numerelor și să aplicați formulă recurentă.

Formula recurentă pentru GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), unde a mod b este restul împărțirii a la b.

algoritmul lui Euclid

Exemplu Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 7920 Și 594

Să găsim GCD( 7920 , 594 ) folosind algoritmul Euclid, vom calcula restul diviziunii folosind un calculator.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Ca rezultat, obținem GCD( 7920 , 594 ) = 198

Cel mai mic multiplu comun

Pentru a găsi numitor comun la adunarea si scaderea fractiilor cu numitori diferiti trebuie să știe și să poată calcula cel mai mic multiplu comun(NOC).

Un multiplu al numărului „a” este un număr care este el însuși divizibil cu numărul „a” fără rest.

Numerele care sunt multipli ai lui 8 (adică aceste numere vor fi împărțite la 8 fără rest): acestea sunt numerele 16, 24, 32...

Multiplii lui 9: 18, 27, 36, 45…

Există infiniti multipli ai unui număr dat a, spre deosebire de divizorii aceluiași număr. Divizori - un număr finit.

Un multiplu comun a două numere naturale este un număr care este divizibil egal cu ambele numere..

Cel mai mic multiplu comun(LCM) a două sau mai multe numere naturale este cel mai mic număr natural care este el însuși divizibil cu fiecare dintre aceste numere.

Cum să găsiți NOC

LCM poate fi găsit și scris în două moduri.

Prima modalitate de a găsi LCM

Această metodă este de obicei folosită pentru numere mici.

1. Scriem multiplii pentru fiecare dintre numere într-o linie până când există un multiplu care este același pentru ambele numere.
2. Un multiplu al numărului „a” este notat cu litera majusculă „K”.

Exemplu. Găsiți LCM 6 și 8.

A doua modalitate de a găsi LCM

Această metodă este convenabilă de utilizat pentru a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere.

Numărul de factori identici în expansiunile numerelor poate fi diferit.

În extinderea numărului mai mic (numerele mai mici), subliniați factorii care nu au fost incluși în extinderea numărului mai mare (în exemplul nostru, este 2) și adăugați acești factori la extinderea numărului mai mare.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Înregistrați munca rezultată ca răspuns.
Răspuns: LCM (24, 60) = 120

De asemenea, puteți oficializa găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM) după cum urmează. Să găsim LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

După cum putem vedea din expansiunea numerelor, toți factorii lui 12 sunt incluși în expansiunea lui 24 (cel mai mare dintre numere), așa că adăugăm doar un 2 din expansiunea numărului 16 la LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Răspuns: LCM (12, 16, 24) = 48

Cazuri speciale de găsire a NOC

Dacă unul dintre numere este divizibil egal cu celelalte, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este egal cu acest număr.

De exemplu, LCM(60, 15) = 60
Deoarece numerele coprime nu au divizori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere.

Pe site-ul nostru, puteți folosi și un calculator special pentru a găsi online cel mai mic multiplu comun pentru a vă verifica calculele.

Dacă un număr natural este divizibil doar cu 1 și cu el însuși, atunci se numește prim.

Orice număr natural este întotdeauna divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numărul 2 este cel mai mic număr prim. Acesta este singurul număr prim par, restul numerelor prime sunt impare.

Există multe numere prime, iar primul dintre ele este numărul 2. Cu toate acestea, nu există un ultim număr prim. În secțiunea „Pentru studiu” puteți descărca tabelul numere prime până la 997.

Dar multe numere întregi sunt divizibile egal cu alte numere naturale.

• numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
• 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil egal (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori ai numărului.

Împărțitorul unui număr natural a este un astfel de număr natural care împarte numărul dat „a” fără rest.

Un număr natural care are mai mult de doi factori se numește număr compus.

Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12.

Divizorul comun a două numere date „a” și „b” este numărul cu care ambele numere date „a” și „b” sunt împărțite fără rest.

Cel mai mare divizor comun(GCD) a două numere date „a” și „b” este cel mai mare număr cu care ambele numere „a” și „b” sunt divizibile fără rest.

Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor „a” și „b” se scrie după cum urmează:

Exemplu: mcd (12; 36) = 12 .

Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu litera „D”.

Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Se numesc astfel de numere numere coprime.

Numerele coprime sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. GCD-ul lor este 1.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

Pentru a găsi mcd-ul a două sau mai multe numere naturale aveți nevoie de:

• descompune divizorii numerelor în factori primi;

Calculele sunt scrise convenabil folosind o bară verticală. În stânga liniei, notați mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Mai departe în coloana din stânga notăm valorile private.

Să explicăm imediat cu un exemplu. Să factorizăm numerele 28 și 64 în factori primi.

Subliniați aceiași factori primi în ambele numere.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Găsim produsul factorilor primi identici și notăm răspunsul;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Răspuns: GCD (28; 64) = 4

Puteți aranja locația GCD în două moduri: într-o coloană (cum s-a făcut mai sus) sau „în linie”.

Prima modalitate de a scrie GCD

Găsiți GCD 48 și 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

A doua modalitate de a scrie GCD

Acum să scriem soluția de căutare GCD într-o linie. Găsiți GCD 10 și 15.

Pe site-ul nostru de informații, puteți găsi, de asemenea, cel mai mare divizor comun online, folosind programul de ajutor pentru a vă verifica calculele.

Găsirea celui mai mic multiplu comun, metode, exemple de găsire a LCM.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - Least Common Multiple, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), Și Atentie speciala Să aruncăm o privire la exemple. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM de trei și Mai mult numere și, de asemenea, acordați atenție calculului LCM al numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă dintre LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura LCM cu GCD, care este exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere conform formulei scrise.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Ce este LCM(68, 34)?

Deoarece 68 este divizibil egal cu 34 , atunci mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b , atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a .

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Regula anunțată pentru găsirea LCM rezultă din egalitatea LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, gcd(a, b) este egal cu produsul toți factorii primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind descompunerea numerelor în factori primi).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210 , adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Deci LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b.

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din descompunerea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din descompunerea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din descompunerea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din descompunerea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește în calculul succesiv m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Aflați LCM a celor patru numere 140 , 9 , 54 și 250 .

Mai întâi găsim m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămâne de găsit m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, deci LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea lui în factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7) trebuie să adăugați factorii lipsă din descompunerea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . Pe lângă factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .

Prin urmare, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Uneori există sarcini în care trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor, printre care unul, mai multe sau toate numerele sunt negative. În aceste cazuri, toate numerele negative trebuie înlocuite cu numerele lor opuse, după care trebuie găsită LCM-ul numerelor pozitive. Acesta este modul de a găsi LCM a numerelor negative. De exemplu, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) și LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Putem face acest lucru deoarece mulțimea multiplilor lui a este aceeași cu mulțimea multiplilor lui -a (a și -a sunt numere opuse). Într-adevăr, fie b un multiplu al lui a , atunci b este divizibil cu a , iar conceptul de divizibilitate afirmă existența unui astfel de număr întreg q care b=a q . Dar va fi adevărată și egalitatea b=(−a)·(−q), ceea ce, în virtutea aceluiași concept de divizibilitate, înseamnă că b este divizibil cu −a , adică b este un multiplu al −a . Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă b este un multiplu al lui −a , atunci b este și un multiplu al lui a .

Aflați cel mai mic multiplu comun al numerelor negative −145 și −45.

Să înlocuim numerele negative −145 și −45 cu numerele lor opuse 145 și 45 . Avem LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . După ce am determinat mcd(145, 45)=5 (de exemplu, folosind algoritmul Euclid), calculăm LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Astfel, cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi negative −145 și −45 este 1.305 .

www.cleverstudents.ru

Continuăm să studiem diviziunea. În această lecție, ne vom uita la concepte precum GCDȘi NOC.

GCD este cel mai mare divizor comun.

NOC este cel mai mic multiplu comun.

Subiectul este destul de plictisitor, dar este necesar să-l înțelegeți. Fără a înțelege acest subiect, nu vei putea lucra eficient cu fracțiile, care reprezintă un adevărat obstacol în matematică.

Cel mai mare divizor comun

Definiție. Cel mai mare divizor comun al numerelor AȘi b AȘi bîmpărțit fără rest.

Pentru a înțelege bine această definiție, înlocuim variabilele AȘi b orice două numere, de exemplu, în loc de o variabilă Aînlocuiți numărul 12 și în loc de variabilă b numărul 9. Acum să încercăm să citim această definiție:

Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 Și 9 este cel mai mare număr cu care 12 Și 9 împărțit fără rest.

Din definiție reiese clar că vorbim despre un divizor comun al numerelor 12 și 9, iar acest divizor este cel mai mare dintre toți divizorii existenți. Acest cel mai mare divizor comun (mcd) trebuie găsit.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere, se folosesc trei metode. Prima metodă necesită destul de mult timp, dar vă permite să înțelegeți bine esența subiectului și să simțiți întregul său sens.

A doua și a treia metodă sunt destul de simple și fac posibilă găsirea rapidă a GCD. Vom lua în considerare toate cele trei metode. Și ce să aplici în practică - tu alegi.

Prima modalitate este de a găsi toți divizorii posibili ai două numere și de a alege cel mai mare dintre ei. Luați în considerare această metodă pentru exemplul următor: găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 9.

În primul rând, găsim toți divizorii posibili ai numărului 12. Pentru a face acest lucru, împărțim 12 în toți divizorii din intervalul de la 1 la 12. Dacă divizorul permite împărțirea a 12 fără rest, atunci îl vom evidenția cu albastru și vom face un explicația corespunzătoare între paranteze.

12: 1 = 12
(12 împărțit la 1 fără rest, deci 1 este un divizor al lui 12)

12: 2 = 6
(12 împărțit la 2 fără rest, deci 2 este un divizor al lui 12)

12: 3 = 4
(12 împărțit la 3 fără rest, deci 3 este un divizor al lui 12)

12: 4 = 3
(12 împărțit la 4 fără rest, deci 4 este un divizor al lui 12)

12:5 = 2 (2 au rămas)
(12 nu este împărțit la 5 fără rest, deci 5 nu este un divizor al lui 12)

12: 6 = 2
(12 împărțit la 6 fără rest, deci 6 este un divizor al lui 12)

12: 7 = 1 (5 rămase)
(12 nu este împărțit la 7 fără rest, deci 7 nu este un divizor al lui 12)

12: 8 = 1 (4 au rămas)
(12 nu este împărțit la 8 fără rest, deci 8 nu este un divizor al lui 12)

12:9 = 1 (3 rămase)
(12 nu este împărțit la 9 fără rest, deci 9 nu este un divizor al lui 12)

12: 10 = 1 (2 au rămas)
(12 nu este împărțit la 10 fără rest, deci 10 nu este un divizor al lui 12)

12:11 = 1 (1 rămas)
(12 nu este împărțit la 11 fără rest, deci 11 nu este un divizor al lui 12)

12: 12 = 1
(12 împărțit la 12 fără rest, deci 12 este un divizor al lui 12)

Acum să găsim divizorii numărului 9. Pentru a face acest lucru, verificați toți divizorii de la 1 la 9

9: 1 = 9
(9 împărțit la 1 fără rest, deci 1 este un divizor al lui 9)

9: 2 = 4 (1 rămas)
(9 nu se împarte la 2 fără rest, deci 2 nu este un divizor al lui 9)

9: 3 = 3
(9 împărțit la 3 fără rest, deci 3 este un divizor al lui 9)

9: 4 = 2 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 4 fără rest, deci 4 nu este un divizor al lui 9)

9:5 = 1 (4 rămase)
(9 nu este împărțit la 5 fără rest, deci 5 nu este un divizor al lui 9)

9: 6 = 1 (3 au rămas)
(9 nu a împărțit la 6 fără rest, deci 6 nu este un divizor al lui 9)

9:7 = 1 (2 rămase)
(9 nu este împărțit la 7 fără rest, deci 7 nu este un divizor al lui 9)

9:8 = 1 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 8 fără rest, deci 8 nu este un divizor al lui 9)

9: 9 = 1
(9 împărțit la 9 fără rest, deci 9 este un divizor al lui 9)

Acum scrieți divizorii ambelor numere. Numerele evidențiate cu albastru sunt divizorii. Să le scriem:

După ce ați scris divizorii, puteți determina imediat care dintre ele este cel mai mare și cel mai comun.

Prin definiție, cel mai mare divizor comun al lui 12 și 9 este numărul cu care 12 și 9 sunt divizibili egal. Cel mai mare și comun divizor al numerelor 12 și 9 este numărul 3

Atât numărul 12, cât și numărul 9 sunt divizibil cu 3 fără rest:

Deci mcd (12 și 9) = 3

A doua modalitate de a găsi GCD

Acum luați în considerare a doua modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun. Esența acestei metode este de a descompune ambele numere în factori primi și de a le înmulți pe cei comuni.

Exemplul 1. Găsiți GCD al numerelor 24 și 18

Mai întâi, să factorăm ambele numere în factori primi:

Acum le înmulțim factorii comuni. Pentru a nu se confunda, pot fi subliniați factorii comuni.

Ne uităm la descompunerea numărului 24. Primul său factor este 2. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că există și el. Subliniem ambele două:

Din nou ne uităm la descompunerea numărului 24. Al doilea factor al său este, de asemenea, 2. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că nu este acolo pentru a doua oară. Atunci nu scoatem în evidență nimic.

Următoarele două din extinderea numărului 24 lipsesc și din extinderea numărului 18.

Trecem la ultimul factor în descompunerea numărului 24. Acesta este factorul 3. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că există și el. Subliniem ambele trei:

Deci, factorii comuni ai numerelor 24 și 18 sunt factorii 2 și 3. Pentru a obține GCD, acești factori trebuie înmulțiți:

Deci mcd (24 și 18) = 6

A treia modalitate de a găsi GCD

Acum luați în considerare a treia modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun. Esența acestei metode constă în faptul că numerele care trebuie căutate pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi. Apoi, din descompunerea primului număr, factorii care nu sunt incluși în descompunerea celui de-al doilea număr sunt șterși. Numerele rămase în prima expansiune sunt înmulțite și obțin GCD.

De exemplu, să găsim GCD pentru numerele 28 și 16 în acest fel. În primul rând, descompunem aceste numere în factori primi:

Avem două extinderi: și

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include șapte. O vom șterge din prima extensie:

Acum înmulțim factorii rămași și obținem GCD:

Numărul 4 este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 16. Ambele numere sunt divizibile cu 4 fără rest:

Exemplul 2 Găsiți MCD al numerelor 100 și 40

Scoaterea în factor a numărului 100

Scoaterea în factor a numărului 40

Avem două extinderi:

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include unul cinci (există doar unul cinci). O ștergem din prima descompunere

Înmulțiți numerele rămase:

Am primit răspunsul 20. Deci numărul 20 este cel mai mare divizor comun al numerelor 100 și 40. Aceste două numere sunt divizibile cu 20 fără rest:

GCD (100 și 40) = 20.

Exemplul 3 Aflați mcd-ul numerelor 72 și 128

Scoaterea în factor a numărului 72

Scoaterea în factor a numărului 128

2×2×2×2×2×2×2

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include două triplete (nu există deloc). Le ștergem din prima extensie:

Am primit răspunsul 8. Deci numărul 8 este cel mai mare divizor comun al numerelor 72 și 128. Aceste două numere sunt divizibile cu 8 fără rest:

GCD (72 și 128) = 8

Găsirea GCD pentru numere multiple

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere și nu doar pentru două. Pentru aceasta, numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere.

De exemplu, să găsim GCD-ul pentru numerele 18, 24 și 36

Factorizarea numărului 18

Factorizarea numărului 24

Factorizarea numărului 36

Avem trei extinderi:

Acum selectăm și subliniem factorii comuni din aceste numere. Factorii comuni trebuie incluși în toate cele trei numere:

Vedem că factorii comuni pentru numerele 18, 24 și 36 sunt factorii 2 și 3. Înmulțind acești factori, obținem MCD pe care îl căutăm:

Am primit răspunsul 6. Deci numărul 6 este cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 24 și 36. Aceste trei numere sunt divizibile cu 6 fără rest:

GCD (18, 24 și 36) = 6

Exemplul 2 Găsiți mcd pentru numerele 12, 24, 36 și 42

Să factorizăm fiecare număr. Apoi găsim produsul factorilor comuni ai acestor numere.

Factorizarea numărului 12

Factorizarea numărului 42

Avem patru extinderi:

Acum selectăm și subliniem factorii comuni din aceste numere. Factorii comuni trebuie incluși în toate cele patru numere:

Vedem că factorii comuni pentru numerele 12, 24, 36 și 42 sunt factorii 2 și 3. Înmulțind acești factori, obținem MCD pe care îl căutăm:

Am primit răspunsul 6. Deci numărul 6 este cel mai mare divizor comun al numerelor 12, 24, 36 și 42. Aceste numere sunt divizibile cu 6 fără rest:

mcd(12, 24, 36 și 42) = 6

Din lecția anterioară, știm că dacă un număr este împărțit la altul fără rest, se numește multiplu al acestui număr.

Se dovedește că un multiplu poate fi comun mai multor numere. Și acum ne va interesa un multiplu de două numere, în timp ce ar trebui să fie cât mai mic posibil.

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor AȘi b- AȘi b A si numarul b.

Definiția conține două variabile AȘi b. Să înlocuim oricare două numere pentru aceste variabile. De exemplu, în loc de o variabilă Aînlocuiți numărul 9 și în loc de variabilă b să înlocuim numărul 12. Acum să încercăm să citim definiția:

Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 9 Și 12 - este cel mai mic număr care este un multiplu al 9 Și 12 . Cu alte cuvinte, este un număr atât de mic care este divizibil fără rest cu numărul 9 iar pe număr 12 .

Este clar din definiție că LCM este cel mai mic număr care este divizibil fără rest cu 9 și 12. Acest LCM este necesar să fie găsit.

Există două moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM). Prima modalitate este că puteți nota primii multipli ai două numere și apoi alegeți dintre acești multipli un astfel de număr care va fi comun ambelor numere și mici. Să aplicăm această metodă.

În primul rând, să găsim primii multipli pentru numărul 9. Pentru a găsi multiplii pentru 9, trebuie să înmulțiți pe rând acesti nouă cu numerele de la 1 la 9. Răspunsurile pe care le obțineți vor fi multipli ai numărului 9. Deci , să începem. Multiplii vor fi evidențiați cu roșu:

Acum găsim multipli pentru numărul 12. Pentru a face acest lucru, înmulțim pe rând 12 cu toate numerele de la 1 la 12.

Pentru a înțelege cum să calculați LCM, ar trebui mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.

Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, 15, 20, 25 și așa mai departe pot fi considerați multipli ai lui 5.

Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.

Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără rest.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil egal cu toate aceste numere.

Pentru a găsi NOC, puteți utiliza mai multe metode.

Pentru numerele mici, este convenabil să scrieți într-o linie toți multiplii acestor numere până când se găsește unul comun printre ei. Multiplii denotă în înregistrare majusculă LA.

De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Deci, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această intrare se efectuează după cum urmează:

LCM(4, 6) = 24

Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă modalitate de a calcula LCM.

Pentru a finaliza sarcina, este necesar să descompuneți numerele propuse în factori primi.

Mai întâi trebuie să scrieți extinderea celui mai mare dintre numerele dintr-o linie, iar sub ea - restul.

În extinderea fiecărui număr, poate exista un număr diferit de factori.

De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.

În extinderea numărului mai mic, trebuie subliniați factorii care sunt absenți în extinderea primului. un numar mareși apoi adăugați-le la el. În exemplul prezentat, un deuce lipsește.

Acum putem calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Deci, produsul factorilor primi Mai mult iar factorii celui de-al doilea număr, care nu sunt incluși în extinderea celui mai mare, vor fi cel mai mic multiplu comun.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.

De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Astfel, doar doi doi din descompunerea lui șaisprezece nu au fost incluse în factorizarea unui număr mai mare (unul este în descompunerea lui douăzeci și patru).

Astfel, ele trebuie adăugate la descompunerea unui număr mai mare.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.

De exemplu, NOC de doisprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.

Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.

De exemplu, LCM(10, 11) = 110.

Cum să găsiți LCM (cel mai mic multiplu comun)

Multiplu comun a două numere întregi este întregul care este divizibil egal cu ambele numere date fără rest.

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi este cel mai mic dintre toate numerele întregi care este divizibil uniform și fără rest cu ambele numere date.

Metoda 1. Puteți găsi LCM, pe rând, pentru fiecare dintre numerele date, notând în ordine crescătoare toate numerele care se obțin prin înmulțirea lor cu 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Exemplu pentru numerele 6 și 9.
Înmulțim numărul 6, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 6, 12, 18 , 24, 30
Înmulțim numărul 9, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 9, 18 , 27, 36, 45
După cum puteți vedea, LCM pentru numerele 6 și 9 va fi 18.

Această metodă este convenabilă atunci când ambele numere sunt mici și este ușor să le înmulțiți cu o succesiune de numere întregi. Cu toate acestea, există momente când trebuie să găsiți LCM pentru două cifre sau numere din trei cifre, și, de asemenea, atunci când există trei sau chiar mai multe numere inițiale.

Metoda 2. Puteți găsi LCM prin descompunerea numerelor originale în factori primi.
După descompunere, este necesar să tăiați aceleași numere din seria rezultată de factori primi. Numerele rămase ale primului număr vor fi factorul pentru al doilea, iar numerele rămase ale celui de-al doilea număr vor fi factorul pentru primul.

Exemplu pentru numărul 75 și 60.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori primi:
75 = 3 * 5 * 5 și
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
După cum puteți vedea, factorii 3 și 5 apar în ambele rânduri. Din punct de vedere psihic îi „tașăm”.
Să notăm factorii rămași incluși în extinderea fiecăruia dintre aceste numere. La descompunerea numărului 75, am lăsat numărul 5, iar la descompunerea numărului 60, am lăsat 2 * 2
Deci, pentru a determina LCM pentru numerele 75 și 60, trebuie să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 75 (acesta este 5) cu 60 și numerele rămase din extinderea numărului 60 (acesta este 2 * 2). ) înmulțim cu 75. Adică, pentru ușurință de înțelegere, spunem că înmulțim „în cruce”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Așa am găsit LCM pentru numerele 60 și 75. Acesta este numărul 300.

Exemplu. Determinați LCM pentru numerele 12, 16, 24
ÎN acest caz, acțiunile noastre vor fi ceva mai complicate. Dar, mai întâi, ca întotdeauna, descompunem toate numerele în factori primi
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pentru a determina corect LCM, selectăm cel mai mic dintre toate numerele (acesta este numărul 12) și parcurgem succesiv factorii săi, tăindu-i dacă cel puțin unul dintre celelalte rânduri de numere are același factor care nu a fost încă încrucișat. afară.

Pasul 1 . Vedem că 2 * 2 apare în toate seriile de numere. Le tăiem.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Pasul 2. În factorii primi ai numărului 12 rămâne doar numărul 3. Dar este prezent în factorii primi ai numărului 24. Tăiem numărul 3 de pe ambele rânduri, în timp ce nu se așteaptă nicio acțiune pentru numărul 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

După cum puteți vedea, la descompunerea numărului 12, am „barat” toate numerele. Deci constatarea NOC este finalizată. Rămâne doar să-i calculăm valoarea.
Pentru numărul 12, luăm factorii rămași din numărul 16 (cel mai apropiat în ordine crescătoare)
12 * 2 * 2 = 48
Acesta este NOC

După cum puteți vedea, în acest caz, găsirea LCM a fost oarecum mai dificilă, dar atunci când trebuie să-l găsiți pentru trei sau mai multe numere, această metodă vă permite să o faceți mai rapid. Cu toate acestea, ambele moduri de a găsi LCM sunt corecte.

Tema „Numere multiple” este studiată în clasa a 5-a școală gimnazială. Scopul său este de a îmbunătăți abilitățile scrise și orale ale calculelor matematice. În această lecție, sunt introduse concepte noi - „numere multiple” și „divizori”, se elaborează tehnica de a găsi divizori și multipli ai unui număr natural, se elaborează capacitatea de a găsi LCM în diferite moduri.

Acest subiect este foarte important. Cunoștințele despre aceasta pot fi aplicate atunci când rezolvați exemple cu fracții. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numitorul comun calculând cel mai mic multiplu comun (LCM).

Un multiplu al lui A este un întreg care este divizibil cu A fără rest.

Fiecare număr natural are un număr infinit de multipli ai acestuia. Este considerat a fi cel mai puțin. Un multiplu nu poate fi mai mic decât numărul în sine.

Este necesar să demonstrați că numărul 125 este un multiplu al numărului 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea. Dacă 125 este divizibil cu 5 fără rest, atunci răspunsul este da.

Această metodă este aplicabilă pentru numere mici.

La calcularea LCM, există cazuri speciale.

1. Dacă trebuie să găsiți un multiplu comun pentru 2 numere (de exemplu, 80 și 20), unde unul dintre ele (80) este divizibil fără rest cu celălalt (20), atunci acest număr (80) este cel mai mic multiplu dintre aceste două numere.

LCM (80, 20) = 80.

2. Dacă doi nu au un divizor comun, atunci putem spune că LCM lor este produsul acestor două numere.

LCM (6, 7) = 42.

Luați în considerare ultimul exemplu. 6 și 7 în raport cu 42 sunt divizori. Ei împart un multiplu fără rest.

În acest exemplu, 6 și 7 sunt divizori de perechi. Produsul lor este egal cu cel mai multiplu număr (42).

Un număr se numește prim dacă este divizibil numai cu el însuși sau cu 1 (3:1=3; 3:3=1). Restul se numesc compozit.

Într-un alt exemplu, trebuie să determinați dacă 9 este un divizor față de 42.

42:9=4 (restul 6)

Răspuns: 9 nu este un divizor al lui 42 deoarece răspunsul are un rest.

Un divizor diferă de un multiplu prin aceea că divizorul este numărul cu care sunt împărțite numerele naturale, iar multiplul este el însuși divizibil cu acel număr.

Cel mai mare divizor comun al numerelor AȘi b, înmulțit cu cel mai mic multiplu al lor, va da produsul numerelor în sine AȘi b.

Și anume: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Multipli comuni pentru mai mult numere complexe găsite în felul următor.

De exemplu, găsiți LCM pentru 168, 180, 3024.

Descompunem aceste numere în factori primi, le scriem ca produs de puteri:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.