Sprejemljivo območje: teorija in praksa
Šamšurin A.V. 1
Gagarina N.A. 1
1 občinska proračunska izobraževalna ustanova "Srednja splošna šolašt. 31"
Besedilo dela je postavljeno brez slik in formul.
Celotna različica delo je dostopno v zavihku "Datoteke dela" v PDF obliki
Uvod
Začel sem z ogledom številnih matematičnih tem na internetu in izbral to temo, ker sem prepričan, da pomembnost iskanja DPV igra veliko vlogo pri reševanju enačb in problemov. V njegovem raziskovalno delo Obravnavala sem enačbe, v katerih je dovolj le najti ODZ, nevarnost, neobveznost, omejenost ODZ, nekatere prepovedi v matematiki. Najpomembneje mi je, da dobro opravim izpit iz matematike, za to pa je treba vedeti: kdaj, zakaj in kako najti ODZ. To me je spodbudilo k študiju teme, katerega namen je bil pokazati, da bo obvladovanje te teme študentom pomagalo pri pravilnem reševanju nalog za izpit. Za dosego tega cilja sem raziskoval dodatno literaturo in druge vire. Postalo mi je zanimivo, a učenci naše šole vedo: kdaj, zakaj in kako najti ODZ. Zato sem opravil test na temo "Kdaj, zakaj in kako najti ODZ?" (Podanih je bilo 10 enačb). Število študentov - 28. Upravljano - 14%, nevarnost ODZ (upoštevano) - 68%, neobvezno (upoštevano) - 36%.
Tarča: identifikacija: kdaj, zakaj in kako najti ODZ.
Težava: enačbe in neenačbe, v katerih morate poiskati ODZ, niso našle mesta v tečaju sistematičnega podajanja algebre, zato se verjetno z vrstniki pri reševanju takšnih primerov pogosto zmotimo in reševanju posvetimo veliko časa , pri tem pa pozabil na ODZ.
Naloge:
- Pokažite pomen ODZ pri reševanju enačb in neenačb.
- Opravite praktično delo na to temo in povzamete njegove rezultate.
Mislim, da mi bodo pridobljena znanja in veščine pomagale pri odločitvi, ali naj iščem ODZ ali ne? Nehala bom delati napake tako, da se naučim pravilno izvajati ODZ. Ali mi bo uspelo, bo pokazal čas oziroma izpit.
Poglavje 1
Kaj je ODZ?
ODZ je območje tolerance, torej so to vse vrednosti spremenljivke, za katere je izraz smiseln.
Pomembno. Za iskanje ODZ primera ne rešujemo! Rešujemo dele primera za iskanje prepovedanih mest.
Nekateri tabuji v matematiki. Takih prepovedanih dejanj je v matematiki zelo malo. A ne spomnijo se jih vsi ...
- Izrazi pod znakom sode množine ali morajo biti > 0 ali enaki nič, ODZ: f (x)
- Izraz v imenovalcu ulomka ne more biti enak nič, ODZ: f (x)
- |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0
Kako napisati ODZ? Zelo preprosto. Zraven primera vedno napišite ODZ. Pod temi znanimi črkami, če pogledamo izvirno enačbo, zapišemo vrednosti x, ki so dovoljene za izvirni primer. Preoblikovanje primera lahko spremeni DPV in s tem odgovor.
Algoritem za iskanje ODZ:
- Določite vrsto prepovedi.
- Poiščite vrednosti, za katere izraz ni smiseln.
- Izključite te vrednosti iz niza realnih števil R.
Reši enačbo: =
|
Brez ODZ |
Z ODZ |
|
Odgovor: x=5 |
ODZ: => => Odgovor: brez korenin |
Razpon veljavnih vrednosti nas ščiti pred tako resnimi napakami. Iskreno povedano, prav zaradi ODZ se mnogi »bobnarji« spremenijo v »trojke«. Glede na to, da je iskanje in obračun ODZ nepomemben korak v rešitvi, ga preskočijo, nato pa se čudijo: "zakaj je učiteljica postavila 2?". Ja, zato sem dal, ker je odgovor napačen! To niso učiteljeve "zajedljivosti", ampak zelo konkretna napaka, enako kot napačen račun ali izgubljen znak.
Dodatne enačbe:
a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2
2. poglavje
ODZ. Za kaj? Kdaj? kako
Sprejemljivo območje - obstaja rešitev
- ODZ je prazna množica, kar pomeni, da izvirni primer nima rešitev
- = ODZ:
Odgovor: brez korenin.
- = ODZ:
Odgovor: brez korenin.
0, enačba nima korenin
Odgovor: brez korenin.
Dodatni primeri:
a) + =5; b) + = 23x-18; c) =0.
- V ODZ je eno ali več števil, s preprosto zamenjavo pa hitro ugotovimo korene.
ODZ: x=2, x=3
Preverite: x=2, + , 0<1, верно
Preverite: x=3, + , 0<1, верно.
Odgovor: x=2, x=3.
- > ODZ: x=1, x=0
Preverite: x=0, > , 0>0, napačno
Preverite: x=1, > , 1>0, drži
Odgovor: x=1.
- + \u003d x ODZ: x \u003d 3
Preverite: +=3, 0=3, narobe.
Odgovor: brez korenin.
Dodatni primeri:
a) = ; b) + =0; c) + \u003d x -1
Nevarnost ODZ
Upoštevajte, da lahko enake transformacije:
- ne vplivajo na ODZ;
- vodi do razširjenega ODZ;
- vodijo do zožitve ODZ.
Znano je tudi, da lahko zaradi nekaterih preoblikovanj, ki spremenijo prvotni ODZ, pride do nepravilnih odločitev.
Vsak primer razložimo s primerom.
1) Razmislite o izrazu x + 4x + 7x, ODZ spremenljivke x za to je množica R. Predstavimo podobne izraze. Posledično bo dobil obliko x 2 +11x. Očitno je tudi ODZ spremenljivke x tega izraza množica R. Izvedena transformacija torej ni spremenila ODZ.
2) Vzemite enačbo x+ - =0. V tem primeru je ODZ: x≠0. Ta izraz vsebuje tudi podobne člene, po redukciji katerih pridemo do izraza x, za katerega je ODZ R. Kaj vidimo: kot rezultat preoblikovanja se je ODZ razširil (v ODZ je dodana ničla spremenljivka x za prvotni izraz).
3) Vzemimo izraz. ODV spremenljivke x je določen z neenakostjo (x−5) (x−2)≥0, ODV: (−∞, 2]∪∪/ Način dostopa: Materiali spletnih mest www.fipi.ru, www. npr
Priloga 1
Praktično delo "ODZ: kdaj, zakaj in kako?"
|
Možnost 1 |
Možnost 2 |
|
│х+14│= 2 - 2х |
|
|
│3-х│=1 - 3х |
Dodatek 2
Odgovori na naloge praktično delo"ODZ: kdaj, zakaj in kako?"
|
Možnost 1 |
Možnost 2 |
|
Odgovor: brez korenin |
Odgovor: x je katero koli število, razen x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Odgovor: brez korenin |
ODZ: x=-3, x=5. Odgovor: -3;5. |
|
y= -zmanjša, y= -se poveča Torej ima enačba največ en koren. Odgovor: x=6. |
ODZ: → →х≥5 Odgovor: x≥5, x≤-6. |
|
│х+14│=2-2х ODZ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 ne sodi v ODZ |
Zmanjša - poveča Enačba ima največ en koren. Odgovor: brez korenin. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Odgovor: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Odgovor: brez korenin. |
|
x=7, x=1. Odgovor: ni rešitve |
Naraščanje - zmanjševanje Odgovor: x=2. |
|
0 ODZ: x≠15 Odgovor: x je poljubno število, razen x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, х≤ x=-1, x=1 ne sodi v ODZ. Odgovor: x=-1. |
Kako?
Primeri rešitev
Če nekje nekaj manjka, potem nekje nekaj je
Še naprej preučujemo razdelek "Funkcije in grafika", naslednja postaja našega potovanja pa je. Aktivna razprava o tem konceptu se je začela v članku o množicah in nadaljevala v prvi lekciji na funkcijski grafi, kjer sem si ogledal elementarne funkcije in še posebej njihov obseg. Zato priporočam, da lutke začnejo z osnovami teme, saj se ne bom še enkrat osredotočal na nekatere osnovne točke.
Predpostavlja se, da bralec pozna domeno naslednjih funkcij: linearna, kvadratna, kubična funkcija, polinomi, eksponent, sinus, kosinus. Opredeljeni so na (množica vseh realnih števil). Za tangente, arkusine pa naj bo, ti oprostim =) - redkejših grafov se ne spomni takoj.
Področje definicije se zdi preprosta stvar in postavlja se naravno vprašanje, o čem bo članek? V tej lekciji bom obravnaval običajne naloge za iskanje domene funkcije. Poleg tega bomo ponovili neenakosti z eno spremenljivko, spretnosti za reševanje katerih bodo potrebne pri drugih nalogah višja matematika. Mimogrede, gradivo je vse šolsko, zato bo koristno ne le študentom, ampak tudi študentom. Informacije se seveda ne pretvarjajo, da so enciklopedične, po drugi strani pa tukaj niso namišljeni "mrtvi" primeri, temveč pečeni kostanji, ki so vzeti iz resničnih praktičnih del.
Začnimo z ekspresnim presekom v temo. Na kratko o glavnem: govorimo o funkciji ene spremenljivke. Njena domena opredelitve je niz vrednosti "x"., za katerega obstajajo pomen "igre". Razmislite o hipotetičnem primeru: 
Domena te funkcije je unija intervalov:
(za tiste, ki ste pozabili: - ikona sindikata). Z drugimi besedami, če vzamemo katero koli vrednost "x" iz intervala , ali iz , ali iz , potem bo za vsak tak "x" obstajala vrednost "y".
Grobo rečeno, tam, kjer je domena definicije, je graf funkcije. Toda polovični interval in točka "ce" nista vključena v območje definicije in tam ni grafa.
Kako najti obseg funkcije? Mnogi se spomnijo otroške rime: "kamen, škarje, papir" in v ta primer lahko ga varno preoblikujemo: "koren, ulomek in logaritem." Torej, če ste življenjska pot obstaja ulomek, koren ali logaritem, potem morate biti takoj zelo, zelo pozorni! Tangens, kotangens, arksinus, arkosinus so veliko manj pogosti in o njih bomo tudi govorili. Toda najprej skice iz življenja mravelj:
Obseg funkcije, ki vsebuje ulomek
Recimo, da je dana funkcija, ki vsebuje nek ulomek. Kot veste, ne morete deliti z nič: , torej tiste x vrednosti, ki spremenijo imenovalec na nič, niso vključene v obseg te funkcije.
Ne bom se zadrževal na najpreprostejših funkcijah, kot je 
in tako naprej, ker lahko vsakdo vidi točke, ki niso vključene v njegovo domeno definicije. Razmislite o bolj smiselnih ulomkih:
Primer 1
Poiščite obseg funkcije
rešitev: v števcu ni nič posebnega, imenovalec pa mora biti različen od nič. Izenačimo ga na nič in poskusimo najti "slabe" točke:
Nastala enačba ima dva korena: 
. Podatki o vrednosti ni vključeno v obseg funkcije. Dejansko nadomestite ali v funkcijo in videli boste, da gre imenovalec na nič.
Odgovori: domena: 
Vnos se glasi takole: »domena definicije so vsa realna števila z izjemo množice, ki jo sestavljajo vrednosti 
". Opozarjam vas, da ikona poševnice nazaj v matematiki označuje logično odštevanje, zavit oklepaj pa nabor. Odgovor lahko enakovredno zapišemo kot zvezo treh intervalov:
Komur je všeč.
Na točkah 
funkcija vzdrži neskončne pavze, in ravne črte podane z enačbami 
so navpične asimptote za graf te funkcije. Vendar je to nekoliko drugačna tema in v nadaljevanju se ne bom posebej osredotočal na to.
Primer 2
Poiščite obseg funkcije
Naloga je v bistvu ustna in mnogi izmed vas boste skoraj takoj našli področje definicije. Odgovor na koncu lekcije.
Ali bo ulomek vedno "slab"? št. Na primer, funkcija je definirana na celotni številski osi. Ne glede na vrednost "x" vzamemo, imenovalec se ne bo obrnil na nič, poleg tega bo vedno pozitiven:. Tako je obseg te funkcije: .
Vse funkcije kot 
definiran in neprekinjeno na .
Nekoliko bolj zapletena je situacija, ko je imenovalec zaseden kvadratni trinom:
Primer 3
Poiščite obseg funkcije 
rešitev: Poskusimo najti točke, kjer gre imenovalec na nič. Za to se bomo odločili kvadratna enačba:
Diskriminant je negativen, kar pomeni prave korenine ne, naša funkcija pa je definirana na celi številski premici.
Odgovori: domena:
Primer 4
Poiščite obseg funkcije 
To je primer za neodvisna odločitev. Rešitev in odgovor na koncu lekcije. Svetujem vam, da ne boste leni pri preprostih problemih, ker se bodo nesporazumi kopičili za nadaljnje primere.
Obseg funkcije s korenom
Funkcija z kvadratni koren je definiran samo za tiste vrednosti "x", ko radikalni izraz je nenegativen: . Če se koren nahaja v imenovalcu, potem je pogoj očitno zaostren: . Podobni izračuni veljajo za vsak koren pozitivne sode stopnje: 
, pa je koren že 4. stopnja v funkcijske študije ne spomnim se.
Primer 5
Poiščite obseg funkcije 
rešitev: radikalni izraz mora biti nenegativen:
Preden nadaljujem z reševanjem, naj vas spomnim na osnovna pravila za delo z neenakostmi, znana že iz šole.
rišem Posebna pozornost! Zdaj razmišljamo o neenakosti z eno spremenljivko- to je za nas samo ena dimenzija vzdolž osi. Prosimo, ne zamenjujte z neenakosti dveh spremenljivk, kjer je geometrijsko vključena celotna koordinatna ravnina. Vendar pa obstajajo tudi prijetna naključja! Torej so za neenakost naslednje transformacije enakovredne:
1) Pogoje je mogoče prenašati iz dela v del s spreminjanjem njihovih (pogojev) znaki.
2) Obe strani neenakosti lahko pomnožimo s pozitivnim številom.
3) Če oba dela neenakosti pomnožimo z negativnoštevilko, morate spremeniti znak same neenakosti. Na primer, če je bilo "več", potem bo postalo "manj"; če je bil "manjši ali enak", potem bo postal "večji ali enak".
V neenačbi premaknemo »trojko« na desno stran s spremembo predznaka (pravilo št. 1):
Pomnožite obe strani neenakosti z –1 (pravilo št. 3):
Pomnožite obe strani neenakosti s (pravilo številka 2):
Odgovori: domena: 
Odgovor lahko zapišemo tudi z ustreznim izrazom: "funkcija je definirana pri".
Geometrično je področje definicije prikazano s senčenjem ustreznih intervalov na osi x. V tem primeru:
Še enkrat se spomnim geometrijskega pomena domene definicije - grafa funkcije 
obstaja le v zasenčenem območju in je odsoten pri .
V večini primerov je primerna povsem analitična ugotovitev domene definicije, ko pa je funkcija zelo zmedena, je treba narisati os in narediti opombe.
Primer 6
Poiščite obseg funkcije
To je primer "naredi sam".
Ko je pod kvadratnim korenom kvadratni binom ali trinom, postane situacija nekoliko bolj zapletena, zdaj pa bomo podrobno analizirali tehniko rešitve:
Primer 7
Poiščite obseg funkcije 
rešitev: radikalni izraz mora biti strogo pozitiven, to pomeni, da moramo rešiti neenakost . V prvem koraku poskušamo faktorizirati kvadratni trinom: 
Diskriminanta je pozitivna, iščemo korenine: 
Torej parabola 
seka os x v dveh točkah, kar pomeni, da se del parabole nahaja pod osjo (neenakost), del parabole pa nad osjo (neenakost, ki jo potrebujemo).
Ker je koeficient , potem veje parabole gledajo navzgor. Iz navedenega sledi, da je neenakost izpolnjena na intervalih (veje parabole segajo v neskončnost), vrh parabole pa se nahaja na intervalu pod abscisno osjo, kar ustreza neenakosti:
! Opomba:
če razlage ne razumete popolnoma, narišite drugo os in celotno parabolo! Priporočljivo je, da se vrnete k članku in priročniku Vroče šolske matematične formule.
Upoštevajte, da so same točke preluknjane (niso vključene v rešitev), ker je naša neenakost stroga.
Odgovori: domena:
Na splošno se številne neenakosti (vključno z obravnavano) rešuje z univerzalno intervalna metoda, spet znan iz šolskega kurikuluma. Toda v primerih kvadratnih dveh in treh členov je po mojem mnenju veliko bolj priročno in hitreje analizirati lokacijo parabole glede na os. In glavno metodo - metodo intervalov, bomo podrobno analizirali v članku. Nič funkcij. Intervali konstantnosti.
Primer 8
Poiščite obseg funkcije
To je primer "naredi sam". Vzorec je podrobno komentiral logiko sklepanja + drugi način reševanja in še ena pomembna transformacija neenačbe, ne da bi vedel, kateri bo učenec šepal na eno nogo ..., ... hmm ... na račun stopalo, morda se je navdušil, raje - na en prst. Palec.
Ali lahko funkcijo s kvadratnim korenom definiramo na celotni številski premici? Vsekakor. Vsi znani obrazi: . Ali podobna vsota z eksponentom: . Dejansko za vse vrednosti "x" in "ka": , torej še toliko bolj.
Tukaj je manj očiten primer: 
. Tu je diskriminanta negativna (parabola ne prečka osi x), medtem ko so veje parabole usmerjene navzgor, torej domena definicije: .
Vprašanje je nasprotno: ali je lahko obseg funkcije prazno? Da, in primitiven primer se takoj predlaga 
, kjer je radikalni izraz negativen za katero koli vrednost "x", domena definicije pa je: (ikona prazne množice). Takšna funkcija sploh ni definirana (seveda je tudi graf navidezen).
z nenavadnimi koreninami 
itd. stvari so veliko boljše - tukaj korenski izraz je lahko tudi negativen. Na primer, funkcija je definirana na celotni številski premici. Vendar ima funkcija eno točko, ki še vedno ni vključena v domeno definicije, saj je imenovalec obrnjen na nič. Iz istega razloga za funkcijo 
točke so izključene.
Funkcijska domena z logaritmom
Tretja pogosta funkcija je logaritem. Kot primer bom narisal naravni logaritem, ki se pojavi v približno 99 primerih od 100. Če neka funkcija vsebuje logaritem, mora njena definicijska domena vključevati samo tiste vrednosti x, ki izpolnjujejo neenakost. Če je logaritem v imenovalcu: potem dodatno je postavljen pogoj (ker).
Primer 9
Poiščite obseg funkcije
rešitev: v skladu z zgoraj navedenim sestavimo in rešimo sistem:
Grafična rešitev za začetnike:
Odgovori: domena:
Ustavil se bom še pri eni tehnični točki - navsezadnje nimam lestvice in nobenih delitev vzdolž osi. Postavlja se vprašanje: kako narediti takšne risbe v zvezku na karirastem papirju? Ali je mogoče izmeriti razdaljo med točkami v celicah strogo glede na merilo? Seveda je bolj kanoničen in strožji v merilu, vendar je tudi shematska risba, ki v bistvu odraža situacijo, povsem sprejemljiva.
Primer 10
Poiščite obseg funkcije 
Za rešitev težave lahko uporabite metodo iz prejšnjega odstavka - analizirati, kako se parabola nahaja glede na os x. Odgovor na koncu lekcije.
Kot lahko vidite, je na področju logaritmov vse zelo podobno situaciji s kvadratnim korenom: funkcija 
(kvadratni trinom iz primera št. 7) je definiran na intervalih , in funkcija 
(kvadratni binom iz primera št. 6) na intervalu . Nerodno je celo reči, da so tipske funkcije definirane na celotni številski premici.
Koristne informacije
: tipska funkcija je zanimiva, definirana je na celotni številski premici razen točke. Glede na lastnost logaritma lahko "dva" izločimo s faktorjem izven logaritma, a da se funkcija ne spremeni, mora biti pod znakom modula "x": 
. Tukaj je še ena za vas praktično uporabo» modul =). To je tisto, kar morate storiti v večini primerov, ko rušite celo stopnje, na primer: 
. Če je osnova diplome očitno pozitivna, na primer, potem znak modula ni potreben in je dovolj, da se sprijaznimo z oklepajem: .
Da se ne ponavljamo, zapletimo nalogo:
Primer 11
Poiščite obseg funkcije 
rešitev: v tej funkciji imamo tako koren kot logaritem.
Korenski izraz mora biti nenegativen: , izraz pod znakom logaritma pa mora biti strogo pozitiven: . Tako je potrebno rešiti sistem:
Mnogi od vas zelo dobro veste ali pa intuitivno ugibate, da mora rešitev sistema zadostiti vsakemu stanje.
Če preučimo lokacijo parabole glede na os, pridemo do zaključka, da interval izpolnjuje neenakost (modro senčenje):
Neenakost očitno ustreza "rdečemu" polintervalu.
Ker morata biti izpolnjena oba pogoja istočasno, potem je rešitev sistema presečišče teh intervalov. "Skupni interesi" so opazni na polčasu.
Odgovori: domena:
Tipične neenakosti, kot je prikazano v primeru št. 8, ni težko analitično razrešiti.
Najdena domena definicije se ne bo spremenila za "podobne funkcije", na primer za 
oz 
. Dodate lahko tudi nekaj neprekinjenih funkcij, na primer: ali takole: 
, ali celo takole: . Kot pravijo, sta koren in logaritem trmasta stvar. Edina stvar je, da če je ena od funkcij "ponastavljena" na imenovalec, se bo domena definicije spremenila (čeprav v splošnem primeru to ni vedno res). No, v teoriji matan o tem besednem ... oh ... obstajajo izreki.
Primer 12
Poiščite obseg funkcije 
To je primer "naredi sam". Uporaba načrta je povsem primerna, saj funkcija ni najlažja.
Še nekaj primerov za okrepitev snovi:
Primer 13
Poiščite obseg funkcije
rešitev: sestavi in reši sistem: 
Vsa dejanja so že bila razvrščena v članku. Na številsko premico nariši interval, ki ustreza neenakosti, in glede na drugi pogoj izloči dve točki:
Vrednost se je izkazala za popolnoma nepomembno.
Odgovori: domena
Majhna matematična igra besede o različici 13. primera:
Primer 14
Poiščite obseg funkcije 
To je primer "naredi sam". Kdor je zamudil, je v letu ;-)
Zadnji del lekcije je namenjen bolj redkim, a tudi "delovnim" funkcijam:
Obseg funkcij
s tangenti, kotangensi, arksinusi, arkkosinusi
Če neka funkcija vključuje , potem iz svoje domene definicije izključena točke 
, Kje Z je množica celih števil. Še posebej, kot je navedeno v članku Grafi in lastnosti elementarnih funkcij, ima funkcija naslednje vrednosti:
To je domena definicije tangente: 
.
Ne bomo veliko ubili:
Primer 15
Poiščite obseg funkcije
rešitev: v tem primeru naslednje točke ne bodo vključene v domeno definicije:
Spustimo "dvojko" leve strani v imenovalec desne strani:
Kot rezultat 
:
Odgovori: domena: 
.
Načeloma lahko odgovor zapišemo tudi kot unijo neskončnega števila intervalov, vendar se bo konstrukcija izkazala za zelo okorno:
Analitična rešitev se popolnoma ujema z grafika geometrijske transformacije: če je argument funkcije pomnožen z 2, se bo njen graf dvakrat skrčil na os. Opazite, kako se je obdobje funkcije prepolovilo in prelomne točke povečal dvakrat. Tahikardija.
Podobna zgodba s kotangensom. Če neka funkcija vključuje , potem so točke izključene iz njene definicijske domene. Zlasti za funkcijo izstrelimo naslednje vrednosti z avtomatsko eksplozijo:
Z drugimi besedami:
Znanstveni svetnik:
1. Uvod 3
2. Zgodovinsko ozadje 4
3. »Mesto« ODZ pri reševanju enačb in neenačb 5-6
4. Značilnosti in nevarnosti ODZ 7
5. ODZ - obstaja sklep 8-9
6. Iskanje ODZ je dodatno delo. Ekvivalentnost prehodov 10-14
7. ODZ pri izpitu 15.-16
8. Sklep 17
9. Literatura 18
1. Uvod
Težava: enačbe in neenačbe, v katerih morate poiskati ODZ, niso našle mesta v tečaju sistematičnega podajanja algebre, zato se verjetno z vrstniki pri reševanju takšnih primerov pogosto zmotimo in reševanju posvetimo veliko časa , pri tem pa pozabil na ODZ.
Cilj: znati analizirati situacijo in logično pravilno sklepati na primerih, kjer je treba upoštevati ODD.
Naloge:
1. Študij teoretičnega gradiva;
2. Reši množico enačb, neenačb: a) delno racionalnih; b) neracionalno; c) logaritemsko; d) ki vsebuje inverzne trigonometrične funkcije;
3. uporabiti naučeno gradivo v situaciji, ki se razlikuje od standardne;
4. Ustvarite prispevek na temo "Regija sprejemljivih vrednot: teorija in praksa"
Projektno delo: Delo na projektu sem začel s ponavljanjem meni znanih funkcij. Obseg mnogih od njih je omejen.
ODZ se pojavi:
1. Pri odločanju ulomljene racionalne enačbe in neenakosti
2. Pri odločanju iracionalne enačbe in neenakosti
3. Pri odločanju logaritemske enačbe in neenakosti
4. Pri reševanju enačb in neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije
Po rešitvi številnih primerov iz različnih virov(pripomočki za izpit, učbeniki, učbeniki), sistematizirala sem rešitve primerov za po načelih:
lahko rešite primer in upoštevate ODZ (najpogostejši način)
Možno je rešiti primer brez upoštevanja ODZ
Le ob upoštevanju ODZ je mogoče priti do prave odločitve.
Metode, uporabljene pri delu: 1) analiza; 2) statistična analiza; 3) odbitek; 4) razvrstitev; 5) napovedovanje.
Študirana analiza Rezultati USE v preteklih letih. V primerih, v katerih je treba upoštevati DHS, je bilo storjenih veliko napak. To še enkrat poudarja ustreznost moja tema.
2. Zgodovinski oris
Tako kot drugi koncepti matematike se koncept funkcije ni razvil takoj, ampak je šel dolgo pot razvoja. V delu P. Fermata "Uvod in študij ravnih in trdnih mest" (1636, obj. 1679) piše: "Kadarkoli v končna enačba obstajata dve neznani količini, obstaja mesto. V bistvu govorimo o funkcionalni odvisnosti in njenem grafična podoba("mesto" pri Fermatu pomeni črto). Preučevanje črt glede na njihove enačbe v "Geometriji" R. Descartesa (1637) prav tako kaže na jasno razumevanje medsebojne odvisnosti dveh spremenljivke. I. Barrow ("Lectures on Geometry", 1670) in geometrijska oblika ugotavlja se medsebojna inverznost dejanj diferenciacije in integracije (seveda brez uporabe samih pojmov). Že to priča o povsem jasnem obvladovanju pojma funkcije. V geometrijski in mehanski obliki najdemo ta koncept tudi pri I. Newtonu. Vendar se izraz "funkcija" prvič pojavi šele leta 1692 pri G. Leibnizu in poleg tega ne povsem v sodobnem pomenu. G. Leibniz imenuje različne segmente, povezane s krivuljo (na primer abscise njenih točk), funkcijo. V prvem natisnjenem tečaju "Analiza neskončno majhnega za poznavanje ukrivljenih črt" Lopitala (1696) izraz "funkcija" ni uporabljen.
Prvo definicijo funkcije v smislu, ki je blizu sodobnemu, najdemo pri I. Bernoulliju (1718): "Funkcija je količina, sestavljena iz spremenljivke in konstante." Ta ne povsem jasna definicija temelji na ideji določanja funkcije z analitično formulo. Ista ideja se pojavlja v definiciji L. Eulerja, ki jo je podal v "Uvodu v analizo neskončnega" (1748): "Funkcija spremenljive količine je analitični izraz, na nek način sestavljen iz te spremenljive količine in števil ali stalne količine." Vendar pa L. Euler ni tujec moderno razumevanje funkcija, ki koncepta funkcije ne povezuje z nobenim od njenih analitičnih izrazov. V njegovem " Diferencialni račun"(1755) pravi:" Kadar so nekatere količine odvisne od drugih na tak način, da ko se slednje spremenijo, se tudi same spremenijo, potem se prve imenujejo funkcije slednjih.
Z začetku XIX stoletja vse pogosteje opredeljujejo pojem funkcije, ne da bi omenili njeno analitično predstavitev. V "Razpravi o diferencialnem in integralnem računu" (1797-1802) S. Lacroix pravi: "Vsaka količina, katere vrednost je odvisna od ene ali več drugih količin, se imenuje funkcija teh slednjih." V "Analitični teoriji toplote" J. Fourierja (1822) je stavek: "Funkcija f(x) označuje popolnoma poljubno funkcijo, to je zaporedje danih vrednosti, podvrženih splošnemu zakonu ali ne in ustreza vsem vrednostim x vsebuje med 0 in neko vrednostjo x". Blizu sodobne in definicije N. I. Lobačevskega: "... Splošni koncept funkcija zahteva, da funkcija iz x poimenujte številko, ki je podana za vsako x in skupaj z x postopoma spreminja. Vrednost funkcije je lahko podana bodisi z analitičnim izrazom bodisi s pogojem, ki omogoča testiranje vseh števil in izbiro enega od njih, ali pa lahko odvisnost obstaja in ostane neznana. Na istem mestu malo nižje je rečeno: "Širši pogled na teorijo priznava obstoj odvisnosti le v tem smislu, da se števila, ki so eno z drugim v povezavi, razumejo, kot da so dana skupaj." Tako je bila sodobna definicija funkcije, brez sklicevanja na analitično nalogo, običajno pripisana P. Dirichletu (1837), večkrat predlagana pred njim.
Domena definicije (dopustne vrednosti) funkcije y je množica vrednosti neodvisne spremenljivke x, za katero je ta funkcija definirana, to je področje spremembe neodvisne spremenljivke (argument).
3. "Mesto" območja dopustnih vrednosti pri reševanju enačb in neenačb
1. Pri reševanju ulomkov racionalnih enačb in neenačb imenovalec ne sme biti nič.
2. Reševanje iracionalnih enačb in neenačb.
2.1..gif" width="212" height="51"> .
V tem primeru ni treba najti ODZ: iz prve enačbe sledi, da dobljene vrednosti x izpolnjujejo naslednjo neenakost: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif " width="107" height="27 src="> je sistem:
Ker enačba in vnesite enako, lahko namesto neenakosti vključite neenakost https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49"> 
https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51"> 
3. Reševanje logaritemskih enačb in neenačb.
3.1. Shema za reševanje logaritemske enačbe
Zadošča pa, da preverite samo en pogoj ODZ.
3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">
4. Trigonometrične enačbe oblike so enakovredni sistemu (namesto neenakosti lahko sistem vključuje neenakost https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> so enakovredni enačba
4. Značilnosti in nevarnosti območja dovoljenih vrednosti
Pri pouku matematike moramo v vsakem primeru najti ODZ. Hkrati pa glede na matematično bistvo zadeve iskanje ODZ sploh ni obvezno, pogosto nepotrebno, včasih pa tudi nemogoče - in vse to brez škode za rešitev primera. Po drugi strani pa se velikokrat zgodi, da učenci po rešitvi primera pozabijo upoštevati ODZ, ga zapišejo kot končni odgovor, upoštevajo le nekatere pogoje. Ta okoliščina je dobro znana, vendar se "vojna" nadaljuje vsako leto in bo, kot kaže, trajala še dolgo.
Upoštevajte na primer naslednjo neenakost:
Tu se išče ODZ in neenačba je rešena. Šolarji pa pri reševanju te neenačbe včasih menijo, da je povsem mogoče brez iskanja ODZ, natančneje brez pogoja
Za pravilen odgovor je namreč treba upoštevati neenakost in .
In tukaj je na primer rešitev enačbe: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">
kar je enakovredno delu z ODZ. Vendar je v tem primeru takšno delo odveč - dovolj je preveriti izpolnjevanje samo dveh od teh neenakosti in poljubnih dveh.
Naj vas spomnim, da je vsako enačbo (neenakost) mogoče zmanjšati na obliko . DPV je preprosto obseg funkcije na levi strani. Da je treba to področje spremljati, izhaja že iz definicije korena kot števila iz področja dane funkcije, torej iz ODZ. Tukaj je smešen primer na to temo..gif" width="20" height="21 src="> ima domeno definicije nabora pozitivnih števil (to je seveda dogovor - upoštevati funkcijo pri , , vendar razumno), in potem -1 ni koren.
5. Razpon sprejemljivih vrednosti - obstaja rešitev
In končno, v množici primerov vam iskanje ODZ omogoča, da dobite odgovor brez okornih postavitev, in celo ustno.
1. OD3 je prazna množica, kar pomeni, da izvirni primer nima rešitev.
1)
2) 3) 
2. V ODZ najdemo eno ali več števil in preprosta zamenjava hitro določi korenine.
1)
, x=3
2)
Tukaj v ODZ je samo številka 1 in po zamenjavi je jasno, da ni koren.
3) V ODZ sta dve številki: 2 in 3 in obe sta primerni.
4) > V ODZ sta dve številki 0 in 1 in samo 1 je primerna.
DPV se lahko učinkovito uporablja v kombinaciji z analizo samega izraza.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.
6) 
Iz ODZ sledi, od koder imamo ..gif" width="143" height="24"> Iz ODZ imamo: . Potem pa in . Ker, potem ni rešitev.
Iz ODZ imamo: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, kar pomeni . Če rešimo zadnjo neenakost, dobimo x<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
3) ODZ: . Od takrat
Po drugi strani pa https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">
ODZ:. Razmislite o enačbi na intervalu [-1; 0).
Izpolnjuje takšne neenakosti https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src ="> in ni rešitev. S funkcijo in https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Poiščimo ODZ:
Celoštevilska rešitev je možna samo za x=3 in x=5. S preverjanjem ugotovimo, da koren x \u003d 3 ne ustreza, kar pomeni, da je odgovor: x \u003d 5.
6. Iskanje obsega sprejemljivih vrednosti je dodatno delo. Ekvivalentnost prehodov.
Navedemo lahko primere, ko je situacija jasna tudi brez najdbe ODZ.
1. 
Enakost je nemogoča, ker bi morali pri odštevanju večjega izraza od manjšega dobiti negativno število.
2. 
.
Vsota dveh nenegativnih funkcij ne more biti negativna.
Navedel bom tudi primere, ko je iskanje ODZ težko, včasih pa preprosto nemogoče.
In končno, iskanje ODZ je zelo pogosto le nepotrebno delo, brez katerega se lahko popolnoma obnese in s tem dokaže razumevanje dogajanja. Tukaj je ogromno primerov, zato bom izbral le najbolj značilne. V tem primeru so glavna tehnika odločanja enakovredne transformacije pri prehodu iz ene enačbe (neenakosti, sistema) v drugo.
1.
. ODZ ni potreben, ker po ugotovitvi tistih vrednosti x, za katere je x2=1, ne moremo dobiti x=0.
2. . ODZ ni potreben, saj ugotovimo, kdaj je radikalni izraz enak pozitivnemu številu.
3. . ODZ ni potreben iz istih razlogov kot v prejšnjem primeru.
4. 
ODZ ni potreben, ker je korenski izraz enak kvadratu neke funkcije in zato ne more biti negativen.
5. 
6. ..gif" width="271" height="51"> Za rešitev zadostuje le ena omejitev radikalnega izraza, iz zapisanega mešanega sistema namreč izhaja, da je tudi drugi radikalni izraz nenegativen.
8. ODZ ni potreben iz istih razlogov kot v prejšnjem primeru.
9. 
DPV ni potreben, saj zadostuje, da sta dva od treh izrazov pod logaritemskimi predznaki pozitivna, da je tretji pozitiven.
10. 
.gif" width="357" height="51"> ODZ ni potreben iz istih razlogov kot v prejšnjem primeru.
Omeniti pa velja, da pri reševanju z metodo ekvivalentnih transformacij pomaga poznavanje ODZ (in lastnosti funkcij).
Tukaj je nekaj primerov.
1. . OD3, iz česar sledi pozitivnost izraza na desni strani in je možno v tej obliki zapisati enakovredno enačbo dani https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif " width="112" height="27 "> ODZ:. Toda takrat in pri reševanju te neenakosti ni treba upoštevati primera, ko je desna stran manjša od 0.
3. . Iz ODZ izhaja, da , torej primer, ko https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Prehod v splošni pogled zgleda takole:
https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">
Možna sta dva primera: 0
Zato je prvotna neenakost enakovredna naslednjemu naboru sistemov neenakosti:
Prvi sistem nima rešitev, iz drugega pa dobimo: x<-1 – решение неравенства.
Razumevanje pogojev enakovrednosti zahteva poznavanje nekaterih tankosti. Na primer, zakaj so naslednje enačbe enakovredne:
oz 
In končno, morda najpomembnejše. Dejstvo je, da ekvivalenca zagotavlja pravilnost odgovora, če se izvedejo nekatere transformacije same enačbe, ne pa se uporablja za transformacije le v enem od delov. Redukcija, uporaba različnih formul v enem od delov ne spada pod ekvivalenčne izreke. Nekaj tovrstnih primerov sem že navedel. Poglejmo še nekaj primerov.
1. Takšna odločitev je naravna. Na levi strani, po lastnostih logaritemske funkcije, preidimo na izraz ..gif" width="111" height="48">
Z reševanjem tega sistema dobimo rezultat (-2 in 2), ki pa ni odgovor, saj številka -2 ni vključena v ODZ. Kaj torej potrebujemo za namestitev ODZ? Seveda ne. Ker pa smo v rešitvi uporabili določeno lastnost logaritemske funkcije, moramo zagotoviti pogoje, pod katerimi je izpolnjena. Tak pogoj je pozitivnost izrazov pod znakom logaritma..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width="143" height="27 src="> številke so predmet zamenjave na ta način 
. Kdo želi delati tako dolgočasne izračune?.gif" width="12" height="23 src="> dodajte pogoj in takoj je jasno, da le številka izpolnjuje ta pogoj https://pandia.ru/text/ 78/083/ images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) je pokazalo 52% trgovcev. Eden od razlogov za tako nizko uspešnost je dejstvo, da mnogi diplomanti niso izbrali korenov, ki so jih dobili iz enačbe po kvadriranju.
3) Razmislite na primer o rešitvi ene od nalog C1: "Poiščite vse vrednosti x, za katere so točke grafa funkcije 
ležijo nad ustreznimi točkami grafa funkcije ". Naloga se zmanjša na reševanje delna neenakost ki vsebuje logaritemski izraz. Takšne neenakosti znamo rešiti. Najpogostejša med njimi je intervalna metoda. Vendar pa trgovci pri njegovi uporabi delajo različne napake. Razmislite o najpogostejših napakah na primeru neenakosti:
X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.
8. Zaključek
Če povzamemo, lahko rečemo, da ni univerzalne metode za reševanje enačb in neenačb. Vsakič, ko želite razumeti, kaj počnete, in ne delovati mehanično, se pojavi dilema: kakšen način odločanja izbrati, zlasti iskati ODZ ali ne? Mislim, da mi bodo izkušnje pomagale rešiti to dilemo. Nehal bom delati napake, ko se bom naučil pravilno uporabljati ODZ. Ali mi bo uspelo, bo pokazal čas oziroma izpit.
9. Literatura
In drugi "Algebra in začetek analize 10-11" problemska knjiga in učbenik, M .: "Razsvetljenje", 2002. "Priročnik za osnovno matematiko." M .: "Nauka", 1966. Časopis "Matematika" št. 46, časopis "Matematika" št. Časopis "Matematika" št. "Zgodovina matematike v šoli VII-VIII razredov." M .: "Razsvetljenje", 1982. in drugi "Najpopolnejša izdaja možnosti za resnične naloge USE: 2009 / FIPI" - M .: "Astrel", 2009. in drugi. "USE. Matematika. Univerzalni materiali za pripravo študentov / FIPI "- M .: "Intelekt-center", 2009. in drugi. "Algebra in začetek analize 10-11". M .: "Prosveshchenie", 2007. , "Delavnica za reševanje problemov šolske matematike (delavnica o algebri)". M .: Izobraževanje, 1976. "25000 lekcij matematike." M .: "Prosveshchenie", 1993. "Priprava na matematične olimpijade." M .: "Izpit", 2006. "Enciklopedija za otroke "MATEMATIKA"" zvezek 11, M .: Avanta +; 2002. Gradivo strani www. ***** www. *****.
Ulomke enačb. ODZ.
Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Nadaljujemo z obvladovanjem enačb. Z linearnimi in kvadratnimi enačbami že znamo delati. Zadnji pogled ostane ulomljene enačbe . Ali pa se imenujejo tudi veliko bolj trdni - ulomek racionalne enačbe . Enako je.
Ulomke enačb.
Kot že ime pove, te enačbe nujno vsebujejo ulomke. A ne le ulomki, ampak ulomki, ki imajo neznanka v imenovalcu. Vsaj v enem. Na primer:
Naj vas spomnim, če samo v imenovalcih številke, to so linearne enačbe.
Kako se odločiti ulomljene enačbe? Najprej se znebite ulomkov! Po tem se enačba najpogosteje spremeni v linearno ali kvadratno. In potem vemo, kaj storiti ... V nekaterih primerih se lahko spremeni v identiteto, kot je 5=5, ali nepravilen izraz, kot je 7=2. Toda to se redko zgodi. Spodaj ga bom omenil.
Toda kako se znebiti ulomkov!? Zelo preprosto. Uporaba vseh istih identičnih transformacij.
Celotno enačbo moramo pomnožiti z istim izrazom. Da se vsi imenovalci zmanjšajo! Vse bo takoj postalo lažje. Pojasnjujem s primerom. Recimo, da moramo rešiti enačbo:
Kako so jih učili v osnovni šoli? Vse prenesemo v eno smer, reduciramo na skupni imenovalec itd. Pozabi kako grozne sanje! Tako se naredi pri seštevanju ali odštevanju ulomki izrazi. Ali delajte z neenakostmi. In v enačbah oba dela takoj pomnožimo z izrazom, ki nam bo dal možnost, da zmanjšamo vse imenovalce (tj. v bistvu z skupni imenovalec). In kaj je ta izraz?
Na levi strani, da zmanjšate imenovalec, morate pomnožiti s x+2. In na desni je zahtevano množenje z 2. Torej je treba enačbo pomnožiti z 2(x+2). Množimo:
To je običajno množenje ulomkov, vendar bom podrobno napisal:
Upoštevajte, da še ne odpiram oklepaja. (x + 2)! Torej v celoti pišem:
Na levi strani je v celoti pomanjšana (x+2), na desni pa 2. Po potrebi! Po zmanjšanju dobimo linearni enačba:
Vsakdo lahko reši to enačbo! x = 2.
Rešimo še en primer, malo bolj zapleten:
Če se spomnimo, da je 3 = 3/1, in 2x = 2x/ 1 lahko zapišemo:
In spet se znebimo tistega, kar nam res ni všeč - iz ulomkov.
Vidimo, da je treba za zmanjšanje imenovalca z x ulomek pomnožiti s (x - 2). In enote nam niso ovira. No, pomnožimo. Vse leva stran in vse desna stran:
Spet oklepaji (x - 2) ne razkrivam. Delam z nosilcem kot celoto, kot da bi bila ena številka! To je treba storiti vedno, sicer se ne bo nič zmanjšalo.
Z občutkom globokega zadovoljstva smo zarezali (x - 2) in dobimo enačbo brez ulomkov, v ravnilu!
In zdaj odpremo oklepaje:
Damo podobne, vse prenesemo na levo stran in dobimo:
Pred tem pa se bomo naučili reševati druge probleme. Za obresti. Te grablje, mimogrede!
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)
se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.
Funkcija je model. Definirajmo X kot niz vrednosti neodvisne spremenljivke // neodvisno pomeni katero koli.
Funkcija je pravilo, po katerem za vsako vrednost neodvisne spremenljivke iz množice X najdemo edino vrednost odvisne spremenljivke. // tj. za vsak x obstaja en y.
Iz definicije sledi, da obstajata dva pojma - neodvisna spremenljivka (ki jo označimo z x in ima lahko poljubno vrednost) in odvisna spremenljivka (ki jo označimo z y ali f (x) in se izračuna iz funkcije, ko zamenjamo x).
NA PRIMER y=5+x
1. Neodvisen je x, zato vzamemo poljubno vrednost, naj bo x = 3
2. in zdaj izračunamo y, torej y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y je odvisen od x, ker kakšen x nadomestimo, dobimo tak y)
Pravimo, da je spremenljivka y funkcionalno odvisna od spremenljivke x in to označimo takole: y = f (x).
NA PRIMER.
1.y=1/x. (imenovano hiperbola)
2. y=x^2. (imenovana parabola)
3.y=3x+7. (imenovana ravna črta)
4. y \u003d √ x. (imenovana veja parabole)
Neodvisno spremenljivko (ki jo označimo z x) imenujemo argument funkcije.
Obseg funkcije
Nabor vseh vrednosti, ki jih ima argument funkcije, se imenuje domena funkcije in je označen z D(f) ali D(y).
Upoštevajte D(y) za 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) in (0;+∞) //celoten niz realnih števil razen ničle.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / vsa številna realna števila
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / vsa številna realna števila
4. D (y) \u003d)
