• Reparație
• Reparație
• Design interior
• Despre tot
• Despre instalații sanitare

Cea mai mare și cea mai mică valoare a definiției funcției este scurtă. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment

Studiul unui astfel de obiect de analiză matematică ca funcție este de mare importanță. sensși în alte domenii ale științei. De exemplu, în analiză economică trebuie în mod constant să evalueze comportamentul funcții profit, și anume de a determina maximul acestuia sensși să dezvolte o strategie pentru a-l atinge.

Instruire

Studiul oricărui comportament ar trebui să înceapă întotdeauna cu o căutare a unui domeniu de definiție. De obicei, în funcție de starea unei anumite probleme, este necesar să se determine cea mai mare sens funcții fie pe ansamblul acestei zone, fie pe intervalul ei specific cu limite deschise sau închise.

Pe baza , cel mai mare este sens funcții y(x0), sub care pentru orice punct al domeniului de definiție este satisfăcută inegalitatea y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Grafic, acest punct va fi cel mai mare dacă aranjați valorile argumentului de-a lungul axei absciselor, iar funcția însăși de-a lungul axei ordonatelor.

Pentru a determina cel mai mare sens funcții, urmați algoritmul în trei pași. Rețineți că trebuie să puteți lucra cu unilateral și , precum și să calculați derivata. Deci, să fie dată o funcție y(x) și este necesar să se găsească cea mai mare sens pe un anumit interval cu valori la limită A și B.

Aflați dacă acest interval este în sfera de aplicare funcții. Pentru a face acest lucru, trebuie să-l găsiți, luând în considerare toate restricțiile posibile: prezența unei fracții în expresie, rădăcină pătrată etc. Domeniul definiției este setul de valori ale argumentului pentru care funcția are sens. Determinați dacă intervalul dat este o submulțime a acestuia. Dacă da, treceți la pasul următor.

Găsiți derivata funcțiiși rezolvați ecuația rezultată echivalând derivata la zero. Astfel, veți obține valorile așa-numitelor puncte staționare. Evaluați dacă cel puțin unul dintre ele aparține intervalului A, B.

Luați în considerare aceste puncte în a treia etapă, înlocuiți valorile lor în funcție. Efectuați următorii pași suplimentari în funcție de tipul de interval. Dacă există un segment de forma [A, B], punctele de limită sunt incluse în interval, acest lucru este indicat prin paranteze. Calculați valori funcții pentru x = A și x = B. Dacă intervalul deschis este (A, B), valorile limită sunt perforate, adică. nu sunt incluse în el. Rezolvați limite unilaterale pentru x→A și x→B. Un interval combinat de forma [A, B) sau (A, B), ale cărui limite îi aparține, cealaltă nu. Găsiți limita unilaterală pe măsură ce x tinde către valoarea perforată și înlocuiți-l pe celălalt în Interval infinit bifat (-∞, +∞) sau intervale infinite unilaterale de forma: , (-∞, B) Pentru limitele reale A și B, procedați conform principiilor deja descrise, iar pentru infinit , căutați limite pentru x→-∞ și, respectiv, x→+∞.

Sarcina în această etapă

Dată o funcție care este definită și continuă pe un anumit interval. Este necesar să se găsească cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției pe acest interval.

Baza teoretica.
Teorema (a doua teoremă Weierstrass):

Dacă o funcție este definită și continuă într-un interval închis, atunci ea își atinge valorile maxime și minime în acest interval.

Funcția își poate atinge valorile maxime și minime fie în punctele interne ale intervalului, fie la limitele acestuia. Să ilustrăm toate opțiunile posibile.

Explicaţie:
1) Funcția atinge valoarea maximă pe marginea stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă pe marginea dreaptă a intervalului în punctul .
2) Funcția își atinge valoarea maximă în punct (acesta este punctul maxim) și valoarea sa minimă la limita dreaptă a intervalului în punct.
3) Funcția își atinge valoarea maximă pe marginea stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă în punctul (acesta este punctul minim).
4) Funcția este constantă pe interval, adică. își atinge valorile minime și maxime în orice punct al intervalului, iar valorile minime și maxime sunt egale între ele.
5) Funcția își atinge valoarea maximă în punctul , iar valoarea sa minimă în punct (în ciuda faptului că funcția are atât un maxim, cât și un minim pe acest interval).
6) Funcția atinge valoarea maximă într-un punct (acesta este punctul maxim), iar valoarea sa minimă într-un punct (acesta este punctul minim).
Cometariu:

„Maximă” și „valoare maximă” sunt lucruri diferite. Aceasta rezultă din definiția maximului și înțelegerea intuitivă a expresiei „valoare maximă”.

Algoritmul de rezolvare a problemei 2.



4) Alegeți cea mai mare (mai mică) dintre valorile obținute și notați răspunsul.

Exemplul 4:

Determinați cel mai mare și cea mai mică valoare funcții pe segment.
Soluţie:
1) Aflați derivata funcției.

2) Găsiți puncte staționare (și puncte care sunt suspecte de un extremum) rezolvând ecuația . Acordați atenție punctelor în care nu există o derivată finită cu două fețe.

3) Calculați valorile funcției în punctele staționare și la limitele intervalului.

4) Alegeți cea mai mare (mai mică) dintre valorile obținute și notați răspunsul.

Funcția de pe acest segment atinge valoarea maximă în punctul cu coordonatele .

Funcția de pe acest segment atinge valoarea minimă în punctul cu coordonatele .

Puteți verifica corectitudinea calculelor privind graficul funcției studiate.


Cometariu: Funcția atinge valoarea maximă în punctul maxim, iar valoarea minimă la limita segmentului.

Caz special.

Să presupunem că doriți să găsiți valoarea maximă și minimă a unei funcții pe un segment. După executarea primului paragraf al algoritmului, i.e. calculul derivatului, devine clar că, de exemplu, ia doar valori negative pe întregul segment luat în considerare. Rețineți că dacă derivata este negativă, atunci funcția este descrescătoare. Am constatat că funcția este în scădere pe întreg intervalul. Această situație este prezentată în graficul nr. 1 de la începutul articolului.

Funcția scade pe interval, adică. nu are puncte extreme. Din imagine se poate observa că funcția va lua cea mai mică valoare pe marginea dreaptă a segmentului și cea mai mare valoare în stânga. dacă derivata pe interval este peste tot pozitivă, atunci funcția este în creștere. Cea mai mică valoare este pe marginea din stânga a segmentului, cea mai mare este în dreapta.

Și pentru a o rezolva, aveți nevoie de cunoștințe minime despre subiect. Următorul an universitar se termină, toată lumea vrea să plece în vacanță, iar pentru a apropia acest moment, trec imediat la treabă:

Să începem cu zona. Zona la care se face referire în condiție este limitat închis set de puncte din plan. De exemplu, un set de puncte mărginite de un triunghi, inclusiv TOTUL triunghi (dacă de la frontiere„Scoate” cel puțin un punct, apoi zona nu va mai fi închisă). În practică, există și zone de forme dreptunghiulare, rotunde și ceva mai complexe. Trebuie remarcat faptul că în teoria analizei matematice sunt date definiții stricte limitări, izolare, limite etc., dar cred că toată lumea este conștientă de aceste concepte la nivel intuitiv și nu este nevoie de mai mult acum.

Zona plată este desemnată în mod standard cu litera , și, de regulă, este dată analitic - prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. O schimbare verbală tipică: „zonă închisă limitată de linii”.

O parte integrantă a sarcinii luate în considerare este construcția zonei pe desen. Cum să o facă? Este necesar să desenați toate liniile enumerate (în acest caz 3 Drept) și analizați ce s-a întâmplat. Zona dorită este de obicei ușor hașurată, iar marginea sa este evidențiată cu o linie îndrăzneață:


Aceeași zonă poate fi setată inegalități liniare: , care din anumite motive sunt scrise mai des ca o listă de enumerare, și nu sistem.
Deoarece granița aparține regiunii, atunci toate inegalitățile, desigur, nestrict.

Și acum miezul problemei. Imaginează-ți că axa merge direct la tine de la originea coordonatelor. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare punct de zonă. Graficul acestei funcții este suprafaţă, iar mica fericire este că, pentru a rezolva problema de astăzi, nu trebuie să știm deloc cum arată această suprafață. Poate fi situat deasupra, dedesubt, traversează avionul - toate acestea nu sunt importante. Și următorul lucru este important: conform teoreme Weierstrass, continuu V limitat închis zonă, funcția atinge maximul (din „cel mai înalt”) si cel putin (din „cel mai jos”) valori de găsit. Aceste valori sunt atinse sau V punctele staţionare, aparținând regiuniiD , sauîn punctele care se află la limita acestei regiuni. Din care urmează un algoritm de soluție simplu și transparent:

Exemplul 1

Limitat zonă închisă

Soluţie: În primul rând, trebuie să descrii zona pe desen. Din păcate, din punct de vedere tehnic îmi este dificil să fac un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi oferi imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul studiului. De obicei, sunt puse jos una după alta pe măsură ce se găsesc:

Pe baza preambulului, decizia poate fi împărțită convenabil în două puncte:

I) Să găsim puncte staţionare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. despre extrema mai multor variabile:

Punct staționar găsit aparține zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției la un punct dat:

- ca in articol Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment, voi evidenția rezultatele importante cu caractere aldine. Într-un caiet, este convenabil să le încercuiești cu un creion.

Fiți atenți la a doua noastră fericire - nu are rost să verificați condiție suficientă pentru un extremum. De ce? Chiar dacă în punctul în care funcția ajunge, de exemplu, minim local, atunci aceasta NU ÎNSEMNĂ că valoarea rezultată va fi minimîn întreaga regiune (vezi începutul lecției despre extreme necondiționate) .

Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie remarcat faptul că și treceți la paragraful următor.

II) Investigam granița regiunii.

Deoarece granița constă din laturile unui triunghi, este convenabil să împărțiți studiul în 3 paragrafe. Dar este mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, la început este mai avantajos să luăm în considerare segmentele paralele cu axele de coordonate și, în primul rând, pe cele situate pe axele în sine. Pentru a surprinde întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „într-o singură respirație”:

1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct în funcție:

Ca alternativă, puteți proceda astfel:

Geometric, aceasta înseamnă că planul de coordonate (care este dat și de ecuație)„decupat” din suprafete parabola „spațială”, al cărei vârf cade imediat sub suspiciune. Să aflăm unde este ea:

- valoarea rezultată „lovită” în zonă, și poate fi că la punctul respectiv (marca pe desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Oricum, hai sa facem calculele:

Alți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului. Calculați valorile funcției în puncte (marca pe desen):

Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare orală a versiunii „dezbrăcate”:

2) Pentru cercetare partea dreaptaînlocuim triunghiul în funcție și „punem lucrurile în ordine acolo”:

Aici efectuăm imediat o verificare brută, „sunând” capătul deja procesat al segmentului:
, Grozav.

Situația geometrică este legată de punctul anterior:

- valoarea rezultată a „intrat și în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm cu ce este egală funcția în punctul care a apărut:

Să examinăm al doilea capăt al segmentului:

Folosind funcția , sa verificam:

3) Probabil că toată lumea știe cum să exploreze partea rămasă. Înlocuim în funcție și efectuăm simplificări:

Se termină linia au fost deja investigate, dar pe proiect mai verificăm dacă am găsit funcția corect :
– a coincis cu rezultatul de la primul paragraf;
– a coincis cu rezultatul al doilea paragraf.

Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:

- Există! Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestui „interesant”:

Marcam un punct pe desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:

Să controlăm calculele în funcție de versiunea „buget”. :
, Ordin.

Și pasul final: Uită-te cu ATENȚIE prin toate numerele „grase”, recomand chiar și începătorilor să facă o singură listă:

din care alegem cele mai mari si cele mai mici valori. Răspuns scrie în stilul problemei găsirii cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe interval:

Pentru orice eventualitate, voi comenta din nou semnificația geometrică a rezultatului:
– aici este cel mai înalt punct al suprafeței din regiune ;
- aici este punctul cel mai de jos al suprafeței din zonă.

În problema analizată, am găsit 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la sarcină la sarcină. Pentru o regiune triunghiulară, „setul de explorare” minim constă în trei puncte. Acest lucru se întâmplă atunci când funcția, de exemplu, se setează avion- este destul de clar că nu există puncte staționare, iar funcția poate atinge valorile maxime / minime doar la vârfurile triunghiului. Dar nu există astfel de exemple o dată, de două ori - de obicei trebuie să te ocupi de un fel de suprafata de ordinul 2.

Dacă rezolvi puțin astfel de sarcini, atunci triunghiurile îți pot face capul să se învârtească și, prin urmare, m-am pregătit pentru tine exemple neobișnuite ca sa fie patrat :)

Exemplul 2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă delimitată de linii

Exemplul 3

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă mărginită.

Atentie speciala acordați atenție ordinii raționale și tehnicii de studiu a limitei zonei, precum și lanțului de verificări intermediare, care vor evita aproape complet erorile de calcul. În general, puteți rezolva așa cum doriți, dar în unele probleme, de exemplu, în același Exemplu 2, există toate șansele să vă complicați semnificativ viața. Un exemplu aproximativ de finalizare a sarcinilor la sfârșitul lecției.

Sistematizăm algoritmul de soluție, altfel, cu diligența mea de păianjen, s-a pierdut cumva într-un fir lung de comentarii ale primului exemplu:

- La primul pas, construim o zonă, este de dorit să o umbrim și să evidențiem chenarul cu o linie îndrăzneață. În timpul rezolvării, vor apărea puncte care trebuie puse pe desen.

– Găsiți puncte staționare și calculați valorile funcției numai în acelea, care apartin zonei . Valorile obținute sunt evidențiate în text (de exemplu, încercuite cu un creion). Dacă punctul staționar NU aparține zonei, atunci notăm acest fapt cu o pictogramă sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest articol nu poate fi omis!

– Explorarea zonei de frontieră. În primul rând, este avantajos să se ocupe de linii drepte care sunt paralele cu axele de coordonate (Dacă există). Sunt evidențiate și valorile funcției calculate în punctele „suspecte”. S-au spus multe despre tehnica soluției de mai sus și mai jos se va spune altceva - citiți, recitiți, aprofundați!

- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și cele mai mici valori și dați un răspuns. Uneori se întâmplă ca funcția să atingă astfel de valori în mai multe puncte deodată - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui să fie reflectate în răspuns. Să, de exemplu, și s-a dovedit că aceasta este cea mai mică valoare. Apoi scriem asta

Exemplele finale sunt dedicate altora idei utile utile in practica:

Exemplul 4

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă .

Am păstrat formularea autorului, în care aria este dată ca o dublă inegalitate. Această condiție poate fi scrisă într-un sistem echivalent sau într-o formă mai tradițională pentru această problemă:

Vă reamintesc că cu neliniară am întâlnit inegalități pe , iar dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a intrării, atunci vă rugăm să nu întârziați și să clarificați situația chiar acum ;-)

Soluţie, ca întotdeauna, începe cu construcția zonei, care este un fel de „talpă”:

Hmm, uneori trebuie să roade nu numai granitul științei....

I) Găsiți puncte staționare:

Sistemul de vis al idiotului :)

Punctul staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.

Și așa, nu este nimic... lecția distractivă a mers - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)

II) Investigam granița regiunii. Fără alte prelungiri, să începem cu axa x:

1) Dacă , atunci

Aflați unde se află vârful parabolei:
- Apreciați astfel de momente - „loviți” până la obiect, din care totul este deja clar. Dar nu uitați să verificați:

Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

2) Ne vom ocupa de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o înlocuim în funcție, în plus, ne va interesa doar segmentul:

Control:

Acum, acest lucru aduce deja o oarecare revigorare călătoriei monotone pe o pistă moletă. Să găsim punctele critice:

Noi decidem ecuație pătratică iti amintesti de asta? ... Totuși, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați citi aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare calculele ar fi convenabile în fracții zecimale(ceea ce, de altfel, este rar), atunci aici așteptăm obișnuitul fracții comune. Găsim rădăcinile „x” și, folosind ecuația, determinăm coordonatele „joc” corespunzătoare punctelor „candidate”:


Să calculăm valorile funcției în punctele găsite:

Verificați singur funcția.

Acum studiem cu atenție trofeele câștigate și notăm Răspuns:

Iată „candidații”, deci „candidații”!

Pentru decizie independentă:

Exemplul 5

Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții într-o zonă închisă

O intrare cu acolade arată astfel: „un set de puncte astfel încât”.

Uneori, în astfel de exemple ei folosesc Metoda multiplicatorului Lagrange, dar nevoia reală de a-l folosi este puțin probabil să apară. Deci, de exemplu, dacă este dată o funcție cu aceeași zonă "de", atunci după substituție în ea - cu o derivată fără dificultăți; în plus, totul este întocmit într-o „o singură linie” (cu semne) fără a fi nevoie să se ia în considerare separat semicercurile superioare și inferioare. Dar, desigur, există cazuri mai complicate, în care fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, este aceeași ecuație de cerc) este greu să te descurci - cât de greu este să te descurci fără o odihnă bună!

Toate cele bune pentru a trece de sesiune și ne vedem în curând în sezonul viitor!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie: desenați zona pe desen:

Procesul de găsire a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (un grafic al unei funcții) pe un elicopter cu tragere dintr-un tun cu rază lungă de acțiune în anumite puncte și alegând dintre aceste puncte puncte foarte speciale pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(X) continuu pe intervalul [ A, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Și cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Și cele mai mari valori ale funcției , continuu pe segmentul [ A, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

Să fie, de exemplu, să se determine valoarea maximă a funcției f(X) pe segmentul [ A, b] . Pentru a face acest lucru, găsiți toate punctele sale critice situate pe [ A, b] .

punct critic se numeste punctul in care functie definita, si ea derivat fie este zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(A) Și f(b) ). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției pe interval [A, b] .

Problema găsirii cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții. Echivalează derivata cu zero () și obține două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și în punctul , deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2] . Aceste valori ale funcției sunt următoarele: , , . Rezultă că cea mai mică valoare a funcției(marcat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este atins la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic .

Dacă funcția este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția descrisă în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), este valabilă următoarea proprietate a funcțiilor continue.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține intervalului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple mai complicate decât cele luate în considerare, adică acelea în care funcția este un polinom sau o fracție, numărătorul. iar numitorul cărora sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt iubitori de a-i face pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi logaritmul și funcția trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, într-un punct și într-un punct și cea mai mare valoare egal cu e² , la punctul .

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții:

Echivalează derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal cu , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (mai mari) valori ale funcției, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci valorile argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - compilarea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8 Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului pentru a-l acoperi cu cea mai mică cantitate de material?

Soluţie. Lăsa X- partea de bază h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula , adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție pentru un extremum. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, la , derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, - singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea criteriu suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . Pentru că asta minim - singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie egală cu 2 m și înălțimea acestuia.

Exemplul 9 Din paragraf A, situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, la distanță de el l, mărfurile trebuie transportate. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii calea ferata ar trebui construită o autostradă astfel încât transportul mărfurilor din A V CU a fost cel mai economic AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

mic și drăguț sarcină simplă din categoria celor care servesc drept colac de salvare pentru un elev plutitor. În natură, tărâmul somnoros de la jumătatea lunii iulie, așa că este timpul să vă acomodați cu un laptop pe plajă. Dis de dimineață, o rază de soare de teorie a jucat pentru a se concentra în curând asupra practică, care, în ciuda luminozității sale declarate, conține fragmente de sticlă în nisip. În acest sens, recomand să luați în considerare cu conștiință câteva exemple din această pagină. Pentru a rezolva sarcini practice, trebuie să fii capabil găsiți derivateși înțelegeți materialul articolului Intervale de monotonitate și extreme ale unei funcții.

În primul rând, pe scurt despre principalul lucru. Într-o lecție despre continuitatea functiei Am dat definiția continuității la un punct și a continuității pe un interval. Comportamentul exemplar al unei funcții pe un segment este formulat într-un mod similar. O funcție este continuă pe un segment dacă:

1) este continuu pe intervalul ;
2) continuă într-un punct pe dreapta iar la punct stânga.

Al doilea paragraf tratează așa-numitul continuitate unilaterală funcţionează la un punct. Există mai multe abordări ale definiției sale, dar voi rămâne la linia începută mai devreme:

Funcția este continuă într-un punct pe dreapta, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din dreapta coincide cu valoarea funcției într-un punct dat: . Este continuu la punct stânga, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din stânga este egală cu valoarea din acel punct:

Imaginați-vă că punctele verzi sunt unghiile pe care este atașată banda magică de cauciuc:

Luați mental linia roșie în mâini. Evident, indiferent cât de mult am întinde graficul în sus și în jos (de-a lungul axei), funcția va rămâne în continuare limitat- un gard viu deasupra, un gard viu dedesubt, iar produsul nostru pășește într-un padoc. Prin urmare, o funcție continuă pe un segment este mărginită pe acesta. În cursul analizei matematice, acest fapt aparent simplu este afirmat și dovedit riguros Prima teoremă a lui Weierstrass.… Mulți oameni sunt enervați că afirmațiile elementare sunt plictisitoare fundamentate în matematică, dar acest lucru are o semnificație importantă. Să presupunem că un anumit locuitor din Evul Mediu Terry a tras graficul în cer dincolo de limitele vizibilității, acesta a fost inserat. Înainte de inventarea telescopului, funcția limitată în spațiu nu era deloc evidentă! Într-adevăr, de unde știi ce ne așteaptă dincolo de orizont? La urma urmei, cândva Pământul era considerat plat, așa că astăzi chiar și teleportarea obișnuită necesită dovezi =)

Conform a doua teoremă Weierstrass, continuu pe segmentfuncția își atinge marginea superioară exactă si a lui marginea inferioară exactă .

Numărul este de asemenea numit valoarea maximă a funcției pe segmentși notat cu , iar numărul - valoarea minimă a funcției pe interval marcat .

În cazul nostru:

Notă : în teorie, înregistrările sunt comune .

În linii mari, cea mai mare valoare este situată în punctul cel mai înalt al graficului, iar cea mai mică - unde este punctul cel mai de jos.

Important! După cum sa subliniat deja în articolul despre extreme ale funcției, cea mai mare valoare a functieiȘi cea mai mică valoare a funcției – NU E LA FEL, Ce functia maximaȘi funcția minimă. Deci, în acest exemplu, numărul este minimul funcției, dar nu valoarea minimă.

Apropo, ce se întâmplă în afara segmentului? Da, chiar și inundația, în contextul problemei luate în considerare, acest lucru nu ne interesează deloc. Sarcina implică doar găsirea a două numere si asta e!

În plus, soluția este pur analitică, prin urmare, desenul nu este necesar!

Algoritmul se află la suprafață și se sugerează din figura de mai sus:

1) Găsiți valorile funcției în puncte critice, care aparțin acestui segment.

Mai prindeți o bunătate: nu este nevoie să verificați o condiție suficientă pentru un extremum, deoarece, așa cum tocmai am arătat, prezența unui minim sau maxim nu este încă garantat care este valoarea minimă sau maximă. Funcția demonstrativă atinge maximul și, prin voința sorții, același număr este cea mai mare valoare a funcției pe intervalul . Dar, desigur, o astfel de coincidență nu are loc întotdeauna.

Deci, la primul pas, este mai rapid și mai ușor să calculați valorile funcției în punctele critice aparținând segmentului, fără a vă deranja dacă au extreme sau nu.

2) Calculăm valorile funcției la capetele segmentului.

3) Dintre valorile funcției găsite în paragrafele 1 și 2, selectăm cea mai mică și cea mai mare număr mare, notează răspunsul.

Ne așezăm pe malul mării albastre și lovim călcâiele în apă puțin adâncă:

Exemplul 1

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment

Soluţie:
1) Calculați valorile funcției în punctele critice aparținând acestui segment:

Să calculăm valoarea funcției în al doilea punct critic:

2) Calculați valorile funcției la capetele segmentului:

3) Rezultate „îndrăznețe” au fost obținute cu exponențiali și logaritmi, ceea ce complică semnificativ compararea acestora. Din acest motiv, ne vom înarma cu un calculator sau Excel și vom calcula valorile aproximative, fără a uita că:

Acum totul este clar.

Răspuns:

Exemplu fracționar-rațional pentru soluție independentă:

Exemplul 6

Găsiți valorile maxime și minime ale unei funcții pe un segment

Paste cu ton în sos cremos Paste cu ton proaspăt în sos cremos Pastele cu ton în sos cremos este un preparat din care oricine își va înghiți limba, desigur, nu doar pentru distracție, ci pentru că este nebunește de delicios. Tonul și pastele sunt în perfectă armonie unul cu celălalt. Desigur, poate cuiva nu va place acest fel de mâncare.	Rulouri de primăvară cu legume Rulouri de legume acasă Astfel, dacă te lupți cu întrebarea „care este diferența dintre sushi și rulouri?”, răspundem - nimic. Câteva cuvinte despre ce sunt rulourile. Rulourile nu sunt neapărat bucătărie japoneză. Rețeta de rulouri într-o formă sau alta este prezentă în multe bucătării asiatice.
Protecția florei și faunei în tratatele internaționale ȘI sănătatea umană Rezolvarea problemelor de mediu și, în consecință, perspectivele dezvoltării durabile a civilizației sunt în mare parte asociate cu utilizarea competentă a resurselor regenerabile și a diferitelor funcții ale ecosistemelor și gestionarea acestora. Această direcție este cea mai importantă cale de a ajunge	Salariul minim (salariul minim) Salariul minim este salariul minim (SMIC), care este aprobat anual de Guvernul Federației Ruse pe baza Legii federale „Cu privire la salariul minim”. Salariul minim este calculat pentru rata de muncă lunară completă.