≡× MENI

• Popravilo
• Popravilo
• Notranje oblikovanje
• O vsem
• O vodovodu

Kvadratni koren iz 10 je. Koren n-te stopnje: definicije, oznake, primeri

Čas je za razstavljanje metode ekstrakcije korenin. Temeljijo na lastnostih korenin, zlasti na enakosti, ki velja za vsako nenegativno število b.

Spodaj bomo obravnavali glavne metode pridobivanja korenin.

Začnimo z najpreprostejšim primerom - pridobivanjem korenov iz naravnih števil s pomočjo tabele kvadratov, tabele kock itd.

Če tabele kvadratov, kock itd. ni pri roki, je logično uporabiti metodo ekstrakcije korena, ki vključuje razgradnjo korenskega števila na preproste faktorje.

Ločeno se je vredno osredotočiti na to, kar je mogoče za korenine z neparnimi eksponenti.

Nazadnje razmislite o metodi, ki vam omogoča zaporedno iskanje števk vrednosti korena.

Začnimo.

Uporaba tabele kvadratov, tabele kock itd.

V najpreprostejših primerih tabele kvadratov, kock itd. omogočajo pridobivanje korenin. Kakšne so te mize?

Tabela kvadratov celih števil od 0 do vključno 99 (prikazana spodaj) je sestavljena iz dveh območij. Prvo območje mize se nahaja na sivo ozadje, vam omogoča, da naredite številko od 0 do 99 tako, da izberete določeno vrstico in določen stolpec. Na primer, izberimo vrstico z 8 deseticami in stolpec s 3 enotami, s tem smo popravili število 83. Drugo območje zavzema preostali del mize. Vsaka njegova celica se nahaja na presečišču določene vrstice in določenega stolpca in vsebuje kvadrat pripadajočega števila od 0 do 99 . Na presečišču naše izbrane vrstice 8 desetic in stolpca 3 ena je celica s številko 6889, ki je kvadrat števila 83.

Tabele kock, tabele četrtih potenc števil od 0 do 99 itd. so podobne tabeli kvadratov, le da v drugem območju vsebujejo kocke, četrte potence itd. ustrezne številke.

Tabele kvadratov, kock, četrtih potenc itd. omogoča izvlekanje kvadratnih korenov, kockaste korenine, četrte korenine itd. iz številk v teh tabelah. Razložimo načelo njihove uporabe pri pridobivanju korenin.

Recimo, da moramo izluščiti koren n-te stopnje iz števila a, medtem ko je število a v tabeli n-tih stopinj. Po tej tabeli najdemo število b tako, da je a=b n . Potem , zato bo število b želeni koren n-te stopnje.

Za primer pokažimo, kako se s pomočjo kubne tabele ekstrahira kubični koren iz 19683. V tabeli kock najdemo število 19 683, iz njega ugotovimo, da je to število kocka števila 27, torej, .

Jasno je, da so tabele n-te stopnje zelo priročne pri pridobivanju korenin. Vendar jih pogosto ni pri roki, njihova sestava pa zahteva določen čas. Poleg tega je pogosto treba izluščiti korene iz števil, ki niso v ustreznih tabelah. V teh primerih se je treba zateči k drugim metodam pridobivanja korenin.

Razgradnja korenskega števila na prafaktorje

Dovolj priročen način, ki omogoča izluščitev korena iz naravnega števila (če je seveda koren izluščen) je razgradnja korenskega števila na prafaktorje. Njegovo bistvo je naslednje: po tem, ko ga je precej enostavno predstaviti kot stopnjo z želenim indikatorjem, ki vam omogoča, da dobite vrednost korena. Razložimo to točko.

Naj bo koren n-te stopnje izluščen iz naravnega števila a, njegova vrednost pa je enaka b. V tem primeru velja enakost a=b n. Številka b kot katera koli naravno število lahko predstavimo kot produkt vseh svojih prafaktorjev p 1 , p 2 , ..., p m v obliki p 1 p 2 ... p m , korensko število a pa je v tem primeru predstavljeno kot (p 1 p 2 ... p m) n. Ker je razgradnja števila na prafaktorje edinstvena, bo razgradnja korenskega števila a na prafaktorje videti kot (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , kar omogoča izračun vrednosti korena kot .

Upoštevajte, da če faktorizacije korenskega števila a ni mogoče predstaviti v obliki (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, potem koren n-te stopnje iz takega števila a ni popolnoma ekstrahiran.

Ukvarjajmo se s tem pri reševanju primerov.

Primer.

Izvlecite kvadratni koren iz 144.

rešitev.

Če se obrnemo na tabelo kvadratov, podano v prejšnjem odstavku, je jasno razvidno, da je 144=12 2 , iz česar je razvidno, da je kvadratni koren iz 144 12 .

Toda v luči te točke nas zanima, kako se koren izloči z razgradnjo korenskega števila 144 na prafaktorje. Oglejmo si to rešitev.

Razčlenimo se 144 na prafaktorje:

To pomeni, 144=2 2 2 2 3 3 . Na podlagi nastale razgradnje je mogoče izvesti naslednje transformacije: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. torej .

Z uporabo lastnosti stopnje in lastnosti korenin bi lahko rešitev formulirali nekoliko drugače: .

odgovor:

Za utrjevanje snovi razmislite o rešitvah še dveh primerov.

Primer.

Izračunajte korensko vrednost.

rešitev.

Prafaktorizacija korenskega števila 243 je 243=3 5 . torej .

odgovor:

Primer.

Ali je vrednost korena celo število?

rešitev.

Da bi odgovorili na to vprašanje, razčlenimo korensko število na prafaktorje in preverimo, ali ga je mogoče predstaviti kot kub celega števila.

Imamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . Nastala razgradnja ni predstavljena kot kub celega števila, saj stopnja prafaktorja 7 ni večkratnik tri. Zato kubni koren 285.768 ni vzet v celoti.

odgovor:

št.

Izvleček korenov iz ulomkov

Čas je, da ugotovimo, kako se izvleče koren iz delnega števila. Naj bo ulomljeno korensko število zapisano kot p/q. Glede na lastnost korena količnika velja naslednja enakost. Iz te enakosti sledi pravilo ulomkovega korena: Koren ulomka je enak količniku deljenja korena števca s korenom imenovalca.

Oglejmo si primer pridobivanja korena iz ulomka.

Primer.

Kaj je kvadratni koren navadni ulomek 25/169 .

rešitev.

Glede na tabelo kvadratov ugotovimo, da je kvadratni koren števca prvotnega ulomka 5, kvadratni koren imenovalca pa 13. Potem . S tem je ekstrakcija korena iz navadne frakcije 25/169 zaključena.

odgovor:

Koren decimalnega ulomka ali mešanega števila se izloči po zamenjavi korenskih števil z navadnimi ulomki.

Primer.

Izvlecite kubični koren decimalne številke 474,552.

rešitev.

Predstavljajte si original decimalno v obliki navadnega ulomka: 474,552=474552/1000. Potem . Ostaja še izvleči kubične korenine, ki so v števcu in imenovalcu nastalega ulomka. Ker 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 in 1 000=10 3 , potem in . Ostaja le dokončati izračune .

odgovor:

.

Izvleček korena negativnega števila

Ločeno se je vredno posvetiti pridobivanju korenin iz negativnih števil. Ko smo preučevali korenine, smo rekli, da ko je eksponent korena liho število, potem je lahko negativno število pod znakom korena. Takim zapisom smo dali naslednji pomen: za negativno število −a in lihi eksponent korena 2 n−1 imamo . Ta enakost daje pravilo za pridobivanje lihih korenov iz negativnih števil: če želite izluščiti koren iz negativnega števila, morate izluščiti koren iz nasprotnega pozitivnega števila in pred rezultatom postaviti znak minus.

Oglejmo si primer rešitve.

Primer.

Poiščite korensko vrednost.

rešitev.

Transformirajmo prvotni izraz tako, da se pod znakom korena pojavi pozitivno število: . Sedaj zamenjamo mešano število z navadnim ulomkom: . Uporabimo pravilo pridobivanja korena iz navadnega ulomka: . Ostaja še izračunati korenine v števcu in imenovalcu dobljenega ulomka: .

Tukaj je povzetek rešitve: .

odgovor:

.

Bitno iskanje korenske vrednosti

V splošnem primeru je pod korenom število, ki ga z uporabo zgoraj obravnavanih tehnik ni mogoče predstaviti kot n-to potenco katerega koli števila. Toda hkrati je treba poznati vrednost danega korena, vsaj do določenega predznaka. V tem primeru lahko za ekstrakcijo korena uporabite algoritem, ki vam omogoča, da dosledno pridobite zadostno število vrednosti števk želenega števila.

Prvi korak tega algoritma je ugotoviti, kaj je najpomembnejši bit korenske vrednosti. Da bi to naredili, se števila 0, 10, 100, ... zaporedoma dvignejo na potenco n, dokler ne dobimo števila, ki presega korensko število. Potem bo število, ki smo ga dvignili na potenco n v prejšnjem koraku, pokazalo ustrezen višji red.

Na primer, upoštevajte ta korak algoritma pri ekstrahiranju kvadratni koren od petih. Vzamemo števila 0, 10, 100, ... in jih kvadriramo, dokler ne dobimo števila, ki je večje od 5 . Imamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, kar pomeni, da bo najpomembnejša številka številka enote. Vrednost tega bita, kot tudi nižjih, bomo našli v naslednjih korakih algoritma za ekstrakcijo korena.

Vsi naslednji koraki algoritma so namenjeni zaporednemu izboljšanju vrednosti korena zaradi dejstva, da se najdejo vrednosti naslednjih števk želene vrednosti korena, začenši od najvišje in se premaknejo na najnižjo . Na primer, vrednost korena v prvem koraku je 2, v drugem - 2,2, v tretjem - 2,23 in tako naprej 2,236067977 ... . Opišimo, kako najdemo vrednosti bitov.

Iskanje bitov se izvede z naštevanjem njihovih možnih vrednosti 0, 1, 2, ..., 9 . V tem primeru se n-te potence ustreznih števil izračunajo vzporedno in se primerjajo s korenskim številom. Če na neki stopnji vrednost stopnje preseže radikalno število, se šteje, da je vrednost števke, ki ustreza prejšnji vrednosti, najdena in se izvede prehod na naslednji korak algoritma za ekstrakcijo korena, če se to ne zgodi, potem je vrednost te številke 9 .

Razložimo vse te točke z uporabo istega primera pridobivanja kvadratnega korena iz pet.

Najprej poiščite vrednost številke enote. Ponavljali bomo vrednosti 0, 1, 2, …, 9 in izračunavali 0 2 , 1 2 , …, 9 2, dokler ne dobimo vrednosti, ki je večja od radikalnega števila 5 . Vsi ti izračuni so priročno predstavljeni v obliki tabele:

Torej je vrednost števke enote 2 (ker je 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Pojdimo k iskanju vrednosti desetega mesta. V tem primeru bomo kvadrirali številke 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 in primerjali dobljene vrednosti s korensko številko 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , potem je vrednost desetega mesta 2 . Lahko nadaljujete z iskanjem vrednosti stotink:

Tako najdeno naslednja vrednost koren iz pet, je enako 2,23. In tako lahko še naprej iščete vrednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali ekstrakcijo korena z natančnostjo stotink z upoštevanim algoritmom.

Najprej določimo starejše mesto. Če želite to narediti, kockajte števila 0, 10, 100 itd. dokler ne dobimo števila večje od 2.151.186 . Imamo 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , torej je najpomembnejša številka desetica.

Določimo njegovo vrednost.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, potem je vrednost desetice 1. Pojdimo k enotam.

Tako je vrednost mesta enic 2 . Pojdimo na deset.

Ker je tudi 12,9 3 manj od radikalnega števila 2 151,186, je vrednost desetega mesta 9. Ostaja še opraviti zadnji korak algoritma, ki nam bo dal vrednost korena z zahtevano natančnostjo.

Na tej stopnji je vrednost korena najdena do stotink: .

Na koncu tega članka bi rad povedal, da obstaja veliko drugih načinov za pridobivanje korenin. Toda za večino nalog zadostujejo tiste, ki smo jih preučevali zgoraj.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8 celic. izobraževalne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za razrede 10-11 splošnih izobraževalnih ustanov.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za kandidate za tehnične šole).

Pred pojavom kalkulatorjev so učenci in učitelji ročno računali kvadratne korene. Obstaja več načinov za ročni izračun kvadratnega korena števila. Nekateri od njih ponujajo le približno rešitev, drugi dajejo natančen odgovor.

Koraki

Prafaktorizacija

Korensko število razčlenite na faktorje, ki so kvadratna števila. Glede na številko korena boste dobili približen ali natančen odgovor. Kvadratna števila so števila, iz katerih je mogoče vzeti cel kvadratni koren. Faktorji so števila, ki pri množenju dajo prvotno število. Na primer, faktorja števila 8 sta 2 in 4, ker je 2 x 4 = 8, so števila 25, 36, 49 kvadratna števila, ker je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratni faktorji so faktorji , ki so kvadratna števila. Najprej poskusite korensko število razložiti na kvadratne faktorje.

• Na primer, izračunajte kvadratni koren iz 400 (ročno). Najprej poskusite faktorizirati 400 na kvadratne faktorje. 400 je večkratnik 100, to je deljivo s 25 - to je kvadratno število. Če 400 delite s 25, dobite 16. Tudi število 16 je kvadratno število. Tako lahko 400 faktoriziramo na kvadratne faktorje 25 in 16, to je 25 x 16 = 400.
• To lahko zapišemo na naslednji način: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratni koren produkta nekaterih členov je enak produktu kvadratnih korenov vsakega člena, to je √(a x b) = √a x √b. Uporabite to pravilo in izvlecite kvadratni koren vsakega kvadratnega faktorja ter pomnožite rezultate, da najdete odgovor.

   • V našem primeru vzemite kvadratni koren iz 25 in 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Če radikalno število ni razdeljeno na dva kvadratna faktorja (in v večini primerov je), ne boste mogli najti točnega odgovora kot celega števila. Toda problem lahko poenostavite tako, da korensko število razstavite na kvadratni faktor in navadni faktor (število, iz katerega ni mogoče vzeti celega kvadratnega korena). Nato boste vzeli kvadratni koren kvadratnega faktorja in boste vzeli koren navadnega faktorja.

   • Na primer, izračunajte kvadratni koren števila 147. Števila 147 ni mogoče razložiti na dva faktorja, lahko pa ga razložite na naslednja faktorja: 49 in 3. Nalogo rešite na naslednji način:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Po potrebi ocenite vrednost korena. Zdaj lahko ocenite vrednost korena (poiščete približno vrednost) tako, da jo primerjate z vrednostmi korenov kvadratnih števil, ki so najbližje (na obeh straneh številske premice) korenskemu številu. Vrednost korena boste dobili kot decimalni ulomek, ki ga je treba pomnožiti s številom za znakom korena.

   • Vrnimo se k našemu primeru. Koren števila je 3. Najbližji kvadratni števili sta mu števili 1 (√1 = 1) in 4 (√4 = 2). Tako je vrednost √3 med 1 in 2. Ker je vrednost √3 verjetno bližje 2 kot 1, je naša ocena: √3 = 1,7. To vrednost pomnožimo s številom pri korenskem znaku: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Če izračunate na kalkulatorju, dobite 12,13, kar je precej blizu našemu odgovoru.
     • Ta metoda deluje tudi z velikimi številkami. Na primer, upoštevajte √35. Koren števila je 35. Najbližji kvadratni števili sta mu števili 25 (√25 = 5) in 36 (√36 = 6). Tako je vrednost √35 med 5 in 6. Ker je vrednost √35 veliko bližje 6 kot 5 (ker je 35 samo 1 manj kot 36), lahko rečemo, da je √35 nekoliko manj kot 6. Preverjanje s kalkulatorjem nam da odgovor 5,92 – imeli smo prav.

4. Drugi način je razstaviti korensko število na prafaktorje. Prafaktorji so števila, ki so deljiva le z 1 in sama s seboj. Zapiši prafaktorje v vrsto in poišči pare enakih faktorjev. Takšne dejavnike je mogoče vzeti iz znaka korena.

   • Na primer, izračunajte kvadratni koren iz 45. Korensko število razčlenimo na prafaktorje: 45 \u003d 9 x 5 in 9 \u003d 3 x 3. Tako je √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 lahko vzamemo iz korenskega znaka: √45 = 3√5. Zdaj lahko ocenimo √5.
   • Razmislite o drugem primeru: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Imate tri množitelje 2s; vzemite jih par in jih vzemite iz znamenja korena.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Zdaj lahko ocenimo √2 in √11 ter najdemo približen odgovor.

   Ročno izračunavanje kvadratnega korena

   Uporaba delitve stolpcev

   1. Ta metoda vključuje postopek, podoben dolgi delitvi, in daje natančen odgovor. Najprej narišite navpično črto, ki razdeli list na dve polovici, nato pa narišite vodoravno črto v desno in nekoliko pod zgornjim robom lista do navpične črte. Zdaj razdelite korensko število na pare števil, začenši z ulomkom za decimalno vejico. Torej je številka 79520789182.47897 zapisana kot "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Na primer, izračunajmo kvadratni koren števila 780,14. Narišite dve črti (kot je prikazano na sliki) in zapišite številko zgoraj levo kot "7 80, 14". Normalno je, da je prva števka z leve neparna števka. Odgovor (koren danega števila) bo izpisan zgoraj desno.

   2. Glede na prvi par števil (ali eno število) z leve poiščite največje celo število n, katerega kvadrat je manjši ali enak zadevnemu paru števil (ali enemu številu). Z drugimi besedami, poiščite kvadratno število, ki je najbližje, vendar manjše od prvega para števil (ali posameznega števila) z leve, in izvlecite kvadratni koren tega kvadratnega števila; dobili boste številko n. Desno zgoraj zapiši najdeni n, desno spodaj kvadratek n.

      • V našem primeru bo prva številka na levi številka 7. Naprej 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odštejte kvadrat števila n, ki ste ga pravkar našli, od prvega para števil (ali enega števila) z leve. Rezultat izračuna zapiši pod subtrahend (kvadrat števila n).

      • V našem primeru odštejte 4 od 7, da dobite 3.

   4. Zapišite drugi par števil in ga zapišite poleg vrednosti, pridobljene v prejšnjem koraku. Nato podvojite število v zgornjem desnem kotu in zapišite rezultat spodaj desno z dodanim "_×_=".

      • V našem primeru je drugi par številk "80". Za 3 napišite "80". Nato podvojite številko zgoraj desno, da dobite 4. Napišite "4_×_=" spodaj desno.

   5. Izpolnite prazna polja na desni.

      • V našem primeru, če namesto pomišljajev postavimo številko 8, potem 48 x 8 \u003d 384, kar je več kot 380. Zato je 8 preveliko število, vendar je 7 v redu. Napišite 7 namesto pomišljajev in dobite: 47 x 7 \u003d 329. Napišite 7 od zgoraj desno - to je druga številka v želenem kvadratnem korenu števila 780,14.

   6. Odštejte dobljeno število od trenutnega števila na levi. Rezultat iz prejšnjega koraka zapišite pod trenutno število na levi, poiščite razliko in jo zapišite pod odšteto.

      • V našem primeru odštejte 329 od 380, kar je enako 51.

   7. Ponovite 4. korak.Če je porušeni par števil ulomek prvotnega števila, potem postavite ločilo (vejico) celega in ulomka v želeni kvadratni koren od zgoraj desno. Na levi ponesite naslednji par številk navzdol. Podvojite število v zgornjem desnem kotu in zapišite rezultat v spodnjem desnem kotu z "_×_=".

      • V našem primeru bo naslednji par števil, ki ga je treba porušiti, ulomek števila 780,14, zato postavite ločilo celega in ulomka v želeni kvadratni koren od zgoraj desno. Zrušite 14 in zapišite levo spodaj. Dvakrat zgoraj desno (27) je 54, zato napišite "54_×_=" spodaj desno.

   8. Ponovite koraka 5 in 6. Poiščite največje število namesto pomišljajev na desni (namesto pomišljajev morate nadomestiti isto število), tako da bo rezultat množenja manjši ali enak trenutnemu številu na levi.

      • V našem primeru je 549 x 9 = 4941, kar je manj od trenutne številke na levi (5114). Zgoraj desno zapišite 9 in rezultat množenja odštejte od trenutnega števila na levi: 5114 - 4941 = 173.

   9. Če morate najti več decimalnih mest za kvadratni koren, vpišite par ničel poleg trenutnega števila na levi strani in ponovite korake 4, 5 in 6. Ponavljajte korake, dokler ne dobite točnega odgovora, ki ga potrebujete (število decimalna mesta).

      Razumevanje procesa

      1. Če želite obvladati to metodo, si predstavljajte število, katerega kvadratni koren morate najti, kot ploščino kvadrata S. V tem primeru boste iskali dolžino stranice L takšnega kvadrata. Izračunajte vrednost L, za katero je L² = S.

         Vnesite črko za vsako številko v odgovoru. Z A označimo prvo števko v vrednosti L (želeni kvadratni koren). B bo druga številka, C tretja in tako naprej.

         Določite črko za vsak par začetnih števk. Označimo s S a prvi par števk v vrednosti S, z S b drugi par števk itd.

         Pojasnite povezavo te metode z dolgim ​​deljenjem. Tako kot pri operaciji deljenja, kjer nas vsakič zanima samo ena naslednja cifra deljivega števila, pri izračunu kvadratnega korena delamo s parom števk v zaporedju (da dobimo naslednjo eno števko v vrednosti kvadratnega korena) .

      2. Razmislite o prvem paru števk Sa števila S (Sa = 7 v našem primeru) in poiščite njegov kvadratni koren. V tem primeru bo prva števka A iskane vrednosti kvadratnega korena takšna števka, katere kvadrat je manjši ali enak S a (to pomeni, da iščemo takšno A, ki izpolnjuje neenakost A² ≤ sob< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Recimo, da moramo 88962 deliti s 7; tukaj bo prvi korak podoben: upoštevamo prvo števko deljivega števila 88962 (8) in izberemo največje število, ki, če ga pomnožimo s 7, da vrednost manjšo ali enako 8. To pomeni, da iščemo število d, za katero velja neenakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Mentalno si predstavljajte kvadrat, katerega površino morate izračunati. Iščete L, to je dolžino stranice kvadrata, katerega ploščina je S. A, B, C so števila v številu L. Lahko zapišete drugače: 10A + B \u003d L (za dvojko -mestno število) ali 100A + 10B + C \u003d L (za trimestno število) in tako naprej.

         • Pustiti (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ne pozabite, da je 10A+B število, pri katerem B pomeni enice, A pa desetice. Na primer, če je A=1 in B=2, je 10A+B enako številu 12. (10A+B)² je površina celotnega kvadrata, 100A² je površina velikega notranjega kvadrata, B² je površina majhnega notranjega kvadrata, 10A×B je površina vsakega od obeh pravokotnikov. Če dodate površine opisanih številk, boste našli površino prvotnega kvadrata.

Matematika se je rodila, ko se je človek zavedel samega sebe in se začel pozicionirati kot avtonomna enota sveta. Želja po merjenju, primerjavi, izračunavanju tega, kar vas obdaja, je tisto, kar je osnova ene temeljnih znanosti našega časa. Sprva so bili to deli elementarne matematike, ki so omogočali povezovanje števil z njihovimi fizikalnimi izrazi, kasneje so sklepe začeli predstavljati le teoretično (zaradi njihove abstraktnosti), a čez nekaj časa, kot je rekel neki znanstvenik, " matematika je dosegla zgornjo mejo kompleksnosti, ko so vse številke." Koncept "kvadratnega korena" se je pojavil v času, ko ga je bilo mogoče zlahka podpreti z empiričnimi podatki, ki presegajo ravnino izračunov.

Kako se je vse začelo

Prva omemba korena, ki se trenutno označuje kot √, je bila zapisana v spisih babilonskih matematikov, ki so postavili temelje sodobne aritmetike. Seveda so bili malo podobni sedanji obliki - znanstveniki tistih let so najprej uporabili zajetne tablete. Toda v drugem tisočletju pr. e. prišli so do približne formule za izračun, ki je pokazala, kako vzeti kvadratni koren. Na spodnji fotografiji je kamen, na katerega so babilonski znanstveniki vklesali izhodni proces √2 in se je izkazal za tako pravilnega, da je bilo odstopanje v odgovoru ugotovljeno šele na desetem decimalnem mestu.

Poleg tega je bil koren uporabljen, če je bilo treba najti stranico trikotnika, če sta bili drugi dve znani. No, pri reševanju kvadratnih enačb ni izhoda iz izluščitve korena.

Skupaj z babilonskimi deli je bil predmet članka preučen v kitajskem delu "Matematika v devetih knjigah", stari Grki pa so prišli do zaključka, da vsako število, iz katerega ni izvlečen koren brez ostanka, daje iracionalen rezultat.

Izvor tega izraza je povezan z arabsko predstavitvijo števila: stari znanstveniki so verjeli, da kvadrat poljubnega števila raste iz korena, kot rastlina. V latinščini ta beseda zveni kot radix (lahko zasledimo vzorec - vse, kar ima "korensko" pomensko obremenitev, je soglasno, naj bo to redkev ali išias).

Znanstveniki naslednjih generacij so prevzeli to idejo in jo označili kot Rx. Na primer, v 15. stoletju so, da bi označili, da je kvadratni koren vzet iz poljubnega števila a, zapisali R 2 a. "Tick" √, poznan sodobnemu videzu, se je pojavil šele v 17. stoletju po zaslugi Reneja Descartesa.

Naši dnevi

Matematično je kvadratni koren iz y število z, katerega kvadrat je y. Z drugimi besedami, z 2 =y je enakovredno √y=z. Vendar je ta definicija pomembna samo za aritmetični koren, saj implicira nenegativno vrednost izraza. Z drugimi besedami, √y=z, kjer je z večji ali enak 0.

Na splošno, kar velja za določanje algebraičnega korena, je lahko vrednost izraza pozitivna ali negativna. Torej, zaradi dejstva, da je z 2 =y in (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ali √y=|z|.

Ker se je ljubezen do matematike z razvojem znanosti le povečala, obstajajo različne manifestacije naklonjenosti do nje, ki niso izražene v suhoparnih izračunih. Na primer, poleg tako zanimivih dogodkov, kot je dan števila Pi, se praznujejo tudi prazniki kvadratnega korena. Praznujejo jih devetkrat v sto letih, določajo pa jih po naslednjem načelu: števila, ki po vrsti označujejo dan in mesec, morajo biti kvadratni koren iz leta. Torej, naslednjič bomo ta praznik praznovali 4. aprila 2016.

Lastnosti kvadratnega korena na polju R

Skoraj vsi matematični izrazi imajo geometrijsko osnovo, ta usoda ni zaostala tudi √y, ki je definirana kot stranica kvadrata s površino y.

Kako najti koren števila?

Obstaja več algoritmov za izračun. Najenostavnejši, a hkrati precej okoren, je običajen aritmetični izračun, ki je naslednji:

1) od števila, katerega koren potrebujemo, se po vrsti odštevajo liha števila - dokler ostanek izhoda ni manjši od odštete enote ali celo enak nič. Število potez bo sčasoma postalo želeno število. Na primer, izračun kvadratnega korena iz 25:

Naslednje liho število je 11, ostanek je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takšne primere obstaja razširitev serije Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, kjer n zavzema vrednosti od 0 do

+∞ in |y|≤1.

Grafični prikaz funkcije z=√y

Razmislite o elementarni funkciji z=√y na polju realnih števil R, kjer je y večji ali enak nič. Njen grafikon izgleda takole:

Krivulja raste iz izhodišča in nujno prečka točko (1; 1).

Lastnosti funkcije z=√y na polju realnih števil R

1. Domena definicije obravnavane funkcije je interval od nič do plus neskončnosti (nič je vključena).

2. Razpon vrednosti obravnavane funkcije je interval od nič do plus neskončnosti (nič je spet vključena).

3. Funkcija zavzame minimalno vrednost (0) le v točki (0; 0). Največje vrednosti ni.

4. Funkcija z=√y ni niti soda niti liha.

5. Funkcija z=√y ni periodična.

6. Graf funkcije z=√y ima samo eno presečišče s koordinatnimi osemi: (0; 0).

7. Presečišče grafa funkcije z=√y je tudi ničla te funkcije.

8. Funkcija z=√y zvezno narašča.

9. Funkcija z=√y ima samo pozitivne vrednosti, zato njen graf zavzema prvi koordinatni kot.

Možnosti prikaza funkcije z=√y

V matematiki se za lažji izračun zapletenih izrazov včasih uporablja potenčna oblika zapisa kvadratnega korena: √y=y 1/2. Ta možnost je priročna na primer pri dvigovanju funkcije na potenco: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ta metoda je tudi dobra predstavitev za diferenciacijo z integracijo, saj je zahvaljujoč njej kvadratni koren predstavljen z navadno potenčno funkcijo.

In v programiranju je zamenjava za simbol √ kombinacija črk sqrt.

Omeniti velja, da je na tem področju kvadratni koren v velikem povpraševanju, saj je del večine geometrijskih formul, potrebnih za izračune. Sam algoritem štetja je precej zapleten in temelji na rekurziji (funkciji, ki kliče samo sebe).

Kvadratni koren v kompleksnem polju C

Na splošno je bila tema tega članka tista, ki je spodbudila odkritje polja kompleksnih števil C, saj je matematike preganjalo vprašanje pridobivanja sodega korena iz negativnega števila. Tako se je pojavila namišljena enota i, za katero je značilna zelo zanimiva lastnost: njen kvadrat je -1. Zahvaljujoč temu so kvadratne enačbe in z negativno diskriminanto dobile rešitev. V C so za kvadratni koren pomembne enake lastnosti kot v R, le da so omejitve glede izraza korena odstranjene.

V tem članku bomo predstavili pojem korena števila. Delovali bomo zaporedno: začeli bomo s kvadratnim korenom, od njega prešli na opis kubičnega korena, nato pa bomo posplošili koncept korena z opredelitvijo korena n-te stopnje. Hkrati bomo predstavili definicije, zapise, podali primere korenin ter podali potrebna pojasnila in komentarje.

Kvadratni koren, aritmetični kvadratni koren

Da bi razumeli definicijo korena števila in še posebej kvadratnega korena, moramo imeti . Na tem mestu se bomo pogosto srečali z drugo potenco števila – kvadratom števila.

Začnimo z definicije kvadratnega korena.

Opredelitev

Kvadratni koren iz a je število, katerega kvadrat je a .

Da bi prinesel primeri kvadratnih korenov, vzamemo več števil, na primer 5 , −0,3 , 0,3 , 0 in jih kvadriramo, dobimo števila 25 , 0,09 , 0,09 oziroma 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 in 0 2 =0 0=0 ). Potem je po zgornji definiciji 5 kvadratni koren iz 25, −0,3 in 0,3 sta kvadratna korena iz 0,09 in 0 je kvadratni koren iz nič.

Vedeti je treba, da za nobeno število a ne obstaja , katerega kvadrat je enak a . Za nobeno negativno število a namreč ne obstaja realno število b, katerega kvadrat je enak a. Dejansko je enakost a=b 2 nemogoča za kateri koli negativni a , saj je b 2 nenegativno število za kateri koli b . torej na množici realnih števil ni kvadratnega korena negativnega števila. Z drugimi besedami, na množici realnih števil kvadratni koren negativnega števila ni definiran in nima pomena.

To vodi do logičnega vprašanja: "Ali obstaja kvadratni koren iz a za vsak nenegativen a"? Odgovor je pritrdilen. Utemeljitev tega dejstva se lahko šteje za konstruktivno metodo, ki se uporablja za iskanje vrednosti kvadratnega korena.

Potem se pojavi naslednje logično vprašanje: "Koliko je število vseh kvadratnih korenov danega nenegativnega števila a - ena, dva, tri ali celo več"? Tukaj je odgovor nanj: če je a nič, potem je edini kvadratni koren iz nič nič; če je a neko pozitivno število, potem je število kvadratnih korenov iz števila a enako dve, koreni pa so . Utemeljimo to.

Začnimo s primerom a=0. Najprej pokažimo, da je nič res kvadratni koren iz nič. To izhaja iz očitne enakosti 0 2 =0·0=0 in definicije kvadratnega korena.

Zdaj pa dokažimo, da je 0 edini kvadratni koren iz nič. Uporabimo obratno metodo. Predpostavimo, da obstaja neko neničelno število b, ki je kvadratni koren iz nič. Takrat mora biti izpolnjen pogoj b 2 =0, kar je nemogoče, saj je za vsak neničelni b vrednost izraza b 2 pozitivna. Prišli smo do protislovja. To dokazuje, da je 0 edini kvadratni koren iz nič.

Pojdimo na primere, ko je a pozitivno število. Zgoraj smo rekli, da vedno obstaja kvadratni koren katerega koli nenegativnega števila, naj bo b kvadratni koren iz a. Recimo, da obstaja število c , ki je tudi kvadratni koren iz a . Potem po definiciji kvadratnega korena veljata enakosti b 2 =a in c 2 =a, iz katerih sledi, da je b 2 −c 2 =a−a=0, ker pa je b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , potem (b−c) (b+c)=0 . Nastala enakost v veljavi lastnosti dejanj z realnimi števili možno le, če je b−c=0 ali b+c=0. Tako sta števili b in c enaki ali nasprotni.

Če predpostavimo, da obstaja število d, ki je drug kvadratni koren števila a, potem s sklepanjem, podobnim že podanim, dokažemo, da je d enako številu b ali številu c. Torej je število kvadratnih korenov pozitivnega števila dve, kvadratni koreni pa so nasprotna števila.

Za udobje dela s kvadratnimi koreninami je negativni koren "ločen" od pozitivnega. V ta namen uvaja definicija aritmetičnega kvadratnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kvadratni koren nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega kvadrat je enak a .

Za aritmetični kvadratni koren števila a velja zapis. Predznak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena. Imenuje se tudi znak radikala. Zato lahko delno slišite tako "koren" kot "radikal", kar pomeni isti predmet.

Število pod znakom aritmetičnega kvadratnega korena se imenuje korensko število in izraz pod korenskim znakom - radikalno izražanje, medtem ko se izraz "radikalno število" pogosto nadomesti z "radikalni izraz". Na primer, v zapisu je število 151 radikalno število, v zapisu pa je izraz a radikalni izraz.

Pri branju je beseda "aritmetika" pogosto izpuščena, na primer vnos se bere kot "kvadratni koren iz sedem pika dvajset devet stotink." Besedo "aritmetika" izgovorijo samo takrat, ko želijo poudariti, da govorimo o pozitivnem kvadratnem korenu števila.

V luči uvedenega zapisa iz definicije aritmetičnega kvadratnega korena izhaja, da je za vsako nenegativno število a .

Kvadratni koreni pozitivnega števila a so zapisani z aritmetičnim znakom kvadratnega korena kot in . Na primer, kvadratni koren iz 13 je in . Aritmetični kvadratni koren iz nič je nič, to je . Za negativna števila a vnosom ne bomo pripisovali pomena, dokler ne preučimo kompleksna števila. Na primer, izraza in sta brez pomena.

Na podlagi definicije kvadratnega korena so dokazane lastnosti kvadratnih korenov, ki se pogosto uporabljajo v praksi.

Za zaključek tega pododdelka omenimo, da so kvadratni koreni števila rešitve oblike x 2 =a glede na spremenljivko x.

kubični koren

Opredelitev kubnega korenaštevila a je podana na podoben način kot definicija kvadratnega korena. Le da temelji na konceptu kocke števila, ne kvadrata.

Opredelitev

Kubični koren iz a imenujemo število, katerega kub je enak a.

Prinesimo primeri kockastih korenin. Če želite to narediti, vzemite več števil, na primer 7 , 0 , −2/3 , in jih sestavite na kocke: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Nato lahko na podlagi definicije kubičnega korena rečemo, da je število 7 kubični koren iz 343, 0 je kubični koren iz nič, −2/3 pa kubični koren iz −8/27.

Lahko se pokaže, da kubični koren števila a, za razliko od kvadratnega korena, vedno obstaja, in ne samo za nenegativno a, ampak tudi za vsako realno število a. Če želite to narediti, lahko uporabite isto metodo, ki smo jo omenili pri preučevanju kvadratnega korena.

Poleg tega obstaja le en kubični koren danega števila a. Dokažimo zadnjo trditev. Če želite to narediti, ločeno razmislite o treh primerih: a je pozitivno število, a=0 in a je negativno število.

Enostavno je pokazati, da pri pozitivnem a kubni koren iz a ne more biti niti negativen niti nič. Res, naj bo b kubični koren od a , potem lahko po definiciji zapišemo enakost b 3 =a . Jasno je, da ta enakost ne more veljati za negativni b in za b=0, saj bo v teh primerih b 3 =b·b·b negativno število oziroma nič. Torej je kubni koren pozitivnega števila a pozitivno število.

Zdaj pa predpostavimo, da poleg števila b obstaja še en kubični koren iz števila a, označimo ga s c. Potem je c 3 =a. Zato je b 3 −c 3 =a−a=0 , vendar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(to je skrajšana formula množenja razlika kock), od koder je (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Dobljena enakost je mogoča le, če je b−c=0 ali b 2 +b c+c 2 =0 . Iz prve enačbe imamo b=c, druga enačba pa nima rešitev, saj je njena leva stran pozitivno število za poljubna pozitivna števila b in c kot vsota treh pozitivnih členov b 2 , b c in c 2 . To dokazuje edinstvenost kubnega korena pozitivnega števila a.

Za a=0 je edini kubični koren iz a nič. Če predpostavimo, da obstaja število b , ki je različen od nič kubni koren iz nič, potem mora veljati enakost b 3 =0, kar je možno le pri b=0 .

Za negativni a lahko trdimo podobno kot za pozitivni a. Najprej pokažemo, da kubični koren negativnega števila ne more biti enak niti pozitivnemu številu niti nič. Drugič, predpostavimo, da obstaja drugi kubični koren negativnega števila in pokažemo, da bo nujno sovpadal s prvim.

Torej vedno obstaja kubni koren katerega koli realnega števila a in samo eden.

Dajmo definicija aritmetičnega kubnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kubični koren nenegativnega števila a imenujemo nenegativno število, katerega kub je enak a.

Aritmetični kubni koren nenegativnega števila a je označen kot , predznak se imenuje predznak aritmetičnega kubnega korena, število 3 v tem zapisu se imenuje indikator korena. Številka pod korenskim znakom je korensko število, izraz pod korenskim znakom je radikalno izražanje.

Čeprav je aritmetični kubni koren definiran samo za nenegativna števila a, je priročno uporabiti tudi vnose, v katerih so negativna števila pod znakom aritmetičnega kubnega korena. Razumeli jih bomo takole: , kjer je a pozitivno število. na primer .

O lastnostih kockastih korenov bomo govorili v splošnem članku Lastnosti korenin.

Izračun vrednosti kubnega korena se imenuje pridobivanje kubnega korena, to dejanje je obravnavano v članku pridobivanje korenin: metode, primeri, rešitve.

Za zaključek tega pododdelka rečemo, da je kubični koren a rešitev oblike x 3 =a.

N-ti koren, aritmetični koren iz n

Posplošimo pojem korena iz števila – uvedemo določitev n-tega korena za n.

Opredelitev

n-ti koren od a je število, katerega n-ta potenca je enaka a.

Iz te definicije je razvidno, da je koren prve stopnje iz števila a samo število a, saj smo pri preučevanju stopnje z naravnim indikatorjem vzeli 1 = a.

Zgoraj smo obravnavali posebne primere korena n-te stopnje za n=2 in n=3 - kvadratni koren in kubični koren. To pomeni, da je kvadratni koren koren druge stopnje, kubični koren pa koren tretje stopnje. Če želite preučiti korenine n-te stopnje za n=4, 5, 6, ..., jih je priročno razdeliti v dve skupini: prva skupina - korenine sodih stopenj (to je za n=4, 6 , 8, ...), druga skupina - koreni neparnih potenc (to je za n=5, 7, 9, ... ). To je posledica dejstva, da so korenine sodih stopinj podobne kvadratnemu korenu, korenine lihih stopinj pa kubičnemu korenu. Ukvarjajmo se z njimi po vrsti.

Začnimo s koreni, katerih potence so soda števila 4, 6, 8, ... Kot smo že povedali, so podobni kvadratnemu korenu števila a. To pomeni, da koren katere koli sode stopnje iz števila a obstaja samo za nenegativno a. Poleg tega, če je a=0, potem je koren a edinstven in enak nič, in če je a>0, potem obstajata dva korena sode stopnje iz števila a in sta nasprotni števili.

Utemeljimo zadnjo trditev. Naj bo b koren sode stopnje (označujemo ga kot 2·m, kjer je m neko naravno število) iz a. Recimo, da obstaja število c - še en 2 m koren iz a . Potem je b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Poznamo pa obliko b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), potem (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz te enakosti sledi b−c=0 , ali b+c=0 , oz b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvi dve enakosti pomenita, da sta števili b in c enaki oziroma sta b in c nasprotni. In zadnja enakost velja samo za b=c=0 , saj njena leva stran vsebuje izraz, ki je nenegativen za poljubna b in c kot vsota nenegativnih števil.

Kar zadeva korenine n-te stopnje za liho n, so podobne kockastemu korenu. To pomeni, da koren katere koli lihe stopnje iz števila a obstaja za vsako realno število a in je za dano število a edinstven.

Edinstvenost korena lihe stopnje 2·m+1 iz števila a dokažemo po analogiji z dokazom edinstvenosti kubnega korena iz a . Samo tukaj namesto enakosti a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) enačba oblike b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Izraz v zadnjem oklepaju lahko prepišemo kot b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primer, za m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Če sta a in b oba pozitivna ali oba negativna, je njun produkt pozitivno število, potem je izraz b 2 +c 2 +b·c, ki je v oklepaju najvišje stopnje gnezdenja, pozitiven kot vsota pozitivnih številke. Zdaj, ko se zaporedno premaknemo na izraze v oklepajih prejšnjih stopenj gnezdenja, se prepričamo, da so pozitivni tudi kot vsote pozitivnih števil. Kot rezultat dobimo, da je enakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 možno le, če je b−c=0 , to je, ko je število b enako številu c .

Čas je, da se ukvarjamo z zapisom korenin n-te stopnje. Za to je dano določitev aritmetičnega korena n-te stopnje.

Opredelitev

Aritmetični koren n-te stopnje nenegativnega števila a imenujemo nenegativno število, katerega n-ta potenca je enaka a.

Dijaki vedno sprašujejo: »Zakaj ne morem uporabiti kalkulatorja na izpitu iz matematike? Kako izluščiti kvadratni koren števila brez kalkulatorja? Poskusimo odgovoriti na to vprašanje.

Kako izluščiti kvadratni koren števila brez pomoči kalkulatorja?

Akcija pridobivanje kvadratnega korena nasprotje kvadriranja.

√81= 9 9 2 =81

Če izvlečemo kvadratni koren pozitivnega števila in kvadriramo rezultat, dobimo isto število.

Iz majhnih števil, ki so natančni kvadrati naravnih števil, na primer 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, lahko ustno izluščimo kvadratne korene. Ponavadi v šoli učijo tabelo kvadratov naravnih števil do dvajset. Če poznamo to tabelo, je enostavno izluščiti kvadratne korene iz števil 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Iz števil, večjih od 400, lahko izvlečete z metodo izbire z nekaj nasveti. Poskusimo primer, da razmislimo o tej metodi.

primer: Izluščite koren števila 676.

Opazimo, da je 20 2 \u003d 400 in 30 2 \u003d 900, kar pomeni 20< √676 < 900.

Natančni kvadrati naravnih števil se končajo z 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Število 6 je podano s 4 2 in 6 2 .
Torej, če je koren vzet iz 676, potem je 24 ali 26.

Ostaja še preveriti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

odgovor: √676 = 26 .

več primer: √6889 .

Ker je 80 2 \u003d 6400 in 90 2 \u003d 8100, potem 80< √6889 < 90.
Število 9 je podano s 3 2 in 7 2, potem je √6889 83 ali 87.

Preverite: 83 2 = 6889.

odgovor: √6889 = 83 .

Če vam je težko rešiti z izbirno metodo, lahko faktorizirate korenski izraz.

na primer najdi √893025.

Razložimo število 893025 na faktorje, ne pozabite, to ste naredili v šestem razredu.

Dobimo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

več primer: √20736. Razložimo število 20736 na faktorje:

Dobimo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Seveda faktoring zahteva poznavanje kriterijev deljivosti in veščine faktoringa.

In končno obstaja pravilo kvadratnega korena. Oglejmo si to pravilo na primeru.

Izračunajte √279841.

Če želimo izluščiti koren večmestnega celega števila, ga razdelimo od desne proti levi na ploskve, ki vsebujejo po 2 števki (v skrajni levi ploskvi je lahko ena cifra). Napiši takole 27'98'41

Da dobimo prvo številko korena (5), izvlečemo kvadratni koren največjega natančnega kvadrata, ki ga vsebuje prva leva ploskev (27).
Nato se kvadrat prve števke korena (25) odšteje od prve ploskve in naslednja ploskev (98) se pripiše (poruši) razliki.
Levo od dobljenega števila 298 napišejo dvomestno korenino (10), z njo delijo število vseh deset prej dobljenega števila (29/2 ≈ 2), izkusijo količnik (102 ∙ 2 = 204 ne sme biti več kot 298) in za prvo števko korena napišite (2).
Nato se dobljeni količnik 204 odšteje od 298, naslednja ploskev (41) pa se pripiše (zruši) razliki (94).
Levo od dobljenega števila 9441 napišejo dvojni produkt števk korena (52 ∙ 2 = 104), s tem produktom delijo število vseh desetic števila 9441 (944/104 ≈ 9), izkušnje količnik (1049 ∙ 9 = 9441) naj bo 9441 in ga zapišite (9) za drugo števko korena.

Dobili smo odgovor √279841 = 529.

Podobno ekstrakt koreni decimalnih mest. Samo radikalno število mora biti razdeljeno na obraze tako, da je vejica med obrazi.

Primer. Poiščite vrednost √0,00956484.

Ne pozabite le, da če ima decimalni ulomek liho število decimalnih mest, kvadratni koren ni natančno izvlečen iz njega.

Torej, zdaj ste videli tri načine za pridobivanje korenine. Izberite tisto, ki vam najbolj ustreza in vadite. Če se želite naučiti reševati probleme, jih morate rešiti. In če imate kakršna koli vprašanja, se prijavite na moje lekcije.

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.