Največja in najmanjša vrednost funkcije odvoda. Kako najti najmanjšo vrednost funkcije
V fiziki in matematiki je pogosto potrebno najti najmanjšo vrednost funkcije. Kako to storiti, bomo zdaj povedali.
Kako najti najmanjšo vrednost funkcije: navodilo
- Če želite izračunati najmanjšo vrednost zvezne funkcije na danem intervalu, morate slediti temu algoritmu:
- Poiščite odvod funkcije.
- Na danem segmentu poiščite točke, v katerih je odvod enak nič, ter vse kritične točke. Nato ugotovite vrednosti funkcije na teh točkah, torej rešite enačbo, kjer je x enak nič. Ugotovite, katera od vrednosti je najmanjša.
- Ugotovite, kakšno vrednost ima funkcija na končnih točkah. Določite najmanjšo vrednost funkcije v teh točkah.
- Primerjajte prejete podatke z najmanjšo vrednostjo. Manjše od prejetih števil bo najmanjša vrednost funkcije.
Upoštevajte, da v primeru, da funkcija na segmentu nima najmanjših točk, to pomeni, da na tem segmentu narašča ali pada. Zato je treba najmanjšo vrednost izračunati na končnih segmentih funkcije.
V vseh drugih primerih se vrednost funkcije izračuna po danem algoritmu. Na vsakem koraku algoritma boste morali rešiti preprosto linearna enačba z eno korenino. Rešite enačbo z uporabo risbe, da se izognete napakam.
Kako najti najmanjšo vrednost funkcije na polodprtem segmentu? V napol odprtem ali odprtem obdobju funkcije je treba najmanjšo vrednost najti na naslednji način. Na končnih točkah vrednosti funkcije izračunajte enostransko mejo funkcije. Z drugimi besedami, rešite enačbo, v kateri so nagibne točke podane z vrednostjo a+0 in b+0, kjer sta a in b imeni kritičnih točk.
Zdaj veste, kako najti najmanjšo vrednost funkcije. Glavna stvar je, da vse izračune opravite pravilno, natančno in brez napak.
In za rešitev potrebujete minimalno znanje o temi. Naslednje študijsko leto se končuje, vsi bi radi na počitnice in da bi ta trenutek približal, se takoj lotim posla:
Začnimo z območjem. Območje, na katero se nanaša pogoj, je omejeno zaprto množica točk v ravnini. Na primer niz točk, ki jih omejuje trikotnik, vključno s CELOTNIM trikotnikom (če iz meje"Izluščite" vsaj eno točko, potem območje ne bo več zaprto). V praksi se pojavljajo tudi področja pravokotnih, okroglih in nekoliko kompleksnejših oblik. Opozoriti je treba, da so v teoriji matematične analize podane stroge definicije omejitve, izolacija, meje itd., vendar mislim, da se vsi zavedajo teh konceptov na intuitivni ravni in več zdaj ni potrebno.
Ravnina je standardno označena s črko , praviloma pa je podana analitično - z več enačbami (ni nujno linearno); redkeje neenakosti. Tipičen besedni preobrat: "zaprto območje, omejeno s črtami".
Sestavni del obravnavane naloge je konstrukcija območja na risbi. Kako narediti? Narisati je treba vse naštete črte (v ta primer 3 naravnost) in analizirajte, kaj se je zgodilo. Želeno območje je običajno rahlo šrafirano, njegova meja pa je poudarjena s krepko črto: 
Nastavite lahko isto območje linearne neenakosti: , ki so iz neznanega razloga pogosteje napisani kot oštevilčeni seznam in ne sistem.
Ker meja pripada regiji, potem vse neenakosti seveda nestrog.
In zdaj bistvo zadeve. Predstavljajte si, da gre os naravnost k vam iz izhodišča koordinat. Razmislite o funkciji, ki neprekinjeno v vsakem območna točka. Graf te funkcije je površino, majhna sreča pa je, da nam za rešitev današnjega problema ni treba vedeti, kako ta površina sploh izgleda. Lahko se nahaja zgoraj, spodaj, prečka ravnino - vse to ni pomembno. In pomembno je naslednje: po Weierstrassovi izreki, neprekinjeno V omejeno zaprto območje, funkcija doseže svoj maksimum (od "najvišjih") in najmanj (od "najnižjih") vrednosti, ki jih je treba najti. Te vrednosti so dosežene oz V stacionarne točke, ki pripadajo regijiD , oz na točkah, ki ležijo na meji tega območja. Iz tega sledi preprost in pregleden algoritem rešitve:
Primer 1
Omejeno zaprto območje
rešitev: Najprej morate prikazati območje na risbi. Na žalost mi je tehnično težko narediti interaktivni model problema, zato bom takoj podal končno ilustracijo, ki prikazuje vse "sumljive" točke, odkrite med študijo. Običajno jih odložimo enega za drugim, ko jih najdemo: 
Na podlagi preambule lahko odločitev priročno razdelimo na dve točki:
I) Poiščimo stacionarne točke. To je standardno dejanje, ki smo ga večkrat izvajali v lekciji. o ekstremih več spremenljivk:
Najdena stacionarna točka pripada področja: (označi na risbi), kar pomeni, da bi morali izračunati vrednost funkcije v dani točki:
- kot v članku Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu, bom pomembne rezultate izpostavil s krepkim tiskom. V zvezku jih je priročno obkrožiti s svinčnikom.
Bodite pozorni na našo drugo srečo - nima smisla preverjati zadosten pogoj za ekstrem. Zakaj? Tudi če na točki funkcija doseže npr. lokalni minimum, potem to NE POMENI, da bo dobljena vrednost minimalno po vsej regiji (glej začetek lekcije o brezpogojnih skrajnostih) .
Kaj pa, če stacionarna točka NE pripada območju? Skoraj nič! Treba je opozoriti, da in pojdite na naslednji odstavek.
II) Raziskujemo mejo regije.
Ker je obroba sestavljena iz stranic trikotnika, je primerno študijo razdeliti na 3 pododstavke. Vendar je bolje, da tega sploh ne storite. Z mojega vidika je najprej bolj ugodno upoštevati segmente, ki so vzporedni s koordinatnimi osemi, in najprej tiste, ki ležijo na samih oseh. Če želite ujeti celotno zaporedje in logiko dejanj, poskusite preučiti konec "v enem dihu":
1) Ukvarjajmo se s spodnjo stranjo trikotnika. Če želite to narediti, zamenjamo neposredno v funkcijo:
Druga možnost je, da to storite takole: 
Geometrijsko to pomeni, da koordinatna ravnina (kar je tudi podano z enačbo)"izrezati" iz površine»prostorska« parabola, katere vrh takoj pade pod sum. Pa ugotovimo kje je:
- dobljena vrednost "zadene" v območju in prav lahko se zgodi, da na točki (označi na risbi) funkcija doseže svoj maksimum najmanjša vrednost po vsej regiji. Kakorkoli že, naredimo izračune:
Ostali »kandidati« so seveda konci segmenta. Izračunajte vrednosti funkcije v točkah 
(označi na risbi):
Tukaj, mimogrede, lahko opravite ustno mini preverjanje "slečene" različice: 
2) Za raziskave desna stran trikotnik vstavimo v funkcijo in tam »postavimo red«:
Tukaj takoj izvedemo grobo preverjanje, "zvoni" že obdelan konec segmenta:
, Super.
Geometrijska situacija je povezana s prejšnjo točko:
- tudi dobljena vrednost je »vstopila v obseg naših interesov«, kar pomeni, da moramo izračunati, čemu je enaka funkcija v točki, ki se je pojavila:
Oglejmo si drugi konec segmenta:
Uporaba funkcije 
, preverimo: 
3) Verjetno vsi vedo, kako raziskati preostalo stran. V funkcijo nadomestimo in izvedemo poenostavitve:
Vrstica se konča 
so že raziskane, vendar na osnutku še vedno preverjamo, ali smo funkcijo našli pravilno 
:
– sovpada z rezultatom iz 1. pododstavka;
– sovpada z rezultatom iz 2. pododstavka.
Še vedno je treba ugotoviti, ali je znotraj segmenta kaj zanimivega:
- Tukaj je! Če nadomestimo ravno črto v enačbo, dobimo ordinato te "zanimivosti":
Na risbi označimo točko in poiščemo ustrezno vrednost funkcije:
Nadzorujmo izračune glede na "proračunsko" različico 
:
, naročilo.
In zadnji korak: POZORNO preglejte vse "mastne" številke, tudi začetnikom priporočam, da naredijo en sam seznam: 
med katerimi izberemo največjo in najmanjšo vrednost. Odgovori pisati v stilu problem iskanja največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu:
Za vsak slučaj bom še enkrat komentiral geometrijski pomen rezultata:
– tukaj je najvišja točka površja v regiji;
- tukaj je najnižja točka površja na območju.
V analiziranem problemu smo našli 7 »sumljivih« točk, vendar se njihovo število razlikuje od naloge do naloge. Za trikotno regijo je minimalni "raziskovalni niz" sestavljen iz tri točke. To se zgodi, ko se na primer nastavi funkcija letalo- povsem jasno je, da stacionarnih točk ni in funkcija lahko doseže največje / najmanjše vrednosti samo na ogliščih trikotnika. Ampak takšnih primerov ni enkrat, dvakrat - običajno se moraš soočiti s kakšno površina 2. reda.
Če malo rešite takšne naloge, potem se vam lahko trikotniki zvrtijo v glavi, zato sem vam pripravila nenavadni primeri da bo kvadratno :)
Primer 2
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije 
v zaprtem območju, omejenem s črtami
Primer 3
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v omejenem zaprtem območju.
Posebna pozornost bodite pozorni na racionalen vrstni red in tehniko preučevanja meje območja, pa tudi na verigo vmesnih pregledov, s katerimi se boste skoraj popolnoma izognili računskim napakam. Na splošno ga lahko rešite, kot želite, vendar pri nekaterih težavah, na primer v istem primeru 2, obstaja vsaka možnost, da vam bistveno zaplete življenje. Približen primer zaključevanja nalog na koncu lekcije.
Sistematiziramo algoritem rešitve, sicer se je z mojo skrbnostjo pajka nekako izgubil v dolgi niti komentarjev 1. primera:
- Na prvem koraku zgradimo območje, zaželeno je, da ga zasenčimo in poudarimo mejo s krepko črto. Med reševanjem se bodo pojavile točke, ki jih je treba nanesti na risbo.
– Poiščite stacionarne točke in izračunajte vrednosti funkcije samo v tistih, ki spadajo v območje . Dobljene vrednosti so označene v besedilu (na primer obkrožene s svinčnikom). Če stacionarna točka NE pripada območju, potem to dejstvo označimo z ikono ali ustno. Če stacionarnih točk sploh ni, naredimo pisni sklep, da jih ni. V nobenem primeru tega elementa ne smete preskočiti!
– Raziskovanje obmejnega območja. Prvič, koristno je obravnavati ravne črte, ki so vzporedne s koordinatnimi osemi (če obstajajo). Poudarjene so tudi vrednosti funkcij, izračunane na "sumljivih" točkah. O tehniki reševanja je bilo že veliko povedanega zgoraj in nekaj drugega bo povedano spodaj - berite, preberite, poglobite se!
- Med izbranimi številkami izberite največjo in najmanjšo vrednost ter podajte odgovor. Včasih se zgodi, da funkcija doseže takšne vrednosti na več točkah hkrati - v tem primeru bi se morale vse te točke odražati v odgovoru. Naj npr. 
in izkazalo se je, da je to najmanjša vrednost. Potem to napišemo
Končni primeri so namenjeni drugim uporabne ideje uporabno v praksi:
Primer 4
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju 
.
Ohranil sem avtorjevo formulacijo, v kateri je ploščina podana kot dvojna neenakost. Ta pogoj je mogoče zapisati v enakovrednem sistemu ali v bolj tradicionalni obliki za to težavo: 
Opomnim vas, da z nelinearni naleteli smo na neenakosti na , in če ne razumete geometrijskega pomena vnosa, prosimo, da ne odlašate in razjasnite situacijo takoj ;-)
rešitev, kot vedno, se začne z gradnjo območja, ki je nekakšen "podplat": 
Hmm, včasih je treba glodati ne le granit znanosti ....
I) Poiščite stacionarne točke: 
Idiotski sanjski sistem :) 
Stacionarna točka pripada regiji, namreč leži na njeni meji.
In tako, ni nič ... zabavna lekcija je šla - to pomeni piti pravi čaj =)
II) Raziskujemo mejo regije. Brez odlašanja, začnimo z osjo x:
1) Če , potem
Ugotovite, kje je vrh parabole:
– Cenite takšne trenutke – »zadajte« prav v bistvo, iz katerega je že vse jasno. Vendar ne pozabite preveriti: 
Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih segmenta: 
2) Spodnji del "podplata" bomo obravnavali "v eni seji" - brez kakršnih koli kompleksov ga nadomestimo v funkcijo, poleg tega nas bo zanimal samo segment:
Nadzor:
Zdaj to že vnaša nekaj poživitve v monotono vožnjo po narebričeni stezi. Poiščimo kritične točke:
Odločamo se kvadratna enačba se spomniš tega? ... Vendar ne pozabite, seveda, sicer ne bi brali teh vrstic =) Če bi bili v prejšnjih dveh primerih izračuni primerni v decimalni ulomki(kar je, mimogrede, redko), potem tukaj čakamo na običajno navadni ulomki. Poiščemo korenine "x" in z uporabo enačbe določimo ustrezne koordinate "igre" točk "kandidatov": 
Izračunajmo vrednosti funkcije na najdenih točkah: 
Funkcijo preverite sami.
Zdaj natančno preučujemo osvojene trofeje in jih zapisujemo odgovor:
Tukaj so "kandidati", torej "kandidati"!
Primer 5
Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije 
v zaprtem prostoru 
Vnos z zavitimi oklepaji se glasi takole: "nabor točk, tako da".
Včasih v takih primerih uporabljajo Lagrangeova metoda množitelja, vendar je malo verjetno, da bi se pojavila resnična potreba po njegovi uporabi. Torej, na primer, če je podana funkcija z enakim območjem "de", potem po zamenjavi vanjo - z derivatom brez težav; poleg tega je vse narisano v "eni vrstici" (z znaki), ne da bi bilo treba ločeno upoštevati zgornji in spodnji polkrog. Seveda pa obstajajo bolj zapleteni primeri, kjer brez Lagrangeove funkcije (kjer je na primer enaka enačba kroga) težko je preživeti – kako težko je preživeti brez dobrega počitka!
Vse najboljše za opravljeno sejo in se kmalu vidimo naslednjo sezono!
Rešitve in odgovori:
Primer 2: rešitev: narišite območje na risbi:
S praktičnega vidika je najbolj zanimiva uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja je treba rešiti problem optimizacije nekaterih parametrov. In to je problem iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.
Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na nekem intervalu X , ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene. Sam interval X je lahko odsek črte, odprt interval 
, neskončen interval.
V tem članku bomo eksplicitno govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti. dano funkcijo ena spremenljivka y=f(x) .
Navigacija po straneh.
Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.
Na kratko se osredotočimo na glavne definicije.
Največja vrednost funkcije 
, ki za kakršno koli 
neenakost je resnična.
Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost 
, ki za kakršno koli neenakost je resnična.
Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) vrednost, sprejeta na obravnavanem intervalu z absciso.
Stacionarne točke so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije izgine.
Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferenciabilna funkcija na neki točki ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum), potem je ta točka stacionarna. Tako funkcija pogosto zavzame največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.
Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame največje in najmanjše vrednosti na točkah, kjer prvi derivat te funkcije ne obstaja, sama funkcija pa je definirana.
Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.
Zaradi jasnosti podajamo grafično ilustracijo. Poglejte slike - in veliko vam bo postalo jasno.
Na segmentu
Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y ) in najmanjše (min y ) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj segmenta [-6;6] .
Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenite segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v stacionarni točki, največja pa v točki z absciso, ki ustreza desni meji intervala.
Na sliki št. 3 so mejne točke segmenta [-3; 2] abscise točk, ki ustrezajo največji in najmanjši vrednosti funkcije.
Na odprtem območju
Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y ) in najmanjše (min y ) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj odprtega intervala (-6;6).
Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.
V neskončnost
V primeru, prikazanem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y ) na stacionarni točki z x=1 absciso, najmanjšo vrednost (min y ) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.
Na intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko x=2 teži v desno, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (ravna črta x=2 je navpična asimptota), in ko abscisa teži k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3 . Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.
Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.
Napišemo algoritem, ki nam omogoča, da poiščemo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.
- Poiščemo domeno funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
- Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v odseku (običajno se takšne točke pojavljajo pri funkcijah z argumentom pod znakom modula in pri potenčnih funkcijah z ulomkom-racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
- Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo v segment. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korene. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednji korak.
- Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja) in tudi na x=a in x=b.
- Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo želena največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.
Analizirajmo algoritem pri reševanju primera iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.
Primer.
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije
- na segmentu;
- na intervalu [-4;-1] .
rešitev.
Domena funkcije je celotna množica realnih števil, razen ničle, to je . Oba segmenta spadata v domeno definicije.
Poiščemo odvod funkcije glede na: 
Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1] .
Stacionarne točke so določene iz enačbe . edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.
V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1 , x=2 in x=4 : 
Zato je največja vrednost funkcije 
dosežena pri x=1 in najmanjša vrednost 
– pri x=2 .
V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije samo na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke): 
drobna in lepa preprosta naloga iz kategorije tistih, ki služijo kot rešilna bilka za plavajočega študenta. V naravi zaspano kraljestvo sredine julija, zato je čas, da se umirite s prenosnikom na plaži. Zgodaj zjutraj je zaigral sončni žarek teorije, ki se je kmalu usmerila v prakso, ki kljub deklarirani lahkotnosti vsebuje drobce stekla v pesku. V zvezi s tem priporočam, da vestno preučite nekaj primerov te strani. Za reševanje praktičnih nalog morate biti sposobni najti izpeljanke in razumeti snov članka Intervali monotonosti in ekstremi funkcije.
Najprej na kratko o glavnem. V lekciji o kontinuiteta delovanja Podal sem definicijo zveznosti v točki in zveznosti na intervalu. Na podoben način je formulirano zgledno obnašanje funkcije na segmentu. Funkcija je zvezna na segmentu, če:
1) je zvezna na intervalu ;
2) zvezna v točki na desni in v bistvu levo.
Drugi odstavek obravnava t.i enostransko kontinuiteto funkcije na točki. Obstaja več pristopov k njegovi opredelitvi, vendar se bom držal prej začete linije:
Funkcija je zvezna v točki na desni, če je definirana v dani točki in njena desna meja sovpada z vrednostjo funkcije v dani točki: 
. V točki je neprekinjen levo, če je definiran na dani točki in je njegova leva meja enaka vrednosti na tej točki: 
Predstavljajte si, da so zelene pike žeblji, na katere je pritrjena čarobna gumica:
Mentalno vzemite rdečo črto v roke. Očitno je, da ne glede na to, kako daleč graf raztegnemo gor in dol (vzdolž osi), bo funkcija še vedno ostala omejeno- zgoraj živa meja, spodaj živa meja, naš izdelek pa se pase v ogradi. torej na segmentu zvezna funkcija je na njem omejena. Med matematično analizo je to na videz preprosto dejstvo navedeno in strogo dokazano Weierstrassov prvi izrek.… Marsikoga moti, da se elementarne trditve v matematiki dolgočasno utemeljujejo, vendar ima to pomemben pomen. Recimo, da je neki prebivalec frotirnega srednjega veka potegnil graf v nebo čez meje vidnosti, ta je bil vstavljen. Pred izumom teleskopa omejena funkcija v vesolju sploh ni bila očitna! Res, kako veš, kaj nas čaka za obzorjem? Konec koncev je nekoč veljala, da je Zemlja ravna, tako da danes tudi navadna teleportacija zahteva dokaz =)
Po navedbah drugi Weierstrassov izrek, neprekinjeno na segmentufunkcija doseže svojo natančen zgornji rob in njegov točen spodnji rob .
Številka se tudi imenuje največjo vrednost funkcije na segmentu in označeno z , in številka - najmanjša vrednost funkcije na intervalu označeno.
V našem primeru: 
Opomba
: v teoriji so zapisi običajni 
.
Grobo rečeno, največja vrednost se nahaja na najvišji točki grafa, najmanjša pa na najnižji točki.
Pomembno! Kot je bilo že poudarjeno v članku o ekstremi funkcije, največja vrednost funkcije in najmanjša vrednost funkcije – NI ENAKO, Kaj maksimalno delovanje in minimalna funkcija. Torej je v tem primeru število najmanjša vrednost funkcije, ne pa najmanjša vrednost.
Mimogrede, kaj se zgodi zunaj segmenta? Ja, tudi poplava nas v kontekstu obravnavane problematike sploh ne zanima. Naloga vključuje samo iskanje dveh številk 
in to je to!
Poleg tega je rešitev povsem analitična, torej ni treba risati!
Algoritem leži na površini in je razviden iz zgornje slike:
1) Poiščite vrednosti funkcije v kritične točke, ki spadajo v ta segment.
Ujemite še eno dobroto: ni treba preverjati zadostnega pogoja za ekstrem, saj, kot je bilo prikazano, prisotnost minimuma ali maksimuma še ni zagotovljeno kakšna je najmanjša ali največja vrednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum in po volji usode je isto število največja vrednost funkcije na intervalu . Seveda pa se takšno naključje ne zgodi vedno.
Tako je na prvem koraku hitreje in lažje izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo segmentu, ne da bi se obremenjevali, ali imajo ekstreme ali ne.
2) Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta.
3) Med vrednostmi funkcije, ki jih najdemo v 1. in 2. odstavku, izberemo najmanjšo in najbolj velika številka, zapišite odgovor.
Sedimo na obali modrega morja in udarjamo s petami v plitvi vodi:
Primer 1
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu
rešitev:
1) Izračunajte vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu:
Izračunajmo vrednost funkcije na drugi kritični točki:
2) Izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta: 
3) »Krepki« rezultati so bili pridobljeni z eksponenti in logaritmi, kar bistveno oteži njihovo primerjavo. Zaradi tega se bomo oborožili s kalkulatorjem ali Excelom in izračunali približne vrednosti, pri čemer ne bomo pozabili, da: 
Zdaj je vse jasno.
Odgovori:
Frakcijsko-racionalna instanca za neodvisno rešitev:
Primer 6
Poiščite največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu
Kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu?
Za to sledimo znanemu algoritmu:
1 . Najdemo funkcije odz.
2 . Iskanje odvoda funkcije
3 . Izenačite odvod na nič
4 . Poiščemo intervale, v katerih odvod ohrani predznak, in iz njih določimo intervale naraščanja in padanja funkcije:
Če je na intervalu I odvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} v tem intervalu narašča.
Če je na intervalu I odvod funkcije , potem funkcija se v tem intervalu zmanjša.
5 . Najdemo maksimalne in minimalne točke funkcije.
IN maksimalna točka funkcije, odvod spremeni predznak iz "+" v "-".
IN minimalna točka funkcijeizpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+".
6 . Vrednost funkcije najdemo na koncih segmenta,
- nato primerjamo vrednost funkcije na koncih segmenta in na maksimalnih točkah ter izberite največjo izmed njih, če želite najti največjo vrednost funkcije
- ali primerjamo vrednost funkcije na koncih odseka in v točkah minimuma ter izberite najmanjšo izmed njih, če želite najti najmanjšo vrednost funkcije
Vendar pa je glede na to, kako se funkcija obnaša v intervalu, ta algoritem mogoče znatno zmanjšati.
Upoštevajte funkcijo 
. Graf te funkcije izgleda takole:
Oglejmo si nekaj primerov reševanja problemov iz odprta banka naloge za
1. Naloga B15 (#26695)
Na rezu.
1. Funkcija je definirana za vse realne vrednosti x
Očitno je, da ta enačba nima rešitev in je derivat pozitiven za vse vrednosti x. Zato funkcija narašča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, to je pri x=0.
Odgovor: 5.
2 . Naloga B15 (št. 26702)
Poiščite največjo vrednost funkcije 
na segmentu.
1.ODZ funkcija title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Odvod je enak nič pri , vendar v teh točkah ne spremeni predznaka:
Zato je naslov="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} poveča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, pri .
Da bo jasno, zakaj izpeljanka ne spremeni predznaka, transformiramo izraz za izpeljanko na naslednji način:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3. Naloga B15 (#26708)
Poiščite najmanjšo vrednost funkcije na intervalu.
1. Funkcije ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korenine te enačbe na trigonometrični krog.
Interval vsebuje dve števili: in
Postavimo znake. Da bi to naredili, določimo predznak odvoda v točki x=0: 
. Pri prehodu skozi točke in odvod spremeni predznak.
Upodobimo spremembo predznaka odvoda funkcije na koordinatni premici:
Očitno je točka najmanjša točka (kjer izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+") in da bi našli najmanjšo vrednost funkcije na intervalu, morate primerjati vrednosti funkcije na najmanjši točki in na levem koncu segmenta, .
