Rešitev poišči največjo vrednost funkcije. Kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije v omejenem zaprtem območju
V praksi je precej običajno, da se za izračun največje in najmanjše vrednosti funkcije uporablja odvod. To dejanje izvedemo, ko ugotovimo, kako zmanjšati stroške, povečati dobiček, izračunati optimalno obremenitev proizvodnje itd., To je v tistih primerih, ko je treba določiti optimalno vrednost parametra. Za pravilno reševanje takih problemov je treba dobro razumeti, kaj sta največja in najmanjša vrednost funkcije.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Običajno te vrednosti definiramo znotraj nekega intervala x, ki lahko ustreza celotnemu obsegu funkcije ali njegovemu delu. Lahko je segment [ a ; b ] , in odprti interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , neskončni interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) ali neskončni interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
V tem članku bomo opisali, kako se izračuna največja in najmanjša vrednost eksplicitno podane funkcije z eno spremenljivko y=f(x) y = f (x).
Osnovne definicije
Začnemo, kot vedno, z oblikovanjem glavnih definicij.
Definicija 1
Največja vrednost funkcije y = f (x) na nekem intervalu x je vrednost m a x y = f (x 0) x ∈ X , kar za poljubno vrednost x x ∈ X , x ≠ x 0, naredi neenakost f (x ) ≤ f (x 0) .
Definicija 2
Najmanjša vrednost funkcije y = f (x) na nekem intervalu x je vrednost m i n x ∈ X y = f (x 0) , kar za vsako vrednost x ∈ X , x ≠ x 0, naredi neenakost f(X f (x) ≥ f(x0) .
Te definicije so dokaj očitne. Še lažje je reči tole: najvišjo vrednost funkcija je njena največja vrednost na znanem intervalu na abscisi x 0 , najmanjša pa je najmanjša sprejeta vrednost na istem intervalu na x 0 .
Definicija 3
Stacionarne točke so takšne vrednosti argumenta funkcije, pri katerih njen derivat postane 0.
Zakaj moramo vedeti, kaj so stacionarne točke? Za odgovor na to vprašanje se moramo spomniti Fermatovega izreka. Iz tega sledi, da je stacionarna točka točka, v kateri se nahaja ekstrem diferenciabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ali maksimum). Posledično bo funkcija zavzela najmanjšo ali največjo vrednost na določenem intervalu točno na eni od stacionarnih točk.
Druga funkcija lahko prevzame največjo ali najmanjšo vrednost v tistih točkah, kjer je sama funkcija določena in njen prvi odvod ne obstaja.
Prvo vprašanje, ki se pojavi pri preučevanju te teme, je: ali lahko v vseh primerih določimo največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na danem intervalu? Ne, tega ne moremo storiti, ko bodo meje danega intervala sovpadale z mejami domene definicije ali če imamo opravka z neskončnim intervalom. Zgodi se tudi, da funkcija v danem intervalu ali v neskončnosti zavzame neskončno majhne ali neskončno velike vrednosti. V teh primerih ni mogoče določiti največje in/ali najmanjše vrednosti.
Ti trenutki bodo bolj razumljivi po sliki na grafih:
Prva slika nam prikazuje funkcijo, ki zavzame največje in najmanjša vrednost(m a x y in m i n y) v stacionarnih točkah, ki se nahajajo na segmentu [ - 6 ; 6].
Oglejmo si podrobno primer, prikazan v drugem grafu. Spremenimo vrednost segmenta v [ 1 ; 6] in dobimo, da bo največja vrednost funkcije dosežena v točki z absciso na desni meji intervala, najmanjša pa v stacionarni točki.
Na tretji sliki predstavljajo abscise točk mejne točke odseka [ - 3 ; 2]. Ustrezata največji in najmanjši vrednosti dane funkcije.
Zdaj pa poglejmo četrto sliko. V njej funkcija zavzame m a x y (največjo vrednost) in m i n y (najmanjšo vrednost) v stacionarnih točkah v odprtem intervalu (- 6 ; 6) .
Če vzamemo interval [ 1 ; 6), potem lahko rečemo, da bo najmanjša vrednost funkcije na njej dosežena v stacionarni točki. Največje vrednosti ne bomo poznali. Funkcija bi lahko prevzela največjo vrednost pri x enakem 6, če bi x = 6 pripadal intervalu. Ta primer je prikazan na sliki 5.
Na grafu 6 dobi ta funkcija najmanjšo vrednost na desni meji intervala (- 3 ; 2 ] , o največji vrednosti pa ne moremo dokončno sklepati.
Na sliki 7 vidimo, da bo imela funkcija m a x y v stacionarni točki, ki ima absciso enako 1. Funkcija doseže najmanjšo vrednost na meji intervala z desna stran. Pri minus neskončnosti se bodo vrednosti funkcije asimptotično približale y = 3 .
Če vzamemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , potem bomo videli, da dana funkcija ne bo prevzela niti najmanjše niti največje vrednosti. Če se x nagiba k 2, se bodo vrednosti funkcije nagibale k minus neskončnosti, saj je ravna črta x = 2 navpična asimptota. Če se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se bodo vrednosti funkcije asimptotično približale y = 3. To je primer, prikazan na sliki 8.
V tem odstavku bomo podali zaporedje dejanj, ki jih je treba izvesti, da bi našli največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na določenem intervalu.
- Najprej poiščimo domeno funkcije. Preverimo, ali je segment, naveden v pogoju, vključen vanj.
- Sedaj pa izračunajmo točke v tem segmentu, v katerih prvi odvod ne obstaja. Najpogosteje jih najdemo v funkcijah, katerih argument je zapisan pod znakom modula, ali v potenčnih funkcijah, katerih eksponent je delno racionalno število.
- Nato ugotovimo, katere stacionarne točke spadajo v določen segment. Če želite to narediti, morate izračunati odvod funkcije, ga nato izenačiti z 0 in rešiti nastalo enačbo ter nato izbrati ustrezne korene. Če ne dobimo niti ene stacionarne točke ali ne sodijo v dani segment, nadaljujemo z naslednjim korakom.
- Določimo, katere vrednosti bo funkcija zavzela na danih stacionarnih točkah (če obstajajo) ali na tistih točkah, kjer prvi derivat ne obstaja (če obstaja), ali pa izračunamo vrednosti za x = a in x = b.
- 5. Imamo niz funkcijskih vrednosti, med katerimi moramo zdaj izbrati največjo in najmanjšo. To bo največja in najmanjša vrednost funkcije, ki jo moramo najti.
Poglejmo, kako pravilno uporabiti ta algoritem pri reševanju problemov.
Primer 1
Pogoj: podana je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Določite njegovo največjo in najmanjšo vrednost na segmentih [ 1 ; 4] in [-4; - 1 ] .
rešitev:
Začnimo z iskanjem domene te funkcije. V tem primeru bo to množica vseh realnih števil razen 0 . Z drugimi besedami, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Oba segmenta, navedena v pogoju, bosta znotraj območja definicije.
Zdaj izračunamo odvod funkcije po pravilu diferenciacije ulomka:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Izvedeli smo, da bo odvod funkcije obstajal v vseh točkah odsekov [1; 4] in [-4; - 1 ] .
Sedaj moramo določiti stacionarne točke funkcije. Naredimo to z enačbo x 3 - 8 x 3 = 0. Samo enega ima pravi koren, enako 2 . To bo stacionarna točka funkcije in bo spadala v prvi segment [ 1 ; 4 ] .
Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih prvega segmenta in na dani točki, tj. za x = 1, x = 2 in x = 4:
y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Dobili smo, da je največja vrednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 bo dosežen pri x = 1, najmanjši m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2 .
Drugi segment ne vključuje nobenih stacionarnih točk, zato moramo vrednosti funkcije izračunati le na koncih danega segmenta:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Zato je m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
odgovor: Za segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Glej sliko:
Preden se naučite te metode, vam svetujemo, da si ogledate, kako pravilno izračunate enostransko mejo in mejo v neskončnosti ter spoznate osnovne metode za njuno iskanje. Za iskanje največje in/ali najmanjše vrednosti funkcije na odprtem ali neskončnem intervalu izvedemo naslednje korake v zaporedju.
- Najprej morate preveriti, ali bo dani interval podmnožica domene dane funkcije.
- Določimo vse točke, ki jih vsebuje zahtevani interval in na katerih prvi odvod ne obstaja. Običajno so za funkcije, kjer je argument obdan z znakom modula, in za potenčne funkcije z ulomkom racionalni indikator. Če te točke manjkajo, lahko nadaljujete z naslednjim korakom.
- Sedaj določimo, katere stacionarne točke spadajo v dani interval. Najprej izenačimo odvod z 0, rešimo enačbo in poiščemo ustrezne korene. Če nimamo niti ene stacionarne točke ali ne spadajo v dani interval, potem gremo takoj na nadaljnje ukrepanje. Določeni so glede na vrsto intervala.
- Če je interval videti kot [ a ; b) , potem moramo izračunati vrednost funkcije v točki x = a in enostransko mejo lim x → b - 0 f (x) .
- Če ima interval obliko (a ; b ] , potem moramo izračunati vrednost funkcije v točki x = b in enostransko mejo lim x → a + 0 f (x) .
- Če ima interval obliko (a ; b) , potem moramo izračunati enostranske meje lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
- Če je interval videti kot [ a ; + ∞) , potem je treba izračunati vrednost v točki x = a in mejo na plus neskončnost lim x → + ∞ f (x) .
- Če je interval videti kot (- ∞ ; b ] , izračunamo vrednost v točki x = b in mejo v minus neskončnosti lim x → - ∞ f (x) .
- Če - ∞ ; b , potem upoštevamo enostransko mejo lim x → b - 0 f (x) in mejo pri minus neskončnosti lim x → - ∞ f (x)
- Če - ∞ ; + ∞ , potem upoštevamo meje na minus in plus neskončnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- Na koncu morate sklepati na podlagi dobljenih vrednosti funkcije in limitov. Tukaj je veliko možnosti. Torej, če je enostranska meja enaka minus neskončnosti ali plus neskončnosti, potem je takoj jasno, da o najmanjši in največji vrednosti funkcije ni mogoče reči ničesar. Spodaj bomo obravnavali en tipičen primer. Podrobni opisi pomagati razumeti, kaj je kaj. Po potrebi se lahko vrnete na slike 4 - 8 v prvem delu gradiva.
Pogoj: dana je funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovo največjo in najmanjšo vrednost v intervalih - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).
rešitev
Najprej poiščemo domeno funkcije. Imenovalec ulomka je kvadratni trinom, ki se ne sme spremeniti v 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Dobili smo obseg funkcije, ki mu pripadajo vsi intervali, navedeni v pogoju.
Zdaj pa ločimo funkcijo in dobimo:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Posledično obstajajo izpeljanke funkcije na celotnem področju njene definicije.
Pojdimo k iskanju stacionarnih točk. Odvod funkcije postane 0 pri x = - 1 2 . To je stacionarna točka, ki je v intervalih (- 3 ; 1 ] in (- 3 ; 2) .
Izračunajmo vrednost funkcije pri x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ] , kot tudi mejo pri minus neskončnosti:
y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Ker je 3 e 1 6 - 4 > - 1 , potem je m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . To nam ne omogoča enoznačne določitve najmanjše vrednosti funkcije. Sklepamo lahko le, da obstaja meja pod -1, saj se tej vrednosti asimptotično približuje funkcija pri minus neskončnosti.
Značilnost drugega intervala je, da nima niti ene stacionarne točke in niti ene stroge meje. Zato ne moremo izračunati niti največje niti najmanjše vrednosti funkcije. Z definiranjem meje pri minus neskončnosti in ker argument teži k -3 na levi strani, dobimo le obseg vrednosti:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
To pomeni, da se bodo vrednosti funkcije nahajale v intervalu - 1 ; +∞
Da bi našli največjo vrednost funkcije v tretjem intervalu, določimo njeno vrednost v stacionarni točki x = - 1 2, če je x = 1 . Prav tako moramo poznati enostransko mejo za primer, ko se argument nagiba k - 3 na desni strani:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Izkazalo se je, da bo funkcija zavzela največjo vrednost v stacionarni točki m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Najmanjše vrednosti pa ne moremo določiti. Vse, kar smo vedeti , je prisotnost spodnja meja na -4 .
Za interval (- 3 ; 2) vzemimo rezultate prejšnjega izračuna in še enkrat izračunajmo, čemu je enaka enostranska meja pri težnji k 2 z leve strani:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Zato je m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , najmanjše vrednosti pa ni mogoče določiti, vrednosti funkcije pa so od spodaj omejene s številom - 4 .
Glede na to, kar smo naredili v prejšnjih dveh izračunih, lahko trdimo, da je na intervalu [ 1 ; 2) funkcija bo prevzela največjo vrednost pri x = 1, najmanjšo pa je nemogoče najti.
Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija ne bo dosegla niti največje niti najmanjše vrednosti, tj. vzel bo vrednosti iz intervala - 1 ; +∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Po izračunu, koliko bo enaka vrednost funkcije pri x = 4, ugotovimo, da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , in dana funkcija pri plus neskončnosti se bo asimptotično približala premici y = - 1 .
Primerjajmo, kar smo dobili pri posameznem izračunu, z grafom dane funkcije. Na sliki so asimptote prikazane s pikčastimi črtami.
To je vse, kar smo želeli govoriti o iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije. Ta zaporedja dejanj, ki smo jih podali, vam bodo pomagala narediti potrebne izračune kar se da hitro in preprosto. Vendar ne pozabite, da je pogosto koristno najprej ugotoviti, v katerih intervalih se bo funkcija zmanjšala in v katerih se bo povečala, po tem pa je mogoče narediti nadaljnje sklepe. Tako lahko natančneje določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije ter utemeljite rezultate.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Največja in najmanjša vrednost funkcije
Največjo vrednost funkcije imenujemo največja, najmanjša vrednost je najmanjša od vseh njenih vrednosti.
Funkcija ima lahko samo eno največjo in samo eno najmanjšo vrednost ali pa je sploh nima. Iskanje največjih in najmanjših vrednosti zveznih funkcij temelji na naslednjih lastnostih teh funkcij:
1) Če je v nekem intervalu (končnem ali neskončnem) funkcija y=f(x) zvezna in ima samo en ekstrem, in če je ta maksimum (minimum), potem bo to največja (najmanjša) vrednost funkcije v tem intervalu.
2) Če je funkcija f(x) zvezna na nekem segmentu, potem ima nujno največjo in najmanjšo vrednost na tem segmentu. Te vrednosti so dosežene bodisi na ekstremnih točkah, ki ležijo znotraj segmenta, bodisi na mejah tega segmenta.
Za iskanje največjih in najmanjših vrednosti na segmentu je priporočljivo uporabiti naslednjo shemo:
1. Poiščite izpeljanko.
2. Poiščite kritične točke funkcije, kjer =0 ali ne obstaja.
3. Poiščite vrednosti funkcije na kritičnih točkah in na koncih odseka ter med njimi izberite največji f max in najmanjši f min.
Pri reševanju uporabnih problemov, zlasti optimizacijskih problemov, so pomembni problemi iskanja največje in najmanjše vrednosti (globalni maksimum in globalni minimum) funkcije na intervalu X. Za rešitev takšnih problemov je treba na podlagi pogoja , izberite neodvisno spremenljivko in skozi to spremenljivko izrazite preučevano vrednost. Nato poiščite želeno največjo ali najmanjšo vrednost dobljene funkcije. V tem primeru je iz pogoja problema določen tudi interval spreminjanja neodvisne spremenljivke, ki je lahko končen ali neskončen.
Primer. Rezervoar v obliki odprtega vrha kvader s kvadratnim dnom morate notranjost izločiti s pločevino. Kakšne naj bodo dimenzije rezervoarja s prostornino 108 litrov. vode, tako da je strošek njenega konzerviranja najmanjši?
rešitev. Stroški prevleke rezervoarja s kositrom bodo najnižji, če je za določeno zmogljivost njegova površina minimalna. Označimo z a dm - stran baze, b dm - višino rezervoarja. Potem je površina S njegove površine enaka
IN 
Nastala relacija vzpostavlja razmerje med površino rezervoarja S (funkcija) in stranico baze a (argument). Raziskujemo funkcijo S za ekstrem. Poiščite prvi odvod, ga enačajte z nič in rešite dobljeno enačbo:
Zato je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Primer. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije 
vmes.
rešitev: Nastavite funkcijo zvezna na celi številski premici. Izpeljanka funkcije
Izpeljanka pri in pri . Izračunajmo vrednosti funkcije na teh točkah:
.
Vrednosti funkcije na koncu danega intervala so enake. Zato je največja vrednost funkcije pri , najmanjša vrednost funkcije pa pri .
Vprašanja za samopregledovanje
1. Oblikujte L'Hopitalovo pravilo za razkritje negotovosti oblike . Seznam Različne vrste negotovosti, za razkritje katerih se lahko uporabi L'Hopitalovo pravilo.
2. Oblikujte znake naraščajoče in padajoče funkcije.
3. Določite maksimum in minimum funkcije.
4. Formulirajte potreben pogoj obstoj ekstrema.
5. Katere vrednosti argumenta (katere točke) se imenujejo kritične? Kako najti te točke?
6. Kateri so zadostni znaki za obstoj ekstrema funkcije? Oris sheme za preučevanje funkcije za ekstrem z uporabo prvega odvoda.
7. Oris sheme za preučevanje funkcije za ekstrem z uporabo drugega odvoda.
8. Opredelite konveksnost, konkavnost krivulje.
9. Kaj je prevojna točka funkcijskega grafa? Določite, kako najti te točke.
10. Formulirajte potrebne in zadostne znake konveksnosti in konkavnosti krivulje na danem segmentu.
11. Definirajte asimptoto krivulje. Kako najti navpično, vodoravno in poševno asimptoto grafa funkcije?
12. Država splošna shema preučevanje funkcije in izdelava njenega grafa.
13. Oblikujte pravilo za iskanje največjih in najmanjših vrednosti funkcije na danem intervalu.
Poglejmo, kako raziskati funkcijo z uporabo grafa. Izkazalo se je, da lahko ob pogledu na graf ugotovite vse, kar nas zanima, in sicer:
- obseg funkcije
- obseg delovanja
- funkcijske ničle
- obdobja naraščanja in upadanja
- visoke in nizke točke
- največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu.
Naj pojasnimo terminologijo:
Abscisa je vodoravna koordinata točke.
Ordinata- navpična koordinata.
abscisa- vodoravna os, najpogosteje imenovana os.
Y-os- navpična os ali os.
Prepir je neodvisna spremenljivka, od katere so odvisne vrednosti funkcije. Najpogosteje navedeno.
Z drugimi besedami, sami izberemo , nadomestimo v formuli funkcije in dobimo .
Domena funkcije - nabor tistih (in samo tistih) vrednosti argumenta, za katerega funkcija obstaja.
Označeno: ali.
Na naši sliki je domena funkcije segment. Na tem segmentu je narisan graf funkcije. Samo tukaj obstaja ta funkcija.
Območje delovanja je niz vrednosti, ki jih sprejme spremenljivka. Na naši sliki je to segment - od najnižje do najvišje vrednosti.
Funkcijske ničle- točke, kjer je vrednost funkcije enaka nič, tj. Na naši sliki sta to točki in .
Funkcijske vrednosti so pozitivne kje . Na naši sliki so to intervali in .
Vrednosti funkcij so negativne kje . Ta interval (ali interval) imamo od do.
Najpomembnejši koncepti - naraščajoče in padajoče funkcije na nekem setu. Kot niz lahko vzamete segment, interval, zvezo intervalov ali celotno številsko premico.
funkcija poveča
Z drugimi besedami, več kot je , več je , to pomeni, da gre graf v desno in navzgor.
funkcija zmanjša na množici, če za katero koli in pripada množici neenakost pomeni neenakost .
Pri padajoči funkciji večja vrednost ustreza manjši vrednosti. Graf gre desno in navzdol.
Na naši sliki funkcija narašča na intervalu in pada na intervalih in .
Določimo, kaj je maksimalne in minimalne točke funkcije.
Najvišja točka- to je notranja točka domene definicije, tako da je vrednost funkcije v njej večja kot v vseh točkah, ki so ji dovolj blizu.
Z drugimi besedami, največja točka je taka točka, vrednost funkcije, pri kateri več kot v sosednjih. To je lokalni "hrib" na karti.
Na naši sliki - največja točka.
Nizka točka- notranja točka definicijskega področja, tako da je vrednost funkcije v njej manjša kot v vseh točkah, ki so ji dovolj blizu.
To pomeni, da je najmanjša točka taka, da je vrednost funkcije v njej manjša kot v sosednjih. Na grafu je to lokalna "luknja".
Na naši sliki - najmanjša točka.
Bistvo je meja. Ni notranja točka definicijskega področja in zato ne ustreza definiciji maksimalne točke. Navsezadnje nima sosedov na levi. Na enak način na našem grafikonu ne more biti minimalne točke.
Največje in najmanjše točke se skupaj imenujejo ekstremne točke funkcije. V našem primeru je to in .
Kaj pa, če morate najti npr. minimalna funkcija na rezu? IN ta primer odgovor: . Ker minimalna funkcija je njegova vrednost na minimalni točki.
Podobno je maksimum naše funkcije . Doseže se na točki.
Lahko rečemo, da so ekstremi funkcije enaki in .
Včasih morate v nalogah najti največja in najmanjša vrednost funkcije na danem segmentu. Ni nujno, da sovpadajo s skrajnostmi.
V našem primeru najmanjša vrednost funkcije na intervalu je enak in sovpada z minimumom funkcije. Toda njegova največja vrednost na tem segmentu je enaka . Dosežen je na levem koncu segmenta.
V vsakem primeru sta največja in najmanjša vrednost zvezne funkcije na segmentu dosežena bodisi na ekstremnih točkah bodisi na koncih segmenta.
Preučevanje takega predmeta matematične analize, kot je funkcija, je zelo pomembno. pomen in na drugih področjih znanosti. Na primer, v ekonomske analize stalno je treba ocenjevati vedenje funkcije dobička, in sicer določiti njegov maksimum pomen in razviti strategijo za dosego tega.
Navodilo
Preučevanje kakršnega koli vedenja se mora vedno začeti z iskanjem domene definicije. Običajno je treba glede na stanje določenega problema določiti največjega pomen funkcije bodisi na celotnem območju bodisi na njegovem določenem intervalu z odprtimi ali zaprtimi mejami.
Na podlagi , največji je pomen funkcije y(x0), pri kateri je za poljubno točko definicijskega področja izpolnjena neenakost y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Grafično bo ta točka najvišja, če razporedite vrednosti argumenta vzdolž abscisne osi in samo funkcijo vzdolž ordinatne osi.
Za določitev največjega pomen funkcije, sledite algoritmu v treh korakih. Upoštevajte, da morate znati delati z enostranskimi in ter izračunati odvod. Torej, naj bo dana neka funkcija y(x) in najti je treba njeno največjo pomen na nekem intervalu z mejnimi vrednostmi A in B.
Ugotovite, ali je ta interval znotraj obsega funkcije. Če želite to narediti, ga morate najti ob upoštevanju vseh možnih omejitev: prisotnost ulomka v izrazu, kvadratni koren itd. Domena definicije je niz vrednosti argumentov, za katere je funkcija smiselna. Ugotovite, ali je dani interval njegova podmnožica. Če da, nadaljujte z naslednjim korakom.
Poiščite izpeljanko funkcije in rešite nastalo enačbo tako, da izenačite odvod na nič. Tako boste dobili vrednosti tako imenovanih stacionarnih točk. Ocenite, ali vsaj eden izmed njih spada v interval A, B.
Upoštevajte te točke na tretji stopnji, njihove vrednosti nadomestite s funkcijo. Glede na vrsto intervala izvedite naslednje dodatne korake. Če obstaja segment oblike [A, B], so mejne točke vključene v interval, to je označeno z oklepaji. Izračunajte vrednosti funkcije za x = A in x = B. Če je odprt interval (A, B), so mejne vrednosti preluknjane, tj. niso vključeni vanj. Rešite enostranske meje za x→A in x→B. Kombinirani interval oblike [A, B) ali (A, B), katerega ena od meja mu pripada, druga pa ne. Poiščite enostransko mejo, ko x teži k preluknjani vrednosti, in drugo nadomestite v Neskončni dvostranski interval (-∞, +∞) ali enostranski neskončni intervali oblike: , (-∞, B) Za realne limite A in B postopajte po že opisanih principih, za neskončne , poiščite meje za x→-∞ oziroma x→+∞.
Naloga na tej stopnji
V tem članku bom govoril o algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcija, minimalne in maksimalne točke.
Iz teorije bomo zagotovo potrebovali izpeljano tabelo in pravila razlikovanja. Vse je na tej tabli:
Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti.
Lažje razložim konkreten primer. Razmislite:
primer: Poiščite največjo vrednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na odseku [–4;0].
Korak 1. Vzamemo izpeljanko.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
2. korak Iskanje ekstremnih točk.
ekstremna točka poimenujemo takšne točke, v katerih funkcija doseže največjo ali najmanjšo vrednost.
Da bi našli ekstremne točke, je treba izenačiti odvod funkcije na nič (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Zdaj rešimo to bikvadratno enačbo in najdene korenine so naše ekstremne točke.
Takšne enačbe rešujem tako, da zamenjam t = x^2, nato 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Zmanjšamo enačbo za 5, dobimo: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Naredimo obratno zamenjavo x^2 = t:
X_(1 in 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 in 4) = ±sqrt(-13) (izključujemo, pod korenom ne morejo biti negativna števila, razen če seveda ne govorimo o kompleksnih številih)
Skupaj: x_(1) = 1 in x_(2) = -1 - to sta naši ekstremni točki.
3. korak Določite največjo in najmanjšo vrednost.
Metoda zamenjave.
V pogoju smo dobili segment [b][–4;0]. Točka x=1 ni vključena v ta segment. Zato tega ne upoštevamo. Toda poleg točke x=-1 moramo upoštevati tudi levo in desno mejo našega segmenta, to sta točki -4 in 0. Da bi to naredili, nadomestimo vse te tri točke v prvotno funkcijo. Upoštevajte, da je prvotni tisti, ki je podan v pogoju (y=x^5+20x^3–65x), nekateri začnejo nadomeščati v izpeljanko ...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
To pomeni, da je največja vrednost funkcije [b]44 in je dosežena v točkah [b]-1, kar imenujemo točka maksimuma funkcije na odseku [-4; 0].
Odločili smo se in dobili odgovor, super smo, lahko si oddahnete. Ampak nehaj! Se vam ne zdi, da je štetje y(-4) nekako preveč zapleteno? V razmerah omejenega časa je bolje uporabiti drugo metodo, imenujem jo takole:
Skozi intervale konstantnosti.
Te vrzeli najdemo za odvod funkcije, to je za našo bikvadratno enačbo.
Jaz to naredim na naslednji način. Narišem smerno črto. Določil sem točke: -4, -1, 0, 1. Kljub temu, da 1 ni vključena v danem segmentu, jo je treba vseeno zabeležiti, da lahko pravilno določimo intervale konstantnosti. Vzemimo neko število, večkrat večje od 1, recimo 100, in ga v mislih nadomestimo z našo bikvadratno enačbo 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Tudi brez da bi karkoli šteli, postane očitno, da je v točki 100 funkcija ima znak plus. To pomeni, da ima za intervale od 1 do 100 predznak plus. Pri prehodu skozi 1 (gremo od desne proti levi) funkcija spremeni predznak v minus. Pri prehodu skozi točko 0 bo funkcija ohranila predznak, saj je to le meja segmenta in ne koren enačbe. Pri prehodu skozi -1 bo funkcija ponovno spremenila predznak v plus.
Iz teorije vemo, da kje je odvod funkcije (in to smo zanj narisali) spremeni znak iz plusa v minus (točka -1 v našem primeru) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44, kot je izračunano prej) na tem segmentu (to je logično zelo jasno, funkcija se je prenehala povečevati, saj je dosegla svoj maksimum in začela padati).
V skladu s tem, kjer je odvod funkcije spremeni znak iz minusa v plus, doseženo lokalni minimum funkcije. Da, da, našli smo tudi lokalno minimalno točko, ki je 1, y(1) pa je najmanjša vrednost funkcije na intervalu, recimo od -1 do +∞. Upoštevajte, da je to samo LOKALNI MINIMUM, to je minimum na določenem segmentu. Ker bo dejanska (globalna) minimalna funkcija dosegla nekje tam, v -∞.
Prva metoda je po mojem mnenju enostavnejša teoretično, druga pa je enostavnejša z vidika aritmetičnih operacij, a veliko težja z vidika teorije. Navsezadnje včasih pride do primerov, ko funkcija ne spremeni predznaka, ko gre skozi koren enačbe, in res se lahko zmedeš s temi lokalnimi, globalnimi maksimumi in minimumi, čeprav boš moral vseeno dobro obvladati, če nameravaš za vpis na tehnično univerzo (in zakaj drugače opraviti profilni izpit in rešiti to nalogo). Toda praksa in samo praksa vas bo naučila, kako enkrat za vselej rešiti takšne težave. In lahko trenirate na naši spletni strani. Tukaj.
Če imate kakršna koli vprašanja ali kaj ni jasno, vprašajte. Z veseljem vam bom odgovoril in naredil spremembe, dopolnitve članka. Ne pozabite, da to spletno mesto ustvarjamo skupaj!
