كيفية إثبات أن التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود. كن دائما في مزاج جيد
المتوالية الهندسية- هذا التسلسل العددي، المصطلح الأول منه ليس صفريًا ، وكل مصطلح تالي يساوي المصطلح السابق مضروبًا في نفسه لا صفررقم.
مفهوم التقدم الهندسي
يُشار إلى التقدم الهندسي بالرمز b1 ، b2 ، b3 ، ... ، bn ،….
نسبة أي حد للخطأ الهندسي إلى حده السابق تساوي نفس الرقم ، أي ، b2 / b1 = b3 / b2 = b4 / b3 = ... = bn / b (n-1) = b (n + 1) / مليار =…. هذا يتبع مباشرة من تعريف التقدم الحسابي. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي. عادةً ما يُشار إلى مقام التقدم الهندسي بالحرف q.
مجموع التقدم الهندسي اللانهائي لـ | q |<1
تتمثل إحدى طرق تعيين التقدم الهندسي في تعيين المصطلح الأول b1 والمقام للخطأ الهندسي q. على سبيل المثال ، b1 = 4 ، q = -2. هذان الشرطان يعطيان تقدمًا هندسيًا من 4 ، -8 ، 16 ، -32 ،….
إذا كانت q> 0 (q لا تساوي 1) ، فإن التقدم هو تسلسل رتيب. على سبيل المثال ، التسلسل ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، ... هو تسلسل متزايد بشكل رتيب (b1 = 2 ، q = 2).
إذا كان المقام q = 1 في الخطأ الهندسي ، فسيكون كل أعضاء التقدم الهندسي متساويين مع بعضهم البعض. في مثل هذه الحالات ، يُقال إن التقدم هو تسلسل ثابت.
لكي يكون التسلسل العددي (bn) تسلسلاً هندسيًا ، من الضروري أن يكون كل من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، هو الوسط الهندسي للأعضاء المجاورة. وهذا يعني أنه من الضروري تحقيق المعادلة التالية
(b (n + 1)) ^ 2 = bn * b (n + 2) ، لأي n> 0 ، حيث n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.
الآن لنضع (Xn) - تقدم هندسي. مقام التقدم الهندسي q ، مع | q | ∞).
إذا أشرنا الآن بواسطة S إلى مجموع التقدم الهندسي اللانهائي ، فإن الصيغة التالية ستصمد:
S = x1 / (1-q).
فكر في مثال بسيط:
أوجد مجموع التقدم الهندسي اللانهائي 2، -2/3، 2/9، - 2/27، ....
لإيجاد S ، نستخدم صيغة مجموع التقدم الحسابي اللانهائي. | -1/3 |< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي ، أي أن كل حد يختلف عن السابق بمقدار q مرة. (سنفترض أن q ≠ 1 ، وإلا فإن كل شيء تافه للغاية). من السهل رؤية ذلك الصيغة العامة n -th من التقدم الهندسي b n = b 1 q n - 1 ؛ تختلف الحدود مع الأعداد b n و b m باختلاف q n - m مرة.موجودة مسبقا مصر القديمةلم يكن يعرف الحساب فحسب ، بل كان يعرف التقدم الهندسي أيضًا. هنا ، على سبيل المثال ، مهمة من بردية Rhind: "سبعة وجوه لها سبع قطط ؛ كل قطة تأكل سبعة فئران ، كل فأر يأكل سبع سنابل من الذرة ، كل أذن يمكن أن تنمو سبعة مقاييس من الشعير. ما هو حجم الأرقام في هذه السلسلة ومجموعها؟
 |
|
أرز. 1. مشكلة التقدم الهندسي المصري القديم |
هذه المهمة عدة مرات اختلافات مختلفةتتكرر بين شعوب أخرى في أوقات أخرى. على سبيل المثال ، كتب في القرن الثالث عشر. "كتاب العداد" لليوناردو بيزا (فيبوناتشي) لديه مشكلة تظهر فيها سبع نساء كبيرات السن في طريقهن إلى روما (من الواضح أن الحجاج) ، كل واحدة منها بها 7 بغال ، كل منها بها 7 أكياس ، كل منها به 7 أرغفة ، كل منها به 7 سكاكين ، كل منها في 7 أغماد. تسأل المشكلة عن عدد العناصر الموجودة.
مجموع أول n أعضاء من التقدم الهندسي S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). يمكن إثبات هذه الصيغة ، على سبيل المثال ، على النحو التالي: S n \ u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
دعنا نضيف الرقم b 1 q n إلى S n ونحصل على:
|
ومن ثم S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ، ونحصل على الصيغة اللازمة.
بالفعل على أحد الألواح الطينية لبابل القديمة ، التي يعود تاريخها إلى القرن السادس. قبل الميلاد على سبيل المثال ، يحتوي على المجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. صحيح ، كما هو الحال في عدد من الحالات الأخرى ، لا نعرف أين كانت هذه الحقيقة معروفة للبابليين .
يستخدم النمو السريع للتقدم الهندسي في عدد من الثقافات ، على وجه الخصوص ، في الهند ، مرارًا وتكرارًا كرمز واضح لعظمة الكون. في الأسطورة المعروفة عن ظهور الشطرنج ، يمنح الحاكم مخترعه الفرصة لاختيار المكافأة بنفسه ، ويسأل عن عدد من حبات القمح التي سيتم الحصول عليها إذا تم وضع أحدهم في الخلية الأولى من الخلية. رقعة الشطرنج ، اثنان في الثاني ، أربعة في الثالث ، ثمانية في الرابع ، وما إلى ذلك ، في كل مرة يتم مضاعفة الرقم. اعتقد الرب ذلك نحن نتكلم، على الأكثر ، عدد قليل من الحقائب ، لكنه أخطأ في التقدير. من السهل ملاحظة أنه بالنسبة لجميع المربعات الـ 64 من رقعة الشطرنج ، كان من المفترض أن يكون المخترع قد تلقى (2 64-1) حبة ، والتي يتم التعبير عنها كرقم مكون من 20 رقمًا ؛ حتى لو تم زرع سطح الأرض بالكامل ، فسيستغرق الأمر 8 سنوات على الأقل لجمع العدد المطلوب من الحبوب. يتم تفسير هذه الأسطورة أحيانًا على أنها إشارة إلى الاحتمالات غير المحدودة تقريبًا المخبأة في لعبة الشطرنج.
من السهل رؤية حقيقة أن هذا الرقم يتكون من 20 رقمًا:
2 64 \ u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \ u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \ u003d 1.6 10 19 (حساب أكثر دقة يعطي 1.84 10 19). لكني أتساءل عما إذا كان بإمكانك معرفة الرقم الذي ينتهي به هذا الرقم؟
يتزايد التقدم الهندسي إذا كان المقام أكبر من 1 في القيمة المطلقة ، أو يتناقص إذا كان أقل من واحد. في الحالة الأخيرةيمكن أن يصبح الرقم q n صغيرًا بشكل تعسفي لـ n كبير بدرجة كافية. بينما يزيد الأسي المتزايد بسرعة غير متوقعة ، يتناقص الأسي المتناقص بنفس السرعة.
أكبر n ، أضعف الرقم q n يختلف عن الصفر ، وكلما اقترب مجموع n من أعضاء التقدم الهندسي S n \ u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) إلى الرقم S \ u003d b 1 / (1 - ف). (مسبب لذلك ، على سبيل المثال ، F. Viet). الرقم S يسمى مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. ومع ذلك ، لقرون عديدة ، لم يكن السؤال عن معنى مجموع كل التقدم الهندسي ، مع عدد لا حصر له من المصطلحات ، واضحًا بما يكفي لعلماء الرياضيات.
يمكن ملاحظة التقدم الهندسي المتناقص ، على سبيل المثال ، في زينو aporias "العض" و "أخيل والسلحفاة". في الحالة الأولى ، من الواضح أن الطريق بالكامل (بافتراض الطول 1) هي مجموع عدد لا نهائي من الأجزاء 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، إلخ. وهذا بالطبع هو الحال من وجهة نظر الأفكار حول التقدم الهندسي المحدود اللانهائي. ومع ذلك - كيف يمكن أن يكون هذا؟
|
أرز. 2. التقدم بمعامل 1/2 |
في aporia حول Achilles ، يكون الوضع أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، لأن قاسم التقدم هنا لا يساوي 1/2 ، ولكن لبعض الأرقام الأخرى. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن أخيل يجري بسرعة v ، والسلحفاة تتحرك بسرعة u ، والمسافة الأولية بينهما هي l. سيجري أخيل هذه المسافة في الوقت l / v ، وستتحرك السلحفاة لمسافة lu / v خلال هذا الوقت. عندما يمر أخيل خلال هذا الجزء ، ستصبح المسافة بينه وبين السلحفاة مساوية لـ l (u / v) 2 ، وما إلى ذلك. اتضح أن اللحاق بالسلحفاة يعني إيجاد مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي مع الأول المصطلح l والمقام u / v. هذا المجموع - الجزء الذي سيديره أخيل في النهاية إلى نقطة الالتقاء بالسلحفاة - يساوي l / (1 - u / v) = lv / (v - u). ولكن ، مرة أخرى ، كيف نفسر هذه النتيجة ولماذا يكون لها أي معنى على الإطلاق ، لفترة طويلةلم يكن واضحا جدا.
|
أرز. 3. التدرج الهندسي بمعامل 2/3 |
استخدم أرخميدس مجموع التقدم الهندسي عند تحديد مساحة قطعة من القطع المكافئ. دع الجزء المعطى من القطع المكافئ يتم تحديده بواسطة الوتر AB ودع المماس عند النقطة D من القطع المكافئ يكون موازيًا لـ AB. لنفترض أن C هي نقطة منتصف AB ، و E نقطة منتصف AC ، و F نقطة منتصف CB. ارسم خطوطًا موازية للتيار المستمر من خلال النقاط A و E و F و B ؛ دع المماس مرسومًا عند النقطة D ، تتقاطع هذه الخطوط عند النقاط K ، L ، M ، N. دعنا أيضًا نرسم المقاطع AD و DB. دع الخط EL يتقاطع مع الخط AD عند النقطة G ، والقطع المكافئ عند النقطة H ؛ يتقاطع الخط FM مع الخط DB عند النقطة Q ، والخط المكافئ عند النقطة R. وفق النظرية العامةالمقاطع المخروطية ، DC هو قطر القطع المكافئ (أي قطعة موازية لمحورها) ؛ يمكن أن يكون هو والماس عند النقطة D بمثابة محاور إحداثيات x و y ، حيث تتم كتابة معادلة القطع المكافئ كـ y 2 \ u003d 2px (x هي المسافة من D إلى أي نقطة من قطر معين ، y هو طول a مقطع موازٍ لظل معين من نقطة القطر هذه إلى نقطة ما على القطع المكافئ نفسه).
بحكم معادلة القطع المكافئ ، DL 2 = 2 ∙ p LH ، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ، وبما أن DK = 2DL ، ثم KA = 4LH. منذ KA = 2LG ، LH = HG. مساحة المقطع ADB للقطع المكافئ تساوي مساحة المثلث ΔADB ومناطق المقطعين AHD و DRB مجتمعين. في المقابل ، فإن مساحة المقطع AHD تساوي بالمثل مساحة المثلث AHD والأجزاء المتبقية AH و HD ، مع كل منها يمكن إجراء نفس العملية - مقسمة إلى مثلث (Δ) و الجزءان المتبقيان () ، إلخ:
مساحة المثلث ΔAHD تساوي نصف مساحة المثلث ΔALD (لديهم قاعدة مشتركة AD ، والارتفاعات تختلف بمقدار مرتين) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المثلث ΔAKD ، وبالتالي نصف مساحة المثلث ΔACD. وبالتالي ، فإن مساحة المثلث ΔAHD تساوي ربع مساحة المثلث ΔACD. وبالمثل ، فإن مساحة المثلث ΔDRB تساوي ربع مساحة المثلث ΔDFB. إذن ، مساحة المثلثات ∆AHD و ∆DRB ، مجتمعة ، تساوي ربع مساحة المثلث ∆ADB. سيؤدي تكرار هذه العملية كما هو مطبق على المقاطع AH و HD و DR و RB إلى تحديد مثلثات منها ، حيث ستكون مساحتها ، مجتمعة ، أقل 4 مرات من مساحة المثلثات ΔAHD و ΔDRB ، المأخوذة معًا ، وبالتالي أقل بمقدار 16 مرة من مساحة المثلث ADB. وما إلى ذلك وهلم جرا:
وهكذا ، أثبت أرخميدس أن "كل جزء محاط بين خط مستقيم ومقطع مكافئ هو أربعة أرباع مثلث له نفس القاعدة والارتفاع المتساوي معه".
اذا الجميع عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون ذلك معطى تسلسل رقمي :
أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .
لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.
رقم أ 1 مُسَمًّى أول عضو في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — ثالث وما إلى ذلك وهلم جرا. رقم أ مُسَمًّى العضو التاسعالتسلسلات والعدد الطبيعي ن — رقمه .
من عضوين متجاورين أ و أ +1 تسلسل الأعضاء أ +1 مُسَمًّى تالي (تجاه أ )، أ أ — سابق (تجاه أ +1 ).
لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.
غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو التسلسل برقمه.
على سبيل المثال،
يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة
أ= 2ن- 1,
وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة
بن = (-1)ن +1 . ◄
يمكن تحديد التسلسل الصيغة المتكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).
على سبيل المثال،
لو أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5
أ 1 = 1,
أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
لو أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:
أ 1 = 1,
أ 2 = 1,
أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,
أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,
أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,
أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,
أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄
يمكن أن تكون التسلسلات أخير و بلا نهاية .
التسلسل يسمى ذروة إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.
على سبيل المثال،
تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
أخير.
تسلسل الرقم الأولي:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
بلا نهاية. ◄
التسلسل يسمى في ازدياد ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.
التسلسل يسمى يتضاءل ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.
على سبيل المثال،
2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄
يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .
التسلسلات الأحادية ، على وجه الخصوص ، هي زيادة في التسلسل وتناقص التسلسلات.
المتوالية العددية
المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.
أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .
هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:
أ +1 = أ + د,
أين د - بعض الأرقام.
وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:
أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.
رقم د مُسَمًّى الفرق في التقدم الحسابي.
لضبط التقدم الحسابي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والاختلاف.
على سبيل المثال،
لو أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:
أ 1 =3,
أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,
أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,
أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,
أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄
للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والاختلاف د ها ن
أ = أ 1 + (ن- 1)د.
على سبيل المثال،
أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي
1, 4, 7, 10, . . .
أ 1 =1, د = 3,
أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄
أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،
أ= أ 1 + (ن- 1)د،
أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,
ثم من الواضح
| أ=
| أ ن -1 + أ ن + 1
|
| 2
|
كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.
الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للمتوسط الحسابي للاثنين الآخرين.
على سبيل المثال،
أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.
دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:
أ = 2ن- 7,
أ ن -1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,
أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.
لذلك،
| أ ن + 1 + أ ن -1
| =
| 2ن- 5 + 2ن- 9
| = 2ن- 7 = أ,
|
| 2
| 2
|
◄
لاحظ أن ن يمكن العثور على العضو -th في التقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك
أ = أ ك + (ن- ك)د.
على سبيل المثال،
ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة
أ 5 = أ 1 + 4د,
أ 5 = أ 2 + 3د,
أ 5 = أ 3 + 2د,
أ 5 = أ 4 + د. ◄
أ = أ ن ك + دينار كويتي,
أ = أ ن + ك - دينار كويتي,
ثم من الواضح
| أ=
| أ ن ك
+ أ ن + ك
|
| 2
|
أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثانية ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.
بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:
أ م + أ ن = أ ك + ل,
م + ن = ك + ل.
على سبيل المثال،
في التقدم الحسابي
1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;
2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛
3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;
4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن
أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,
أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. . .+ أ,
أولاً ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:
من هذا ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك إذا كان من الضروري جمع الشروط
أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,
ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:
على سبيل المثال،
في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم الكميات أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:
لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.
التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:
- لو د > 0 ثم يتزايد.
- لو د < 0 ثم يتناقص.
- لو د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.
المتوالية الهندسية
المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.
ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .
هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:
ب ن +1 = ب ن · ف,
أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.
وبالتالي ، فإن نسبة الحد التالي من هذا التقدم الهندسي إلى الحد السابق هي رقم ثابت:
ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.
رقم ف مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.
لضبط التقدم الهندسي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والمقام.
على سبيل المثال،
لو ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:
ب 1 = 1,
ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,
ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,
ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,
ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄
ب 1 والمقام ف ها ن يمكن العثور على المصطلح الثالث بالصيغة:
ب ن = ب 1 · ف ن -1 .
على سبيل المثال،
أوجد الحد السابع للتقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .
ب 1 = 1, ف = 2,
ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄
مليار - 1 = ب 1 · ف ن -2 ,
ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,
ب ن +1 = ب 1 · ف ن,
ثم من الواضح
ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,
كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.
نظرًا لأن العكس صحيح أيضًا ، فإن التأكيد التالي ينطبق:
الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع واحد منهم يساوي المنتجالرقمان الآخران ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط الهندسي للرقمين الآخرين.
على سبيل المثال،
دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:
ب ن= -3 2 ن,
ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,
ب ن +1 = -3 2 ن +1 .
لذلك،
ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,
مما يثبت التأكيد المطلوب. ◄
لاحظ أن ن يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، حيث يكفي استخدام الصيغة
ب ن = ب ك · ف ن - ك.
على سبيل المثال،
ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة
ب 5 = ب 1 · ف 4 ,
ب 5 = ب 2 · ف 3,
ب 5 = ب 3 · q2,
ب 5 = ب 4 · ف. ◄
ب ن = ب ك · ف ن - ك,
ب ن = ب ن - ك · ف ك,
ثم من الواضح
ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك
مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.
بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:
بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,
م+ ن= ك+ ل.
على سبيل المثال،
أضعافا مضاعفة
1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;
2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;
4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن
ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,
ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن
أولاً ن أعضاء متتالية هندسية ذات قاسم ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:
وعندما ف = 1 - حسب الصيغة
S n= n.b. 1
لاحظ أنه إذا احتجنا إلى جمع الشروط
ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,
ثم يتم استخدام الصيغة:
| S n- ك -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك · | 1 - ف ن -
ك +1
| . |
| 1 - ف
|
على سبيل المثال،
أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
إذا تم إعطاء تسلسل هندسي ، ثم الكميات ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:
لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.
للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف ما يلي يحدث خصائص الرتابة :
- يتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:
ب 1 > 0 و ف> 1;
ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;
- يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:
ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;
ب 1 < 0 و ف> 1.
لو ف< 0 ، ثم يكون التقدم الهندسي متناوبًا مع الإشارة: فحدوده الفردية لها نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.
منتج أول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بالصيغة:
ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .
على سبيل المثال،
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
تقليل التقدم الهندسي بلا حدود
تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي الذي يكون معامل قاسمه أقل من 1 ، إنه
|ف| < 1 .
لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً تنازليًا. هذا يناسب القضية
1 < ف< 0 .
مع هذا المقام ، فإن التسلسل هو إشارة بالتناوب. على سبيل المثال،
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي حصل عليه مجموع الأول ن من حيث التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة
| س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . = | ب 1
| . |
| 1 - ف
|
على سبيل المثال،
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية
يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنفكر في مثالين فقط.
أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي
ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .
على سبيل المثال،
1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 7 2 . ◄
ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم ف ، الذي - التي
سجل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .
على سبيل المثال،
2, 12, 72, . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 6 و
إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄
الرياضيات مايتحكم الناس في الطبيعة وأنفسهم.
عالم الرياضيات والأكاديمي السوفيتي أ. كولموغوروف
المتوالية الهندسية.
إلى جانب مهام التدرجات الحسابية ، فإن المهام المتعلقة بمفهوم التقدم الهندسي شائعة أيضًا في اختبارات القبول في الرياضيات. لحل مثل هذه المشكلات بنجاح ، تحتاج إلى معرفة خصائص التقدم الهندسي ولديك مهارات جيدة في استخدامها.
هذه المقالة مخصصة لعرض الخصائص الرئيسية للتقدم الهندسي. كما يقدم أمثلة على حل المشكلات النموذجية, اقترضت من مهام اختبارات القبول في الرياضيات.
دعونا نلاحظ بشكل مبدئي الخصائص الرئيسية للتقدم الهندسي ونتذكر أكثر الصيغ الهامةوالبيانات, المرتبطة بهذا المفهوم.
تعريف.يسمى التسلسل العددي بالتتابع الهندسي إذا كان كل رقم من أرقامه ، بدءًا من الثاني ، مساويًا للرقم السابق ، مضروبًا في نفس الرقم. يسمى الرقم مقام التقدم الهندسي.
لتطور هندسيالصيغ صالحة
, (1)
أين . تسمى الصيغة (1) صيغة المصطلح العام للتقدم الهندسي ، والصيغة (2) هي الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي: يتطابق كل عضو في التقدم مع الوسط الهندسي لأعضائه المجاورين و.
ملحوظة، أنه بسبب هذه الخاصية تحديدًا ، يُطلق على التقدم المعني اسم "هندسي".
تم تلخيص الصيغتين (1) و (2) أعلاه على النحو التالي:
, (3)
لحساب المجموعأولاً أعضاء التقدم الهندسيالصيغة تنطبق
إذا عيّننا
أين . بما أن الصيغة (6) هي تعميم للصيغة (5).
في حالة متى و المتوالية الهندسيةيتناقص بشكل لا نهائي. لحساب المجموعلجميع أعضاء التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يتم استخدام الصيغة
. (7)
على سبيل المثال ، باستخدام الصيغة (7) ، يمكن للمرء أن يظهر، ماذا
أين . يتم الحصول على هذه المساواة من الصيغة (7) بشرط أن (المساواة الأولى) و (المساواة الثانية).
نظرية.اذا ثم
دليل. اذا ثم ،
لقد تم إثبات النظرية.
دعنا ننتقل إلى النظر في أمثلة لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "التقدم الهندسي".
مثال 1معطى: و. يجد .
حل.إذا تم تطبيق الصيغة (5) ، إذن
إجابة: .
مثال 2اسمحوا و. يجد .
حل.منذ و ، نستخدم الصيغ (5) ، (6) ونحصل على نظام المعادلات
إذا كانت المعادلة الثانية للنظام (9) مقسومة على الأولى، ثم أو. من هذا يتبع . دعونا ننظر في حالتين.
1. إذا ، ثم من المعادلة الأولى للنظام (9) لدينا.
2. إذا ، إذن.
مثال 3اسمحوا و. يجد .
حل.يتبع من الصيغة (2) أن أو. منذ ذلك الحين أو.
حسب الشرط. ومع ذلك ، لذلك. لأن و ، ثم هنا لدينا نظام المعادلات
إذا تم تقسيم المعادلة الثانية للنظام على الأولى ، ثم أو.
منذ ذلك الحين ، المعادلة لها جذر واحد مناسب. في هذه الحالة ، تشير المعادلة الأولى للنظام.
مع الأخذ بعين الاعتبار الصيغة (7) نحصل عليها.
إجابة: .
مثال 4معطى: و. يجد .
حل.منذ ذلك الحين .
لأنه إذن أو
وفقًا للصيغة (2) ، لدينا. في هذا الصدد ، من المساواة (10) نحصل أو.
ومع ذلك ، حسب الشرط ، لذلك.
مثال 5ومن المعروف أن. يجد .
حل. وفقًا للنظرية ، لدينا مساويتان
منذ ذلك الحين أو. لأنه عندها .
إجابة: .
مثال 6معطى: و. يجد .
حل.مع الأخذ بعين الاعتبار الصيغة (5) نحصل عليها
منذ ذلك الحين . منذ ذلك الحين وبعد ذلك.
مثال 7اسمحوا و. يجد .
حل.وفقًا للصيغة (1) ، يمكننا الكتابة
لذلك ، لدينا أو. ومن المعروف أن وبالتالي و.
إجابة: .
المثال 8أوجد مقام التدرج الهندسي المتناقص لانهائي إذا
و .
حل. من الصيغة (7) يتبعو . من هنا ومن حالة المشكلة نحصل على نظام المعادلات
إذا كانت المعادلة الأولى للنظام تربيع, ثم قسّم المعادلة الناتجة على المعادلة الثانية، ثم نحصل عليه
أو .
إجابة: .
المثال 9أوجد جميع القيم التي يمثل التسلسل ، تسلسلًا هندسيًا لها.
حل.اسمحوا و. وفقًا للصيغة (2) ، التي تحدد الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي ، يمكننا كتابة أو.
من هنا نحصل على المعادلة التربيعية, جذورهمو .
دعنا نتحقق من: إذا، ثم و ؛ إذا ، إذن ، و.
في الحالة الأولى لديناو ، وفي الثانية - و.
إجابة: ، .
المثال 10حل المعادلة
, (11)
اين و.
حل. الجهه اليسرىالمعادلة (11) هي مجموع التقدم الهندسي المتناقص اللانهائي ، وفيها و ، شريطة: و.
من الصيغة (7) يتبع، ماذا . في هذا الصدد ، تأخذ المعادلة (11) الشكلأو . جذر مناسب معادلة من الدرجة الثانيةيكون
إجابة: .
المثال 11.ص تسلسل الأرقام الموجبةيشكل تقدمًا حسابيًا، أ - المتوالية الهندسية، ما علاقتها به. يجد .
حل.لأن تسلسل حسابي، الذي - التي (الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي). بسبب ال، ثم أو. هذا يعني ، أن التقدم الهندسي. حسب الصيغة (2)، ثم نكتب ذلك.
منذ ذلك الحين وبعد ذلك . في هذه الحالة ، التعبيريأخذ الشكل أو. حسب الشرط ، لذلك من المعادلةنحن نحصل القرار الوحيدمشكلة قيد النظر، أي. .
إجابة: .
المثال 12.احسب المجموع
. (12)
حل. اضرب طرفي المساواة (12) في 5 واحصل على
إذا طرحنا (12) من التعبير الناتج، الذي - التي
أو .
للحساب ، نستبدل القيم في الصيغة (7) ونحصل عليها. منذ ذلك الحين .
إجابة: .
ستكون أمثلة حل المشكلات الواردة هنا مفيدة للمتقدمين في التحضير لامتحانات القبول. لدراسة أعمق لطرق حل المشكلات, المرتبطة بالتقدم الهندسي, ممكن استخدامه أدلة الدراسةمن قائمة الأدبيات الموصى بها.
1. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: Mir i Obrazovanie ، 2013. - 608 ص.
2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: أقسام إضافية من المناهج الدراسية. - م: ليناند / URSS، 2014. - 216 ص.
3. Medynsky M.M. دورة كاملةالرياضيات الابتدائية في المهام والتمارين. الكتاب الثاني: التسلسل الرقمي والتعاقب. - م: إيدتوس، 2015. - 208 ص.
هل لديك اسئلة؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.
مستوى اول
المتوالية الهندسية. دليل شاملمع أمثلة (2019)
تسلسل رقمي
لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:
تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:
الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.
عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.
في حالتنا هذه:
أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي العمليات الحسابية والهندسية. في هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - المتوالية الهندسية.
لماذا نحتاج إلى التقدم الهندسي وتاريخه.
حتى في العصور القديمة ، تعامل عالم الرياضيات الإيطالي ، الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) ، مع الاحتياجات العملية للتجارة. واجه الراهب مهمة تحديد ما هو أصغر عدد من الأوزان يمكن استخدامه لوزن البضائع؟ يثبت فيبوناتشي في كتاباته أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذه واحدة من المواقف الأولى التي كان على الناس فيها التعامل مع التقدم الهندسي ، والتي ربما سمعت عنها ولديك على الأقل المفهوم العام. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا ، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟
في الوقت الحاضر ، في ممارسة الحياة ، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك ، عندما يتم تحميل مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. بمعنى آخر ، إذا قمت بوضع أموال على وديعة لأجل بنك الادخار، ثم في عام ستزداد المساهمة من المبلغ الأصلي ، أي سيكون المبلغ الجديد مساويًا للمساهمة مضروبة في. في عام آخر ، سيزداد هذا المبلغ بمقدار ، أي. يتم ضرب المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف حالة مماثلة في مشاكل الحوسبة ما يسمى ب الفائدة المركبة- تؤخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود على الحساب مع مراعاة الفائدة السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.
هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. على سبيل المثال ، انتشار الأنفلونزا: قام شخص ما بإصابة شخص ما ، وقام بدوره بإصابة شخص آخر ، وبالتالي الموجة الثانية من العدوى - شخص ، وقاموا بدورهم بإصابة شخص آخر ... وهكذا ... .
بالمناسبة ، الهرم المالي ، نفس MMM ، هو حساب بسيط وجاف وفقًا لخصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا نفهم ذلك.
المتوالية الهندسية.
لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:
ستجيب على الفور أنه سهل وأن اسم مثل هذا التسلسل هو تقدم حسابي مع اختلاف أعضائه. ماذا عن شيء مثل هذا:
إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم التالي ، فسترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وما إلى ذلك) ، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم تالي يكون أكبر بمرات من الرقم السابق!
هذا النوع من التسلسل يسمى المتوالية الهندسيةويتم وضع علامة.
التقدم الهندسي () هو متتالية عددية ، الحد الأول منها يختلف عن الصفر ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس العدد. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
القيود التي تشير إلى أن المصطلح الأول () ليس مساويًا وليس عشوائيًا. لنفترض أنه لا يوجد شيء ، وأن المصطلح الأول لا يزال متساويًا ، و q هو ، hmm .. دعنا نتضح:
توافق على أن هذا ليس تقدمًا.
كما تفهم ، سوف نحصل على نفس النتائج إذا كان أي رقم بخلاف الصفر ، ولكن. في هذه الحالات ، لن يكون هناك تقدم ببساطة ، لأن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما جميع الأصفار ، أو رقم واحد ، وجميع الأصفار المتبقية.
الآن دعنا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي ، أي حول.
دعنا نكرر: - هذا رقم ، كم مرة يتغير كل مصطلح لاحقالمتوالية الهندسية.
ماذا تعتقد يمكن أن يكون؟ هذا صحيح ، إيجابي وسلبي ، لكن ليس صفرًا (تحدثنا عن هذا أعلى قليلاً).
لنفترض أن لدينا إيجابية. دعونا في حالتنا ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟ يمكنك بسهولة الإجابة على ما يلي:
حسنًا. وفقًا لذلك ، إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - هم إيجابي.
ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟
إنها قصة مختلفة تمامًا
حاول أن تحسب مصطلح هذا التقدم. كم لم تحصل عليه؟ أملك. وبالتالي ، إذا ، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي ، إذا رأيت تقدمًا بعلامات بديلة في أعضائها ، فإن قاسمها يكون سالبًا. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة في اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
الآن دعنا نتدرب قليلاً: حاول تحديد أي التسلسلات العددية هي تسلسل هندسي ، وأيها متسلسل حسابي:
فهمتها؟ قارن إجاباتنا:
- التقدم الهندسي - 3 ، 6.
- التقدم الحسابي - 2 ، 4.
- إنه ليس تطورًا حسابيًا ولا هندسيًا - 1 ، 5 ، 7.
دعنا نعود إلى التقدم الأخير ، ودعونا نحاول إيجاد حده بنفس الطريقة كما في الحساب. كما قد تكون خمنت ، هناك طريقتان للعثور عليه.
نقوم بضرب كل مصطلح على التوالي في.
إذن ، العضو -th في التقدم الهندسي الموصوف يساوي.
كما تخمن بالفعل ، ستشتق الآن معادلة تساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل سبق لك أن أخرجتها لنفسك ، واصفة كيفية العثور على العضو ال على مراحل؟ إذا كان الأمر كذلك ، فتحقق من صحة منطقك.
دعنا نوضح ذلك بمثال العثور على العضو -th في هذا التقدم:
بعبارة أخرى:
اكتشف لنفسك قيمة عضو في تقدم هندسي معين.
حدث؟ قارن إجاباتنا:
انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما ضربنا على التوالي كل عضو سابق في التقدم الهندسي.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فنحن نضعها في شكل عام ونحصل على:
الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الموجبة والسالبة. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي بالشروط التالية: أ.
هل عدت؟ لنقارن النتائج:
توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على عضو في التقدم بنفس طريقة العضو ، ومع ذلك ، هناك احتمال لسوء التقدير. وإذا وجدنا بالفعل الحد الخامس للتقدم الهندسي ، أ ، فما الذي يمكن أن يكون أسهل من استخدام الجزء "المبتور" من الصيغة.
تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.
في الآونة الأخيرة ، تحدثنا عن ما يمكن أن يكون أكثر و أقل من الصفرومع ذلك ، هناك قيم خاصة تسمى التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي.
لماذا تعتقد أنه يحمل مثل هذا الاسم؟
بادئ ذي بدء ، دعنا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من أعضاء.
دعنا نقول ، إذن:
نرى أن كل مصطلح لاحق أقل من السابق في الأوقات ، لكن هل سيكون هناك أي رقم؟ أنت تجيب على الفور - "لا". هذا هو سبب التناقص اللامتناهي - النقصان ، النقصان ، لكن لا يصبح صفرًا أبدًا.
لفهم ما يبدو عليه هذا بصريًا بوضوح ، دعنا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذلك ، في حالتنا ، تأخذ الصيغة الشكل التالي:
في الرسوم البيانية ، اعتدنا أن نبني الاعتماد على:
لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول ، أظهرنا اعتماد قيمة عضو التقدم الهندسي على رقمه الترتيبي ، وفي الإدخال الثاني ، أخذنا ببساطة قيمة عضو التقدم الهندسي لـ ، و تم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ ، ولكن كـ. كل ما تبقى هو رسم الرسم البياني.
دعونا نرى ما حصل. هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:
يرى؟ تتناقص الدالة ، وتميل إلى الصفر ، ولكنها لا تتجاوزها أبدًا ، لذا فهي تتناقص بلا حدود. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني ، وفي نفس الوقت ماذا يعني الإحداثي:
حاول رسم رسم بياني للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان المصطلح الأول متساويًا أيضًا. حلل ما هو الفرق مع مخططنا السابق؟
هل تستطيع فعلها؟ هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:
الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع التقدم الهندسي: أنت تعرف ما هو ، وتعرف كيفية العثور على المصطلح ، وتعرف أيضًا ما هو التدرج الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، دعنا ننتقل إلى خاصيته الرئيسية.
خاصية التقدم الهندسي.
هل تتذكر خاصية أعضاء التقدم الحسابي؟ نعم ، نعم ، كيف تجد قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لأعضاء هذا التقدم. تذكرت؟ هذا:
نحن الآن نواجه نفس السؤال تمامًا عن شروط التقدم الهندسي. لاشتقاق مثل هذه الصيغة ، لنبدأ في الرسم والتفكير. سترى ، الأمر سهل للغاية ، وإذا نسيت ، يمكنك إخراجها بنفسك.
لنأخذ تقدمًا هندسيًا بسيطًا آخر نعرفه و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي ، هذا سهل وبسيط ، ولكن كيف يتم هنا؟ في الواقع ، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى رسم كل قيمة مُعطاة لنا وفقًا للصيغة.
أنت تسأل ، والآن ماذا نفعل بها؟ نعم ، بسيط جدا. بادئ ذي بدء ، دعنا نصور هذه الصيغ في الشكل ، ونحاول إجراء العديد من التلاعبات بها من أجل الوصول إلى قيمة.
نحن نستخلص من الأرقام التي حصلنا عليها ، سنركز فقط على تعبيرها من خلال صيغة. نحن بحاجة إلى إيجاد القيمة المميزة البرتقالي، ومعرفة المصطلحات المجاورة لها. دعونا نحاول الإنتاج معهم نشاطات متنوعة، ونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.
إضافة.
دعنا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:
من هذا التعبير ، كما ترى ، لن نتمكن من التعبير بأي شكل من الأشكال ، لذلك سنجرب خيارًا آخر - الطرح.
الطرح.
كما ترى ، لا يمكننا التعبير عن هذا أيضًا ، لذلك سنحاول ضرب هذه التعبيرات ببعضها البعض.
عمليه الضرب.
انظر الآن بعناية إلى ما لدينا ، وضرب شروط التقدم الهندسي المعطى لنا مقارنة بما يجب إيجاده:
خمن ما أتحدث عنه؟ صحيح ، للعثور علينا أن نأخذ الجذر التربيعيمن أرقام التقدم الهندسي المجاورة للعدد المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:
ها أنت ذا. أنت نفسك استنتجت خاصية التقدم الهندسي. جرب كتابة هذه الصيغة نظرة عامة. حدث؟
هل نسيت الشرط متى؟ فكر في سبب أهميته ، على سبيل المثال ، حاول حسابه بنفسك ، على. ما يحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح ، هراء كامل ، لأن الصيغة تبدو كالتالي:
وعليه لا تنسى هذا القيد.
الآن دعونا نحسب ما هو
اجابة صحيحة - ! إذا لم تنسَ القيمة المحتملة الثانية عند الحساب ، فأنت زميل رائع ويمكنك المتابعة على الفور إلى التدريب ، وإذا نسيت ، اقرأ ما تم تحليله أدناه وانتبه إلى سبب وجوب كتابة كلا الجذور في الإجابة .
دعنا نرسم كلاً من التدرجات الهندسية - أحدهما له قيمة والآخر بقيمة ، ونتحقق مما إذا كان كلاهما لهما الحق في الوجود:
من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا ، من الضروري معرفة ما إذا كان هو نفسه بين جميع أعضائه المعينين؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.
ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن علامة المصطلح المطلوب تعتمد على ما إذا كانت موجبة أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو ، علينا كتابة كلتا الإجابتين بعلامة زائد وناقص.
الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة لخاصية التقدم الهندسي ، ابحث عن ، وعلم و
قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:
ما رأيك ، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم أعضاء التقدم الهندسي المجاور للعدد المطلوب ، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال ، نحن بحاجة إلى إيجاد وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي اشتقناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة ، ووصف ما تتكون منه كل قيمة ، كما فعلت عند اشتقاق الصيغة في البداية ، باستخدام.
على ماذا حصلت؟
الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبالمقابل:
من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الجواربالشروط المرغوبة للتقدم الهندسي ، ولكن أيضًا مع متساوي البعدمما يبحث عنه الأعضاء.
وهكذا تصبح صيغتنا الأصلية:
أي ، إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى ، نقول الآن إنه يمكن أن يكون مساويًا لأي عدد طبيعي أقل. الشيء الرئيسي هو أن تكون متماثلًا لكلا الرقمين المعينين.
تدرب على أمثلة ملموسةفقط كن حذرا للغاية!
- و. يجد.
- و. يجد.
- و. يجد.
مقرر؟ أتمنى أن تكون منتبهاً للغاية ولاحظت مشكلة صغيرة.
نقارن النتائج.
في الحالتين الأوليين ، نطبق الصيغة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:
في الحالة الثالثة ، بعد دراسة دقيقة للأرقام التسلسلية للأرقام المعطاة لنا ، نفهم أنها ليست على مسافة متساوية من الرقم الذي نبحث عنه: إنه الرقم السابق ، ولكن تم إزالته في الموضع ، لذلك لا يمكن لتطبيق الصيغة.
كيف حلها؟ في الواقع ليس الأمر صعبًا كما يبدو! دعنا نكتب معك ما يتكون منه كل رقم معطى لنا والرقم المطلوب.
لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا فعله معهم. أقترح تقسيم. نحن نحصل:
نستبدل بياناتنا في الصيغة:
الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها - لهذا علينا أن نتخذها الجذر التكعيبيمن الرقم المستلم.
الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ، لكن علينا أن نجد ، وهذا بدوره يساوي:
وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:
جوابنا: .
حاول حل مشكلة أخرى بنفسك:
منح: ،
يجد:
كم لم تحصل عليه؟ أملك - .
كما ترون ، في الواقع ، أنت بحاجة تذكر صيغة واحدة فقط-. كل ما تبقى يمكنك الانسحاب دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك ، اكتب ببساطة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق واكتب ما ، وفقًا للصيغة أعلاه ، كل رقم من أرقامها يساوي.
مجموع شروط التقدم الهندسي.
الآن ضع في اعتبارك الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع شروط التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:
لاشتقاق صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المحدود ، نضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه في. نحن نحصل:
انظر عن كثب: ما هو القاسم المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح ، الأعضاء العاديون ، على سبيل المثال وما إلى ذلك ، باستثناء العضو الأول والأخير. دعنا نحاول طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية. على ماذا حصلت؟
عبر الآن من خلال صيغة عضو في التقدم الهندسي واستبدل التعبير الناتج في صيغتنا الأخيرة:
جمّع التعبير. يجب ان تحصل على:
كل ما تبقى هو التعبير عن:
تبعا لذلك ، في هذه الحالة.
ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل إذن؟ تخيل تقدمًا هندسيًا في. كيف تبدو؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة بشكل صحيح ، على التوالي ، ستبدو الصيغة كما يلي:
كما هو الحال مع التقدم الحسابي والهندسي ، هناك العديد من الأساطير. واحد منهم هو أسطورة سيث ، خالق الشطرنج.
يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي ، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المواقف الممكنة فيها. عندما علم أنه اخترعها أحد رعاياه ، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. اتصل بالمخترع وأمره أن يطلب منه ما يريد ، واعدًا بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.
طلب سيتا وقتًا للتفكير ، وعندما ظهر سيتا في اليوم التالي أمام الملك ، فاجأ الملك بتواضع لا مثيل له في طلبه. طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج ، وحنطة للمربع الثاني ، والثالث ، والرابع ، وهكذا.
كان الملك غاضبًا وطرد Seth بعيدًا ، قائلاً إن طلب الخادم لا يستحق كرم الملك ، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل جميع خلايا اللوحة.
والسؤال الآن هو: باستخدام صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي ، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يتلقاها Seth؟
لنبدأ بالمناقشة. نظرًا لأن سيث ، وفقًا للشرط ، طلب حبة قمح للخلية الأولى من رقعة الشطرنج ، للخلية الثانية ، للخلية الثالثة ، للرابع ، إلخ ، نرى أن المشكلة تتعلق بالتقدم الهندسي. ما هو المتساوي في هذه الحالة؟
يمين.
مجموع خلايا رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات ، يبقى فقط الاستبدال في الصيغة والحساب.
لتمثيل "مقاييس" رقم معين على الأقل تقريبًا ، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:
بالطبع ، إذا أردت ، يمكنك أن تأخذ آلة حاسبة وتحسب نوع الرقم الذي ستنتهي به ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتعين عليك أن تأخذ كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
إنه:
كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.
فوه) إذا كنت تريد تخيل ضخامة هذا الرقم ، فعليك تقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
مع ارتفاع الحظيرة م وعرضها م ، يجب أن يمتد طولها إلى كيلومتر ، أي ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.
إذا كان الملك قويًا في الرياضيات ، فيمكنه أن يعرض على العالم نفسه لعد الحبوب ، لأنه من أجل عد مليون حبة ، سيحتاج على الأقل يومًا من العد الدؤوب ، وبالنظر إلى أنه من الضروري عد الكوينتيليونات ، يجب أن تحسب الحبوب طوال حياته.
والآن سنحل مسألة بسيطة تتعلق بمجموع حدود التقدم الهندسي.
أصيب فاسيا ، طالب الصف الخامس ، بالأنفلونزا ، لكنه استمر في الذهاب إلى المدرسة. كل يوم ، يصيب فاسيا شخصين يصيبان بدوره شخصين آخرين ، وهكذا دواليك. فقط شخص واحد في الفصل. في كم يوم سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟
إذن ، أول عضو في التقدم الهندسي هو فاسيا ، أي شخص. العضو العاشر في التقدم الهندسي ، هذان الشخصان اللذان أصابهما في اليوم الأول من وصوله. المبلغ الإجماليأعضاء التقدم يساوي عدد الطلاب 5A. وفقًا لذلك ، نحن نتحدث عن تقدم يتم فيه:
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغة لمجموع شروط التقدم الهندسي:
سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تؤمن بالصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "إصابة" الطلاب بنفسك. حدث؟ انظر كيف تبدو بالنسبة لي:
احسب لنفسك عدد الأيام التي سيصاب فيها الطلاب بالأنفلونزا إذا أصاب الجميع شخصًا ما ، وكان هناك شخص في الفصل.
ما هي القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأوا يمرضون بعد يوم.
كما ترون ، فإن مثل هذه المهمة والرسم لها يشبه الهرم ، حيث "يجلب" كل شخص لاحقًا أشخاصًا جددًا. ومع ذلك ، عاجلاً أم آجلاً ، تأتي لحظة لا يستطيع فيها الأخير جذب أي شخص. في حالتنا ، إذا تخيلنا أن الفصل معزول ، فإن الشخص من يغلق السلسلة (). وبالتالي ، إذا كان شخص ما متورطًا في هرم مالي تم تقديم المال فيه إذا أحضرت مشاركين آخرين ، فلن يقوم الشخص (أو في الحالة العامة) بإحضار أي شخص ، على التوالي ، سيخسر كل ما استثمره في عملية الاحتيال المالية هذه .
كل ما قيل أعلاه يشير إلى تناقص أو زيادة التقدم الهندسي ، ولكن ، كما تتذكر ، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. كيف تحسب مجموع أعضائها؟ ولماذا هذا النوع من التقدم له ميزات معينة؟ دعونا نفهمها معًا.
لذا ، بالنسبة للمبتدئين ، دعنا ننظر مرة أخرى إلى هذه الصورة للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:
والآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي ، المشتقة قبل ذلك بقليل:
أو
ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح ، يوضح الرسم البياني أنه يميل إلى الصفر. أي عندما تكون متساوية تقريبًا ، على التوالي ، عند حساب التعبير ، سنحصل تقريبًا. في هذا الصدد ، نعتقد أنه عند حساب مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يمكن إهمال هذه الشريحة ، لأنها ستكون متساوية.
- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.
مهم!لا نستخدم صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحةً على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع بلا نهايةعدد الأعضاء.
إذا تمت الإشارة إلى رقم محدد n ، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حد n ، حتى لو أو.
والآن دعونا نتدرب.
- أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي مع و.
- أوجد مجموع شروط التدرج الهندسي المتناقص بلا حدود باستخدام و.
أتمنى أن تكون حذرا جدا. قارن إجاباتنا:
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي ، وقد حان الوقت للانتقال من النظرية إلى التطبيق. المشاكل الأسية الأكثر شيوعًا الموجودة في الاختبار هي مشاكل الفائدة المركبة. سنتحدث عنهم.
مشاكل حساب الفائدة المركبة.
يجب أن تكون قد سمعت عن ما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ما تعنيه؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فلنكتشف ذلك ، لأنك بعد أن أدركت العملية نفسها ، ستفهم على الفور ما يجب أن يفعله التقدم الهندسي بها.
نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك ظروف مختلفةعلى الودائع: هذا هو مصطلح ، وصيانة إضافية ، ونسبة مئوية مع اثنين طرق مختلفةحسابه - بسيط ومعقد.
مع مصلحة بسيطةكل شيء واضح إلى حد ما: يتم تحصيل الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. بمعنى ، إذا كنا نتحدث عن وضع 100 روبل في السنة ، فسيتم تقييدها فقط في نهاية العام. وفقًا لذلك ، في نهاية الإيداع ، سوف نتلقى روبل.
الفائدة المركبةهو الخيار الذي رسملة الفائدة، أي. إضافتهم إلى مبلغ الوديعة والحساب اللاحق للدخل ليس من المبلغ الأولي ، ولكن من المبلغ المتراكم للإيداع. لا تحدث الكتابة بالأحرف الكبيرة باستمرار ، ولكن مع بعض التواتر. كقاعدة عامة ، تكون هذه الفترات متساوية وغالبًا ما تستخدم البنوك شهرًا أو ربعًا أو سنة.
لنفترض أننا وضعنا كل الروبلات نفسها سنويًا ، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نحصل؟
هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن كذلك ، فلنأخذ الأمر خطوة بخطوة.
أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر ، يجب أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من روبلنا بالإضافة إلى الفائدة عليه ، أي:
يوافق؟
يمكننا إخراجها من القوس ثم نحصل على:
موافق ، هذه الصيغة تشبه بالفعل الصيغة التي كتبناها في البداية. يبقى التعامل مع النسب المئوية
في حالة المشكلة ، يتم إخبارنا عن السنوي. كما تعلم ، نحن لا نضرب في - نقوم بتحويل النسب المئوية إلى الكسور العشرية، إنه:
يمين؟ الآن تسأل ، من أين أتى الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: حالة المشكلة تقول عنها سنويالفوائد المستحقة شهريا. كما تعلم ، في غضون عام من الأشهر ، على التوالي ، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:
أدرك؟ حاول الآن كتابة الشكل الذي سيبدو عليه هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة تحسب يوميًا.
هل تستطيع فعلها؟ لنقارن النتائج:
أحسنت! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا للشهر الثاني ، مع الأخذ في الاعتبار أن الفائدة يتم خصمها على مبلغ الإيداع المتراكم.
هذا ما حدث لي:
أو بعبارة أخرى:
أعتقد أنك قد لاحظت بالفعل نمطًا ورأيت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سيساوي أعضائه ، أو بعبارة أخرى ، مقدار الأموال التي سنحصل عليها في نهاية الشهر.
فعل؟ تدقيق!
كما ترى ، إذا وضعت أموالًا في أحد البنوك لمدة عام بفائدة بسيطة ، فستتلقى روبل ، وإذا وضعتها بسعر مركب ، فستتلقى روبل. الفائدة صغيرة ، لكن هذا يحدث فقط خلال العام الثالث ، ولكن لفترة أطول ، تكون الرسملة أكثر ربحية:
فكر في نوع آخر من مشاكل الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته ، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. لذا فإن المهمة هي:
بدأت Zvezda الاستثمار في الصناعة في عام 2000 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2001 ، حققت ربحًا يساوي رأس مال العام السابق. ما مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة Zvezda في نهاية عام 2003 ، إذا لم يتم سحب الربح من التداول؟
عاصمة شركة زفيزدا عام 2000.
- عاصمة شركة زفيزدا عام 2001.
- عاصمة شركة زفيزدا عام 2002.
- عاصمة شركة زفيزدا 2003.
أو يمكننا أن نكتب باختصار:
لحالتنا:
2000 و 2001 و 2002 و 2003.
على التوالى:
روبل
لاحظ أنه في هذه المشكلة ليس لدينا قسمة إما بواسطة أو بواسطة ، حيث يتم إعطاء النسبة المئوية سنويًا ويتم احتسابها سنويًا. أي عند قراءة مشكلة الفائدة المركبة ، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة ، وفي أي فترة يتم تحصيلها ، وبعد ذلك فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.
تمرين.
- ابحث عن مصطلح للتقدم الهندسي إذا كان معروفًا ذلك ، و
- أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي ، إذا كان معروفًا ذلك ، و
- بدأت MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2004 ، حققت ربحًا يساوي رأس مال العام السابق. شركة "MSK" تدفقات نقديةبدأ الاستثمار في الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار ، وبدأ في تحقيق ربح من عام 2006 بمبلغ. ما هو عدد الدولارات التي يتجاوز فيها رأس مال شركة واحدة رأس مال شركة أخرى في نهاية عام 2007 ، إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
الإجابات:
- نظرًا لأن حالة المشكلة لا تشير إلى أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب للعثور على مجموع عدد معين من أعضائها ، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
شركة "MDM Capital":2003 ، 2004 ، 2005 ، 2006 ، 2007.
- يزيد بنسبة 100٪ ، أي مرتين.
على التوالى:
روبل
التدفقات النقدية لـ MSK:2005 ، 2006 ، 2007.
- يزيد بمقدار مرات.
على التوالى:
روبل
روبل
دعونا نلخص.
1) التقدم الهندسي () هو متتالية عددية يختلف حدها الأول عن الصفر ، وكل حد يبدأ من الثاني يساوي السابق مضروبًا في نفس العدد. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
2) معادلة أعضاء التدرج الهندسي -.
3) يمكن أن تأخذ أي قيمة ، باستثناء و.
- إذا ، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم لديهم نفس العلامة - هم إيجابي;
- إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة
- عندما - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.
4) ، في - خاصية التقدم الهندسي (الشروط المجاورة)
أو
، في (شروط متساوية البعد)
عندما تجده ، لا تنسى ذلك يجب أن يكون هناك إجابتان..
على سبيل المثال،
5) يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:
أو
إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي ، فحينئذٍ:
أو
مهم!لا نستخدم صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحة على أننا بحاجة إلى إيجاد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.
6) يتم أيضًا حساب المهام الخاصة بالفائدة المركبة بواسطة معادلة العضو الرابع في التقدم الهندسي ، بشرط ذلك نقديلم تسحب من التداول:
المتوالية الهندسية. باختصار حول الرئيسي
المتوالية الهندسية() عبارة عن متتالية عددية ، الحد الأول منها يختلف عن الصفر ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي السابق ، مضروبًا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.
مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.
- إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - فهم إيجابيون ؛
- إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة ؛
- عندما - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.
معادلة أعضاء التقدم الهندسي - .
مجموع شروط التقدم الهندسيمحسوبة بالصيغة:
أو
