У дома > Вътрешен дизайн > Как да намерите най-малкото кратно на число. Най-малко общо кратно (LCM)

Как да намерите най-малкото кратно на число. Най-малко общо кратно (LCM)

Кратно е число, което се дели на дадено число без остатък. Най-малкото общо кратно (LCM) на група числа е най-малкото число, което се дели без остатък на всяко число от групата. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите простите множители на дадени числа. LCM може също да се изчисли с помощта на редица други методи, които се прилагат към групи от две или повече числа.

стъпки

Серии от кратни

    Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-малко от 10. Ако са дадени по-големи числа, използвайте различен метод.

    • Например, намерете най-малкото общо кратно на 5 и 8. Това са малки числа, така че можете да използвате този метод.

  1. Кратно е число, което се дели на дадено число без остатък. Множествата могат да бъдат намерени в таблицата за умножение.

    • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число.Направете това под кратни на първото число, за да сравните два набора от числа.

    • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

  3. Намерете най-малкото число, което присъства и в двата набора от кратни.Може да се наложи да напишете дълги серии от кратни, за да намерите общото число. Най-малкото число, което присъства и в двата набора от кратни, е най-малкото общо кратно.

    • Например най-малкото число, което се появява в поредицата от кратни на 5 и 8, е числото 40. Следователно 40 е най-малкото общо кратно на 5 и 8.

    Разлагане на прости множители

    1. Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-голямо от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че можете да използвате този метод.

    2. Разложете първото число на прости множители.Тоест, трябва да намерите такива прости числа, които при умножаване ще дадат дадено число. След като намерите простите множители, запишете ги като равенства.

      • Например, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\умножено по 10=20)И 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\пъти (\mathbf (5) )=10). Така простите множители на числото 20 са числата 2, 2 и 5. Запишете ги като израз: .

    3. Разложете второто число на прости множители.Направете това по същия начин, както разложихте първото число, тоест намерете такива прости числа, които, когато се умножат, ще дадат даденото число.

      • Например, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)И 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). И така, простите множители на числото 84 са числата 2, 7, 3 и 2. Запишете ги като израз: .

    4. Запишете множителите, общи за двете числа.Запишете такива множители като операция за умножение. Докато пишете всеки множител, задраскайте го и в двата израза (изрази, които описват разлагане на числа на прости множители).

      • Например, двете числа имат общ множител 2, така че напишете 2 × (\displaystyle 2\times )и задраскайте 2 в двата израза.
      • Общото между двете числа е друг множител на 2, така че пишете 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2)и задраскайте второто 2 в двата израза.

    5. Добавете останалите множители към операцията за умножение.Това са фактори, които не са зачеркнати и в двата израза, тоест фактори, които не са общи за двете числа.

      • Например в израза 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\пъти 2\пъти 5)Двете две (2) са зачеркнати, защото са общи множители. Коефициентът 5 не е зачеркнат, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5)
      • В израза 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\пъти 7\пъти 3\пъти 2)и двете две (2) също са зачеркнати. Коефициентите 7 и 3 не са зачеркнати, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

    6. Изчислете най-малкото общо кратно.За да направите това, умножете числата в операцията за писмено умножение.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5\пъти 7\пъти 3=420). Така че най-малкото общо кратно на 20 и 84 е 420.

      Намиране на общи множители

      1. Начертайте решетка като за игра на тик-так-палец.Такава мрежа се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с други две успоредни линии. Това ще ви даде три реда и три колони (мрежата изглежда много като иконата #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число в първия ред и третата колона.

        • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 18 и 30. Напишете числото 18 на първия ред и втората колона и напишете числото 30 на първия ред и третата колона.

      2. Намерете общия делител на двете числа.Запишете го в първия ред и първата колона. По-добре е да търсите основни множители, но това не е изискване.

        • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им множител е 2. Затова напишете 2 в първия ред и първата колона.

      3. Разделете всяко число на първия делител.Запишете всяко частно под съответното число. Частното е резултат от разделянето на две числа.

        • Например, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), така че напишете 9 под 18.
        • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), така че запишете 15 под 30.

      4. Намерете делителя, общ за двете частни.Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай напишете делителя във втория ред и първата колона.

        • Например 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

      5. Разделете всяко частно на неговия втори делител.Запишете всеки резултат от деленето под съответното частно.

        • Например, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), така че напишете 3 под 9.
        • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), така че напишете 5 под 15.

      6. Ако е необходимо, добавете допълнителни клетки към мрежата.Повторете описаните стъпки, докато частните имат общ делител.

      7. Оградете числата в първата колона и последния ред на мрежата.След това запишете избраните числа като операция за умножение.

        • Например, числата 2 и 3 са в първата колона, а числата 3 и 5 са ​​в последния ред, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5).

      8. Намерете резултата от умножението на числа.Това ще изчисли най-малкото общо кратно на две дадени числа.

        • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5=90). Така че най-малкото общо кратно на 18 и 30 е 90.

      Алгоритъм на Евклид

      1. Запомнете терминологията, свързана с операцията деление.Дивидентът е числото, което се разделя. Делителят е числото, на което се дели. Частното е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е числото, което остава, когато две числа се делят.

        • Например в израза 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ост. 3:
          15 е дивидентът
          6 е делител
          2 е частно
          3 е остатъкът.

Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делителтези числа. Означаваме НОД(a, b).

Нека разгледаме намирането на GCD, използвайки примера на две естествени числа 18 и 60:

  • 1 Нека разложим числата на прости множители:
    18 = 2×3×3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
  • 2 Елиминирайте от разширяването на първото число всички фактори, които не са включени в разширяването на второто число, получаваме 2×3×3 .
  • 3 Умножаваме останалите прости множители след задраскването и получаваме най-големия общ делител на числата: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .
  • 4 Имайте предвид, че няма значение дали задраскаме факторите от първото или второто число, резултатът ще бъде същият:
    18 = 2×3×3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    • 324 , 111 И 432

    Нека разложим числата на прости множители:

    324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

    111 = 3×37

    432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

    Зачерквайки от първото число факторите, които не са във второто и третото число, получаваме:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

    В резултат на това GCD( 324 , 111 , 432 )=3

    Намиране на НОД с помощта на Евклидовия алгоритъм

    Вторият начин за намиране на най-големия общ делител е използването Евклидов алгоритъм. Алгоритъмът на Евклид е най-много ефективен начиннаходка GCD, като го използвате, трябва постоянно да намирате остатъка от делението на числата и да прилагате формула за повторение.

    Формула за повторениеза GCD, НОД(a, b)=НОД(b, a mod b), където a mod b е остатъкът от a делено на b.

    Алгоритъм на Евклид
    Пример Намерете най-големия общ делител на числата 7920 И 594

    Нека намерим GCD( 7920 , 594 ), използвайки алгоритъма на Евклид, ще изчислим остатъка от деленето с помощта на калкулатор.

  • GCD( 7920 , 594 )
  • GCD( 594 , 7920 мод 594 ) = НОД( 594 , 198 )
  • GCD( 198 , 594 мод 198 ) = НОД( 198 , 0 )
  • GCD( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
    • 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

      • В резултат на това получаваме GCD( 7920 , 594 ) = 198

      Най-малко общо кратно

      За да намерите общ знаменателпри събиране и изваждане на дроби с различни знаменателитрябва да знаете и да можете да изчислявате най-малко общо кратно(NOK).

      Кратно на числото „a“ е число, което само по себе си се дели на числото „a“ без остатък.

      Числа, кратни на 8 (т.е. тези числа се делят на 8 без остатък): това са числата 16, 24, 32...

      Кратни на 9: 18, 27, 36, 45...

      Има безкрайно много кратни на дадено число a, за разлика от делителите на същото число. Има краен брой делители.

      Общото кратно на две естествени числа е число, което се дели и на двете от тези числа..

      Най-малко общо кратно(LCM) на две или повече естествени числа е най-малкото естествено число, което само по себе си се дели на всяко от тези числа.

      Как да намерите NOC

      LCM може да бъде намерен и написан по два начина.

      Първият начин да намерите LOC

      Този метод обикновено се използва за малки числа.

    1. Записваме кратните за всяко число на ред, докато намерим кратно, което е еднакво и за двете числа.
    2. Кратното на числото "а" се означава с главна буква "К".

    Пример. Намерете LCM 6 и 8.

    Вторият начин за намиране на LOC

    Този метод е удобен за използване за намиране на LCM за три или повече числа.

    Броят на еднаквите множители при разлагането на числата може да бъде различен.

  • В разгръщането на по-малкото(ите) число(а) маркирайте факторите, които не са включени в разгръщането на по-голямото число (в нашия пример това е 2) и добавете тези фактори към разгръщането на по-голямото число.
    LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
  • Запишете получения продукт като отговор.
    Отговор: LCM (24, 60) = 120

    • Можете също да формализирате намирането на най-малкото общо кратно (LCM), както следва. Да намерим LOC (12, 16, 24).

    24 = 2 2 2 3

    Както виждаме от разлагането на числата, всички фактори от 12 са включени в разлагането на 24 (най-голямото от числата), така че добавяме само едно 2 от разлагането на числото 16 към LCM.

    LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    Отговор: LCM (12, 16, 24) = 48

    Особени случаи на намиране на НОК

  • Ако едно от числата се дели на останалите, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е равно на това число.

    • Например LCM (60, 15) = 60
    Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа.

    На нашия уебсайт можете също да използвате специален калкулатор, за да намерите най-малкото общо кратно онлайн, за да проверите вашите изчисления.

    Ако едно естествено число се дели само на 1 и на себе си, то се нарича просто.

    Всяко естествено число винаги се дели на 1 и на себе си.

    Числото 2 е най-малкото просто число. Това е единственото четно просто число, останалите прости числа са нечетни.

    Има много прости числа и първото сред тях е числото 2. Няма обаче последно просто число. В секцията „За обучение“ можете да изтеглите таблицата прости числадо 997.

    Но много цели числасе делят и на други естествени числа.

    • числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
    • Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

      • Числата, на които числото се дели на цяло (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12), се наричат ​​делители на числото.

      Делителят на естествено число a е естествено число, което дели даденото число “a” без остатък.

      Естествено число, което има повече от два делителя, се нарича съставно.

      Моля, обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи множители. Тези числа са: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12.

      Общият делител на две дадени числа “a” и “b” е числото, на което и двете дадени числа “a” и “b” се делят без остатък.

      Най-голям общ делител(НОД) на две дадени числа “a” и “b” е най-голямото число, на което и двете числа “a” и “b” се делят без остатък.

      Накратко най-големият общ делител на числата “a” и “b” се записва по следния начин::

      Пример: gcd (12; 36) = 12.

      Делителите на числата в записа на решението се означават с главна буква "D".

      Числата 7 и 9 имат само един общ делител - числото 1. Такива номера се наричат взаимнопрости числа.

      Взаимопрости числа- това са естествени числа, които имат само един общ делител - числото 1. Техният gcd е 1.

      Как да намерим най-големия общ делител

      За да намерите gcd на две или повече естествени числа, трябва:

    • разлагат делителите на числата на прости множители;

      • Удобно е да пишете изчисления с помощта на вертикална лента. Отляво на линията първо записваме дивидента, отдясно - делителя. След това в лявата колона записваме стойностите на коефициентите.

      Нека го обясним веднага с пример. Нека разложим числата 28 и 64 на прости множители.

      Подчертаваме едни и същи прости множители и в двете числа.
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    Намерете произведението на еднакви прости множители и запишете отговора;
    НОД (28; 64) = 2 2 = 4

    Отговор: НОД (28; 64) = 4

    Можете да формализирате местоположението на GCD по два начина: в колона (както е направено по-горе) или „в ред“.

    Първият начин за писане на gcd

    Намерете gcd 48 и 36.

    НОД (48; 36) = 2 2 3 = 12

    Вторият начин за писане на gcd

    Сега нека запишем решението на GCD търсенето в ред. Намерете gcd 10 и 15.

    На нашия информационен сайт можете също да използвате онлайн помощника за най-голям общ делител, за да проверите вашите изчисления.

    Намиране на най-малкото общо кратно, методи, примери за намиране на LCM.

    Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), И Специално вниманиеНека се съсредоточим върху решаването на примери. Първо, ще покажем как LCM на две числа се изчислява с помощта на GCD на тези числа. След това ще разгледаме намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три и Повече ▼числа, а също така обърнете внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

    Навигация в страницата.

    Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD

    Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ни позволява да изчислим най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известен най-голям общ делител. Съответната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Нека да разгледаме примери за намиране на LCM с помощта на дадената формула.

    Намерете най-малкото общо кратно на две числа 126 и 70.

    В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа, използвайки написаната формула.

    Нека намерим НОД(126, 70) с помощта на евклидовия алгоритъм: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следователно НОД(126, 70)=14.

    Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126·70:NOD(126, 70)= 126·70:14=630.

    На какво е равно LCM(68, 34)?

    Тъй като 68 се дели на 34, тогава НОД(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68.

    Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

    Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

    Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако съставите произведение от всички прости множители на дадени числа и след това изключите от това произведение всички общи прости множители, присъстващи в разлаганията на дадените числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на дадените числа .

    Посоченото правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a·b:NOD(a, b) . Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширяването на числата a и b. На свой ред gcd(a, b) равно на произведениетовсички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (както е описано в раздела за намиране на НОД с помощта на разлагането на числата на прости множители).

    Да дадем пример. Уведомете ни, че 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Нека съставим произведението от всички множители на тези разширения: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега от този продукт изключваме всички фактори, присъстващи както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (тези фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2·3·5·5·7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, тоест LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

    Разложете числата 441 и 700 на прости множители и намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

    Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:

    Получаваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.

    Сега нека създадем продукт от всички фактори, включени в разширяването на тези числа: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Така LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

    NOC(441, 700)= 44 100 .

    Правилото за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако липсващите множители от разлагането на число b се добавят към множителите от разлагането на числото a, то стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

    Например, нека вземем същите числа 75 и 210, техните разложения на прости множители са както следва: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Към множителите 3, 5 и 5 от разгръщането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разгръщането на числото 210, получаваме произведението 2·3·5·5·7, чиято стойност е равно на LCM(75, 210).

    Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

    Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на 84 и 648 е 4536.

    Намиране на LCM на три или повече числа

    Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Нека си припомним съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.

    Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

    Нека разгледаме приложението на тази теорема, използвайки примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

    Намерете LCM на четири числа 140, 9, 54 и 250.

    Първо намираме m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . За да направим това, използвайки алгоритъма на Евклид, определяме НОД(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, следователно, GCD(140, 9)=1, от което LCM(140, 9)=140·9:NOD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Тоест m 2 =1 260.

    Сега намираме m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Нека го изчислим чрез НОД(1 260, 54), който също определяме с помощта на Евклидовия алгоритъм: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогава gcd(1,260, 54)=18, от което gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоест m 3 =3 780.

    Остава да намерим m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3,780, 250) с помощта на Евклидовия алгоритъм: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Следователно, НОД(3,780, 250)=10, от което НОД(3,780, 250)= 3,780·250:НОД(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Тоест, m 4 =94 500.

    Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

    LCM(140, 9, 54, 250)=94 500 .

    В много случаи е удобно да се намери най-малкото общо кратно на три или повече числа, като се използват прости фактори на дадените числа. В този случай трябва да се придържате към следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разширяването на второто число се добавят към всички множители от разширяването на първото число, липсващите множители от разширяването на третото число се добавя към получените множители и т.н.

    Нека разгледаме пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на прости множители.

    Намерете най-малкото общо кратно на петте числа 84, 6, 48, 7, 143.

    Първо, получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е просто число, то съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11·13.

    За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2, 2, 3 и 7), трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6. Разлагането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разлагането на първото число 84. След това към факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите фактори 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма да е необходимо да добавяте множители към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разгръщането на числото 143. Получаваме произведението 2·2·2·2·3·7·11·13, което е равно на 48 048.

    Следователно, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

    LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

    Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа

    Понякога има задачи, в които трябва да намерите най-малкото общо кратно на числа, сред които едно, няколко или всички числа са отрицателни. В тези случаи всички отрицателни числа трябва да бъдат заменени с техните противоположни числа и след това трябва да се намери LCM на положителните числа. Това е начинът да се намери LCM на отрицателни числа. Например LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

    Можем да направим това, защото множеството от кратни на a е същото като множеството от кратни на −a (a и −a са противоположни числа). Наистина, нека b е някакво кратно на a, тогава b се дели на a и концепцията за делимост заявява съществуването на цяло число q, такова че b=a·q. Но равенството b=(−a)·(−q) също ще бъде вярно, което поради същата концепция за делимост означава, че b се дели на −a, тоест b е кратно на −a. Обратното също е вярно: ако b е някакво кратно на −a, тогава b също е кратно на a.

    Намерете най-малкото общо кратно на отрицателни числа −145 и −45.

    Нека заменим отрицателните числа −145 и −45 с противоположните им числа 145 и 45. Имаме LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . След като определихме GCD(145, 45)=5 (например, използвайки Евклидовия алгоритъм), изчисляваме GCM(145, 45)=145·45:NOD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Така най-малкото общо кратно на отрицателните цели числа −145 и −45 е 1305.

    www.cleverstudents.ru

    Продължаваме да изучаваме разделението. В този урок ще разгледаме понятия като GCDИ НОК.

    GCDе най-големият общ делител.

    НОКе най-малкото общо кратно.

    Темата е доста скучна, но определено трябва да я разберете. Без да разберете тази тема, няма да можете да работите ефективно с дроби, които са истинска пречка в математиката.

    Най-голям общ делител

    Определение. Най-голям общ делител на числа аИ b аИ bразделено без остатък.

    За да разберем добре това определение, нека заместим променливите аИ bпроизволни две числа, например, вместо променлива аНека заместим числото 12 и вместо променливата bномер 9. Сега нека се опитаме да прочетем това определение:

    Най-голям общ делител на числа 12 И 9 се нарича най-голямото число, с което 12 И 9 разделено без остатък.

    От дефиницията става ясно, че става дума за общия делител на числата 12 и 9, като този делител е най-големият от всички съществуващи делители. Този най-голям общ делител (НОД) трябва да бъде намерен.

    За намиране на най-големия общ делител на две числа се използват три метода. Първият метод е доста трудоемък, но ви позволява ясно да разберете същността на темата и да почувствате пълното й значение.

    Вторият и третият метод са доста прости и позволяват бързо намиране на GCD. Ще разгледаме и трите метода. А кой да използвате на практика, зависи от вас.

    Първият метод е да намерите всички възможни делители на две числа и да изберете най-големия. Нека разгледаме този метод следния пример: намерете най-големия общ делител на числата 12 и 9.

    Първо ще намерим всички възможни делители на числото 12. За да направим това, ще разделим 12 на всички делители в диапазона от 1 до 12. Ако делителят ни позволява да разделим 12 без остатък, тогава ще го маркираме в синьо и направете подходящо обяснение в скоби.

    12: 1 = 12
    (12 се дели на 1 без остатък, което означава, че 1 е делител на числото 12)

    12: 2 = 6
    (12 се дели на 2 без остатък, което означава, че 2 е делител на числото 12)

    12: 3 = 4
    (12 се дели на 3 без остатък, което означава, че 3 е делител на числото 12)

    12: 4 = 3
    (12 се дели на 4 без остатък, което означава, че 4 е делител на числото 12)

    12: 5 = 2 (2 остават)
    (12 не се дели на 5 без остатък, което означава, че 5 не е делител на числото 12)

    12: 6 = 2
    (12 се дели на 6 без остатък, което означава, че 6 е делител на числото 12)

    12: 7 = 1 (5 остатък)
    (12 не се дели на 7 без остатък, което означава, че 7 не е делител на числото 12)

    12: 8 = 1 (4 остатъка)
    (12 не се дели на 8 без остатък, което означава, че 8 не е делител на 12)

    12: 9 = 1 (3 остатъка)
    (12 не се дели на 9 без остатък, което означава, че 9 не е делител на числото 12)

    12: 10 = 1 (2 остатъка)
    (12 не се дели на 10 без остатък, което означава, че 10 не е делител на числото 12)

    12: 11 = 1 (1 остатък)
    (12 не се дели на 11 без остатък, което означава, че 11 не е делител на 12)

    12: 12 = 1
    (12 се дели на 12 без остатък, което означава, че 12 е делител на числото 12)

    Сега нека намерим делителите на числото 9. За да направите това, проверете всички делители от 1 до 9

    9: 1 = 9
    (9 се дели на 1 без остатък, което означава, че 1 е делител на числото 9)

    9: 2 = 4 (1 остатък)
    (9 не се дели на 2 без остатък, което означава, че 2 не е делител на числото 9)

    9: 3 = 3
    (9 се дели на 3 без остатък, което означава, че 3 е делител на числото 9)

    9: 4 = 2 (1 остатък)
    (9 не се дели на 4 без остатък, което означава, че 4 не е делител на числото 9)

    9: 5 = 1 (4 остатъка)
    (9 не се дели на 5 без остатък, което означава, че 5 не е делител на числото 9)

    9: 6 = 1 (3 остатъка)
    (9 не се дели на 6 без остатък, което означава, че 6 не е делител на числото 9)

    9: 7 = 1 (2 остатъка)
    (9 не се дели на 7 без остатък, което означава, че 7 не е делител на числото 9)

    9: 8 = 1 (1 остатък)
    (9 не се дели на 8 без остатък, което означава, че 8 не е делител на числото 9)

    9: 9 = 1
    (9 се дели на 9 без остатък, което означава, че 9 е делител на числото 9)

    Сега нека запишем делителите на двете числа. Числата, осветени в синьо, са делители. Нека ги запишем:

    След като напишете делителите, можете веднага да определите кой е най-големият и най-често срещаният.

    По дефиниция най-големият общ делител на числата 12 и 9 е числото, което дели 12 и 9 без остатък. Най-големият и общ делител на числата 12 и 9 е числото 3

    Както числото 12, така и числото 9 се делят на 3 без остатък:

    Така че gcd (12 и 9) = 3

    Вторият начин да намерите GCD

    Сега нека разгледаме втория метод за намиране на най-голям общ делител. Същността на този метод е да разложите двете числа на прости множители и да умножите общите.

    Пример 1. Намерете НОД на числата 24 и 18

    Първо, нека разделим двете числа на прости множители:

    Сега нека умножим техните общи множители. За да се избегне объркване, общите фактори могат да бъдат подчертани.

    Гледаме разгръщането на числото 24. Първият му множител е 2. Търсим същия множител в разгръщането на числото 18 и виждаме, че той също е там. Подчертаваме и двете:

    Гледаме отново разгръщането на числото 24. Вторият му множител също е 2. Търсим същия множител в разгръщането на числото 18 и виждаме, че за втори път вече го няма. Тогава не наблягаме на нищо.

    Следващите две в разширението на числото 24 също отсъстват в разширението на числото 18.

    Нека преминем към последния фактор в разширението на числото 24. Това е фактор 3. Търсим същия фактор в разширението на числото 18 и виждаме, че той също е там. Подчертаваме и двете три:

    И така, общите множители на числата 24 и 18 са множителите 2 и 3. За да получите НОД, тези множители трябва да се умножат:

    Така че gcd (24 и 18) = 6

    Третият начин за намиране на GCD

    Сега нека разгледаме третия начин за намиране на най-големия общ делител. Същността на този метод е, че числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители. След това от разширението на първото число се задраскват фактори, които не са включени в разширението на второто число. Останалите числа в първото разширение се умножават и се получава НОД.

    Например, нека намерим НОД за числата 28 и 16, използвайки този метод. Първо, разлагаме тези числа на прости множители:

    Имаме две разширения: и

    Сега от разлагането на първото число ще изтрием факторите, които не са включени в разлагането на второто число. Разширението на второто число не включва седем. Нека го зачеркнем от първото разширение:

    Сега умножаваме останалите фактори и получаваме НОД:

    Числото 4 е най-големият общ делител на числата 28 и 16. И двете числа се делят на 4 без остатък:

    Пример 2.Намерете НОД на числата 100 и 40

    Разлагане на числото 100 на множители

    Разлагане на множители на числото 40

    Имаме две разширения:

    Сега от разлагането на първото число ще изтрием факторите, които не са включени в разлагането на второто число. Разширението на второто число не включва една петица (има само една петица). Нека го зачеркнем от първото разширение

    Нека умножим останалите числа:

    Получихме отговор 20. Това означава, че числото 20 е най-големият общ делител на числата 100 и 40. Тези две числа се делят на 20 без остатък:

    НОД (100 и 40) = 20.

    Пример 3.Намерете НОД на числата 72 и 128

    Разлагане на множители числото 72

    Разлагане на множители на числото 128

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    Сега от разлагането на първото число ще изтрием факторите, които не са включени в разлагането на второто число. Разширението на второто число не включва две тройки (те изобщо ги няма). Нека ги зачеркнем от първото разширение:

    Получихме отговор 8. Това означава, че числото 8 е най-големият общ делител на числата 72 и 128. Тези две числа се делят на 8 без остатък:

    НОД (72 и 128) = 8

    Намиране на НОД за няколко числа

    Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За да направите това, числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа.

    Например, нека намерим НОД за числата 18, 24 и 36

    Нека разложим на множители числото 18

    Нека разложим числото 24 на множители

    Нека разложим на множители числото 36

    Имаме три разширения:

    Сега нека подчертаем и подчертаем общите множители в тези числа. Общи множители трябва да присъстват и в трите числа:

    Виждаме, че общите множители за числата 18, 24 и 36 са множителите 2 и 3. Умножавайки тези множители, получаваме gcd, който търсим:

    Получихме отговор 6. Това означава, че числото 6 е най-големият общ делител на числата 18, 24 и 36. Тези три числа се делят на 6 без остатък:

    НОД (18, 24 и 36) = 6

    Пример 2.Намерете НОД за числата 12, 24, 36 и 42

    Нека разложим всяко число на прости множители. След това намираме произведението на общите множители на тези числа.

    Нека разложим числото 12 на множители

    Нека разложим на множители числото 42

    Имаме четири разширения:

    Сега нека подчертаем и подчертаем общите множители в тези числа. Общите множители трябва да присъстват във всичките четири числа:

    Виждаме, че общите множители за числата 12, 24, 36 и 42 са множителите на 2 и 3. Умножавайки тези множители заедно, получаваме gcd, който търсим:

    Получихме отговор 6. Това означава, че числото 6 е най-големият общ делител на числата 12, 24, 36 и 42. Тези числа се делят на 6 без остатък:

    НОД (12, 24, 36 и 42) = 6

    От предишния урок знаем, че ако едно число се дели на друго без остатък, то се нарича кратно на това число.

    Оказва се, че няколко числа могат да имат общо кратно. И сега ще ни интересува кратното на две числа и то трябва да е възможно най-малко.

    Определение. Най-малко общо кратно (LCM) на числа аИ б- аИ b аи номер b.

    Дефиницията съдържа две променливи аИ b. Нека заместим произволни две числа вместо тези променливи. Например, вместо променлива аНека заместим числото 9 и вместо променливата bНека заместим числото 12. Сега нека се опитаме да прочетем определението:

    Най-малко общо кратно (LCM) на числа 9 И 12 - е най-малкото число, което е кратно на 9 И 12 . С други думи, това е толкова малко число, което се дели без остатък на числото 9 и по номер 12 .

    От дефиницията става ясно, че LCM е най-малкото число, което се дели без остатък на 9 и 12. Това LCM трябва да се намери.

    За да намерите най-малкото общо кратно (LCM), можете да използвате два метода. Първият начин е, че можете да запишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тези кратни число, което ще бъде общо за двете числа и малко. Нека приложим този метод.

    Първо, нека намерим първите кратни на числото 9. За да намерите кратните на 9, трябва да умножите тези девет едно по едно по числа от 1 до 9. Получените отговори ще бъдат кратни на числото 9. И така, Нека да започнем. Ще подчертаем кратните в червено:

    Сега намираме кратните на числото 12. За да направим това, умножаваме 12 едно по едно по всички числа от 1 до 12.

    За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да определите значението на термина „множество“.


    Кратно на A е естествено число, което се дели без остатък на A. По този начин числата, кратни на 5, могат да се считат за 15, 20, 25 и т.н.


    Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкраен брой кратни.


    Общо кратно на естествените числа е число, което се дели на тях без остатък.

    Как да намерим най-малкото общо кратно на числа

    Най-малкото общо кратно (НОК) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели на всички тези числа.


    За да намерите LOC, можете да използвате няколко метода.


    За малки числа е удобно да запишете всички кратни на тези числа на ред, докато намерите нещо общо сред тях. Кратните са посочени в нотацията Главна букваДА СЕ.


    Например, кратни на 4 могат да бъдат записани така:


    K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


    K (6) = (12, 18, 24, ...)


    Така можете да видите, че най-малкото общо кратно на числата 4 и 6 е числото 24. Тази нотация се прави по следния начин:


    LCM(4, 6) = 24


    Ако числата са големи, намерете общото кратно на три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг метод за изчисляване на LCM.


    За да изпълните задачата, трябва да разложите дадените числа на прости множители.


    Първо трябва да запишете разлагането на най-голямото число на ред, а под него - останалите.


    Разлагането на всяко число може да съдържа различен брой фактори.


    Например, нека разложим числата 50 и 20 на прости множители.




    При разширяването на по-малкото число е необходимо да се подчертаят факторите, които отсъстват при разширяването на първото. голямо числои след това ги добавете към него. В представения пример липсва двойка.


    Сега можете да изчислите най-малкото общо кратно на 20 и 50.


    LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


    И така, произведението на простите множители Повече ▼и множителите на второто число, които не са включени в разгръщането на по-голямото число, ще бъдат най-малкото общо кратно.


    За да намерите LCM на три или повече числа, трябва да ги разделите на прости множители, както в предишния случай.


    Като пример можете да намерите най-малкото общо кратно на числата 16, 24, 36.


    36 = 2 * 2 * 3 * 3


    24 = 2 * 2 * 2 * 3


    16 = 2 * 2 * 2 * 2


    Така само две двойки от разширението на шестнадесет не са включени в разлагането на по-голямо число (едно е в разширението на двадесет и четири).


    Следователно те трябва да бъдат добавени към разширяването на по-голям брой.


    LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


    Има специални случаи за определяне на най-малкото общо кратно. Така че, ако едно от числата може да се раздели без остатък на друго, тогава по-голямото от тези числа ще бъде най-малкото общо кратно.


    Например LCM на дванадесет и двадесет и четири е двадесет и четири.


    Ако е необходимо да се намери най-малкото общо кратно на взаимно прости числа, които нямат еднакви делители, тогава техният LCM ще бъде равен на техния продукт.


    Например LCM (10, 11) = 110.

    Как да намерите LCM (най-малко общо кратно)

    Общо кратно на две цели числа е цяло число, което се дели равномерно на двете дадени числа, без да оставя остатък.

    Най-малкото общо кратно на две цели числа е най-малкото от всички цели числа, което се дели на двете дадени числа, без да оставя остатък.

    Метод 1. Можете да намерите LCM на свой ред за всяко от дадените числа, като изпишете във възходящ ред всички числа, които се получават чрез умножаването им по 1, 2, 3, 4 и т.н.

    Примерза числата 6 и 9.
    Умножаваме числото 6 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
    Получаваме: 6, 12, 18 , 24, 30
    Умножаваме числото 9 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
    Получаваме: 9, 18 , 27, 36, 45
    Както можете да видите, LCM за числата 6 и 9 ще бъде равно на 18.

    Този метод е удобен, когато и двете числа са малки и е лесно да се умножат по поредица от цели числа. Въпреки това, има моменти, когато трябва да намерите LCM за двуцифрено или трицифрени числа, а също и когато има три или дори повече начални числа.

    Метод 2. Можете да намерите LCM, като разложите оригиналните числа на прости множители.
    След разлагането е необходимо да се зачеркнат еднакви числа от получената серия от прости множители. Останалите числа от първото число ще бъдат множител за второто, а останалите числа от второто ще бъдат множител за първото.

    Примерза номера 75 и 60.
    Най-малкото общо кратно на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват подред кратните на тези числа. За да направите това, нека разделим 75 и 60 на прости множители:
    75 = 3 * 5 * 5, а
    60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
    Както можете да видите, фактори 3 и 5 се появяват и в двата реда. Мислено ги „зачеркваме“.
    Нека запишем останалите фактори, включени в разширяването на всяко от тези числа. При разлагането на числото 75 ни остава числото 5, а при разлагането на числото 60 ни остава 2 * 2
    Това означава, че за да определим LCM за числата 75 и 60, трябва да умножим останалите числа от разширението на 75 (това е 5) по 60 и да умножим числата, останали от разширението на 60 (това е 2 * 2) по 75. Тоест за по-лесно разбиране казваме, че умножаваме „на кръст“.
    75 * 2 * 2 = 300
    60 * 5 = 300
    Ето как намерихме LCM за числата 60 и 75. Това е числото 300.

    Пример. Определете LCM за числата 12, 16, 24
    IN в такъв случай, нашите действия ще бъдат малко по-сложни. Но първо, както винаги, нека разложим на множители всички числа
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3
    За да определим правилно LCM, избираме най-малкото от всички числа (това е числото 12) и последователно преминаваме през неговите множители, като ги зачертаваме, ако в поне един от другите редове с числа срещнем същия множител, който все още не е е зачеркнат.

    Етап 1 . Виждаме, че 2 * 2 се среща във всички серии от числа. Нека ги зачеркнем.
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3

    Стъпка 2. В простите множители на числото 12 остава само числото 3. Но то присъства в простите множители на числото 24. Задраскваме числото 3 от двата реда, докато за числото 16 не се очакват действия. .
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3

    Както можете да видите, при разлагането на числото 12 ние „задраскахме“ всички числа. Това означава, че констатацията на LOC е завършена. Остава само да се изчисли стойността му.
    За числото 12 вземете останалите множители на числото 16 (следващото във възходящ ред)
    12 * 2 * 2 = 48
    Това е НОК

    Както можете да видите, в този случай намирането на LCM беше малко по-трудно, но когато трябва да го намерите за три или повече числа, този метод ви позволява да го направите по-бързо. Въпреки това и двата метода за намиране на LCM са правилни.

    Темата „Множества” се изучава в 5 клас средно училище. Целта му е да подобри уменията за писмено и устно математическо пресмятане. В този урок се въвеждат нови понятия - „множество числа“ и „делители“, практикува се техниката за намиране на делители и кратни на естествено число и способността да се намира LCM по различни начини.

    Тази тема е много важна. Знанието за него може да се приложи при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общия знаменател, като изчислите най-малкото общо кратно (LCM).

    Кратно на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

    Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Самият той се счита за най-малкия. Кратното не може да бъде по-малко от самото число.

    Трябва да докажете, че числото 125 е кратно на 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

    Този метод е приложим за малки числа.

    Има специални случаи при изчисляване на LOC.

    1. Ако трябва да намерите общо кратно на 2 числа (например 80 и 20), където едно от тях (80) се дели на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

    LCM(80, 20) = 80.

    2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че техният LCM е произведението на тези две числа.

    LCM(6, 7) = 42.

    Нека разгледаме последния пример. 6 и 7 спрямо 42 са делители. Те делят кратно на число без остатък.

    В този пример 6 и 7 са двойки фактори. Тяхното произведение е равно на най-кратното число (42).

    Едно число се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

    Друг пример включва определяне дали 9 е делител на 42.

    42:9=4 (остатък 6)

    Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

    Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

    Най-голям общ делител на числа аИ b, умножено по тяхното най-малко кратно, ще даде произведението на самите числа аИ b.

    А именно: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

    Общи кратни за повече комплексни числанамерени по следния начин.

    Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

    Разлагаме тези числа на прости множители и ги записваме като произведение на степени:

    168=2³x3¹x7¹

    2⁴х3³х5¹х7¹=15120

    LCM(168, 180, 3024) = 15120.

     
    Статии оттема:
    Паста с риба тон в кремообразен сос Паста с прясна риба тон в кремообразен сос
    Паста с риба тон в кремообразен сос Паста с прясна риба тон в кремообразен сос
    Паста с риба тон в кремообразен сос е ястие, което ще накара всеки да си глътне езика, разбира се, не просто за удоволствие, а защото е невероятно вкусно. Риба тон и паста вървят добре заедно. Разбира се, някои хора може да не харесат това ястие.
    Пролетни рулца със зеленчуци Зеленчукови рулца у дома
    Пролетни рулца със зеленчуци Зеленчукови рулца у дома
    Така че, ако се борите с въпроса „каква е разликата между суши и ролца?“, отговорът е нищо. Няколко думи за това какви видове ролки има. Ролцата не са непременно японска кухня. Рецептата за руло под една или друга форма присъства в много азиатски кухни.
    Защита на флората и фауната в международни договори и човешкото здраве
    Защита на флората и фауната в международни договори и човешкото здраве
    Решаването на екологичните проблеми и следователно перспективите за устойчиво развитие на цивилизацията до голяма степен са свързани с компетентното използване на възобновяеми ресурси и различни функции на екосистемите и тяхното управление. Тази посока е най-важният път за достигане
    Минимална заплата (минимална заплата)
    Минимална заплата (минимална заплата)
    Минималната работна заплата е минималната работна заплата (минимална заплата), която се одобрява от правителството на Руската федерация ежегодно въз основа на Федералния закон „За минималната работна заплата“. Минималната работна заплата се изчислява за напълно отработена месечна норма труд.