• Popravilo
• Popravilo
• Notranje oblikovanje
• O vsem
• O vodovodu

Največja in najmanjša vrednost definicije funkcije je kratka. Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu

Preučevanje takega predmeta matematične analize, kot je funkcija, je zelo pomembno. pomen in na drugih področjih znanosti. Na primer, v ekonomske analize stalno je treba ocenjevati vedenje funkcije dobička, in sicer določiti njegov maksimum pomen in razviti strategijo za dosego tega.

Navodilo

Preučevanje kakršnega koli vedenja se mora vedno začeti z iskanjem domene definicije. Običajno je treba glede na stanje določenega problema določiti največjega pomen funkcije bodisi na celotnem območju bodisi na njegovem določenem intervalu z odprtimi ali zaprtimi mejami.

Na podlagi , največji je pomen funkcije y(x0), pri kateri je za poljubno točko definicijskega področja izpolnjena neenakost y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Grafično bo ta točka najvišja, če razporedite vrednosti argumenta vzdolž abscisne osi in samo funkcijo vzdolž ordinatne osi.

Za določitev največjega pomen funkcije, sledite algoritmu v treh korakih. Upoštevajte, da morate znati delati z enostranskimi in ter izračunati odvod. Torej, naj bo dana neka funkcija y(x) in najti je treba njeno največjo pomen na nekem intervalu z mejnimi vrednostmi A in B.

Ugotovite, ali je ta interval znotraj obsega funkcije. Če želite to narediti, ga morate najti ob upoštevanju vseh možnih omejitev: prisotnost ulomka v izrazu, kvadratni koren itd. Domena definicije je niz vrednosti argumentov, za katere je funkcija smiselna. Ugotovite, ali je dani interval njegova podmnožica. Če da, nadaljujte z naslednjim korakom.

Poiščite izpeljanko funkcije in rešite nastalo enačbo tako, da izenačite odvod na nič. Tako boste dobili vrednosti tako imenovanih stacionarnih točk. Ocenite, ali vsaj eden izmed njih spada v interval A, B.

Upoštevajte te točke na tretji stopnji, njihove vrednosti nadomestite s funkcijo. Glede na vrsto intervala izvedite naslednje dodatne korake. Če obstaja segment oblike [A, B], so mejne točke vključene v interval, to je označeno z oklepaji. Izračunajte vrednosti funkcije za x = A in x = B. Če je odprt interval (A, B), so mejne vrednosti preluknjane, tj. niso vključeni vanj. Rešite enostranske meje za x→A in x→B. Kombinirani interval oblike [A, B) ali (A, B), katerega ena od meja mu pripada, druga pa ne. Poiščite enostransko mejo, ko x teži k preluknjani vrednosti, in drugo nadomestite v Neskončni dvostranski interval (-∞, +∞) ali enostranski neskončni intervali oblike: , (-∞, B) Za realne limite A in B postopajte po že opisanih principih, za neskončne , poiščite meje za x→-∞ oziroma x→+∞.

Naloga na tej stopnji

Dana je funkcija, ki je definirana in zvezna na nekem intervalu. Na tem intervalu je potrebno najti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije.

Teoretične osnove.
Izrek (drugi Weierstrassov izrek):

Če je funkcija definirana in zvezna v zaprtem intervalu, potem doseže največjo in najmanjšo vrednost v tem intervalu.

Funkcija lahko doseže svoje največje in najmanjše vrednosti na notranjih točkah intervala ali na njegovih mejah. Ponazorimo vse možne možnosti.

Pojasnilo:
1) Funkcija doseže največjo vrednost na levi meji intervala v točki , najmanjšo vrednost pa na desni meji intervala v točki .
2) Funkcija doseže največjo vrednost v točki (to je maksimalna točka), najmanjšo vrednost pa na desni meji intervala v točki.
3) Funkcija doseže največjo vrednost na levi meji intervala v točki , najmanjšo vrednost pa v točki (to je točka minimuma).
4) Funkcija je konstantna na intervalu, tj. doseže svojo najmanjšo in največjo vrednost na kateri koli točki v intervalu, najmanjša in največja vrednost pa sta med seboj enaki.
5) Funkcija doseže največjo vrednost v točki , najmanjšo vrednost pa v točki (kljub temu, da ima funkcija na tem intervalu tako maksimum kot minimum).
6) Funkcija doseže največjo vrednost v točki (to je točka maksimuma), najmanjšo vrednost pa v točki (to je točka minimuma).
komentar:

"Največja" in "največja vrednost" sta različni stvari. To izhaja iz definicije maksimuma in intuitivnega razumevanja izraza "največja vrednost".

Algoritem za rešitev problema 2.



4) Iz dobljenih vrednosti izberite največjo (najmanjšo) in zapišite odgovor.

Primer 4:

Določite največji in najmanjša vrednost funkcije na segmentu.
rešitev:
1) Poiščite odvod funkcije.

2) Z reševanjem enačbe poiščite stacionarne točke (in točke, ki so sumljive glede ekstrema). Bodite pozorni na točke, kjer ni dvostranskega končnega odvoda.

3) Izračunajte vrednosti funkcije na stacionarnih točkah in na mejah intervala.

4) Iz dobljenih vrednosti izberite največjo (najmanjšo) in zapišite odgovor.

Funkcija na tem segmentu doseže največjo vrednost v točki s koordinatami .

Funkcija na tem segmentu doseže najmanjšo vrednost v točki s koordinatami .

Pravilnost izračunov lahko preverite tako, da si ogledate graf proučevane funkcije.


komentar: Funkcija doseže največjo vrednost na maksimalni točki, najmanjšo vrednost pa na meji segmenta.

Poseben primer.

Recimo, da želite najti največjo in najmanjšo vrednost neke funkcije na segmentu. Po izvedbi prvega odstavka algoritma, tj. izračuna izpeljanke, postane jasno, da ima na primer le negativne vrednosti na celotnem obravnavanem segmentu. Ne pozabite, da če je odvod negativen, potem je funkcija padajoča. Ugotovili smo, da funkcija pada na celotnem intervalu. To stanje je prikazano v tabeli št. 1 na začetku članka.

Funkcija pada na intervalu, tj. nima ekstremnih točk. Iz slike je razvidno, da bo funkcija zavzela najmanjšo vrednost na desni meji segmenta, največjo vrednost pa na levi. če je odvod na intervalu povsod pozitiven, potem funkcija narašča. Najmanjša vrednost je na levi meji segmenta, največja pa na desni.

In za rešitev potrebujete minimalno znanje o temi. Naslednje študijsko leto se končuje, vsi bi radi na počitnice in da bi ta trenutek približal, se takoj lotim posla:

Začnimo z območjem. Območje, na katero se nanaša pogoj, je omejeno zaprto množica točk v ravnini. Na primer niz točk, ki jih omejuje trikotnik, vključno s CELOTNIM trikotnikom (če iz meje"Izluščite" vsaj eno točko, potem območje ne bo več zaprto). V praksi se pojavljajo tudi področja pravokotnih, okroglih in nekoliko kompleksnejših oblik. Opozoriti je treba, da so v teoriji matematične analize podane stroge definicije omejitve, izolacija, meje itd., vendar mislim, da se vsi zavedajo teh konceptov na intuitivni ravni in več zdaj ni potrebno.

Ravnina je standardno označena s črko , praviloma pa je podana analitično - z več enačbami (ni nujno linearno); redkeje neenakosti. Tipičen besedni preobrat: "zaprto območje, omejeno s črtami".

Sestavni del obravnavane naloge je konstrukcija območja na risbi. Kako narediti? Narisati je treba vse naštete črte (v ta primer 3 naravnost) in analizirajte, kaj se je zgodilo. Želeno območje je običajno rahlo šrafirano, njegova meja pa je poudarjena s krepko črto:


Nastavite lahko isto območje linearne neenakosti: , ki so iz neznanega razloga pogosteje napisani kot oštevilčeni seznam in ne sistem.
Ker meja pripada regiji, potem vse neenakosti seveda nestrog.

In zdaj bistvo zadeve. Predstavljajte si, da gre os naravnost k vam iz izhodišča koordinat. Razmislite o funkciji, ki neprekinjeno v vsakem območna točka. Graf te funkcije je površino, majhna sreča pa je, da nam za rešitev današnjega problema ni treba vedeti, kako ta površina sploh izgleda. Lahko se nahaja zgoraj, spodaj, prečka ravnino - vse to ni pomembno. In pomembno je naslednje: po Weierstrassovi izreki, neprekinjeno V omejeno zaprto območje, funkcija doseže svoj maksimum (od "najvišjih") in najmanj (od "najnižjih") vrednosti, ki jih je treba najti. Te vrednosti so dosežene oz V stacionarne točke, ki pripadajo regijiD , oz na točkah, ki ležijo na meji tega območja. Iz tega sledi preprost in pregleden algoritem rešitve:

Primer 1

Omejeno zaprto območje

rešitev: Najprej morate prikazati območje na risbi. Na žalost mi je tehnično težko narediti interaktivni model problema, zato bom takoj podal končno ilustracijo, ki prikazuje vse "sumljive" točke, odkrite med študijo. Običajno jih odložimo enega za drugim, ko jih najdemo:

Na podlagi preambule lahko odločitev priročno razdelimo na dve točki:

I) Poiščimo stacionarne točke. To je standardno dejanje, ki smo ga večkrat izvajali v lekciji. o ekstremih več spremenljivk:

Najdena stacionarna točka pripada področja: (označi na risbi), kar pomeni, da bi morali izračunati vrednost funkcije v dani točki:

- kot v članku Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu, bom pomembne rezultate izpostavil s krepkim tiskom. V zvezku jih je priročno obkrožiti s svinčnikom.

Bodite pozorni na našo drugo srečo - nima smisla preverjati zadosten pogoj za ekstrem. Zakaj? Tudi če na točki funkcija doseže npr. lokalni minimum, potem to NE POMENI, da bo dobljena vrednost minimalno po vsej regiji (glej začetek lekcije o brezpogojnih skrajnostih) .

Kaj pa, če stacionarna točka NE pripada območju? Skoraj nič! Treba je opozoriti, da in pojdite na naslednji odstavek.

II) Raziskujemo mejo regije.

Ker je obroba sestavljena iz stranic trikotnika, je primerno študijo razdeliti na 3 pododstavke. Vendar je bolje, da tega sploh ne storite. Z mojega vidika je najprej bolj ugodno upoštevati segmente, ki so vzporedni s koordinatnimi osemi, in najprej tiste, ki ležijo na samih oseh. Če želite ujeti celotno zaporedje in logiko dejanj, poskusite preučiti konec "v enem dihu":

1) Ukvarjajmo se s spodnjo stranjo trikotnika. Če želite to narediti, zamenjamo neposredno v funkcijo:

Druga možnost je, da to storite takole:

Geometrijsko to pomeni, da koordinatna ravnina (kar je tudi podano z enačbo)"izrezati" iz površine»prostorska« parabola, katere vrh takoj pade pod sum. Pa ugotovimo kje je:

- dobljena vrednost "zadene" v območju in prav lahko se zgodi, da na točki (označi na risbi) funkcija doseže največjo ali najmanjšo vrednost v celotnem območju. Kakorkoli že, naredimo izračune:

Ostali »kandidati« so seveda konci segmenta. Izračunajte vrednosti funkcije v točkah (označi na risbi):

Tukaj, mimogrede, lahko opravite ustno mini preverjanje "slečene" različice:

2) Za raziskave desna stran trikotnik vstavimo v funkcijo in tam »postavimo red«:

Tukaj takoj izvedemo grobo preverjanje, "zvoni" že obdelan konec segmenta:
, Super.

Geometrijska situacija je povezana s prejšnjo točko:

- tudi dobljena vrednost je »vstopila v obseg naših interesov«, kar pomeni, da moramo izračunati, čemu je enaka funkcija v točki, ki se je pojavila:

Oglejmo si drugi konec segmenta:

Uporaba funkcije , preverimo:

3) Verjetno vsi vedo, kako raziskati preostalo stran. V funkcijo nadomestimo in izvedemo poenostavitve:

Vrstica se konča so že raziskane, vendar na osnutku še vedno preverjamo, ali smo funkcijo našli pravilno :
– sovpada z rezultatom iz 1. pododstavka;
– sovpada z rezultatom iz 2. pododstavka.

Še vedno je treba ugotoviti, ali je znotraj segmenta kaj zanimivega:

- Tukaj je! Če nadomestimo ravno črto v enačbo, dobimo ordinato te "zanimivosti":

Na risbi označimo točko in poiščemo ustrezno vrednost funkcije:

Nadzorujmo izračune glede na "proračunsko" različico :
, naročilo.

In zadnji korak: POZORNO preglejte vse "mastne" številke, tudi začetnikom priporočam, da naredijo en sam seznam:

med katerimi izberemo največjo in najmanjšo vrednost. Odgovori pisati v stilu problem iskanja največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu:

Za vsak slučaj bom še enkrat komentiral geometrijski pomen rezultata:
– tukaj je najvišja točka površja v regiji;
- tukaj je najnižja točka površja na območju.

V analiziranem problemu smo našli 7 »sumljivih« točk, vendar se njihovo število razlikuje od naloge do naloge. Za trikotno regijo je minimalni "raziskovalni niz" sestavljen iz tri točke. To se zgodi, ko se na primer nastavi funkcija letalo- povsem jasno je, da stacionarnih točk ni in funkcija lahko doseže največje / najmanjše vrednosti samo na ogliščih trikotnika. Ampak takšnih primerov ni enkrat, dvakrat - običajno se moraš soočiti s kakšno površina 2. reda.

Če malo rešite takšne naloge, potem se vam lahko trikotniki zvrtijo v glavi, zato sem vam pripravila nenavadni primeri da bo kvadratno :)

Primer 2

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju, omejenem s črtami

Primer 3

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v omejenem zaprtem območju.

Posebna pozornost bodite pozorni na racionalen vrstni red in tehniko preučevanja meje območja, pa tudi na verigo vmesnih pregledov, s katerimi se boste skoraj popolnoma izognili računskim napakam. Na splošno ga lahko rešite, kot želite, vendar pri nekaterih težavah, na primer v istem primeru 2, obstaja vsaka možnost, da vam bistveno zaplete življenje. Približen primer zaključevanja nalog na koncu lekcije.

Sistematiziramo algoritem rešitve, sicer se je z mojo skrbnostjo pajka nekako izgubil v dolgi niti komentarjev 1. primera:

- Na prvem koraku zgradimo območje, zaželeno je, da ga zasenčimo in poudarimo mejo z debelo črto. Med reševanjem se bodo pojavile točke, ki jih je treba nanesti na risbo.

– Poiščite stacionarne točke in izračunajte vrednosti funkcije samo v tistih, ki spadajo v območje . Dobljene vrednosti so označene v besedilu (na primer obkrožene s svinčnikom). Če stacionarna točka NE pripada območju, potem to dejstvo označimo z ikono ali ustno. Če stacionarnih točk sploh ni, naredimo pisni sklep, da jih ni. V nobenem primeru tega elementa ne smete preskočiti!

– Raziskovanje obmejnega območja. Prvič, koristno je obravnavati ravne črte, ki so vzporedne s koordinatnimi osemi (če obstajajo). Poudarjene so tudi vrednosti funkcij, izračunane na "sumljivih" točkah. O tehniki reševanja je bilo že veliko povedanega zgoraj in nekaj drugega bo povedano spodaj - berite, preberite, poglobite se!

- Med izbranimi številkami izberite največjo in najmanjšo vrednost ter podajte odgovor. Včasih se zgodi, da funkcija doseže takšne vrednosti na več točkah hkrati - v tem primeru bi se morale vse te točke odražati v odgovoru. Naj npr. in izkazalo se je, da je to najmanjša vrednost. Potem to napišemo

Končni primeri so namenjeni drugim uporabne ideje uporabno v praksi:

Primer 4

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju .

Ohranil sem avtorjevo formulacijo, v kateri je ploščina podana kot dvojna neenakost. Ta pogoj je mogoče zapisati v enakovrednem sistemu ali v bolj tradicionalni obliki za to težavo:

Opomnim vas, da z nelinearni naleteli smo na neenakosti na , in če ne razumete geometrijskega pomena vnosa, prosimo, da ne odlašate in razjasnite situacijo takoj ;-)

rešitev, kot vedno, se začne z gradnjo območja, ki je nekakšen "podplat":

Hmm, včasih je treba glodati ne le granit znanosti ....

I) Poiščite stacionarne točke:

Idiotski sanjski sistem :)

Stacionarna točka pripada regiji, namreč leži na njeni meji.

In tako, ni nič ... zabavna lekcija je šla - to pomeni piti pravi čaj =)

II) Raziskujemo mejo regije. Brez odlašanja, začnimo z osjo x:

1) Če , potem

Ugotovite, kje je vrh parabole:
– Cenite takšne trenutke – »zadajte« prav v bistvo, iz katerega je že vse jasno. Vendar ne pozabite preveriti:

Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih segmenta:

2) Spodnji del "podplata" bomo obravnavali "v eni seji" - brez kakršnih koli kompleksov ga nadomestimo v funkcijo, poleg tega nas bo zanimal samo segment:

Nadzor:

Zdaj to že vnaša nekaj poživitve v monotono vožnjo po narebričeni stezi. Poiščimo kritične točke:

Odločamo se kvadratna enačba se spomniš tega? ... Vendar ne pozabite, seveda, sicer ne bi brali teh vrstic =) Če bi bili v prejšnjih dveh primerih izračuni primerni v decimalni ulomki(kar je, mimogrede, redko), potem tukaj čakamo na običajno navadni ulomki. Poiščemo korenine "x" in z uporabo enačbe določimo ustrezne koordinate "igre" točk "kandidatov":


Izračunajmo vrednosti funkcije na najdenih točkah:

Funkcijo preverite sami.

Zdaj natančno preučujemo osvojene trofeje in jih zapisujemo odgovor:

Tukaj so "kandidati", torej "kandidati"!

Za neodvisna odločitev:

Primer 5

Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije v zaprtem prostoru

Vnos z zavitimi oklepaji se glasi takole: "nabor točk, tako da".

Včasih v takih primerih uporabljajo Lagrangeova metoda množitelja, vendar je malo verjetno, da bi se pojavila resnična potreba po njegovi uporabi. Torej, na primer, če je podana funkcija z enakim območjem "de", potem po zamenjavi vanjo - z derivatom brez težav; poleg tega je vse narisano v "eni vrstici" (z znaki), ne da bi bilo treba ločeno upoštevati zgornji in spodnji polkrog. Seveda pa obstajajo bolj zapleteni primeri, kjer brez Lagrangeove funkcije (kjer je na primer enaka enačba kroga) težko je preživeti – kako težko je preživeti brez dobrega počitka!

Vse najboljše za opravljeno sejo in se kmalu vidimo naslednjo sezono!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev: narišite območje na risbi:

Postopek iskanja najmanjše in največje vrednosti funkcije na segmentu spominja na fascinanten let okoli predmeta (grafa funkcije) na helikopterju s streljanjem iz topa dolgega dosega na določene točke in izbiro med te točke prav posebne točke za kontrolne strele. Točke se izbirajo na določen način in po določenih pravilih. Po kakšnih pravilih? O tem bomo še govorili.

Če funkcija l = f(x) neprekinjeno na segmentu [ a, b] , potem doseže ta segment vsaj in najvišje vrednosti . To se lahko zgodi bodisi v ekstremne točke ali na koncih segmenta. Zato najti vsaj in največje vrednosti funkcije , zvezna na segmentu [ a, b] , morate izračunati njegove vrednosti v vseh kritične točke in na koncu segmenta, nato pa izberite najmanjšega in največjega med njimi.

Naj bo na primer potrebno določiti največjo vrednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Če želite to narediti, poiščite vse njene kritične točke, ki ležijo na [ a, b] .

kritična točka se imenuje točka, na kateri definirana funkcija, in njo izpeljanka je nič ali pa ne obstaja. Nato morate izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah. In končno, primerjajte vrednosti funkcije na kritičnih točkah in na koncih segmenta ( f(a) In f(b) ). Največje od teh številk bo največja vrednost funkcije na intervalu [a, b] .

Problem iskanja najmanjše vrednosti funkcije .

Skupaj iščemo najmanjšo in največjo vrednost funkcije

Primer 1. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

rešitev. Poiščemo odvod te funkcije. Izenačite odvod na nič () in dobite dve kritični točki: in . Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, je dovolj, da izračunate njene vrednosti na koncih segmenta in v točki , saj točka ne pripada segmentu [-1, 2] . Vrednosti te funkcije so naslednje: , , . Sledi, da najmanjša vrednost funkcije(označeno z rdečo na spodnjem grafu), enako -7, dosežemo na desnem koncu odseka - v točki , in največji(tudi rdeče na grafu), je enako 9, - na kritični točki .

Če je funkcija zvezna v nekem intervalu in ta interval ni segment (je pa npr. interval; razlika med intervalom in segmentom: mejne točke intervala niso vključene v interval, ampak mejne točke segmenta so vključene v segment), potem med vrednostmi funkcije morda ni najmanjše in največje. Tako je na primer funkcija, prikazana na spodnji sliki, zvezna na ]-∞, +∞[ in nima največje vrednosti.

Vendar pa za vsak interval (zaprt, odprt ali neskončen) velja naslednja lastnost zveznih funkcij.

Primer 4. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

rešitev. Odvod te funkcije najdemo kot odvod količnika:

.

Izenačimo odvod na nič, kar nam da eno kritično točko: . Spada v interval [-1, 3] . Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:

Primerjajmo te vrednosti. Zaključek: enako -5/13, v točki in največja vrednost enako 1 v točki .

Nadaljujemo skupaj z iskanjem najmanjše in največje vrednosti funkcije

Obstajajo učitelji, ki na temo iskanja najmanjše in največje vrednosti funkcije učencem ne dajejo bolj zapletenih primerov od pravkar obravnavanih, to je tistih, v katerih je funkcija polinom ali ulomek, števec in katerih imenovalec so polinomi. Vendar se ne bomo omejili na takšne primere, saj so med učitelji ljubitelji tega, da učenci razmišljajo v celoti (tabela izpeljank). Zato bosta uporabljena logaritem in trigonometrična funkcija.

Primer 6. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu .

rešitev. Odvod te funkcije najdemo kot derivat izdelka :

Izenačimo odvod na nič, kar daje eno kritično točko: . Spada v segment. Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:

Rezultat vseh dejanj: funkcija doseže svojo minimalno vrednost, enako 0, v točki in v točki in največja vrednost enako e², na točki.

Primer 7. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu .

rešitev. Najdemo izpeljanko te funkcije:

Izenačite odvod na nič:

Edina kritična točka pripada segmentu . Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:

Zaključek: funkcija doseže svojo minimalno vrednost, enako , v točki in največja vrednost, enako , v točki .

V uporabnih ekstremnih problemih se iskanje najmanjših (največjih) funkcijskih vrednosti praviloma zmanjša na iskanje najmanjše (maksimalne). Toda večji praktični interes niso sami minimumi ali maksimumi, temveč vrednosti argumenta, pri katerem so doseženi. Pri reševanju uporabnih problemov se pojavi dodatna težava - sestavljanje funkcij, ki opisujejo obravnavani pojav ali proces.

Primer 8 Rezervoar s prostornino 4, ki ima obliko paralelopipeda s kvadratno osnovo in odprt na vrhu, mora biti konzerviran. Kakšne naj bodo mere rezervoarja, da ga pokrijemo z najmanjšo količino materiala?

rešitev. Pustiti x- osnovna stran h- višina rezervoarja, S- njegova površina brez pokrova, V- njegova prostornina. Površina rezervoarja je izražena s formulo, tj. je funkcija dveh spremenljivk. Izraziti S kot funkcijo ene spremenljivke uporabimo dejstvo, da , od koder . Zamenjava najdenega izraza h v formulo za S:

Preučimo to funkcijo za ekstrem. Definirana in diferenciacijska je povsod v ]0, +∞[ in

.

Izenačimo odvod na nič () in poiščemo kritično točko. Poleg tega pri , odvod ne obstaja, vendar ta vrednost ni vključena v domeno definicije in zato ne more biti točka ekstrema. Torej, - edina kritična točka. Preverimo prisotnost ekstrema z uporabo drugega zadostnega znaka. Poiščimo drugo izpeljanko. Ko je drugi odvod večji od nič (). To pomeni, da ko funkcija doseže minimum . Ker to minimum - edini ekstrem te funkcije, je njena najmanjša vrednost. Torej, stran podnožja rezervoarja mora biti enaka 2 m in njegova višina.

Primer 9 Iz odstavka A, ki se nahaja ob železniški progi, do točke Z, na razdalji od njega l, blago je treba prepeljati. Strošek prevoza enote teže na enoto razdalje po železnici je enak , po avtocesti pa je enak . Do katere točke M vrstice železnica treba zgraditi avtocesto, da se prevoz blaga iz A V Z je bil najbolj ekonomičen AB predvidevamo, da je železnica ravna)?

drobna in lepa preprosta naloga iz kategorije tistih, ki služijo kot rešilna bilka za plavajočega študenta. V naravi zaspano kraljestvo sredine julija, zato je čas, da se umirite s prenosnikom na plaži. Zgodaj zjutraj je zaigral sončni žarek teorije, ki se je kmalu posvetila praksi, ki kljub deklarirani lahkotnosti vsebuje drobce stekla v pesku. V zvezi s tem priporočam, da vestno preučite nekaj primerov te strani. Za reševanje praktičnih nalog morate biti sposobni najti izpeljanke in razumeti snov članka Intervali monotonosti in ekstremi funkcije.

Najprej na kratko o glavnem. V lekciji o kontinuiteta delovanja Podal sem definicijo zveznosti v točki in zveznosti na intervalu. Na podoben način je formulirano zgledno obnašanje funkcije na segmentu. Funkcija je zvezna na segmentu, če:

1) je zvezna na intervalu ;
2) zvezna v točki na desni in v bistvu levo.

Drugi odstavek obravnava t.i enostransko kontinuiteto funkcije na točki. Obstaja več pristopov k njegovi opredelitvi, vendar se bom držal prej začete linije:

Funkcija je zvezna v točki na desni, če je definirana v dani točki in njena desna meja sovpada z vrednostjo funkcije v dani točki: . V točki je neprekinjen levo, če je definiran na dani točki in je njegova leva meja enaka vrednosti na tej točki:

Predstavljajte si, da so zelene pike žeblji, na katere je pritrjena čarobna gumica:

Mentalno vzemite rdečo črto v roke. Očitno, ne glede na to, kako daleč raztegnemo graf navzgor in navzdol (vzdolž osi), bo funkcija še vedno ostala omejeno- zgoraj živa meja, spodaj živa meja, naš izdelek pa se pase v ogradi. torej na segmentu zvezna funkcija je na njem omejena. Med matematično analizo je to na videz preprosto dejstvo navedeno in strogo dokazano Weierstrassov prvi izrek.… Marsikoga moti, da se elementarne trditve v matematiki dolgočasno utemeljujejo, vendar ima to pomemben pomen. Recimo, da je neki prebivalec frotirnega srednjega veka potegnil graf v nebo čez meje vidnosti, ta je bil vstavljen. Pred izumom teleskopa omejena funkcija v vesolju sploh ni bila očitna! Res, kako veš, kaj nas čaka za obzorjem? Konec koncev je nekoč veljala, da je Zemlja ravna, tako da danes tudi navadna teleportacija zahteva dokaz =)

Po navedbah drugi Weierstrassov izrek, neprekinjeno na segmentufunkcija doseže svojo natančen zgornji rob in njegov točen spodnji rob .

Številka se tudi imenuje največjo vrednost funkcije na segmentu in označeno z , in številka - minimalna vrednost funkcije na segmentu označeno.

V našem primeru:

Opomba : v teoriji so zapisi običajni .

Grobo rečeno, največja vrednost se nahaja na najvišji točki grafa, najmanjša pa na najnižji točki.

Pomembno! Kot je bilo že poudarjeno v članku o ekstremi funkcije, največja vrednost funkcije in najmanjša vrednost funkcije – NI ENAKO, Kaj maksimalno delovanje in minimalna funkcija. Torej je v tem primeru število najmanjša vrednost funkcije, ne pa najmanjša vrednost.

Mimogrede, kaj se zgodi zunaj segmenta? Ja, tudi poplava nas v kontekstu obravnavane problematike sploh ne zanima. Naloga vključuje samo iskanje dveh številk in to je to!

Poleg tega je rešitev povsem analitična, torej ni treba risati!

Algoritem leži na površini in je razviden iz zgornje slike:

1) Poiščite vrednosti funkcije v kritične točke, ki spadajo v ta segment.

Ujemite še eno dobroto: ni treba preverjati zadostnega pogoja za ekstrem, saj, kot je bilo prikazano, prisotnost minimuma ali maksimuma še ni zagotovljeno kakšna je najmanjša ali največja vrednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum in po volji usode je isto število največja vrednost funkcije na intervalu . Seveda pa se takšno naključje ne zgodi vedno.

Tako je na prvem koraku hitreje in lažje izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo segmentu, ne da bi se obremenjevali, ali imajo ekstreme ali ne.

2) Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta.

3) Med vrednostmi funkcije, ki jih najdemo v 1. in 2. odstavku, izberemo najmanjšo in najbolj velika številka, zapišite odgovor.

Sedimo na obali modrega morja in udarjamo s petami v plitvi vodi:

Primer 1

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu

rešitev:
1) Izračunajte vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu:

Izračunajmo vrednost funkcije na drugi kritični točki:

2) Izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta:

3) »Krepki« rezultati so bili pridobljeni z eksponenti in logaritmi, kar bistveno oteži njihovo primerjavo. Zaradi tega se bomo oborožili s kalkulatorjem ali Excelom in izračunali približne vrednosti, pri čemer ne bomo pozabili, da:

Zdaj je vse jasno.

Odgovori:

Frakcijsko-racionalna instanca za neodvisno rešitev:

Primer 6

Poiščite največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu

Testenine s tuno v smetanovi omaki Testenine s svežo tuno v smetanovi omaki Testenine s tunino v kremni omaki so jed, ob kateri bo vsak pogoltnil jezik, seveda ne le zaradi zabave, ampak zato, ker je noro okusna. Tuna in testenine so med seboj v popolni harmoniji. Seveda morda komu ta jed ne bo všeč.	Pomladni zavitki z zelenjavo Zelenjavni zavitki doma Torej, če se spopadate z vprašanjem "Kakšna je razlika med sušijem in zvitki?", Odgovorimo - nič. Nekaj ​​besed o tem, kaj so zvitki. Zvitki niso nujno jed japonske kuhinje. Recept za zvitke v takšni ali drugačni obliki je prisoten v številnih azijskih kuhinjah.
Varstvo rastlinstva in živalstva v mednarodnih pogodbah IN zdravje ljudi Rešitev okoljskih problemov in posledično možnosti za trajnostni razvoj civilizacije so v veliki meri povezani s kompetentno uporabo obnovljivih virov in različnimi funkcijami ekosistemov ter njihovim upravljanjem. Ta smer je najpomembnejši način za pridobitev	Minimalna plača (minimalna plača) Minimalna plača je minimalna plača (SMIC), ki jo vsako leto odobri vlada Ruske federacije na podlagi zveznega zakona "O minimalni plači". Minimalna plača se izračuna za polno opravljeno mesečno stopnjo dela.